基本概念声学量波动方程速度势函数学时

哈尔滨工程大学硕士学位论文图２．１隔声去耦瓦实物图ｂ．空腔的分布乱内部结构剖面图２，２隔声去耦瓦结构隔声去耦瓦的作用机理可定性解释为阻尼减振、去耦隔声两大因素：声波穿过多层去耦材料时，会伴有大量波形转换，加之阻尼作用，大大增强了声能的损耗：同时由于去耦材料声阻抗与水介质、钢介质相差悬殊，造成严重的阻抗不匹配，使得艇内声波及壳体振动声辐射的声波无法透过去耦材料，产生去耦隔声作用，使耐压壳体的振动及声辐射无法向舷间水中传递，从而１０哈尔滨工程大学硕士学位论文降低高频噪声成分，而且对机械激励下的噪声频域分布影响不大。

１６０１５０１４０丢１３０１２０１１０１００‘焉６奄零毒ｔ意母◇§妒、ａ．１００Ｈｚ单频激振１６０１５０１４０黾１３０ｊ１２０ｌｌＯ１００９０零奄奄鸯零毒毋妒◇§§ｆ／Ｈｚ１５０１４０１３０≥ｉ１０１００９０８０≮奄奄奄毒毒惑§毋毋梦ｂ，２０００Ｈｚ单频激振１３０１２０弓１１０３１０Ｄ９０８０奄奄§￥毋§萨零ｆ／Ｈｚｃ．２０＂４０００Ｈｚ白噪声激振器激振ｄ，１００．６０００Ｈｚ白噪声空气声源激振图２．６全部敷设和不敷设工况下频带声源级比较２．４．４声源级指向性分析在图２．７中给出了典型激振频率下的敷设前后声源级指向性分布，也就是圆柱轴线中点距壳体ｌｍ处声压随角度的空间分布，其中０度为激振位置，声源级为ｌ拌水听器测得的频带声压级合成后的总声级。

图中所表现出的降噪规律仍与总声源级分析结果相似，另外还可以看出，除了ｄ图外，曲线形状都有明显变化，特别是单频机械激励变化最大。

定性分析隔声去耦瓦的作用机理可知，受中心空气声源激励时隔声去耦瓦只是单纯的“阻隔”声波的传播，所以敷设后对声场指向性影响并不大；受单点机械激振时隔声去耦瓦的粘弹性和去耦性能改变了结构的固有振动特性和结构声振耦合特性，从而导１７川瓦Ｚ０瓦－Ｚｂｌ２（３－９）其中Ｚ。

、Ｚｂ分别表示入射介质特性阻抗、瓦的输入阻抗。

人教版高中物理知识点解析机械波中的波动方程与波速人教版高中物理知识点解析——机械波中的波动方程与波速机械波是一种通过物质粒子之间的振动传递能量的波动现象。

在机械波的研究中，波动方程和波速是非常重要的概念。

本文将对人教版高中物理中关于机械波的波动方程和波速进行详细解析，帮助学生更好地理解和掌握这些知识点。

1. 机械波的波动方程机械波的波动方程描述了波的传播过程中粒子的振动状态。

在一维情况下，机械波的波动方程可以表示为：y(x, t) = A*sin(kx - ωt + φ)其中，y表示波的振幅；x表示波传播的位置；t表示时间；A表示振幅的最大值；k表示波数，它与波长λ之间的关系为k = 2π/λ；ω表示角频率，它与周期T之间的关系为ω = 2π/T；φ表示相位差。

通过波动方程，我们可以描述出不同位置和不同时刻波的振动状态。

波动方程中的k和ω都与波的性质相关，它们可以通过波的频率f和周期T来计算，其中 f = 1/T。

2. 机械波的波速机械波的波速是指波沿着介质传播的速度。

在弹性介质中，波速的大小与介质的性质有关。

一维机械波的波速v可以通过介质的弹性模量E和密度ρ来计算，公式如下：v = √(E/ρ)其中，E表示介质的弹性模量，单位为帕斯卡(Pa)；ρ表示介质的密度，单位为千克/立方米(kg/m³)。

三. 波动方程与波速的应用波动方程和波速是研究机械波传播和振动性质的重要工具。

它们在各个领域中都有广泛的应用。

首先，波动方程和波速可以用于解释声波的传播和声学现象。

声波是一种机械波，通过媒质传播而产生的压力波动。

通过对波动方程和波速的理解，我们可以解释声波的特性，如音量大小、音调高低等。

其次，波动方程和波速也可以用于解释光的传播和光学现象。

光是一种电磁波，通过介质或真空传播而产生的辐射。

光的传播速度是万亿倍的光速，它的波动方程和波速可以帮助我们理解光的折射、反射等现象。

此外，波动方程和波速还可以应用于地震波、海洋波、地下水波等自然现象的研究。

毕业论文题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算0802学生王丹丹学号20080901045指导教师王宣欣二〇一二年五月二十五日摘要偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。

近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。

本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。

本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。

第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系数扩散方程：22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。

第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。

关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例ABSTRACTThe numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example.The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for thefirst time.22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability.The third part tests the accuracy of each scheme.Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)1前言 (1)2基本概念和定理 (2)2.1抛物型方程的基本概念 (2)2.1.1偏微分方程的定义 (2)2.1.2抛物型方程的定义 (2)2.1.3初边值条件的定义 (3)2.2 差分方法的基本思想 (3)2.3网格剖分 (4)2.4截断误差的基本概念 (5)2.5相容性的基本概念 (7)2.6收敛性的基本概念 (7)2.7稳定性的基本概念 (8)2.7.1判断稳定性的直接法 (8)2.7.2判断稳定性的Fourier方法 (9)3常系数扩散方程的差分格式及其相容性、收敛性和稳定性分析 (12)3.1向前差分格式 (12)3.2向后差分格式 (13)3.3 Crank-Nicolson格式 (14)3.4 Richardson格式 (16)4差分解法的应用 (18)结论 (25)参考文献..................................................... .................. .. (26)致谢 (27)附录 (28)1前言微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程[2]。

抛物偏微分方程引言抛物偏微分方程是描述抛物线运动的数学模型。

它在物理学、工程学等领域有着广泛应用。

本文将介绍抛物偏微分方程的概念、求解方法以及应用领域等内容。

什么是抛物偏微分方程抛物偏微分方程是描述抛物线运动的方程。

它描述了一个自变量和两个或更多个因变量之间的关系，其中自变量通常是时间，因变量可以是位置、速度或其他物理量。

抛物线运动的方程抛物线运动是物体在受到重力影响下的运动。

在不考虑空气阻力的情况下，物体在竖直方向上受到重力加速度的作用，而在水平方向上速度保持恒定。

因此，抛物线运动可以由以下方程描述：y=xtan(θ)−gx22v2cos2(θ)其中，y是物体的高度，x是水平方向上的位置，θ是抛射角度，g是重力加速度，v 是初速度。

抛物偏微分方程的一般形式在一般情况下，抛物偏微分方程可以用以下形式表示：u tt=c2(u xx+u yy)其中，u是因变量，x和y是自变量，t是时间，c是波速。

方程的左边表示时间的二阶导数，右边表示空间的二阶导数。

求解抛物偏微分方程求解抛物偏微分方程是一项重要的数学问题。

目前，常用的方法有有限差分法、有限元法和有限体积法等。

有限差分法有限差分法是最常用的求解偏微分方程的方法之一。

它将偏微分方程离散化，将连续的方程转化为离散的方程组，然后通过迭代求解该方程组得到数值解。

有限差分法通过将空间和时间划分为有限的网格点，用差分近似来计算导数。

然后，通过迭代计算整个解域上的离散点，从而获得整个方程的数值解。

有限元法有限元法是一种适用于一般复杂结构的数值计算方法。

它将问题域划分为无限小的单元，然后通过逼近解的形式，将偏微分方程转化为一个线性方程组。

通过求解该线性方程组，得到问题的数值解。

有限元法将复杂的问题转化为一系列简单的局部子问题，通过求解这些子问题来逼近整个问题的解。

这种方法对于不规则的问题域和复杂的边界条件非常有效，因此被广泛应用于工程计算和科学研究中。

有限体积法有限体积法是一种适用于守恒型方程的数值求解方法。

波动方程的基本解一、引言波动方程是数学中的一类重要偏微分方程，它描述了许多自然现象中的波动现象，如声波、电磁波等。

解决波动方程问题的关键在于求出其基本解，本文将介绍波动方程的基本解。

二、一维情形下的波动方程考虑一维情形下的波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x,t)$表示波函数，$c$表示传播速度。

为了求解该方程，需要找到其基本解。

三、基本解的定义对于偏微分方程$L[u]=f(x)$，如果存在一个函数$G(x,y)$满足$L[G]=\delta(x-y)$（其中$\delta(x-y)$表示Dirac函数），那么称$G(x,y)$为$L[u]=f(x)$的一个基本解。

四、一维情形下基本解的求解对于一维情形下的波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$可以通过变量分离法得到通解：$$u(x,t)=f(x+ct)+g(x-ct)$$其中$f,g$为任意两个可导函数。

接下来，我们尝试构造基本解$G(x,y)$。

假设$G(x,y)$满足：$$\frac{\partial^2 G}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2G}{\partial x^2}$$且满足初始条件：$$G(x,0)=0,\quad \frac{\partial G}{\partial t}(x,0)=\delta(x-y)$$ 其中$\delta(x-y)$表示Dirac函数。

这个初始条件的物理意义是，在$t=0$时，波源位于点$y$处，产生了一个脉冲信号。

根据通解的形式，我们可以将基本解表示为：$$G(x,y)=f(x+y)+g(x-y)$$由于$\delta(x-y)$是一个奇函数，即$\delta(-x)=-\delta(x)$，因此有：$$\frac{\partial G}{\partial t}(x,0)=f'(x+y)-g'(x-y)$$将上式代入初始条件中可得：$$f'(y)-g'(y)=1$$由此可得$f(y)-g(y)=y+C_1$（其中$C_1$为常数），进一步地有$f(y)+g(y)=C_2$（其中$C_2$为常数）。

振动方程波动方程振动方程和波动方程是物理学中重要的概念，涉及到很多领域，比如力学、声学等。

本文将分步骤阐述这两个方程及其应用。

一、振动方程1、概念：振动方程是描述物体振动的方程，表达式为m(x)'' + kx = 0，其中m是物体的质量，k是物体的弹性系数，x是物体的位移。

2、推导过程：假设物体振动的位移为x(t)，速度为v(t)，加速度为a(t)，那么有以下三个式子：v(t) = dx(t)/dta(t) = dv(t)/dt = d^2x(t)/dt^2由于物体的振动是受弹性力和外力的作用，所以可以列出以下公式：ma = -kx其中m是物体的质量，a是物体的加速度，k是弹性系数，x是物体的位移。

把上式用v和x表示出来，则有：m(d^2x(t) / dt^2) = -kx(t)这就是振动方程的表达式。

3、应用：振动方程广泛应用于机械振动、电子振动等领域。

例如，有些机械装置发生共振时，会发出沉闷的低音，这就是振动方程的应用之一。

二、波动方程1、概念：波动方程是描写波动传播的方程，包括机械波、电磁波等；通常表达式为d^2u(x,t) / dx^2 = 1/v^2 * d^2u(x,t) / dt^2，其中u是波的振幅，x和t分别为空间和时间坐标，v为波的传播速度。

2、推导过程：波动方程是由质点振动传播而来，描写质点的受力情况来推导的。

假设沿着x轴传播的机械波的振幅为u(x,t)，波的传播速度为v，则有以下式子：1. 法向受力方程：F = ma，其中m是质点的质量，a是质点的加速度，F是在某时刻x处的受力，可以表示成F = -dV/dx，其中V为波势函数。

于是有以下公式：m(d^2u / dt^2) = -dV/dx = -d^2u / dx^2 * k其中k是弹性系数。

2. 波方程：由于波的传播速度为v，所以有以下公式：v = w/k其中w是波的圆频率。

把k代入波的受力方程，整理得出波动方程：d^2u(x,t) / dx^2 = 1/v^2 * d^2u(x,t) / dt^23、应用：波动方程广泛应用于物理、化学、信息科学等领域。

地震波动方程第三章地震波动方程现在，我们用前一章提出的应力和应变理论来建立和解在均匀全空间里弹性波传播的地震波动方程。

这章涉及矢量运算和复数，附录2对一些数学问题进行了复习。

3.1 运动方程（Equation of Motion）前一章考虑了在静力平衡和不随时间变化情况下的应力、应变和位移场。

然而，因为地震波动是速度和加速度随时间变化的现象，因此，我们必须考虑动力学效应，为此，我们把牛顿定律（maF ）用于连续介质。

3.1.1一维空间之振动方程式质点面上由于应力差的存在而使质点产生振动。

如图1-3所示，考虑一薄棒向x轴延伸，其位移量为u：Fig3-1则其作用力为“应力”X“其所在的质点面积”，所以其两边的作用力差为()()()dxds xx dx x ds ∂∂=-+σσσ惯量﹙inertia ﹚为22tu dxds ∂∂ρ所以得出xt u ∂∂=∂∂σρ22……………………………………………………... （3-1）其中ρ为密度﹙density ﹚，σ为应力﹙stress ﹚=xuE ∂∂。

3-1式表示，物体因介质中的应力梯度﹙stress gradient ﹚而得到加速度。

如果ρ与E 为常数，则3-1式可写为222221t uc x u ∂∂=∂∂…………………………………………………… （3-2） 其中ρEc =运用分离变量法求解（3-2）式，设u=F(x)T(t),(3-2)式可以变为T X c T X ''=''21设22ω-=''=''TT X X c则可得：cx iti eX eT ωω±±∝∝,考虑欧拉公式：)sin()cos(),sin()cos(t i t e t i t et i ti ωωωωωω-=+=-()()()()ct x cict x cict x cict x ciDeCeBeAeu ---+-++++=ωωωω （3-3）其中A,B,C,D 为根据初始条件和边界条件确定的常数。

经典波动方程推导
经典波动方程是描述波动现象的重要方程之一，它在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。

以下是关于经典波动方程的一些列举，以展示其重要性和应用范围：
1. 波动方程的定义：经典波动方程是描述波动在空间和时间上的变化规律的数学表达式。

2. 波动的基本特征：波动是一种能量传递的过程，它可以传播能量而不传播物质。

3. 波动方程的一般形式：经典波动方程的一般形式是二阶偏微分方程，可以用来描述波动在空间和时间上的变化。

4. 声波方程：声波是一种机械波，它的传播可以用声波方程描述，声波方程是经典波动方程的一种特殊形式。

5. 光波方程：光波是一种电磁波，它的传播可以用光波方程描述，光波方程是经典波动方程的另一种特殊形式。

6. 波动方程的解：波动方程可以通过数学方法求解，得到波动的传播速度、波长、频率等信息。

7. 波动方程的应用：波动方程广泛应用于声学、光学、电磁学、地震学等领域，用于解释和预测波动现象。

8. 波动方程的数值模拟：由于波动方程的求解困难，人们通常采用数值方法对波动方程进行模拟和计算。

9. 波动方程的近似解法：对于复杂的波动问题，人们通常采用近似解法来求解波动方程，以简化计算过程。

10. 波动方程的发展：随着科学技术的不断发展，人们对波动方程的研究也在不断深入，涌现出了各种波动方程的变体和扩展。

通过以上列举，我们可以看到经典波动方程在科学研究和工程应用中的重要性和广泛性。

它不仅为我们理解和解释波动现象提供了重要的工具，还为我们设计和优化波动相关设备和系统提供了理论基础。

因此，深入研究和应用经典波动方程对于推动科学技术的发展具有重要意义。