高二入学测试

新高二开学摸底考试卷数学·答案及评分标准一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．12345678910CCBADADCBD二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.1i --/1i --12.892-（第一空3分，第二空2分）13.131514.()3,2315.①④（答对一个给3分，全对给5分）三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（13分）【解】解：（1）因为(1,3),(1,2)a b =-= ，所以11325a b ⋅=-⨯+⨯=，（6分）（2）设a 与b夹角为θ，则222252cos 2(1)312a b a b θ⋅===-+⋅+ ，（8分）因为[0,]θπ∈，所以4πθ=，所以a 与b 夹角的大小为4π，（9分）（3）因为(1,3),(1,2)a b =-=，所以22(1,3)(1,2)(3,4)a b -=--=-，（11分）所以222(3)45a b -=-+=（13分）17．（13分）【解】（1）如图所示，连接AC ，交BD 于点O ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，（3分）又因为在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，且注意到1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面1ACA ，所以BD ⊥平面1ACA ，（3分）而1AC ⊂平面1ACA ，所以1BD AC ⊥；（8分）（2）如图所示，连接OE ，（9分）因为,O E 分别为1,AC AA 的中点，所以1//OE AC ，（11分）而1A C ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，（12分）从而1//AC 平面BDE .（13分）18．（14分）【解】（1）在ABC 中，由正弦定理得22sin sin2sin sin 2sin sin cos sin sin ,77B A A B B A A A B =-⇒=-（4分）因为sin 0,sin 0B A ≠≠，所以1cos 7=-A ，（6分）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入2264492,2150b b b b =+-∴--=，解得3b =或=5b -（舍）（8分）（2）由余弦定理推论得222649491cos 22832a b c C ab +-+-===⨯⨯，（10分）因为0πC <<，所以角π3C =；（11分）因此ABC 的面积为11sin 8322ab C =⨯⨯=（14分）19．（15分）【解】（1）解：由题意知，样本中高一学生共有100人，其中选择历史学科的学生有20人，故估计高一年级选历史学科的学生有20400=80100⨯人．（5分）（2）解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，（6分）从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}45,A A ，共10种，设A 为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，（8分）则A 为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有2{A ，3}A ，4{A ，5}A 共2种，（10分）所以事件A 发生的概率24()1()1105P A P A =-=-=．（12分）（3）解：10.80.60.50.24P =⨯⨯=，20.70.450.40.126P =⨯⨯=，30.350.550.60.1155P =⨯⨯=，40.20.40.40.032P =⨯⨯=，50.350.40.40.056P =⨯⨯=，60.60.60.70.252P =⨯⨯=，∴当k P 取得最大值时，6k =．（15分）20．（15分）【解】（1）在ABC 中，因为2224a b c S +-=，则12cos sin 24ab C ab C =，整理得tan 1C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4C =.（6分）（2）由正弦定理得sin sin 2sin cos C B B A -=,()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ,sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A ∴+-=,sin cos cos sin sin A B A B B ∴-=,于是()sin sin A B B -=,（8分）又(),0,πA B ∈，故ππA B -<-<，所以()πB A B =--或B A B =-，（10分）因此πA =（舍去）或2A B =，所以2A B =.（12分）πππ,,,424C A B =∴== （14分）所以ABC 是等腰直角三角形.（15分）21．（15分）【解】（1）因为90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥，（1分）因为平面11ABB A ⊥平面ABC ，平面11ABB A 平面ABC AB =，BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，（2分）因为三棱柱111ABC A B C -，所以四边形11ABB A 是平行四边形，（3分）因为1AA AB =，所以11ABB A 是菱形，所以11AB A B ⊥，（4分）因为11A B BC B = ，1A B ，BC 平面1A BC ，所以1AB 平面1A BC ，（5分）因为1AC 平面1A BC ，所以11AB AC ⊥；（6分）（2）若选择条件①：（ⅰ）因为11AC AC =，所以平行四边形11ACC A 为矩形，所以1AA AC ⊥，（7分）由（1）知，1AA BC ⊥，因为AC BC C = ，BC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，（8分）因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（9分）（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，（10分）因为11AA AB ==，所以12AC =，3AC =2BC =12A B =（11分）作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.（12分）作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.（13分）因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以63BD =（14分）因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以6sin 3BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --63（15分）若选择条件②：12A B =，因为11AA AB ==，所以22211AA AB A B +=，所以1AA AB ⊥，由（1）知，1AA BC ⊥，因为AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥平面ABC ，因为1AA ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面ABC ；（9分）（ⅱ）因为1AA ⊥平面ABC ，AC 平面ABC C =，所以直线1AC 与平面ABC 所成的角为1A CA ∠，所以130ACA ∠=︒，因为11AA AB ==，所以12AC =，3AC =2BC =12A B =作BD AC ⊥于D ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.作1DE A C ⊥于E ，连接BE ，因为BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BDE ，所以1A C ⊥平面BDE ，因为BE ⊂平面BDE ，所以1A C BE ⊥，所以BED ∠是二面角1B A C A --的平面角.（13分）因为AC BD AB BC ⋅=⋅，所以63BD =因为11AC BE A B BC ⋅=⋅，所以1BE =，所以6sin 3BD BED BE ∠==，所以二面角1B A C A --63（15分）。

2023年秋高二开学摸底考试检测卷数学学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．设集合，集合，集合，则( )A. B. C. D.2．已知( )A.-iB.iC.0D.13．不等式的解集为，则函数的图象大致为( )A. B. C. D.4．已知函数是偶函数，则( )A.2B.1C.-1D.-25．若，，，则( )A. B. C. D.6．为得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点( )7．已知向量，，，且，则实数k的值为( )A.8．已知直线与平行，则实数m的值为( ) U=R{24}A x x=-<<∣{}27100B x x x=-+<∣UA B=ð{22}x x-<<∣{22}x x-<≤∣{25}x x<<∣{25}x x<≤∣z=z-=20ax x c-+>{21}x x-<<∣2y ax x c=++e()1e exx xaf x x--⎛⎫=+⎪+⎝⎭a=0.110a=lg0.8b=5log3.5c=a b c>>b a c>>c a b>>a c b>>2sin3y x=π2sin35y x⎛⎫=+⎪⎝⎭(,3)k=a(1,4)=b(2,1)=c(23)-⊥a b c1:(3)453l m x y m++=-2:2(5)8l x m y++=二、多项选择题9．已知角的终边与单位圆交于点( )C.10．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是( )11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E ，F ，且A. B.平面ABCDC.的面积与的面积相等D.三棱锥的体积为定值12．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图，如图所示.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为，，平均数分别为，，则下面正确的是( )α03,5y ⎛ ⎝=1091111ABCD A B C D -11B D EF =AC BE ⊥//EF AEF △BEF △A BEF -1m 2m 1s 2sA. B. C. D.三、填空题13．设的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，，则__________.14．如图，O 为所在平面外一点，M 为BC 的中点，若与同时成立，则实数的值为__________.15．已知，且，则的最小值为__________.12m m >12m m <12s s <12s s >ABC △2sin 3sin B C =4a =2c =cos C =ABC △AG AM λ=111244OG OA OB OC =++λ0x >0y >222x y xy ++=2x y +16．已知两点和，则以AB 为直径的圆的标准方程是__________.四、解答题17．设集合，集合.（1）若“”是“”的必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数m 的取值范围.18．已知函数.（1）求的值；（2）用定义证明函数在上为增函数；（3）若，求实数a 的取值范围.19．已知（1）求角A ；（2）若的外接圆半径为1，求的面积S 的最大值.20．如图，是棱长为4的正方体，E 是的中点.（1）证明：；（2）求三棱锥的体积.21．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(4,9)A (6,3)B {12}A xx =-≤≤∣{21}B x m x =<<∣x A ∈x B ∈()B A R ð()f x =(2,2)x ∈-((1))f f ()f x (2,2)-(2)(21)f a f a +>-ABC △=ABC △ABC △1111ABCD A B C D -11B D AC DE ⊥1A CEB -[20,25)（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率.22．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在AD 边所在的直线上.（1）求AD 边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD 外接圆的标准方程.(2,0)M AB 360x y --=(1,1)T -参考答案1．答案：B解析：集合，或，，故选B.2．答案：A解析：因为，所以.故选A.3．答案：C解析：因为不等式的解集为，所以，所以.令，解得或.所以抛物线开口向下，与x 轴的交点的横坐标分别为，2.故选C.4．答案：D解析：是偶函数，，即，得.故选D.5．答案：D解析：，.故选D.6．答案：D解析：因为，所以要得到函数的图象，只要把函数7．答案：C{}27100{25}B x x x x x =-+<=<<∣∣{2U B x x =≤∣ð5}x ≥{22}U A B x x =-<≤ ∣ð21i (1i)122i 2(1i)(1i)2z --===-++-1i 2=11i i i 22z z -=--=-20ax x c -+>{21}xx -<<∣02121a ⎧⎪<⎪⎪-⨯=⎨⎪⎪-+⎪⎩12a c =-⎧⎨=⎩222y ax x c x x =++=-++220x x -++=1x =-2x =1-e (1)e e ()1e ee e x xxx xx xa x a f x x ----⎡⎤++⎛⎫⎣⎦=+= ⎪++⎝⎭e (1)e e (1)e e e e ex x x xx x x xa x a x ----⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦∴-=++()(2)e e 0x x a x -++=2a =-0.15101log 3.50lg 0.8a cb =>>=>>= ac b ∴>>ππ2sin 32sin 3515y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 3y x =π2sin 35y x ⎛=+ ⎝解析：，又，，即，解得.故选C.8．答案：A解析：当时，两直线方程分别为，，此时两条直线不平行；当时，两直线方程分别为，，此时两条直线不平行；当且时，两直线方程分别为两条直线平行，.综上，.故选A.9．答案：AC解析：角的终边与单位圆交于点，，10．答案：BD解析：由题意设一等品编号为a ，b ，二等品编号为c ，次品编号为d ，从中任取2件的基本情况有，，，，，，共6种.对于A ，两件都是一等品的基本情况有，共1种，故两件都是一等品的概率，故A 错误；对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有，，，共3种，故两件中有1件是次品的概率对于C，两件都是正品的基本情况有，，，共3种，故两件都是正品的概率对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有，，，，，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率23(23,6)k -=-- a b (23)-⊥a b c (23)0∴-⋅=a b c (23)2(6)0k -⨯+-=3k =3m =-72y =4x y +=5m =-210x y -=-4x =3m ≠-5m ≠-34m y x +=-+25y x m =-++34m +∴-=≠7=-7m =- α03,5y ⎛⎫ ⎪⎝⎭209125y ∴+=0y ∴=0tan 35y α∴==43α=tan 23tan 1αα+==-43α=-tan 23tan 1αα+==-(,)a b (,)a c (,)a d (,)b c (,)b d (,)c d (,)a b 116P =(,)a d (,)b d (,)c d 236P ==(,)a b (,)a c (,)b c 336P ==(,)a b (,)a c (,)a d (,)b c (,)b d 4P =11．答案：ABD解析：A 项，为正方体平面，故A 正确；B 项，显然，即，所以平面ABCD ，故B 正确；C 项，易证的距离而点B 到的距离，所以，故C 错误；D 项，显然点A 到平面BEF 的距离12．答案：BC解析：由题中频率分布直方图得，甲地区的频率为，的频率为，所以甲地区用户满意度评分的中位数，甲地区的平均数.乙地区的频率为，的频率为，所以乙地区用户满意度评分的中位数，乙地区的平均数，所以，.故选BC.解析：因为，所以，又因为，所以，所以1111ABCD A B C D -1AC BDAC AC DD ⊥⎧⇒⇒⊥⎨⊥⎩1BDD B AC BE ⇒⊥11//B D BD //EF BD //EF 1AB D △11D 1d ==11B D 211d BB ==112AEF S EF d =⋅=△21124BEF EF d =⋅=△12h AC ==111334A BEF BEF V S h -=⋅=⨯=△[40,60)(0.0150.020)100.35+⨯=[60,70)0.025100.25⨯=10.50.356010660.25m -=+⨯=1450.01510550.02010650.02510750.02010s =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯850.01010950.0101067+⨯⨯+⨯⨯=[50,70)(0.0050.020)100.25+⨯=[70,80)0.035100.35⨯=20.50.25701077.10.35m -=+⨯≈2550.00510650.02010750.03510850.02510950.01510s =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯77.5=12m m <12s s <2sin 3sin B C =23b c =2c =3b =2221694cos 2243a b c C ab +-+-===⨯⨯解析：，所以15．答案：解析：因为，且，所以，当且仅当时取等号.16．答案：解析：因为，，故AB 的中点为，又则所求圆的标准方程是.17．答案：（1）（2）解析：（1）由“”是“”的必要条件，得.当时，，解得，则当时，，解得综上知，实数m 的取值范围为.（2）依题意，得或.由中只有一个整数知，从而得中仅有一个整数，因此有，即.所以实数m 的取值范围为.11111()24424AG OG OA OA OB OC OA OA OB OC =-=++-=-++111222OA OM AM =-+= λ=2+0x >0y >(1)(21)3x y --=2(1)(21)22x y x y +=-+-+≥≥2x y =22(5)(6)10x y -+-=(4,9)A (6,3)B (5,6)AB ==22(5)(6)10x y -+-=12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭x A ∈x B ∈B A ⊆B =∅21m ≥m ≥A ⊆m ≥B ≠∅2121m m <⎧⎨≥-⎩12m -≤<12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭{1A x x =<-R ∣ð2}x >()B A R ðB ≠∅(){21}{1}B A xm x x x =<<<-R ∣∣ð2-322m -≤<-312m -≤<-312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭（2）证明见解析（3）解析：（1）因为所以（2）任取，且，则因为，所以，，所以，即.所以函数在上为增函数.（3）由（2）知在上为增函数，又，所以，解得.所以实数a 的取值范围是.19．答案：（1）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭1(1)14f ==+2115((1))5145f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭12,(2,2)x x ∈-12x x <()()1212221244x x f x f x x x -=-=++1222x x -<<<210x x ->1240x x -<()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x (2,2)-()f x (2,2)-(2)(21)f a f a +>-2222212221a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩4123a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩102a <<1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭π3A ==，所以因为，所以（2）因为的外接圆半径为1，所以由余弦定理得，所以，当且仅当时，等号成立，所以故20．答案：（1）证明见解析解析：（1）如图，连接BD .四边形ABCD 是正方形，.在正方体中，平面ABCD ，又平面，.又，平面，平面，平面.又平面，.=222c a bc +-=222cos 2b c a A bc +-==(0,π)A ∈A =ABC △2sin a R A ==222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥3bc ≤b c =11sin 322ABC S bc A =≤⨯=△ABC △ AC BD ∴⊥1111ABCD A B C D -1D D ⊥AC ⊂ABCD 1AC D D ∴⊥1D D BD D = 1D D ⊂11BDD B BD ⊂11BDD B AC ∴⊥11BDD B DE ⊂11BDD B AC DE ∴⊥（2）设AC 与BD 交于点F ，连接，.在正方体中，，.又E ，F 分别是，的中点，，，四边形是平行四边形，.平面，平面，平面.又正方体的棱长为4，21．答案：（1）0.6（2）利润Y的所有可能值为，300，900；Y 大于零的概率的估计值为0.8解析：（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，.所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则；若最高气温位于区间，则；若最高气温不低于25，测，1B F 1AB 1111ABCD A B C D -11//BD B D 11BD B D =11B D BD 1//DF B E ∴1DF B E =∴1DFB E 1//DE B F ∴DE ⊂/ 1AB C 1B F ⊂1AB C //DE ∴1AB C 1111ABCD A B C D -1111113A CEB E ABCD AB C B ADC ADC V V V V B B S ----∴====⋅△1144432=⨯⨯⨯⨯=100-0.6=2006(450200)24504100Y =⨯+-⨯-⨯=-[20,25)3006(450300)24504300Y =⨯+-⨯-⨯=450(64)900Y =⨯-=所以，利润Y 的所有可能值为，300，900.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为.因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.22．答案：（1）（2）解析：（1）因为AB 边所在直线的方程为，且AD 与AB 垂直，所以边AD 所在直线的斜率为-3.又点在边AD 所在直线上，所以AD 边所在直线的方程为，即.（2）由，解得，即点A 的坐标为.因为矩形ABCD 的两条对角线的交点为，所以点M 为矩形ABCD 外接圆的圆心.又矩形ABCD 外接圆的半径所以矩形ABCD 外接圆的标准方程为.100-3625740.890+++=320x y ++=22(2)8x y -+=360x y --=()1,1T -13(1)y x -=-+320x y ++=360320x y x y --=⎧⎨++=⎩02x y =⎧⎨=-⎩(0,2)-(2,0)M ||r AM ===22(2)8x y -+=。

高二上学期入学测试A卷一、单选1. Have you noticed that people here ______ quite _____from the rest of China?A. speak; differentB. tell; differentC. speak; differentlyD. say; differently2. More and more people choose to shop in a supermarket as it offers a great_____ of goods.A. varietyB. mixtureC. extensionD. combination3. The committee decided to _______ his plan after discussing for hours.A. adaptB. adoptC. adaptingD. adopting4. Using the Internet, it is possible to listen to English _____ the flick ofa switch.A. atB. byC. onD. with5. He ____ have completed his work; otherwise, he wouldn’t be enjoying himself by the seaside.A. shouldB. mustC. wouldn’ｔD. can’t二、完形Perhaps the most interesting person I have ever met is an Italian professor of philosophy who teaches at the University of Pisa. 1 I last met thisman e ight years ago, I have not forgotten his 2 qualities. First of all, I respected his 3 to teaching. Because his lectures were always well-prepared and clearly delivered, students crowded into his classroom. His followers liked the fact that he 4 what he taught. Furthermore, he could be counted on to explain his ideas in an 5 way, introducing such aidsto 6 as oil paintings, music, and guest lecturers. Once h e 7 sang a song in class in order to make a point clear. 8 , 1 admired the factthat he would talk to students outside the classroom or talk with them 9the telephone. Drinking coffee in the cafe, he would easily make friends with students. Sometimes he would 10 a student to a game o f chess. 11 , he would join student groups to discuss a variety of 12 : agriculture,diving and mathematics. Many young people visited him in his office for 13on their studies; others came to his home for social evenings. Finally, I was14 by his lively sense of humor. He believed that no lesson is a success15 , during it, the students and the professor 16 at least one loud17 . Through his sense of humor, he made learning more 18 and more lasting. If it is 19 that life makes a wise man smile and a foolishman cry, 20 my friend is indeed a wise man.1. A. Although B. When C. Even if D. Now that2. A. basic B. special C. common D. particular3. A. attention B. introduction C. relation D. devotion4. A. insisted on B. talked about. C. believed in D. agreed with5. A. imaginative B. ordinary C. opposite D. open6. A. listening B. understanding C. information D. discovery7. A. also B. nearly C. even D. only8. A. Later B. Secondly C. However D. Therefore9. A. with B. by C. from D. on10. A. invite B. lead C. prefer D. show11. A. As a matter of fact B. Later on C. Other times D. In general12. A. questions B. subjects C. matters D. contents13. A. support B. explanation C. experience D. advice14. A. disturbed B. moved C. attracted D. defeated15. A. for B. until C. since D. unless16. A. hear B. suggest C. share D. demand17. A. laugh B. cry C. shout D. question18. A. helpful B. enjoyable C. practical D. useful19. A. natural B. normal C. hopeful D. true20. A. so B. for C. then D. yet三、阅读Some scientists think the automobile is going to be useless. They say oneday in the future all the autos will be thrown away and that we won't use themany more. Others, however, think the auto is here to stay. They hold that thecar will remain a leading means of urban travel in the foreseeable future.The motorcar will undoubtedly change a lot over the next 30 years. It should become smaller, safer, and more economical, and should not be powered by thegas engine. The car of the future should be far more pollution-free than present types.Regardless of its power source, the auto in the future will still be themain problem in the urban traffic jam. One suggested solution to this problemis the automated highway system.When the auto enters the highway system, a retractable(可伸缩的) arm will drop from the auto and make contact with a rail, which is similar to thosepowering subway trains electrically. Once attached to the rail, the car willbecome electrically powered from the system, and control of the vehicle willpass to a central computer. The computer will then monitor all of the car'smovements.The driver will use a telephone to dial instructions about his destination into the system. The computer will calculate the best route, and reserve space for the car all the way to the correct exit from the highway; the driver willthen be free to relax and wait for the buzzer that will warn him of his comingexit. It is estimated that such a highway will be able to handle 10,000 vehicles per hour, compared with the 1,500 to 2,000 vehicles that can be carried by apresent-day highway.1. What provides auto with electric power in the automated highway system?A. A retractable armB. An engineC. A railD. a computercontroller2. After putting in the information concerned, all the driver needs to dois to ________.A. keep in the right laneB. inform the system of his destination by phoneC. keep in constant touch with the computer centerD. wait to arrive at his destination3. What is the author's main concern?A. How to make automobiles pollution-free.B. How to make smaller and safer automobiles.C. How to solve the problem of traffic jams.D. How to develop a good subway system.4. One big improvement in the future car will probably be _________.A. its monitoring systemB. its driving speedC. its power sourceD. its seating capacity答案单选CABAB完形ABDCA /BCBDA/CBDCD/CABDC阅读CDCA。

第二中学高二上学期开学考试语文试题（含答案）高二开学考试语文试题（考试时间：150分钟试卷满分：150分）一、预习检测：选择性必修上册《论语》（本题共8小题，24分）1．下列对《论语》语句的理解与运用，不恰当的一项是（）（3分）A．“吾日三省吾身"是通往美德的途径。

反省是一面镜子，能清清楚楚地照出我们的错误，使我们有改正的机会。

B．“学而不思则罔，思而不学则殆”，做学问应学思兼顾，学而不忘思，思而不忘学，才能学到切实而有用的知识。

C．“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”，对于任何学科和技艺，都要先了解、入门，然后方可谈喜爱、入迷。

D．“过而不改，是谓过矣”，犯错并不可怕，可怕的是不思改过。

我们每个人都应该直面自己的错误，勇于改过。

2．《论语》的成语，给人以丰富的教益。

对相关成语的解说，不正确的一项是（）（3分）A．子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩。

"（《论语·为政》）从心所欲：随自己的心意，想怎么样就怎么样。

鼓励大家追求无拘无束、无欲无求的生活。

B．子曰：“君子不器。

”（《论语·为政》）君子不器：君子不能像器皿一样只有单一的用途。

启示我们不囿于一技之长，应求“道"。

C．子曰：“君子周而不比，小人比而不周。

”（《论语·为政》）周而不比：团结而不勾结。

使人认识到要以公正之心待人，不怀成见及私心，不徇私护短。

D．子曰：“非其鬼而祭之，谄也。

见义不为，无勇也。

"（《论语·为政》）见义勇为：见到合乎正义的事就奋勇地去做。

启发我们要勇担道义和职责，成为仁义之人。

3．下列《论语》中的语句加点字解释错误的一项是（）（3分）A．吾闻之也，君子周急不济富周：周济、救济B．冉求曰：非不说子之道，力不足也说：通“悦”，喜欢C．务民之义，敬鬼神而远之___务：提倡、倡导D．必也圣乎！尧舜其犹病诸___病：担忧4．下列《论语》中的读音全部错误的一项是（）（3分）A．孝弟（dì）也者，其为仁之本与！巧言令色，鲜（xiǎn）矣仁！B．学而时习之，不亦说（yuè）乎？父没（méi），观其行C．贫而无谄（chǎn），富而无骄。

湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期入学考试（暑假作业检测）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．有一组互不相等的数组成的样本数据1x 、2x 、L 、9x ，其平均数为a （i a x ¹，1i =、2、L 、9），若插入一个数a ，得到一组新的数据，则（ ）A ．两组样本数据的平均数相同B ．两组样本数据的中位数相同C ．两组样本数据的方差相同D ．两组样本数据的极差相同10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱111,,A D AA CD 的中点，则（ ）6,A12．AD【分析】根据函数的对称性，周期性判断A ，根据()g x 与()f x 的关系及周期性判断B ，根据中心对称的性质及周期性可判断CD.【详解】对于A ，因为()()20f x f x -+=，所以()f x 的对称中心为()1,0，因为()()33f x g x +-=，所以()()33f x g x ++=，又()()13f x g x -+=，所以()()31f x f x +=-，所以()()31f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，所以()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=éùëû，即()f x 的周期为4，又()()31g x f x =--，所以()g x 的周期也为4，故A 正确；对于B ，因为()()31f x f x +=-，所以()()4f x f x +=-，又由A 知()f x 周期为4，即()()4f x f x +=，所以()()=f x f x -，()f x 为偶函数，故B 错误；对于C ，由()f x 对称中心为()1,0，得()10f =，又因为直线2x =为()f x 对称轴，所以()30f =，所以()f x 关于点()3,0对称，所以()()22f ,和()()4,4f 关于点()3,0对称，所以()()240f f +=，所以()()()()12340f f f f +++=，所以()()()1220240f f f ++×××+=，故C 错误；对于D ，由C 得()()()()01230f f f f +++=，因为()()31g x f x =--，所以()()130g f =-，()()()23131g f f =--=-，()()332g f =-，()()433g f =-，所以()()()()()()()()123430313233g g g g f f f f +++=-+-+-+-。

高二数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若z(2-i)²=-i (i 是虚数单位),则复数z 的模为A. B. C. D. 2.如图所示，△A'O B '表示水平放置的△AOB 的直观图，B '在x’轴上c あ 和x '轴垂直，且AdO=1, 则△AOB 的边OB 上的高为 ( )A. 4√2B.2√2C. 4D. 23.设a=(- 1,3),b=(1. 1),x 容+kb,若b ⊥ā,则ā与こ夹角的余弦值为()A. B. C. D.4. 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A 地 区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示.估算月经济损失的平均数为m, 中位数为n, 则A.50B.75C.90D.1005. 数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古 代已具有很高的数学水平，其求法是："以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积. ”若把以上这段文字写成公式，即, 其 中a 、b 、C 分别为△ABC 内 角A 、B 、C 的对边.若,b=2, 则△ABC 面积S 的最大值为( )A.√3B.√5C.2D.√26. 在下列条件中，使M 与 A,B,C 一 定共面的是( )A. OM=OA-OB-OCB.C. MA+MB+MC=0D. OMA+OB+OC=0 7.已知直线L:xsinα+2y - 1=0, 直线l ₂:x-ycos αt3=0, 若L ⊥L ₂, 则tan 2α=( )A. B. C. D.8.若过直线3x-4y+2=0上一点A :(x-2)²+(y+3)²=4 作一条切线于切点T, 则|MT|的最 小值为( )A.√ 10B.4C. 2√2D. 2√3二、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得分 )9.已知三条不同的直线l,m,n 和两个不同的平面α,β,下列四个命题中不正确的为( )A 若m//α,n//α, 则 m//nB. 若l//m,mcα, 则l//aC. 若l//α,l/β, 则α//βD. 若l//a,l ⊥β, 则α⊥β10.如图，已知正方体ABCD-AB₁C₁D₁的棱长为2, E、F 分别为AD、AB 的中点，G 在线段A₁C 上运动(包含两个端点),以下说法正确的是( )A. 三棱锥C-EFG 的体积与G 点位置无关B. 若G 为AC 中点，三棱锥C-EFG 的体积》C. 若G 为AC₁中点，则过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得截面的面积是D. 若G 与G 重合，则过点E 、F 、G 作正方体的截面，截面为三角形11.在锐角△A B C中，若,且√3sinC+cosC=2,则a+b不能取到的值有( )A. 2 C 2√3B D.√312.下列命题正确的是( )A. 已知空间向量元=(3.13),i=(A)), 且而/后，则实数B. 过点(3,2),斜率是的直线分程是2x-3y=0C. 已知直线mx+2y+3=0 与直线3x+(m- 1)y+m=0 平行，则实数m 为2D. 圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是(x-2)²+(y- 1)²=1三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分 . 将答案填在题中横线上)13.某单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工基本 情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如果采取比例分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为14.已知正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2 √6,则该正四棱锥外接球的表面积为15.已知△ABC 是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且CP|=√3, 则FC.(PA+PB) 的取值范围.16.与圆x²+y²-4y=0 相交所得的弦长为2,且在y 轴上截距为-1的直线方程是四 、解答题(本大题共4小题，共40分 . 解答时应写出必要的文字、证明过程或演算步骤 )17.如图， BC=2, 原点O 是 BC 的中点，点A 的坐标为) , 点D 在平面yOz 上，且 ∠BDC=90°, ∠DCB=30° .(1)求向量CD 的坐标.(2)求AD 与BC 的夹角的余弦值.18.某校后勤服务中心为了解学校食堂的服务质量情况，每学期会定期进行两次食堂服务质量抽样调查， 每次调查的具体做法是：随机调查50名就餐的教师和学生，请他们为食堂服务质量进行评分，师生根据是自己的感受从0到100分选取一个分数打分，根据这0名师生对食堂服务质量的评分绘制频率分布直方图.下图是根据本学期第二次抽样调查师生打众结果绘制的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40, 50),(50,60),...,[90,100].(1)学校规定：师生对食堂服务质量的评分平均分不得低于75分，否则将进行内部整顿.用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿；(2)学校每周都会随机抽取3名学生和校长共进午餐，每次校长都会通过这3名学生了解食堂服务质量. 校长的做法是让学生在"差评、中评、好评”中选择一个作答，如果出现“差评”或者"没有出现好评",会立即让后勤分管处亲自检查食堂服务情况，若以本次抽取的50名学生样本频率分布直方图作为总体估计的依据，并假定本周和校长共进午餐的学生中，评分在(40,60)之间的会给“差评”,评分在(60,80)之间的会给“中评”,评分在[80,100]之间的会给“好评”,已知学生都会根据自己的感受独立地给出评价不会受到其它因素的影响，试估计本周校长会让后勤分管处亲自检查食堂服务质量的概率.19. 在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD, 底面ABCD 为直角梯形，BC//AD,∠ADC=90°, 1,PA=PD,E,F 为AD,PC 的中点.(I) 求证： PA//平面 BEF;( Ⅱ) 若PC 与AB 所成角为45°,求PE 的长；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值20.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,·b,c.(1)若(2a c)cosB=bcosC.b=Z;5, 求sinC的值.(2)若△ABC为锐角三角形中，b²=4c²,求cosC的取值范围.。

新高二开学摸底考试卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若5i z =+，则()i z z +=（）A ．10i B ．2i C ．10D ．2【答案】A【解析】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A2．已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A ．{1,0}-B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【解析】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.3．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B【解析】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.4．已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．32B ．1C ．12D ．22【答案】D【解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+= ，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而2=b .故选：D.5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率81=243P =.解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=.故选：B6．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D，则11AD A D ==可知1111166222ABC A B C S S =⨯⨯==⨯= 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -==，解得h =如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则1AA =DN AD AM MN x =--=-，可得1DD ==结合等腰梯形11BCC B 可得22211622BB DD -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即()221616433x x+=-++，解得x =所以1A A 与平面ABC 所成角的正切值为11tan 1A MA AD AMÐ==；解法二：将正三棱台111ABC AB C -补成正三棱锥-P ABC ，则1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，因为11113PA A B PA AB ==，则111127P A B C P ABC V V --=，可知1112652273ABC A B C P ABC V V --==，则18P ABC V -=，设正三棱锥-P ABC 的高为d ，则1136618322P ABC V d -=⨯⨯⨯⨯，解得d =，取底面ABC 的中心为O ，则PO ⊥底面ABC ，且AO =所以PA 与平面ABC 所成角的正切值tan 1POPAO AO∠==.故选：B.7．在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A B C ．2D 【答案】C 【解析】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.8．设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（）A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】C【解析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∞∈-+时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b ++，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∞∈-+时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同【答案】CD【解析】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD10．已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅【答案】AC【解析】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP = ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β= ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC11．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A ．直径为0.99m 的球体B ．所有棱长均为1.4m 的四面体C ．底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D ．底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体【答案】ABD【解析】对于选项A ：因为0.99m 1m <，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A 正确；对于选项B 1.4>，所以能够被整体放入正方体内，故B 正确；对于选项C 1.8<，所以不能够被整体放入正方体内，故C 正确；对于选项D ：因为1.2m 1m >，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过1AC 的中点O 作1OE AC ⊥，设OE AC E =I ，可知111,=2AC CC AC===，则11tan CC OECACAC AO∠==，=4OE=，且223990.682425==>=⎝⎭，即0.64>，故以1AC为轴可能对称放置底面直径为1.2m圆柱，若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心1O，与正方体的下底面的切点为M，可知：111,0.6AC O M O M⊥=，则1111tan CC O MCACAC AO∠==，10.6AO=，解得1AO=，2 1.732 1.2 1.4140.03520.01⨯≈-⨯=>，所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设向量(1,1),(1,24)a b m m=-=+-，若a b⊥，则m=______________.【答案】5【解析】由a b⊥可得0a b⋅=，又因为(1,1),(1,24)a b m m=-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m⋅=⋅++-⋅-=，即5m=，故答案为：5.13．已知1a>且8115log log42aa-=-，则=a．【答案】64【解析】由题28211315loglog log4log22aaa a-=-=-，整理得()2225log60log aa--=，2log1a⇒=-或2log6a=，又1a>，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.14．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM =122S =⨯⨯=△ABC r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：2r =，其体积：3433V r π==..四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）由题意得32sin cos cos 7B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B =，则7sin sin sin b a BA A ==，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ==2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin 14B =，则代入32sin 7B =得3332147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯=选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C，解得sin C =，因为C为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭3111533321421414⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△16．（15分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.【解析】（1）记事件:M 甲连胜四场，则()411216P M ⎛⎫== ⎪⎝⎭；（2）记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，则四局内结束比赛的概率为()()()()411424P P ABAB P ACAC P BCBC P BABA ⎛⎫'=+++=⨯= ⎪⎝⎭，所以，需要进行第五场比赛的概率为314P P '=-=；（3）记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，记事件:M 甲赢，记事件:N 丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC 、ABCBC 、ACBCB 、BABCC 、BACBC 、BCACB 、BCABC 、BCBAC ，所以，甲赢的概率为()4511972232P M ⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为()97123216P N =-⨯=.17．（15分）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【解析】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2223332sin 1cos 21sin 22442y fx x x x x ππππ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫ ⎪⎭⎦⎝，所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x xπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin cosx x x x x x ⎫=⋅=⎪⎪⎝⎭1cos 2222222sin 2cos 2sin 22222242x x x x x π-⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=即38x π=时，函数取最大值118．（17分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//EF AD BC AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD的中点．(1)证明：//BM 平面CDE ；(2)求二面角F BM E --的正弦值．【解析】（1）因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；（2）如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF =，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3B M E，()(),BM BF ==，()2,3BE = ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z = ，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z = ，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m = ，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-，11cos ,13m n m n m n ⋅==⋅，则sin ,m n = ，故二面角F BM E --19．（17分）设平面内两个非零向量,m n 的夹角为θ，定义一种运算“⊗”：||||sin m n m n θ⊗= ．试求解下列问题：(1)已知向量,a b 满足(2,1),||2,4a b a b ==⋅=r r r r ，求a b ⊗ 的值；(2)①若()()1122,,,a x y b x y == ，用坐标1122,,,x y x y 表示a b ⊗ ；②在平面直角坐标系中，已知点(2,1),(1,2),(0,4)A B C -，求AB BC ⊗uu u r uu u r 的值；(3)已知向量1221π,,,,0,cos sin sin cos 2a b ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r ，求a b ⊗ 的最小值．【解析】（1）由已知(2,1)a =，得||a =所以||||cos 44a b a b θθ⋅=⋅=⇒=r r r r，即cos θ=又0πθ≤≤，所以sin θ=，所以sin 2a b a b θ⊗== ；（2）①设()()1122,,,a x y b x y ==，则a b ==所以cos ||||a b a b θ⋅==⋅r r r rsin θ=，所以1221sin a b a b x y x y θ⊗==- ，②(3,1),(1,2)AB BC =-=uu u r uu u r ，所以|3211|7AB BC ⊗=-⨯-⨯=uu u r uu u r ；（3）由（2）得1221sin a b a b x y x y θ⊗==- ，故22221414cos sin cos sin a b αααα⊗=--=+ ，()22222222221414sin 4cos cos sin 5cos sin cos sin cos sin αααααααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭59≥+，当且仅当2222sin 4cos cos sin αααα=，即tan α时等号成立，所以a b ⊗ 的最小值是9．。

湖南2023-2024学年度高二第二学期入学考试数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分得分：______一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,2,3,4,5A B = ，{}1,2A B = ，则B =（）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,4C ．{}1,2,5D ．{}2,3,52．已知复数z 满足()1i 2i z -=，则复数z 在复平面内对应的点Z 的坐标是（）A ．()1,1B ．()1,1-C ．()1,1--D ．()1,1-3．某中学高二1班共有50名同学，其中男生30名，女生20名，采用按比例分层随机抽样方法，从全班学生中抽取20人测量其身高（单位：cm ）．已知在抽取的样本中，男生的平均身高为cm a ，女生的平均身高为cm b ，由此估计该班全体学生的平均身高约为（）A ．cm 2a b+B ．32cm 2a b+C ．23cm 5a b+D ．32cm 5a b+4．92x ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为（）A ．84-B ．672-C ．84D ．6725．函数()()esin cos xf x x x =-的极值点是（）A ．()x k k π=∈Z B ．()2x k k ππ=+∈Z C ．()2k x k π=∈Z D ．()4x k k ππ=+∈Z 6．如图，在下列各正方体中，l 为正方体的一条对角线，M 、N 分别为所在棱的中点，则满足MN l ⊥的是（）A ．B ．C ．D ．7．直线()21210a x ay +-+=的倾斜角的取值范围是（）A ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭8．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数、公式和定理，如：欧拉函数()()*n n ϕ∈N的函数值等于所有不超过正整数n 且与n 互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：()11ϕ=；()32ϕ=（与3互素有1、2）；()96ϕ=（与9互素有1、2、4、5、7、8）．记n S 为数列(){}3nn ϕ⋅的前n 项和，则10S =（）A ．10191322⨯+B ．10211322⨯+C ．11193344⨯+D ．11211344⨯+二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（）A ．椭圆22143x y +=的焦点坐标是()1,0±B ．双曲线22145y x -=的顶点坐标是()2,0±C ．抛物线212y x =-的准线方程是3x =D ．直线3410x y -+=与圆()()22124x y ++-=相交10．已知函数()2sin cos 2f x x x x =-+，则（）A ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()f x 的值域是[]1,1-C ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．12f x π⎛⎫-⎪⎝⎭为偶函数11．已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()00f =，()()cos sin 0f x x f x x +<'，则下列判断中正确的是（）A ．624f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．263f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．43f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则下列结论正确的是（）A ．当1B P ∥平面1A BD 时，1B P 不可能垂直1CD B ．若1B P 与平面11CCD D 所成角为4π，则点P 的轨迹长度为2πC ．当λμ=时，1DP A P + 的最小值为252D ．当1λ=时，正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为62⎣⎦三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a ，b 为单位向量，且1a b +=，则a b ⋅= ______．14．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种（用数字作答）．15．已知圆锥的底面半径为6，侧面积为60π，则该圆锥的内切球（圆锥的侧面和底面都与球相切）的体积为______．16．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，M 是双曲线右支上一点，连接1MF 交双曲线C 左支于点N ，若2MNF △是以2F 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12n n S na +=，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11b =，22b =，22n n b b +=，*n ∈N ，按照如下规律构造新数列{}n c ：1a ，2b ，3a ，4b ，5a ，6b ，7a ，8b ，…，求数列{}n c 的前2n 项和．18．（本小题满分12分）2023年底，某商业集团总公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了年度考核评估，将各连锁店的评估分数按[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成4组，其频率分布直方图如图所示．总公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A 、B 、C 、D 四个等级，等级评定标准如表所示．评估分数[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100评定等级DCBA（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的第64百分位数；（2）从评估分数不小于80的连锁店中随机抽取2家介绍营销经验，求至少抽到1家A 等级的概率．19．（本小题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，M 为1CC 的中点，1120A MB ∠︒=．求：（1）1CC 的长；（2）二面角M AB C --的余弦值．20．（本小题满分12分）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB 的最小覆盖圆就是以AB 为直径的圆；②锐角ABC △的最小覆盖圆就是其外接圆．已知曲线W ：2416x y +=，()0,A t ，()4,0B ，()0,2C ，()4,0D -为曲线W 上不同的四点．（1）求实数t 的值及ABC △的最小覆盖圆的方程；（2）求四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程；（3）求曲线W 的最小覆盖圆的方程．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与抛物线M ：24y x =有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点作一条斜率为()0k k ≠的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点E ，P 为弦AB 的中点，过点E 作直线OP 的垂线交OP 于点Q ，问是否存在一定点H ，使得QH 的长度为定值？若存在，则求出点H ；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数()()22ln 2f x x ax x a =+-∈R ．（1）若函数()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（2）设1x ，()212x x x <是函数()f x 的两个极值点，证明：()()121221f x f x a x x ->--．湖南2023-2024学年度高二第二学期入学考试数学参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CBDBACCA1．C 【解析】由已知，1,2,5B ∈，且3,4B ∉，所以{}1,2,5B =．2．B 【解析】由已知，()()()()2i 1i 2i i 1i 1i 1i 1i 1i z +===+=-+--+，则点Z 的坐标是()1,1-．3．D 【解析】因为抽样比例为25，则样本中男生有230125⨯=人，女生有22085⨯=人，所以样本的平均身高为12832205a b a b ++=，由此估计该班全体学生的平均身高约为32cm5a b+．4．B 【解析】92x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为()93921992C 2C rr rr rrr T x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令930r -=，得3r =，所以常数项为()3392C 672-=-．5．A 【解析】()()()esin cos e cos sin 2e sin xx x f x x x x x x =-++='，令()0f x '=，则sin 0x =，得()x k k π=∈Z ．6．C 【解析】如图，在正方体中，BC DE ⊥，BC EF ⊥，则BC ⊥平面DEF ，所以BC l ⊥．同理，AC l ⊥，所以l ⊥平面ABC．若MN l ⊥，则MN ∥平面ABC ．在A ，B ，D 中，MN 都与平面ABC 相交，在C 中，MN ∥平面ABC ．所以MN l ⊥．7．C 【解析】①当0a =时，斜率不存在，倾斜角为2π；②当0a >时，斜率21121222a a a k a ++===，倾斜角范围为,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；③当0a <时，斜率21121222a a a k a ++==--=- ，倾斜角范围为3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦．综上，直线的倾斜角的取值范围为3,44ππ⎡⎤⎢⎣⎦．8．A 【解析】因为与3n互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11， (31)-，共有123n -⨯，所以()1323nn ϕ-=⨯，则()1323nn n n ϕ-⋅=⨯，于是012123436323n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①，123323436323n n S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯②，由①-②得0121132232323232322313n n nn n S n n ---=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯=⋅-⨯-，则211322n n n S -=⋅+，于是1010191322S =⨯+．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．题号9101112答案ACBCDCDBD9．AC 【解析】在椭圆22143x y +=中，因为24a =，23b =，则1c ==，且焦点在x 轴上，A 正确．双曲线22145y x -=的顶点在y 轴上，B 错误．抛物线212y x =-开口向左，6p =，准线为32px ==，C 正确．圆心()1,2-到直线3410x y -+=的距离38125d r --+===，则直线与圆相切，D 错误．10．BCD 【解析】由已知，()()21sin cos 2cos 12cos 2sin 22223f x x x x x x x π⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭．当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 不单调；因为()max 1f x =，()min 1f x =-，则()f x 的值域是[]1,1-；因为06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的图象关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；sin 2sin 2cos2121232f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数．11．CD 【解析】令()()cos f x g x x=，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，因为()()cos sin 0f x x f x x +<'，则()()()2cos sin 0cos f x x f x xg x x='+<'，故()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因为()00f =，则()0g x ，结合选项可知，64g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭643222f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪>624f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误，因为ln 03π>，结合()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减可知，ln 03g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而有ln 30cos ln 3f ππ⎛⎫⎪⎝⎭<⎛⎫ ⎪⎝⎭，由cos ln 03π⎛⎫> ⎪⎝⎭可得ln 03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 错误；63g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而有631322f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭>，且03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即2633f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故C 正确；43g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而有431222f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭>，即43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故D 正确．12．BD 【解析】A 选项：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()1,1,0C ，()10,0,1A ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，()11,0,1B ，所以()11,0,1CD =- ，()1111,1,1B P B C CP B C CD CC λμλμ=+=++=--，则()11,0,1BA =- ，()1,1,0BD =- ，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，所以10,0,BA n x z BD n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1y z ==，即平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n =．若1B P ∥平面1A BD ，则10n B P ⋅= ，即λμ=，111B P CD λμ⋅=+-，令110B P CD ⋅= ，解得12λμ==．即P 为1CD 中点时，有1B P ∥平面1A BD ，且11B P CD ⊥，故A 错误；B 选项：因为11BC ⊥平面11CCD D ，连接1C P ，则11B PC ∠即为1B P 与平面11CC D D 所成角，若1B P 与平面11CC D D 所成角为4π，则11111tan 1B C B PC C P∠==，所以1111C P B C ==，即点P 的轨迹是以1C 为圆心，以1为半径的14个圆，于是点P 的轨迹长度为2π，故B 正确；C 选项：如图，将平面1CD D 与平面11BCD A 沿1CD 展成平面图形，线段1A D 即为1DP A P +的最小值，利用余弦定理可知222111111132cos24A D A D DD A D DD π=+-⋅⋅=+1A D =C 错误；D 选项：正方体经过点1A 、P 、C 的截面为平行四边形1A PCH ，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,1,0C ，()10,0,1A ，()0,1,P μ，所以()1,0,PC μ=- ，()11,1,1A C =- ，11PC A C μ⋅=+，PC =，1A C = ，所以点P 到直线1A C的距离为d =12μ=时，1PA C △的面积取最小值，此时截面面积为2；当0μ=或1时，1PA C △的面积取最大值，此时截面面积为，故D 正确．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．12-【解析】由已知，21a b += ，即2221a a b b +⋅+= ．因为1a b == ，则12a b ⋅=- ．14．64【解析】若选2门，则只能各选1门，有1144C C 16=种，若选3门，则分体育类选修课选2门，艺术类选修课选1门，或体育类选修课选1门，艺术类选修课选2门，则有12214444C C C C 242448+=+=，综上共有164864+=种不同的方案．15．36π【解析】作轴截面图如图．由已知，6AC =，660PA ππ⨯⨯=，则10PA =，10PB =，在Rt PCA △中，8PC ==．设内切球半径为R ，由等面积法，得1283101012AB PC R PA PB AB ⨯⨯===++++，所以内切球体积34363V R ππ==．16【解析】设2MF m =，因为2MNF △是以2F为直角顶点的等腰直角三角形，所以MN =，2NF m =，由双曲线的定义知，122MF MF a -=，212NF NF a -=，所以12MF a m =+，12NF m a =-，又11MN MF NF =-，所以()()224a m m a a =+--=，即m =，在12MF F △中，由余弦定理知，222121212122cos F F MF MF MF MF F MF ∠=+-⋅，所以()()()222224222cos4544222c a m m a m m a am m m a m =++-+⋅︒=++-+，即()()22244422222222c a a a aa a a =+⋅+⋅-+，整理得，223c a =，即3c a =，所以离心率3c e a==．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）当1n =时，有122S a =，得2122a a ==，当2n 时，由12n n S na +=，得()121n n S n a -=-，两式相减得，()121n n n a na n a +=--，整理得，()121n n a a n n n +=+ ，所以212n a a n ==，即()2n a n n = ，当1n =时，11a =，满足上式，所以n a n =，*n ∈N ．（2）因为22b =，()*22n n b n b +=∈N ，所以数列{}n b 的偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，所以数列{}n c 的前2n 项和：()()()()122132124221212122212nn n n n n nT a a a b b b n +--+-=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+--．18．【解析】（1）直方图中从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28，0.16，0.08，则第二个小矩形的面积为10.280.160.080.48---=．因为0.280.480.760.64+=>，则第64百分位数位于区间[)70,80内．设第64百分位数为70x +，则0.640.280.75100.48x -==，得7.5x =．所以第64百分位数估计为77.5分．（2）由直方图知，A 等级的频数为250.082⨯=，B 等级的频数为250.164⨯=．从这6家连锁店中任选2家，共有2665C 152⨯==种选法，则()Ω15n =．设事件E =“至少抽到1家A 等级”，因为选1家A 等级和1家B 等级的选法有248⨯=种，选2家A 等级的选法只有1种，则()819n E =+=．所以()()()3Ω5n E P E n ==，即至少抽到1家A 等级的概率为35．19．【解析】（1）以C 为坐标原点，CA ，CB ，1CC所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1CC n =，则()2,0,0A ，()12,0,A n ，10,0,2M n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2,0B ，则112,0,2MA n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，10,2,2MB n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，所以1111cos 2MA MB A MB MA MB∠⋅==-⋅ ，2142n -=-，解得4n =（负值舍去），故1CC 的长为4．（2）设平面ABM 的法向量为(),,m x y z = ，由题意知()2,2,0AB =- ，()2,0,2AM =- 则由220,220,m AB x y m AM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1x =，可得1y z ==，所以平面ABM 的一个法向量为()1,1,1m = ，易得平面ABC 的一个法向量为()10,0,4CC = ，则11cos ,3C m C m C m C ⋅===⋅ ，所以二面角M AB C --的余弦值为33．20．【解析】（1）由题意，2t =-，由于ABC △为锐角三角形，外接圆就是ABC △的最小覆盖圆．设ABC △外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则420,1640,420,E F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得3,0,4.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以ABC △的最小覆盖圆的方程为22340x y x +--=．（2）因为DB 的最小覆盖圆就是以DB 为直径的圆，所以DB 的最小覆盖圆的方程为2216x y +=．又因为24OA OC ==<，所以点A ，C 都在圆内．所以四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程为2216x y +=．（3）由题意，曲线W 为中心对称图形．设()00,P x y ，则240016x y +=．所以22200OP x y =+，且022y - ．故2222422000001651624OP x y y y y ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以当2012y =时，max 2OP =，所以曲线W 的最小覆盖圆的方程为22654x y +=．21．【解析】（1）抛物线M ：24y x =的焦点为()1,0，可得221a b -=①，抛物线的准线1x =-被椭圆截得的弦长为3，由1x =-代入椭圆方程可得2b y a =±，即有223b a=②，解①②可得2a =，b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设直线AB ：()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程()221,3412,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去y 可得()22223484120k x k x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+，所以21224234x x k k +=+，21212224311223434y y x x k k k k k k⎛⎫++-⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以22243,3434k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，直线OP ：34y x k =-③，直线AB 的方程()1y k x =-中，令0x =可得y k =-，所以()0,E k -，因为直线EQ OP ⊥，所以直线QE 的方程为43k y x k =-④，将③④联立相乘得到2234y x x =-+，即2239864x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以点Q 的轨迹为以3,08⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，38为半径的圆（去掉与x 轴的两个交点），所以存在定点3,08H ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QH 的长为定值38．22．【解析】（1）由题意()2222222ax x f x ax x x-+=+-='，因为函数()f x 存在单调递减区间，所以()0f x '<在()0,+∞上有解，因为0x >，设()2222x ax x ϕ=-+，则()020ϕ=>，所以只需0a 或0,10,2Δ4160,a a a >⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩解得0a 或104a <<，所以实数a 的取值范围为1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．（2）证明：由（1）可知，()2222ax x f x x-+='，因为()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，所以1x ，2x 是22220ax x -+=的根，则12121,1,x x a x x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以()()()()222212111222ln 2ln 2f x f x x ax x x ax x -=+--+-()()221121222ln 2x a x x x x x =+---()22112122122ln 2x x x x x x x x -=+--+()11222ln x x x x =--，因为210x x >>，所以要证()()121221f x f x a x x ->--即证()()()()121221f x f x a x x -<--，即()()()1121222ln 21x x x a x x x --<--，即证()1122ln x a x x x <-，即证112212lnx x x x x x -<+，即证1121221ln 1x x x x x x -<+，令12(01)x t t x =<<，即证明1ln 1t t t -<+．令()1ln 1t h t t t -=-+，则()()22101t h t t t +=>+'，所以()h t 在()0,1上单调递增，则()()10h t h <=，即1ln 1t t t -<+，所以原不等式()()121221f x f x a x x ->--成立．。

2022-2023山东省潍坊市高二上学期开学检测一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在中，，，，则( )A. B. C. 或 D.2.已知函数的图象如图所示.则( )A. 0B. AC.D.3.已知向量，若，则( )A. B. C. 5 D. 64.若，则( )A. B. C. D.5.若，则( )A. B. C. D.6.已知a、b为异面直线，O为空间的一点，则过O且与a、b成角的直线有( )A. 3条B. 2条或3条C. 3条或4条D. 2条或3条或4条7.已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为( )A. B. C. D.8.已知，则表达式( )A. 既有最大值，也有最小值B. 有最大值，无最小值C. 无最大值，有最小值D. 既无最大值，也无最小值二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.下列关于复数知识的论述，错误的有( )A. 在复数集内因式分解的结果是B.C. 在复平面内，虚轴上的点都表示纯虚数D. 复数的虚部为3i10.音叉发出的纯音振动的数学模型是函数，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移．我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音振动的数学模型是函数，则( )A. 是的一个周期B. 在区间上有2个零点C. 的最大值为D. 在区间上是增函数11.下列说法中正确的是( )A. 若，，则有两组解B. 在中，已知，则是等腰直角三角形C. 两个不能到达的点之间无法求两点间的距离D. 在中，若12.已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有( )A.B. 直线AO过BC边的中点C.D. 若，则三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.下列6个函数：①②，③，④，⑤，⑥，其中最小正周期为的偶函数的编号为__________.14.已知菱形ABCD，，现将沿向上翻折，得到三棱锥若点E是的中点，的面积为，三棱锥的外接球被平面BDE截得的截面面积为，则的最小值为__________.15.在三棱锥中，底面ABC，，，M为AC的中点，若三棱锥的顶点均在球O的球面上，D是球O上一点，且三棱锥体积的最大值是，则球O的体积为___.16.中，，AO为BC边上的中线，，则的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。