2017高中数学(人教A版选修2-1)课件2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程

“点不比解多”，称为纯粹性； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地 说“解不比点多”，称为完备性.
特别提醒：只有点和解一一对应，才能说曲线是方程 的曲线，方程是曲线的方程.
【变式训练】分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy=5之间
的关系.
(2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足 x+y=0；反之，以方程x+y=0的解为坐标的点都在第二、
四象限两轴夹角的平分线上.因此，第二、四象限两轴
夹角平分线上的点的轨迹方程是x+y=0.
类型二
由方程研究曲线 =0表示的曲线是什么？
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程
【自主预习】 曲线的方程、方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合
某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)
=0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是_____________ 这个方程的解 ； (2)以这个方程的解为坐标的点都是___________；那 曲线上的点 么，这个方程叫做___________；这条曲线叫做_______ 曲线的方程 方程的 _____. 曲线
【即时小测】 1.已知圆C：(x-2)2+(y+1)2=4及直线l：x+2y-2=0，则 点M(4，-1) ( )
A.不在圆C上，但在直线l上
B.在圆C上，但不在直线l上
C.既在圆C上，也在直线l上
D.既不在圆C上，也不在直线l上
【解析】选C.把M(4，-1)代入圆、直线方程时，均使 方程成立，故点M既在圆C上，也在直线l上.
|x|=2的解，但以方程|x|=2的解为坐标的点不都在直

即以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r，它一定在以(a,b)
为圆心、r为半径的圆上.
思考？你能得到什么结论？ (1)曲线C上点的坐标都是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解.
（2）以方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解为坐标的点都在曲线C上.
概念形成
在直角坐标系中，如果如果某曲线C（看作点的集合或适合某
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解

直线 BC 的斜率
kBC＝
x
y
5
（x≠5）；
由题意，得 kACkBC＝m，
所以， y × y ＝m（x≠±5）． x5 x5
写成
x2 － y2 ＝1（x≠±5）．
25 25m
一、转移代入法
这个方法又叫相关点法或坐标代换法．即利用动点 P’(x’,y’)是定曲线F(x,y)=0上的动点，另一动点P(x，y) 依赖于P’(x’,y’)，那么可寻求关系式 x’=f(x,y),y’=g(x,y)后代入方程 F例(x1’: ,y’)=0中，得到动点P的轨迹方程 已知点A(3，0)，点P在圆x2+y2=1的上半圆周上(即y>0)， ∠AOP的Q平为分AP线中交点PA于Q，求点Q的轨迹方程．
求证：不论m取任何实数，方程 (3m＋4)x＋(5－2m)y＋7m－6＝0 所表示的曲线必经过一个定点，并求出 这一点的坐标。
8 是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点。
y2 x2
y x
已知ABC的两个顶点A, B的坐标分别是(5,0),(5,0),
且AC, BC所在直线的斜率之积等于m(m 0),试探求
顶点C的轨迹方。程
解：设 C（x，y）．由已知，得 直线 AC 的斜率
kAC＝
x
y
5
（x≠－5）；
三、参数法
根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别表示动点的 坐标x和y，间接地把坐标x和y联系起来，得到用参数表示 的方程，如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程．
例3：在边长为a的正方形ABCD中，AB、BC边上各有一 个动点Q、R，且|BQ|=|CR|，试求直线AR与DQ的 交点P的轨迹方程．
1. 建系：建立适当的坐标系，用 M(x,y) 表示曲线上

C．曲线 C 是方程 f(x，y)＝0 的曲线 D．不是方程 f(x，y)＝0 的解，一定不是曲线 C 上的 点 解析：因为题设命题只说明“曲线 C 上的点的坐标 都是方程 f(x，y)＝0 的解”，并未指出“以方程 f(x，y) ＝0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点”，
所以 A，B，C 都是假命题，如曲线 C：平面直角坐 标系一、三象限角平分线上的点，与方程 f(x，y)＝x2－y2 ＝0，满足题设条件，但却不满足选项 A，B，C 的结论， 根据逆否命题是原命题的等价命题知，D 是正确的． 答案：D
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程 的曲线．
温馨提示 1．定义中的关系(1)说明曲线上所有点的坐标都满足 方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是 曲线的“纯粹性”． 2．定义中的关系(2)说明符合条件的所有点都在曲线 上而无遗漏，这是曲线的“完备性”．
类型 2 由方程判断曲线(迁移探究) [典例 2] 方程 x2＋y2＝1(xy＜0)的以原点为圆心，半径为 1 的单位圆，而约束条件 xy＜0 则表明单位圆上点的横、纵 坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分． 答案：C
[迁移探究 1] (变换条件)方程 y＝ 1－x2的曲线是 什么图形？ 解：方程可化为 x2＋y2＝1(y≥0)，故原方程表示以原 点为圆心，1 为半径的圆的上半部分，且包括端点．如图 所示．
1 1 B.5，5
D．(4，4)
解析： 利用“曲线的方程”和“方程的曲线”的意义 进行判断．点(4，4)的坐标满足方程． 答案：D
3． “点 M 在曲线 y2＝4x 上”是“点 M 的坐标满足 方程 y＝－2 x”的( )