100测评网_第九章 第3课时 反比例函数的应用(鲁教版)初二数学下学期

鲁教版八年级数学下册第九章综合素质评价一、选择题(每题3分，共36分)1．已知5x ＝6y (y ≠0)，那么下列比例式中正确的是( )A ．x 5＝y 6B ．x 6＝y 5C ．x y ＝56D ．x 5＝6y2．若△ABC ∽△DEF ，其周长之比为1∶2, 则△ABC 与△DEF 的面积之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．4∶13．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .若AB :BC ＝2:3，EF ＝9，则DE 的长是( ) A ．4B ．6C ．7D ．124．如图，△ABC ∽△DCA ，∠B ＝33°，∠D ＝117°，则∠BAD 的度数是( )A ．150°B ．147°C ．135°D ．120°5．如图，在平面直角坐标系中，有点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为( ) A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 等于( ) A ．60 mB ．40 mC ．30 mD ．20 m7．如图，在平面直角坐标系中，已知点O (0，0)，A (6，0)，B (0，8)，以某点为位似中心，作出△CDE ，使它与△AOB 位似，且相似比为k ，则位似中心的坐标和k的值分别为()A．(0，0)，2 B．(2，2)，12C．(2，2)，2 D．(1，1)，128．如图，已知四边形ABCD、四边形CDEF、四边形EFGH是三个相连的正方形，则△ACF与△ACG的相似比为()A．1: 2 B．1:2 C．1: 5 D．2: 59．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示以AE为边的正方形的面积，S2表示以BC为长、BE为宽的矩形的面积，S3表示正方形ABCD除去上述正方形和矩形后剩余部分的面积，则S3∶S2的值为()A．5－12B．5＋12C．3－52D．3＋5210．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB上一动点，连接PC，PE，若△P AE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为()A．1 B．2 C．3 D．411．如图，F是线段CD上一点(不与点C，D重合)，将△ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得到△ABE，连接EF交AB于点H.下列结论正确的是()A．∠EAF＝120°B．AE:EF＝1: 3C．AF2＝EH·EF D．EB:AD＝EH:HF12．如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB·(AB＋BC)，且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是()A．72B．62C．52D．85二、填空题(每题3分，共18分)13．已知x2＝y3＝z4，则x2＋xyyz＝________．14．已知△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比为9:4，△ABC的最短边的长为6 cm，则△DEF的最短边的长为________．15．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，S△ABDS△BCD＝12，则S△BOCS△BCD＝________．16．如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E.(1)AB与CD是否垂直？________(填“是”或“否”)；(2)AE＝________．17．在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于12，并且它们是以原点O为位似中心的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标为____________．18．如图，菱形ABCD的顶点C在等边三角形BEF的边BF上，点A在EB的延长线上，连接DE，过点C作EF的平行线交DE于点G.若AB＝3，BE＝5，则CG的长度是________．三、解答题(19，20，22题每题8分，25题12分，其余每题10分，共66分) 19．(1)已知线段a是线段b，c的比例中项，如果a＝2，b＝3，求c的长度．(2)已知2∶(a＋1)＝(a－1)∶3，求a的值.20．如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？请证明你的结论．21．如图，已知△ABC.(1)请用不带刻度的直尺和圆规在AC边上作一点D，使△ABD的周长等于AB＋AC；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，若AB＝BC＝3，CD＝ 3.求证：AB⊥BD.22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，3)，C(2，1)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1；(2)画出以点O为位似中心，与△ABC位似，且与△ABC位于原点O的异侧，相似比为2的△A2B2C2；(3)求出△A2B2C2的面积．23．如图，某水平地面上有一建筑物AB，在点D和点F处分别竖有2米高的标杆CD和EF，两标杆相距52米，并且建筑物AB，标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，点G与建筑物AB顶端A和标杆CD顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4米到点H处，点H与建筑物AB顶端A和标杆EF顶端E在同一条直线上，求建筑物AB的高度．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD与BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC 的平分线，过点A作AE⊥AD交BD的延长线于点E, 且△ABC∽△EDA.(1 )求∠ABC的度数；(2)求S△ABCS△EDA的值．25．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6，OB＝8.点P从点B开始，沿BA 边以1个单位长度/s的速度向终点A移动；点Q从点A开始，沿AO边以1个单位长度/s的速度向终点O移动．若点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，两点均停止移动，设移动时间为t s.(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为8?答案一、1．B 2．C 3．B 4．B 5．A 6．B 7．B 8．A 9．A 提示：如图，设正方形ABCD 的边长为1.∵点E 是正方形ABCD 的边AB 的黄金分割点，且AE ＞EB ， ∴GF ＝AE ＝5－12AB ＝5－12， ∴BE ＝AB －AE ＝3－52.易知BE ＝FH ，∴FH ＝3－52. ∴S 3∶S 2＝(GF •FH )∶(BC •BE ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12×3－52：⎝ ⎛⎭⎪⎫1×3－52 ＝5－12.故选A.10．C 提示：设P A ＝x ，则PB ＝8－x .当△P AE ∽△PBC 时，AE BC ＝P APB ， ∴AE •PB ＝BC •P A ， 即3(8－x )＝4x ，解得x ＝247. 当△P AE ∽△CBP 时， AE PB ＝P A BC ，∴AE •BC ＝P A •PB ， 即3×4＝x (8－x )，解得x ＝2或x ＝6.故满足条件的点P 的个数为3. 11．D12．A 提示：∵△DAB ∽△DCA ，∴AB AC ＝AD CD ＝BD AD ，∴65＋BD ＝BD 6，解得BD ＝4(负值舍去)． ∴CD ＝BC ＋BD ＝9. ∴AB AC ＝AD CD ＝23.∴AC ＝32AB . 又∵AC 2＝AB •(AB ＋BC )， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫32AB 2＝AB (AB ＋5)， 又∵AB ＞0，∴AB ＝4. ∴AB ＝BD .过点B 作BH ⊥AD 于H ， ∴AH ＝12AD ＝3.∴BH ＝AB 2－AH 2＝42－32＝7. ∵AD ＝3AP ，AD ＝6，∴AP ＝2. 易知当PQ ⊥AB 时，PQ 的值最小， 此时∠AQP ＝∠AHB ＝90°， 又∵∠P AQ ＝∠BAH ， ∴△APQ ∽△ABH ，∴AP AB ＝PQ BH ，即24＝PQ 7，∴PQ ＝72. 二、13．56 14．4 cm 15．23 16．(1)是 (2)45517．(4，8)或(－4，－8) 提示：点A 的对应点A 1的坐标为(2×2，2×4)或(－2×2，－2×4)，即(4，8)或(－4，－8)．18．95 提示：延长CG 交BE 于点H .∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝CD ＝AB ＝3，DC ∥AB . ∵△BEF 是等边三角形， ∴BF ＝BE ＝5，∠F ＝∠BEF ＝60°. ∵CG ∥EF ，∴∠BCH ＝∠F ＝60°，∠CHB ＝∠BEF ＝60°. ∴△BCH 是等边三角形． ∴CH ＝BH ＝BC ＝3. ∴HE ＝BE －BH ＝5－3＝2. 由DC ∥AB ，易得△DCG ∽△EHG .∴CD HE ＝CG GH . ∴32＝CG 3－CG.∴CG ＝95.三、19．解：(1)∵线段a 是线段b ，c 的比例中项，∴a 2＝bc .∵a ＝2，b ＝3，∴c ＝a 2b ＝43. (2)∵2∶(a ＋1)＝(a －1)∶3， ∴(a ＋1)(a －1)＝2×3， ∴a 2＝7，∴a ＝±7. 20．解：△ADQ 与△QCP 相似．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D ＝∠C ＝90°. ∴∠DAQ ＋∠AQD ＝90°. ∵AQ ⊥PQ ，∴∠AQP ＝90°， ∴∠AQD ＋∠PQC ＝90°. ∴∠DAQ ＝∠PQC . ∴△ADQ ∽△QCP .21．(1)解：如图，点D 为所作．(2)证明：∵AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C . 由(1)易知BD ＝CD ＝3， ∴∠DBC ＝∠C ，∴∠DBC ＝∠A . 又∵∠C ＝∠C ，∴△DBC ∽△BAC . ∴BC AC ＝DC BC .∴AC ＝3 3.∴AD ＝2 3. ∴AB 2＋BD 2＝AD 2.∴△ABD 是直角三角形，且∠ABD ＝90°. ∴AB ⊥BD .22．解：(1)如图，△AB 1C 1即为所求．(2)如图，△A 2B 2C 2即为所求．(3)△A 2B 2C 2的面积为4×4－12×2×4－12×2×2－12×2×4＝6.23．解：由题意得CD ＝DG ＝EF ＝2米，DF ＝52米，FH ＝4米．∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ， ∴∠ABH ＝∠CDG ＝∠EFH ＝90°. 又∵∠CGD ＝∠AGB ，∠EHF ＝∠AHB ，∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ，∴CD AB ＝DG BG ，EF AB ＝FH BH ，即CD AB ＝DG DG ＋BD， EF AB ＝FH FH ＋DF ＋BD ，∴2AB ＝22＋BD ，2AB ＝44＋52＋BD， ∴22＋BD ＝44＋52＋BD， 解得BD ＝52米，∴2AB ＝22＋52， 解得AB ＝54米．答：建筑物AB 的高度为54米．24．解：(1)如图，∵AD 与BD 分别是∠BAC ，∠ABC 的平分线，∴∠2＝12∠BAC ，∠1＝12∠ABC .∵∠C ＝90°，∴∠ABC ＋∠BAC ＝180°－∠C ＝90°.∴∠1＋∠2＝12(∠ABC ＋∠BAC )＝12×90°＝45°，∴∠3＝∠1＋∠2＝45°.∵△ABC ∽△EDA ，∴∠ABC ＝∠3＝45°.(2)如图，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵∠3＝45°，AE ⊥AD ，∴△EDA 是等腰直角三角形．∵AF ⊥DE ，∴AF ＝DF ＝12DE . ∵∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝∠ABC ＝45°.∵∠1＝12∠ABC ，∠2＝12∠BAC ，∴∠1＝∠2，∴BD ＝AD .设AF ＝a ，则DF ＝a ，DE ＝2a ，在Rt △ADF 中，AD ＝AF 2＋DF 2＝2a ，∴BD ＝AD ＝2a ， ∴BF ＝BD ＋DF ＝2a ＋a .在Rt △ABF 中，AB 2＝AF 2＋BF 2＝a 2＋(2a ＋a )2＝ (4＋22)a 2， ∵△ABC ∽△EDA ， ∴S △ABC S △EDA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DE 2＝AB 2DE 2＝(4＋22)a 2(2a )2＝2＋22.25．解：(1)∵OA ＝6，OB ＝8，∠AOB ＝90°，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝10.由题意可知AQ ＝t ，AP ＝10－t ，易知0≤t ≤6.①当△APQ ∽△AOB 时，AP OA ＝AQAB ，即10－t 6＝t 10，解得t ＝254＞6，舍去；②当△AQP ∽△AOB 时，∴AQ OA ＝AP AB ，即t 6＝10－t 10，解得t ＝154.综上所述，当t ＝154时，△APQ 与△AOB 相似．(2)过点P 作PC ⊥OA 于点C .易知△APC ∽△ABO ，∴PC OB ＝AP AB ，∴PC ＝AP ·OB AB ＝8(10－t )10＝45(10－t )．∴△APQ的面积为12t×45(10－t)＝8，整理得t2－10t＋20＝0，解得t＝5＋5＞6(舍去)或t＝5－ 5. ∴当t＝5－5时，△APQ的面积为8.。

鲁教版八年级数学下册第九章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列四条线段中，不是成比例线段的为()A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a＝1，b＝2，c＝3，d＝ 6 D．a＝2，b＝5，c＝2 3，d＝15 2．下列各组图形中有可能不相似的是()A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形3．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，AE＝2，则AC的长为() A．4 B．5 C．6 D．84．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为()A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为12；④两个相似多边形的面积比为49，则周长的比为1681.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB 等于()A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是()A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2) 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于()A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.259．如图，在▱ABCD中，E是CD上的一点，DE EC＝2：3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF等于()A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25 10．如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△F AB∶S四边形CBFG ＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每题3分，共24分)11．假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________．12．已知a5＝b7＝c8，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c的值为________．13．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>A C．若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD＝AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为____________．14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．15．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶3，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________．16．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持的小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45 cm，小尺长a＝15 cm，点D到铁塔底部A的距离AD＝42 m，则铁塔的高度是________m.17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2……以此类推，则S n＝________(用含n的式子表示，n为正整数)．三、解答题(19，20题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分) 19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O 为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；(2)计算△A′B′C′的面积．21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．22．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m 的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论．(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？24．如图①，在R t△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)当α＝0°和α＝180°时，求AEBD的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．答案一、1.B 2.A3．C 点拨： 因为DE ∥BC ，所以AE ：AC ＝AD ：AB ＝3：9＝1：3，则AC ＝6.4．A 5.B6．B 点拨： ∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠ABE ＝∠DCE ＝90°.又∵∠AEB ＝∠DEC ，∴△ABE ∽△DCE .∴AB DC ＝BE CE ，即AB 20＝2010.∴AB ＝40 m.7．B8．B 点拨： 由∠A ＝90°，CF ⊥BE ，AD ∥BC ，易证△ABE ∽△FCB . ∴AB BE ＝CF BC .由AE ＝12×3＝1.5，AB ＝2，易得BE ＝2.5，∴22.5＝CF 3.∴CF ＝2.4. 9．D10．D 点拨： ∵四边形ADEF 为正方形，∴∠F AD ＝90°，AD ＝AF ＝EF . ∴∠CAD ＋∠F AG ＝90°.∵FG ⊥CA ，∴∠G ＝90°＝∠C .∴∠DAC ＝∠AFG .在△FGA 和△ACD 中，⎩⎨⎧∠G ＝∠C ，∠AFG ＝∠DAC ，AF ＝DA ，∴△FGA ≌△ACD (AAS )．∴AC ＝FG .①正确．∵BC ＝AC ，∴FG ＝BC . ∵∠C ＝∠G ＝90°，∴FG ∥BC .∴四边形CBFG 是矩形．∴∠CBF ＝90°，S △F AB ＝12FB ·FG ＝12S 四边形CBFG .②正确．∵CA ＝CB ，∠C ＝∠CBF ＝90°，∴∠ABC ＝∠ABF ＝45°.③正确．易知∠FQE ＝∠DQB ＝∠ADC ，∠E ＝∠C ＝90°，∴△ACD ∽△FEQ . ∴AC ∶AD ＝FE ∶FQ .∴AD ·FE ＝AD 2＝FQ ·AC .④正确．二、11.160 km 点拨： 设小明所居住的城市与A 地的实际距离为x km ，根据题意可列比例式为1500 000＝32x ×105，解得x ＝160.12．14 点拨： 由a 5＝b 7＝c 8，可设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k .∵3a －2b ＋c ＝9，∴3×5k－2×7k ＋8k ＝9.∴k ＝1.∴2a ＋4b －3c ＝10k ＋28k －24k ＝14k ＝14.13．S 1＝S 2 点拨： ∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC >AC ， ∴BC 2＝AC ·AB .又∵S 1＝BC 2，S 2＝AC ·AD ＝AC ·AB ，∴S 1＝S 2.14．2；1：2；1：6 15.(3，3)16．14 点拨： 如图，作CH ⊥AB 于点H ，交EF 于点P ，则CH ＝DA ＝42 m ．由题意知，CP ＝45 cm ＝0.45 m ，EF ＝15 cm ＝0.15 m.∵EF ∥AB ，∴∠CEF ＝∠CBA ，∠CFE ＝∠CAB .∴△CEF ∽△CBA .∴EF AB ＝CP CH ，即0.15AB ＝0.4542.∴AB ＝14 m ，即铁塔的高度为14 m.17.163或3 点拨： ∵∠ABC ＝∠FBP ＝90°，∴∠ABP ＝∠CBF .当△MBC ∽△ABP 时，BM ∶AB ＝BC ∶BP ，得BM ＝4×4÷3＝163；当△CBM ∽△ABP 时，BM ∶BP ＝CB ∶AB ，得BM ＝4×3÷4＝3.18.32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n 点拨： 在正三角形ABC 中，AB 1⊥BC ，∴BB 1＝12BC ＝1. 在Rt △ABB 1中，AB 1＝AB 2－BB 21＝22－12＝3，根据题意可得△AB 2B 1∽△AB 1B ，记△AB 1B 的面积为S ，∴S 1S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.∴S 1＝34S . 同理可得S 2＝34S 1，S 3＝34S 2，S 4＝34S 3，….又∵S ＝12×1×3＝32，∴S 1＝34S ＝32×34，S 2＝34S 1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫342，S 3＝34S 2＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫343，S 4＝34S 3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫344，…，S n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n . 三、19.解：∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ，∴∠H ＝∠D ＝95°.∴∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ，∴BC FG ＝AB EF .∴x ∶7＝12∶6.解得x ＝14.20．解：(1)如图．(2)S △A ′B ′C ′＝4×4－12×2×2－12×2×4－12×2×4＝6.21．(1)证明：∵AB ∥FC ，∴∠A ＝∠ECF .又∵∠AED ＝∠CEF ，且DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE (AAS )．(2)解：方法一：∵AB ∥FC ，∴∠GBD ＝∠GCF ，∠GDB ＝∠F .∴△GBD ∽△GCF .∴GB GC ＝BD CF . ∴22＋4＝1CF .∴CF ＝3. 由(1)得△ADE ≌△CFE ，∴AD ＝CF ＝3.∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋1＝4.方法二：如图，取BC 的中点H ，连接EH .∵△ADE ≌△CFE ，∴AE ＝CE .∴EH 是△ABC 的中位线．∴EH ∥AB ，且EH ＝12AB .∴∠GBD ＝∠GHE ，∠GDB ＝∠GEH .∴△GBD ∽△GHE .∴DB EH ＝GB GH .∴1EH ＝22＋2. ∴EH ＝2.∴AB ＝2EH ＝4.22．解：由题意可得DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC .又∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC .∴AD AB ＝DE BC ，即AD AD ＋DB＝DE BC . ∵AD ＝16 m ，BC ＝50 m ，DE ＝20 m ，∴1616＋DB ＝2050.∴DB＝24 m.∴这条河的宽度为24 m.23．解：(1)由题意知AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t，当QA＝AP时，△QAP是等腰直角三角形，所以6－t＝2t，解得t＝2.(2)四边形QAPC的面积＝S△QAC＋S△APC＝12AQ·CD＋12AP·BC＝(36－6t)＋6t＝36(cm2)．在P，Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．(3)分两种情况：①当AQAB＝APBC时，△QAP∽△ABC，则6－t12＝2t6，即t＝1.2；②当QABC＝APAB时，△P AQ∽△ABC，则6－t6＝2t12，即t＝3.所以当t＝1.2或3时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似．24．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴BD＝4，AE＝EC＝12AC.∵∠B＝90°，∴AC＝82＋42＝4 5.∴AE＝CE＝2 5.∴AEBD＝2 54＝52.当α＝180°时，如图①，易得AC＝4 5，CE＝2 5，CD＝4，∴AEBD＝AC＋CEBC＋CD＝4 5＋2 58＋4＝52.(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB .∴CE CA ＝CD CB，∠EDC ＝∠B ＝90°. 在题图②中，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变，∴CE CA ＝CD CB 仍然成立．又∵∠ACE ＝∠BCD ＝α，∴△ACE ∽△BCD .∴AE BD ＝AC BC .由(1)可知AC ＝4 5.∴AC BC ＝4 58＝52.∴AE BD ＝52.∴AE BD 的大小不变．(3)当△EDC 在BC 上方，且A ，D ，E 三点共线时，四边形ABCD 为矩形，如图②，∴BD ＝AC ＝4 5；当△EDC 在BC 下方，且A ，E ，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD ＝AC 2－CD 2＝8.又易知DE ＝2，∴AE＝6.∵AEBD＝52，∴BD＝12 55.综上，BD的长为4 5或12 5 5.。

鲁教版（五四制）八年级数学下册第九章综合测试卷一、选择题(每题3分，共36分)1．【2023·济南槐荫区期末】已知2x ＝3y (xy ≠0)，则下列比例式成立的是( )A ．x 2＝3yB ．x 3＝y 2C ．x y ＝23D ．y x ＝322．【2023·聊城一模】如图是某商店售卖的花架简图，其中AD ∥BE ∥CF ，DE ＝24 cm ，EF ＝40 cm ，BC ＝50 cm ，则AB 长为( ) A ．803 cmB ．1003 cmC ．50 cmD ．30 cm3．若y x ＝23，则y －x y ＋x的值为( )A ．35B ．15C ．－15D ．254．【2023·菏泽牡丹区期末】如图所示，在△ABC 中，若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( ) A ．AD DB ＝DEBCB ．BF BC ＝EFADC ．AE EC ＝BFFCD ．EF AB ＝DE BC5．【2023·济南历城区月考】如图，△ABC 的两条中线BE ，CD 交于点O ，则下列结论不正确的是( ) A ．ED BC ＝12B ．AD AB ＝AE ACC ．△ADE ∽△ABCD ．S △DOE ∶S △COB ＝1∶26．如图，点P 是▱ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( ) A ．0对 B ．1对 C ．2对D ．3对7．【2023·青岛期中】两个相似五边形的一组对应边的长分别是4 cm，6 cm，若它们的面积和是78 cm2，则较大的五边形的面积是()A．42 cm2B．44.8 cm2C．52 cm2D．54 cm28．在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′相似比为1∶2，若点A的坐标为(2，3)，则点A′的坐标为() A．(1，1.5)或(－1，－1.5) B．(4，6)或(－4，－6)C．(－4，6)或(4，－6) D．(－1，1.5)或(1，－1.5) 9．【2023·徐州】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且ADAB＝DEBC，则AE的长为()A．1 B．2 C．1或32D．1或210．如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACCD＝ABBC；④AC2＝AD·AB．其中能够单独判定△ABC∽△ACD的个数为()A．1 B．2 C．3 D．411．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝5，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝4.若以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长度为()A．103B．135C．135或103D．125或5312．【2023·东营】如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M.P是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC ，垂足为N ，连接PM .有下列四个结论： ①AE 垂直平分DM ；②PM ＋PN 的最小值为32；③CF 2＝GE ·AE ； ④S △ADM ＝6 2. 其中正确的是( ) A ．①②B ．②③④C ．①③④D ．①③二、填空题(每题3分，共18分) 13．若2a －b a ＋b＝34，则b a ＝________．14．【2023·青岛即墨区期末】黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇窗户的长为1.8 m ，则宽约为________m ．(结果精确到0.1)15．【2023·江西】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得AB ＝40 cm ，BD ＝20 cm ，AQ ＝12 m ，则树高PQ ＝________m.16．已知a 2＝b 3＝c5，且a ＋b ＋c ≠0，则2a ＋3b －2c a ＋b ＋c＝________.17．【2023·广东】边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________．18．【2023·山东日照期末】如图，等边三角形ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD ＝12，线段PQ 在边BA 上运动，若PQ ＝12，当AQ ＝________时，△AQD 与△BCP 相似．三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)19．(1)若x3＝y5＝z7，求x－y＋zx＋y－z的值．(2)若a＋23＝b4＝c＋56，且2a－b＋3c＝21，求a∶b∶c.20．【2023·淄博淄川区期末】如图，一个矩形的长AB＝a m，宽AD＝1 m，按照图中所示的方式将它分割成相同的三个矩形，且每个小矩形与原矩形相似，求a 的值．21．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥A C．若DE＝5，DF＝3，CE＝A D．(1)求AD的值．(2)求AEBE的值．22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点都在格点上．(1)以坐标原点O为位似中心，在第四象限将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1.(2)在(1)的条件下，若△ABC内的点P(2，－1)位似的对应点为点Q，则点Q的坐标为________．23．【2023·邵阳】如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.(1)证明：△ABC∽△DEB．(2)求线段BD的长．24．【情境题】小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿NA方向后退1 m到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向继续向后移动15 m放在D处(即AD＝15 m)，从点D处向后退1.6 m，到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M，已知小明眼睛到地面的距离CB＝EF＝1.74 m，请根据题中提供的相关信息，求出该塔的高度MN(平面镜大小忽略不计)25．【2023·枣庄滕州市一模】如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，将△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F点处，延长FE，交DC延长线于点G.(1)求证：△DFG∽△F AD．(2)若菱形ABCD的边长为5，AF＝3，求BE的长．答案一、1．B2．D 【点拨】∵AD ∥BE ∥CF ，∴DE EF ＝AB BC ，即2440＝AB50，∴AB ＝30 cm. 3．C 【点拨】∵y x ＝23，∴y －x x ＝－13，y ＋x x ＝53，∴y －x ＝－x 3，y ＋x ＝53x ，∴y －x y ＋x＝－x 3÷53x ＝－15. 4．C 【点拨】∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DEFB 是平行四边形，∴DE ＝BF ，BD ＝EF .∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴AD AB ＝AE AC ＝BF BC ，EF AB ＝CE AC ＝CFCB .∵EF ∥AB ， ∴AE EC ＝BF FC .5．D 【点拨】由题易知AD ＝DB ，AE ＝EC ，∴DE ＝12BC ，DE ∥BC ，∴ED BC ＝12，A 选项结论正确，不符合题意；∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AEAC ，B 选项结论正确，不符合题意；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，C 选项结论正确，不符合题意；∵DE ∥BC ，∴△DOE ∽△COB ，∴S △DOE ∶S △COB ＝1∶4，D 选项结论错误，符合题意．6．D 【点拨】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，易知△EAP ∽△EDC ，△EAP ∽△CBP ，∴△EDC ∽△CBP ，故有3对相似三角形． 7．D 【点拨】∵两个相似五边形的一组对应边的长分别是4 cm ，6 cm ，∴这两个相似五边形的相似比为2∶3.设较大的五边形的面积为x cm 2，则较小的五边形的面积为(78－x )cm 2，∴78－x x ＝(23)2，解得x ＝54，即较大的五边形的面积为54 cm 2.8．B 【点拨】在同一象限内，∵△ABC 与△A ′B ′C ′是以原点O 为位似中心的位似图形，其中相似比是1∶2，点A 的坐标为(2，3)，∴则点A ′的坐标为(4，6)；不在同一象限内，∵△ABC 与△A ′B ′C ′是以原点O 为位似中心的位似图形，其中相似比是1∶2，点A 的坐标为(2，3)，∴则点A ′的坐标为(－4，－6)，故 选B.9．D 【点拨】在△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，∴AC ＝2BC ＝4，AB ＝23，∠C ＝60°.∵点D 是AB 的中点，∴AD ＝ 3.∵AD AB ＝DEBC ，∴DE ＝1.如图①，当∠ADE ＝90°时，∵∠ADE ＝∠ABC ，AD AB ＝DE BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC ＝AD AB ＝12，∴AE ＝2；如图②，当∠ADE ≠90°时，取AC 的中点H ，连接DH .∵点D 是AB 中点，点H 是AC 的中点，∴DH ∥BC ，DH ＝12BC ＝1，∴∠AHD ＝∠C ＝60°，DH ＝ DE ＝1，∴∠DEH ＝60°，∴∠ADE ＝∠A ＝30°，∴AE ＝DE ＝1，故选D. 10．C 【点拨】由于∠A 公用，因此条件①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；④AC 2＝AD ·AB 都能够单独判定△ABC ∽△ACD ，共3个．11．C 【点拨】当△CDE ∽△CBA 时，∴CD ∶CB ＝CE ∶CA .∵BC ＝6，BD ＝4，∴CD ＝BC －DB ＝2.∵AC ＝5，∴2∶6＝CE ∶5，∴CE ＝53，∴AE ＝AC －CE ＝103；当△CDE ∽△CAB 时，∴DC ∶CA ＝CE ∶BC ，∴2∶5＝CE ∶6，∴CE ＝125，∴AE ＝AC －CE ＝135.综上AE 的长度为135或103.12．D 【点拨】①∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ＝BC ，∠ADC ＝∠DCB ＝90°.∵BF ＝CE ，∴BC －BF ＝DC －CE ，即CF ＝DE ，在△ADE 和△DCF 中，⎩⎨⎧AD ＝DC ，∠ADE ＝∠DCF ，DE ＝CF ，∴△ADE ≌△DCF (SAS)，∴∠DAE ＝∠CDF .∵∠CDF ＋∠ADG ＝90°，∴∠DAE ＋∠ADG ＝90°， ∴∠AGD ＝90°，∴∠AGM ＝90°，∴∠AGM ＝∠AGD .∵AE 平分∠CAD ， ∴∠MAG ＝∠DAG .又∵AG 为公共边，∴△AGM ≌△AGD (ASA)，∴GM ＝GD .又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，故①正确；②如图，连接BD 与AC交于点O，交AG于点H，连接HM.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM.∵AE垂直平分DM，∴HM＝HD，当点P与点H重合时，PM＋PN的值最小，此时PM＋PN＝HM＋HO＝HD＋HO＝DO，即PM＋PN 的最小值是DO的长．∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝BD＝42，∴DO＝12BD＝22，即PM＋PN的最小值为22，故②错误；③∵AE垂直平分DM，∴∠DGE＝90°.∵∠ADC＝90°，∴∠DGE＝∠ADC.又∵∠DEG＝∠AED，∴△DGE∽△ADE，∴DEAE＝GEDE，即DE2＝GE·AE，由①知CF＝DE，∴CF2＝GE·AE，故③正确；④∵AE垂直平分DM，∴AM＝AD＝4.又∵DO＝22，∴S△ADM＝12AM·DO＝12×4×22＝42，故④错误．综上，正确的是①③.二、13．57【点拨】∵2a－ba＋b＝34，∴4(2a－b)＝3(a＋b)，∴a＝7b5，∴ba＝b7b5＝57.14．1.1【点拨】设窗户的宽为x m．∵窗户的宽和长的比是黄金比，∴x1.8≈0.618，∴x≈1.1，∴宽约为1.1 m.15．6【点拨】由题意可得，BC∥PQ，AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝12 m，∴∠ABC＝∠AQP，∠ADB＝∠APQ，∴△ABD∽△AQP，∴ABBD＝AQQP，即4020＝12QP，解得QP＝6 m，∴树高PQ＝6 m.16．310【点拨】设a2＝b3＝c5＝k(k≠0)，∴a＝2k，b＝3k，c＝5k，∴2a＋3b－2ca＋b＋c＝2×2k＋3×3k－2×5k 2k＋3k＋5k ＝3 10.17．15【点拨】如图，∵BF∥DE，∴∠ABF＝∠ADE，∠AFB＝∠AED，∴△ABF∽△ADE，∴ABAD＝BFDE.∵AB＝4，AD＝4＋6＋10＝20，DE＝10，∴4 20＝BF10，∴BF＝2，∴GF＝6－2＝4.∵CK∥DE，∴∠ACK＝∠ADE，∠AKC＝∠AED，∴△ACK∽△ADE，∴ACAD＝CKDE.∵AC ＝4＋6＝10，AD ＝20，DE ＝10，∴1020＝CK 10，∴CK ＝5，∴HK ＝6－5＝1，∴阴影梯形的面积＝12(HK ＋GF )·GH ＝12×(1＋4)×6＝15.18．514或1或32 【点拨】∵等边三角形ABC 的边长为3，∴AB ＝BC ＝3，∠A ＝∠B ＝60°.设AQ ＝x ，则BP ＝3－12－x ＝52－x .△AQD 与△BCP 相似分两种情况：①当△AQD ∽△BCP 时，AQ BC ＝AD BP ，即x 3＝1252－x，解得x 1＝1，x 2＝32，经检验，x 1＝1，x 2＝32均为原方程的解，且符合题意；②当△AQD ∽△BPC 时，AQ BP ＝AD BC ，即x 52－x＝123，解得x ＝514，经检验，x ＝514是原方程的解，且符合题意．综上所述，AQ 的长是514或1或32.三、19．【解】(1)设x 3＝y 5＝z 7＝k (k ≠0)，则x ＝3k ，y ＝5k ，z ＝7k ，∴x －y ＋z x ＋y －z ＝3k －5k ＋7k 3k ＋5k －7k＝5. (2)设a ＋23＝b 4＝c ＋56＝k (k ≠0)，则a ＝3k －2，b ＝4k ，c ＝6k －5，∴2(3k －2)－4k ＋3(6k －5)＝21，解得k ＝2，∴a ＝6－2＝4，b ＝8，c ＝7， ∴a ∶b ∶c ＝4∶8∶7.20．【解】∵每个小矩形与原矩形相似，∴1a ＝13a 1，解得a ＝3或－3(舍去)，∴a ＝ 3.21．【解】(1)设CE ＝AD ＝x .∵EF ∥AC ，∴DE CE ＝DF AF ，∴5x ＝3x －3，解得x ＝7.5. ∴AD ＝7.5.(2)∵AD ＝7.5，∴AF ＝4.5.∵EF ∥DB ，∴AE BE ＝AF DF ＝4.53＝32.22．【解】(1)如图，△A 1B 1C 1即为所作．(2)(4，－2)23．(1)【证明】∵CA ⊥AD ，ED ⊥AD ，CB ⊥BE ，∴∠A ＝∠CBE ＝∠D ＝90°，∴∠C ＋∠CBA ＝90°，∠CBA ＋∠DBE ＝90°，∴∠C ＝∠DBE ，∴△ABC ∽△DEB . (2)【解】∵△ABC ∽△DEB ，∴AC BD ＝AB DE ，∴6BD ＝84，∴BD ＝3.24．【解】根据题意得∠BAC ＝∠NAM ，∠ABC ＝∠MNA ＝90°，∴Rt △AMN ∽Rt △ACB ，∴MN BC ＝AN AB ，即MN 1.74＝AN 1①； ∵∠EDF ＝∠NDM ，∠DEF ＝∠MND ＝90°，∴Rt △MND ∽Rt △FED ，∴MN EF ＝DN DE ，即MN 1.74＝15＋AN 1.6②，由①②得AN 1＝15＋AN 1.6，解得AN ＝25 m ，∴MN 1.74＝251，解得MN ＝43.5 m ，∴该塔的高度MN 为43.5 m.25．(1)【证明】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠A ＝∠BCD .由折叠知∠DFG ＝∠BCD ，∴∠A ＝∠DFG .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠AFD ＝∠FDG .∴△DFG ∽△F AD .(2)【解】由翻折知DF ＝DC ＝5.∵△DFG ∽△F AD ，∴DG DF ＝DF AF ＝FG AD ，即DG 5＝53＝FG 5，∴DG ＝253＝FG ，∴CG ＝DG －DC ＝103.∵AB ＝5，AF ＝3，∴BF ＝2.∵CG ∥BF ，∴易得△CGE ∽△BFE ，∴CE BE ＝CG BF ＝1032＝53，∴CE ＝53BE .∵CE ＋BE ＝BC ＝5，∴83BE ＝5，∴BE ＝158.。

《反比例函数的应用》说课稿杜霜一．说教材《反比例函数的应用》是鲁教版八年级下册第九章第三节的课题，是在前面学习了反比例函数、反比例函数的图象和性质的基础上的一节应用课。

这一节的内容符合新课程理念.新课程要求数学要面向实际生活和社会实践,而反比例函数的知识在生产和实际生活中经常用到，掌握这些知识对学生参加实践活动，解决日常生活中的实际问题具有实用意义。

通过反比例函数的应用使学生明确函数、方程、不等式是解决实际问题的三种重要的数学模型，它们之间有着密切联系，并在一定的条件下可以互相转化。

在教学过程中，还渗透着建模思想、函数思想、数形结合思想，这些思想也为后面学习二次函数的应用奠定了基础。

二．说目标“反比例函数的应用”是反比例函数及其图象中的一个重要的内容，它是前面几节课的综合应用。

由于函数知识在日常生活中有重要的实用意义，根据教学大纲的明确规定并结合素质教育要求，通过本节课的教学达到以下目标：1、知识目标使学生了解反比例函数是日常生活和生产实际中应用十分广泛的数学模型，使学生掌握生活中有一类两变量的乘积为定值的实际问题可转化为反比例函数问题来解决的思想方法。

2、能力目标使学生能模仿“利用函数解决实际问题的基本步骤”来解决简单的实际问题；初步养成自己提出或构建数学模型的能力；提高综合运用函数、方程、不等式知识解决实际问题的能力。

3、情感目标①通过本节知识的学习，使学生明确，应用反比例函数的知识可以解决生活中的许多问题，从而进一步培养学生热爱数学，进而努力学好数学的情感。

②使学生树立事物是普遍联系的辩证唯物观。

三．说教学重难点我认为本节课的教学重点是把一类实际问题转化为反比例函数问题来解决，这是因为：１．反比例函数是日常生活和生产实践中应用十分广泛的数学模型，它真正体现了数学知识来源于生活又应用于生活的重要意义。

２．“利用反比例函数解决实际问题的基本步骤”是通过对例题的解题过程进行归纳总结而得到的结论。