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2019年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{﹣1，2，3}D．{1，2，3，4}2．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y的最大值为（）A．2B．3C．5D．63．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．5B．8C．24D．295．（5分）已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 6．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．7．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f（x）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（）＝，则f（）＝（）A．﹣2B．﹣C．D．28．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）A．[，]B．（，]C．（，]∪{1}D．[，]∪{1}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）i是虚数单位，则||的值为．10．（5分）设x∈R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为．11．（5分）曲线y＝cosx﹣在点（0，1）处的切线方程为．12．（5分）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．13．（5分）设x＞0，y＞0，x+2y＝4，则的最小值为．14．（5分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A ＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则•＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．A B C D E F子女教育〇〇×〇×〇继续教育××〇×〇〇大病医疗×××〇××〇〇××〇〇住房贷款利息住房租金××〇×××赡养老人〇〇×××〇（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3csinB＝4asinC．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD ＝2，AD＝3．（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（Ⅱ）求证：PA⊥平面PCD；（Ⅲ）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．18．（13分）设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大于0．已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2+3．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n＝求a1c1+a2c2+…+a2n c2n （n∈N*）．19．（14分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知|OA|＝2|OB|（O为原点）．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC ∥AP．求椭圆的方程．20．（14分）设函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）e x，其中a∈R．（Ⅰ）若a≤0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜，（i）证明f（x）恰有两个零点；（ii）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞x0，证明3x0﹣x1＞2．2019年天津市高考数学试卷（文科）答案与解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】根据集合的基本运算即可求A∩C，再求（A∩C）∪B；【解答】解：设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则A∩C＝{1，2}，∵B＝{2，3，4}，∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；故选：D．2．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（﹣1，1），化目标函数z＝﹣4x+y为y＝4x+z，由图可知，当直线y＝4x+z过A时，z有最大值为5．故选：C．3．【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，0＜x＜2⇒0＜x＜5，∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件，即0＜x＜5是|x﹣1|＜1的必要不充分条件故选：B．4．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：i＝1，s＝0；第一次执行第一个判断语句后，S＝1，i＝2，不满足条件；第二次执行第一个判断语句后，j＝1，S＝5，i＝3，不满足条件；第三次执行第一个判断语句后，S＝8，i＝4，满足退出循环的条件；故输出S值为8，故选：B．5．【分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．【解答】解：由题意，可知：a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2，c＝0.30.2＜1，∴c＜b＜a．故选：A．6．【分析】推导出F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，|AB|＝，|OF|＝1，从而b＝2a，进而c＝＝，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．∴F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，∵l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），∴|AB|＝，|OF|＝1，∴，∴b＝2a，∴c＝＝，∴双曲线的离心率为e＝．故选：D．7．【分析】根据条件求出φ和ω的值，结合函数变换关系求出g（x）的解析式，结合条件求出A的值，利用代入法进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，∵f（x）的最小正周期为π，∴＝π，得ω＝2，则f（x）＝Asin2x，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．则g（x）＝Asinx，若g（）＝，则g（）＝Asin＝A＝，即A＝2，则f（x）＝Asin2x，则f（）＝2sin（2×＝2sin＝2×＝，故选：C．8．【分析】分别作出y＝f（x）和y＝﹣x的图象，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，直线与y＝在x＞1相切，求得a的值，结合图象可得所求范围．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，以及直线y＝﹣x的图象，关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，即为y＝f（x）和y＝﹣x+a的图象有两个交点，平移直线y＝﹣x，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得a＝或a＝，考虑直线与y＝在x＞1相切，可得ax﹣x2＝1，由△＝a2﹣1＝0，解得a＝1（﹣1舍去），综上可得a的范围是[，]∪{1}．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．【解答】解：由题意，可知：＝＝＝2﹣3i，∴||＝|2﹣3i|＝＝．故答案为：．10．【分析】解一元二次不等式即可．【解答】解：3x2+x﹣2＜0，将3x2+x﹣2分解因式即有：（x+1）（3x﹣2）＜0；（x+1）（x﹣）＜0；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：﹣1＜x＜；即：{x|﹣1＜x＜}；或（﹣1，）；故答案为：（﹣1，）；11．【分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将x＝0代入导数方程得出在点（0，1）处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．【解答】解：由题意，可知：y′＝﹣sinx﹣，∵y′|x＝﹣sin0﹣＝﹣．＝0曲线y＝cosx﹣在点（0，1）处的切线方程：y﹣1＝﹣x，整理，得：x+2y﹣2＝0．故答案为：x+2y﹣2＝0．12．【分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得：正四棱锥的高为2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于；由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，则该圆柱的体积为：v＝sh＝π（）2×1＝；故答案为：13．【分析】利用基本不等式求最值．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y＝4，则＝＝＝2+；x＞0，y＞0，x+2y＝4，由基本不等式有：4＝x+2y≥2，∴0＜xy≤2，≥，故：2+≥2+＝；（当且仅当x＝2y＝2时，即：x＝2，y＝1时，等号成立），故的最小值为；故答案为：．14．【分析】利用和作为基底表示向量和，然后计算数量积即可．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝＝＝＝﹣12+×5×2×﹣＝﹣1故答案为：﹣1．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果；（Ⅱ）（i）用列举法求出基本事件数；（ii）用列举法求出事件M所含基本事件数以及对应的概率；【解答】解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6：9：10，由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种；（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种，所以，事件M发生的概率P（M）＝．16．【分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC中，由正弦定理＝，得bsinC＝csinB，又由3csinB＝4asinC，得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a．又因为b+c＝2a，得b＝，c＝，由余弦定理可得cosB＝＝＝﹣．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinB＝＝，从而sin2B＝2sinBcosB＝﹣，cos2B＝cos2B﹣sin2B＝﹣，故sin（2B+）＝sin2Bcos+cos2Bsin＝﹣×﹣×＝﹣．17．【分析】（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，由BG＝PG，得GH∥PD，由此能证明GH∥平面PAD．（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，推导出DN⊥PC，从而DN⊥平面PAC，进而DN⊥PA，再上PA⊥CD，能证明PA⊥平面PCD．（Ⅲ）连结AN，由DN⊥平面PAC，知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，由此能求出直线AD与平面PAC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，又由BG＝PG，得GH∥PD，∵GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴GH∥平面PAD．（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，依题意得DN⊥PC，又∵平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，∴DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，∴DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN＝D，∴PA⊥平面PCD．解：（Ⅲ）连结AN，由（Ⅱ）中DN⊥平面PAC，知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，∵△PCD是等边三角形，CD＝2，且N为PC中点，∴DN＝，又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝＝．∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为．18．【分析】（Ⅰ）由等差等比数列通项公式和前n项和的求解{a n}和{b n}的通项公式即可．（Ⅱ）利用分组求和和错位相减法得答案．【解答】解：（Ⅰ）{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大于0．设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，q＞0．由题意可得：3q＝3+2d①；3q2＝15+4d②解得：d＝3，q＝3，故a n＝3+3（n﹣1）＝3n，b＝3×3n﹣1＝3n（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，a1c1+a2c2+…+a2n c2n（n∈N*）＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2b1+a4b2+a6b3+…+a2n b n）＝[3n+×6]+（6×3+12×32+18×33+…+6n×3n）＝3n2+6（1×3+2×32+…+n×3n）令T n＝（1×3+2×32+…+n×3n）①，则3T n＝1×32+2×33+…+n3n+1②，②﹣①得：2T n＝﹣3﹣32﹣33…﹣3n+n3n+1＝﹣3×+n3n+1＝；故a1c1+a2c2+…+a2n c2n＝3n2+6T n＝3n2+3×2T n＝（n∈N*）19．【分析】（Ⅰ）由题意可得a＝2b，再由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）求得a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为+＝1，设直线FP的方程为y＝（x+c），联立椭圆方程求得P的坐标，以及直线AP的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得c＝2，即可得到所求椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）|OA|＝2|OB|，即为a＝2b，可得e＝＝＝＝；（Ⅱ）b＝a，c＝a，即a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为+＝1，设直线FP的方程为y＝（x+c），代入椭圆方程可得7x2+6cx﹣13c2＝0，解得x＝c或x＝﹣，代入直线PF方程可得y＝或y＝﹣（舍去），可得P（c，），圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP，可设C（4，t），可得＝，解得t＝2，即有C（4，2），可得圆的半径为2，由直线FP和圆C相切的条件为d＝r，可得＝2，解得c＝2，可得a＝4，b＝2，可得椭圆方程为+＝1．20．【分析】（I）f′（x）＝﹣[ae x+a（x﹣1）e x]＝，x∈（0，+∞）．a≤0时，f′（x）＞0，即可得出函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调性．（II）（i）由（I）可知：f′（x）＝，x∈（0，+∞）．令g （x）＝1﹣ax2e x，∵0＜a＜，可知：可得g（x）存在唯一解x0∈（1，ln）．可得x0是函数f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx ﹣x+1，可得x＞1时，lnx＜x﹣1．f（ln）＜0．f（x0）＞f（1）＝0．可得函数f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点．又函数f（x）在（0，x0）上有唯一零点1．即可证明结论．（ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即a＝1，lnx1＝a（x1﹣1），可得＝，由x＞1，可得lnx＜x﹣1．又x 1＞x0＞1，可得＜＝，取对数即可证明．【解答】（I）解：f′（x）＝﹣[ae x+a（x﹣1）e x]＝，x∈（0，+∞）．a≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．（II）证明：（i）由（I）可知：f′（x）＝，x∈（0，+∞）．令g（x）＝1﹣ax2e x，∵0＜a＜，可知：g（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝1﹣ae＞0．且g（ln）＝1﹣a＝1﹣＜0，∴g（x）存在唯一解x0∈（1，ln）．即函数f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）单调递减．∴x0是函数f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）＝，可得h（x）≤h（1）＝0，∴x＞1时，lnx＜x﹣1．f（ln）＝ln（ln）﹣a（ln﹣1）＝ln（ln）﹣（ln﹣1）＜0．∵f（x0）＞f（1）＝0．∴函数f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点．又函数f（x）在（0，x0）上有唯一零点1．因此函数f（x）恰有两个零点；（ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即a＝1，lnx1＝a（x1﹣1），∴lnx1＝，即＝，∵x＞1，可得lnx＜x﹣1．又x1＞x0＞1，故＜＝，取对数可得：x1﹣x0＜2lnx0＜2（x0﹣1），化为：3x0﹣x1＞2．。
【精品解析】2019年天津市高考数学试卷（文科）（解析版）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈<… ，则()A C B =A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4} 【答案】D 【解析】 【分析】先求A B ⋂，再求()AC B 。
【详解】因为{1,2}A C =，所以(){1,2,3,4}AC B =.故选D 。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，用截距模型求最值。
2019年全国普通高等学校招生统一考试数学（文）（天津卷）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、单选题1．设集合，，，则A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的解析式整理计算即可求得最终结果.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3．设，则“”是“” 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：，，结果为整数，执行，，此时不满足；，结果不为整数，执行，此时不满足；，结果为整数，执行，，此时满足；跳出循环，输出.本题选择B选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．5．已知，则的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；本题选择A选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.8．在如图的平面图形中，已知,则的值为A. B.C. D. 0【答案】C【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．二、填空题9．i 是虚数单位，复数___________.【答案】4–i【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则得：.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．已知函数f (x )=e x ln x ，为f (x )的导函数，则的值为__________．【答案】e【解析】分析：首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由函数的解析式可得：， 则：.即的值为e.点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1–BB 1D 1D 的体积为__________．【答案】13【解析】分析：由题意分别求得底面积和高，然后求解其体积即可.详解：如图所示，连结11AC ，交11B D 于点O ，很明显11AC ⊥平面11BDD B ，则1AO 是四棱锥的高，且111122AO AC ===1111BDD B S BD DD =⨯==四边形结合四棱锥体积公式可得其体积为： 1113323V Sh ===.点睛：本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 【答案】【解析】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可. 详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：，解得：， 则圆的方程为. 点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．13．已知a ，b ∈R ，且a –3b +6=0，则2a +的最小值为__________． 【答案】【解析】分析：由题意首先求得a -3b 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14．已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．【答案】［，2］【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.详解：分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则；②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，，则；综合①②可得的取值范围是.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．三、解答题15．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；(Ⅱ)（i）答案见解析；（ii）．【解析】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c．已知b sin A=a cos(B–)．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．【答案】(Ⅰ)B=；(Ⅱ)b=，【解析】分析：（Ⅰ）由正弦定理有，结合，可得．则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．则．．结合两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．17．如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)(Ⅲ)【解析】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．计算可得1226MNcos DMNDM∠==．则异面直线BC与MD．（Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．计算可得CMsin CDMCD∠==．即直线CD与平面ABD详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN在等腰三角形DMN中，MN=1，可得12cos26MNDMNDM∠==．所以，异面直线BC与MD（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt △CAD 中，CD ．在Rt △CMD 中， sin CM CDM CD ∠==所以，直线CD 与平面ABD 点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．18．设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N ）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N ）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． （Ⅰ）求S n 和T n ；（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.【解析】分析：（I ）由题意得到关于q 的方程，解方程可得，则.结合题意可得等差数列的首项和公差为，则其前n 项和. （II ）由（I ），知 据此可得解得（舍），或.则n 的值为4.详解：（I ）设等比数列的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2，可得．因为，可得，故．所以，．设等差数列的公差为．由，可得．由，可得从而，故，所以，．（II ）由（I ），有由可得，整理得解得（舍），或．所以n 的值为4．点睛：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.19．设椭圆的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.（I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】分析：（I）由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为.（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意可得.易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，或.经检验的值为.详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,从而．所以，椭圆的方程为．（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，从而，即．易知直线的方程为，由方程组消去y，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．所以，的值为．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20．设函数()()()123=()f x x t x t x t ---，其中123,,t t t R ∈,且123,,t t t 是公差为d 的等差数列.（I ）若20,1,t d == 求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （II ）若3d =，求()f x 的极值；（III ）若曲线()y f x = 与直线 ()2y x t =---d 的取值范围.【答案】(Ⅰ)x +y =0；(Ⅱ)极大值为6；极小值为−6；(Ⅲ)(),.-∞⋃+∞【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得f (x )=x 3−x ， ()f x '=3x 2−1，结合f (0)=0， ()0f '=−1，可得切线方程为x +y =0.（Ⅱ）由已知可得：f (x )=x 3−3t 2x 2+(3t 22−9)x − t 23+9t 2.则()f x '= 3x 2−6t 2x +3t 22−9.令()f x '=0，解得x = t 2x = t 2据此可得函数f (x )的极大值为f (t 2函数极小值为f (t 2（III ）原问题等价于关于x 的方程(x −t 2+d ) (x −t 2) (x −t 2−d )+ (x −t 2有三个互异的实数解，令u = x −t 2，可得u 3+(1−d 2)u 设函数g (x )= x 3+(1−d 2)x y =g (x )有三个零点.利用导函数研究g (x )的性质可得d 的取值范围是(),.-∞⋃+∞详解：（Ⅰ）由已知，可得f (x )=x (x −1)(x +1)=x 3−x ，故()f x '=3x 2−1，因此f (0)=0，()0f '=−1，又因为曲线y =f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y −f (0)= ()0f ' (x −0)，故所求切线方程为x +y =0． （Ⅱ）由已知可得f (x )=(x −t 2+3)(x −t 2)(x −t 2−3)=(x −t 2)3−9(x −t 2)=x 3−3t 2x 2+(3t 22−9)x −t 23+9t 2．故()f x '=3x 2−6t 2x +3t 22−9．令()f x '=0，解得x =t 2x =t 2 当x 变化时， ()f x '，f (x )的变化如下表：所以函数f (x )的极大值为f (t 2−)=(−)3−9×(−)=6f (x )的极小值为f (t 23−9×（Ⅲ）曲线y =f (x )与直线y =−(x −t 2)−6x 的方程(x −t 2+d )(x −t 2)(x −t 2−d )+(x −t 2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u =x −t 2，可得u 3+(1−d 2)u ．设函数g (x )=x 3+(1−d 2)x 则曲线y =f (x )与直线y =−(x −t 2等价于函数y =g (x )有三个零点．()'g x =3x 3+(1−d 2)．当d 2≤1时， ()'g x ≥0，这时()g x 在R 上单调递增，不合题意．当d 2>1时， ()'g x =0，解得x 1=，x 2．易得，g (x )在(−∞，x 1)上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减，在(x 2，+∞)上单调递增．g (x )的极大值g (x 1)=g ()=)32219d -+．g (x )的极小值g (x 2)=g )=−)32219d -+若g (x 2)≥0，由g (x )的单调性可知函数y =g (x )至多有两个零点，不合题意．若()20,g x <即()322127d->，也就是d >，此时2d x >，()0,g d d =+>且()312||,26|20d x g d d d --=--+-，从而由()g x 的单调性，可知函数()y g x =在区间()()()11222,,,,,d x x x x d -内各有一个零点，符合题意．所以， d 的取值范围是(),-∞⋃+∞．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
2019年天津市高考数学试卷（文科）（解析版）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共8小题）1.设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2} B．{2，3} C．{﹣1，2，3} D．{1，2，3，4}2.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．63.设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．5 B．8 C．24 D．295.已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b6.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．7.已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f（x）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g （）＝，则f（）＝（）A．﹣2 B．﹣C．D．28.已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）A．[，] B．（，] C．（，]∪{1} D．[，]∪{1}二、填空题（共6小题）9.i是虚数单位，则||的值为．10.设x∈R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为﹣．11.曲线y＝cos x﹣在点（0，1）处的切线方程为﹣．12.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．13.设x＞0，y＞0，x+2y＝4，则的最小值为．14.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则•＝﹣．三、解答题（共6小题）15.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．A B C D E F子女教育〇〇×〇×〇继续教育××〇×〇〇大病医疗×××〇××住房贷款利息〇〇××〇〇住房租金××〇×××赡养老人〇〇×××〇（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3c sin B＝4a sin C．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面P AC⊥平面PCD，P A⊥CD，CD＝2，AD＝3．（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面P AD；（Ⅱ）求证：P A⊥平面PCD；（Ⅲ）求直线AD与平面P AC所成角的正弦值．18.设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大于0．已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2+3．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n＝求a1c1+a2c2+…+a2n c2n（n∈N*）．19.设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知|OA|＝2|OB|（O为原点）．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP．求椭圆的方程．20.设函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）e x，其中a∈R．（Ⅰ）若a≤0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜，（i）证明f（x）恰有两个零点；（i）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞x0，证明3x0﹣x1＞2．2019年天津市高考数学试卷（文科）（解析版）参考答案一、单选题（共8小题）1.【分析】根据集合的基本运算即可求A∩C，再求（A∩C）∪B；【解答】解：设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则A∩C＝{1，2}，∵B＝{2，3，4}，∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；故选：D．【知识点】交、并、补集的混合运算2.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（﹣1，1），化目标函数z＝﹣4x+y为y＝4x+z，由图可知，当直线y＝4x+z过A时，z有最大值为5．故选：C．【知识点】简单线性规划3.【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，0＜x＜2⇒0＜x＜5，∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件，即0＜x＜5是|x﹣1|＜1的必要不充分条件故选：B．【知识点】充要条件4.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：i＝1，s＝0；第一次执行第一个判断语句后，S＝1，i＝2，不满足条件；第二次执行第一个判断语句后，j＝1，S＝5，i＝3，不满足条件；第三次执行第一个判断语句后，S＝8，i＝4，满足退出循环的条件；故输出S值为8，故选：B．【知识点】程序框图5.【分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．【解答】解：由题意，可知：a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2，c＝0.30.2＜1，∴c＜b＜a．故选：A．【知识点】对数值大小的比较6.【分析】推导出F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，|AB|＝，|OF|＝1，从而b＝2a，进而c＝＝，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．∴F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，∵l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），∴|AB|＝，|OF|＝1，∴，∴b＝2a，∴c＝＝，∴双曲线的离心率为e＝．故选：D．【知识点】圆锥曲线的综合7.【分析】根据条件求出φ和ω的值，结合函数变换关系求出g（x）的解析式，结合条件求出A的值，利用代入法进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，∵f（x）的最小正周期为π，∴＝π，得ω＝2，则f（x）＝A sin2x，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．则g（x）＝A sin x，若g（）＝，则g（）＝A sin＝A＝，即A＝2，则f（x）＝A sin2x，则f（）＝2sin（2×＝2sin＝2×＝，故选：C．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换8.【分析】分别作出y＝f（x）和y＝﹣x的图象，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，直线与y＝在x＞1相切，求得a的值，结合图象可得所求范围．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，以及直线y＝﹣x的图象，关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，即为y＝f（x）和y＝﹣x+a的图象有两个交点，平移直线y＝﹣x，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得a＝或a＝，考虑直线与y＝在x＞1相切，可得ax﹣x2＝1，由△＝a2﹣1＝0，解得a＝1（﹣1舍去），综上可得a的范围是[，]∪{1}．故选：D．【知识点】分段函数的应用二、填空题（共6小题）9.【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．【解答】解：由题意，可知：＝＝＝2﹣3i，∴||＝|2﹣3i|＝＝．故答案为：．【知识点】复数代数形式的乘除运算10.【分析】解一元二次不等式即可．【解答】解：3x2+x﹣2＜0，将3x2+x﹣2分解因式即有：（x+1）（3x﹣2）＜0；（x+1）（x﹣）＜0；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：﹣1＜x＜；即：{x|﹣1＜x＜}；或（﹣1，）；故答案为：（﹣1，）；【知识点】一元二次不等式11.【分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将x＝0代入导数方程得出在点（0，1）处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．【解答】解：由题意，可知：y′＝﹣sin x﹣，∵y′|x＝0＝﹣sin0﹣＝﹣．曲线y＝cos x﹣在点（0，1）处的切线方程：y﹣1＝﹣x，整理，得：x+2y﹣2＝0．故答案为：x+2y﹣2＝0．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程12.【分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得：正四棱锥的高为2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于；由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，则该圆柱的体积为：v＝sh＝π（）2×1＝；故答案为：【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）13.【分析】利用基本不等式求最值．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y＝4，则＝＝＝2+；x＞0，y＞0，x+2y＝4，由基本不等式有：4＝x+2y≥2，∴0＜xy≤2，≥，故：2+≥2+＝；（当且仅当x＝2y＝2时，即：x＝2，y＝1时，等号成立），故的最小值为；故答案为：．【知识点】基本不等式14.【分析】利用和作为基底表示向量和，然后计算数量积即可．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝＝＝＝﹣12+×5×2×﹣＝﹣1故答案为：﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律三、解答题（共6小题）15.【分析】（Ⅰ）根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果；（Ⅱ）（i）用列举法求出基本事件数；（ii）用列举法求出事件M所含基本事件数以及对应的概率；【解答】解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6：9：10，由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种；（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种，所以，事件M发生的概率P（M）＝．【知识点】分层抽样方法、列举法计算基本事件数及事件发生的概率16.【分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC中，由正弦定理＝，得b sin C＝c sin B，又由3c sin B＝4a sin C，得3b sin C＝4a sin C，即3b＝4a．又因为b+c＝2a，得b＝，c＝，由余弦定理可得cos B＝＝＝﹣．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B＝＝，从而sin2B＝2sin B cos B＝﹣，cos2B＝cos2B﹣sin2B＝﹣，故sin（2B+）＝sin2B cos+cos2B sin＝﹣×﹣×＝﹣．【知识点】三角形中的几何计算17.【分析】（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，由BG＝PG，得GH∥PD，由此能证明GH∥平面P AD．（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，推导出DN⊥PC，从而DN⊥平面P AC，进而DN⊥P A，再上P A⊥CD，能证明P A⊥平面PCD．（Ⅲ）连结AN，由DN⊥平面P AC，知∠DAN是直线AD与平面P AC所成角，由此能求出直线AD与平面P AC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，又由BG＝PG，得GH∥PD，∵GH⊄平面P AD，PD⊂平面P AD，∴GH∥平面P AD．（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，依题意得DN⊥PC，又∵平面P AC⊥平面PCD，平面P AC∩平面PCD＝PC，∴DN⊥平面P AC，又P A⊂平面P AC，∴DN⊥P A，又P A⊥CD，CD∩DN＝D，∴P A⊥平面PCD．解：（Ⅲ）连结AN，由（Ⅱ）中DN⊥平面P AC，知∠DAN是直线AD与平面P AC所成角，∵△PCD是等边三角形，CD＝2，且N为PC中点，∴DN＝，又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝＝．∴直线AD与平面P AC所成角的正弦值为．【知识点】直线与平面垂直的判定、直线与平面所成的角18.【分析】（Ⅰ）由等差等比数列通项公式和前n项和的求解{a n}和{b n}的通项公式即可．（Ⅱ）利用分组求和和错位相减法得答案．【解答】解：（Ⅰ）{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大于0．设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，q＞0．由题意可得：3q＝3+2d①；3q2＝15+4d②解得：d＝3，q＝3，故a n＝3+3（n﹣1）＝3n，b＝3×3n﹣1＝3n（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，a1c1+a2c2+…+a2n c2n（n∈N*）＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2b1+a4b2+a6b3+…+a2n b n）＝[3n+×6]+（6×3+12×32+18×33+…+6n×3n）＝3n2+6（1×3+2×32+…+n×3n）令T n＝（1×3+2×32+…+n×3n）①，则3T n＝1×32+2×33+…+n3n+1②，②﹣①得：2T n＝﹣3﹣32﹣33…﹣3n+n3n+1＝﹣3×+n3n+1＝；故a1c1+a2c2+…+a2n c2n＝3n2+6T n＝（n∈N*）【知识点】数列递推式、数列的求和19.【分析】（Ⅰ）由题意可得a＝2b，再由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）求得a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为+＝1，设直线FP的方程为y＝（x+c），联立椭圆方程求得P的坐标，以及直线AP的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得c＝2，即可得到所求椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）|OA|＝2|OB|，即为a＝2b，可得e＝＝＝＝；（Ⅱ）b＝a，c＝a，即a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为+＝1，设直线FP的方程为y＝（x+c），代入椭圆方程可得7x2+6cx﹣13c2＝0，解得x＝c或x＝﹣，代入直线PF方程可得y＝或y＝﹣（舍去），可得P（c，），圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP，可设C（4，t），可得＝，解得t＝2，即有C（4，2），可得圆的半径为2，由直线FP和圆C相切的条件为d＝r，可得＝2，解得c＝2，可得a＝4，b＝2，可得椭圆方程为+＝1．【知识点】椭圆的简单性质20.【分析】（I）f′（x）＝﹣[ae x+a（x﹣1）e x]＝，x∈（0，+∞）．a≤0时，f′（x）＞0，即可得出函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调性．（II）（i）由（I）可知：f′（x）＝，x∈（0，+∞）．令g（x）＝1﹣ax2e x，∵0＜a＜，可知：可得g（x）存在唯一解x0∈（1，ln）．可得x0是函数f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx﹣x+1，可得x＞1时，lnx＜x﹣1．f（ln）＜0．f（x0）＞f（1）＝0．可得函数f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点．又函数f（x）在（0，x0）上有唯一零点1．即可证明结论．（ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即a＝1，lnx1＝a（x1﹣1），可得＝，由x＞1，可得lnx＜x﹣1．又x1＞x0＞1，可得＜＝，取对数即可证明．【解答】（I）解：f′（x）＝﹣[ae x+a（x﹣1）e x]＝，x∈（0，+∞）．a≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．（II）证明：（i）由（I）可知：f′（x）＝，x∈（0，+∞）．令g（x）＝1﹣ax2e x，∵0＜a＜，可知：g（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝1﹣ae＞0．且g（ln）＝1﹣a＝1﹣＜0，∴g（x）存在唯一解x0∈（1，ln）．即函数f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）单调递减．∴x0是函数f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）＝，可得h（x）≤h（1）＝0，∴x＞1时，lnx＜x﹣1．f（ln）＝ln（ln）﹣a（ln﹣1）＝ln（ln）﹣（ln﹣1）＜0．∵f（x0）＞f（1）＝0．∴函数f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点．又函数f（x）在（0，x0）上有唯一零点1．因此函数f（x）恰有两个零点；（ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即a＝1，lnx1＝a（x1﹣1），∴lnx1＝，即＝，∵x＞1，可得lnx＜x﹣1．又x1＞x0＞1，故＜＝，取对数可得：x1﹣x0＜2lnx0＜2（x0﹣1），化为：3x0﹣x1＞2．【知识点】利用导数研究函数的极值。
2019年天津卷文数高考真题及答案解析（word精编）绝密★启用前 xx年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名.准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分共40分。
参考公式：·如果事件A，B互斥，那么. ·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合，，，则（A）{2}（B）{2，3}（C）{-1，2，3}（D）{1，2，3，4} （2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（A）2（B）3（C）5（D）6 （3）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（A）5（B）8（C）24（D）29 （5）已知，，，则的大小关系为（A）（B）（c）（D）（6）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为（A）（B）（C）2（D）（7）已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则（A）-2（B）（C）（D）2 （8）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为（A）（B）（C）（D）绝密★启用前 xx年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）第Ⅰ卷一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …，则()A CB =A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}2. 设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数4z x y =-+的最大值为A. 2B. 3C. 5D. 63. 设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A. 5B. 8C. 24D. 295. 已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为A. c b a <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<6. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l 。
若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A.B.C. 2D.7. 已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫=⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. -2B.C.D. 28.已知函数01,()1,1.x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A. 59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 59,44⎛⎤⎥⎝⎦C. 59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D. 59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i 是虚数单位，则5i1i-+的值为__________. 10. 设x ∈R ，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________. 11. 曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. 12..若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 13. 设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy ++的最小值为__________.14. 在四边形ABCD中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________.三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除。
2019年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{1A =-，1，2，3，5}，{2B =，3，4}，{|13}C x R x =∈<„，则()(A C B =I U) A ．{2}B ．{2，3}C ．{1-，2，3}D ．{1，2，3，4}2．设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩„………则目标函数4z x y =-+的最大值为( )A ．2B ．3C ．5D ．63．设x R ∈，则“05x <<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A ．5B ．8C ．24D ．29 5．已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<6．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为( )A 2B 3C ．2D 57．已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()24g π=，则3()(8f π= )A ．2-B ．2-C ．2D ．28．已知函数2,01,()1,1x x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩g剟若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( )A ．5[4，9]4B ．5(4，9]4C ．5(4，9]{1}4UD ．5[4，9]{1}4U二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 是虚数单位，则5||1ii-+的值为 ．10．设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 ．11．曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为 ．12．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ．13．设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为 ．14．在四边形ABCD 中，//AD BC ，23AB =，5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE =u u u r u u u rg ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“⨯”表示不享受．现从这6人中随机ABC DEF子女教育 〇 〇 ⨯〇 ⨯〇 继续教育 ⨯ ⨯ 〇 ⨯〇 〇 大病医疗 ⨯⨯⨯ 〇 ⨯⨯住房贷款利息 〇 〇 ⨯⨯ 〇 〇 住房租金 ⨯⨯〇 ⨯ ⨯ ⨯赡养老人〇 〇 ⨯⨯⨯〇()i 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii )设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．16．（13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin(2)6B π+的值．17．（13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD ∆为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =． （Ⅰ）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．18．（13分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0．已知113a b ==，23b a =，3243b a =+．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足,21,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数求*112222()n n a c a c a c n N ++⋯+∈．19．（14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已知3|2||(OA OB O =为原点）．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ．求椭圆的方程．20．（14分）设函数()(1)x f x lnx a x e =--，其中a R ∈． （Ⅰ）若0a …，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若10a e<<，()i 证明()f x 恰有两个零点；()i 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->．2019年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{1A =-，1，2，3，5}，{2B =，3，4}，{|13}C x R x =∈<„，则()(A C B =I U) A ．{2}B ．{2，3}C ．{1-，2，3}D ．{1，2，3，4}【思路分析】根据集合的基本运算即可求A C I ，再求()A C B I U ； 【解析】：设集合{1A =-，1，2，3，5}，{|13}C x R x =∈<„， 则{1A C =I ，2}，{2B =Q ，3，4}，(){1A C B ∴=I U ，2}{2⋃，3，4}{1=，2，3，4}；故选：D ．【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩„………则目标函数4z x y =-+的最大值为( )A ．2B ．3C ．5D ．6【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】：由约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩„………作出可行域如图：联立120x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得(1,1)A -，化目标函数4z x y =-+为4y x z =+，由图可知，当直线4y x z =+过A 时，z 有最大值为5．故选：C ．【归纳与总结】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 3．设x R ∈，则“05x <<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】解出关于x 的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解析】：|1|1x -<Q ，02x ∴<<，05x <<Q 推不出02x <<，0205x x <<⇒<<，05x ∴<<是02x <<的必要不充分条件，即05x <<是|1|1x -<的必要不充分条件故选：B ．【归纳与总结】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题． 4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A ．5B ．8C ．24D ．29【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：1i =，0s =；第一次执行第一个判断语句后，1S =，2i =，不满足条件； 第二次执行第一个判断语句后，1j =，5S =，3i =，不满足条件； 第三次执行第一个判断语句后，8S =，4i =，满足退出循环的条件； 故输出S 值为8， 故选：B ．【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5．已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【思路分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果． 【解析】：由题意，可知： 22log 7log 42a =>=， 33log 8log 92b =<=，0.20.31c =<， c b a ∴<<．故选：A ．【归纳与总结】本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较．本题属基础题．6．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为( )A B C ．2 D【思路分析】推导出(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-，2||bAB a=，||1OF =，从而2b a =，进而c ==，由此能求出双曲线的离心率． 【解析】：Q 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ． (1,0)F ∴，准线l 的方程为1x =-，l Q 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），2||b AB a ∴=，||1OF =，∴24b a=，2b a ∴=，c ∴==，∴双曲线的离心率为ce a=故选：D ．【归纳与总结】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．7．已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()4g π，则3()(8f π= )A ．2-B ．CD ．2【思路分析】根据条件求出ϕ和ω的值，结合函数变换关系求出()g x 的解析式，结合条件求出A 的值，利用代入法进行求解即可． 【解析】：()f x Q 是奇函数，0ϕ∴=， ()f x Q 的最小正周期为π， ∴2ππω=，得2ω=，则()sin 2f x A x =，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ． 则()sin g x A x =，若()4g π=，则()sin 442g A A ππ===2A =，则()sin 2f x A x =，则333()2sin(22sin 28842f πππ=⨯==⨯=故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A ，ω和ϕ的值是解决本题的关键．8．已知函数2,01,()1,1x x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩g剟若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( )A ．5[4，9]4B ．5(4，9]4C ．5(4，9]{1}4UD ．5[4，9]{1}4U【思路分析】分别作出()y f x =和14y x =-的图象，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，直线与1y x=在1x >相切，求得a 的值，结合图象可得所求范围．【解析】：作出函数2,01,()1,1x x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩g 剟的图象，以及直线14y x =-的图象，关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，即为()y f x =和14y x a =-+的图象有两个交点，平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =，考虑直线与1y x =在1x >相切，可得2114ax x -=，由△210a =-=，解得1(1a =-舍去），综上可得a 的范围是5[4，9]{1}4U ．故选：D ．【归纳与总结】本题考查分段函数的运用，注意运用函数的图象和平移变换，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 是虚数单位，则5||1ii-+的值为 13 ．【思路分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算． 【解析】：由题意，可知：225(5)(1)56231(1)(1)1i i i i i i i i i i -+---+===-++--，5|||23|1ii i -∴=-=+．故答案为：【归纳与总结】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算．本题属基础题．10．设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 2(1,)3- ．【思路分析】解一元二次不等式即可．【解析】：2320x x +-<，将232x x +-分解因式即有：(1)(32)0x x +-<；2(1)()03x x +-<；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：213x -<<；即：2{|1}3x x -<<；或2(1,)3-；故答案为：2(1,)3-；【归纳与总结】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．11．曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为 220x y +-= ．【思路分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将0x =代入导数方程得出在点(0,1)处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．【解析】：由题意，可知：1sin 2y x '=--，011|sin 022x y ='=--=-Q ．曲线cos 2x y x =-在点(0,1)处的切线方程：112y x -=-，整理，得：220x y +-=．故答案为：220x y +-=．【归纳与总结】本题主要考查函数求导以及某点处导数的几何意义就是切线斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．本题属基础题．12．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 4π． 【思路分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可． 【解析】：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分， 由勾股定理得：正四棱锥的高为2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于12； 由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，则该圆柱的体积为：21()124v sh ππ==⨯=；故答案为：4π【归纳与总结】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题．13．设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy ++的最小值为 92 ．【思路分析】利用基本不等式求最值．【解析】：0x >，0y >，24x y +=， 则(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+； 0x >，0y >，24x y +=，由基本不等式有：4222x y xy =+…，02xy ∴<„，552xy …，故：5592222xy ++=…； （当且仅当22x y ==时，即：2x =，1y =时，等号成立），故(1)(21)x y xy ++的最小值为92；故答案为：92．【归纳与总结】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．14．在四边形ABCD 中，//AD BC ，23AB =，5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE =u u u r u u u rg 1- ．【思路分析】利用AD u u u r 和AB u u u r 作为基底表示向量BD u u u r 和AE u u u r，然后计算数量积即可． 【解析】：AE BE =Q ，//AD BC ，30A ∠=︒，∴在等腰三角形ABE 中，120BEA ∠=︒，又23AB =，2AE ∴=，∴25BE AD =-u u u r u u u r ，Q AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，∴25AE AB AD =-u u u r u u u r u u u r又BD BA AD AB AD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2()()5BD AE AB AD AB AD =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g 227255AB AB AD AD =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r g2272||||cos 55AB AB AD A AD =-+-u u u r u u u u u r u u u u u r u u ur g 732125232555=-+⨯⨯⨯-⨯1=- 故答案为：1-．【归纳与总结】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“⨯”表示不享受．现从这6人中随机ABC DEF子女教育 〇 〇 ⨯〇 ⨯〇 继续教育⨯⨯〇⨯〇〇()i 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii )设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．【思路分析】（Ⅰ）根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果； （Ⅱ）()i 用列举法求出基本事件数；()ii 用列举法求出事件M 所含基本事件数以及对应的概率；【解析】：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10， 由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人； （Ⅱ）()i 从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 {A ，}B ，{A ，}C ，{A ，}D ，{A ，}E ，{A ，}F ， {B ，}C ，{B ，}D ，{B ，}E ，{B ，}F ，{C ，}D ，{C ，}E ，{C ，}F ，{D ，}E ，{D ，}F ，{E ，}F ，共15种； ()ii 由表格知，符合题意的所有可能结果为{A ，}B ，{A ，}D ，{A ，}E ，{A ，}F ，{B ，}D ，{B ，}E ，{B ，}F ，{C ，}E ，{C ，}F ，{D ，}F ，{E ，}F ，共11种，所以，事件M 发生的概率11()15P M =．【归纳与总结】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题以及根据数据分析统计结论的问题，是基础题目16．（13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin(2)6B π+的值．【思路分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得43a b =，23ac =，由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-g g ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得215sin 1B cos B =-=，从而15sin 22sin cos B B B ==-， 227cos2cos sin 8B B B =-=-，故15371357sin(2)sin 2cos cos2sin 66682B B B πππ++=+=-⨯-⨯=． 【归纳与总结】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．属中档题． 17．（13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD ∆为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =． （Ⅰ）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．【思路分析】（Ⅰ）连结BD ，由题意得AC BD H =I ，BH DH =，由BG PG =，得//GH PD ，由此能证明//GH 平面PAD ．（Ⅱ）取棱PC 中点N ，连结DN ，推导出DN PC ⊥，从而DN ⊥平面PAC ，进而DN PA ⊥，再上PA CD ⊥，能证明PA ⊥平面PCD ．（Ⅲ）连结AN ，由DN ⊥平面PAC ，知DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成角，由此能求出直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD ，由题意得AC BD H =I ，BH DH =， 又由BG PG =，得//GH PD ，GH ⊂/Q 平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，//GH ∴平面PAD ．（Ⅱ）取棱PC 中点N ，连结DN ，依题意得DN PC ⊥， 又Q 平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC ⋂平面PCD PC =，DN ∴⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，DN PA ∴⊥，又PA CD ⊥，CD DN D =I ，PA ∴⊥平面PCD ． 解：（Ⅲ）连结AN ，由（Ⅱ）中DN ⊥平面PAC ， 知DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成角，PCD ∆Q 是等边三角形，2CD =，且N 为PC 中点， 3DN ∴=DN AN ⊥，在Rt AND ∆中，3sin DN DAN DA ∠==∴直线AD 与平面PAC 3．【归纳与总结】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力．18．（13分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0．已知113a b ==，23b a =，3243b a =+．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足,21,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数求*112222()n n a c a c a c n N ++⋯+∈．【思路分析】（Ⅰ）由等差等比数列通项公式和前n 项和的求解{}n a 和{}n b 的通项公式即可． （Ⅱ）利用分组求和和错位相减法得答案．【解析】：（Ⅰ）{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0． 设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，0q >． 由题意可得：332q d =+①；23154q d =+② 解得：3d =，3q =，故33(1)3n a n n =+-=，1333n n b -=⨯= （Ⅱ）数列{}n c 满足,21,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，*112222()n n a c a c a c n N ++⋯+∈135212142632()()n n n a a a a a b a b a b a b -=+++⋯+++++⋯+23(1)[36](6312318363)2n n n n n -=+⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯2236(13233)n n n =+⨯+⨯+⋯+⨯令2(13233)n n T n =⨯+⨯+⋯+⨯①， 则231313233n n T n +=⨯+⨯+⋯+②，②-①得：231233333nn n T n +=---⋯-+1133313n n n +-=-⨯+-1(21)332n n +-+=； 故222*112222(21)36936()2n n n n n n a c a c a c n T n N +-++++⋯+=+=∈【归纳与总结】本题主要考查等差等比数列通项公式和前n 项和的求解，考查数列求和的基本方法分组和错位相减法的运算求解能力，属中档题．19．（14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已知3|2||(OA OB O =为原点）．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ．求椭圆的方程．【思路分析】2b =，再由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）求得2a c =，b =，可得椭圆方程为2222143x y c c +=，设直线FP 的方程为3()4y x c =+，联立椭圆方程求得P 的坐标，以及直线AP 的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得2c =，即可得到所求椭圆方程． 【解析】：|2||OA OB =2b =，可得12c e a ==；（Ⅱ）b =，12c a =，即2a c =，b =， 可得椭圆方程为2222143x y c c +=，设直线FP 的方程为3()4y x c =+，代入椭圆方程可得2276130x cx c +-=，解得x c =或137cx =-，代入直线PF 方程可得32c y =或914cy =-（舍去），可得3(,)2c P c ，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ，可设(4,)C t ，可得3242c tc c=+，解得2t =，即有(4,2)C ，可得圆的半径为2，由直线FP 和圆C 相切的条件为d r =，2=，解得2c =，可得4a =，b =2211612x y +=．【归纳与总结】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件：d r =，考查化简运算能力，属于中档题． 20．（14分）设函数()(1)x f x lnx a x e =--，其中a R ∈． （Ⅰ）若0a „，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若10a e<<，()i 证明()f x 恰有两个零点；()i 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->．【思路分析】211()()[(1)]x x xax e I f x ae a x e x x-'=-+-=，(0,)x ∈+∞．0a „时，()0f x '>，即可得出函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调性．()()II i 由()I 可知：21()x ax e f x x -'=，(0,)x ∈+∞．令2()1x g x ax e =-，10a e <<Q ，可知：可得()g x 存在唯一解01(1,)x ln a∈．可得0x 是函数()f x 的唯一极值点．令()1h x lnx x =-+，可得1x >时，1lnx x <-．1()0f ln a<．0()f x f >（1）0=．可得函数()f x 在0(x ，)+∞上存在唯一零点1．()ii 由题意可得：0()0f x '=，1()0f x =，即0201x ax e =，111(1)x lnx a x e =-，可得1020111x x x lnx e x -=-，由1x >，可得1lnx x <-．又101x x >>，可得10220101(1)1x x x x ex x --<=-，取对数即可证明．【解答】()I 解：211()[(1)]x x xax e f x ae a x e x x-'=-+-=，(0,)x ∈+∞．0a „时，()0f x '>，∴函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增．()II 证明：()i 由()I 可知：21()xax e f x x-'=，(0,)x ∈+∞． 令2()1x g x ax e =-，10a e<<Q ，可知：()g x 在(0,)x ∈+∞上单调递减，又g （1）10ae =->． 且221111()1()1()0g ln a ln ln a a a a=-=-<g ，()g x ∴存在唯一解01(1,)x ln a∈．即函数()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞单调递减．0x ∴是函数()f x 的唯一极值点．令()1h x lnx x =-+，(0)x >，1()xh x x-'=， 可得()h x h „（1）0=，1x ∴>时，1lnx x <-．111111()()(1)()(1)0ln a f ln ln ln a ln e ln ln ln a a a a a=--=--<．0()f x f >Q （1）0=．∴函数()f x 在0(x ，)+∞上存在唯一零点1．因此函数()f x 恰有两个零点；()ii 由题意可得：0()0f x '=，1()0f x =，即0201x ax e =，111(1)x lnx a x e =-， 1011201x x x lnx ex --∴=，即1020111x x x lnx e x -=-， 1x >Q ，可得1lnx x <-．又101x x >>，故10220101(1)1x x x x ex x --<=-，取对数可得：100022(1)x x lnx x -<<-，化为：0132x x ->．【归纳与总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
天津2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）一、选择题1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x R x =-==∈≤<，则()A C B =（ ）A.{2}B.{2,3}C.{1,2,3}-D.{1,2,3,4} 【答案】D 【解析】{1,2}AC =,(){1,2,3,4}A C B =，故选D.2.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y =-+的最大值为（ ）A.2B.3C.5D.6 【答案】C【解析】画出可行域，如图，当4E x y =-+经过(1,1)D -时，取最大值max 415z =+=.3.设x R ∈，则“05x <<”是“|1|1x -<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由|1|1x -<，得02x <<，“05x <<”不可以推出“02x <<”， 而“02x <<”可推出“05x <<”,故为的必要不充分条件，故选B.4.阅读的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ）A.5B.8C.24D.29 【答案】B【解析】1,1i S ==；2,1,1225i j S ===+⨯=；3,538i S ==+=；4i =，满足4i ≥，输出8S =.5.已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.c b a <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b << 【答案】A 【解析】0.2332230.3log 8log 19log 2log 4lo 3g 7c b a ==<=<=<==<.6.己知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =(O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）2【答案】D【解析】由题意知(1,0)F ，:1l x =-，||4AB =，所以24ba=，e ==.7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x：若()4g π=3()8f π=（ ） A.2-B.2 【答案】C【解析】由题意知(0)00f ϕ=⇒=，所以()sin()f x A x ω=，()()sin()22x xg x f A ω==，()g x 的最小正周期为2π，且()4g π=()2sin 2f x x =，3()8f π=.8.已知函数1,()1, 1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A.59[,]44B.59(,]44C.59(,]{1}44D.59 [,]{1}44【答案】D【解析】方法一：当1a =时，令104x+=即2840([0,1])t t t +-==，解得4(0,1)t =∈，令110(1)4x x x+-=>，解得2x =，排除A,B ； 当54a =时，令5044x +=即2850([0,1])t t t +-==，解得4(0,1)t =∈，令150(1)44x x x +-=>，解得4x =，排除C. 方法二：如图，当直线14y x a =-+过(1,2)点时，有2191044a a -=-⇒=-， 过(1,1)点时，有1151044a a -=-⇒=-， 当直线14y x a =-+与曲线1(1)y x x =>相切时，可求得切点1(2,)2， 此时1121204a a -=-⇒=-，综上，实数a 的取值范围为59 [,]{1}44.二.填空题 9.i 是虚数单位，则5||1ii-+的值为 .【解析】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-.10.设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 . 【答案】(21,)3-【解析】2320x x +-<，即(1)(32)0x x +-<，即213x -<<，故x 的取值范围是2(1,)3-.11.曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为 . 【答案】220x y +-=【解析】1'sin 2y x =--，当0x =时其值为12-，故所求的切线方程为112y x-=-，即220x y +-=.12.的正方核侧枝长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 . 【答案】4π【解析】显然圆柱的直径等于1，圆柱的高等于1，所以圆柱的体积等于4π.13.设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为 .【答案】92【解析】∵0,0,24x y x y >>+=，∴42x y =+≥≤2xy ≤，当且仅当22x y ==时等号成立.，∵(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=.14.在四边形ABCD 中，//,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= . 【答案】1-【解析】如图所示，//,5,30AD BC AB AD BAC ==∠=︒，又AE BE =，所以120AEB ∠=︒，根据余弦定理222cos1202AE BE AB AE BE +-︒=⋅⋅，解得2AE BE ==，所以25BE AD =-，又BD AD AB =-，25AE AB BE AB AD =+=-，所以72()()(12525)15525AB A BD AE AD A D B ⋅=-⋅=--⨯⨯⨯=--.三、解答题15.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F .享受情况如右表，其中“”表示享受.“⨯”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. （i ）使用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率. 【解析】（1）由已知老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25为员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人. （2）（i ）从已知6人中随机抽取2人的所有可能结果为{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F D E D F E F 共15种.（ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A D A E A F B D B E B F C E C F D F E F 共11种.所以，事件M 发生的概率11()15P M =.16.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求in 6(s 2)B π-的值.【答案】（1）14-；（2）【解析】（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =，由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅. （2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2coscos 2sin666828(2)16B B B πππ+=+=--⨯=-17.如图，在四棱锥P ABCD -中底面ABCD 为平行四边形，PCD ∆为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ； （2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3. 【解析】（1）证明：连接BD ，易知AC BD H =，BH DH =.又由BG PG =，故//GH PD ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//GH 平面PAD . （2）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得D N P C ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥，又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD .（3）解：连接AN ，由（2）中DN ⊥平面PAC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面PAC 所成的角.因为PCD ∆是等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点，所以DN =DN AN ⊥，在Rt AND ∆中，sin 3DN DAN AD ∠==.所以，直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3. 18.设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a =，3243b a =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足.求*112222()n n a c a c a c n N +++∈.【答案】（1）3n a n =；3n nb =；（2）22*(21)3692()n n n n N +-++∈.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，依题意，得23323154q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得33d q =⎧⎨=⎩，故33(1)3n a n n =+-=，1333n nn b -=⨯=.所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3n nb =.（2）112222n n a c a c a c +++135212142632(())n b n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++123(1)366[3123183632]()n n n n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯2123613233()n n n =+⨯+⨯++⨯.记1213233nn T n =⨯+⨯++⨯，① 则231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯，②②-①得，231233333n n n T n +=-----+⨯11313(21)333132()n n n n n ++--+=-+⨯=-. 所以122112222(21)3336332n n n n n a c a c A a c n T n +-++++=++⨯22*(21)3692()n n n n N +-++=∈.19.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上.且//OC AP ，求椭圆的方程.【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c2b =，又由222a b c =+，消去b得222(2)a a c =+，解得12c a =. 所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2a c =，b =，故椭圆方程为2222143x y c c+=.由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+.点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1x c =，2137c x =-.代入到l 的方程，解得132y c =，2914y c =-.因为点P 在x 轴上方，所以2()3,P c c .（2）由圆C 在直线4x =上，可设(4,)c t .因为//OC AP ，且由（1）知(2,0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l||3(4)22c +-=，可得2c =. 所以，椭圆的方程为2211612x y +=.20.设函数()ln (1)x f x x a x e =--，其中a R ∈. （1）若0a ≤，讨论()f x 的单调性； （2）若10ea <<. （i ）证明()f x 恰有两个零点；（ii ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->. 【解析】（1）由已知()f x 的定义域为(0,)+∞，且2[11()(]1)x x xax e f x ae a x e x x-'=-+-=.因此当0a ≤时，210x ax e ->，从而()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.（2）证明：（i ）由（1）知，21()x ax e f x x -'=.令2()1xg x ax e =-，由10a e <<，可知()g x 在(0,)+∞内单调递减，又(1)10g ae =->，且22()()1111ln 1ln 1ln 0()g a a a a a=-=-<，故()0g x =在(0,)+∞内有唯一解，从而()0f x '=在(0,)+∞内有唯一解，不妨设0x ，则011ln x a<<.当0()0,x x ∈时，0(())()0g x g x f x x x '=>=，所以()f x 在0(0,)x 内单调递增；当0(,)x x ∈+∞时，0()()()0g x g x x x f x<'==，所以()f x 在0(,)x +∞内单调递减，因此0x 是()f x 的唯一极值点.令()ln 1h x x x =-+，则当1x >时，1()10h x x'=-<，故()h x 在(1,)+∞内单调递减，从而当1x >时，()(1)0h x h <=，所以ln 1x x <-，从而1ln 111111ln ln ln ln ()1ln ln ln ln 0())1(a f a e h a a a a a a=--=-+=<，又因为0()(1)0f x f >=，所以()f x 在0(),x +∞内有唯一零点.又()f x 在0(0,)x 内有唯一零点1，从而，()f x 在(0,)+∞内恰好有两个零点. （ii ）由题意01()()00f x f x '=⎧⎨=⎩，即0120111ln )1(x x ax x a e x e⎧=⎨=-⎩，从而1011201ln x x x x e x --=，即102011ln 1x x x x e x -=-. 因为当1x >时，ln 1x x ≤-，又101x x >>，故10220101()11x x x x e x x --<=-，两边取对数，得020ln ln x x e x -<，于是100021(ln )2x x x x -<<-，整理得0132x x ->.。
绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。
第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共 8 小题，每小题 5 分共 40 分。
参考公式：·如果事件A，B 互斥，那么P (A B)=P (A)+P (B).·圆柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高V =1 Sh·棱锥的体积公式 3 ，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={-1,1, 2, 3, 5}，B ={2, 3, 4}，C = {x ∈R |1x < 3}，则( A C) B =A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}【答案】D【解析】【分析】先求A ⋂B ，再求( A C) B 。
【详解】因为A C = {1, 2} ，⎪ ⎪ 由⎩ 所以( A C ) B = {1, 2, 3, 4}.故选 D 。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．⎧x + y - 2 ≤ 0, ⎪x - y + 2 ≥ 0, ⎨x -1, 2.设变量 x , y 满足约束条件⎪⎩ y -1,，则目标函数 z = -4x + y 的最大值为A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】画出可行域，用截距模型求最值。
