实分析习题课

习题课综合法和分析法明目标、知重点加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．1．综合法综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)2．分析法分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇐…⇐P n－2⇐P n－1⇐P n(结论)分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆．题型一选择恰当的方法证明不等式例1 设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S.证明I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝a2＋b2＋c2＋2S.欲证3S≤I2<4S，即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，显然成立；再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，只需证a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0，只需证a<b＋c，且b<c＋a，且c<b＋a，由于a、b、c为三角形的三边长，上述三式显然成立，故有3S ≤I 2<4S .反思与感悟 本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法．对于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清晰．证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个： (1)a 2≥0(a ∈R )．(2)(a －b )2≥0(a 、b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，(a ＋b2)2≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )22.(3)若a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b2≥ab ，特别地b a ＋a b≥2.(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．跟踪训练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≤4.证明 方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4.方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1b ≥21ab>0，∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4.方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab＋1≥2＋2b a ·ab＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． 题型二 选择恰当的方法证明等式例2 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c＝3a ＋b ＋c.证明 要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3， 即证ca ＋b ＋ab ＋c ＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋abab ＋b 2＋ac ＋bc＝1，而由题意知A ＋C ＝2B ， ∴B ＝π3，∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪训练2 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2. 证明 由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .② 要证a x ＋c y＝2， 只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证． 题型三 立体几何中位置关系的证明例3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD ⊥AE ； (2)证明：PD ⊥平面ABE . 证明 (1)在四棱锥P －ABCD 中， ∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ， ∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ， ∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°， 可得AC ＝PA ，∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC . 由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ， 所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ， ∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，又AB ∩AE ＝A ，综上得PD ⊥平面ABE .反思与感悟 综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．跟踪训练3 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .证明 (1)如图，设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形． 所以AF ∥EG . 因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)连接FG .因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1，所以四边形CEFG 为菱形． 所以CF ⊥EG .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC .又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ， 所以BD ⊥平面ACEF . 所以CF ⊥BD .又BD ∩EG ＝G ， 所以CF ⊥平面BDE . 呈重点、现规律]1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知． 2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.一、基础过关1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤3答案 C解析 ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∵a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.2．已知a 、b 、c 、d ∈{正实数}，且a b <c d，则( ) A.a b <a ＋cb ＋d <cd B.a ＋cb ＋d <a b <cdC.a b <c d <a ＋cb ＋dD ．以上均可能答案 A解析 方法一 特值检验，∵a b <c d， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2， 则a ＋cb ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <cd.∴B 、C 、D 不正确． 方法二 要证a b <a ＋cb ＋d，∵a 、b 、c 、d ∈{正实数}， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc .只需证a b <c d .而a b <c d成立， ∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <cd. 3．下面四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b≥2；④(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 C解析 a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22≥ab ＋ac ＋bc ；a (1－a )≤(a ＋1－a2)2＝14；(a 2＋b 2)(c2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2；当ba <0时，b a ＋a b≥2不成立． 4．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．2ab C ．a 2＋b 2D ．a 答案 C解析 ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12，由a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大．5．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是________． 答案 a >b >c 解析 a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6.∴a >b >c . 6．如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为______)，只需证______，只需证AE ⊥BC (因为________)，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为______)．由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立．答案 EF ⊥SC AE ⊥平面SBC AE ⊥SB AB ⊥BC解析 要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC ⊥平面SAB ，可得AE ⊥BC ，进而AE ⊥平面SBC ，SC ⊥平面AEF ，问题得证．7．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a b ＋ba>a ＋b . 证明 方法一 用综合法a b ＋b a －a －b ＝a a ＋b b －a b －b aab＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab>0，∴a b ＋ba>a ＋b . 方法二 用分析法 要证a b ＋ba>a ＋b ， 只要证a 2b ＋b 2a＋2ab >a ＋b ＋2ab ，即要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )， 即需证a 2－ab ＋b 2>ab ， 只需证(a －b )2>0，因为a ≠b ，所以(a －b )2>0恒成立， 所以a b ＋ba>a ＋b 成立． 二、能力提升8．命题甲：(14)x 、2－x 、2x －4成等比数列；命题乙：lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由(14)x 、2－x 、2x －4成等比数列可得：(2－x )2＝(14)x ·2x －4，解得x ＝4；由lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列得：2lg(x ＋2)＝lg x ＋lg(2x ＋1)，可解得x ＝4(x ＝－1舍去)，所以甲是乙的充要条件.9．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg(a ＋b2)，则( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q答案 B解析 a >b >1⇒lg a >0，lg b >0，Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ，R >lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ⇒R >Q >P .10．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________． 答案 ①③⇒②解析 ∵αβ>0，|α|>22，|β|>2 2.∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25. ∴|α＋β|>5. 11．已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a >0，故只要证 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a2，即a 2＋1a2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．12．已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)·(1c－1)≥8.证明 方法一 (分析法)要证(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8成立，只需证1－a a ·1－b b ·1－c c≥8成立．因为a ＋b ＋c ＝1，所以只需证(a ＋b ＋c )－a a ·(a ＋b ＋c )－b b ·(a ＋b ＋c )－c c≥8成立，即证b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋bc≥8成立． 而b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8成立． ∴(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8成立． 方法二 (综合法) (1a －1)(1b －1)(1c－1)＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋cc－1) ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，所以原不等式成立．13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.(1)解 2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)解 当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 22－a 11＝1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1) ＝1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝54＋12－1n ＝74－1n <74， 所以对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.三、探究与拓展14．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).(你能用几种方法证明？)证明 方法一 (用分析法) ①当ac ＋bd ≤0时，显然成立．②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立，只需证 (ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2. 即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2即证0≤(bc －ad )2. 因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立． 故原不等式成立，综合①②知，命题得证． 方法二 (用综合法)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2c 2＋2acbd ＋b 2d 2)＋(b 2c 2－2bcad ＋a 2d 2) ＝(ac ＋bd )2＋(bc －ad )2≥(ac ＋bd )2. ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd . 方法三 (用比较法)∵(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝(bc －ad )2≥0， ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd .-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------方法四(用放缩法)为了避免讨论，由ac＋bd≤|ac＋bd|，可以试证(ac＋bd)2≤ (a2＋b2)(c2＋d2)．由方法一知上式成立，从而方法四可行．方法五(构造向量法)设m＝(a，b)，n＝(c，d)，∴m·n＝ac＋bd，|m|＝a2＋b2，|n|＝c2＋d2.∵m·n≤|m|·|n|＝a2＋b2·c2＋d2.故ac＋bd≤(a2＋b2)(c2＋d2).金戈铁骑。

大学数学怎么学?学好大学数学的8个方法进入大学，每个人都应该先做个自我反省，在学习过程中将会出现很多与过去不同的一面，尤其是在数学学习上，小编整理了数学学习相关内容，希望能帮助到您。

学好大学数学的8个方法1)大一生大都自我感觉良好，认为自己的学习方法是成功的。

自己能考上不错的本科，就说明自己在学习上有一套。

自己高中怎样学，大学还怎样学，就一定能成功。

不知道改进学习方法的必要性。

2)缺少迎难而上的思想准备。

基础知识大滑坡，基本技能大退步，头脑时常出现空白。

学习时跟不上教学的进度与要求。

3)对大学课程的学习特点，缺少全面准确的了解。

对大学生应该掌握的学习方法，缺少系统的学习和掌握。

提高大学数学学习成绩的关键：大学生学数学，靠的是一个字：悟!借助这8个方法，教你更好领悟高数1先看笔记后做作业有的学生感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。

但是，为什么自己一做题就困难重重了呢?其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。

因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。

2做题之后加强反思现在正做着的题，一定不是考试的题目。

而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。

因此，要把自己做过的每道题加以反思，总结一下自己的收获。

要总结出：这是一道什么内容的题，用的是什么方法。

做到知识成片，问题成串，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。

要看看自己做对了没有;还有什么别的解法;题目处于知识体系中的什么位置;解法的本质什么;题目中的已知与所求能否互换，能否进行适当增删改进。

3主动复习和总结进行章节总结是非常重要的。

怎样做章节总结呢?①要把课本，笔记，校期末测验试卷，都从头到尾阅读一遍。

②把本章节的内容一分为二，一部分是基础知识，一部分是典型问题。

③在基础知识的疏理中，要罗列出所学的所有定义，定理，法则，公式。

④把重要的，典型的各种问题进行编队。

⑤总结那些尚未归类的问题，作为备注进行补充说明。

总结一下自己本科看(或将看)的书，估计不会有什么大变动了。

1.数学分析张筑生《数学分析新讲》常庚哲，史济怀《数学分析》谢惠民《数学分析习题课讲义》林源渠《数学分析解题指南》陶哲轩《陶哲轩实分析》裴礼文那本记不得叫啥了《微积分学习指导》个人觉得讲得比较清楚的只有陶哲轩那本，其余的书类似于罗列知识点，恕我驽钝看不懂里面的联系，我是看完陶哲轩那本才感觉自己数学分析终于入门了，用的比较多的还有walter rudin的《数学分析原理》，不过我没有读过。

卓里奇略看过开头，对我这种菜鸡极度不友好。

2.线性代数学校线代B的教材李尚志《线性代数》丘维声《线性代数》Alex《linear algebra done right》Micheal Artin《Algebra》同样只看懂了后两本，其余的感觉就像罗列知识点，我没有读明白。

Artin和Alex用的不同的方式讲的线代，我觉得都挺好的。

Artin里面有些别的书没提及的个人觉得很骚的结论，个人感觉很有用，对我理解后面的知识有不少启发。

ps.学校线代b教材真的是不折不扣的垃圾。

3.力学舒幼生赵凯华没什么好说的4.热学李椿张玉民两本都还不错，李椿对新手更友好，张玉民更简洁系统。

5.电磁学校教材赵凯华没什么好说的推荐做griffiths，我当时沉迷数学对物理没兴趣就没做，电动基础不好有点后悔。

6.光学赵凯华，钟锡华钟锡华没什么好说的。

7.原子学校教材崔洪滨老师那本说实话，学校教材原子物理教材渣的令人发指，我不知道为什么他们能昧着良心写这本书还拿来用。

()1)2(),1()2.........(21lim )01()1.......(21)1(11lim )01(1)(,11111.1lim )(1,21)(,1,)(1,)(100)0(0,1lim )(120202122122212212=+++++=+=-++====+∴=∴=+++=>++==-=+=<<==+++=-→+→+-∞→+-∞→b a ba b a bx ax f ba f x f x x f x xx b x a x x f x ba x f x x f x bx ax x f x f xb a x bxax x x f x x n n n n n n n ，解方程组可得联立处连续，在时，时无定义时，时，时，解：是连续的，求：设例谢宇 1109302-07 例2：设f(x)对(－∞，＋∞)内一切x 有f(x ²)=f(x)且f(x)在x=0和x=1连续,证明：f(x)在(－∞，＋∞)内为常数。

证：∀x>0,f(x)=f((x )²)=f(x )=f(4x )=f(8x )=…...=f(nx 2)∴f(x)=)(lim2n x f n ∞→=f(1)f x f x =<∀)(,0(x ²)=f(-(x ²))=f(-x)=f(1)∵f(x)在x=0连续，∴f(0)=f(0+0)=)1()(00limf x f x =+→∴综上，)1()(,f x f R x =∈∀ 李敏1109302-18例1：设)1sin(12)(x x x f x ++=证明：对∀a >0(1))(x f 在[a ，+∞]一致收敛。

(2) 在（0，a ）上非一致收敛。

证明：（1） 显然)(x f 在[a ，+∞]连续；')(x f =)1cos()1(2)1sin()1(12x x x x x x ++++- 由于函数)1(1+-x 和)1(22++x x x 在区间[a ，+∞]上单调递减且1)1sin(≤x ，1)1cos(≤x ；)1(2)1(12')(++++-≤a a a a f x =)1(232++a a a =)1(232++a a a所以')(x f 在[a ，+∞]上有界，即)(x f 在[a ，+∞]满足Lipschitz 条件；所以)(x f 在[a ，+∞]上一致收敛。

北京大学各院系课程设置一览北京大学各院系课程设置一览前言很多同学希望了解在北京大学各院系的某个年级要学习哪些课程，但又不容易查到课程表。

本日志充当搬运工作用，将各院系开设课程列于下方，以备查询。

查询前必读注释：※在课程名称后标注含义如下：标注（必）表示此课程为专业必修课，是获得学士学位必须通过的课程；标注（限）表示此课程为专业任选课（原称专业限选课），各院系规定需在所有专业任选课中选修足够的学分（通常为30~40）以获取学士学位；标注（通）表示此课程为通选课，非本院系本科生可选修此类课程，并计入通选课所需总学分；通选课无年级限制；标注（公）表示此课程为全校任选课（原称公共任选课），此类课程不与学位挂钩，公选课无年级限制。

标注（体）表示此课程为体育课，每名学生必须且仅能选修学分体育课；男生必须选修“太极拳”，女生必须选修“健美操”。

※实际上，多数专业必修课及专业选修课也没有年级限制。

对应的年级是“培养方案”推荐的修该门课程的适当年级。

※不开设任何专业必修课的院系为研究生院或其他不招收本科生的部门，如马克思主义学院、武装部等。

※由于在某些院系下有不同专业方向，标注为必修课的课程可能并不对于所有学生均为必修（如外国语学院的各个语种分支）。

相关信息请咨询相应院系教务。

※多数课程可以跨院系选修，但可能需缴纳额外学费。

※院系编号为学号中表示院系字段的数字，因院系调整原因，编号并不连续。

“系”可能为院级单位，具体以相应主页标示为准。

※课程名称后标注数字表示学分。

一般情况下，对于非实验课及非习题课，每学分表示平均每周有一节50分钟时长课程，16-18周。

※院系设置的课程不一定由本院系开设。

※医学部课程仅包含在本部的课程内容。

※本一览表不包括政治课、军事理论课、英语课、文科计算机基础、辅修及双学位课程。

※本一览表不提供上课地点及主讲教师信息，请与相应院系教务联系。

001 数学科学学院一年级秋季学期数学分析（I）（必）数学分析（I）习题（必）高等代数（I）（必）高等代数（I）习题（必）几何学（必）几何学习题（必）一年级春季学期数学分析（II）（必）数学分析（II）习题（必）北京大学各院系课程设置一览高等代数（II）（必）高等代数（II）习题（必）计算概论（必）分析讨论班（限）代数讨论班（限）几何讨论班（限）普通物理（I）（限）二年级秋季学期数学分析（III）（必）数学分析（III）习题（必）抽象代数（必）数据结构（必）分析讨论班II （限）代数讨论班II （限）几何讨论班II （限）基础物理（下）（限）二年级春季学期数学模型（必）概率论（必）复变函数（必）常微分方程（必）应用数学导论（限）大学生代数教程（限）研究型学习（限）三年级秋季学期拓扑学（限）数值代数（限）数理逻辑（限）微分几何（限）偏微分方程（限）实变函数（限）动力系统的计算及其在分子模拟中的应用（限）金融数学引论（限）应用随机过程（限）程序设计技术与方法（限）数理统计（限）实变函数与泛函分析（限）三年级春季学期信息科学基础（限）数值分析（限）最优化方法（限）期权期货与其他衍生证券（限）证券投资学（限）泛函分析（限）北京大学各院系课程设置一览测度论（限）抽样调查（限）应用多元统计分析（限）集合论与图论（限）计算机图像处理（限）寿险精算（限）四年级秋季学期毕业论文（证券）讨论班（必）毕业论文（精算）讨论班（必）毕业论文（衍生工具）讨论班（必）黎曼几何引论（限）同调论（限）模式识别（限）算法设计与分析（限）经典力学的数学方法（限）泛函分析（二）（限）交换代数（限）几何分析（限）随机分析（限）生存分析与可靠性（限）最优化理论与算法（限）数值代数II （限）并行计算II （限）有限元方法II （限）遍历论（限）低维流形（限）高等概率论（限）高等统计学（限）抽象代数II （限）应用偏微分方程（限）数据中的数学（限）辛几何（限）软件形式化方法（限）随机模拟方法（限）符号计算（限）临床试验设计与分析（限）临床试验SAS高级编程（限）计算机图形学（限）代数拓扑初步（限）数字信号处理（限）时间序列分析（限）李群及其表示（限）密码学（限）空间剖分及其在计算几何学中的应用（限）应用回归分析（限）理论计算机科学基础（限）非参数统计（限）风险理论（限）偏微分方程数值解（限）四年级春季学期毕业论文（1）（必）毕业论文（2）（必）毕业论文（证券）讨论班（必）毕业论文（资产定价）讨论班（必）微分拓扑（限）代数数论（限）动力系统（限）计算流体力学（限）复分析（限）人工智能（限）程序设计语言原理（限）近代偏微分方程（限）现代信息处理选讲（限）高等统计选讲I （限）数学物理中的反问题（限）同调代数（限）随机过程论（限）线性代数群（限）应用偏微分方程（限）低维流形II （限）偏微分方程选讲（限）差分方程（限）软件理论与方法选讲（限）近代数学物理方法（限）初等数论（限）微分流形（限）常微分方程定性理论（限）流体力学引论（限）模型式（限）解析数论（限）几何研讨班（限）生物数学物理（限）代数几何初步（限）实分析（限）组合数学（限）其他秋季学期数值方法：原理，算法及应用（通）数学的思维方式与创新（通）其他春季学期普通统计学（通）数学的思维方式与创新（通）004 物理学院一年级秋季学期高等数学（B）（一）（必）高等数学（B）（一）习题课（必）线性代数（B）（必）线性代数（B）习题（必）力学（必）力学习题（必）计算概论（B）（必）计算概论（B）上机（必）现代物理前沿讲座I （限）一年级春季学期高等数学（B）（二）（必）高等数学（B）（二）习题课（必）热学（必）热学习题课（必）电磁学（必）电磁学习题课（必）数学物理方法（上）（必）数学物理方法习题（必）数据结构与算法（B）（必）数据结构与算法上机（必）大气科学导论（限）基础天文（限）二年级秋季学期现代电子电路基础及实验（一）（必）大气科学导论（必）光学（必）光学习题课（必）近代物理（必）普通物理实验（A）（一）（必）数学物理方法（上）（必）数学物理方法（下）（必）数学物理方法习题（必）理论力学（必）平衡态统计物理（必）二年级春季学期现代电子电路基础及实验（二）原子物理（必）普通物理实验（A）（二）（必）数学物理方法（下）（必）数学物理方法（必）数学物理方法习题（必）热力学与统计物理（B）（必）平衡态统计物理（必）电动力学（A）（必）电动力学习题（必）量子力学（A）（必）量子力学（B）（必）量子力学习题（必）理论力学（必）天体物理（必）数学物理方法专题（限）光学前沿（限）三年级秋季学期原子物理（必）原子物理习题（必）电动力学（A）（必）电动力学（B）（必）电动力学习题（必）量子力学（A）（必）量子力学习题（必）固体物理导论（必）天体物理专题（必）天文文献阅读（必）宇宙探测新技术引论（必）天文技术与方法I（光学与红外）（必）大气物理学基础（必）流体力学（必）大气探测原理（必）概率统计（B）（限）综合物理实验（一）（限）现代电子测量与实验（限）生物物理导论（限）弦理论基础导论（限）凝聚态物理理论讨论班（限）工程图学及其应用（限）核科学前沿讲座（限）卫星气象学（限）天气分析与预报（限）全球环境与气候变迁（限）三年级春季学期固体物理学（必）固体物理习题（必）近代物理实验（I）（必）恒星大气与天体光谱（必）天文技术与方法II（高能与射电）（必）天气学（必）大气动力学基础（必）计算方法（B）（限）量子场论专题讨论班（限）几何光学及光学仪器（限）凝聚态物理理论讨论班（限）现代物理前沿讲座（II）（限）核物理与粒子物理导论（限）加速器物理基础（限）微机原理及上机（限）材料物理（限）天文测距导论（限）天体物理前沿（限）大气物理实验（限）云物理学导论（限）遥感大气探测（限）近海海洋学（限）大气化学导论（限）四年级秋季学期近代物理实验（II）（必）群论（限）高等量子力学（限）量子统计物理（限）量子场论（限）表面物理（限）粒子物理（限）等离子体物理（限）激光实验（限）量子光学（限）现代光学与光电子学（限）原子、分子光谱（限）计算物理学（限）核物理与粒子物理专题实验（限）科研实用软件（限）激光物理学（限）气候模拟（限）半导体物理学（限）超导物理学（限）材料物理（限）纳米科技进展（限）北京大学各院系课程设置一览四年级春季学期近代物理实验（II）（必）强场光物理（限）多体系统的量子理论（限）量子材料前沿讲座（限）固体理论（限）非线性物理专题（限）光学理论（限）非线性光学（限）光电功能材料（限）量子规范场论（限）李群和李代数（限）激光实验（限）广义相对论（限）介观光学导论（限）辐射物理（限）其他秋季学期工程图学及其应用（公）大气概论（通）公共物理学（公）纳米科学前沿（通）其他春季学期Java编程（公）演示物理学（通）人类生存发展与核科学（通）现代天文学（通）工程图学及其应用（公）自然科学中的混沌和分形（通）气候变化：全球变暖的科学基础（公）理论物理导论（通）物理宇宙学基础（通）今日物理（通）008 计算机科学技术系一年级秋季学期文科计算机基础（上）（必）一年级春季学期文科计算机基础（下）（必）二年级秋季学期——二年级春季学期——三年级秋季学期——三年级春季学期北京大学各院系课程设置一览——四年级秋季学期——四年级春季学期——其他秋季学期——其他春季学期——010 化学与分子工程学院一年级秋季学期高等数学（B）（一）（必）高等数学（B）（一）习题课（必）化学实验室安全技术（必）今日化学（必）普通化学（必）普通化学习题课（必）普通化学实验（必）计算概论（B）（必）计算概论（B）上机（必）一年级春季学期高等数学（B）（二）（必）高等数学（B）（二）习题课（必）力学（必）定量分析（必）定量分析实验（必）有机化学（一）（必）有机化学实验（I）（必）数据结构与算法（B）（必）数据结构与算法上机（必）热学（限）热学习题课（限）中级分析化学实验（限）二年级秋季学期电磁学（必）普通物理实验（必）有机化学（二）（必）有机化学实验（I+II）（必）生命化学基础（必）线性代数（B）（限）线性代数（B）习题（限）光学（限）光学习题课（限）中级有机化学（限）北京大学各院系课程设置一览中级有机化学实验（限）化学信息检索（限）二年级春季学期无机化学实验（必）仪器分析（必）仪器分析实验（必）结构化学（必）高分子化学（必）遗传学实验（必）应用化学基础（限）三年级秋季学期物理化学（必）物理化学习题（必）物理化学实验（必）化工基础（必）细胞生物学实验（必）色谱分析（限）中级分析化学（限）环境化学（限）放射化学（限）波谱分析（限）三年级春季学期化工实验（必）化工制图（必）化学开发基础（必）发育生物学实验（必）基础分子生物学实验（必）材料化学（必）高分子物理（限）中级物理化学（限）中级物理化学实验（限）生化分析（限）界面化学（限）理论与计算化学（限）生物物理化学（限）高等电化学（限）四年级秋季学期化学动力学选读（限）材料物理（限）高分子物理（限）催化化学（限）立体化学（限）辐射化学与工艺（限）胶体化学（限）北京大学各院系课程设置一览多晶X射线衍射（限）综合化学实验（二）（限）计算机在化学化工中的应用（限）表面物理化学（限）生物化学实验（限）四年级春季学期——其他秋季学期今日新材料（通）功能化学（通）魅力化学（通）化学与社会（通）大学化学（通）其他春季学期大学化学（通）011 生命科学学院一年级秋季学期高等数学（B）（一）（必）高等数学（B）（一）习题课（必）基础化学（必）基础化学实验（普化）（必）动物生物学（必）动物生物学实验（必）生物摄影及实践（限）生物学思想与概念（限）一年级春季学期高等数学（B）（二）（必）高等数学（B）（二）习题课（必）物理学（B）（1）（必）力学习题（必）基础化学实验（分析）（必）微生物学（必）微生物学实验（必）植物生物学（必）植物生物学实验（必）生物摄影及实践（限）事业与人生（限）二年级秋季学期物理学（B）（2）（必）量子力学习题（必）有机化学（B）（必）有机化学实验（B）（必）生物化学（必）生物化学实验（必）北京大学各院系课程设置一览计算概论（B）（必）科学研究基本技能（限）二年级春季学期普通物理实验（B）（一）（必）物理化学（B）（必）物理化学实验（B）（必）遗传学（必）遗传学实验（必）生理学（必）生理学实验（必）算法与数据结构及上机（必）脊椎动物比较解剖学实验（限）免疫学（限）科学研究基本技能（限）三年级秋季学期基础分子生物学（必）细胞生物学（必）细胞生物学实验（必）蛋白质化学（限）生物统计学（限）普通生态学（限）神经生物学（限）生物信息学方法（限）文献强化阅读与学术报告（2）（限）植物特有生命现象导论（2）（限）植物特有生命现象导论实验（限）分子和细胞神经生物学（限）感染与人类疾病专题讨论（限）计算神经科学（1）（限）三年级春季学期发育生物学（必）发育生物学实验（必）基础分子生物学实验（必）免疫学（限）系统生物学选讲（限）药理学基础（限）文献强化阅读与学术报告（1）（限）生物数学建模（限）细胞骨架、细胞运动及人类疾病（限）计算神经科学（2）（限）系统与计算神经科学（限）分子医学高级教程（限）四年级秋季学期生物技术制药基础（限）北京大学各院系课程设置一览现代生物技术导论（限）生物学综合实验（限）分子生物学专题（限）生物医药工程及管理（限）真核细胞DNA复制和Checkpoint控制（限）四年级春季学期——其他秋季学期普通生物学（B）（通）普通生物学实验（B）（通）生物进化论（通）人类的性、生育与健康（通）保护生物学（通）科学是什么（通）科学是什么：讨论课（通）其他春季学期人类的性、生育与健康（通）普通生物学（A）（通）普通生物学实验（A）（通）012 地球与空间科学学院一年级秋季学期高等数学（B）（一）（必）高等数学（B）（一）习题课（必）地球科学概论（一）（必）计算概论（B）（必）普通化学实验（必）力学（必）力学习题（必）一年级春季学期高等数学（B）（二）（必）高等数学（B）（二）习题课（必）数据结构与算法（B）（必）普通物理学（B）（一）（必）地球科学概论（二）（必）结晶学与矿物学（必）地球科学前沿（必）二年级秋季学期线性代数（B）（必）线性代数（B）习题（必）基础物理实验（必）普通物理实验（A）（一）普通物理学（B）（二）（必）古生物学（必）普通岩石学（上）（必）北京大学各院系课程设置一览光学（必）光学习题课（必）地图学（必）概率统计（B）（限）离散数学（限）程序设计语言（限）地貌与自然地理学基础（限）环境与生态科学（限）测量学概论（限）二年级春季学期普通岩石学（下）（必）构造地质学（必）地史学（必）固体力学基础（必）遥感概论（必）地理信息系统原理（必）普通物理实验（A）（二）（必）脊椎动物进化史（限）自然资源概论（限）数据库概论（限）导航与通讯导论（限）城市与区域科学（限）地球灾害（限）三年级秋季学期地球化学（必）遥感数字图像处理原理（必）大地构造学（限）地球物理学基础（限）古生态学与古环境分析（限）古生物学前沿（限）古植物学及孢粉学（限）沉积学概论（限）环境矿物学（限）地貌与第四纪地质（限）计算数学（限）计算机图形学基础（限）网络基础与WebGIS （限）色度学（限）智能交通系统概论（限）GIS实验（限）地球重力学（限）岩石力学（限）弹性力学B （限）三年级春季学期北京大学各院系课程设置一览GIS设计和应用（必）地震学（必）宇航技术基础（必）矿床学（限）X射线粉末衍射分析（限）中国区域地质学（限）海洋地质学（限）遥感地质学（限）宝石学（限）古海洋学与全球变化（限）灾害地质学（限）构造地质学前缘（限）地层学原理与应用（限）矿物材料学（限）地球化学科学前沿（限）高温高压物质科学（限）地质样品化学分析（限）地震地质学（限）同位素地球化学基础（限）软件工程原理（限）地学数学模型（限）物联网技术导论（限）地球物理数值计算方法（限）地球物理在工程中的应用（限）地震学实验（限）太阳大气层与日球层物理学（限）中高层大气物理学（限）四年级秋季学期石油地质学（限）物理沉积学（限）岩石学前缘理论与方法（限）构造地质学研究方法（限）水文地质与工程地质学（限）岩浆作用理论概述（限）微量元素地球化学（限）操作系统原理（限）数字地形模型（限）数字地球导论（限）地理科学进展（限）遥感应用（限）遥感图像处理实验（限）电离层物理学与电波传播（限）空间天气学基础与应用（限）四年级春季学期北京大学各院系课程设置一览——其他秋季学期地球历史概要（通）地震概论（通）自然资源与社会发展（通）其他春季学期太空探索（通）地震概论（通）地史中的生命（通）013 环境学院一年级秋季学期——一年级春季学期——二年级秋季学期——二年级春季学期——三年级秋季学期——三年级春季学期——四年级秋季学期——四年级春季学期——其他秋季学期世界文化地理（通）现当代建筑赏析（通）生态学导论（通）其他春季学期——016 心理学系一年级秋季学期心理统计（I）（必）普通心理学（必）一年级春季学期社会心理学（必）SPSS统计软件包（必）高级统计SPSS上机（必）二年级秋季学期实验心理学（必）实验心理学实验（必）认知神经科学（限）北京大学各院系课程设置一览二年级春季学期生理学（必）CNS解剖（必）发展心理学（必）心理学研究方法（必）数据结构与算法（B）（必）数据结构与算法上机（必）三年级秋季学期生理心理学（必）生理心理学实验（必）认知心理学（必）三年级春季学期变态心理学（必）生理心理实验（必）组织管理心理学（必）实验儿童心理学（限）人格心理学（限）教育心理学（限）职业心理学（限）婴儿心理学（限）感觉与知觉（限）四年级秋季学期心理学研究方法（必）四年级春季学期心理咨询与治疗引论（限）其他秋季学期异常儿童心理学（限）社会性与个性发展（限）社会心理学（通）社会认知心理学（通）社会冲突与管理（公）认知神经科学（限）爱的心理学（通）大学生心理素质拓展（公）心理学概论（通）计算概论（B）（必）计算概论（B）上机（必）其他春季学期社会心理学（通）社会冲突与管理（公）认知神经科学（公）组织管理心理学（通）大学生健康教育（公）生活中的心理学（公）北京大学各院系课程设置一览大学生心理素质拓展（公）心理学概论（通）朋辈心理辅导（公）018 新闻与传播学院一年级秋季学期信息检索与利用（必）汉语语言修养（必）新闻学概论（必）一年级春季学期传播学概论（必）英语新闻阅读（必）二年级秋季学期传播学概论（必）广播电视概论（必）广告学概论（必）编辑出版概论（必）社会调查研究方法（必）传媒法律法规（必）网络采编实务（限）传播学英语经典阅读（限）二年级春季学期传媒发展史（必）出版经营管理（必）世界广播电视事业（必）广告心理学（必）广告策划（必）广告视觉传达（必）市场营销原理（必）中国新闻传播史（必）基础采访写作（必）视频编辑（限）跨文化新闻传播案例分析（限）纪录片简史（限）名记者专题（限）三年级秋季学期电子出版技术（必）编辑使用语文写作（必）选题策划与书刊编辑实务（必）专题片及纪录片创作（必）播音与主持（必）广播电视节目制作（必）广播电视新闻分析（必）广告文案（必）品牌研究（必）北京大学各院系课程设置一览公共关系（必）电脑辅助设计（必）外国新闻传播史（必）高级采访写作（必）新闻与中国当代改革（必）网络传播（限）汉语修辞学（限）跨文化新闻传播案例分析（限）广播电视专题研究（限）英语新闻采写（限）三年级春季学期期刊编辑实务（必）出版案例研讨（必）视听语言（必）广播电视新闻（必）广告媒体研究（必）广告类型研究（必）市场调查（必）广告管理（必）媒体与社会（必）新闻摄影（必）新闻编辑（必）新闻评论（必）中国文化史（限）媒体与国际关系（限）媒介经济学（限）公关策划与危机管理（限）CI研究（限）四年级秋季学期毕业实习（必）四年级春季学期广播电视研究（必）广告综合研究（必）媒介经营管理（必）中国文化与社会（必）其他秋季学期中国古籍资源与整理（公）世界电影史（通）跨文化交流学（通）英语新闻阅读（通）新媒体与社会（公）其他春季学期中国图书出版史（通）汉语修辞学（通）北京大学各院系课程设置一览世界电影史（通）跨文化交流学（通）电视节目制作与策划（公）英语新闻阅读（通）影像与社会（通）021 历史学系一年级秋季学期中国古代史（上）（必）中国历史文选（上）（必）中国历史文化导论（必）世界史通论（必）外文原版教材阅读指导（必）一年级春季学期中国古代史（下）（必）中国历史文选（下）（必）外文历史文选阅读指导（必）二年级秋季学期中国近代史（必）中国史学史（必）古希腊罗马史（必）中世纪欧洲史（必）美洲史（必）非洲史（必）外文历史文献选读（必）古希腊语阅读（I）（公）二年级春季学期史学概论（必）中国现代史（必）古代东方文明（必）欧洲史（必）亚洲史（必）社会调查与史学研究（限）外文历史史料选读（上）（限）三年级秋季学期外国史学史（必）《四库全书总目》研读（限）中国古代政治文化（限）中国近代经济史（限）中国现代对外关系史（限）中国古代史专题（限）社会史研究导论（限）中国古代经济史专题（限）蒙古古代史（限）明清地方行政与基层社会（限）北京大学各院系课程设置一览中世纪欧洲社会与政治：文献和研究（限）纳粹德国史（限）影像中的非洲历史与文化（限）外文历史名著选读（下）（限）英文历史学文献翻译（限）欧洲一体化研究（限）三年级春季学期社会史田野方法（限）唐宋元中国与中世纪欧洲（限）中华民国史专题（限）敦煌学导论（限）中国古代官阶制度（限）中国古代民族史（限）中国经学史（一）（限）先秦史专题（限）魏晋南北朝史专题（限）隋唐史专题（限）近现代中韩关系史（限）简牍学概论（限）世界现代化进程（限）英国史专题（限）印度史专题（限）东北亚史（限）中外史学比较（限）现代国际政治史（限）20世纪欧洲史（限）美国对外关系史（限）日本史专题（限）古希腊语阅读（2）（公）拉丁文基础（2）（公）中国古代政治与文化（通）中世纪西欧社会史（通）现代希腊语（2）（公）基础意大利语（1）（公）基础意大利语（2）（公）中国通史（古代部分）（通）基础拉丁语（2）（公）中国古代妇女史专题（通）中国近代政治与外交（通）中国近代思想史（通）欧洲文艺复兴（通）欧洲启蒙运动（通）拉美国家现代化进程研究（通）伊斯兰教与现代世界（通）。

习题课综合法和解析法明目、知要点加深合法、解析法的理解，用两种方法明数学．1．合法合法是中学数学明中最常用的方法，它是从已知到未知，从到的推理方法，即从中的已知条件或已的真判断出，一系列的中推理，最后出所要求的命．合法是一种由因果的明方法．合法的明步用符号表示是：P0(已知)?P1?P2?⋯?P n()2．解析法解析法是指从需的出，解析出使个建立的充分条件，使化判断那些条件能否具，其特色可以描述“果索因”，即从未知看需知，逐渐靠已知．解析法的写形式一般“因⋯⋯，了明⋯⋯，只要明⋯⋯，即⋯⋯，所以，只要明⋯⋯，因⋯⋯建立，所以⋯⋯，建立”．解析法的明步用符号表示是：P0(已知)?⋯?P n－2?P n－1?P n( )解析法属方法范围，它的体在解析程步步可逆．型一适合的方法明不等式2例1 a，b，c任意三角形三，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，：3S≤I<4S.22222明I＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2caa2＋b2＋c2＋2S.欲3S≤I2<4S，即ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.先明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，只要2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，然建立；再明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，只要a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0，只要a<b＋c，且b<c＋a，且c<b＋a，因为a、b、c为三角形的三边长，2上述三式明显建立，故有3S≤I<4S.反思与感悟本题要证明的结论要先进行转变，可以使用解析法．关于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清楚．证明不等式所依赖的主若是不等式的基天性质和已知的重要不等式，此中常用的有以下几个：2(1)a≥0(a∈R)．222≥2ab，(a＋b222≥a＋b2(2)(a－b)≥0(a、b∈R)，其变形有a ＋b2)≥ab，a＋b2(3)若a，b∈(0，＋∞)，则a＋b≥ab，特别地b＋a≥2.2a b (4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．追踪训练1已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：1＋1≥4.a b证明方法一∵a，b是正数且a＋b＝1，∴a＋b≥2ab，∴ab≤1，∴1＋1＝a＋b＝1≥4.2ab abab方法二∵a，b是正数，∴a＋b≥2ab>0，1＋1≥21a b ab>0，(a＋b)(1＋1)≥4.ab又a＋b＝1，∴1＋1≥4.ab方法三11a＋ba＋b a ba＋＝a＋＝1＋＋＋1≥2＋2·＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．ab b ab ab题型二选择适合的方法证明等式例2已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：1＋a＋b1＝3b ＋ca＋b ＋c.证明要证原式，只要证a＋b＋c＋a＋b＋c＝3，a ＋bb＋cc ＋a2＋a2＋ab＝1，即证＝1，即只要证bc＋c2a＋b b＋cab＋b＋ac＋bc而由题意知A＋C＝2B，π222∴B＝3，∴b＝a＋c－ac，bc＋c2＋a2＋ab bc＋c2＋a2＋ab∴ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋a2＋c2－ac＋ac ＋bc2＋abb c ＋c＋a＝ab ＋a 2＋c 2＋bc ＝1，∴原等式建立，即1 ＋1＝ 3a＋bb ＋ca ＋b＋c .反思与感悟 综合法推理清楚，易于书写，解析法从结论下手易于找寻解题思路． 在实质证明命题时，常把解析法与综合法联合起来使用，称为解析综合法，其结构特色是：依据条件的结构特色去转变结论，获得中间结论Q ；依据结论的结构特色去转变条件，获得中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．追踪训练2设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c的等差中项，c试证：x ＋y＝2.证明由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c.②ac要证＋＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy.由①②得2ay ＋2cx ＝a(b ＋c)＋c(a ＋b)＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b)(b ＋c)＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy.命题得证． 题型三 立体几何中地点关系的证明例3 如图，在四棱锥 P －ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°， PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：CD⊥AE；证明：PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，又AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.反思与感悟综合法证明线面之间的垂直关系是高考观察的要点，利用垂直的判判定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转变．别的，利用一些常有的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转变．比方：两条平行线中一条垂直于平面α，则别的一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．追踪训练3如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.求证：AF∥平面BDE；求证：CF⊥平面BDE.证明(1)如图，设 AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，1AG＝2AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.因为EG?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)连接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.[呈要点、现规律 ]1．综合法的特色是：从已知看可知，逐渐推出未知．2．解析法的特色是：从未知看需知，逐渐聚拢已知．3．解析法和综合法各有优弊端．解析法思虑起来比较自然，简单找寻到解题的思路和方法，弊端是思路逆行，表达较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思虑．实际证题时常常两法兼用，先用解析法探究证明门路，而后再用综合法表达出来．学不是一时半刻的事情，需要平累，需要平的好学苦。