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空间向量的应用(二)——空间角及其计算复习课件

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用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，

利用空间向量研究角度问题-高考数学复习课件

利用空间向量研究角度问题-高考数学复习课件
∵ OB ⊂平面 ABCD ，∴ OP ⊥ OB ，∴ PB ＝
在△ C 1 BP 中， cos
2 ＋
2 ＋12 −12
3
∠ C 1 BP ＝
＝ ，
2·1
2
π
π
∴∠ PBC 1＝ ，即直线 PB 与 AD 1所成的角为 .
6
6
2

2
2
＝
6
a.
2
法二：以 D 为原点， DA ， DC ， DD 1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴
2
A. 30°
由于 cos<
B. 60°
C. 120°
A )
D. 150°
1
m ， n >＝－ ，所以< m ， n >＝120°，所以直线 l 与平面α
2
所成的角为30°.
3. 平面α的一个法向量为 m ＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为 n ＝
(2，2，1)，则平 C 为原点， CA ， CB 所在直线分别为 x ， y 轴，建立如图所示的空间
3
π
，∴直线 PB 与 AD 1所成的角为 .
2
6
方法总结
向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点
1. 两种方法：
(1)基向量法：利用线性运算；
(2)坐标法：利用坐标运算.
2. 一个注意点：
注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围.
跟踪训练
1. 在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1中，∠ BCA ＝90°， M ， N 分别是 A 1 B 1，
.
6
方法总结
利用平面的法向量求线面角的两个注意点

高考理科数学总复习《空间向量的应用 二》课件

高考理科数学总复习《空间向量的应用 二》课件
π (4)两异面直线夹角的范围是(0，2 ]，直线与平面所成角的范
π 围是[0， 2 ]，二面角的范围是[0，π]．
第9页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(5)若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量夹角为 120°，则 l 和 α 所成角为 30°.
(6)若二面角 α－a－β 的两个半平面 α，β的法向量 n1，n2 所 成角为 θ，则二面角 α－a－β 的大小是π－θ.
答案 A 解析 方法一：(定义法) 取B1C1的中点为O，连接OA，OA1，故OA1⊥B1C1.又AA1⊥ B1C1，故B1C1⊥平面A1AO，易证∠A1AO为所求线面角．因为 AA1＝ 6，OA1＝ 2，所以tan∠A1AO＝ 33，所以∠A1AO＝π6 .
第15页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
【解析】 以 D 为原点，分别以 DA，DC，
DD1 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， ∴F(1，0，0)，D1(0，0，2)，O(1，1，0)，
E(0，2，1)．
∴F→D1＝(－1，0，2)，O→E＝(－1，1，1)．
∴cos〈F→D1，O→E〉＝
1＋2 ＝ 5· 3
15 5.
【答案】
AA1D，∴平面AA1D⊥平面AB1C1，∴AA1与平面AB1C1所成的
π
π
角为∠A1AD.∴∠A1AD＝ 6 ，∴BB1与平面AB1C1所成的角为 6 .
π 【答案】 6
第32页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(2)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 O 为线段 BD 的中点．设点 P 在线段 CC1 上，直线 OP 与平面 A1BD 所成的角 为 α，则 sinα的取值范围是( )

利用空间向量求空间角PPT教学课件

利用空间向量求空间角PPT教学课件

澶渊之盟
宋真宗赵恒 1004年，辽军大举南征时，亲自领兵到澶 渊抵御，并与辽签订了“澶渊之盟”。
下一页
寇准
寇准
北宋宰相。1004年，辽军大举南征时， 主战。
返回
西夏武士
西夏的建立
1038年，党项族首领元昊建立西夏 国。图为李元昊之墓
下一页
党项人
女男供供养养人人
下一页
西夏铜牛
下一页
西夏飞天壁画
nn
α
与平面垂直的直线叫做平面
的法线．因此平面的法向量
就是平面法线的方向向量
异面直线所成角
a, b分别是两直线l1 , l2的方向向量,
l1, l2的所成的角为 ,则
cos | a b |
|a||b|
l2
b a
l1
巩固性训练1
1.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱
长为2,底面连长为1.求异面直线AB1与
BC1夹角的余弦值.
解：取的中点O建立如图 所示的空间直角坐标系O-XYZ。
1
A(
2
,0,2)
3
B(0, 2
,2)
B1 (0,
3 2
,0)
C1
1(-
,0 ,0)
2
A
BC ∴
1 AB1 ( 2 ,
3 ,2) 2
1
=（-
1 2
，-
3 ，-2） 2
X
∴cos = AB1 • BC1 = 7
AB1 • BC1 10
m 设 =(x,y,z) 是平面PBC的一个法向量
∴ PB ⊥ m
PC ⊥ m
∴ PB • m =x-z=0
y
PC • m =x+y-z=0

人教版高考数学理科一轮总复习配套课件8.8空间向量的应用(Ⅱ)——求空间角、距离

人教版高考数学理科一轮总复习配套课件8.8空间向量的应用(Ⅱ)——求空间角、距离
8.8
空间向量的应用(Ⅱ) ——求空间角、距离
-2-
考纲要求 1.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角及距离 问题.
-3-
1.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 m1,m2,则 l1 与 l2 所成的角 θ 满足 cos θ=
考点一
考点二
考点三
-15-
解:方法一:以 A 为原点,������������ , ������������, ������������1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立 空间直角坐标系,则有 D1(0,3,2),E(3,0,0),F(4,1,0),C1(4,3,2),
于是������������1 =(1,3,2),������������1 =(-4,2,2), 设 EC1 与 FD1 所成的角为 β, 则 cos β=
|AB·������| |������|
.
-7-
基础自测
1.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 u=(-2,0,-4),则( A.l∥α B.l⊥α C.l⊂ α D.l 与 α 斜交 )
关闭
∵ u=-2a,∴ u∥a,则 l⊥α.
关闭
B
解析 答案
-8-
2.(2013 山东高考)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面 是边长为 3的正三角形.若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成 角的大小为 ( ,由棱柱体积为 ) 如图所示 ,底面正三角形的边长为 3,可求得棱柱的高
|������1 ·������2 | |������1 ||������2 |

高三理科数学一轮复习课件空间向量的应用二(空间向量与空间角)

高三理科数学一轮复习课件空间向量的应用二(空间向量与空间角)

如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1 的底面边长为a，侧棱长为 2a，求AC1与侧面 ABB1A1所成角的大小．
[解题过程] 取BC中点O，B1C1中点O1， 连结AO，OO1，则AO⊥OC，OO1⊥平面ABC， 以O为坐标原点，OC、OA、OO1 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角
解析： 以O为坐标原点，OA、OB分别为x轴、y轴，建 立如图所示的空间直角坐标系，
则A( 3，0,0)，B(0,2,0)，A1( 3，1， 3)，O1(0,1， 3)， 所以A→1B＝(－ 3，1，－ 3)，O→1A＝( 3，－1，－ 3)， 设所求的角为α，则cos α＝||AA→→11BB|··|OO→→11AA||＝17. 即异面直线A1B与O1A所成的角的余弦值为17.
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
由nn··PC→→CD ＝＝00
得2－
2y－2 2x＝0
2z＝0
，
令z＝1得平面PCD的一个法向量为n0＝(0,1,1)． 设PB与平面PCD所成的角为θ，
则sin θ＝||PP→→BB|·|nn00||＝24 22＝12， ∴PB与平面PCD所成的角为30°.
坐标系Oxyz，
则A0， 23a，0，C1a2，0，

2a，

所以A→C1＝a2，－ 23a， 2a.
取AB中点M，连结CM，则CM⊥AB. 因为平面ABB1A1⊥平面ABC， 所以CM⊥平面ABB1A1， 所以C→M是平面ABB1A1的一个法向量． 因为B－a2，0，0， 所以M－a4， 43a，0，
故A→M·C→N＝0×1＋12×0＋1×12＝12，
|A→M|＝ 02＋122＋12＝ 25，
|C→N|＝

空间角及其计算ppt课件

空间角及其计算ppt课件
半平面(α 和 β)叫作二面角的 面 .
二面角的平面角：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，过 O
分别在二面角的两个面α，β 内作与棱垂直 的射线 OA，OB，我们把 ∠AOB 叫作
二面角 α-l-β 的平面角，用它来度量二面角
的大小．
二面角 θ 的取值范围为 θ∈ [0°，180°] .
平面角是直角的二面角叫作 直二面角
2×2×1×cos 60°＝3，所以 BD＝ 3，所以 B1D1＝ 3.
又 AB1 与 AD1 所成的角即为 AB1 与 BC1 所成的角 θ ，
所以
cos
θ＝AB221×＋AABD1×12－ABD11D21＝2×5＋25－×3
＝ 2
10 5.
答案:C
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
因此，BC⊥PC，
在 Rt△PCB 中，PB＝ PC2＋BC2＝ 13，
在
Rt△PEB
中，sin∠PBE＝PPEB＝
39 13 .
所以直线
PB
与平面
ABCD
所成的角的正弦值为
39 13 .
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
【变式探究】
1．(2017·新课标卷Ⅱ)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( )
C．120°
D．60°或 120°
解：∠FEG 为两异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角．

8-8 空间向量的应用(二)空间角(共66张PPT)

8-8 空间向量的应用(二)空间角(共66张PPT)

【答案】 (1)略 2 ( )
2 4
授人以渔 自助餐
课前自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 · 高三数学（理）
例 2 如图所示，在四棱锥 P－A B C D 形，PA⊥平面 A B C D
中 ， 底 面
A B C D
是矩
，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD 于点 M.
1 ( ) 求证：AM⊥PD； 2 ( ) 求直线 CD 与平面 A C M 所成的角的余弦值．
在底面上的射影，P 为侧棱 SD 的 中 点 ， 且 与平面 P A C
答案 解析
SO＝OD， 则 直 线
所成的角是________．
30° 如 图 所 示 ， 以 O为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O－xyz.
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 · 高三数学（理）
设 OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 则 A(a ,0 ) , a ,0 ) , a a ，P(0， － 2，2)． → ＝(2a 则CA ,0 ) , 设 平 面 P A C
， 所 以
PA⊥CD.
又 AD⊥CD， 所 以
CD⊥平 面 P A D .从 而 CD⊥PD.
因 为 PD＝ 22＋2 22＝2 3，CD＝2， 所 以 三 角 形 P C D 的 面 积 为 1 2×2×2 3＝2 3.
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
2 ( ) 方 法 一 ： 如 右 图 所 示 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， ，C2 ( ,
新课标版 · 高三数学（理）
[0，π]
．
α—l—β 的 两 个 面 内 与 棱

学空间向量与立体几何空间向量与空间角ppt

学空间向量与立体几何空间向量与空间角ppt
空间向量与空间角ppt
xx年xx月xx日
目 录
• 空间向量的基本概念 • 空间向量的应用 • 空间角的基本概念 • 空间角的应用
01
空间向量的基本概念
向量的定义与性质
向量的定义
向量是一个具有大小和方向的量，通常用一条有向线段表示 ，箭头表示方向，线段的长度表示大小。
向量的性质
向量具有方向性，大小和方向共同决定了向量的性质。向量 可以进行加减、数乘、点乘等运算。
3
通过向量的运算，可以方便地得出空间几何元 素之间的关系。
空间向量的模与夹角的应用
向量的模表示向量 的长度，可以通过 点积计算。
利用向量的模和夹 角，可以解决一些 与长度和角度相关 的几何问题。
向量的夹角表示两 个向量之间的角度 ，可以通过数量积 计算。
空间向量的投影与分解
向量在某个方向上的投影等于该向量与该方向向 量的点积除以该方向向量的模。
一个向量可以分解为相互垂直的单位向量之和， 方便计算。
通过投影和分解，可以将复杂的向量问题转化为 简单的向量运算。
03
空间角的基本概念
直线与平面之间的角
直线与平面之间的角的定义
一条直线和一个平面相交于两点，这两点所形成的角称为直线和平面之间的角。
直线与平面之间的角的性质
直线和平面之间的角的取值范围为$[0,\frac{\pi}{2}]$。
直线与平面之间的角的计算
可以通过向量数量积来计算直线和平面之间的角的大小。
二面角
二面角的定义
两个平面相交于两条射线，这 两条射线所形成的角称为二面
角。
二面角的性质
二面角的取值范围为$[0,\pi]$。
二面角的计算
可以通过向量夹角来计算二面角的 大小。

空间向量与空间角 完整PPT课件

空间向量与空间角 完整PPT课件

【导学号：37792175】
＝90°.
课堂检测
如图 3-2-23，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP
(1)证明：平面 PAB⊥平面 PAD； (2)若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°， 求二面角 A-PB-C 的余弦值.
【导学号：37792176】
作业:课本112页第6，8题。
2
4cos a,b a • b
ab
探究点1：异面直线所成的角
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b
若两直线 l, m 所成的角为 (0 ≤ ) .
2
提示：
ab
l cos
l
ab
m
m
例1 四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，PA 与平面ABCD所成的角为60°.在四边形ABCD中 ，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD ＝2. (1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．
求直线与平面所成的角
利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量A→B；
(3)求平面的法向量 n；
→
(4)计算：设线面角为
θ，则
sinθ＝
|n·AB| →
.
|n|·|AB|
探究点3：二面角
1 方向向量法: 将二面角转化为二面角的两个面
的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱） 的夹角.如图，设二面角α- l -β的大小为θ, 其中AB ⊥ l,AB ⊂ α,CD ⊥ l,CD⊂ β.
课堂检测
2．已知向量 m，n 分别是直线 l 与平面 α 的方向向量、法向量，若 cos
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AE CD 2 则 cos θ＝ | AE || CD | ＝ 4 ，
2 所以 AE 与 CD 所成角的余弦值为 4 .
16
【温馨提示】 用向量方法求两条异面直线所成的角， 一般通过两条直线的方向向量的夹角来求解， 而两异面直线 π 所成的角的范围是(0，2]．
17

【跟踪训练 1】在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E 为棱 BC 的中点，F 为棱 DD1 的中点．则异面直线 EF 与 BD1 所成角的余弦值是( 2 A. 3 3 C. 4 )
21
(1)求证：BO⊥DO； (2)求 AO 与平面 BOD 所成角的正弦值．
22
【解答过程】方法一：(1)证明：由题设，M，N 是矩形的 边 AD 和 BC 的中点， 所以 AM⊥MN，DM⊥MN，
所以∠AMD 是平面 ABNM 与平面 MNCD 所成角的平面角， 依题意，所以∠AMD＝60° ， 由 AM＝DM，可知△MAD 是正三角形， 所以 AD＝ 2， 在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝2 2， 所以 BD＝2 3.
23
由题可知 BO＝OD＝ 3， 由勾股定理可知△BOD 是直角三角形， 如图 2，在 Rt△BAD 中，BD＝ AD2＋AB2＝ 6. 所以 BO⊥DO.
24
(2)如图甲，设 E，F 是 BD，CD 的中点，则 EF⊥CD，OF ⊥CD， 所以 CD⊥平面 OEF， OE⊥CD， 又 BO＝OD， 所以 OE⊥BD，所以 OE⊥平面 ABCD，OE⊂平面 BOD， 平面 BOD⊥平面 ABCD，过 A 作 AH⊥BD， 由面面垂直的性质定理，可得 AH⊥平面 BOD，连接 OH， 所以 OH 是 AO 在平面 BOD 的投影，
4
2.若 a＝(x,2,0)， b＝(3,2－x， x2)， 且 a 与 b 的夹角为钝角， 则 x 的取值范围是( A ) A．x＜－4 C．0＜x＜4 B．－4＜x＜0 D．x＞4
5
解析：因为 a 与 b 的夹角为钝角, 所以 a· b＜0，且 a 与 b 不共线， 即 3x＋2(2－x)＜0 且(x,2,0)≠λ(3,2－x，x2)， 解得 x＜－4.
BA1 AC1 1 由 cosθ＝ | BA1 || AC1 | ＝2，得 θ＝60° .
10
5.在空间直角坐标系中，已知点 A(1,0,2)，B(1，－3，1)， 点 M 在 y 轴上，且 M 到 A 与到 B 的距离相等，则 M 的坐标 是 .
11
解析：设 M(0，y,0)，由 12＋y2＋4＝1＋(y＋3)2＋1，可得 y＝－1.故 M(0，－1,0)．
8
4.直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若∠BAC＝90° ，AB＝AC＝ AA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成角等于( C ) A．30° C．60° B．45° D．90°
.
9
解析：设 AB＝AC＝AA1＝a， BA1 与 AC1 所成的角为 θ. 以 A 为坐标原点，AB、AC、AA1 所在的直线分别为 x、y、 z 轴建立直角坐标系， 则 A(0,0,0)、B((1,0,0)、A1(0,0,1)、C1(0,1,1)． 所以 BA1 ＝(－1,0,1)， AC1 ＝(0,1,1)．
12
13
一
异面直线所成的角
【例 1】 如图所示直角梯形 ABCD 中，∠A＝90° ，PA⊥面
ABCD，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，与底面 ABCD 成 30° 角．若 AE⊥PD，E 为垂足，PD 与底面成 30° 角． (1)求证：BE⊥PD； (2)求异面直线 AE 与 CD 所成 的角的大小．
第 8讲
空间向量的应用(二)
——空间角及其计算
1
2
1.若向量 a＝(1，λ，2)，b＝(－2,1,1)，a，b 夹角的余弦 1 值为6，则 λ 等于( A ) A．1 C．± 1 B．－1 D．2
3
a· b 1 λ 解析：cos〈a，b〉＝ ＝ 2＝6.解得 λ＝1. |a||b| 6· 5＋λ
14
【解答过程】为了计算方便不妨设 a＝1. (1)证明：根据题意可得：以 A 为原点，AB，AD，AP 所 在直线为坐标轴建立直角坐标系(如图)． 则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,2,0)， 2 3 P(0,0， 3 )， 2 3 AB · PD ＝(1,0,0)· (0,2，－ 3 )＝0，
PD ＝0，所以 AB ⊥ PD ， AE ⊥ PD . 又 AE · 所以 PD⊥平面 BEA，BE⊂平面 BEA， 所以 PD⊥BE.
15
(2)因为 PA⊥平面 ABCD，PD 与底面成 30° 角， 所以∠PDA＝30° ，过 E 作 EF⊥AD，垂足为 F， 1 3 则 AE＝AD· sin 30° ＝1，∠EAF＝60° ，AF＝2，EF＝ 2 ， 1 3 1 3 所以 E(0，2， 2 )，于是 AE ＝(0，2， 2 )， 又 C(1,1,0)，D(0,2,0)， CD ＝(－1,1,0)，
BD1 EF 2 2 则 cos θ＝ | BD1 || EF | ＝ 3 .
20
二
直线与平面所成的角
【例 2】如图 1 中矩形 ABCD 中，已知 AB＝2，AD＝2 2， MN 分别为 AD 和 BC 的中点，对角线 BD 与 MN 交于 O 点，沿 MN 把矩形 ABNM 折起， 使平面 ABNM 与平面 MNCD 所成角为 60° ，如图 2.
6
3.已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则 两平面所成的二面角的大小为( C ) A．45° C．45° 或 135° B．135° D．90°
7
解析：设两法向量所成的角为 θ. m· n 2 因为 cosθ＝ ＝ ，所以 θ＝45° . |m|· |n| 2 (1)当两法向量指向一致时，二面角为 45° . (2)当两法向量指向不一致时，二面角为 135° .
2 2 B. 3 3 D. 6
18
解析：以 AB、AD、AA1 为 x、y、z 轴，建立空间直角坐 标系如图，
1 1 则 B(1,0,0)，D1(0,1,1)，E(1，2，0)，F(0,1，2)．
19
1 1 BD 1 ＝(－1,1,1)， EF ＝(－1， ， )， 所以 2 2 6 BD BD EF EF ＝(－1)×(－1)＋ 1 | ＝ 3， | 1· 可得| |＝ 2 ， 1 1 1×2＋1×2＝2， 设异面直线 EF 与 BD1 所成角为 θ，