注册公用设备工程师(给水排水)《公共基础考试》复习全书【核心讲义+强化训练】-第一章 高等数学【圣才

向量的加法符合交换律和结合律，即：
uuur uuur uuur a b AB BC AC c
uuur uuur uuur b a AD DC AC c
（2）两向量的差
v
v
v
v
设 a 为一向量，与 a 的模相同，而方向相反的向量称为 a 的负向量，记作 a ，规定两
②当 λ＝0 时， a 是零向量，即 a 0v Nhomakorabeav
v
③当 λ＜0 时， a 表示一个向量，它的方向与 a 的方向相反，模等于| a | 的|λ|倍，即
v
v
| a || || a |
（4）两向量的数量积
两向量的数量积为一数量，表示为：
vv v v
a b | a || b | cos(a,b)
（5）两向量的向量积
v b
；③
v c
的正
v
v
v
向按右手规则四个手指从 a 以不超过 π 的角度转向 b ，则大拇指的指向即为 c 的方向。
（6）三个向量的混合积
v (a
v b)
v c
称为
向量
av、bv、cv
的混
合积
，记作
v [a
v b
v c]
，
|
v (a
v b)
v c
|
的
几何
意义
表示
以
vvv a、b、c
为棱的平行六面体的体积。可推出，当向量
2 2 cos 2 12 21 2 cos 22
3 7
vv 3．向量运算的性质（ a、b 为向量，λ、μ 为数量）（见表 1-1-1）
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表 1-1-1 向量运算的性质
4．向量在轴上的投影
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第一章 高等数学
第一节 空间解析几何
【本节知识框架】
【历年考点一览表】
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说明：若上表中有重复题号，源于部分题目涉及多个考点。
3．空间有向直线方向的确定 设一条有向直线 L，它与三个坐标轴正向的夹角分别为 α、β、γ（0≤α，β，γ≤π），称 为直线 L 的方向角；{cosα，cosβ，cosγ}称为直线 L 的方向余弦，三个方向余弦有以下关
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系：cos2α ＋cos2β＋cos2γ ＝1。
二、向量代数
1．向量的概念
uuuv 向量是指空间具有一定长度和方向的线段。以 A 为起点，B 为终点的向量记作 AB ，或
v
v
v
v
简记作 a 。向量 a 的大小记作| a | ，又称向量 a 的模。模等于 1 的向量称为单位向量，模等
r 于零的向量称为零向量，记作 0 或 0 。零向量的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意
vvv a、b、c
共面时，混合积
v [a
v b
v c]
0
，即
vvv (a b) c 0
【典型例题】设向量 α 与向量 β 的夹角 θ＝π/3，|α|＝1，|β|＝2，则|α＋β|等于（ ）。 [2018 年真题]
A． 8 B． 7
C． 6 D． 5
【答案】B 【解析】计算得
2 2 2 2
一、空间直角坐标
1．空间直角坐标系
在空间取一定点 O，和以 O 为原点的两两垂直的三个数轴，依次记作 x 轴（横轴）、y
轴（纵轴）、z 轴（竖轴），构成一个空间直角坐标系。通常符合右手规则，即以右手握住 z
轴，当右手的四个手指从正向 x 轴以 π 角度转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正 2
vv 个向量 a 与 b 的差为：
vv v v a b a (b)
（3）向量与数的乘法
v
v
设 λ 是一个数，向量 a 与 λ 的乘积 a 规定为：
v
v
v
①当 λ＞0 时， a 表示一个向量，它的方向与 a 的方向相同，它的模等于| a | 的 λ 倍，
vv 即| a | | a |
v
vv
的。
vv
v v v v vv
vv v
两向量 a 和 b 若满足：①| a || b | ，② a / /b ，③ a, b 指向同一侧，则称 a b 。与 a 方
向一致的单位向量
uuv a0
|
v av a
|
。若
uuv a0
cos
,
cos
,
cos
，也即为
v a
的方向余弦。
2．向量的运算
（1）两向量的和
rr r
rr r
向。并设 i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴上的单位向量，又称 Oxyz 坐标系，或[O, i, j, k] 坐
标系。
2．两点间的距离 在空间直角坐标系中，M1（x1，y1，z1）与 M2（x2，y2，z2）之间的距离为：
d x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
uuuv 给定向量 AB 及 u 轴，过 A、B 点分别向 u 轴作垂直平面，与 u 轴交于 A1、B1，则有
uuuuv
uuuv
uuur
向线段 A1B1 的值 A1B1 称为 AB 在 u 轴上的投影，记作 Prju AB ，向量的投影是一个数量。
uuuv 设 AB 与 u 轴的夹角为 α，则
uuur uuur Prju AB | AB | cos
n 个向量的和在 u 轴上的投影为：
vv
v
v
v
v
Prju (a1 a2 L an ) Prju a1 Prju a2 L Prju an
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5．向量的投影表示
vv v 两向量的向量积为一向量，记作 a b c
①
v v v vv | c || a || b | sin(a,b)
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|
v c
|
的几何意义为以
av、bv
为边作出的平行四边形的面积；②
v c
v a
，
v c
以
vv a、b
为边的平行四边形的对角线（见图
1-1-1）所表示的向量
v c
称向量
v a
与
v b
的和，
v vv 记作 c a b
图 1-1-1
vv v
vv v
v
n 个向量 a1, a2 ,L , an 的和即为： b a1 a2 L an
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