最新高一下学期第一次月考数学试题 (9)

高一数学试题说明：1．本试卷共4页，考试时间100分钟，满分100分. 2．请将所有答案都涂写在答题卡上，答在试卷上无效.第I 卷（选择题）一、单项选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在平行四边形中，为上任一点，则等于（） ABCD M ABAM DM DB -+ A.B.C.D.BC AB AC AD【答案】B 【解析】【分析】根据相反向量的意义及向量加法的三角形法则，化简可得答案． AM DM DB -+【详解】 AM DM DB -+ AM MD DB =++ AD DB AB =+=故选：．B 2. 对于任意的平面向量，下列说法正确的是（ ） ,,a b cA. 若且，则B. 若，且，则//a b //b c //a c a b a c ⋅=⋅0a ≠b c =C. 若且，则D.a b = b c = a c = ()()a b c a b c ⋅=⋅【答案】C 【解析】【分析】平面向量共线的传递性可得A 错误，由向量数量积的定义可判断B ，根据向量相等的概念可判断C ，根据数量积及共线向量的概念可判断D.【详解】对A ，若且，则当为零向量时，与不一定共线，即A 错误；//a b //b c b a c 对B ，若，则，a b a c ⋅=⋅ cos ,cos ,a b a b a c a c ⋅=⋅ 又，所以，0a ≠ cos ,cos ,b a b c a c = 因为与的夹角不一定相等，所以不一定成立，即B 错误；,b c a b c =对C ，若且，则，即C 正确；a b =b c =a c =对D ，因为与共线，与共线，()c a b ⋅ c ()a b c ⋅a 所以不一定成立，即D 错误.()()a b c a b c ⋅=⋅故选：C ．3. 内角的对边分别为，已知，则（ ） ABC A ,,A B C ,,a b c 222b c a bc +-=A =A.B.C.D.6π56π3π23π【答案】C 【解析】【分析】利用余弦定理求出，再求出即可.cos A A 【详解】,，，.222b c a bc +-= 2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===0A π<< 3A π∴=故选：C4. 已知边长为3的正，则（ ） 2ABC BD DC= A ，AB AD ⋅=A. 3B. 9C.D. 6152【答案】D 【解析】【分析】由数量积的运算律化简后求解【详解】由题意得，2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+故，AB AD ⋅= 1233AB AB AB AC ⋅+⋅221233cos60633=⨯+⨯⨯︒=故选：D5. 在中，已知，且，则是（ ）ABC A ||||AB AC AB AC +=-sin 2sin cos A B C =ABC A A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由两边平方得，由化简得，得||||AB AC AB AC +=- AB AC ⊥sin 2sin cos A B C =B C =为等腰直角三角形.ABC A 【详解】由得，所以，所以||||AB AC AB AC +=-()()22AB ACAB AC +=- 0AB AC ⋅= AB AC⊥，所以为直角三角形；ABC A 由得，sin 2sin cos A B C =()()sin πsin 2sin cos B C B C B C --=+=所以 ，所以， sin cos cos sin 2sin cos +=B C B C B C sin cos cos sin 0B C B C -=即，因为，所以，所以为等腰三角形； ()sin 0B C -=π<πB C --<0B C -=ABC A 综上，为等腰直角三角形. ABC A 故选：C6. 在中，已知，D 为BC 中点，则（ ） ABC A π2,3,3AB AC A ==∠=AD =A. 2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据边长和角先求出，根据D 为BC 中点，可知，两边同时平方，将AB AC ⋅u u u r u u u r()12AD AB AC =+ 数带入计算结果即可.【详解】解：因为，所以， π2,3,3AB AC A ==∠=1cos 2332AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⋅⋅= 因为D 为BC 中点，所以,两边同时平方可得：()12AD AB AC =+，(()2211192469444AD AB AB =+⋅⋅=++=所以AD = 故选:D7. 己知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为,a b12a b ⋅= - a c b c - π6a c - （ ）A.B. 1C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】设，，.从而得到等边三角形,进一步可得的轨迹是两段圆弧,画出OA a = OB b =OC c = OAB A C 示意图可知当AC 是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|，从而可解.A AB ||a c -【详解】向量,向量均为单位向量， 12a b⋅=,a b,.111cos ,2a b ∴⨯⨯<>= π,3a b ∴<>=如图，设.则是等边三角形. ,,OA a OB b OC c ===OAB A 向量满足与的夹角为, .c -a cbc -π6π6ACB ∠=∴因为点在外且为定值,C AB ACB ∠所以的轨迹是两段圆弧,是弦AB 所对的圆周角.C ACB ∠因此：当AC 是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|, A AB ||a c -在中,由正弦定理可得:ABC A . 2sin 30ABAC ︒==取得最大值2.|a c ∴- ∣故选：D【点睛】关键点睛：设，关键能够根据已知条件确定的轨迹是弦AB 所对的两段圆弧,从而确定当AC ,,OA a OB b OC c ===C 是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|，即可求解.A AB ||a c -8. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，若且，则ABC A (cos )a C C b c =+5a =的周长的最大值为（ ）ABC A A. 15 B. 16C. 17D. 18【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理，两角和公式及辅助角公式可得，然后根据余弦定理及基本不等式可得60A =︒，即得.10b c +≤【详解】由已知及正弦定理得，sin cos sin sin sin A C A C B C +=+∴， ()sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，因为， sin cos sin sin A C A C C =+sin 0C ≠，即，因为， cos 1A A -=()1sin 302A -︒=3030150A -︒<-︒<︒所以，从而，3030A -︒=︒60A =︒由余弦定理得，即，2222cos a b c bc A =+-()222253b c bc b c bc =+-=+-又，2332b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∴，即， ()()22134b c bc b c +-≥+()21254b c ≥+∴，当且仅当时等号成立，从而， 10b c +≤5b c ==15a b c ++≤∴的周长的最大值为15. ABC A 故选：A.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的符0分.）9. 在中，，则角B 的值可以是（ ） ABC A π10,6a c A ===A.B.C.D.π12π47π123π4【答案】AC 【解析】【分析】由已知结合正弦定理可求C ，然后结合三角形的内角和定理可求.【详解】∵， π10,6a c A ===由正弦定理可得 ，得 ， sin sin a c A C =10sin C =sin C =∵，∴， a c <A C <则或，由，则角或． π4C =3π4C =πB A C =--7π12=B π12B =故选：AC.10. 若向量满足，则（ ）,a b||||2,||a b a b ==+=A.B. 与的夹角为2a b ⋅=- a bπ3C. D. 在上的投影向量为(2)a a b ⊥-a b - b 12b r 【答案】BC 【解析】【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂直，求2a b ×=a b 解投影向量即可得结论.【详解】因为，所以||||2==r r a b a b +====则，故A 不正确；2a b ×=又，，所以，即与的夹角为，故B 正21cos ,222a b a b a b ⋅===⨯⋅0,πa b ≤≤ π,3a b = a b π3确；又，所以，故C 正确；2(2)24220a a b a a b ⋅-=-⋅=-⨯=(2)a a b ⊥- 又在上的投影向量为，故a b - b ()221cos ,2a b b b b a b b a b a b b a bb b ba b bb b-⋅⋅---⋅=-⋅=⋅=--⋅D 不正确. 故选：BC.11. 中，为上一点且满足，若为线段上一点，且（ABC A D AB 3AD DB =P CD AP AB AC λμ=+λ，为正实数），则下列结论正确的是（ ）μA.B.1344CD CA CB =+432λμ+=C. 的最大值为 D.的最小值为3 λμ112113λμ+【答案】AD 【解析】【分析】由题设结合三点共线可得，再应用基本不等式求、43AP AD AC λμ=+433λμ+=λμ的最值，利用向量加减、数乘的几何意义求的线性关系. 113λμ+,,CD CA CB【详解】由题设，可得，又三点共线， 43AP AD AC λμ=+,,D P C ∴，即，B 错误； 413λμ+=433λμ+=由，为正实数，，则，当且仅当时等号成立，故C 错λμ433λμ+=≥316λμ≤31,82λμ==误；，当且仅当时等号成1111111(3)(5)(5333333343λμλμλμλμμλ+=++=++≥+=32μλ=立，故D 正确；，又，14CD CB BD CB BA =+=+ BA BC CA =+ ∴，故A 正确.131()444CD CB BC CA CB CA =++=+故选：AD.12. 在中，若，下列结论中正确的有（ ） ABC A ::4:5:6a b c =A. B. 是钝角三角形sin :sin :sin 4:5:6A B C =ABC AC. 的最大内角是最小内角的2倍D. 若，则 ABC A 6c =ABC A 【答案】ACD 【解析】【分析】根据正弦定理，余弦定理逐一判断即可.【详解】根据正弦定理由，因此选项A 正确； ::4:5:6sin :sin :sin 4:5:6a b c A B C =⇒=设，所以为最大角，4,5,6a k b k c k ===C ，所以为锐角，因此是锐角三角形，2222221625361cos 022458a b c k k k C ab k k +-+-===>⋅⋅C ABC A 因此选项B 不正确；，显然为锐角，2222222536163cos 22564b c a k k k A bc k k +-+-===⋅⋅A，23cos 2cos 1cos cos 224C C C A =-⇒====因此有，因此选项C 正确； 22CA C A =⇒=由1cos sin 8C C =⇒===外接圆的半径为：D 正确，ABC A 112sin 2c C ⋅==故选：ACD【点睛】关键点睛：根据正弦定理、余弦定理是解题的关键.第II 卷（非选择题）三、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.）13. 已知向量，，当时，__________.(1,2)a =- (sin ,cos )b αα= a bA tan α=【答案】## 12-0.5-【解析】【分析】由向量平行可得，进而可求出结果.2sin cos -=αα【详解】由可得，，得，//a b 2sin cos -=αα1tan 2α=-故答案为：. 12-14. 向量的夹角为，且，则等于__________．a b ，π3||1,||2a b == ||a b - 【解析】【分析】由向量的数量积的定义可得，再由向量的平方即为模的平方，计算化简即可得到所求·1a b =值．【详解】向量，的夹角是，，，a bπ3||1a = ||2b = 则， π1||||cos 12132a b a b ==⨯⨯=AA 则22||()a b a b -=-，22212143a a b b =-+=-⨯+= A即有||a b -=15. 已知中，，若满足上述条件的三角形有两个，则的范围是__________． ABC A π,23A AB ==BC【答案】)2【解析】【分析】由已知可得,从而得解. sin A AB BC AB ⋅<<【详解】解：如图所示，作，交于点为，垂足为，若要满足题π3A ∠=,BC AB '=AD 'C BC AC '''⊥C ''意，则有， sin BC A AB BC AB BC '''=⋅<<=易知∴的范围是.2,BC BC '''==BC )2故答案为：)216. 在中，，，，则的面积为__________．ABC A 1AB =3BC =1AB BC ⋅=-ABC A【解析】【分析】根据平面向量的夹角公式可求得，从而可得到，再根据三角形的面积公式即可求解．cos B sin B 【详解】依题意可得，解得，()()=cos π=13cos =1AB BC AB BC B B ⋅⋅⋅-⨯⨯-- 1cos =3B又，所以， ()0,πB ∈sin B所以的面积为 ABC A 11sin 1322ABC S AB BC B =⋅⋅⋅=⨯⨯=A．17. 如图，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点B 和C ，在B 点处观测到C 的方位角为，B155︒点和C 点相距25千米．某日两个观测站都观测到了A 处出现火情，在B 点处观测到A 的方位角为125︒．在C 点处，观测到A 的方位角为，则观测站C 与火情A 之间的距离为________．80︒【解析】【分析】由正弦定理求解即可【详解】在中，，，ABC A 15512530ABC ∠=-=︒︒︒180********BCA ∠=︒-︒+︒=︒，，1803010545BAC ∠=︒-︒-︒=︒25BC =由正弦定理可得，即，sin sin AC BCABC BAC =∠∠25sin 30sin 45AC =︒︒所以， 25sin 30sin 45AC ⨯︒==︒所以观测站与火情之间的距离为千米 C A故答案为18. 如图，在平面四边形中，，，，若点ABCD AB BC ⊥AD CD ⊥60BCD ∠=︒CB CD ==为边上的动点，则的最小值为_______.M BC AM DM ⋅【答案】 214【解析】【分析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出， ，B BA x BC y A D C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【详解】如图所示：以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，B BA x BC y 过点作轴，过点作轴，D DP x ⊥D DQ y ⊥∵，，，AB BC ⊥AD CD ⊥120BAD ∠=︒CB CD ==∴，，，，()00B ，()20A ，(0,C (D 设，则，，()0,M a ()2,AM a =- (3,DM a =-故，故答案为． (22121644AM DM a a a ⎛⋅=+=+≥ ⎝ 214【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．四、解答题：（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. 已知(2,4),(3,1)a b ==- （1）设的夹角为，求的值；,a b θcos θ（2）若向量与互相垂直，求k 的值．k + a b - a kb 【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据平面向量的夹角公式即可解出；（2）根据垂直的数量积表示及模长即可解出．【小问1详解】 ，()23412a b ⋅=⨯-+⨯=- ，a ==b ==因为，所以cos a b a b θ⋅=⋅⋅ cos a b a b θ⋅===⋅ 【小问2详解】因为向量与互相垂直，所以， a kb +r r a kb - ()()2220a kb a kb a k b +⋅-=-= 所以，即，解得：.222a k b= 22010k =k =20. 已知在△ABC 中，D 为边BC 上一点，，，． 3CD =23AC AD ==1cos 3CAD ∠=（1）求AD 的长；（2）求sinB ．【答案】（1）2；（2【解析】 【分析】(1)在中，利用余弦定理建立方程求解即可；ACD A (2)利用(1)的结论求出，再在中由正弦定理计算可求．cos C ABC A sin B 【小问1详解】依题意，在中，由余弦定理得，ACD A 2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠即，解得； 2223313()2223AD AD AD AD =+-⋅⋅⋅2AD =【小问2详解】在中，由(1)知，由余弦定理可得， ACD A 3AC =2222223327cos 22339AC CD AD C AC CD +-+-===⋅⨯⨯则有，sin C ==在中，由正弦定理得． ABC A sin sin AC B C AB ===． sin B ∴=21. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________．在ABC A①；tan tan tan tan A C A C +=②； 2ABCS BC =⋅A③. πcos cos 2b C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个填在横线上，补充完整上面的问题，并进行解答．（1）求角B 的大小；（2）若角B 的内角平分线交AC 于D ，且，求的最小值．1BD =4a c +【答案】（1） 2π3B =（2）9【解析】【分析】（1）若选①：根据两角和差正切公式化简已知等式可求得，由()tan A C +()tan tan B A C =-+可求得，进而得到；若选②：根据三角形面积公式和平面向量数量积定义可构造方程求得tan B B tan B ，进而得到；若选③：利用正弦定理边化角，结合诱导公式可求得，进而得到；B tan B B （2）根据，利用三角形面积公式化简可得，由ABC ABD BCD S S S =+△△△111a c+=，利用基本不等式可求得最小值. ()1144a c a c a c ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【小问1详解】若选条件①，由得：， tan tan tan A C A C +-=)tan tan 1tan tan A C A C +=-， tan tan 1tan tan A C A C+∴=-()tan A C +=则，. ()()tan tan πtan B A C A C ⎡⎤=-+=-+=⎣⎦()0,πB ∈2π3B ∴=若选条件②，由得：，2ABC S BC =⋅△ sin cos ac B B =，则，. sin ∴=B B tan B =()0,πB ∈2π3B ∴=若选条件③，，则， πcos cos 2b C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos b C B =由正弦定理得：，sin sin cos B C C B =，，，则，()0,πC ∈ sin 0C ∴≠sin ∴=B B tan B =又，. ()0,πB ∈2π3B ∴=【小问2详解】，， ABC ABD BCD S S S =+A A A 12π1π1πsinsin sin 232323ac c BD a BD ∴=⋅+⋅，，， =+a c ac ∴+=111a c ac a c +∴=+=（当且仅当，即时取等()11444559a c a c a c a c c a ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭4a c c a =23a c ==号），的最小值为.4a c ∴+922. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知． ABC A 2cos (cos cos )A c B b C a +=（1）求A ；（2）若为锐角三角形，且的取值范围． ABC A a =223b c bc ++【答案】（1）π3（2）(]11,15【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再结合和差公式整理即可得的值，进而即可求解； cos A A （2）结合（1），先根据正弦定理得，，再根据余弦定理得，从而2sin b B =2sin c C =223b c bc +=+可得到，结合题意可得到的取值范围，从而确定的取值范22π378sin 26b c bc B ⎛⎫++=+- ⎪⎝⎭B π26B -围，再结合正弦型函数的性质即可求解．【小问1详解】根据题意，由正弦定理得()2cos (sin cos sin cos )2cos sin 2cos sin sin A C B B C A B C A A A+=+==，又在中，有，所以，ABC A ()0,πA ∈sin 0A ≠所以，所以． 1cos 2A =π3A =【小问2详解】结合（1）可得，， sin A =2ππ3B C A +=-=由，得，， a =2sin sin sin a b c A B C ===2sin b B =2sin c C =根据余弦定理有，得，2222cos a b c bc A =+-223b c bc +=+所以 222π334316sin sin 316sin sin 3b c bc bc B C B B ⎛⎫++=+=+=+- ⎪⎝⎭， 2π3cos 8sin 724cos 278sin 26B B B B B B ⎛⎫=++=+-=+- ⎪⎝⎭又为锐角三角形，则有，，得， ABC A π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2ππ0,32B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，所以， ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦故． (]22π378sin 211,156b c bc B ⎛⎫++=+-∈ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：根据正弦定理，余弦定理将求的范围转化为求正弦型函数223b c bc ++的值域，结合题意得到的取值范围，再结合正弦型函数的性质是解答小问()π78sin 26f B B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B （2）的关键．。

江西省宜春市第九中学2023-2024学年度高一下学期第一次月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的顶点位于平面直角坐标系xOy 的原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点22⎛- ⎝⎭，则sin cos αα=（ ）A ．12-B ．2C ．12D 2．若α是第四象限角，则点()sin ,cos P αα在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知()1sin 3π3α+=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C ．13- D ．134．若函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为6π，则()f x 的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．π2x =B ．2π3x =C ．πx =D ．2πx =5．在直角坐标系xOy 中，角α与角β均以原点为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，则“α与β的终边相同”是“sin sin αβ=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设函数()cos()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，将函数()f x 的图象先向右平移π3个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与sin y x =图象重合，则（ ） A ．2ω=，π6ϕ= B ．2ω=，π3ϕ= C ．12ω=，π6ϕ= D ．12ω=，5π6ϕ=7．下列直线中，与函数πtan(2)4y x =-的图象不相交的是（ ）A ．π2x = B ．π2y = C ．3π8x =D ．3π8y =8．数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB 长为2，则莱洛三角形的面积是（ ）A ．2πB ．πC．2π-D ．2π二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．120-︒化成弧度是2πrad 3-B ．πrad 10化成角度是18︒ C ．1︒化成弧度是180rad D ．330-︒与750︒的终边相同10．若角,,A B C 是ABC V 的三个内角，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．cos()cos ABC +=- B ．tan()tan B C A += C ．cossin 2A CB += D ．sincos 22B C A+= 11．为了得到函数2π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把正弦曲线上所有的点（ ）A ．先向右平移2π3个单位长度，再将横坐标缩短到原米的12，纵坐标不变B ．先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．先将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度D ．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度12．已知函数3π()cos(3)4f x x =-，则（ ） A ．函数π()4f x +为偶函数B ．曲线()y f x =的对称轴方程为π2π43k x =+，k ∈Z C ．()f x 在区间π(0,)4上单调递增D ．()f x 的最小值为3-三、填空题13．已知弧长为π的弧所对的圆心角为20︒，则这条弧所在圆的半径为.14．把函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()f x 的图象；再将()f x 图象上所有点向右平移π3个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x =.15．在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动，点M 转一周的时间为12秒，若点M的初始位置为13⎛ ⎝⎭，则经过3秒钟，动点M 所处的位置的坐标为．16dm ，宽为1dm 的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为π6，求点A 走过的路程为．四、解答题17．已知角α的终边在直线y x =上，求sin cos αα+的值．18．已知函数3π()tan 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的定义域； (2)求(π)f 的值.19．在直角坐标系xOy 中，角α的顶点与坐标原点O 重合，始边落在x 轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求sin ,cos αα的值；(2)求()()cos cos 22sin cos πααπαα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭--的值. 20．已知函数()πsin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 的最大值和取得最大值时相应的x 值．21．已知点()()()()1122,,,A x f x B x f x 是函数()()π0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，()01f =-，且当()()12f x f x -=时，12x x -的最小值为π. (1)求()f x 的解析式；(2)将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再向左平移π4个单位得到()y g x =的图象，若()g x 在区间()0,m 上有最大值没有最小值，求实数m 的取值范围.22．函数()()π3sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，该图象与y 轴交于点F ⎛ ⎝⎭，与x 轴交于点,,B C M 为最高点，MBC V 的面积为3π4．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若对任意的π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()33log 3f x k +≤，求实数k 的取值范围．。

2015-2016学年某某鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（下）第一次月考数学试卷一．选择题（每题5分，共60分）1．tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣ D．﹣1+2．以下命题正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．A={α|α=k•180°，k∈Z}，B={β|β=k•90°，k∈Z}，则A⊆BC．﹣950°12′是第三象限角D．α，β终边相同，则α=β3．在空间直角坐标系中的点P（a，b，c），有下列叙述：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴）的对称点是P1（a，﹣b，c）；②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称点为P2（a，﹣b，﹣c）；③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称点是P3（a，﹣b，c）；④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．其中正确叙述的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．04．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，则sinα的值等于（）A．B．C．D．5．函数y=2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，] B．[] C．[，] D．[，π]6．已知，且，则tanφ=（）A．B．C．﹣D．7．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（）A．2 B．4 C．2 D．28．直线y=a（a为常数）与y=tanωx（ω＞0）的相邻两支的交点距离为（）A．πB．C． D．与a有关的值9．函数的图象（）A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称C．关于成中心对称D．关于直线成轴对称10．已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值X围是（）A．B．C．D．11．化简cosα+sinα（π＜α＜）得（）A．sinα+cosα﹣2 B．2﹣sinα﹣cosαC．sinα﹣cosα D．cosα﹣sinα12．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为（）A．2 B．C．1 D．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．函数的定义域为．14．函数y=2cos（ωx）的最小正周期是4π，则ω=．15．已知tanα=2，则tan2α的值为．16．已知sin（﹣x）=，则cos（﹣x）=．三．解答题（共70分）17．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），求的值．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．19．sin θ和cos θ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，求+．20．已知函数y=2acos（2x﹣）+b的定义域是[0，]，值域是[﹣5，1]，求a、b的值．21．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．22．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？2015-2016学年某某鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每题5分，共60分）1．tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣ D．﹣1+【考点】诱导公式的作用．【分析】由诱导公式逐步化简可得原式等于﹣tan60°+sin90°，为可求值的特殊角，进而可得答案．【解答】解：由诱导公式可得：tan 300°+sin 450°=tan（360°﹣60°）+sin（360°+90°）=﹣tan60°+sin90°=﹣+1=1﹣，故选B2．以下命题正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．A={α|α=k•180°，k∈Z}，B={β|β=k•90°，k∈Z}，则A⊆BC．﹣950°12′是第三象限角D．α，β终边相同，则α=β【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据角的X围以及终边相同角的关系分别进行判断即可．【解答】解：A．∵0°角满足小于90°，但0°角不是锐角，故A错误，B．当k=2n时，β=k•90°=n•180°，当k=2n+1时，β=k•90°=k•180°+90°，则A⊆B成立，C．﹣950°12′=﹣4×360°+129°48′，∵129°48′是第二象限角，∴﹣950°12′是第二象限角，故C错误，D．α，β终边相同，则α=β+k•360°，k∈Z，故D错误，故选：B3．在空间直角坐标系中的点P（a，b，c），有下列叙述：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴）的对称点是P1（a，﹣b，c）；②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称点为P2（a，﹣b，﹣c）；③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称点是P3（a，﹣b，c）；④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．其中正确叙述的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间点的对称性分别进行判断即可．【解答】解：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴），则x不变，其余相反，即对称点是P1（a，﹣b，﹣c）；故①错误，②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称，则y，z不变，x相反，即对称点P2（﹣a，b，c）；故②错误③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称，则y不变，x，z相反，即对称点是P3（﹣a，b，﹣c）；故③错误，④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称，则x，y，z都为相反数，即对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．故④正确，故选：C4．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，则sinα的值等于（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的大小建立方程求出a的值即可得到结论．【解答】解：∵α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，∴a＜0，且cosα=a=，平方得a=﹣，则sinα===，故选：A．5．函数y=2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，] B．[] C．[，] D．[，π]【考点】复合三角函数的单调性．【分析】利用正弦函数的单调性，确定单调区间，结合x的X围，可得结论．【解答】解：由正弦函数的单调性可得≤﹣2x≤（k∈Z）∴﹣﹣kπ≤x≤﹣﹣kπk=﹣1，则故选C．6．已知，且，则tanφ=（）A．B．C．﹣D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】先由诱导公式化简cos（φ）=﹣sinφ=确定sinφ的值，再根据φ的X 围确定cosφ的值，最终得到答案．【解答】解：由，得，又，∴∴tanφ=﹣故选C．7．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（）A．2 B．4 C．2 D．2【考点】空间中的点的坐标．【分析】求出对称点的坐标，然后求解距离．【解答】解：点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xoy对称，可得C（1，2，1），点B与点A关于x轴对称，B（1，﹣2，1），∴|BC|==4故选：B．8．直线y=a（a为常数）与y=tanωx（ω＞0）的相邻两支的交点距离为（）A．πB．C． D．与a有关的值【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】直线y=a与正切曲线y=tanωx两相邻交点间的距离，便是此正切曲线的最小正周期．【解答】解：因为直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离就是正切函数的周期，∵y=tanωx的周期是：，∴直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离是：．故选：B．9．函数的图象（）A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称C．关于成中心对称D．关于直线成轴对称【考点】正弦函数的对称性．【分析】将x=0代入函数得到f（0）=2sin（﹣）=﹣1，从而可判断A、B；将代入函数f（x）中得到f（）=0，即可判断C、D，从而可得到答案．【解答】解：令x=0代入函数得到f（0）=2sin（﹣）=﹣1，故A、B不对；将代入函数f（x）中得到f（）=0，故是函数f（x）的对称中心，故C 对，D不对．故选C．10．已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值X围是（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知的sinθ＜tanθ，移项并利用同角三角函数间的基本关系变形后得到tanθ（1﹣cosθ）大于0，由余弦函数的值域得到1﹣cosθ大于0，从而得到tanθ大于0，可得出θ为第一或第三象限，若θ为第一象限角，得到sinθ和cosθ都大于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的X围；若θ为第三象限角，得到sinθ和cosθ都小于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的X围，综上，得到满足题意的θ的X围．【解答】解：∵sinθ＜tanθ，即tanθ﹣sinθ＞0，∴tanθ（1﹣cosθ）＞0，由1﹣cosθ＞0，得到tanθ＞0，当θ属于第一象限时，sinθ＞0，cosθ＞0，∴|cosθ|＜|sinθ|化为cosθ＜sinθ，即tanθ＞1，则θ∈（，）；当θ属于第三象限时，sinθ＜0，cosθ＜0，∴|cosθ|＜|sinθ|化为﹣cosθ＜﹣sinθ，即tanθ＞1，则θ∈（，），综上，θ的取值X围是．故选C11．化简cosα+sinα（π＜α＜）得（）A．sinα+cosα﹣2 B．2﹣sinα﹣cosαC．sinα﹣cosα D．cosα﹣sinα【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式、三角函数值在各个象限的符号即可得出．【解答】解：∵π＜α＜，∴==，同理可得=，∴原式=﹣（1﹣sinα）﹣（1﹣cosα）=﹣2+cosα+sinα．故选：A．12．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为（）A．2 B．C．1 D．【考点】圆的标准方程．【分析】设扇形和内切圆的半径分别为R，r．由弧长公式可得2π=R，解得R．再利用3r=R=6即可求得扇形的内切圆的半径．【解答】解：设扇形和内切圆的半径分别为R，r．由2π=R，解得R=6．由题意可得3r=R=6，即r=2．∴扇形的内切圆的半径为2．故选：A．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．函数的定义域为．【考点】正切函数的定义域．【分析】根据正弦函数的定义域，我们构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值X围，即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：≠kπ+，k∈Z解得：故函数的定义域为故答案为14．函数y=2cos（ωx）的最小正周期是4π，则ω=±．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用周期公式列出关于ω的方程，求出方程的解即可得到ω的值．【解答】解：∵=4π，∴ω=±．故答案为：±15．已知tanα=2，则tan2α的值为﹣．【考点】二倍角的正切．【分析】由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：∵tanα=2，∴tan2α===﹣，故答案为：﹣．16．已知sin（﹣x）=，则cos（﹣x）= ﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（﹣x）=，∴cos（﹣x）=cos[+（﹣x）]=﹣sin（﹣x）=﹣．故答案为：﹣三．解答题（共70分）17．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形求出2sinαcosα的值，进而判断出sinα﹣cosα的正负，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα﹣cosα的值，联立求出sinα与cosα的值，即可确定出的值．【解答】解：把sinα+cosα=①，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣，∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，联立①②，解得：sinα=，cosα=﹣，则==﹣．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函数的解析式．（2）根据x的X围进而可确定当的X围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．【解答】解：（1）由最低点为得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T=π，由点在图象上的故∴又，∴（2）∵，∴当=，即时，f（x）取得最大值2；当即时，f（x）取得最小值﹣1，故f（x）的值域为[﹣1，2]19．sin θ和cos θ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，求+．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用韦达定理可求得sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=，利用同角三角函数基本关系式即可解得m，将所求的关系式化简为sinθ+cosθ，即可求得答案．【解答】解：∵sinθ和cosθ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，∴sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=，∵（sinθ+cosθ）2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ，∴m2=1+2×，解得：m=±2，∴+=+=sinθ+cosθ=．20．已知函数y=2acos（2x﹣）+b的定义域是[0，]，值域是[﹣5，1]，求a、b的值．【考点】余弦函数的定义域和值域．【分析】由求出的X围，由余弦函数的性质求出cos（2x﹣）的值域，根据解析式对a分类讨论，由原函数的值域分别列出方程组，求出a、b的值．【解答】解：由得，，∴cos（2x﹣），当a＞0时，∵函数的值域是[﹣5，1]，∴，解得，当a＜0时，∵函数的值域是[﹣5，1]，∴，解得，综上可得，或．21．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣322．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（1）由函数的解析式求得周期，由求得x的X围，即可得到函数的单调增区间（2）由条件可得，再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：（1）由函数，可得周期等于 T==π．由求得，故函数的递增区间是．（2）由条件可得．故将y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，即可得到f（x）的图象．。

月考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑：如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知，若函数有四个零点，则关于的方程的实数根的个数R a ∈()22f x x x a =--x 2210ax x ++=为（ ） A. 2个 B. 1个 C. 0个D. 与的取值有关a 【答案】A 【解析】【分析】由函数有四个零点，求出a 的范围，再利用判别式求方程的()22f x x x a =--2210ax x ++=实数根的个数.【详解】∵，()22f x x x a =--①当，即时，，∴，解得：. 20x a -≥2a x ≥()220f x x x a =-+=440a ∆=->1a <②当，即时，，∴，解得：，2x 00-<2a x <()220f x x x a =+-=440a ∆=+>1a >-∴，11a -<<当时，，只有三个零点，不合题意，0a =()()()2222,022,0x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩∴且，11a -<<0a ≠∴关于x 的方程中，2210ax x ++=由时，方程为一元二次方程，， 0a ≠440a ∆=->方程有两个不相等的实数根. 故选：A.2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）2i z =-iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】由复数的几何意义，求复数在复平面内对应的点所在象限 【详解】∵的实部是2，虚部是-1，2i z =-∴复数在复平面内对应的点为，在第四象限.2i z=-(2,1)-故选：D.3. 已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量（ ）M ABC A BC E AC 2EC AE =EM =A.B.1123AC AB +1162AC AB +C . D.1126AC AB + 1263AC AB + 【答案】B 【解析】和减法运算可得，结合条件,可得答EM EC CM =+ CB AB AC =-案.【详解】由，则2EC AE =23EC AC = 则 ()212113231622EM EC CM AC CB A AB AC AB A C C =+=+=+=-+故选：B4. 已知单位向量，满足，且，则（ ）a b14a b ⋅= 2c a b =+ sin ,a c =A.B.C.D.38【答案】C【分析】根据已知条件，利用平面向量的数量积的运算求出的长度，并计算，然后利用夹角公式求c a c ⋅夹角余弦值，再求解正弦值【详解】单位向量，满足，且，a b14a b ⋅= 2c a b =+ 所以c === ，()21922244a c a ab a a b ⋅=⋅+=+⋅=+=所以. cos ,a c a c a c ⋅===⋅所以sin ,a c ==故选:C.5. 已知，记函数，且的最小正)()cos cos cos (0)a x x b x x ωωωωω==>，，，()f x a b =⋅()f x 周期是，则（ ） πω=A.B.C.D.1ω=2ω=12ω=23ω=【答案】A 【解析】【分析】由向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简，再由最小正周期为即可求出. ()f x πω【详解】因为 ,cos ),(cos ,cos )(0)a x x b x x ωωωωω==>所以， ()()21π1cos +cos +1cos 2=sin 2++262f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故， 0ω> 2ππ2T ω==.1ω∴=故选：A.6. 已知，，则（ ） ()1sin 3αβ+=()1sin 4αβ-=tan tan αβ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.B. C. 2 D.2-12-12【分析】先利用三角公式求出，即可求得. tan α7tan β=【详解】∵()()11sin αβsin αβ34+=-=，11sin αcos βcos αsin βsin αcos βcos αsin β34∴+=-=，∴， 71sin αcos βcos αsin β2424==，二者相除得：tan α7tan β=，则.tan α2tan β⎛⎫==⎪⎝⎭故选：C.7. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，ABC A A B C a b c ABC A S 2223163()c S b a =+-，则 tan B =A.B.C.D.23324334【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】由， 2223163()c S b a =+-则， 22233316c a b S +-=即， 132cos 16sin 2ac B ac B ⨯=⨯所以，且， 3cos 4sin B B =cos 0B ≠所以. 3tan 4B =故选：D【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、弦化切，属于基础题.8. 在中，若，则的最大角与最小角之和是（ ） ABC A 578BC CA AB ===，，ABC A A.B.C.D.90︒120︒135︒150︒【分析】最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边CA 所对的角为θ，则最大角与最小角的和是，利用余弦定理求解即可.180θ︒-【详解】根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5， 设长为7的边CA 所对的角为θ，则最大角与最小角的和是， 180θ︒-由余弦定理可得，，2564491cos 2582θ+-==⨯⨯由为三角形内角，∴，θ60θ=︒则最大角与最小角的和是. 180120θ︒-=︒故选：B二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9. 已知向量，满足，，且，则（ ）a b 1a b ⋅= 1= b a b += A.B.2=a ()a ab ⊥- C. 与的夹角为D. 与的夹角为a bπ3a bπ6【答案】AC 【解析】.【详解】因为，，a b += 1a b ⋅= 所以，即，解得，故A 正确；2227a a b b +⋅+=r rr r 22117a +⨯+=2=a 因为，，所以，故B 错误；1a b ⋅= 2= a ()2410a a b a a b ⋅-=-⋅=-≠ 因为，，，所以，又因为，所以与的夹角1a b ⋅= 2= a 1= b 1cos ,2a b a b a b ⋅==0,πa b ≤>≤ a b 为，故C 正确，D 错误． π3故选：AC.10. 关于复数（i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ） 22cos sin 33z i ππ=+A. B. 在复平面上对应的点位于第二象限 1z =z C.D.31z =210z z ++=【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数的运算法则，共轭复数的定义，几何意义即可求解【详解】 221cosisin 332z ππ=+=-+所以 1z ==故A 正确，则在复平面上对应的点为位于第三象限 12z =-z 1,2⎛- ⎝故B 错误12z =-⇒2222111122222z ⎛⎫⎫⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+⨯-+=- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎭222321111122222z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-+-=--+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21313i 14444=-=+=故C 正确21111022z z ++=---++=故D 正确 故选：ACD11. 函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>0ϕπ<<（ ）A. 把函数图象上的所有点，向左平移个单位，就可得到该函数的图象22sin3y x =3πB. 把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，就可得到该函数的2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭32图象C. 当时，函数的图象与直线的所有交点的横坐标之和为 03x π<<()f x 1y =72πD. 该函数图象的对称中心为， ,03k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭Z k ∈【答案】BC 【解析】【分析】首先根据函数的图象求函数的解析式，再根据函数的图象变换以及函数性质判断选项. 【详解】由图象可知， ，得， 2A =244πππω⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭23ω=当时，，，解得， 4x π=22342k ππϕπ⨯+=+Z k ∈23k πϕπ=+Z k ∈因为，所以，0ϕπ<<3πϕ=所以，()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A .函数图象上的所有点，向左平移个单位，得22sin3y x =3π，故A 不正确； ()2222sin 2sin 3339y x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭32，故B 正确；()22sin 33y x f x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭C. ，得，得，或()22sin 133f x x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭21sin 332x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭22336x k πππ+=+252336x k πππ+=+，，且， Z k ∈03x π<<解得：或，所以，故C 正确；1114x π=234x π=121137442x x πππ+=+=D.令，得， 233x k ππ+=322x k ππ=-+所以函数的对称中心是，，故D 不正确. ()f x 3,022k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈故选：BC12. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） (0,)+∞A. B. C.D.||e x y =tan y x =cos y x =222xy +=【答案】AD 【解析】【分析】利用奇偶性定义、三角函数的性质判断奇偶性，根据函数解析式及指数复合函数的单调性判断区间单调性.【详解】A ：且上单调递增，满足题设； ||||e e x x -=(0,)+∞B ：为奇函数，不满足题意．tan y x =C ：在上有增有减，不满足题意； cos y x =(0,)+∞D ：，又在上单调递增，单调递增，故在上单调22()2222x x-++=22t x =+(0,)+∞2t y =222xy +=(0,)+∞递增，满足题设. 故选：AD ．第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知复数（为虚数单位），则______. 32iz i+=i z =【解析】【分析】化简得到，得到模长. 12i z =-+【详解】，. 32212i iz i ii ++===-+-z =【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，意在考查学生的计算能力. 14. 设函数（是常数，，）.若在区间上具有单调()()sin f x x ωϕ=+ωφ，0ω>π2ϕ<()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦性，且，则下列有关的命题正确的有___________.（把所有正确的命题序号()()2013f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()f x 都写上）①的最小正周期为2； ()f x ②在上具有单调性；()f x 51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦③当时，函数取得最值； 13x =()f x ④为奇函数； 56y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⑤是的图象一个对称中心. (,)ϕϕω--()y f x x ω=+【答案】①③④⑤ 【解析】【分析】由在区间上具有单调性确定最小正周期的范围，再由确定对()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()2013f f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭称中心与对称轴，进一步求出，对各命题依次辨析即可. ()f x 【详解】设的最小正周期为， ()f x T ∵在区间上具有单调性，∴，， ()f x 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦121233T ≥-=43T ≥又∵， ()()2013f f f ⎛⎫==-⎪⎝⎭∴图象上的点和关于直线对称，()f x ()()0,0f 22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13x =点和关于点对称，22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1,1f 5,06⎛⎫⎪⎝⎭即图象一个周期内相邻的一条对称轴和一个对称中心分别为直线和点， ()f x 13x =5,06⎛⎫⎪⎝⎭∴，∴，∴，∴. 5114632T =-=2π2T ω==πω=()()sin πf x x ϕ=+又∵为图象的一条对称轴，13x =()()sin πf x x ϕ=+∴，，即，，∵，∴，1πππ32k ϕ⨯+=+Z k ∈ππ6k ϕ=+Z k ∈π2ϕ<π6ϕ=∴. ()πsin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭对于①，的最小正周期，故①正确；()f x 2T =对于②，由，，解得，， ππππ62x k +=+Z k ∈1+3x k =Z k ∈∴图象的对称轴为直线，，()f x 1+3x k =Z k ∈当时，为图象的一条对称轴，在区间上不单调，故②错误； 1k =43x =()f x ()f x 51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于③，为图象的一条对称轴，当时，函数取得最值，故③正确； 13x =()f x 13x =()f x 对于④，设，， ()()5πsin πsi 6n πs 5π6in π6x g f x x x x ⎡⎤⎛⎫+=+=- ⎪⎢⎥⎛⎫=+=+⎣⎦⎪⎭ ⎝⎝⎭R x ∈，，且，R x ∀∈R x -∈()()()sin πsin πx x g x g x -=-=--=∴为奇函数，故④正确；()56y g x f x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭对于⑤，∵，，∴点即， πω=π6ϕ=(,)ϕϕω--1π(,66--设 ()()π=sin ππ6h x f x x x x ω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，11π1πsin ππsin ππ66666h x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--++--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11π1πsin ππsin ππ66666h x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+++-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴，即关于点对称，11π6626h x h x ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()h x 1π(,66--∴是的图象一个对称中心，故⑤正确. (,)ϕϕω--()y f x x ω=+故答案为：①③④⑤.15. 已知向量，若，则___________.()()1,3,,1a b m ==- a b ⊥ m =【答案】3【解析】【分析】由向量垂直的坐标运算求解.【详解】向量，若，则，解得()()1,3,,1a b m ==- a b ⊥ 30m -=3m =故答案为：3.16. 已知向量，则函数的单调递增区间())sin2,2cos ,a x x b x ==()1,,22f x a b x ππ⎡⎤=⋅-∈-⎢⎥⎣⎦ 为__________.【答案】 ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据数量积的坐标公式，结合三角恒等变换公式化简可得，再求解单调递()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭减区间，结合求解即可 ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【详解】由题意，，故 的单()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭()f x 调递增区间：，即，故在()222262k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ()36k x k k ππππ-≤≤+∈Z ()f x 的单调递增区间为 ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为： ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 复数，求实数m 的取值范围使得：2(1i)(8i)156i(R)z m m m =+-++-∈（1）z 为纯虚数；（2）z 在复平面上对应的点在第四象限．【答案】（1）5m =（2）23m -<<【解析】【分析】（1）根据z 为纯虚数，列出方程，即可求解；（2）根据z 在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；【小问1详解】，()()222(1i)(8i)156i=8156i z m m m m m m =+-++---++-若z 为纯虚数，则，解得：.22815=060m m m m ⎧-+⎨--≠⎩5m =【小问2详解】由题意知，，解得：. 22815>060m m m m ⎧-+⎨--<⎩23m -<<18. 已知P 为的边BC 上一点，，，若，用、表示.ABC A AB a = AC b = 2ABP ACP S S =△△a b AP 【答案】. 1233AP a b =+ 【解析】【分析】由题可得，然后根据向量线性运算的几何表示结合条件即得. 23BP BC = 【详解】因为，所以，即， 2ABP ACP S S =△△23ABP ABC S S =△△23BP BC = 所以， ()23AP AC AB AB -=- 所以. 12123333AP AB a AC b =++= 19. 已知函数的图象过点P （，0），且图象上与P 点最近的()πsin (0,0,2y A x A ωϕωϕ=+>><π12一个最高点坐标为（，5）. π3（1）求函数的解析式；（2）指出函数的增区间；（3）若将此函数的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位长度得到图象正好关于轴(0)m m >()g x y 对称，求的最小正值.m 【答案】（1）； π5sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）； ()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（3）. π12【解析】【分析】（1）由题可得，，进而可得，然后根据五点法结合条件可得，即得； 5A =πT =2ω=π6ϕ=-（2）利用正弦函数的性质即得；（3）由图象变换知，根据函数的对称性可得，进而即()π5sin 26(22)g x x m +--=π2π,Z 6m k k -=∈得． 【小问1详解】由已知可得，， 5A =πππ43124T =-=∴，即,2ππT ω==2ω=∴，()5sin 2ϕ=+y x 由得，， π5sin 2012ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭π2ϕ<所以，即， π06ϕ+=π6ϕ=-∴； π5sin(26y x =-【小问2详解】由，得， πππ2π22π(Z)262k x k k -≤-≤+∈ππππ(Z)63k x k k -≤≤+∈∴函数的增区间是； ,(Z)6πππk k k ⎡-∈⎢⎣【小问3详解】 由题可得，又图象正好关于轴对称， ()π5sin 26(22g x x m +--=()g x y 则， π2π,Z 6m k k -=∈解得， ππ,Z 212k m k =+∈当时，的最小正值为. 0k =m π1220. 在锐角中，角的对边分别是，且. ABC ∆A B C ，，a b c ，，sin cos sin cos 0a A C c A A +-=（1）求角的大小；A （2）若，求面积的最大值.4a =ABC ∆【答案】（1）；（2） 60A =︒【解析】【分析】（1）利用正弦定理边转化为角，逐步化简，即可得到本题答案；（2）由余弦定理得，，综合，得，从而可得222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-222b c bc +≥16bc ≤到本题答案.【详解】（1）因为， sin cos sin cos 0a A C c A A +-=所以， 2sin cos sin Csin cos 0A C A A B +=即， ()sin sin cos cos sin 0A A C A C B +-=所以， sin sin 0A B B =又，所以，由为锐角三角形，则； sin 0B ≠sin A =ABC ∆60A =︒（2）因为，2222cos ,60,4a b c bc A A a ︒=+-==所以， 222211622b c bc b c bc =+-⨯=+-所以，即（当且仅当时取等号），162bc bc bc ≥-=16bc ≤4b c ==所以11sin 16sin 6022ABC S bc A ∆=≤⨯⨯︒=【点睛】本题主要考查利用正弦定理边角转化求角，以及余弦定理和基本不等式综合运用求三角形面积的最大值.21. 在△ABC 中，已知，，. 45A =︒4cos 5B =10BC =（1）求的值；sin C （2）求的面积.ABC A【答案】（1 （2）42【解析】【分析】（1）由已知得 ，，由此能求出结果；3sin 5B ==()sin sin 135C B =- （2）由正弦定理得解得，利用三角形面积公式可求出三角形ABC 的面积。