432定积分的简单应用体积

1 1 2 故截面积为 A( x ) = y ⋅ y tan α = ( R − x 2 ) tan α ， 2 2 R R 1 2 3 2 2 V = ∫ A( x )dx = ∫ ( R − x ) tan αdx = R tan α . −R −R 2 3
4
3.4.3-5 定积分的应用 定积分的应用——体积、侧面积和一些物理量 体积、 体积
在曲线上点 P ( x , f ( x )) 处的弧长微元
′ 2 ( x )dx ， 是 dL = 1 + f
则 dA = 2πf ( x )dL ，
y
y = f (x )
o
a
x x + dx b
故 A = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x )dx .
a
b
x
[ 圆台的侧面积 π × 母线长 × (上底半径 + 下底半径 ) 。在极限 圆台的侧面积=
A = 2π ∫
a
−a
′ y1 1 + y1 dx + 2π ∫
2
a
0
a
−a
′ y2 1 + y2 2 dx
x = 8abπ arcsin a
= 4abπ 2 .
3.4.3-5 定积分的应用 定积分的应用——体积、侧面积和一些物理量 体积、 体积
三、 一些物理量的计算
1、质量
轴上的质杆。 例 1.有一放置在 x 轴上的质杆。若其上每一点的密度等于
P = pA = γ h ⋅ A ;
若一平板垂直放置，由于深度不同处的压强不相等 若一平板垂直放置，由于深度不同处的压强不相等, 故平板一侧所受的压力就不能如上计算，但可用微 故平板一侧所受的压力就不能如上计算，但可用微 元法化成定积分计算 化成定积分计算。 元法化成定积分计算。

梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，则该旋转体的体积为V＝
bπ[
a
f(x)]
2dx
.
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 简单旋转几何体的体积
例1 求由y＝x3，y＝0，x＝2所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积.
解
Vx＝2πy2dx＝2πx6dx＝
0
0
πx72
7
0
＝1278π.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 求由曲线y＝x2，x＝y2围成的图形绕y轴旋转形成的几何体的 体积. 解 x1＝ y，x2＝y2,0≤y≤1，
解析答案
课堂小结 1.简单旋转几何体可以看成一个平面图形绕平面内一条直线旋转而成. 2.利用定积分求体积要合理确定被积函数，然后根据图像确定积分上、 下限，要理解其中蕴含的定积分思想.
返回
本课结束
的几何体.如图所示：
因此 V＝a A(x)dx
－a
＝πab22a (a2－x2)dx＝43πab2. －a
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x＝h及x轴围成一个 直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这个 圆锥体的体积. 解 直角三角形斜边的直线方程为 y＝hrx. 所以所求圆锥体的体积为
第四章 §3 定积分的简单应用
4.3.2 简单几何体的体积
学习 目标
1.通过实例，进一步理解定积分的思想. 2.了解定积分在求旋转体的体积方面的简单应用.
栏目 索引

知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点 用定积分表示旋转体的体积 旋转体可以看作是由连续曲线y＝f(x)、直线x＝a、x＝b及x轴所围成的曲边

4、2定积分的简单应用(二)复习:（1） 求曲边梯形面积的方法就是什么？（2） 定积分的几何意义就是什么？（3） 微积分基本定理就是什么？引入:我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。

求体积问题也就是定积分的一个重要应用。

下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。

1. 简单几何体的体积计算问题:设由连续曲线()y f x =与直线x a =,x b =及x 轴围成的平面图形(如图甲)绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ,如何求V ？分析:在区间[,]a b 内插入1n -个分点,使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ,把曲线()y f x =(a x b ≤≤)分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”,如图甲所示。

设第i 个“小长条”的宽就是1i i i x x x -∆=-,1,2,,i n =L 。

这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度就是i x ∆的小圆片,如图乙所示。

当i x ∆很小时,第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。

因此,第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=∆该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积与:2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈∆+∆++∆L这个问题就就是积分问题,则有:22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==⎰⎰ 归纳:设旋转体就是由连续曲线()y f x =与直线x a =,x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成,则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=⎰2. 利用定积分求旋转体的体积（1） 找准被旋转的平面图形,它的边界曲线直接决定被积函数（2） 分清端点（3） 确定几何体的构造（4） 利用定积分进行体积计算3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积,则积分变量变为y ,其公式为2()b a V g y dy π=⎰类型一:求简单几何体的体积例1:给定一个边长为a 的正方形,绕其一边旋转一周,得到一个几何体,求它的体积思路:由旋转体体积的求法知,先建立平面直角坐标系,写出正方形旋转轴对边的方程,确定积分上、下限,确定被积函数即可求出体积。

结论 2
旋转体由曲线x=( y), y a, y b
和y轴围成的平面图形绕y轴旋转一
周后体积V b (( y))2dy b x2dy
a
a
探究3 设两抛物线y x2 2x, y x2 所围成的图形为M，将M绕x轴旋转一 周所得旋转体的体积V ？
Vi xi2 xi
圆锥的体积就等于所有小圆台的体积和：
V （02 x0 xi2 xi 12 xn )
所以求体积是定积分问题。
解：圆锥体的体积为：
V

1

0

x2dx


3
x3
1 0

3
简单几何体的体积
设旋转体是由连续曲线 y＝f(x)和 直线 x＝a，x＝b(a＜b)及 x 轴所 围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而 成，设在区间[a，b]上点 x 处垂 直 x 轴的截面面积为 A(x)＝πf2(x)，则 体积为 V＝bπf2(x)dx.
角形可以看作是由直线 y=x ，x=1 及 x 轴所围成的
平面图形。
y
y
o
x
x
o
1
xi
xi
把这个三角形分割成许多垂直于 x 轴的小梯形，
设第 i 个小梯形的宽是 xi ，它绕 x 轴旋转一周就得
到一个厚xi 度是 的小圆台。
当xi 很小时，每个小圆台近似于底面半径 为 xi 的小圆柱，因此，小圆台的体积近似为
( f (x) g(x))
四、课堂小结
本节课用定积分解决了 简单旋转体的体积，注意：
1、注意
2、被积函数的平方 3、求体积的一般步骤
简单几何体的 体积