简单的线性规划word版

简单的线性规划（一）知识点1 线性规划在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题。

（1）目标函数：要求再一定条件下求极大值或极小值问题的函数叫做目标函数，目标函数式变量的一次解析式，又叫做线性目标函数。

（2）约束条件：在规划中，变量必须满足的条件叫做约束条件，关于变量时一次不等式（等式）表示的条件叫线性约束条件。

（3）可行解：在线性规划中，满足线性约束条件的解叫做可行解；（4）可行域：在线性规划中，有所有的线性可行解组成的的集合叫可行域；（5）最优解：可行解中使目标函数取得最大值或最小值得解叫做最优解。

【例题1】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥++=001710732,53y x y x y x y x y x z 满足约束条件的最小值，使求【变式2】的最大值和最小值。

求满足条件式中变量设z x y x y x y x y x z ,1255334,,2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=知识点2 解答线性规划问题的两个误区解答线性规划问题容易有以下两个类型的错误：（1）平移直线时失误；（2）扩大可行域。

由于作图的误差使我们很难确定哪个点最先和目标函数相交，所以需要检验，常用的以下方法检验：（1）顶点检验法：（2）斜率检验法：【例题3】的最大值。

求已知y x z y x y x y x y x +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+,0,04276355744411【变式3】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥+=.6325400,98y x y x y x y x y x z 满足约束条件的最大值，式中求【例题4】的取值范围。

求且设)2(,4)1(2,2)1(1,)(22-≤≤≤-≤-+=f f f b ax f x x【变式4】的取值范围。

，求，满足已知函数)3(5)2(11)1(4)(2f f f c a x f x ≤≤--≤≤--=。

简单的线性规划简单的线性规划一.创设情境,提出问题用一组图片点燃学生的求知欲,以景激情,以情激思,引领学生进入学习情境.然后设置了一个具体的问题情境,既2006世界杯冠军意大利足球队营养师布拉加经常遇到的这样一类营养调配问题.例1.甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表：甲乙丙维生素A（单位/克）400600400维生素B（单位/克）800200400成本（元/千克）765营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位,问三种食物各购多少时成本最低,最低成本是多少？同学们,你能为布拉加解决这个棘手的问题吗?如何将此实际问题转化为数学问题呢?请学生完成这一过程如下:解:设所购甲、乙两种食物分别为千克,则丙食物为千克.又设成本为元.由题意可知应满足条件：即①.问题转化为:当满足①求成本的最小值问题.二.分析问题,形成概念那么如何解决这个求最值的问题呢?这是本次课的难点.让学生先自主探究,在分组讨论交流,在学生遇到困难时,运用化归和数形结合的思想引导学生转化问题,突破难点:1.学生基于上一课时的学习,讨论后一般都能意识到要将不等式组①表示成平面区域（教师动画演示画不等式组①表示的平面区域）于是问题转化为当点（x,y）在此平面区域运动时,如何求z=2x+y+50的最小值.（第一次转化）2.引导学生:由于已将x,y所满足的条件几何化了,你能否也给式子z=2x+y+50作某种几何解释呢?学生很自然地想到要将等式z=2x+y+50视为x,y的一次方程,它在几何上表示直线,当z取不同的值时可得到一族平行直线,于是问题又转化为当这族直线与不等式组①所表示的平面区域有公共点时,求z的最小值.（第二次转化）3.继续引导学生:如何更好地把握直线y+2x+50=z的几何特征呢?学生讨论交流后得出要将其改写成斜截式y=-2x+z-50,至此,学生明白原来z-50就是直线在y轴上的截距,当截距z-50最小时z也最小,于是问题又转化为当直线y=-2x+z-50与平面区域有公共点时,在区域内找一个点P,使直线经过P时在y轴上的截距最小.（第三次转化）（让学生动手实践,用作图法找到点P（3,2）,求出z的最小值为58,即最低成本为58元）就此给出相关概念:不等式组①是一组对变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,所以又称为线性约束条件.z=2x+y+50是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y 的解析式,叫做目标函数.由于z=2x+y+50又是x、y的一次解析式,所以又叫做线性目标函数.一般的,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中使目标函数取得最大值或最小值的可行解它们都叫做这个问题的最优解.（再回到图形当中去指出上面给出的概念的位置）三.反思过程,提炼方法引导学生归纳、提炼求解步骤:（1）画可行域---画出线性约束条件所确定的平面区域;（2）过原点作目标函数直线的平行直线;（3）平移直线,观察确定可行域内最优解的位置;（4）求最值---解有关方程组求出最优解,将最优解代入目标函数求最值.简记为画作移求四步.四.变式演练,深入探究为了让学生更好地理解图解法求线性规划问题的内在规律,例题2.设,变量满足,求的最大值和最小值.变量满足变式1:设z=ax+y,若目标函数z仅在点（5,2）处取到最大值,求a的取值范围.变式2:设z=ax+y,若使目标函数z取得最大值的最优解有无数个,求a的值.（以上例题2和两个变式均让学生完成,然后根据学生完成情况加以点评.）五.运用新知,解决问题“学数学而不练,犹如入宝山而空返”练习1:教材P64练习第1题练习2:设,式中变量满足下列条件,求的最大值和最小值.（学生独立完成巩固性练习,老师投影有代表性的学生解答过程,给予积极性的评价,并强调注意点）六.归纳总结,巩固提高（一）归纳总结1.这节课学习了哪些知识？2.图解法求解线性规划应用问题的基本步骤：（1）建立数学模型（设变量,建立线性约束条件及线性目标函数）;（2）图形工具（作出可行域及作目标函数过原点的直线）;（3）平移求解（确定的平移方向,依据可行域找出取得最优解的点）;（4）确定最值（解相关方程组,求出最优解,代入目标函数求最值）.（学生回答）（二）巩固提高课后作业：1.课本P65习题7.4第2题2.思考题:设,式中变量、满足下列条件且变量、为整数,求的最大值和最小。

诚西郊市崇武区沿街学校简单的线性规划〔1〕一．课题：二．教学目的：1.理解二元一次不等式表示平面区域，会用(0,0)，(1,0)或者者(0,1)检验不等式0Ax By c ++>〔0<〕表示的平面区域；2.会画出二元一次不等式〔组〕表示的平面区域.三．教学重、难点：怎样用二元一次不等式〔组〕表示平面区域；怎样确定不等式0Ax By c ++>〔0<〕表示直线0Ax By c ++=的哪一侧区域. 四．教学过程：〔一〕引入：点集{(,)|10}x y x y +-=是以二元一次方程10x y +-=的解为坐标的集合，它是一条直线，经过(1,0)和(0,1)，那么点集{(,)|10}x y x y +->在平面直角坐标系中表示什么图形呢？ 〔二〕新课讲解：1．尝试、猜想、证明在平面直角坐标系中，所有的点被直线10x y +-=分成三类： 一类是在直线10x y +-=上； 二类是在直线10x y +-=的右上方的平面区域内； 三类是在直线10x y +-=的左下方的平面区域内.对于任意一个点(,)x y ，把它的坐标代入1x y +-，可得到一个实数，或者者等于0，或者者大于0，或者者小于0，此时，可引导学生尝试在什么情况下，点(,)x y 在直线上、在直线右上方、在直线左下方？猜想结论：对直线10x y +-=右上方的点(,)x y ，10x y +->；对直线10x y +-=左下方的点(,)x y ，10x y +-<．证明结论：如图，在直线10x y +-=上任取一点00(,)P x y ， 过P 作平行于x 轴的直线0y y =，在此直线上点P 右侧的任 意一点(,)x y ，都有0xx >，0y y =， 所以，00x y x y +>+，00110x y x y +->+-=，因为点00(,)P x y 为直线10x y +-=上任意一点， 所以，对于直线10x y +-=右上方任意点(,)x y ，都有10x y +->， 同理对于直线10x y +-=左下方任意点(,)x y ，都有10x y +-<， 所以，结论得证.2．得出结论一般地，二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。

4.2简单线性规划必备知识·自主学习导思1.什么是二元线性规划问题?2.如何确定二元线性规划问题的最值?1.基本概念名称意义约束条件变量x,y满足的二元一次不等式组目标函数欲求关于x,y的一个线性函数的最大值或最小值的函数可行解满足约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解二元线性规划问题在约束条件下,求关于两个变量的目标函数的最大值或最小值问题二元线性规划问题中约束条件是关于x,y的几次不等式或方程的限制条件?提示:二元线性规划问题中约束条件是关于x,y的一次不等式或方程的限制条件.2.最值问题(1)最值位置:目标函数的最大值与最小值总是在可行域的边界交点或顶点处取得.(2)实际应用:求解实际应用问题时,只需要求出区域边界的交点,再比较目标函数在交点处的函数值大小,根据问题需求选择所需结论.目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时,z的意义是什么?提示:z=2x-y可变形为y=2x-z,所以z的几何意义是该直线在y轴上截距的相反数.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)线性目标函数z=ax+by表示经过可行域的一组平行线. ( )(2)求线性目标函数z=ax+by取得最值的最优解都是唯一的. ( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点上. ( )提示:(1)√.因为线性目标函数z=ax+by即y=-x+,斜率k=-为常数,截距是变量,所以二元一次方程z=ax+by表示经过可行域的一组平行线.(2)×.如果线性目标函数z=ax+by表示的直线与可行域的某一条边界直线平行,则线性目标函数z=ax+by取得最值的最优解不是唯一的.(3)×.线性目标函数取得最值的点可能在可行域的边界上,不一定非在顶点上.2.若x≥0,y≥0,且x+y≤1,则z=x-y的最大值为( )A.-1B.1C.2D.-2【解析】选B.直线x+y=1与坐标轴的交点坐标为A(1,0),B(0,1).则z=x-y即y=x-z,表示经过可行域的平行线组,-z是直线在y轴上的截距,当直线z=x-y经过点A(1,0)时,-z最小,z最大,最大值为z=x-y=1. 3.(教材二次开发:例题改编)已知实数x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为( )A.-1B.2C.7D.8【解析】选C.画出实数x,y满足约束条件,表示的平面区域如图:目标函数变形为-2x+z=y,则z表示直线在y轴上截距,截距越大,z越大,作出目标函数对应的直线L:y=-2x,由可得A(2,3).目标函数z=2x+y过A(2,3)时,直线的截距最大,z取得最大值为z=7.关键能力·合作学习类型一求线性目标函数的最值(直观想象)1.(2020·三明高一检测)已知实数x,y满足,则z=x+2y的最大值为( )A.2B.C.1D.02.(2020·西安高一检测)已知实数x,y满足,则关于目标函数z=3x-y的描述正确的是 ( )A.无最大值也无最小值B.最小值为-2C.最大值为2D.最大值为33.(2020·南昌高一检测)设x,y满足,则z=x+y的取值范围是( )A.[-5,3]B.[2,3]C.[2,+∞)D.(-∞,3]【解析】1.选B.作出实数x,y满足约束条件,对应的平面区域,由z=x+2y,得y=-x+z,平移直线y=-x+z,由图象可知,当直线y=-x+z经过点A时直线y=-x+z的截距最大,此时z最大. 由,得A,此时z的最大值为z=+2×=.2.选B.作出不等式组对应的平面区域如图,由z=3x-y,得y=3x-z,平移直线y=3x-z,由图象可知当直线y=3x-z,经过点A时,直线y=3x-z 的截距最大,此时z最小.联立,解得A(0,2),故z min=3×0-2=-2.无最大值.3.选C.先根据约束条件画出可行域,z=x+y,则y=-x+z,由可得A(2,0),当直线y=-x+z经过点A(2,0)时,z最小,最小值为:2+0=2.没有最大值,故z=x+y的取值范围为[2,+∞).求目标函数z=ax+by最值的思路(1)化:把目标函数z=ax+by化为斜截式y=-x+.(2)定:z=ax+by中表示直线y=-x+在y轴上的截距.(3)找:把线性目标函数看成直线系,把目标函数表示的直线y=-x+平行移动,越向上平移越大,若b>0,则对应z越大,若b<0,则对应z越小. 特别提醒:当目标函数所在的直线与边界平行时最优解有无数个.【补偿训练】设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为.【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图知当z=2x+3y-5经过点A(-1,-1)时,z取得最小值,z min=2×(-1)+3×(-1)-5=-10.答案:-10类型二求非线性目标函数的最值(数学抽象、直观想象)角度1 可化为斜率最值的问题【典例】已知实数x,y满足不等式组(1)求不等式组表示的平面区域的面积;(2)试确定的取值范围.【思路导引】(1)依据线性约束条件,作出可行域,然后求出面积. (2)因为是分式形式,所以可联想其几何意义,求斜率的取值范围即可.【解析】(1)由实数x,y满足不等式组作出可行域,可知不等式组表示的平面区域是△ABC及其内部,如图,解方程组得A(1,1),同理,得B(3,3),C(2,6),记a==(2,2),b==(1,5),则S△ABC=|a||b|sin∠BAC=|a||b|=|a||b|===4(面积单位).(2)由(1)可知,1≤x≤3.令=k,则y=k(x+1)表示斜率为k且过点D(-1,0)与可行域有公共点的相交线族,由于k=tan α,α∈是增函数,其中α是相交线族的倾斜角,结合可行域知,k AD=,k CD=2,从而k∈,故∈.(2020·泉州高一检测)已知实数x,y满足约束条件,则的最大值为 ( )A.2B.C.1D.【解析】选D.令z=,由实数x,y满足约束条件,作出可行域如图,联立,解得A,z=的几何意义为可行域内的动点与定点O(0,0)连线的斜率,当过A时,斜率最大,即z==,所以z=的最大值为.角度2 可化为距离最值的问题【典例】已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是.【思路导引】先画出可行域,再依据x2+y2的几何意义,求出最值即可得取值范围.【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0,2),(1,0),(2,3)为顶点的三角形及其内部,如图所示.因为原点到直线2x+y-2=0的距离为,所以(x2+y2)min=,又当(x,y)取点(2,3)时,x2+y2取得最大值13,故x2+y2的取值范围是.答案:[,13]线性规划求目标函数的常见类型(1)整式是截距:形如ax+by型的线性目标函数,设为z=ax+by,表示平行线族,通过平行线扫描可行域,求线性目标函数的最值或取值范围.(2)分式是斜率:形如(ac≠0)型的非线性目标函数,设为k==·(ac≠0),将问题转化为过定点P以及可行域内的动点Q(x,y)的相交线族的斜率,通过相交线扫描可行域,求斜率的最值或取值范围.(3)根式是距离:形如型的非线性目标函数,将问题转化为d=,几何意义为连接定点A(a,b)与可行域内的动点Q(x,y)的距离,再求距离的最值或取值范围.(4)平方和是距离的平方:形如x2+y2-2ax-2by+a2+b2型的非线性目标函数,将问题转化为d2=()2,几何意义为连接定点A(a,b)与可行域内的动点Q(x,y)的距离的平方,求两点间的距离的最值或取值范围,再求平方即可.1.(2020·成都高一检测)设x,y满足约束条件则的最大值是( )A.-B.C.D.【解析】选C.设z=,画出满足条件的平面区域,如图,由z=的几何意义是可行域内的点与D(-2,0)连线的斜率,由图形可知AD的斜率取得最大值,代入A(3,4),即可得到z最大值,所以z的最大值是.2.(2020·邯郸高一检测)设变量x,y满足约束条件则z=(x-3)2+y2的最小值为( )A.2B.C.4D.【解析】选D.画出变量x,y满足约束条件的可行域,可发现z=(x-3)2+y2的最小值是(3,0)到2x-y-2=0距离的平方.取得最小值:=.3.实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求:(1)点(a,b)对应的区域的面积;(2)的取值范围;(3)(a-1)2+(b-2)2的值域.【解析】方程x2+ax+2b=0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是:函数y=f(x)=x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内,由此可得不等式组⇔由解得A(-3,1); 由解得B(-2,0);由解得C(-1,0).所以在如图所示的坐标平面aOb内,满足约束条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界).(1)△ABC的面积为S△ABC=×|BC|×h=(h为A到Oa轴的距离).(2)的几何意义是点(a,b)和点D(1,2)连线的斜率.k AD==,k CD==1.由图可知,k AD<<k CD.所以<<1,即∈.(3)因为(a-1)2+(b-2)2表示区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方,所以(a-1)2+(b-2)2∈(8,17).类型三已知目标函数的最值求参数的取值范围(逻辑推理、数学运算)【典例】已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( )A. B. C.1 D.2【思路导引】先由前2个条件确定部分区域,再由z=2x+y的最小值为1,即可确定一个平面区域,再结合y≥a(x-3)的几何意义即可求出a的值.【解析】选B.作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分(含边界)所示.易知直线z=2x+y过交点B时,z取最小值,由得因为z min=2-2a=1,解得a=.由目标函数的最值求参数的解题思路已知目标函数的最值,求线性约束条件的参数问题,可以先画出线性约束条件中的已知部分,由于最值一般在可行域的顶点或边界处取得,常常利用数形结合的方法求解.设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图像上存在区域D上的点,则a的取值范围是 ( )A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.[3,+∞)【解析】选A.由线性约束条件画出平面区域D,图中阴影部分,观察图形可知当指数函数y=a x为增函数时,可能过区域D,又当底数越大,在第一象限它的图像越靠近y轴,所以当y=a x过x+y-11=0与3x-y+3=0的交点A(2,9)时,底数最大.即9=a2,所以a=3,因此1<a≤3.课堂检测·素养达标1.(2019·浙江高考)若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是( )A.-1B.1C.10D.12【解析】选C.由线性约束条件可得可行域为图中阴影部分所示:由解得所以A(2,2),所以z max=3×2+2×2=10.2.(2020·德阳高一检测)已知实数x,y满足,则关于目标函数z=3x-y的描述正确的是( )A.最小值为-2B.最大值为3C.最大值为2D.无最大值也无最小值【解析】选A.由实数x,y满足,作出可行域,如图.目标函数z=3x-y可以化为y=3x-z.则z表示直线y=3x-z在y轴上的截距的相反数.由图可知,当直线y=3x-z过点B时,直线y=3x-z在y轴上的截距最大,无最小值.所以z有最小值-2,无最大值.3.(教材二次开发:习题改编)(2019·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=-4x+y的最大值为( )A.2B.3C.5D.6【解析】选C.已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.目标函数的几何意义是直线y=4x+z在y轴上的截距,故目标函数在点A处取得最大值.由得A(-1,1),所以z max=-4×(-1)+1=5.4.(2020·洛阳高一检测)若x,y满足约束条件则z=的最大值为 ( )A. B. C. D.3【解析】选C.由题意知,目标函数z=表示经过点A和可行域内的点(x,y)的直线的斜率,作出不等式组表示的可行域如图所示,根据目标函数z的几何意义,由图可知,当直线过A,C两点时,目标函数z=有最大值,联立方程解得所以点C,代入目标函数可得,z=的最大值为.5.若变量x,y满足则x2+y2的最大值是. 【解析】作出不等式组表示的平面区域,x2+y2表示平面区域内点到原点距离的平方,由得A(3,-1),易得(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.答案:10。

7.4 简单的线性规划●知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By +C =0，坐标平面内的点P （x 0，y 0）.B ＞0时，①Ax 0+By 0+C ＞0，则点P （x 0，y 0）在直线的上方；②Ax 0+By 0+C ＜0，则点P （x 0，y 0）在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数.当B ＞0时，①Ax +By +C ＞0表示直线Ax +By +C =0上方的区域；②Ax +By +C ＜0表示直线Ax +By +C =0下方的区域. 2.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ； （2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.●点击双基1.下列命题中正确的是A.点（0，0）在区域x +y ≥0内B.点（0，0）在区域x +y +1<0内C.点（1，0）在区域y >2x 内D.点（0，1）在区域x －y +1>0内 解析：将（0，0）代入x +y ≥0，成立. 答案：A2.（2005年海淀区期末练习题）设动点坐标（x ，y ）满足 （x －y +1）（x +y －4）≥0，x ≥3， A.5 B.10 C.217 D.10解析：数形结合可知当x =3，y =1时，x 2+y 2的最小值为10. 答案：D2x －y +1≥0，x －2y －1≤0， x +y ≤1则x 2+y 2的最小值为3.不等式组 表示的平面区域为A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：将（0，0）代入不等式组适合C ，不对；将（21，21）代入不等式组适合D ，不对；又知2x －y +1=0与x －2y －1=0关于y =x 对称且所夹顶角α满足t an α=|2121||212|⋅+-=43.∴α≠3π.答案：B4.点（－2，t ）在直线2x －3y +6=0的上方，则t 的取值范围是________________. 解析：（－2，t ）在2x －3y +6=0的上方，则2×（－2）－3t +6＜0，解得t ＞32.答案：t ＞325.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有____________个.解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.答案：3 ●典例剖析【例1】 求不等式｜x －1｜+｜y －1｜≤2表示的平面区域的面积. 剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积. 解：｜x －1｜+｜y －1｜≤2可化为x ≥1， x ≥1， x ≤1， x ≤1， y ≥1， y ≤1， y ≥1， y ≤1， x +y ≤4 x －y ≤2 y －x ≤2 x +y ≥0. 其平面区域如图.∴面积S =21×4×4=8.评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.或 或 或深化拓展若再求：①12-+x y ；②22)2()1(++-y x 的值域，你会做吗？答案： ①（－∞，－23］∪［23，+∞）；②［1，5］.【例2】 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mi l e/h （4≤v ≤20）从A 港出发到距50 nmi l e 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤w ≤100）自B 港向距300 km 的C 市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C 市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、y h.（1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围； （2）如果已知所需的经费p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）（元），那么v 、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?剖析：由p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）可知影响花费的是3x +2y 的取值范围. 解：（1）依题意得v =y50，w =x300，4≤v ≤20，30≤w ≤100.∴3≤x ≤10，25≤y ≤225. ①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x +y 应在9至14个小时之间，即9≤x +y ≤14.② 因此，满足①②的点（x ，y ）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）.xy O1492.53910142+3=38y x （2）∵p =100+3·（5－x ）+2·（8－y ），∴3x +2y =131－p .设131－p =k ，那么当k 最大时，p 最小.在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－23的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点（10，4），即当x =10，y =4时，p 最小. 此时，v =12.5，w =30，p 的最小值为93元.评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何意义.【例3】 某矿山车队有4辆载重量为10 t 的甲型卡车和7辆载重量为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.解：设每天派出甲型车x 辆、乙型车y 辆，车队所花成本费为z 元，那么 x +y ≤9，10×6x +6×8x ≥360， 0≤x ≤4， 0≤y ≤7.z=252x+160y，其中x、y∈N.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，z min=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.●闯关训练夯实基础1.（x－1）2+（y－1）2=1是｜x－1｜+｜y－1｜≤1的__________条件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要解析：数形结合.答案：B2.（x+2y+1）（x－y+4）≤0表示的平面区域为A BC D解析：可转化为x+2y+1≥0，x+2y+1≤0，或x－y+4≤0 x－y+4≥0.答案：B3.（2004年全国卷Ⅱ，14）设x、y满足约束条件x≥0，x≥y，2x－y≤1，则z=3x+2y的最大值是____________.解析：如图，当x =y =1时，z max =5.答案：5x －4y +3≤0， 3x +5y －25≤0， x ≥1，_________.解析：作出可行域，如图.当把z 看作常数时，它表示直线y =zx 的斜率，因此，当直线y =zx 过点A 时，z 最大；当直线y =zx 过点B 时，z 最小．x ＝1， 3x ＋5y －25＝0，得A （1，522）.x －4y +3=0， 3x +5y －25=0，∴z max ＝1522＝522，z min ＝52．答案：525225.画出以A （3，－1）、B （－1，1）、C （1，3）为顶点的△ABC 的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z =3x －2y 的最大值和最小值.分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组； ③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.解：如图，连结点A 、B 、C ，则直线AB 、BC 、CA 所围成的区域为所求△ABC 区域.直线AB 的方程为x +2y －1=0，BC 及CA 的直线方程分别为x －y +2=0，2x +y －5=0.在△ABC 内取一点P （1，1），分别代入x +2y －1，x －y +2，2x +y －5得x +2y －1>0，x －y +2>0，2x +y －5<0.由 得B （5，2）.4.变量x 、y 满足条件设z =xy ，则z 的最小值为_______，最大值为由因此所求区域的不等式组为x +2y －1≥0， x －y +2≥0， 2x +y －5≤0.作平行于直线3x －2y =0的直线系3x －2y =t （t 为参数），即平移直线y =23x ，观察图形可知：当直线y =23x －21t 过A （3，－1）时，纵截距－21t 最小.此时t 最大，t max =3×3－2× （－1）=11；当直线y =23x －21t 经过点B （－1，1）时，纵截距－21t 最大，此时t 有最小值为t min =3×（－1）－2×1=－5.因此，函数z =3x －2y 在约束条件 x +2y －1≥0，x －y +2≥0， 2x +y －5≤06.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克），4所需费用为S =0.5x +0.4y ，且x 、y 满足 6x +3y ≥8， 4x +7y ≥10， x ≥0， y ≥0，由图可知，直线y =－45x +25S 过A （1513，1514）时，纵截距25S 最小，即S 最小.故每盒盒饭为面食1513百克，米食1514百克时既科学又费用最少.培养能力7.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设A 、B 两种药分别配x 、y 剂（x 、y ∈N ），则 x ≥1， y ≥1，3x +5y ≤20， 5x +4y ≤25.下的最大值为11，最小值为－5.上述不等式组的解集是以直线x =1，y =1，3x +5y =20及5x +4y =25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）.所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P =6x +8y ，由题意有30x +20y ≤300， 5x +10y ≤110， x ≥0， y ≥0，x 、y 均为整数. 由图知直线y =－43x +81P 过M （4，9）时，纵截距最大.这时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）.故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元. 探究创新9.实系数方程f （x ）=x 2+ax +2b =0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求： （1）12--a b 的值域；（2）（a －1）2+（b －2）2的值域； （3）a +b －3的值域.f （0）＞0f （1）＜0 f （2）＞0b ＞0， a +b +1＜0， a +b +2＞0.如图所示. A （－3，1）、B （－2，0）、C （－1，0）.解：由题意知 ⇒又由所要求的量的几何意义知，值域分别为（1）（41，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）.●思悟小结简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成.如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决.图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步.一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域.第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确.通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标.●教师下载中心 教学点睛线性规划是新增添的教学内容，应予以足够重视.线性规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础，因为在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点（x ，y ）实数Ax +By +C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点（x 0，y 0）〔若原点不在直线上，则取原点（0，0）最简便〕，把它的坐标代入Ax +By +C =0，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0）表示直线的哪一侧.这是教材介绍的方法.在求线性目标函数z =ax +by 的最大值或最小值时，设ax +by =t ，则此直线往右（或左）平移时，t 值随之增大（或减小），要会在可行域中确定最优解. 解线性规划应用题步骤：（1）设出决策变量，找出线性约束条件和线性目标函数； （2）利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（或最小）.拓展题例【例1】 已知f （x ）=px 2－q 且－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5，求f （3）的范围.解：∵－4≤f （1）≤－1，－1≤f （2）≤5， p －q ≤－1，p －q ≥－4， 4p －q ≤5，4p －q ≥－1. 求z =9p －q 的最值.∴p =0， q =1，z min =－1， p =3，q =7， ∴－1≤f （3）≤20.【例2】 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？解：设A 厂工作x h ，B 厂工作y h ，总工作时数为t h ，则t =x +y ，且x +3y ≥40，2x +y ≥20，x ≥0，y ≥0，可行解区域如图.而符合问题的解为此区域内的格子点（纵、横坐标都是整数的点称为格子点），于是问题变为要在此可行解区域内，找出格子点（x ，y ），使t =x +y 的值为最小.x y +3由图知当直线l ：y =－x +t 过Q 点时，纵、横截距t 最小，但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看Q 点是否是格子点.x +3y =40，2x +y =20，得Q （4，12）为格子点.故A 厂工作4 h ，B 厂工作12 h ，可使所费的总工作时数最少.如图，∵z max =20，解方程组。

简单的线性规划1简单的线性规划1简单的线性规划1教学目标(1)使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域;(2)了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念;(3)了解线性规化问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;(4)培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力;(5)结合教学内容,培养学生学习数学的爱好和“用数学”的意识,激励学生勇于创新.教学建议一、知识结构教科书首先通过一个具体问题,介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个具体实例,介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法-图解法,并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用.二、重点、难点分析本小节的重点是二元一次不等式(组)表示平面的区域.对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏、抽象的概念,按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解,因此学习二元一次不等式(组)表示平面的区域分为两个大的层次:(1)二元一次不等式表示平面区域.首先通过建立新旧知识的联系,自然地给出概念.明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线(画成虚线).其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线.(2)二元一次不等式组表示平面区域.在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上,画不等式组所表示的平面区域,找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础.难点是把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答.对许多学生来说,从抽象到的化归并不比从具体到抽象碰到的问题少,学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题,即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点,并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键.对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类:①不能正确理解题意,弄清各元素之间的关系;②不能分清问题的主次关系,因而抓不住问题的本质,无法建立数学模型;③孤立地考虑单个的问题情景,不能多方联想,形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素,将本课设计为计算机辅助教学,从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前,以利于理解;分析完题后,能够抓住问题的本质特征,从而将实际问题抽象概括为线性规划问题.另外,利用计算机可以较快地帮助学生把握寻找整点最优解的方法.三、教法建议(1)对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏的概念,不象二元一次方程表示直线那样已早有所知,为使学生对这一概念的引进不感到忽然,应建立新旧知识的联系,以便自然地给出概念。

学科：数学教学内容：简单的线性规划曲线和方程【基础知识精讲】1.知识的学习应遵循人类的认识规律和知识本身的渐近性，逻辑性.因此，建议同学们在学习本节时，应复习二元一次方程和平面直角坐标系中的直线的一种对应关系，在此基础上结合课本内容，理解二元一次不等式的解集在平面直角坐标系中对应的点(x,y)表示的区域.2.用二元一次不等式表示平面区域的主要应用，就是线性规划，线性规划问题主要解决的是在生产实际中的资源配置和降低资源消耗等方面的问题.因此，建议同学们在研究线性规划问题时，首先应掌握线性规划的理论方法，其次应培养自己建立数学模型的能力，在解决与线性规划有关的实际问题时，能抽象出数学本质，解决实际问题.3.教材开设简单的线性规划课程，是现代社会发展的需要，是纯理论性研究数学向应用数学知识解决实际问题发展的社会需要.所涉及的知识主要是平面线性区域的确定，建议同学们在学习本节时，要培养善于从实际问题抽象出数学模型的能力.5.处理简单的线性规划的实际问题，关键之处在于从题意中建立目标函数，和相应的约束条件，实际上就是建立数学模型.这样解题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清目标函数与约束条件的区别，得到目标函数的最优解，以理论指导实际生产需要.6.线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.常见类型有：(1)物资调运问题例如已知A1、A2两煤矿每年的产量，煤需经B1、B2两个车站运往外地，B1、B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1、A2两煤矿运往B1、B2两上车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?(2)产品安排问题例如某工厂生产甲、乙两产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A、B、C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能每月获得的总利润最大?(3)下料问题例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小?本节学习要求：(1)画二元一次不等式表示平面区域是本节的重点，在学习思路上，应抓住“以线定界、以点(原点)定域”的思想，以Ax+By+C ≥0(A ＞0，B ＞0)为例.“以线定界”，即画二元一次方程Ax+By+c=0表示的直线定边界，其中，还要注意实线、虚线的画法.“以点定域”，由于对在直线Ax+By+C=0同侧的点，实数Ax+By+C 的值的符号都相同，故为了确定Ax+By+C 的值的符号，可采用取特殊点法，如取原点等.(2)在线性规划的实际应用中，由二元一次不等式组构成了约束条件，确定线性约束条件的可行域的方法，与由二元一次不等式表示平面区域方法相同，即由不等式组表示这些平面区域的公共区域.(3)线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值问题.在线性规划的实际应用中，建立数学模型是解决问题的关键.一般地，线性规划的数学模型是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++≤+++≤+++nm nm 22n 11n 1m m 22221211m m 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (这里“≤”也可以是“≥”或“=”，以下同) 其中a ij (i=1,2,…，n,j=1,2,…,m),b i (i=1,2,…,n)都是常量，x j (j=1,2,…,m)是非负变量，求Z=c 1x 1+c 2x 2+…+c m x m的最大值或最小值，这里C j (j=1,2,…,m)是常量 教科书讨论的是m=1，2的两个变量，即直角坐标系里的x ，y 两个变量的线性规划问题，这类问题常用图解法来求最优.涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法求解.(4)建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤： ①明确问题中有待确定的未知量，并用数学符号表示②明确问题中所有的限制条件(约束条件)，并用线性方程或线性不等式表示 ③明确目标函数，按问题的不同，求其最大值或最小值.培养学生研究、探索问题的积极态度，并运用所学知识解决实际问题的能力.线性规划问题，是运筹学中基础内容.线性规划的应用，主要有运输问题，生产组织问题，分配问题，合理下料等，此外，在经济领域中的布局问题、计划问题等，它们的数学家模型都是线性函数，因此，仍为线性规划问题.【重点难点解析】1.理解用二元一次不等式表示平面区域和线性规划的概念.2.掌握用二元一次不等式表示平面区域和应用线性规划的方法解决简单的实际问题的能力.3.掌握用线性规划的理论知识解决实际问题的能力.例1 某企业生产A 、B 两种产品，A 产品的单位利润为60元，B 产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8h 和2.4h ，每件B 产品在两个车间都需经过1.6h ，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240h ，装配车间最大生产时间为288h.已知销路没有问题，在此一定时期中应如何搭配生产A 产品和B 产品，企业可获得最大利润?分析 根据条件，首先应挖掘实际问题的数学本质，为此，我们通过列框图比较各因素间的关系，寻找解题的突破口.产品 单位利润 加工车间 装配车间(最大加工量240h) (最大装配量288h)A(x) 60 0.8h 2.4h B(y)801.6h1.6hz=60x+80y 为线性目标函数.先由线性约束条件确定可行域，然后在可行域内求出目标函数的最优解.最大利润12600元.例2 设实数x 、y 满足不等式组(1)求点(x,y)所在的平面区域(2)设a ＞-1，在(1)所求的区域内，求函数f(x,y)=y-ax 的最大值和最小值. 分析 必须使学生明确，求点(x,y)所在的平面区域，关键是确定区域的边界线.可以去掉绝对值符号入手.解：(1)已知的不等式组等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+≤+≤03232241x x y y x 或⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+≤+≤03223241x x y y x解得点(x,y)所在平面区域为如图1所示的阴影部分(含边界).其中AB ：y=2x-5;BC:x+y=4;CD:y=-2x+1;DA:x+y=1.图1(2)f(x,y)表示直线l :y-ax=k 在y 轴上的截距，且直线l 与(1)中所求区域有公共点. ∵a ＞-1.∴当直线l 过顶点C 时，f(x,y)最大. ∵C 点的坐标为(-3，7)， ∴f(x,y)的最大值为7+3a.如果-1＜a ≤2，那么当直线l 过顶点A(2，-1)时，f(x,y)最小，最小值为-1-2a. 如果a ＞2，那么当直线l 过顶点B(3，1)时，f(x,y)最小，最小值为1-3a.说明：由于直线l 的斜率为参数a ，所以在求截距k 的最值时，要注意对参数a 进行讨论，方法是让直线l 动起来.例3 某工厂要安排一种产品生产，该产品有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号，生产这种产品需要两种主要资源：原材料和劳动力，每件产品所需资源数量以及每件产品出售价格如下表所示：分析 每天可利用的原材料为1，劳动力为100小时，假定该产品只要生产出来即可销售出去，试确定三种型号产品的日产量，使总产值最大.建立数学模型：(1)用x 1、x 2、x 3分别表示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ种型号的日产量.(2)明确约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤++0,0,0100542120634321321321x x x x x x x x x(3)明确目标函数：Z=4x 1+5x 2+3x 3这样，这个资源利用问题的数学模型为求x 1，x 2，x 3的值，使Z=4x 1+5x 2+3x 3为最大，且满足约束条件.例4 某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力，成品合格率及工厂要求每天至少加工配件2400个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少.解析：首先据题意列出线性约束条件和目标函数.设需Ⅰ、Ⅱ级车工分别为x,y 人. 线性约束条件：目标函数：Z=［(1-97%)·240x+(1-95.5%)·160y ］×2+5.6x+3.6y和 Z=18y.根据题意知即求目标函数Z 的最小值.画出线性约束条件的平面区域如图2中阴影部分所示.据图(2)知、点A(6，6.3)应为既满足题意，又使目标函数最小.然而A 点非整数点.故在点A 上侧作平行直线经过可行域内的整点，且与原点最近距离，可知(6，7)为满足题意的整数解.图2此时Z min =+18×7=246(元).即每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人时，工厂每天支出费用最少.例5 某钢厂两个炼钢炉同时各用一种方法炼钢，第一种方法，每炉用10小时，第二种方法用12小时.(这里包括清炉时间)假定这两种炼法每炉出钢都是5600公斤，而炼一公斤钢的平均燃料费：第一种方法为50元，第二种方法为70元，若要求在72小时内炼钢量不少于367，问应该怎样分配两种炼法的任务，才使燃料费最少?解：设第一种方法炼x 炉，第二种方法炼y 种，得目标函数z=5600(50x+70y)线性约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≥+0,0x 7212y 7210x 36720y)5600(x y据图解法可得整点解(6，1).即第一种方法炼6炉，第二种方法炼1炉时，燃料费最省.例6 某工厂要制造A 种电子装置45台，B 电子装置55台，为了给每台装配一个外壳，要从两种不同的薄钢板上截取，已知甲种薄钢板每张面积为2平方米，可作A 的外壳3个和B 的外壳5个；乙种薄钢板每张面积3平方米，可作A 和B 的外壳各6个，用这两种薄钢板各多少张，才能使总的用料面积最小?解：设需甲、乙两种钢板分别为x 、y 张，得目标函数Z=2x+3y,即求Z 的最小值.据图解法易得最优整点解(5，5)，即目标函数Z 的最小值为25.即需甲、乙钢板各5张.【难题巧解点拨】例 私人办学是教育发展的方向，某人准备投资1元兴办一所完全中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表(以班级为单位)：根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费以外每生每年可收取600元，高中每生每年可收取1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以0个班为宜，教师实行聘任制.初、高中的教育周期均为三年，请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资?解：设初中编制为x 个班，高中编制为y 个班，则(x>0,y>0,x,y ∈Z)记年利润为S ，那么S ＝3x+6y-2.4x-4y ，即 S ＝0.6x+2y. 如下图所示，作出①，②表示的平面区域，问题转化为在图中阴影部分求直线0.6x+2y-S ＝0截距的最大值，过点A 作0.6x+2y ＝0的平行线即可求出S 的最大值.联立⇒⎩⎨⎧=+=+12005828,30y x y x A 的坐标为(18，12).将x ＝18,y ＝12代入③，得S max ＝34.8. 设经过n 年可收回投资，则 11.6+23.2+34.8(n-2)＝1 所以 n ＝33.5.【课本难题解答】Ⅰ教材第65页，习题7.42.(2)答：当x ＝5,y ＝1时，z min ＝60； (3)答：当x ＝6,y ＝9时，z max ＝195； Ⅱ教材第64页，练习题第2题解：设每天应配制甲种饮料x 杯，乙种饮料y 杯，咖啡馆每天获利z ＝0.7x+1.2y(元)x 、y 满足约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0030001032000543600479y x y x y x y x最优解为(240) (图略)【命题趋势分析】掌握二元一次不等式表示的平面区域；理解线性规划的意义和线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；掌握线性规划问题的图解法，并能应用线怀规划的方法解决一些简单的实际问题.【典型热点考题】例1 在直角坐标平面上，求满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤100,3,3y x x y x y 的整点的个数.导析 数字较大，不易逐一清点，关键是引导学生找出规律，分别令y=0,1,2,……，找出这些线上的整点数，然后把它们相加即可，如图2.解：两条坐标轴及直线x+y=100所围成区域(含边界)上的整点共有 1+2+3+…+101=2102101⨯=5151(个). 而直线y=31x,x+y=100及x 轴所围区域(边界不包括直线y=31x)上的整点共有： (1+1+1+1)+(2+2+2+2)+…+(25+25+25+25)=4(1+2+…+25)=1300(个)由对称性知，直线y=3x,x+y=100及y 轴所围区域(边界不包括直线y=3x)上的整点也有1300个.故满足题条件的整点共有 5151-2×1300=2551(个)说明：先求正方形区域上的整点数，有(100+1)2=10个)，则半个正方形区域(含对角线)上的整点有210110201-+101=5151(个).又直线x+y=100和y=31x 的交点为B(75，25).令y=1,有1100个(不含OB 上的点)；令y=1,则直线y=1与y=31x 、x+y=100的交点横坐标分别为3和99，所以3＜x ≤99，有96个点；y=2时，6＜x ≤98，有92个点；…，y=24时，72＜x ≤76,有4个点.故直线y=31x 、x+y=100及y=0所围成的区域内共有2)4100(25+=1300个整点.由对称性知，y=3x 上方的三角形内也有1300个整点.故△AOB 内(含边界)共有5151-2×1300=2551个整点.例2 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有( )A.5种B.6种C.7种D.8种 解：选C.设买单片软件x 片，盒装磁盘y 盒，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,2,3,5007060y x y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,2,3(*),5076y x y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.7322,63y x因为x,y 均为整数，所以x ＝3,4,5,6;y ＝2,3,4.这样(x,y)共有12个，结合条件，肯定有些不合题意，经代入不等式(*)检验知，只有7个(x,y)正确.说明：本题具有浓厚的时代气息，要求考生思路清晰，有良好的数学应用意识，主要考查分类讨论思想以及分析问题、解决问题的能力.例3 对平面区域D ，用N(D)表示属于D 的所有整点的个数，若A 表示由曲线y=x 2(x ≥0)和两直线x=10，y=1所围成的区域(包括边界)；B 表示曲线y=x 2(x ≥0)和两直线x=1,y=100所围成的区域(包括边界).试求N(A ∪B)+N(A ∩B)的值.导析 先画出示意图(如图)，其中A 表示由曲线y=x 2(x ≥0)和两直线x=10,y=1所围成的区域(包括边界)，B 表示由曲线y=x 2(x ≥0)和两直线x=1,y=100所围成的区域，由于102=100.所以A ∪B 所围成的区域恰好为矩形PQRS ，其中PQ=99，QR=9,且点Q 、S 均在曲线y=x 2(x ≥0)上.因此，有N(A ∪B)=(99+1)×(9+1)=1000又A ∩B 形成的区域为抛物线弧段SQ ，它上面的整点个数为N(A ∩B)=9+1=10 ∴ N(A ∪B)+N(A ∩B)=1000+10=1010.【同步达纲练习】A 级一、选择题1.已知点(3，1)和(-4，6)在直线3x-2y+a=0的两侧，则a 的取值范围是( ) A.a ＜-1或a ＞24 B.a=7或a=24 C.-7＜a ＜24 D.-24＜a ＜72.若⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤222y x y x 则目标函数Z=x+2y 的取值范围是( )A.［2，6］B.(2，5)C.(3，6)D.(3，5)3.满足｜x ｜+｜y ｜≤4的整点(横纵坐标均为整数)的点(x,y)的个数是( )A.16B.17C.40D.41二、填空题4.点P(a,4)到直线x-2y+2=0的距离等于25且在不等式3x+y-3＞0表示的平面区域内，则点P 的坐标为 .5.在直角坐标平面上，满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-≤+--+332046422y x y x y x 面积是 .三、解答题6.求Z=8x+9y 的最大值，使式中的x,y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥6325400y x y x y x7.有一批钢管，长度都是4000mm,要截成500mm 和600mm 两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于31配套，怎样截得合理.AA 级一、选择题1.不等式x-2y+6＞0表示的平面区域在直线x-2y+6=0的( ) A.右上方 B.右下方 C.左上方D.左下方2.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0203y x y x x 表示的平面区域的面积等于( )A.28B.16C.439D.121 3.在直角坐标平面上，由不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<-+>-0015530632032y y x y x y x 所确定的平面区域内，整点有( )A.3个B.4个C.5个D.6个二、填空题1.变量x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x 设Z=x y ,则Z min = ，Z max = .2.已知集合A={(x,y)｜｜x ｜+｜y ｜≤1}，B={(x,y)｜(y-x)(y+x)≤0}，m=A ∩B ，则m 的面积为 .三、解答题1.试画出满足不等式log x (log x y 2)＞0的点(x,y)表示的平面区域. 2.试求三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数.3.某工厂库存A 、B 、C 三种原料，可用来生产Z ，Y 两种产品，市场调查显示可获利润等各种数据如下表：问：若市场调查情况如(Ⅰ)，怎样安排生产能获得最大利润?若市场调查情况如(Ⅱ)，怎样安排生产能获得最大利润?【素质优化训练】1.设m 为平面内以A(4，1)，B(-1，-6)，C(-3，2)三点为顶点的三角形区域内(包括边界)，当点(x,y)在区域m 上变动时，4x-3y 的最小值是 .2.设P(x,y)是区域｜x ｜+｜y ｜≤1内的动点，则函数f(x,y)=ax+y(a ＞0)的最大值是 .3.已知函数f(x)=x 2-6x+5,问满足⎩⎨⎧≥-≤+0)()(0)()(y f x f y f x f 的点(x,y)在平面上的什么范围?并作图.4.某工厂生产A 、B 两种产品，已知制造A 产品1kg 要用煤9t ，电力4kw ，劳力(按工作日计算)3个；制造B 产品1kg 要用煤4t ，电力5kw ，劳力10个，又知制成A 产品1kg 可获利7万元，制成B 产品1kg 可获利12万元，现在此工厂由于受某种条件限制，只有煤360t ，电力w ，劳力300个，在这种条件下应生产A 、B 产品各多少kg 能获得最大经济效益?参考答案：【同步达纲练习】A 级1.C2.A3.D4.(16，4)5.9π-18 区域为圆面(x-2)2+(y-3)2=9内挖去了一个内接正方形. 6.Z max =599 7.截500mm 钢管6节和600mm 钢管1节最合理. AA 级一、1.B 2.B 3.A二、1.Z min =0 Z max =1 2.M 的面积为1三、1.区域如图中阴影部分(不包括边界) 2.36个，设三角形另两边长为x,y,问题转化为求由x ≥1，y ≤11，及x+y ＞11所围成区域内整点的个数.3.在(Ⅰ)种情况下获得最大利润为238000元，在第(Ⅱ)种情况下获得最大利润为479000元.【素质优化训练】1.最小值为-18.2.当0＜a ≤1时，最大值为1，当a ＞1时，最大值为a.3.满足条件的点(x,y)在图中的扇形PAB 和扇形PCD 内(包括边界)，其中P 点的坐标为(3，3)4.生产A 、B 产品分别为和24kg 时，获得最大效益为4.。