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2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建）卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}|24P x x =≤<，{}|3Q x x =≥，则P Q =（ ）（A ）{}|34x x ≤< （B ）{}|34x x << （C ）{}|23x x ≤< （D ）{}|23x x ≤≤2．复数()32i i +等于（ ） （A ）23i -- （B ）23i -+ （C ）23i - （D ）23i +3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ） （A ）2π （B ）π （C ）2 （D ）14．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是 （ ） （A ）(),0x ∀∈-∞，30x x +< （B ）(),0x ∀∈-∞，30x x +≥ （C ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +< （D ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +≥6．直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ） （A ）20x y +-= （B ）20x y -+= （C ）30x y +-= （D ）30x y -+=7．将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是( ) （A ）()y f x =是奇函数 （B ）()y f x =的周期为π （C ）()y f x =的图像关于直线2x π=对称 （D ）()y f x =的图像关于点()2,0π-对称8．若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是（ ）9．要制作一个容积为43m ，高为1m 的无盖长方体容器。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年福建，文1，5分】若集合{}|24P x x =≤<，{}|3Q x x =≥，则P Q =I （ ）（A ）{}|34x x ≤< （B ）{}|34x x << （C ）{}|23x x ≤< （D ）{}|23x x ≤≤ 【答案】A【解析】{|34}P Q x x ≤I ＝＜，故选A ． （2）【2014年福建，文2，5分】复数()32i i +等于（ ）（A ）23i -- （B ）23i -+ （C ）23i - （D ）23i + 【答案】B【解析】232i i 3i 223()i i ＋＝＋＝－＋，故选B ． （3）【2014年福建，文3，5分】以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）（A ）2π（B ）π （C ）2 （D ）1【答案】A 【解析】根据题意，可得圆柱侧面展开图为矩形，长212ππ⨯=，宽1，∴212S ππ=⨯=，故选A ． （4）【2014年福建，文4，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B【解析】第一次循环1n =，判断1221>成立，则112n =+=；第二次循环，判断2222>不成立，则输出2n =，故选B ．（5）【2014年福建，文5，5分】命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是（ ）（A ）(),0x ∀∈-∞，30x x +< （B ）(),0x ∀∈-∞，30x x +≥（C ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +< （D ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +≥ 【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是[)00,x ∃∈+∞，300x x +<，故选C ． （6）【2014年福建，文6，5分】直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）（A ）20x y +-= （B ）20x y -+= （C ）30x y +-= （D ）30x y -+= 【答案】D【解析】直线过圆心()0,3，与直线10x y ++=垂直，故其斜率1k =．所以直线的方程为()310y x -=⨯-，即30x y -+=，故选D ．（7）【2014年福建，文7，5分】将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（ ）（A ）()y f x =是奇函数 （B ）()y f x =的周期为π （C ）()y f x =的图像关于直线2x π=对称 （D ）()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 【答案】D【解析】sin y x =的图象向左平移2π个单位，得π()=sin =cos 2y f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以()f x 是偶函数，A 不正确；()f x 的周期为2π，B 不正确；()f x 的图象关于直线()x k k π=∈Z 对称，C 不正确；()f x 的图象关于点(),02k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称，当1k =-时，点为π(,0)2-，故选D ．（8）【2014年福建，文8，5分】若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】B【解析】由题中图象可知log 31a =，所以3a =．A 选项，133xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭为指数函数，在R 上单调递减，故A 不正确．B 选项，3y x =为幂函数，图象正确．C 选项，()33y x x =-=-，其图象和B 选项中3y x =的图象关于x 轴对称，故C 不正确．D 选项，()3log y x =-，其图象与3log y x =的图象关于y 轴对称，故D 选项不正确，故选B ．（9）【2014年福建，文9，5分】要制作一个容积为43m ，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）（A ）80元 （B ）120元 （C ）160元 （D ）240元 【答案】C【解析】设容器的底长x 米，宽y 米，则4xy =．所以4y x=，则总造价为：()()80420211080202080f x xy x y x x x x ⎛⎫=++⨯⨯=++=++ ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞．所以()20160f x ≥⨯=，当且仅当4x x=，即x ＝2时，等号成立，所以最低总造价是160元，故选C ．（10）【2014年福建，文10，5分】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++u u u r u u u r u u u r u u u r等于（ ）（A ）OM u u u u r （B ）2OM u u u u r （C ）3OM u u u u r （D ）4OM u u u u r 【答案】D【解析】因为M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则，得2OA OC OM +=u u u r u u u r u u u u r ，2OB OD OM +=u u u r u u u r u u u u r，所以4OA OB OC OD OM +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r，故选D ．（11）【2014年福建，文11，5分】已知圆C ：()()221x a y b -+-=，平面区域Ω：70300x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩．若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（ ）（A ）5 （B ）29 （C ）37 （D ）49 【答案】C【解析】由题意，画出可行域Ω，圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以1b =，所以圆心在直线1y =上，求得与直线30x y -+=，70x y +-=的两交点坐标分别为()2,1A -，()6,1B ，所以[]2,6a ∈-．所以[]22211,37a b a +=+∈，所以22a b +的最大值为37，故选C ．（12）【2014年福建，文12，5分】在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L -距离”定义为121212||||||||PP x x y y =-+-，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12||||F F ）的点的轨迹可以是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】不妨设()1,0F a -，()2,0F a ，其中0a >，点(),P x y 是其轨迹上的点，P 到1F ，2F 的“L -距离”之和等于定值b （大于12||||F F )，所以x a y x a y b +++-+=，即2x a x a y b -+++=．当x a <-，0y ≥时，上式可化为2b y x －=；当a x a -≤≤，0y ≥时，上式可化为2by =a -；当x a >，0y ≥时，上式可化为2b x+y =；当x a <-，0y <时，上式可化为2bx+y =-；当a x a -≤≤，0y <时，上式可化为2b y a =-；当x a >，0y <时，上式可化为2bx y =-，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．（13）【2014年福建，文13，5分】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ． 【答案】0.18【解析】由几何概型可知18010001S S S ==阴影阴影正方形，所以0.18S 阴影＝．故答案为0.18． （14）【2014年福建，文14，5分】在ABC ∆中，060A =，2AC =，BC =AB = ．【答案】1【解析】由余弦定理可知：2222431cos 2222b c a c A bc c +-+-===⨯，所以1c =，故答案为1．（15）【2014年福建，文15，5分】函数()()()22026ln 0x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩的零点个数是 ．【答案】2【解析】当0x ≤时，令()220f x x =-=，得x =x =0x >时，()26ln f x x x =-+，()12+0f x x'=>．所以()f x 单调递增，当0x →时，()0f x <；当x →+∞时，()0f x >，所以()f x 在()0,+∞上有一个零点．综上可知共有两个零点．故答案为2．（16）【2014年福建，文16，5分】已知集合{}{},,0,1,2a b c =，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于 ． 【答案】201【解析】由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况：（1）当①成立时，则2a ≠，2b ≠，0c =，此种情况不成立； （2）当②成立时，则2a =，2b =，0c =，此种情况不成立；（3）当③成立时，则2a =，2b ≠，0c ≠，即2a =，0b =，1c =， 所以1001010021001201a b c ++=⨯+⨯+=．三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2014年福建，文17，12分】在等比数列{}n a 中，23a =，581a =．（1）求n a ；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：（1）设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，因此13n n a -=．（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==． （18）【2014年福建，文18，12分】已知函数()()2cos sin cos f x x x x =+．（1）求54f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 解：（1）55552cos sin cos 2cos sin cos 24444444f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=---=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）因()22sin cos 2cos sin 21cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=+=++++ ⎪⎝⎭，故周期T π=．由222242k x k πππππ-≤+≤+得()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈．因此()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（19）【2014年福建，文19，12分】如图所示，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ．（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积． 解：（1）因AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，故AB CD ⊥．又CD BD ⊥，AB BD B =I ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ．（2）由AB ⊥平面BCD ，得AB BD ⊥．因1AB BD ==，故12ABD S ∆=．因M 是AD 中点，故124ABD ABM S S ∆∆==．由（1）知，CD ⊥平面ABD ，故三棱锥C ABM -的高1h CD ==，因此三棱锥A MBC -的体积1312ABM A MBC C ABM S h V V ∆--⋅===．（20）【2014年福建，文20，12分】根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP为13054085-美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为408512616-美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616GDP 如下表．（1（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率． 解：（1）设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为：()80000.2540000.3060000.1530000.10100000.206400a a a a a a⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为[)64004085,12616∈，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有基本事件是：{}{}{}{},,,,,,,,A B A C A D A E {}{}{},,,,,,B C B D B E{}{}{},,,,,C D C E D E 共10个，设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，则事件M 包含的基本事件是：{}{}{},,,,,A C A E C E 共3个，所以所求概率为()310P M =． （21）【2014年福建，文21，12分】已知曲线Γ上的点到点()0,1F 的距离比它到直线3y =- 的距离小2．（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ．以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ．试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合） 时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．解：（1）设(),S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到()0,1F 的距离与它到直线1y =-的距离相等，所以曲线Γ是以点()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =． （2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设()()000,0P x y x ≠，则20014y x =．由'12y x =得切线l 的斜率012k x =， 故切线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即20042y x x x =-．由200420y x x x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得01,02A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由200423y x x x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得0016,32M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．又()0,3N ，所以圆心0013,34C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，半径r =00||3||24x MN x =+，||AB ===所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．（22）【2014年福建，文22，14分】已知函数()xf x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．（1）求a 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x x e <；（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有x x ce <．解：（1）由题()x f x e a '=-，故()101f a '-==-，得2a =．故()2x f x e x =-，()2x f x e '=-．令()0f x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．所 以当ln2x =时，()f x 取得极小值，其值为()ln 22ln 4f =-，()f x 无极大值．（2）令()2x g x e x =-，则由（1）得()()()2ln 22ln 40x g x e x f x f '=-=≥=->，故()g x 在R 上单调递增．又()010g =>，故当时，()()00g x g >>，即2x x e <．（3）①若1c ≥，由（2）知，当0x >时，2x x e <，故当0x >时，2x x x e ce <≤．取00x =，当()0,x x ∈+∞时，恒有2xx ce <；②若01c <<，令11k c=>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立，即要()2ln 2ln ln x kx x k>=+ 成立．令()2ln ln h x x x k =--，则()21h x x=-．所以当2x >时，()0h x '>，()h x 在()2,+∞单增．取01616x k =>，故()h x 在()0,x +∞单增．又()()()()0162ln 16ln 8ln 23ln 50h x k k k k k k k =--=-+-+>，即存在016x c=，当()0,x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．综上得证．。
2014年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分3．（5分）（2014•福建）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋4．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）36．（5分）（2014•福建）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，7．（5分）（2014•福建）将函数y=sinx 的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）的函对称）的图象关于点（﹣，cos （﹣）的图象向左平移）cos=cos ））的图象关于点（﹣，8．（5分）（2014•福建）若函数y=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（ ）B ．9．（5分）（2014•福建）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器210．（5分）（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于（）B点，则的对角线的交点，∴=211．（5分）（2014•福建）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，22，解得，即12．（5分）（2014•福建）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”．B．．D．；﹣二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）（2014•福建）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.18．14．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．，15．（4分）（2014•福建）函数f（x）=的零点个数是2．x=（舍去）16．（4分）（2014•福建）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①•a≠2；②‚b=2；③ƒc≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于201．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）（2014•福建）在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．，解得；（Ⅱ）∵18．（12分）（2014•福建）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．sin2x+）2x+2x+≤，=sin2x+1+cos2x=））+）sin+1=2x+=﹣≤+﹣，﹣]19．（12分）（2014•福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．S，SCD=20．（12分）（2014•福建）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．=6400共有=10入国家标准，共有=3都达到中等偏上收入国家标准的概率21．（12分）（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．，=的方程为：，即，，（r=22．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．，则＞=＞。
（解析版）福建省福州市2014届高三第二学期3月质量检测文科数学试卷第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}2,1,M x x N x x =>=>则M N =( )A.{x|x<－2或x>2}B.{x|x>2}C.{x|x>1}D.{x|x<1}2. “m =1”是“复数(1)(1)z mi i =++(m ∈R,i 为虚数单位)为纯虚数”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 在ABC ∆中, 2,,,,AD DC BA a BD b BC c ====,则下列等式成立的是 ( )A. 2c b a =-B. 2c a b =-C. 322a b c =-D. 322b a c =-【答案】D【解析】试题分析：因为在ABC ∆中，11()22BC BD DC BD AD BD BD BA =+=+=+- 3122BD BA =-,即3122c b a =-. 考点：1.向量的加减法.2.向量的基本定理的应用.4. 函数y =ln x －1的图象关于直线y=x 对称的图象大致是 ( )5. 执行如图所示的程序框图,输出的M 值是（ ）A ．2B ．1-C ．2D ．2-6. 记等比数列}{n a 的前n 项积为n ∏，若452a a ⋅=，则8=∏（ ）A.256B.81C.16D.17. 已知x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2,且目标函数z=2x+y 的最大值是最小值的8倍,则实数a 的值是( )A.1B.31 C.41 D.81x8. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动π3个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数f (x )的图象,则f (－π)等于( )A.23 B.23- C.21 D.－219. 若直线20x y -+=与圆C ：22(3)(3)4x y -+-=相交于A 、B 两点,则CA CB ⋅的值为( )A.－1B.0C.1D.610. 若32()132x af x x x=-++函数在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点,则实数a的取值范围是( )A.52,2⎛⎫⎪⎝⎭B.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.102,3⎛⎫⎪⎝⎭D.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭成立.所以51023a≤<.当有两解时依题意可得13221'()02'(3)0'()02affaf⎧<<⎪⎪⎪>⎪⎨⎪>⎪⎪<⎪⎩.解得522a<<.综上可得a∈102,3⎛⎫⎪⎝⎭.故选C.考点：1.函数的导数.2.函数的极值点.3.函数的零点分布情况.11. 如图,直线y=m与抛物线y2=4x交于点A，与圆(x－1)2+y2=4的实线部分交于点B,F为抛物线的焦点，则三角形ABF的周长的取值范围是 ( ) A.(2,4) B.(4,6) C.[2,4] D.[4,6]12. 若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)=f(x), f(2－x)=f(x),且当x ∈[0,1]时，其图象是四分之一圆(如图所示)，则函数H(x)= |xe x|－f(x)在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )A.5B.4C.3D.2【答案】B 【解析】试题分析：因为f(－x)=f(x)，所以函数()f x 为偶函数，又因为f(2－x)=f(x)，所以函数()f x关于直线1x =对称.因为函数H(x)= |xe x |－f(x)在区间[－3,1]上的零点即等价求方程()x f x xe =的解的个数.等价于函数xy xe =和函数()y f x =的图像的交点个数，由图象可得共有4个交点考点：1.函数的性质.2.数形结合的思想.3.函数图像的正确表示及绘制.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13. 命题:p x R ∃∈,使得()f x x =，则p ⌝为x14. 函数[]2()2,1,3f x x x x =-+∈-,则任取一点[]01,3x ∈-,使得0()0f x ≥的概率为15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【答案】10 【解析】试题分析：通过三视图的观察可得，该几何体是一个四棱柱，底面是一个直角梯形，其上下底分别为2,3，梯形的高为2.四棱柱的高为2.所以几何体的体积为1(23)22102⨯+⨯⨯=. 考点：1.三视图的知识.2.几何体的体积.3.空间想象力.16. 已知函数1(1)sin 2,[2,21)2(),()(1)sin 22,[21,22)2nn x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩则(1)(2)(3)(4)(2013)(2014)f f f f f f -+-+⋅⋅⋅+-==三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. （本小题满分12分）已知数列()(){}3log 1*n a n N -∈为等差数列，且124,10a a ==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 求证：2132111114n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<---. 【答案】（Ⅰ）31n n a =+ ;(Ⅱ)参考解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）因为数列()(){}3log 1*n a n N -∈为等差数列，且124,10a a ==，通过这些条件列出相应的方程即可求出等差数列的首项和公差，从而求出数列{}*2log (1),n a n N -∈的通项公式，即可求出数列18. （本小题满分12分）近年来,我国许多地方出现雾霾天气，影响了人们的出行、工作与健康．其形成与 2.5PM 有关. 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. 2.5PM 日均值越小，空气质量越好.为加强生态文明建设，我国国家环保部于2012年2月29日，发布了《环境空气质量标准》见下表：某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况，在某月中分别随机抽取了甲、乙两市6天的 2.5PM 日均值作为样本，样本数据茎叶图如右图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）求甲、乙两市 2.5PM 日均值的样本平均数，据此判断该月中哪个市的空气质量较好； （Ⅱ）若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量等级为一级的概率．【答案】（Ⅰ）甲市的空气质量较好；(Ⅱ) 815【解析】试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图可知甲、乙两市6天的 2.5PM 样本数据，通过这些数据，分别求出甲、乙两城19. （本小题满分13分）已知函数2()2cos cos ().f x x x x x R =+∈.（Ⅰ）当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3,()2,c f C ==若向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，求b a ,的值.【答案】（Ⅰ）]6,0[π；(Ⅱ) 32,3==b a【解析】试题分析：（Ⅰ）因为函数2()2cos cos ().f x x x x x R =+∈所以通过二倍角公式及三角函数的化一公式，将函数()f x 化简，再通过正弦函数的单调递增区间公式，将化简得到变量26x π+代入相应的x 的位置即可求出函数()f x 的单调递增区间，从而调整k 的值即可得到结论.(Ⅱ)由（Ⅰ）可得函数()f x 的解析式，再由()2f C 即可求得角C 的值.在根据向量共线即可求得一个等式，再根据正弦定理以及余弦定理，即可求得相应的结论.20. （本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥平面ABC,△ABC 为正三角形，侧面AA 1C 1C 是正方形, E 是1A B 的中点,F 是棱CC 1上的点.（Ⅰ）当E ABF V -=3时，求正方形AA 1C 1C 的边长； （Ⅱ）当A 1F+FB 最小时，求证：AE ⊥平面A 1FB.【答案】（Ⅰ）2；(Ⅱ)参考解析（Ⅱ）解法一：将侧面11B BCC 展开到侧面11ACC A 得到矩形11A ABB ,连结B A 1,交C C 1于点F ,此时点F 使得BF F A +1最小.此时FC 平行且等于A A 1的一半,F ∴为C C 1的中点.取AB 中点O ，连接OE,EF ，OC ，OEFC ∴为平行四边形，△ABC 为正三角形，∴O C A B ⊥，又1AA ⊥平面ABC ，1OC AA ∴⊥,且1AB AA A ⋂=,OC ∴⊥平面1A AB ,AE ⊂平面1A AB ，OC AE ∴⊥,又EF ∥OC ,AE EF ∴⊥由于E 是1A B 的中点，所以1AE A B ⊥,又1A B EF E ⋂=,所以直线AE 与平面A FB 1垂直解法二：将侧面11B BCC 展开到侧面11ACC A 得到矩形11A ABB ,连结B A 1,交C C 1于点F ,此时点F 使得BF F A +1最小.此时FC 平行且等于A A 1的一半,F ∴为C C 1的中点.21. （本小题满分12分）动点(,)P x y 到定点(1,0)F 与到定直线,2x =的距离之比为2． （Ⅰ）求P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点(1,0)F 的直线l （与x 轴不重合）与（Ⅰ）中轨迹交于两点M 、N .探究是否存在一定点E (t ，0)，使得x 轴上的任意一点(异于点E 、F )到直线EM 、EN 的距离相等？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．化简得, 2222x y +=,即2212x y +=,即点P 的轨迹方程22. （本小题满分14分）已知函数2()ln ,()f x a x g x x ==.其中x R ∈.（Ⅰ）若曲线y ＝f(x)与y=g(x)在x ＝1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离; （Ⅱ）若f(x)≤g(x)－1对任意x>0恒成立,求实数a 的值;（Ⅲ）当a <0时，对于函数h(x)=f(x)－g(x)+1,记在h(x)图象上任取两点A 、B 连线的斜率为AB k ,若1AB k ≥,求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）55 ；(Ⅱ)2； （Ⅲ）]81,(--∞ 【解析】因为h(1)＝0,又当a ≠2时,a 2≠1,0)1()2(=>h a h 与0)2(≤a h 不符.所以a ＝2. （Ⅲ）当a <0时,由(2)知)('x h <0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数,不妨设0<x 1≤x 2,则|h(x 1)－h(x 2)|＝h(x 1)－h(x 2),|x 1－x 2|＝x 2－x 1,∴|h(x 1)－h(x 2)|≥|x 1－x 2|等价于h(x 1)－h(x 2)≥x 2－x 1,即h(x 1)＋x 1≥h(x 2)＋x 2,令H(x)＝h(x)＋x ＝a lnx －x 2＋x ＋1,H(x)在(0,＋∞)上是减函数,∵xa x x x x a x H ++-=+-=2212)(' (x>0),∴－2x 2＋x ＋a ≤0在x>0时恒成立,∴a ≤(2x 2－x)min 又x>0时, (2x 2－x)min =81- ∴a ≤－18,又a <0,∴a 的取值范围是]81,(--∞. 考点：1.导数的几何意义.2.含参数的不等式恒成立问题.3.函数方程间的等价变化转化为熟悉的问题从而解决问题.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文史类)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014福建，文1)若集合P ＝{x |2≤x ＜4}，Q ＝{x |x ≥3}，则P ∩Q 等于( )． A ．{x |3≤x ＜4} B ．{x |3＜x ＜4} C ．{x |2≤x ＜3} D ．{x |2≤x ≤3} 答案：A解析：结合数轴，得P ∩Q ＝{x |3≤x ＜4}．故选A.2．(2014福建，文2)复数(3＋2i)i 等于( )． A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i 答案：B解析：(3＋2i)i ＝3i ＋2i 2＝－2＋3i.故选B.3．(2014福建，文3)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )．A ．2πB ．πC ．2D ．1 答案：A解析：根据题意，可得圆柱侧面展开图为矩形，长为2π×1＝2π，宽为1，∴S ＝2π×1＝2π.故选A.4．(2014福建，文4)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：第一次循环n ＝1，判断21＞12成立，则n ＝1＋1＝2；第二次循环，判断22＞22不成立，则输出n ＝2.故选B.5．(2014福建，文5)命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( )． A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ＜0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0C ．∃x 0∈[0，＋∞)，3000x x +<D ．∃x 0∈[0，＋∞)，3000x x +≥ 答案：C解析：全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是∃x 0∈[0，＋∞)，3000x x +<.故选C.6．(2014福建，文6)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )．A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0 答案：D解析：直线过圆心(0,3)，与直线x ＋y ＋1＝0垂直，故其斜率k ＝1.所以直线的方程为y －3＝1×(x －0)，即x －y ＋3＝0.故选D.7．(2014福建，文7)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )． A ．y ＝f (x )是奇函数 B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线π2x =对称 D ．y ＝f (x )的图象关于点π(,0)2-对称 答案：D解析：y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得π()=sin =cos 2y f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以f (x )是偶函数，A 不正确；f (x )的周期为2π，B 不正确；f (x )的图象关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，C 不正确；f (x )的图象关于点π(π,0)2k +(k ∈Z )对称，当k ＝－1时，点为π(,0)2-，故D 正确．综上可知选D.8．(2014福建，文8)若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )．答案：B解析：由题中图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.A 选项，133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭为指数函数，在R上单调递减，故A 不正确．B 选项，y ＝x 3为幂函数，图象正确．C 选项，y ＝(－x )3＝－x 3，其图象和B 选项中y ＝x 3的图象关于x 轴对称，故C 不正确．D 选项，y ＝log 3(－x )，其图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，故D 选项不正确．综上可知选B.9．(2014福建，文9)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )．A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元 答案：C解析：设容器的底长x 米，宽y 米，则xy ＝4.所以4y x=，则总造价为： f (x )＝20xy ＋2(x ＋y )×1×10＝80＋80x＋20x ＝420()x x+＋80，x ∈(0，＋∞)． 所以()20160f x ≥⨯=， 当且仅当4x x=，即x ＝2时，等号成立， 所以最低总造价是160元．故选C.10．(2014福建，文10)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于( )．A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM 答案：D解析：因为M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则，得2OA OC OM +=，2OB OD OM +=，所以4OA OB OC OD OM +++=.故选D.11．(2014福建，文11)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：70,30,0.x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )．A ．5B ．29C ．37D ．49 答案：C解析：由题意，画出可行域Ω，圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.所以圆心在直线y ＝1上，求得与直线x －y ＋3＝0，x ＋y －7＝0的两交点坐标分别为A (－2,1)，B (6,1)，所以a ∈[－2,6]．所以a 2＋b 2＝a 2＋1∈[1,37]，所以a 2＋b 2的最大值为37.故选C. 12．(2014福建，文12)在平面直角坐标系中，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的“L －距离”定义为||P 1P 2|＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L －距离”之和等于定值(大于||F 1F 2|)的点的轨迹可以是( )．答案：A解析：不妨设F 1(－a,0)，F 2(a,0)，其中a ＞0，点P (x ，y )是其轨迹上的点，P 到F 1，F 2的“L －距离”之和等于定值b (大于||F 1F 2|)，所以|x ＋a |＋|y |＋|x －a |＋|y |＝b ， 即|x －a |＋|x ＋a |＋2|y |＝b .当x ＜－a ，y ≥0时，上式可化为2b y x －=； 当－a ≤x ≤a ，y ≥0时，上式可化为2by a -=；当x ＞a ，y ≥0时，上式可化为2bx y +=；当x ＜－a ，y ＜0时，上式可化为2bx y =+-；当－a ≤x ≤a ，y ＜0时，上式可化为y ＝a －b2；当x ＞a ，y ＜0时，上式可化为2b x y -=； 可画出其图象．(也可利用前三种情况，再关于x 轴对称)故选A.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．(2014福建，文13)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为__________．答案：0.18解析：由几何概型可知18010001S S S ==阴影阴影正方形， 所以S 阴影＝0.18.故答案为0.18.14．(2014福建，文14)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC =，则AB 等于__________．答案：1解析：由余弦定理可知：2222431cos 2222b c a c A bc c +-+-===⨯，所以c ＝1.故答案为1. 15．(2014福建，文15)函数()22,0,26ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是__________．答案：2解析：当x ≤0时，令f (x )＝x 2－2＝0，得x =x =当x ＞0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，()12+0f x x'=>. 所以f (x )单调递增，当x →0时，f (x )＜0；当x →＋∞时，f (x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．综上可知共有两个零点．故答案为2.16．(2014福建，文16)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于__________．答案：201解析：由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况： (1)当①成立时，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，此种情况不成立； (2)当②成立时，则a ＝2，b ＝2，c ＝0，此种情况不成立；(3)当③成立时，则a ＝2，b ≠2，c ≠0，即a ＝2，b ＝0，c ＝1， 所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 故答案为201.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)(2014福建，文17)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .分析：(1)等比数列中已知两项，从而求得公比q ，结合通项公式a n ＝a 1q n －1或a n ＝a m q n－m得a n 的通项公式．(2)借助(1)的结论，先求得b n ，可得b n 为等差数列，利用等差数列求和公式12n n n a a S (+)＝，求得S n .解：(1)设{a n}的公比为q，依题意，得1413, 81,a q a q =⎧⎨=⎩解得11, 3.a q =⎧⎨=⎩因此，a n＝3n－1.(2)因为b n＝log3a n＝n－1，所以数列{b n}的前n项和21()22nnn b b n n S+-==.18．(本小题满分12分)(2014福建，文18)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．(1)求5π()4f的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．分析：对于(1)，可把5π()4x=代入f(x)的解析式，认真运算，便可求得结果，另外也可先化简再求值，化简时要把两角和与差的三角函数、二倍角公式、辅助角公式及诱导公式利用好，注意化简的最终形式一般为f(x)＝A sin(ωx＋φ)．对于(2)，根据化简的结果结合三角函数的图象与性质以及三角函数的单调性，准确求出周期与单调区间．解法一：(1)5π5π5π5π()2cos(sin cos) 4444 f=+＝πππ2cos(sin cos)444 ---＝2.(2)因为f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x ＝sin 2x＋cos 2x＋1π)14x++，所以2ππ2T==.由πππ2π22π242k x k-≤+≤+，k∈Z，得3ππππ88k x k-≤≤+，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为3ππ[π,π]88k k-+，k∈Z. 解法二：f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋13π14+.(1)5π11π3π()112444f=+=+=. (2)2ππ2T==.由πππ2π2π242k x k-≤+≤+，k∈Z，得3ππππ88k x k-≤≤+，k∈Z.所以f (x )的单调递增区间为3ππ[π,π]88k k -+，k ∈Z . 19．(本小题满分12分)(2014福建，文19)如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A －MBC 的体积．分析：(1)线面垂直的证法有线线垂直与面面垂直两种，结合本题条件，可证明CD 垂直于平面ABD 内的两条相交直线即可证得CD 垂直于平面ABD .(2)三棱锥体积13V Sh =，但要注意转换顶点和底面，对于本题，可将S △ABM 求出，高即为CD ＝h ，代入公式可求得，也可借助图中关系，利用V A －MBC ＝V A －BCD －V M －BCD 求得．解法一：(1)∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD . (2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD ，∵AB ＝BD ＝1，∴12ABD S ∆=. ∵M 是AD 的中点，∴1124ABM ABD S S ∆∆==. 由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C －ABM 的高h ＝CD ＝1， 因此三棱锥A －MBC 的体积 V A －MBC ＝V C －ABM ＝13ABM S h ∆⋅＝112. 解法二：(1)同解法一．(2)由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD ， 又平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，如图，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ，则MN ⊥平面BCD ，且1122MN AB ==. 又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1， ∴12BCD S ∆=.∴三棱锥A－MBC的体积V A－MBC＝V A－BCD－V M－BCD＝13AB·S△BCD－13MN·S△BCD＝112.20．(本小题满分12分)(2014福建，文20)根据世行2013年新标准，人均GDP低于1 035美元为低收入国家；人均GDP为1 035～4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．分析：(1)该城市人均GDP即为求平均值，利用公式代入认真运算，可得人均GDP，判断其所在范围，可知是否达到中等偏上收入国家标准．(2)从5个行政区中随机抽取2个，列出所有基本事件，再找出抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的基本事件．利用古典概型概率公式可求得其概率．解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为80000.2540000.3060000.1530000.10100000.20a a a a aa⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝6 400.因为6 400∈[4 085,12 616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个，所以所求概率为()3 10P M=.21．(本小题满分12分)(2014福建，文21)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．分析：(1)根据题意，可知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离等于它到直线y＝－1的距离，结合抛物线的定义可得曲线Γ的方程；或利用求方程的一般做法，设点坐标，建立几何关系，转化为代数关系，整理便可得到其方程．对于(2)，先求导，得斜率，利用点斜式可得直线l 的方程，与y＝0联立，得A点坐标，与y＝3联立，得M点坐标，直线y＝3与y轴的交点N易知，进而得出圆心和半径，结合勾股定理可得|AB|为定值，问题得证．解法一：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为214y x =， 设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则20014y x =， 由12y x '=，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝012x ， 所以切线l 的方程为y －y 0＝012x (x －x 0)，即2001124y x x x =-.由20011,24y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得01,02A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由20011,243y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得0016,32M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 又N (0,3)，所以圆心0013,34C x x ⎛⎫+⎪⎝⎭， 半径00113||||24r MN x x ==+，AB ==.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．解法二：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，则||(3)|2y --=，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方， 所以y ＞－3，1y =+，化简得，曲线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同解法一．22．(本小题满分14分)(2014福建，文22)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .分析：(1)由题意可知点A 的横坐标为0，先求出f (x )的导函数f ′(x )，则曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为f ′(0)，由f ′(0)＝－1可求得a 的值．再利用求极值的步骤求解即可．对于(2)，常对此类问题构造新函数g (x )＝e x －x 2，只需g (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立即可，利用导数得到g (x )的单调性，从而得证．(3)中存在性问题处理，可结合(2)的结论，合理利用e x ＞x 2，只是将e x ＞x 2的x 2中一个x 赋值即可，所以可令01x c =，当x ＞x 0时，21e x x x c>>，利用不等式的传递性来解决问题．或根据c 的值与1的大小关系分类进行证明．当c ≥1时，可直接根据(2)中的结论得证；当0＜c ＜1时，证明的关键是找出x 0.可构造函数，然后利用导数研究其单调性，在该函数的增区间内找出一个值x 0满足条件即可得证．解法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f (x )无极大值．(2)令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x－2x .由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4＞0， 即g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上单调递增， 又g (0)＝1＞0，所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x .(3)对任意给定的正数c ，取01x c=， 由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x . 所以当x ＞x 0时，21e xx x c>>，即x ＜c e x . 因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 解法二：(1)同解法一． (2)同解法一． (3)令1k c=(k ＞0)，要使不等式x ＜c e x 成立，只要e x ＞kx 成立． 而要使e x ＞kx 成立，则只需要x ＞ln(kx )，即x ＞ln x ＋ln k 成立．①若0＜k ≤1，则ln k ≤0，易知当x ＞0时，x ＞ln x ≥ln x ＋ln k 成立． 即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . ②若k ＞1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则()111x h x x x-'=-=， 所以当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)内单调递增．取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln(4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln 2)， 易知k ＞ln k ，k ＞ln 2，所以h (x 0)＞0. 因此对任意c ∈(0,1)，取04x c=，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 解法三：(1)同解法一． (2)同解法一．(3)①若c ≥1，取x 0＝0， 由(2)的证明过程知，e x ＞2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x ＞2x ＞x ，即x ＜c e x . ②若0＜c ＜1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1. 令h ′(x )＝0，得1lnx c=.当1lnx c>时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增． 取022ln x c =，()22ln 0222e 2ln 2(ln )c h x c c c c=-=-， 易知22ln 0)c c ->，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增， 所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )＞h (x 0)＞0，即x ＜c e x . 综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于 （ ）A.}43|{<≤x xB. }43|{<<x xC. }32|{<≤x xD. }32|{≤≤x x 2. 复数()32i i +等于 （ ）A. i 32--B. i 32+-C. i 32-D. i 32+ 3. 以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）A. π2B. πC. 2D. 14. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ） A. 0),,0(3<+∞+∈∀x x x B. 0),,0(3≥+∞+∈∀x x x C. 0),,0[0300<+∞+∈∃x x x D. 0),,0[0300≥+∞+∈∃x x x6. 已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）A. 02=-+y xB. 02=+-y xC. 03=-+y xD. 03=+-y x7. 将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是 （ ）A. )(x f y =是奇函数B. )(x f y =的周期是πC. )(x f y =的图象关于直线2π=x 对称D. )(x f y =的图象关于点)0,2(π-对称8. 若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）9. 要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ） A. 80元 B. 120元 C. 160元 D. 240元10. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）A. OMB. OM 2C. OM 3D. OM 4 11. 已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C =Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 （ ） A. 5 B. 29 C. 37 D. 49 12. 在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212.PP x x y y =-=-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,FF 的“L -距离”之和等于定值（大于12F F ）的点的轨迹可以是 （）二、填空题 （本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上） 13. 如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________ 14. 在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于_________15. 函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的；零点个数是_________16. 已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ；②2=b ；③0≠c 有且只有一个正确，则________10100=++c b a三．解答题：（本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17.（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.（1）求n a ； （2）设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+.（1）求5()4f π的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，,AB BCD CD BD ⊥⊥.（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.20.（本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035~4085元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085~12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均（1）判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.21.（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y=-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y=分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.22.（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.（1）求a 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x x e <（3）证明：对任意给定的正数e ，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞时，恒有xx ce <2014年高考福建卷数学（文科）答案一．选择题A B A B C D D B C D C A二、填空题13. 0.18 14. 1 15. 2 16. 201 三．解答题：本大题共6小题，共74分. 17.解： (1) 设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩， 因此，13n n a -=.（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==. 18. 解法一：（1）5555()2cos(sin cos )4444f ππππ=+ 2cos (sin cos )444πππ=---2=（2）因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos 21x x =++)14x π=++.所以22T ππ==.由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.解法二：因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos 21x x =++)14x π=++（1）511()112444f πππ=+=+=（2）22T ππ==由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 19. 解：（1）∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB CD ⊥.又∵CD BD ⊥，AB BD B =，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD .（2）由AB ⊥平面BCD ，得AB BD ⊥.∵1AB BD ==，∴12ABD S ∆=. ∵M 是AD 的中点，∴1124ABM ABD S S ∆∆==.由（1）知，CD ⊥平面ABD ， ∴三棱锥C-ABM 的高1h CD ==，因此三棱锥A MBC -的体积11312A MBC C ABM ABM V V S h --∆==∙=. 解法二：（1）同解法一.（2）由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD ， 又平面ABD 平面BCD=BD ，如图，过点M 作MN BD ⊥交BD 于点N.则MN ⊥平面BCD ，且1122MN AB ==， 又,1CD BD BD CD ⊥==，∴12BCD S ∆=.∴三棱锥A MBC -的体积1113312A MBC A BCD M BCD BCD BCD V V V AB S MN S ---∆∆=-=∙-∙=.20.解：（1）设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为80000.2540000.3060000.1530000.10100000.206400a a a a aa⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因为6400[4085,12616)∈，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准.（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{,},{,},{,},{,},{,},{,},A B A C A D A E B C B D {,},{,},{,},{,}B E C D C E D E 共10个， 设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，则事件M 包含的基本事件是：{,},{,},{,}A C A E C E ，共3个，所以所求概率为3()10P M =. 21.解：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，则20014y x =，由'12y x =，得切线l 的斜率 0'012x x k y x ===， 所以切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2001124y x x x =-. 由20011240y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得01(,0)2A x .由20011243y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得0016(,3)2M x x +.又(0,3)N ，所以圆心0013(,3)4C x x +，半径00113||||24r MN x x ==+，||AB ===所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变.解法二：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，则|(3)|2y --==，依题意，点(,)S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-，1y =+， 化简得，曲线Γ的方程为24x y =. （2）同解法一.22. 解法一：（1）由()xf x e ax =-，得'()xf x e a =-. 又'(0)11f a =-=-，得2a =.所以()2xf x e x =-，'()2xf x e =-. 令'()0f x =，得ln 2x =. 当ln 2x <时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当ln 2x >时，'()0f x >，()f x 单调递增.所以当ln 2x =时，()f x 有极小值，且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 4f e =-=-，()f x 无极大值.（2）令2()xg x e x =-，则'()2xg x e x =-.由（1）得，'()()(ln 2)2ln 40g x f x f =≥=->，即'()0g x >.所以()g x 在R 上单调递增，又(0)10g =>， 所以当0x >时，()(0)0g x g >>，即2x x e <. （3）对任意给定的正数c ，取01x c=， 由（2）知，当0x >时，2x x e <.所以当0x x >时，21x e x x c>>，即x x ce <. 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <.解法二：（1）同解法一. （2）同解法一.（3）令1(0)k k c=>，要使不等式x x ce <成立，只要x e kx >成立. 而要使x e kx >成立，则只需ln()x kx >，即ln ln x x k >+成立. ①若01k <≤，则ln 0k ≤，易知当0x >时，ln ln ln x x x k >≥+成立. 即对任意[1,)c ∈+∞，取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <.②若1k >，令()ln ln h x x x k =--，则'11()1x h x x x-=-=，所以当1x >时，'()0h x >，()h x 在(1,)+∞内单调递增. 取04x k =，0()4ln(4)ln 2(ln )2(ln 2)h x k k k k k k =--=-+-， 易知ln k k >，ln 2k >，所以0()0h x >.因此对任意(0,1)c ∈，取04x c=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <.综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <.解法三：（1）同解法一. （2）同解法一. （3）①若1c ≥，取00x =，由（2）的证明过程知，2x e x >，所以当0(,)x x ∈+∞时，有2x x ce e x x ≥>>，即x x ce <. ②若01c <<，令()xh x ce x =-，则'()1xh x ce =-， 令'()0h x =得1ln x c=. 当1lnx c >时，'()0h x >，()h x 单调递增. 取022ln x c=，22ln0222()2ln2(ln )ch x cec c c=-=-， 易知22ln 0c c->，又()h x 在0(,)x +∞内单调递增， 所以当0(,)x x ∈+∞时，恒有0()()0h x h x >>，即x x ce <.综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <. 注：对c 的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分。
2014年福建文科卷一．选择题1.若集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于 （ ） }{}{}{}{.34.34.23.23A x x B x x C x x D x x ≤<<<≤<≤≤ 2.复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A i B i C i D i ---+-+3.以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 （ ）.2..2.1A B C D ππ 4.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 （ ） .1.2.3.4A B C D5.命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ） ()()[)[)3333000000.0,.0.,0.0.0,.0.0,.0A x x x B x x x C x x x D x x x ∀∈+∞+<∀∈-∞+≥∃∈+∞+<∃∈+∞+≥ 6.已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=7.将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是 （ ）()()()() (32).-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期是的图象关于直线对称的图象关于点，对称8.若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）9.要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ） .80.120.160.240A B C D 元元元元10.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）..2.3.4AOM B OMC OMD OM 11.已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C =Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 （ ） .5.29.37.49A B C D12.在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212.PP x x y y =-=-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L-距离”之和等于定值（大于12F F ）的点的轨迹可以是 （ ）二、填空题13、如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________14、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于_________15、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的；零点个数是_________16. 已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ②2=b ③0≠c 有且只有一个正确，则________10100=++c b a 三．解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==. （1）求n a ；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+. （1）求5()4f π的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，,AB BCD CD BD ⊥⊥.（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.20.（本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035-4085元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：（1）判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.21.（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y=-的距离小2. （1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.22.（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.（1）求a 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x x e <（3）证明：对任意给定的正数e ，总存在0x ，使得当0(,)x x ∈+∞时，恒有x x ce <。
2014年福建文科卷一．选择题1.若集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于 （ ） }{}{}{}{.34.34.23.23A x x B x x C x x D x x ≤<<<≤<≤≤ 2.复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A i B i C i D i ---+-+3.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）.2..2.1A B C D ππ4.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 （ ）.1.2.3.4A B C D5.命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ）()()[)[)3333000000.,0.0.,0.0.0,.0.0,.0A x x x B x x x C x x x D x x x ∀∈-∞+<∀∈-∞+≥∃∈+∞+<∃∈+∞+≥ 6.已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=7.将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是 （ ）()()()() (2).-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期为的图象关于直线对称的图象关于点，对称8.若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）9.要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ）.80.120.160.240A B C D 元元元元10.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）..2.3.4AOM B OM C OM D OM11.已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,30,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 （ ）.5.29.37.49A B C D12.在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212.PP x x y y =-+-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,FF 的“L-距离”之和等于定值（大于12F F ）的点的轨迹可以是 （ ）二、填空题13、如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________14、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于_________15、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是_________16. 已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ②2=b ③0≠c 有且只有一个正确，则10010________a b c ++等于三．解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+. （Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，,AB BCD CD BD ⊥⊥平面.（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.20.（本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035-4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：（Ⅰ）判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.21.（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N 。
数学试卷 第1页（共12页）数学试卷 第2页（共12页）数学试卷 第3页（共12页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|24}P x x =≤＜,{3}Q x =≥,则P Q 等于 （ ）A .{|34}x x ≤＜B .{|34}x x ＜＜C .{|23}x x ≤＜D .{|23}x x ≤≤2.复数(32i)i +等于（ ）A .23i --B .23i -+C .23i -D .23i +3.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）A .2πB .πC .2D .14.阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n 的值为（ ）A .1B .2C .3D .45.命题“[0,)x ∀∈+∞,30x x +≥”的否定是 （ ）A .(,0)x ∀∈-∞,30x x +＜B .(,0)x ∀∈-∞,30x x +≥C .0[0,)x ∃∈+∞,300x x +＜ D .0[0,)x ∃∈+∞,300x x +≥ 6.已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心,且与直线10x y ++=垂直,则l 的方程是（ ） A .20x y +-= B .20x y -+= C .30x y +-=D .30x y -+=7.将函数sin y x =的图象向左平移π2个单位,得到函数()y f x =的图象,则下列说法正确的是（ ）A .()y f x =是奇函数B .()y f x =的周期为πC .()y f x =的图象关于直线π2x =对称 D .()y f x =的图象关于点π(,0)2-对称8.若函数log (0,1)a y x a a =≠＞且的图象如下图所示,则下列函数图象正确的是（ ）A .B .C .D .9.要制作一个容积为34m ,高为1m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是（ ）A .80元B .120元C .160元D .240元10.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则OA OB OC OD +++等于（ ）A .OMB .2OMC .3OMD .4OM11.已知圆C ：22()()1x a y b -+-=,平面区域Ω：70,30,0,x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥若圆心C Ω∈,且圆C 与x 轴相切,则22a b +的最大值为（ ）A .5B .29C .37D .4912.在平面直角坐标系中,两点111(,)P x y ,222(,)P x y 间的“L -距离”定义为121|||||PP x =-212|||x y y +-,则平面内与x 轴上两个不同的定点1F ,2F 的“L -距离”之和等于定值（大于12||||F F ）的点的轨迹可以是（ ）A .B .C .D .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共12页）数学试卷 第5页（共12页）数学试卷 第6页（共12页）第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上. 13.如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.14.在ABC △中,60A =,2AC =,BC ,则AB 等于________.15.函数22,0,()26ln ,0,x x f x x x x ⎧-=⎨-+⎩≤＞的零点个数是________.16.已知集合{,,}{0,1,2}a b c =,且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确,则10010a b c ++等于________.三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中,23a =,581a =. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设3log n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+. （Ⅰ）求5π()4f 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图,三棱锥A BCD -中,AB ⊥平面BCD ,CD BD ⊥. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若1AB BD CD ===,M 为AD 中点,求三棱锥A MBC -的体积.20.（本小题满分12分）根据世行2013年新标准,人均GDP 低于1 035美元为低收入国家；人均GDP 为1 035～ 4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人（Ⅰ）判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.21.（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2. （Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ,直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点M ,N .以MN 为直径作圆C ,过点A 作圆C 的切线,切点为B .试探究:当点P在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时,线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.22.（本小题满分14分）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ,曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的极值； （Ⅱ）证明：当0x ＞时,2e x x ＜；（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当0(,)x x ∈+∞时,恒有e x x c ＜.=P Q xB++2i i=3i2)4=+80160xx160元，故选M BD2OA OC OM+=，+++=，故选OA OB OC OD OM2+=，所以4OB OD OM【解析】由题意，画出可行域Ω，圆心C∈Ω，且圆C与数学试卷第7页（共12页）数学试卷第8页（共12页）数学试卷第9页（共12页）数学试卷 第10页（共12页）数学试卷 第11页（共12页）数学试卷 第12页（共12页）AB BD B =，平面ABD ，BD AB ⊥平面112ABM h =.，则该城市人均GDP。
