2008华南理工大学《积分变换》期末真题试卷 B

《数学分析（二）》试卷（A ）一、 写出以下定义1、函数f(x)在[a,b]上可积；（5分）2、函数序列f n (x)在(0,1)上内闭一致收敛于f(x)；（5分)二、求不定积分∫x 2+1x +1dx （5分）三、令I n =∫(sin x)n dx π0，求I n 与I n−2之间的递推公式。

（10分）四、 平面上的心脏线参数表达式为r (θ)=a (1+cos (θ))，(0≤θ≤2π)，求该曲线所谓区域面积。

（10分）五、 旋轮线的参数表达式由x (t )=r (t −sin (t ))，y (t )=r (1−cos (t ))，(0≤t ≤2π)给出，把该曲线绕x 轴旋转一周，求所得旋转体体积。

（10分）六、 对不同的值a ，判断反常积分∫ln(1+x)x +∞0dx 的收敛性（条件收敛、绝对收敛）。

（10分）七、 令S =∑k 2+12∞k=11、判断该数项级数收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、求幂级数∑n 2x n ∞k=1的收敛区域；（10分）3、求S 的值；（5分）八、周期函数f(x)={1，(x∈(2kπ,2kπ+π])−1，(x∈(2kπ−π,2kπ])1.求f(x)的傅里叶级数展开a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]；（10分）2.求部分和函数a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]的极限函数f̃(x)；（5分）3.判断函数序列{f n(x)}是否一致收敛于f̃(x)，并说明理由。

（5分）《数学分析（二）》试卷（B）一、写出以下定义1、函数序列f n(x)一致收敛于函数f(x)；（5分）2、数列{a n}的上极限为A；（5分）二、求不定积分∫ln(x 2+1)xdx。

（10分）三、计算定积分∫x sin x1+(cos x)2dxπ。

（5分）四、求椭圆x 24+y2=1内部区域面积。

（10分）五、平面上的心脏线参数表达式为r(θ)=a(1+cos(θ))，(0≤θ≤2π)，ba该曲线在x轴以上的部分绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积（5分）六、对反常积分∫[ln(x)]8x a dx+∞1，1、在a取不同的值时判断它的收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、在a=2时计算该反常积分的值（5分）七、令S=1−12+13−14+⋯+(−1)n−11n+⋯=∑[∞n=1(−1)n−11n]，1、判断该数项级数收敛性（条件收敛、绝对收敛）；（10分）2、写出函数ln(1+x)及11+x在x=0处的幂级数展开，并判断收敛性；（10分）3、求S的值；（5分）八、定义在全部实数上的周期函数f(x)=x，x∈[2kπ−π,2kπ+π)，1、求f(x)的傅里叶级数展开a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]；（10分）2、求部分和函数a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]的极限函数f̃(x)；（5分）3、判断函数序列{f n(x)}是否一致收敛于f̃(x)，并说明理由。

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《信号与系统》试卷B1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭 卷；2分/题，共20分）1） 信号x(n), n=0,1,2,3,…是能量有限的意思是a) x(n)有限；b) |x(n)|有界；c)()2n x n ∞=<∞∑; d)()01Nn x n N=<∞∑。

c2） 一个实信号x(t)的偶部是a) x(t)+x(-t); b) 0.5(x(t)+x(-t)); c) |x(t)|-|x(-t)|; d) x(t)-x(-t)。

b 3） LTI 连续时间系统输入为(),0ate u t a ->，冲击响应为h(t)=u(t), 则输出为a)()11at e a --; b) ()()11at e t a δ--; c) ()()11at e u t a --; d) ()()11at e t aδ---。

c 4） 设两个LTI 系统的冲击响应为h(t)和h 1(t)，则这两个系统互为逆系统的条件是 a) ()()()1h t h t t δ*=; b) ()()()1h t h t u t *=; a c) ()()()1h t h t u t *=-; d) ()()10h t h t *=。

5） 一个LTI 系统稳定指的是a) 对于周期信号输入，输出也是周期信号；b)对于有界的输入信号，输出信号趋向于零；c)对于有界输入信号，输出信号为常数信号；d)对于有界输入信号，输出信号也有界 d6） 离散信号的频谱一定是a) 有界的；b) 连续时间的；c) 非负的；d) 连续时间且周期的。

d 7） 对于系统()()()dy t y t x t dtτ+=，其阶跃响应为 a) ()/1t e u t τ-⎡⎤-⎣⎦; b) ()/1t e t τδ-⎡⎤-⎣⎦; c) ()/1t e u t τ-⎡⎤+⎣⎦; d) ()/1t e t τδ-⎡⎤+⎣⎦. a8） 离散时间LTI 因果系统的系统函数的ROC 一定是a) 在一个圆的外部且包括无穷远点； b)一个圆环区域；c) 一个包含原点的圆盘；d) 一个去掉原点的圆盘。

（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A）1．1 -i⼀．填空题（每⼩题3 分，共计15 分）的幅⾓是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1）；3.f (z) =1 +z 2，z - sin z f (5)(0) =（）；f (z) =1，4．z = 0 是z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；⼆．选择题（每⼩题3 分，共计15 分）1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =ux+ivy ；（D） f '(z) =u y +iv x.2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ．3；（B）3(z -1)；（C）3(z -1)；（D）3.n=1（A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点⼀定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点⼀定解析；得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ?C f (z )dz = 0（C ）如果 ?C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析；（D ）函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）．(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .z（2）．计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分zd z （3）计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数；（1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞五．（本题 10 分）⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 6 分）求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换，并由此证明：costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准⼀．填空题（每⼩题 3 分，共计 15 分）得分3 的幅⾓是（ 2k Ln (-1 + i ) ee 1． 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 ）；2.的主值是（ 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 ， f(5)(0) = （ 0），4． z = 0 是1 z4的（⼀级）极点；5． f (z ) = z， R e s [ f (z ),∞] =（-1）；⼆．选择题（每题 3 分，共 15 分）1----5B DC B D三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共 40 分）（1）．设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。

华中科技大学2008～2009学年第一学期
《复变函数与积分变换》课程考试试卷(B 卷)
院(系)___________专业班级_____________学号_______________姓名__________
考试日
期: 年 月 日
考试时间: : ~ :
一、填空题 (每空2分，共30分)
1、复数的模为 ，辐角主值为 .
2、的所有值分别为 ..
3、已知，则点的轨迹曲线是 .
4、的值为 .
5、函数在何处可导 .，何处解析 .
6、设，则= ...
7、函数在处展开成泰勒级数的收敛半径为 .
8、为函数的何种类型的奇点 .
9、积分的值为 ..
10、映射在处的伸缩率为 ，旋转角为 .
得 分
评卷人
11、已知的傅氏变换为，则= .
12、函数的拉氏变换为 . 二、计算题 (每题5分，共20分)
1、
2、 3、
4、 三、(10分) 已知
，证明为调和函数，并求一满足条件的解析函数.
四、(10分)将函数 在 点
展开为洛朗 (Laurent) 级数．
得 分
评卷人 得 分
评卷人 得 分
评卷人
五、(10分)求曲线在映射下的像曲线.
六、(10分)求把区域
映射到单位圆内部的共形映射．
七、(10分)利用Laplace 变换求解微分方程组：
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得 分
评卷人 得 分
评卷人。

一.选择题(每题3分，共15分) 1.已知()(),F x f x 则()d x af t t（ ）A . ()()F x F aB . ()()F t F aC .()(2)F x a F aD . ()(2)F t a F a2. d arctan d d bax xx（ ）A .arctan xB .211xC .arctan arctan b aD .03.下列级数绝对收敛的为（ ） A .11n nB . 1(1)21nn n C . 11()2nn D . 132n nn4.设2x y z e 则z x（ ）A . 22e xyx y B .22e x y xy C .22e x y x D . 2e x y y5.二重积分22sin()d d Dx y x y 其中22(,)1Dx y x y ,在极坐标系下化为累次积分为（ ）A .21200d sin d r r r B .21200sin d d r rC .2122dsin()d xy r D .220dsin d r r r二.填空题：(每题3分，共15分) 1.若1(1)d 2k x x，则 k =______________________. 2.广义积分2ln edxx x=______________________. 3 .级数1(1)(1)3n nnn x n的收敛半径 R =______________________. 4. 设2(,)sin(2)f x y x xy ，求(1,0)y f =______________________. 5.微分方程 20yyy的通解y______________________.三．计算题(每题8分，共32分)1. 求31d (1)xx x .2. 已知平面图形由2x y =，x y =所围成，求此平面绕x 轴旋转所生成的旋转体的体积.3．计算二重积分2(32)Dx xy d ,其中D 是由2,1y x x 及x 轴所围成的区域.4．求微分方程32210dyx x y dx的通解.四.将2()cos f x x 展开为x 的幂级数,并指出其收敛区间.（8分）五.证明级数1()1n n n=1-1为条件收敛.（8分）六. 判别级数32nn n n=1的敛散性.（8分）七．设()yzF x，F 是可微函数，证明：0xyxz yz (6分)八. 某企业生产甲乙两种产品的产量分别为x ,y （单位：吨）,其总成本为：22(,)61030C x y x y xy若计划生产两种产品共34吨,求两种产品的产量各为多少,使总成本最小?（8分）附加题(每题15分，共30分) 1. 证明如果交错级数1234212,(0)k k n u u u u u u u --+-++-+>满足条件(1)11,2,) (n n u u n +≥=; (2)lim 0.n n u →∞=则级数收敛.2. 求证：设f (x )在[a ,b ]上连续,F (x )是f (x )的一个原函数,则 ()()().d ba f x x Fb F a =-⎰。

华南农业大学期末考试试卷（ A 卷 ）2008学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、单项选择题( 2*15=30分)请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．函数()f z 在点z 可导是()f z 在点z 解析的（ ）A.充分不必要条件 ；B. 必要不充分条件 ；C.充分必要条件 ；D.既非充分也非必要条件 . 2．下列命题中,正确的是（ ） A. 设,x y 为实数,则cos()1x y +≤；B. 若0z 是函数()f z 的奇点,则()f z 在点0z 不可导 ；C. 若,u v 在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则()f z u iv =+在D 内解析 ；D. 若()f z 在区域D 内解析 ,则()i f z 在D 内解析. 3.下列函数中,为解析函数的是( )A.222x y xyi --;B.2x xyi +;C.222(1)(2)x y i y x x -+-+D.33x iy + 4.i i 的主值为( )A.0;B.1;C.2e π; D. 2eπ-5.设()sin f z z =,则下列命题中,不正确的是( ) A.()f z 在复平面上处处解析; B.()f z 以2π为周期;C.()2iz ize ef z --=; D.()f z 是无界的.6.设1:1c z =为负向, 2:3c z =为正向,则122sin c c c zdz z =+=⎰( )A.2i π-;B.0;C. 2i π;D. 4i π.7.设()f z 在区域D 内解析,c 为D 内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于D .如果()f z 在c 上的值为2,那么对c 内任一点0z ,0()f z ( ) A.等于2; B.等于1; C.等于0; D.不能确定. 8.下列命题中,正确的是( )A.设12,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数,则必有12v v =;B.解析函数的实部是虚部的共轭调和函数;C.若()f z u iv =+在区域D 内解析,则ux∂∂为D 内的调和函数;D.以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数. 9.下列级数中,条件收敛的级数为( )A.113()2nn i i =+∑; B.1(34)!nni i n =+∑;C. 1n ni =; D.1nni i n =∑. 10.若幂级数1nn n i c z =∑在12z i =+处收敛,那么该级数在2z =处的敛散性( )A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.不能确定 11.设函数1()(1)(4)f z z z z =++在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个,那么m =( )A.1;B.2;C.3;D.4.12.1z =是函数1(1)sin 1z z --的( )A.可去奇点;B.一阶极点;C.一阶零点;D.本性奇点. 13. .设c 为正向圆周2z =,则2cos (1)c zdz z =-⎰( )A. 2cos1i π;B. 2sin1i π-;C. 2sin1i π;D.0.14.映射3z iz iω-=+在02z i =处的旋转角为( )A.0;B.2π; C.π; D.2π-15.下列命题中,正确的是( )A. 函数z ω=构成的映射属于第二类保角映射;B.映射34z z ω=+在0z =处的伸缩率为零;C.若1()f z ω=与2()f z ω=是同时把单位圆1z <映射到上半平面Im()0ω>的分式线性映射,那么12()()f z f z =;D. n z ω=在复平面上处处保角(此处n 为自然数).二、填空题（3*5=15分）只填写最终答案，不要求过程。

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«复变函数与积分变换»期末试题(A）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i-的幅角是（）;2。

)1(iLn+-的主值是（ )；3. 211)(zzf+=,=)0()5(f（）;4．0=z是4sinzzz-的( )极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zfs( )；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为（）；（A) yxiuuzf+=')(； (B）yxiuuzf-=')(;（C）yxivuzf+=')(；（D）xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf（），则0d)(=⎰C zzf．（A）23-z；（B)2)1(3--zz; （C）2)2()1(3--zz；（D)2)2(3-z.3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，则级数在（A）2-=z点条件收敛； (B）iz2=点绝对收敛；（C）iz+=1点绝对收敛； (D）iz21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数)(zf在z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B) 如果)(zf在C所围成的区域内解析，则0)(=⎰C dzzf)(=dzzf（D)函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A ） 的可去奇点；为z1sin ∞(B ） 的本性奇点；为z sin ∞ （C) ;1sin 1的孤立奇点为z ∞（D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）(1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a(2）．计算⎰-Cz z z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3)计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z(4)函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点,请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数; （1）110<-<z ，（2）10<<z ,（3）∞<<z 1五．(本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分)求)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换，并由此证明：ted tββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题(A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分,共计15分)1．231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2。

一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。

1． 对函数xy x y x f +=2),(，原点 )0,0( 【 B 】 （A ）不是驻点. （B ）是驻点却不是极值点. （C ）是极大值点. （D ）是极小值点. 2． 微分方程01=-'xy 【 D 】 （A ） 不是可分离变量的微分方程 （B ）是齐次微分方程（C ）是一阶线性齐次微分方程 （D ）是一阶线性非齐次微分方程3．级数()∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111n n n n 的敛散情况是 【 C 】（A ） 条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不能确定 4．设∑为球面2222x y z a ++=的表面,则⎰⎰∑zdS = 【 A 】（A ）0 （B ）22a π （C ） 24a π （D ） 1 5．将二次积分dx x dy I y ⎰⎰+=1311交换积分次序后得 【 B 】（A ）⎰⎰+13121x dy x dx (B) ⎰⎰+20311x dy x dx （C ） ⎰⎰+ydy x dx 03101 （D ）⎰⎰+1311xdy x dx二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.6．曲线t z t y t t x 2,sin ,cos ===在点),,1,0(πP 处的切线方程为2012π-=-=-z y x ， 法平面方程为0440222=+-=-+-ππππz x z x 或.7．试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数：分解已知正数a 为三个正数z y x ,,之和，使z y x ,,的倒数之和最小()()a z y x zy x z y x L -+++++=λ111,,.8．函数()x x x f -=1ln )(的麦克劳林级数的收敛域为[)1,1-∈x ， ()=)0(5f -30 . 9．设函数(),001⎩⎨⎧≤≤--<<=x x x x f ππ)(x S 是()x f 的以2π为周期的傅立叶级数的和函数，则=-)21(S21 ，=)(πS 21+π . 10．2222=+++z y x xyz 确定了隐函数),(y x z z =，则),(y x z z =在点()1,0,1-处的全微分为 dy dx dz 2-=.三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题9分，共54分. 解答应写出主要过程或演算步骤.11．设函数()ye x yf z ,22-=，其中f 具有二阶连续偏导数，求y z ∂∂，yx z ∂∂∂2．解 ye f yf y z 2'12'+=∂∂ ()y e f y f x yx z 1211222''+''-=∂∂∂12．计算三重积分dv y xI ⎰⎰⎰Ω+=)(22，其中Ω为旋转抛物面22y x z +=与平面 1=z 所围成的区域.解： 利用柱面坐标： dv y x I ⎰⎰⎰Ω+=)(22dz d d ⎰⎰⎰=1012202ρπρρρθ ()ρρρπd 21312-=⎰ ρρρπd )(2513-=⎰6π=13．利用高斯公式计算曲面积分 ⎰⎰∑++++=,222333zy x dxdyz dzdx y dydz x I 其中∑是球面2222a z y x =++的内侧.解：将球面方程2222a z y x =++代入I ，得： ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++++=dxdy z dzdx y dydz x a z y x dxdyz dzdx y dydz x I 3332223331 利用高斯公式，333,,z R y Q x P ===，设球面∑所围闭区域为Ω，()dxdydz z y x a I ⎰⎰⎰Ω++-=2223331 dr r r d d a a ϕϕθππsin 3202020⎰⎰⎰-=⎰-=πϕϕπ05sin 56d a a 5124a π-=.14．计算()(),322⎰++-=Ly dy ye x dx y xI 其中L 是由直线22=+y x 上从点()0,2A 到点()1,0B 上的一段及圆弧21y x --=上从()1,0B 到()0,1-C 的一段连接而成的有向曲线.解：补线21:,0:→-=x y CA ，++BC 弧则围成封闭曲线，其所围闭区域为D ，在其上使用格林公式，y ye x Q y x +=-=3,2P 2，2,3-=∂∂=∂∂yPx Q()()⎰++-=Ly dyye x dx y x I 322()()()()⎰⎰++--++-=++CAy BC y dy ye x dx y xdy ye x dx y x32322CAAB 2弧=dx x dxdy y P x Q D ⎰⎰⎰--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂21221335--=⎰⎰x dxdy D 4523415ππ+=-⎪⎭⎫⎝⎛+= 15． 求（1）幂级数()121121-∞=∑--n n n x n 的收敛域；（2）幂级数()121121-∞=∑--n n n x n 的和函数.解：（1）求收敛域：121211212lim()(lim -+∞→+∞→-+=n n n nn n x n n x x u x u 2x =，则该级数在()1,1-内收敛. 1=x 时，级数为()∑∞=--1121n nn ，收敛1-=x 时，级数为()∑∞=---1121n nn ，收敛，该级数的收敛域为[]1,1-. （2）求和函数 设()121121)(-∞=∑--=n n n x n x s ， 两边同时对x 求导，得()221121)1(121)(-∞=-∞=∑∑-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='n n n n n n x x n x s 211x +-=两边同时对x 积分，得 x dx x s x s xarctan 11)0()(02-=+-=-⎰由于,0)0(=s 所以[]1,1,arctan )(-∈-=x x x s 16．设函数)(x y 满足()()[]d t t y tex y x t⎰-+='01，且(),10=y ， 求)(x y .解：两边求导得()()x y xe x y x -=''，即：()()x xe x y x y =+'' 这是二阶常系数非齐次线性方程，且(),10=y ()10='y（1）先解对应的齐次方程： 特征方程为,012=+r 特征根为i r ±= 对应齐次方程的通解为x C x C Y sin cos 21+=（2）再求非齐次方程的一个特解：设特解为()x e B Ax y +=*，求"'**,yy ，代入方程()()x xe x y x y =+''化简得 21,21-==B A 则所求特解为x e x y ⎪⎭⎫⎝⎛-=2121*（3）求原方程的特解：原方程的通解为()x e x x C x C y Y y 121sin cos 21*-++=+= 将初始条件(),10=y ()10='y 代入得1,2321==C C 则()x e x x x y 121sin cos 23-++=四、 证明题: 本题共1题，6分. 17. 证明：()()21,21:,11ln 1ln ≤≤≤≤≥++⎰⎰y x D dxdy x y D. 证明：()()dxdy x y D⎰⎰++1ln 1ln ()()()()dxdy y x x y D ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=1ln 1ln 1ln 1ln 211⎰⎰=≥Ddxdy 其中用到了()()()()()()()()y x x y y x x y +++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++1ln 1ln 21ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1ln 21221≥。

华南理工大学 广州汽车学院 2007——2008学年度第一学期期末考试 《积分变换》 试卷A 考生注意：1．考前请将密封线内各项填写清楚； 2．本试卷共四个大题，满分100分，考试时间120分钟； 3．所有答案应直接写在试卷上。

一．利用定义求下列函数的Fourier 变换（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1．4,02,()0,t f t ≤≤⎧=⎨⎩其它； 2．sin ,,()0,.t t f t t ππ⎧<⎪=⎨>⎪⎩二．利用性质求下列函数的Fourier 变换（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1．()();n f t u t t = 2．()()sin 2;t f t u t e t -=3．2()sin ;f t t t = 4．()()sin().4t f t t e t πδ=+三．证明（本大题共1小题，每小题7分， 共7分） 设()[()]F F f t ω=，证明：0001[()cos ](()()).2F f t t F F ωωωωω=-++四．求下列函数的卷积（本大题共1小题，每小题8分，共8分）sin ,02,()(),()0,.t t t f t e u t g t π-≤≤⎧==⎨⎩其它五．利用Fourier 变换解下列积分方程（本大题共1小题，每小题7分， 共7分） 0sin ()cos .t g td t ωωω+∞=⎰ 六．利用定义求下列函数的Laplace 变换（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1．1,03,()0,3t t f t t +≤≤⎧=⎨>⎩； 2．sin ,0,(),.t t f t t t ππ≤≤⎧=⎨>⎩七．利用性质求下列函数的Laplace 变换（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1．4()3()2;t f t u t e =- 2．2()();t f t e t δ-=+3．()1;at f t e -=- 4．2()sin 2.f t t t =八．求下列像函数的Laplace 逆变换（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1．41();F s ω= 2．1().(2)F s s ω=+九．求解下列微分方程（本大题共1小题，每小题8分， 共8分）'sin ,(0) 1.x x t x +==-。

复变函数与积分变换期末试题附有答案Last revision on 21 December 2020复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -2.)1(i Ln +-的主值是（）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ），4．0=z 是4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题3分，共15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ；3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

全国2008年7月复变函数与积分变换真题一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1．设z=i +-11，则z 为（ ） A ．21i +- B ．21i --C ．21i - D ．21i +2．下列集合为有界闭区域的是（ ）A ．0< arg (z+3)≤2πB ．Re (z-i)<1C ．1≤Imz ≤2D ．1≤i z -≤43．Ln(-4+3i)的主值是（ ） A ．ln5+i(-π-arctg 34) B ．ln5+i(π-arctg 34)C ．ln5+i(-π-arctg 43) D ．ln5+i(π-arctg 43)4．正弦函数sinz=（ ）A ．i e e iziz 2--B ．2iz iz e e --C ．i e e iz iz 2-+D ．2iz iz e e -+ 5．复积分⎰i iz dz e 0的值是（ ）A ．-（1-e-1）iB ．e-1iC ．（1-e-1）iD ．-e-1i6．复积分⎰=---21i z zi z e dz 的值是（ ） A ．ei B ．e-I C ．2πiei D ．2πie-i7．z=0是函数2zcos 1z -的（ ） A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．一阶极点 D ．二阶极点8．Res []1,ctg z π=（ ）A ．-π1B ．π1C ．-2iD ．2i9．3z =ω把Z 平面上区域0<θ<π映射成W 平面上的区域（ ）A ．-3π<ϕ<0B ．-3π<ϕ<0C ．0<ϕ<3πD ．0<ϕ<3π10．函数f(t)=π2122t e -的傅氏变换[])(t f 为（ ） A ．2ω-e B ．22ω-e C ．22ωe D ．2ωe二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分11.复数1-3i 的三角表达式是_________________.12.tgz 的所有零点为_________________.13．⎰=-13cos i z z zdz e =______________.14．幂级数∑∞-12n nn nz 的收敛半径是____________.15．设n z z f n n n2)1()(0∑∞=-=，则)0()10(f =___________. 16．分式线性映射i z iz +---=11ω把上半平面Imz>0映射成___________.三、计算题（本大题共8小题，共52分）17．（本题6分）用θcos 与θsin 表示θ5cos ．18．（本题6分）已知z ≠时22y x y x +-=υ为调和函数，求解析函数υi u z f +=)(的导数)(z f '，并将它表示成z 的函数形式． 19．（本题6分）计算积分I=dz ix y x c ⎰+-)(2，其中C 为从0到1+i 的直线段．20．（本题6分）将函数f(z)=ln(z2-3z+2)在z=0处展开为泰勒级数．21．（本题7分）函数f(z)=x2-y2-x+i(2xy-y2)在复平面上何处可导？何处解析？22．（本题7分）计算积分I=dz z z c ⎰+-)1()1(122，其中C 为正向圆周x2+y2-2x=0. 23．（本题7分）利用留数计算积分I=⎰-c zdz z e 22)1(，其中C 为正向圆周z =2． 24．（本题7分）将函数)1(1)(2-+=z z z z f 在圆环域0<z <1内展开为罗朗级数．四、综合题（下列３个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题，若两题全做，以26题计分。

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《2008级大学物理（I ）期末试卷A 卷》试卷1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在答题纸上； ．考试形式：闭卷；4. 本试卷共25题，满分100分， 考试时间120分钟。

2009年7月6日9：00-----11：00 30分）．（本题3分）对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的： (A) 切向加速度必不为零． (B) 法向加速度必不为零（拐点处除外）．(C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零． (D) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零．(E) 若物体的加速度a为恒矢量，它一定作匀变速率运动． ［ ］．（本题3分）在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，By 轴正向．今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x 、y 方向单位矢用i 、j表)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为(A) 2i ＋2j ． (B) -2i ＋2j(C) －2i －2j ． (D) 2i －2j ． ［ ］．（本题3分）质量为m 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的k ，k 为正值常量．该下落物体的收尾速度(即最后物体作匀速运动时的速)(B) k g 2 .(C) gk . (D) gk . ［ ］．（本题3分）一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力)(0j y i x F F +=(0，2R ）位置过程中，力F对(A) 20R F ． (B) 202R F ．(C) 203R F ． (D) 204R F ． ［ ］一人造地球卫星到地球中心O 的最大距离和最小距离分别是R A 和R B ．设卫星对应的角动量分别是L A 、L B ，动能分别是E KA 、E KB ，则应有(A) L B > L A ，E KA > E KB ．(B) L B > L A ，E KA = E KB ．(C) L B = L A ，E KA = E KB ． (D) L B < L A ，E KA = E KB ． (E) L B = L A ，E KA < E KB ． ［ ］ 6．（本题3分）一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m ．根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量平方的平均值 (A) m kT x 32=v ． (C) m kT x /32=v ． ［ ］ 7．（本题3分）一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 )312cos(1042π+π⨯=-t x (SI)．从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为(A)s 81 (B) s 1 (C) s 41(D) s 31 ［ ］8．（本题3分）一沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 2 s 时的波形曲线如图所示，则原点O 的振动方程为(A) )21(cos 50.0ππ+=t y ， (SI)． (B) )11(cos 50.0ππ-=t y ， (SI)．(D) )24(cos 50.0ππ+=t y ， (SI)．［ ］9．（本题3分）在双缝干涉实验中，入射光的波长为λ，用玻璃纸遮住双缝中的一个缝，若玻璃纸中光程比相同厚度的空气的光程大2.5 λ，则屏上原来的明纹处(A) 仍为明条纹； (B) 变为暗条纹；(C) 既非明纹也非暗纹； (D) 无法确定是明纹，还是暗纹．［ ］一束波长为λ的单色光由空气垂直入射到折射率为n 的透明薄膜上，透明薄膜放在空气中，要使反射光得到干涉加强，则薄膜最小的厚度为 (A) λ / 4 ． (B) λ / (4n )．(C) λ / 2 ． (D) λ / (2n )． ［ ］二、填空题（共30分）11．（本题3分）一物体质量M ＝2 kg ，在合外力i t F)23(+= (SI )的作用下，从静止开始运动，式中i 为方向一定的单位矢量, 则当ｔ＝1 s 时物体的速度1v＝____2___ m/s ．12．（本题3分）如图所示，滑块A 、重物B 和滑轮C 的质量分别为m A 、m B 和m C ，滑轮的半径为R ，滑轮对轴的转动惯量J ＝21m CR 2．滑块A 与桌面间、滑轮与轴承之间均无摩擦，绳的质量滑块A 的加速度a13．（本题3分）1 mol 氮气，由状态A (p 1,V)变到状态B (p 2,V ) 14．（本题3分）当理想气体处于平衡态时，若气体分子速率分布函数为f (v )，则分子速率处于最概然速率v p 至∞范围内的概率△N / N ＝⎰∞pf v v v d )(．15．（本题3分） 一定量的理想气体，在p —T 图上经历一个如图所示的循环过程(a →b →c →d →a)，其中a →b ，c →d 两个过程是绝热过程，则该循环的效率η =____25%___． 16．（本题3分）一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程分别为)31c o s (1π+=t A x ω, )35cos(2π+=t A x ω, )cos(3π+=t A x ω其合成运动的运动方程为x = _____0_______． 17．（本题3分）一平面简谐机械波在媒质中传播时，若一媒质质元在t 时刻的总机械能是10 J ，则在)(T t +（T 为波的周期）时刻该媒质质元的振动动能是___5___J ．在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光(λ1≈589 nm) 中央明纹宽度为 4.0 mm ，则λ2=442 nm (1 nm = 10-9 m)的蓝紫色光的中央明纹宽度为__________3.0______mm ． 19．（本题3分）设天空中两颗星对于一望远镜的张角为4.84×10-6 rad ，它们都发出波长为550 nm 的光，为了分辨出这两颗星，望远镜物镜的口径至少要等于__13.9__ cm ．(1 nm = 10-9 m) 20．（本题3分）1)，当折射角为30°时，反射光是三、计算题（共40分）21．（本题10分）长为l 的匀质细杆，可绕过杆的一端O 点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置．紧挨O 点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l ，摆球质量为m ．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求： (1) 细杆的质量．(2) 细杆摆起的最大角度θ．22．（本题10分）如图所示，有一定量的理想气体，从初状态a (p 1,V 1)开始，经过一个等体过程达到压强为p 1/4的b 态，再经过一个等压过程达到状态c ，最后经等温过程而完成一个循环．求该循环过程中系统对外作的功A和所吸的热量Q ．23．（本题10分） 在绳上传播的入射波表达式为)2cos(1λπωxt A y +=，入射波在x = 0处反射，反射端为固定端．设反射波不衰减，求驻波表达式． 24．（本题5分）用波长为λ的单色光垂直照射由两块平玻璃板构成的空气劈形膜，已知劈尖角为θ．如果劈尖角变为θ＇，从劈棱数起的第四条明条纹位移值∆x 是多少？ 25．（本题5分）一束具有两种波长λ1和λ2的平行光垂直照射到一衍射光栅上，测得波长λ1的第三级主极大衍射角和λ2的第四级主极大衍射角均为30°．已知λ1=560 nm (1 nm= 10-9 m)，试求: (1) 光栅常数a ＋b (2) 波长λ2p p 11。

高等数学下册试卷2009．7．1姓名： 学院与专业： 学号：一、填空题[共24分]1、[4分]函数(),f x y 在点(),x y 处可微是它在该点偏导数z x ∂∂与zy∂∂连续的 必要 条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的 充分 条件（填必要、充分或充要）2、[4分]向量场()2cos xy A e i xy j xz k =++ 的散度为()sin 2xy ye x xy xy -+.向量场()()()2332B z y i x z j y x k =-+-+-的旋度为{}2,4,6.3、[4分] ]设()(),,,z f x xy f u v =有连续偏导数，则dz =()122f yf dx xf dy ++ 4、[4分] 交换二次积分的积分次序()2220,y y dy f x y dx =⎰⎰()402,x f x y dy ⎰5、[4分]设曲面∑为柱面221x y +=介于平面0z =与1z =部分的外侧，则曲面积分()22x y dxdy ∑+=⎰⎰ 0 ，()22x y dS ∑+=⎰⎰2π6、设()3322,339,0f x y x y x y x x =-++->，则它有极小值()1,05f =-二、[8分] 设ze xyz =，求22zx∂∂解：两边取微分，得z e dz xydz xzdy yzdx =++,z z xzdy yzdx yzdx xzdye dz xydz xzdy yzdx dz e xy xyz xy++-=+==--从而z z x xz x ∂=∂-，()()222211z z xz x z z x z z z x x x x x x xz x x z ∂∂⎛⎫--+- ⎪∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭-()()()()()()()22222322332222211221111z z z z x z z x z z z z x z z z z z x x x z x z x z x z ∂--------∂--∂====∂---- 三、[7分] 设长方形的长x 、宽y 、高z 满足1111x y z++=，求体积最小的长方体。