高考数学 课本例题习题改编 新人教A版选修2-1(学生版)

人教版高中数学全套教材例题习题改编 人教A 版必修1课本例题习题改编1.原题(必修1第七页练习第三题（3））判断下列两个集合之间的关系：A={}{}|410|20,x x x N B x x m m N ++∈==∈是与的公倍数，， 改编 已知集合4x x M xN N **⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭且10，集合40x N x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A ．M N =B ．N M ⊆C ．20x MN x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭D ．40x MN x N *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭解：{}20,M x x k k N *==∈， {}40,N x x k k Z ==∈，故选D .2.原题（必修1第十二页习题1.1B 组第一题）已知集合A={1，2}，集合B 满足A ∪B={1，2}，则这样的集合B 有 个.改编1 已知集合A 、B 满足A ∪B={1，2}，则满足条件的集合A 、B 有多少对？请一一写出来．解：∵A ∪B={1，2}，∴集合A ，B 可以是：∅，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}；{2}，{1，2}；{2}，{1}；{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}，{2}；{1，2}，∅．则满足条件的集合A 、B 有9对.改编2 已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有 个，真子集个数有 个 解：子集个数有2n个，真子集个数有21n-个 改编3 满足条件{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是 个解：3必须在集合A 里面，A 的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个. 3.原题（必修1第十三页阅读与思考“集合中元素的个数”）改编 用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=*C(B)C(A)当C(A),C(B)C(B)C(A)当C(B),C(A)B A ,若{}{}02)ax ax)(x (x x B ,1,2A 22=+++==，且1B A =*,则由实数a 的所有可能取值构成的集合S = .解：由{}2C(A)1,2A ==得，而1B A =*，故3C(B)1C(B)==或．由02)ax ax )(x (x 22=+++得02)ax (x 0ax )(x 22=++=+或．当1C(B)=时，方程02)ax ax )(x(x 22=+++只有实根0x =，这时0a =．当3C(B)=时，必有0a ≠，这时0ax )(x 2=+有两个不相等的实根a x 0,x 21-==，方程02)ax (x 2=++必有两个相等的实根，且异于a x 0,x 21-==，有0,8a Δ2=-=∴22a ±=，可验证均满足题意，∴{}22,0,22-=S ．4.原题（必修1第二十三页练习第二题）改编1 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是解：先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快， 答案选C ．改编 2 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是 （ ）解：汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．答案：A ．5.原题（必修1第二十四页习题1.2A组第七题）画出下列函数的图象：（1）F(x)=改编设函数D(x)= 则下列结论错误的是()A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单调函数解：由已知条件可知,D(x)的值域是{0,1},选项A正确;当x是有理数时,-x也是有理数,且D(-x)=1,D(x)=1,故D(-x)=D(x),当x是无理数时,-x也是无理数,且D(-x)=0,D(x)=0,即D(-x)=D(x),故D(x)是偶函数,选项B正确;当x是有理数时,对于任一非零有理数a,x+a是有理数,且D(x+a)=1=D(x),当x是无理数时,对于任一非零有理数b,x+b是无理数,所以D(x+b) =D(x)=0,故D(x)是周期函数,（但不存在最小正周期）,选项C不正确;由实数的连续性易知,不存在区间I,使D(x)在区间I上是增函数或减函数，故D(x)不是单调函数,选项D正确. 答案：C ．6.原题（必修1第二十四页习题 1.2A组第十题）改编已知集合{}{}1,2,3,1,2,3,4A B==．定义映射:f A B→，则满足点(1,(1)),(2,(2)),(3,(3))A fB fC f构成ABC∆且=AB BC的映射的个数为.解：从A到B的映射有3464=个，而其中要满足条件的映射必须使得点A、B、C不共线且=AB BC，结合图形可以分析得到满足(3)(1)(2)f f f=≠即可，则满足条件的映射有114312m C C=⋅=个．7.原题（必修1第二十五页习题1.2B组第二题）画出定义域为{}38,5x x x-≤≤≠且，值域为{}12,0y y y-≤≤≠的一个函数的图像，（1）将你的图像和其他同学的比较，有什么差别吗？（2）如果平面直角坐标系中点P（x,y）的坐标满足38x-≤≤，12y-≤≤，那么其中哪些点不能在图像上？改编若函数()y f x=的定义域为{}38,5x x x-≤≤≠，值域为{}12,0y y y-≤≤≠，则()y f x=的图象可能是（）A B C D解：根据函数的概念，任意一个x只能有唯一的y值和它对应，故排除C；由定义域为1,x0,x⎧⎨⎩为有理数，为无理数，0,x01,x>0;≤⎧⎨⎩，{}38,5x x x -≤≤≠排除A 、D,选B.8.原题（必修1第二十五页习题1.2B 组第三题）函数[x]f(x)=的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，4]5.3[-=-；2]1.2[=；当(]35.2，　-∈x 时，写出函数f(x)的解析式，并作出函数的图象．改编 1 对于任意实数x ，符号[x]表示x 的整数部分，即[x]是不超过x 的最大整数，例如2[2]=；2]1.2[=；3]2.2[-=-．函数[x]y =叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，则]26[log ]3[log ]2[log ]1[log 3333++++ 的值为 ． 解：由题意得，∵130=， ３１=3，９２=3，２73３=．∴原式中共有２个０，６个１，１８个２，故原式＝422181602=⨯+⨯+⨯． 改编2已知函数f (x )=x -[x ],其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数.若关于x的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根, 则实数k的取值范围是 .111111111111A.[1,)(,]B.(1,][,)C.[,)(,1]D.(,][,1)243243342342- -⋃ - -⋃ - -⋃ - -⋃解：画出f(x)的图象(如右图), 与过定点(-1, 0)的直线y=kx+k=k(x+1) 有三个不同的公共点, 利用数形结合的办法, 可求得直线斜率k 的取值范围为111(1,][,)243- -⋃ . 答案：B ．改编 3对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．这个函数[]x 叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么，（1）[]2log 1+[]2log 2+[]2log 3+[]2log 4+……+[]2log 1024= （2）设()[][],1,3f x x x x ⎡⎤=⋅∈⎣⎦，则()f x 的值域为 解：（1）[]2log 1=0，[]2log 2=[]2log 3=1，[]2log 4=[]2log 5=[]2log 6=[]2log 7=2，[]2log 8=[]2log 9=……=[]2log 15=3，[]2log 16=[]2log 17=……=[]2log 31=4，……[]2log 512=[]2log 512=……=[]2log 1023=9，[]2log 1024=10，则原式=234912223242++92+10⨯+⨯+⨯+⨯⨯，用“错位相减法”可以求出原式的值为8204.（2）[)[]()[)[]()1,21,1;2,2.52,4x x f x x x f x ∈==∈==时，时，；[)[]()[]()2.5,32,5;33,9x x f x x x f x ∈=====时，时，；故[]1,3x ∈时()f x 的值域为{}1,4,5,9答案：（1）8204； （2）{}1,4,5,9． 改编4 函数()[][]2,2f x x x x ⎡⎤=∈-⎣⎦，的值域为 .解：当[)2,1x ∈--时，[]2x =-，(]()[]22,4,2{2,3,4}x f x x -∈=-∈；当[)1,0x ∈-时，[]1x =-，(]()[]0,1,{01}x f x x -∈=-∈，；当[)0,1x ∈时，[]0x =，()0f x =；当[)1,2x ∈时，[]1x =，()[]=1f x x =；当=2x 时，()[]4=4f x =；∴值域为{0,12,3,4}，.答案：{0,12,3,4}，.9.原题（必修1第三十六页练习第１题（３））判断下列函数的奇偶性：x1x f(x )2+=．改编 关于函数0)(x x1x lg f(x)2≠+=，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当0x >时，f(x)是增函数；当0x <时，f(x)是减函数；③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间),2(),0,1(+∞-上是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ．解： 0)(x x 1x lg f(x)2≠+=为偶函数，故①正确；令x 1x u(x)2+=，则当0x >时，x1x u(x)+=在)1,0(上递减，在),1[+∞上递增，∴②错误；③④正确；⑤错误．答案：①③④．10.原题（必修1第三十九页复习参考题B组第三题）已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.改编 已知定义在[-2, 2]上的偶函数f (x )在区间[0, 2]上是减函数, 若f (1-m )<f (m ), 则实数m 的取值范围是 .解：由偶函数的定义, (1)(|1|)()(||)f m f m f m f m -=-⎧⎨=⎩, 又由f (x )在区间[0, 2]上是减函数, 所以10|||1|2m m m ≤<- ≤2⇒ -1≤<.答案：12m -1≤<.11.原题（必修1第四十四页复习参考题A 组第四题）已知集合A={x|2x =1}，集合B={x|ax=1}，若B ⊆A ，求实数a 的值.改编 已知集合A={x|x-a=0}，B={x|ax-1=0}，且A∩B=B ，则实数a 等于 。

新编人教版精品教学资料2015版人教A 版必修2课本例题习题改编湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 ****************1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm ） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；（Ⅲ）设异面直线AA '与BC '所成的角为θ，求cos θ．解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．由于底面ABC ∆的高为1，所以AB ==． 故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''∆=++1221322382=⨯⨯⨯+⨯+⨯=+2(cm )．这个几何体的体积121332ABC V S BB ∆'=⋅=⨯⨯⨯=3(cm )（Ⅲ）因为//AA BB ''，所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠．O OO 'O '22OO在Rt BB C''∆中，BC '==cos BB BC θ'===' 2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． 改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积． 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示． （Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ），它的上部 是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为）．所以所求表面积21212127S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=2(cm )，所求体积22112123V πππ=⨯⨯+⨯⨯=3(cm )．3.原题（必修2第30页习题1.3B 组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）第二章 圆锥曲线与方程本章归纳整合高考真题1．(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为 ( )． A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析 双曲线C 的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0及点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解①②得b 2＝5，a 2＝20，故选A.答案 A2．(2012·大纲全国)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2 左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )． A.14 B.35 C.34D.45 解析 ∵a ＝b ＝2，∴c ＝2.由⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝22，|PF 1|＝2|PF 2|得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34，故选C. 答案 C3．(2012·四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )． A ．2 2 B ．2 3 C ．4 D ．2 5解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2.由定义知|MF |＝2＋p 2， ∴p 2＋2＝3，∴p ＝2，∴y 20＝2p ·2＝4p ＝8， ∴y 0＝±22，∴|OM |＝22＋y 20＝ 12＝ 2 3.答案 B4．(2012·课标全国)设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )． A.12 B.23 C.34 D.45 解析 设直线x ＝32a 与x 轴交于点Q ， 由题意得∠PF 2Q ＝60°，|F 2P |＝|F 1F 2|＝2c ，|F 2Q |＝32a －c ， ∴32a －c ＝12×2c ，e ＝c a ＝34，故选C. 答案 C5．(2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )．A.14B.55C.12D.5－2 解析 在椭圆中，易知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，∵|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，∴(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，则e ＝55，故选B.答案 B6. (2012·安徽)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为：y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c . 所以|AB |＝ 1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝40 3，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二 设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t .再由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，解得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝40 3知，a ＝10，b ＝5 3.7．(2012·福建) 如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．解 法一 (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x . 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)， 即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q ⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1. 设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立． 由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1， 由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．法二 (1)同解法一．(2)由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)， 即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q ⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1. 取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)或M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y ＋382＝12564，交y 轴于M 3(0,1)或M 4⎝⎛⎭⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)．以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－2， MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M .。

高中数学人教A 版选2-1 同步练习1.若P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 225＋y 29＝1上一点，则三角形PF 1F 2的周长等于( ) A ．16 B ．18C ．20D ．不确定解析：选B.由椭圆的定义知2a ＝10，2c ＝225－9＝8，所以三角形PF 1F 2的周长等于10＋8＝18. 2.已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P (2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 2＝1C.y 24＋x 23＝1D.y 24＋x 2＝1 解析：选A.c ＝1，a ＝12()（2＋1）2＋0＋（2－1）2＋0＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 3.已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为__________．解析：由题设知|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，∴2a ＝4，2c ＝2，∴b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 答案：x 24＋y 23＝1 4.椭圆x 24＋y 2m＝1的焦距为2，则m 等于__________． 解析：∵2c ＝2，∴c ＝1.当椭圆的焦点在x 轴上时，由4－m ＝1得m ＝3；当椭圆的焦点在y 轴上时，由m －4＝1得m ＝5.答案：3或5[A 级 基础达标]1.若椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( ) A ．2 5 B ．2 3C ．4 5D ．4 3解析：选D.将点(－2，3)代入椭圆方程求得b 2＝4，于是焦距2c ＝216－4＝4 3.2.已知a ＝13，c ＝23，则该椭圆的标准方程为( )A.x 213＋y 212＝1 B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1 C.x 213＋y 2＝1 D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 解析：选D.由a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝13－12＝1.分焦点在x 轴和y 轴上写标准方程．3.如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >3 B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析：选D.由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6a ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）>0a >－6 ⇔a >3或－6<a <－2.故选D.4.椭圆的两焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：S △PF 1F 2＝12×8b ＝12，∴b ＝3. 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. 答案：x 225＋y 29＝1 5.(.·烟台高二检测)已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过F 1，则△ABF 2的周长为__________．解析：由已知c ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝41.根据椭圆定义可得：△ABF 2的周长为4a ＝441.答案：4416.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆上一点P (3，2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.解：(1)①若焦点在x 轴上，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意知2a ＝8，∴a ＝4，又点P (3，2)在椭圆上，∴916＋4b 2＝1，得b 2＝647. ∴椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1. ②若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵2a ＝8，∴a ＝4.又点P (3，2)在椭圆上，∴416＋9b 2＝1，得b 2＝12. ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. 由①②知椭圆的标准方程为x 216＋y 2647＝1或y 216＋x 212＝1. (2)由题意知，2c ＝16，2a ＝9＋15＝24，∴a ＝12，c ＝8，∴b 2＝80.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，∴所求方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. [B 级 能力提升]7.(.·宜宾质检)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.m >n >0⇒1n >1m>0⇒方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；反之，若方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m >n >0.8.已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选 B.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，且已知|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2.所以有|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2.因此∠MF 2F 1＝90°，△MF 1F 2为直角三角形．9.已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2连线的夹角为直角，则|PF 1||PF 2|＝__________． 解析：两焦点的坐标分别为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，由PF 1⊥PF 2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100. 而|PF 1|＋|PF 2|＝14，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝196，100＋2|PF 1|·|PF 2|＝196，|PF 1||PF 2|＝48.答案：4810.已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程． 解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1， 得8x 281＋436＝1，即x 2＝9. ∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)， 把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15. 故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1. 11.(创新题)已知椭圆中心在原点，两焦点F 1、F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝ （－4＋5）2＋32＋ （－4－5）2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.。

高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]高中数学选修2-1 课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习（ P4）1、例:(1)若x2x 2 0,则 x 1;(2) 若x 1,则x2x 20 .2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题 .（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称 . 这是真命题 .（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题 .练习（ P6）1、逆命题：若一个整数能被 5 整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题 .否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被 5 整除 . 这是假命题 .逆否命题：若一个整数不能被 5 整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题 .2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题 .否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题 .逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题 .3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题 .否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题 .逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题 .练习（ P8）证明：证明：命题的逆否命题是：若 a b 1，则 a2b22a 4b 3a2b22a 4b 3 (a b) (a b) 2 (a b )2b当 a b 1时原式 a b 2 2 b 3 a b 10所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题 1.1 A组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数 a 与b的和a b 是偶数，则 a,b 都是偶数 . 这是假命题 .否命题：若两个整数a,b 不都是偶数，则 a b 不是偶数 . 这是假命题 .逆否命题：若两个整数 a 与b的和a b 不是偶数，则a, b 不都是偶数 . 这是真命题 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ] （ 2）逆命题：若方程x2x m 0 有实数根，则 m 0 . 这是假命题 .否命题：若 m 0 ，则方程 x2x m 0 没有实数根 . 这是假命题 .逆否命题：若方程x2x m 0 没有实数根，则m 0 . 这是真命题 .3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等 .逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题 .否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等 .这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上 .这是真命题.（ 2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题 .否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题 .逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题 .4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 1.1 B组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则 q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分 .此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设AB,CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E，若 E和圆心 O 重合，则 AB,CD 是经过圆心 O 的弦， AB,CD 是两条直径 . 若 E 和圆心O 不重合，连结AO, BO ,CO 和DO，则OE是等腰AOB，COD的底边上中线，所以，OE AB OE CD.，AB 和 CD 都经过点 E ，且与 OE 垂直，这是不可能的 . 所以， E 和 O 必然重合 . 即 AB 和 CD 是圆的两条直径 .原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1.2充分条件与必要条件练习（ P10）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真 .练习（ P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是 q 的必要条件 .2、（1） p 是 q 的必要条件；（2）p是q的充分条件；（ 3） p 是 q 的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题 1.2 A组（P12）1、略 .2、（ 1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是 a2b2r 2 .习题 1.2 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（ 1）充分性：如果 a2b2c2ab ac bc ，那么 a2b2c2ab ac bc0 .所以 (a b)2(a c)2(b c)20所以， a b 0 ， a c 0 ， b c0 .即 a b c ，所以，ABC 是等边三角形 .（ 2）必要性：如果ABC 是等边三角形，那么 a b c所以 (a b)2 (a c)2 (b c)2 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc1.3简单的逻辑联结词练习（ P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1） 2 2 5 ，真命题；（2）3不是方程x290 的根，假命题；（3） ( 1)21，真命题 .习题 1.3 A组（P18）1、（1） 4 {2,3} 或 2 {2,3} ，真命题；（2）4{2,3} 且 2 {2,3} ，假命题；（3）2 是偶数或 3 不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1） 2 不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3） 2 3 ，假命题；（4）8715 ，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 1.3 B组（P18）（1）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（2）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（3）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题；（4）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题 .1.4全称量词与存在量词练习（ P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.练习（ P26）1、（1）n0Z, n0Q ；（2）存在一个素数，它不是奇数；（ 3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题 1.4 A组（P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.3、（1）x0N , x03x02；（2）存在一个可以被 5 整除的整数，末位数字不是0；（3）x R, x2x 1 0 ；（4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题 1.4 B组（P27）（ 1）假命题 . 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（ 2）假命题 . 存在一个二次函数，它的图象与x轴不相交；（ 3）假命题 . 每个三角形的内角和不小于 180 ；（ 4）真命题 . 每个四边形都有外接圆 .第一章复习参考题 A 组（ P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题 .2、略 .3、（ 1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1）n N ,n2 0 ；（2）P { P P 在圆 x2 y2 r 2上}， OP r (O 为圆心)；（3）( x, y) {( x, y) x, y是整数 } ， 2x 4y 3 ；（ 4）x0 { x x 是无理数}， x03 { q q 是有理数} .6、（1） 3 2 ，真命题；（2） 5 4 ，假命题；（ 3）x0 R, x0 0 ，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参考题 B 组（ P31）1、（1） p q；（2） ( p) ( q) ，或( p q) .2、（1）Rt ABC ， C 90，A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，则 c2 a2 b2；（2）ABC ，A, B, C 的对边分别是a b c a, b, c ，则.sin A sin B sin C第二章 圆锥曲线与方程2.1曲线与方程练习（ P37）1、是 . 容易求出等腰三角形 ABC 的边 BC 上的中线 AO 所在直线的方程是 x 0 .2、 a 32 , b 18 .25 253、解：设点 A, M 的坐标分别为 (t,0) ， ( x, y) .（1）当 t 2 时，直线 CA 斜率 k CA2 0 22 t2 t1 t 2所以， k CB2kCA由直线的点斜式方程，得直线 CB 的方程为 y2 t 2 ( x 2) .2令 x 0 ，得 y 4 t ，即点 B 的坐标为 (0,4 t) .由于点 M 是线段 AB 的中点，由中点坐标公式得xt, y 4 t .t4 t ，22由 x得 t 2x ，代入 y2 2得 y42x，即 x y 20 ⋯⋯①2（ 2）当 t 2 时，可得点 A, B 的坐标分别为 (2,0) ， (0,2)此时点 M 的坐标为 (1,1) ，它仍然适合方程①由（ 1）（ 2）可知，方程①是点 M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题 2.1 A组（ P37）1、解：点 A(1, 2) 、 C (3,10) 在方程 x 2xy 2 y 1 0 表示的曲线上；点 B(2, 3) 不在此曲线上2、解：当 c 0 时，轨迹方程为 xc 1；当 c 0 时，轨迹为整个坐标平面 .23、以两定点所在直线为 x 轴，线段 AB 垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，得点 M 的轨迹方程为 x 2y 24.4、解法一：设圆 x 2 y 2 6x 5 0 的圆心为 C ，则点 C 的坐标是 (3,0) .由题意，得 CMAB ，则有 k CM k AB1 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]所以，yy 1 (x 3, x0)x 3x化简得 x 2y 2 3x 0 (x 3, x 0)当 x 3 时， y0 ，点 (3,0) 适合题意；当 x 0 时， y0 ，点 (0,0) 不合题意 .解方程组x 2 y 2 3x 0， 得 x5, y2 5x 2y 26x 5 033所以，点 M 的轨迹方程是 x2y 2 3x0 ，5x 3.OCM 是直角三角形，3解法二：注意到利用勾股定理，得 x 2 y 2 ( x 3)2 y 2 9 ，即 x 2 y 2 3x0 . 其他同解法一 .习题 2.1 B 组（ P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线 l 的方程为 xy 1 .a b因为直线 l 经过点 P(3,4) ，所以34 1 因此， ab 4a 3ba b由已知点 M 的坐标为 (a,b) ，所以点 M 的轨迹方程为 xy4x 3y 0 .2、解：如图，设动圆圆心 M 的坐标为 (x, y) .y由于动圆截直线 3x y 0 和 3x y 0 所得弦分别为BAB ， CD ，所以， AB8 ， CD4 .过点M 分别CMF E作直线 3xy 0 和 3x y 0 的垂线，垂足分别为 E ，DF ，则 AE4， CF 2 . A3x y3x yME， MF10 .10Ox连接 MA ， MC ，因为 MAMC ，（第 2题）22CF 22 则有， AE MEMF所以， 16 (3 x y)24 (3 x y) 2 ，化简得， xy 10 .10 10因此，动圆圆心的轨迹方程是xy 10 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]2.2椭圆练习（ P42）1、 14. 提示：根据椭圆的定义，PF1 PF2 20 ，因为 PF1 6 ，所以 PF22、（1）x2y2 1；（2） y2 x2 1；（3） x2 y2 1，或 y2 x2 16 16 36 16 36 163、解：由已知， a 5 ， b 4 ，所以c a2 b2 3.（1）AF1 B 的周长 AF1 AF2 BF1 BF2.由椭圆的定义，得 AF1 AF2 2a ， BF1 BF2 2a .所以，AF1B 的周长4a20 .（2）如果 AB 不垂直于x轴，AF1B的周长不变化 .这是因为①②两式仍然成立，AF1B 的周长20，这是定值.4、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，由已知，得直线 AM 的斜率y(x 1) ；kAMx 1直线 BM 的斜率y(x 1) ；kBMx 1由题意，得kAM2 ，所以y 2 y (x 1, y 0) k BM x 1 x 1化简，得 x 3 ( y 0)因此，点 M 的轨迹是直线 x 3 ，并去掉点 ( 3,0) .练习（ P48）yB2 1、以点B2（或B1）为圆心，以线段OA2 （或 OA1）为半径画圆，圆与 x 轴的两个交点分别为 F1 , F2. A 1 F1O点 F1 , F2就是椭圆的两个焦点.B 1 这是因为，在 Rt B2OF2中， OB2 b ， B2 F2 OA2 a ，（第 1题）所以， OF2 c . 同样有 OF1 c .2、（1）焦点坐标为( 8,0) ， (8,0) ；14 .1.F2A2x（ 2）焦点坐标为 (0,2) ， (0, 2) .3、（1）x 2 y 21；（ 2） y2x 2 1 .36 3225 164、（1）x 2y21（ 2） x2y21 ，或 y 2x 2 1. 94100 64100645、（1）椭圆 9x2y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是 1 ，316 12 2因为221，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 9x 2y 2 36 更扁；3216 12（2）椭圆 x29 y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是10 ，36105 因为2210，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 x 2 9 y 2 36更扁 .356106、（1） (3, 8) ； （2） (0,2) ； （3） ( 48 , 70) .7、82 . 5 3737 7习题 2.2 A组（ P49）1、解：由点 M (x, y) 满足的关系式x 2 ( y 3)2 x 2 ( y 3) 2 10 以及椭圆的定义得，点 M 的轨迹是以 F 1(0, 3) ， F 2 (0,3) 为焦点，长轴长为 10 的椭圆 .它的方程是y 2x 2 1.25 162、（1）x 2y 21； （ 2）y 2x 21 ；（3） x2y 21 ，或 y 2x 21.36 3225 9494049403、（1）不等式 2 x 2 ， 4 y 4 表示的区域的公共部分；（2）不等式 25 x2 5 ， 10 y10表示的区域的公共部分 .图略 .334、（1）长轴长 2a8，短轴长 2b 4 ，离心率 e 3 ，2焦点坐标分别是 ( 2 3,0) ， (2 3,0) ，顶点坐标分别为 ( 4,0) ， (4,0) ， (0, 2) ， (0,2) ；（2）长轴长 2a18 ，短轴长 2b6 ，离心率 e2 2 ，3焦点坐标分别是 (0, 6 2) ， (0,6 2) ，顶点坐标分别为 (0, 9) ，(0,9) ， ( 3,0) ， (3,0) .5、（1）x2y2 1 ；（2） x2 y2 1，或 y2 x2 1 ；8 5 9 81 9（3） x2 y2 1，或 y 2 x2 1 .25 9 25 96、解：由已知，椭圆的焦距F1F2 2.因为PF1F2的面积等于1，所以，1F1F2 y P 1，解得y P1. 2代入椭圆的方程，得x2 1 1 ，解得 x 15 .P5 4 215 l所以，点 P 的坐标是1) ，共有 4 个 .( ,2 QA 7、解：如图，连接 QA . 由已知，得 QA QP . O所以， QO QA QO QP OP r .又因为点 A 在圆内，所以OA OP（第 7题）根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O, A 为焦点，r为长轴长的椭圆 .8、解：设这组平行线的方程为y 3 x m .2把 y 3 x2 y21 ，得 9x2 6mx 2 18 0.x m 代入椭圆方程92m2 4这个方程根的判别式36m2 36(2m2 18)（ 1）由0 ，得 3 2 m 3 2 .当这组直线在 y 轴上的截距的取值范围是( 3 2,3 2) 时，直线与椭圆相交. （ 2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段 AB 的中点为 M (x, y) .则 x x1 x2 m .2 3因为点 M 在直线 y 3 x m 上，与 x m联立，消去 m ，得3x 2y 0 .2 3这说明点 M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x2y29、3.5252 2.87521.10、地球到太阳的最大距离为 1.5288 108 km，最下距离为 1.4712108 km. 习题 2.2 B 组（ P50）1、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，点 P 的坐标为( x0, y0)，则 x x0，y 3y0 . 所以 x0 x ，y0 2 y ⋯⋯① .2 3因为点 P(x0 , y0 ) 在圆上，所以 x02 y02 4 ⋯⋯②.将①代入②，得点 M 的轨迹方程为 x2 4 y2 4，即 x2 y2 19 4 9所以，点 M 的轨迹是一个椭圆与例 2 相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为P( x, y) ，半径为 R ，两已知圆的圆心分别为 O1, O2.分别将两已知圆的方程x 2 y2 6x 5 0 ， x2 y2 6x 91 0配方，得(x 3)2 y 2 4 ， ( x 3)2 y2 100当 P 与O1： ( x 3)2 y2 4 外切时，有O1P R 2 ⋯⋯①当P 与O2：( x 3)2y2100内切时，有O2P 10 R⋯⋯②①②两式的两边分别相加，得 O1P O2 P 12即， ( x 3)2 y2 (x 3) 2 y2 12 ⋯⋯③化简方程③ .先移项，再两边分别平方，并整理，得 2 (x 3)2 y2 12 x ⋯⋯④将④两边分别平方，并整理，得3x2 4 y2 108 0 ⋯⋯⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得x2y2 1 ⋯⋯⑥36 27由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，6 3 . 解法二：同解法一，得方程( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12 ⋯⋯①由方程①可知，动圆圆心P(x, y) 到点O1( 3,0)和点O2(3,0) 距离的和是常数12，第11页共38页。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）数学·选修2－1(人教A版)模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是()A．对任意实数x, 都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x, 都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：将“存在”改为“任意”，将“x＞1”改为“x≤1”，则命题的否定为“对任意实数x, 都有x≤1”．故选C.答案：C2．已知非零向量a、b，则“a＋b＝0”是“a∥b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件解析：若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b，反之若a∥b，不一定有a＋b＝0.故选A.答案：A3．若椭圆两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，椭圆的弦AB过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为()A.x225＋y29＝1 B.x29＋y225＝1C.x225＋y216＝1 D.x216＋y29＝1答案：A4．设|a|＝3，|b|＝6, 若a·b＝9，则〈a，b〉等于() A．90°B．60°C．120°D．45°答案：B5．以双曲线x29－y216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是()A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x＋16＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＋16＝0D ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0解析：因为c ＝a 2＋b 2＝5，所以双曲线的右焦点为(5,0)，渐近线为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0，点(5,0)到渐近线的距离为d ＝|4×5|42＋32＝4，所以所求圆的半径为r ＝d ＝4，所以圆的方程为(x －5)2＋y 2＝16.故选A.答案：A6．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是( )A.OM→＝OA →＋OB →＋OC → B.OM →＝2OA →－OB →－OC → C.OM →＝OA →＋12OB →＋13OC → D.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →答案：D7．已知向量a ＝(1,1，－2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，1x ，若a·b ≥0，则实数x的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 答案：C8．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，若在椭圆上存在一点P ，使∠F 1PF 2＝120°，则椭圆离心率的范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1解析：设椭圆一个短轴的顶点为B ，则∠F 1PF 2是椭圆上的点与焦点连线所成角的最大角，依题意有60°≤∠F 1PF 2<90°，所以sin∠F 1PF 2≥ sin 60°＝32，即c a ≥32，又c a ＜1，所以32≤ca＜1.故选D.答案：D二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)9．椭圆x 225＋y 216＝1的离心率为________．答案：3510．已知a ＝(2，－3,1)，b ＝(4，－6，x )，若a ⊥b ，则x 等于________．答案：－2611．命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝1或x ＝3”的逆否命题为______________________．答案：若x ≠1且x ≠3，则x 2－4x ＋3≠012．以下命题：①以直角三角形的边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③一个平面截圆锥．得到一个圆锥和一个圆台． 其中真命题的个数是________个． 答案：013．若圆C 以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是________．解析：抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1，则圆心到准线的距离为2，则圆的半径为22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝13，所以圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝13.答案：(x －1)2＋y 2＝1314. 下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②∀x ∈Q ，12x2＋x －13是有理数；③∃α，β∈R ，使sin (α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10.所有真命题的序号是________．解析：①②显然正确；对于③，若α＝π2，β＝0，则sin(α＋β)＝1，sin α＋sin β＝1＋0＝1，等式成立，所以③正确；对于④，x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10成立，所以④正确．故填①②③④.答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4≥0对于一切x ∈R 恒成立，命题q ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数的取值范围．解析：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对于一切x ∈R 恒成立，所以g (x )函数的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，所以－2＜a ＜2.若q 为真命题，a ≤x 2恒成立，即a ≤1.由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 、q 一真一假.①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ＞1，所以1＜a ＜2；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ≤1，所以a ≤－2；综上可知，所求实数a 的取值范围是{a |1＜a ＜2或a ≤－2}．16．(本小题满分12分)直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆C ：x 2＋y 22＝1交于A 、B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB (O 为坐标原点)，如右图所示．(1)当k ＝－1时，求AB 的长； (2)当k 变化时，求点P 的轨迹方程．解析：(1)当k ＝－1时，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，2x 2＋y 2＝2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝43，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即A 、B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43，(1,0)．∴ |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－432＝423.(2)设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x 2＋y 2＝2，整理得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 由此得x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点E 是AB 的中点，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2k k 2＋2，y ＝4k 2＋2，消去k 得2x 2＋y 2－2y ＝0，这就是点P 的轨迹方程．17．(本小题满分14分)如右图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、 CD 的中点.(1)证明：AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)证明：面AED⊥面A1FD1.方法一以点D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴，建立如下图的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)．→＝(0,1，－2)，AE→＝(0,2,1).∴AD→＝(－2,0,0)，D1F→＝0，(1)证明：∵AD→·D1F∴ AD⊥D1F.→＝0，(2)解析：∵AE→·D1F∴AE与D1F所成的角为90°.(3)证明：由(1)知AD⊥D1F，由(2)知AE⊥D1F，又AD∩AE＝A，所以D1F⊥面AED.又因为D1F⊂面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.方法二(1)证明：∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴AD⊥面CDD1C1，又D1F⊂面CDD1C1，∴AD⊥D1F.(2)解析：如下图，取AB中点G，连接A1G，FG.因为F是CD的中点，所以GF与AD平行且相等．又A1D1与AD平行且相等，所以GF与A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，∴A1G∥D1F.设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角或其补角．因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE.所以∠GA1A＝∠GAH，从而∠AHA1＝90°，即直线AE与D1F所成的角为直角．(3)证明：由(1)知AD⊥D1F，由(2)知AE⊥D1F，又AD∩AE＝A，所以D1F⊥面AED.又因为D1F⊂面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.18．(本小题满分14分)(2013·广东卷)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′BCDE，其中A′O＝ 3.(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值．答案：(1)证明：在图2中连接AO交DE于点G，在图2中连接A′G，因为A′G⊥DE，OG⊥BC，BC∥DE，A′G∩OG＝G，所以BC⊥平面A′OG，又A′O⊂平面A′OG，所以BC⊥A′O.连接OD，在△OCD中，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CD cos 45°＝32＋2－2×3×2×22＝5，所以OD ＝5，因为AC ＝AB ＝32，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2， 所以A ′O ⊥OD ，OD ∩OG ＝O ， 所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)解析：以O 点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示．则A ′(0,0，3)，C (0，－3,0)，D (1，－2,0)，所以CA ′→＝(0,3，3)，DA ′→＝(－1,2，3)，设平面A ′CD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CA ′→＝0，n ·DA ′→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋3z ＝0，－x ＋2y ＋3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝3x ，令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)．由图2知，OA ′→＝(0,0，3)为平面CDB 的一个法向量， 所以cos 〈n ，OA ′→〉＝n ·OA ′→|n |·|OA ′→|＝33×5＝155，所以二面角A ′CDB 的平面角的余弦值为155.19.(本小题满分14分)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，它的一个顶点为M (0,1)，离心率e ＝63. (1)求椭圆方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝3.求证：直线AB 过定点，并求出直线AB 的斜率k 的取值范围．解析：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b2a＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋t ，代入椭圆方程，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3(t 2－1)＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6kt 3k 2＋1，x 1·x 2＝t 2－3k 2＋1，由k 1＋k 2＝3，得y 1－t x 1＋y 2－tx 2＝3，①又y 1＝kx 1＋t ，y 2＝kx 2＋t ，②由①，②得2k ＋(t －1)·2kt 3＝3，化简，得t ＝2k －33.则直线AB 的方程为y ＝kx ＋2k －33＝k (x ＋23)－1， 所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－1.又由于直线AB 和椭圆有两个不同的交点， 则Δ＝36k 2t 2－12(3k 2＋1)(t 2－1)＞0，又t ＝2k －33，解得直线AB 的斜率的取值范围是k ＜－1223或k ＞0 .20．(本小题满分14分)(2013·福建卷)如图，在抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心|OC |为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．解析：(1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1，由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝ 5. 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 416＋y 20， 即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 20－4⎝⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0， 所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆的半径为332.。

人教A 版选修2-1课本例题习题改编1. 原题（选修2-1第四十一页例3）改编 已知点A 、B 的坐标分别是A （0，-1），B （0，1），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-t ，t ∈（0，1]．求M 的轨迹方程，并说明曲线的类型．解：设M （x ，y ），则10BM y k x -=- (x ≠0)，(1)0AM y k x --=-(x ≠0)，BM AM k k =-t ，10y x -- ∙(1)0y x ---=-t(x ≠0)，整理得221x y t+=1(x ≠0)（1）当t ∈（0，1）时，M 的轨迹为椭圆（除去A 和B 两点）；（2）当t=1时，M 的轨迹为圆（除去A 和B 两点）．2. 原题（选修2-1第四十七页例7）改编 在直线l ：04=-+y x 上任取一点M ，过点M 且以双曲线1322=-y x 的焦点为焦点作椭圆．(1)M 点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程．解：(1).4,3,122222=+=∴==b a c b a 故双曲线1322=-y x 的两焦点),0,2(),0,2(21F F -过2F 向l 引垂直线‘l ：2-=x y ，求出2F 关于l 的对称点2‘F ，则2‘F 的坐标为（4，2）（如图）， 直线21‘F F 的方程为023=+-y x 。

∴⎩⎨⎧=-+=+-.04,023y x y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.23,25y x ∴)23,25(M 即为所求的点.此时，=+21MF MF 2'1MF MF +2'1F F ==102(2)设所求椭圆方程为12222=+by a x ，∴,2,10==c a ∴.6410222=-=-=c a b ∴所求椭圆方程为161022=+y x . 3. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A 组第八题）改编 已知椭圆与双曲线22221x y -=0）（1）求椭圆的标准方程．（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为221122x y -=1，则c=1．∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为22221x y a a +-=10），∴22201a a +-=1，即2a =2，∴椭圆方程为222x y +=1． （2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b ，弦的中点坐标为（x ，y ），则 y=2x+b且 222x y +=1得2298220x bx b ++-=，∴1289b x x +=-，1229b y y +=．即x=49b -，y=9b ，两式消掉b 得 y=14-x ．令△=0，226436(22)0b b --=，即b=±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±3，即当x=±43时斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦得中点轨迹方程为：y=1-x （4-≤x≤4）． 解：∵双曲线2211620x y -=得：a=4，由双曲线的定义知||P 1F |-|P 2F ||=2a=8，|P 1F |=9， ∴|P 2F |=1＜（不合，舍去）或|P 2F |=17，故|P 2F |=17．5．原题（选修2-1第六十二页习题2.3B 组第四题）改编 经过点A （2，1）作直线L 交双曲线2212y x -=于1P ，2P 两点，求线段1P 2P 的中点P 的轨迹方程． 解：设直线L 的方程为y=k （x-2）+1，（1）；将（1）式代入双曲线方程，得：2222(2)(42)4430k x k k x k k -+--+-=，（2）； 又设1P （1x ，1y ），2P （2x ，2y ），P(x ，y)，则1x ，2x 必须是（2）的两个实根，所以有1x +2x =22422k k k -- (2k -2≠0)．按题意，x=122x x +，∴x=2222k k k --．因为(x ，y)在直线（1）上，所以y=k(x-2)+1=222(2)2k k k k ---+1=22(21)2k k --．再由x ，y 的表达式相除后消去k 而得所求轨迹的普通方程为2214()8(1)2177y x ---=，这就是所求的轨迹方程． 6．原题（选修2-1第七十二页练习题3）改编 过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与抛物线)0(22>=p px y 交于不同的两点A 、B ，试确定实数a 的取值范围，使||2AB p ≤． 解：由题意，直线l 的方程为a x y -=，将px y a x y 22=-=代入，得0)(222=++-a x p a x ．设直线l 与抛物线的两个交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>-+.),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a又a x y a x y -=-=2211,， ∴221221)()(||y y x x AB -+-=]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=． ∵ 0)2(8,2||0>+≤<a p p p AB ， ∴ p a p p 2)2(80≤+<． 解得42p a p -≤<-． 故]4,2(p p a --∈时，有||2AB p ≤． 7. 原题（选修2-1第七十三页习题2.4A 组第六题）改编 直线l 与抛物线22y x =相交于A 、B 两点，O 为抛物线的顶点，若OA ⊥OB ．则直线l 过定点解：设点A ，B 的坐标分别为（1x ，1y ），（2x ，2y ）（I ）当直线l 存在斜率时，设直线方程为y=kx+b ，显然k ≠0且b ≠0．联立方程得：2,2y kx b y x =+=消去y 得222(22)0k x kb x b +-+=，由题意：1x 2x =22b k ，12122()()b y y kx b kx b k =++=，又由OA ⊥OB 得12120x x y y +=，即 2220b b k k+=，解得b=0（舍去）或b=-2k ，故直线l 的方程为：y=kx-2k=k （x-2），故直线过定点（2，0）（II ）当直线l 不存在斜率时，设它的方程为x=m ，显然m ＞0，联立方程2,2x m y x ==解得y =即1y 2y =-2m ，又由OA ⊥OB 得12120x x y y +=，即22m m -=0，解得m=0（舍去）或m=2，可知直线l 方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．8. 原题（选修2-1第八十一页复习参考题B 组第一题）改编 已知F 1、F 2分别为椭圆191622=+y x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，求21F PF ∆的面积.解：依题意，可知当以F 1或F 2为三角形的直角顶点时，点P 的坐标为94⎛⎫± ⎪⎝⎭，则点P 到x 轴的距离为49，此时21F PF ∆的面积为479；当以点P 为三角形的直角顶点时，点P 的坐标为3779>，舍去。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章 常用逻辑用语本章归纳整合高考真题1．(2012·重庆)命题“若p 则q ”的逆命题是( )． A ．若q 则p B ．若綈p 则綈qC ．若綈q 则綈pD ．若p 则綈q 解析 原命题的逆命题是交换原命题的条件和结论．故选A.答案 A2．(2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是 ( )．A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4 解析 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，故选C. 答案 C3．(2012·山东)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是 ( )．A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C.答案 C4．(2012·湖北)设a ，b ，c ∈R ＋，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c ”的 ( )． A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件解析 ∵abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ac ＋1ab， ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴1bc ＋1ac≥2 1abc 2＝2· 1c ＝2c ，① 同理1bc ＋1ab ≥2b，② 1ac ＋1ab ≥2a，③ 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．①＋②＋③得a ＋b ＋c ≥1a ＋1b ＋1c ， 故abc ＝1是1a ＋1b ＋1c≤ a ＋b ＋c 的充分条件． 再令a ＝2，b ＝c ＝1，满足a ＋b ＋c ≥1a ＋1b ＋1c ， 但abc ≠1，故abc ＝1不是1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c 的必要条件．故选A. 答案 A 5．(2012·天津)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的 ( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 因为{x |2x 2＋x －1＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＞12或x ＜－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞12{x |2x 2＋x －1＞0}，故选A.答案 A6．(2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )． A ．x ＝－12B ．x ＝－1C．x＝5 D．x＝0解析a⊥b⇔a·b＝0，a·b＝(x－1,2)·(2,1)＝2(x－1)＋2×1＝2x＝0，∴x＝0，故选D.答案 D7．(2012·上海)对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析当m＜0，n＜0时，mn＞0，但mx2＋ny2＝1没有意义，不是椭圆；反之，若mx2＋ny2＝1表示椭圆，则m＞0，n＞0，即mn＞0.故选B.答案B。

高中数学选修2-1课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习(P4)1、例：(1)若J+x-2=0,贝1J x=1;(2)若x=1,贝1+》一2=0.2、(1)真；(2)假；(3)真；(4)真.3、(1)若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等.这是真命题.(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称.这是真命题.(3)若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行.这是假命题.练习(P6)1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0.这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0,则这个整数不能被5整除.这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等.这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等.这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数.这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称.这是真命题.逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数.这是真命题.练习(P8)证明：证明：命题的逆否命题是：若a—b=1,则a2~b2+2a—4b—3a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2<(i-b\-2?当。

一力=1时原式—ci+b-Q.-2.b-?>-b1—所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题1.1A组(P8)1、(1)是；(2)是；(3)不是；(4)不是.2、(1)逆命题：若两个整数。

与人的和a+b是偶数，则都是偶数.这是假命题.否命题：若两个整数。

，力不都是偶数，则a+b不是偶数.这是假命题.逆否命题：若两个整数。

与人的和a+b不是偶数，则。

，力不都是偶数.这是真命题.(2)逆命题：若方程x2+x-m=0有实数根，贝血＞0.这是假命题.否命题：若m＜Q,则方程x2+x-m=0没有实数根.这是假命题.逆否命题：若方程x2+x-m=0没有实数根，则m＜0.这是真命题.3、(1)命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等.这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上.这是真命题.(2)命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形.这是假命题.否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等.这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形.这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等.这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题.所以，原命题也是真命题.习题1.1B组(P8)证明：要证的命题可以改写成“若p,则0”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设A3,CD是。

高中数学人教A 版选2-1 同步练习1.顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( )A ．x 2＝16yB ．x 2＝8yC ．x 2＝±8yD ．x 2＝±16y解析：选D.顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程有两个：x 2＝－2py ，x 2＝2py (p >0)．由顶点到准线的距离为4知p ＝8，故所求抛物线方程为x 2＝16y ，x 2＝－16y .2.过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．64解析：选B.由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x ，得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝12，弦长＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.3.抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若|AB |＝43，则焦点到弦AB 的距离为__________．解析：不妨设A (x ，23)，则(23)2＝4x ，∴x ＝3，∴AB 的方程为x ＝3，抛物线的焦点为(1，0)，∴焦点到弦AB 的距离为2.答案：24.过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则这样的直线有__________条．解析：可知点(2，4)在抛物线y 2＝8x 上，∴过点(2，4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．答案：2[A 级 基础达标]1.(.·奉节调研)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程为( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0解析：选D.设切线方程为2x －y ＋m ＝0，与y ＝x 2联立得x 2－2x －m ＝0，Δ＝4＋4m ＝0，m ＝－1， 即切线方程为2x －y －1＝0.2.设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选D.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴p 2＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p 2， ∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．3.抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( ) A.15B ．215 C.152 D ．15解析：选A.令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1 y 2＝12x得4x 2－8x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， ∴|AB |＝（1＋22）（x 1－x 2）2＝5[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝15.4.抛物线y 2＝4x 上的点P 到焦点F 的距离是5，则P 点的坐标是________．解析：设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋1＝5，∴x 0＝4，∴y 20＝16，∴y 0＝±4.答案：(4，±4)5.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为__________．解析：设抛物线C 的方程为y 2＝ax (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax y ＝x 得交点坐标为A (0，0)，B (a ，a )，而点P (2，2)是AB 的中点，从而有a ＝4，故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x6.若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求P 点横坐标及抛物线方程．解：设P (x ，y )，则∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9 p ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1 p ＝18∴P 点横坐标为9或1， ∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .[B 级 能力提升]7.以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系为( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定解析：选C.|PF |＝x P ＋p 2，∴|PF |2＝x P 2＋p 4，即为PF 的中点到y 轴的距离．故该圆与y 轴相切． 8.等腰Rt △AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)．O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2解析：选B.∵抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 是等腰直角三角形，∴由反射线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ， y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0 y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ， y ＝2p . ∴A 、B 两点的坐标分别为(2p ，2p )和(2p ，－2p )，∴|AB |＝4p ，S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.9.已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0 y ＝ax 2，得ax 2－x ＋1＝0， 由Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14. 答案：1410.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．解：由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上．故可设抛物线方程为：y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称，所以点A 与B 关于x 轴对称，∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23，∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4得x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程，得： (3)2＝±a ，∴a ＝±3.∴所求抛物线方程是：y 2＝3x 或y 2＝－3x .11.(创新题)某隧道横断面由抛物线拱顶与矩形三边组成，尺寸如图．某卡车在空车时能过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，此车能否通过此隧道，说明理由．解：如图建立直角坐标系．设抛物线标准方程为x 2＝－2py (p >0)，则点(3，－3)在抛物线上，求得p ＝32，上拱抛物线方程为x 2＝－3y ，箱宽3(米)，故当x ＝1.5(米)时，y ＝－0.75(米)，即B (1.5，－0.75)，那么B 点到底的距离为5－0.75＝4.25(米)，而车与箱的高为4.5(米)，故不能通过．。