几何图形{教师用}

几何图形复习20．（9分）（2014•内江）“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A 俯角为30°方向的F 点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B 点，此时测得点F 在点B 俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F 点的正上方点C 时（点A 、B 、C 在同一直线上），竖直高度CF 约为多少米？（结果保留整数，参考数值：≈1.7）解答： 解：∵∠BDC=90°，∠DBC=45°，∴BC=CF ， ∵∠CAF=30°，∴tan30°====，解得：CF=400+400≈400（1.7+1）=1080（米）． 答：竖直高度CF 约为1080米．20．（本小题满分10分）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，点D 是腰AC 上的一个动点，过C 作CE 垂直于BD 的延长线，垂足为E ． （1）若BD 是AC 边上的中线，如图1，求BDCE的值； （2）若BD 是∠ABC 的角平分线，如图2，求BDCE的值.解：（1）∵∠A ＝∠E ＝90°，∠ADB ＝∠EDC ∴△ADB ∽△EDC ，∴ADAB＝DECE∵BD 是AC 的中线，AB ＝AC ，∴AB ＝2AD ∴在Rt △ADB 中， BD ＝AB 2＋AD 2＝4AD 2＋AD 2＝5AD在Rt △CDE 中，由CE 2＋DE 2＝CD 2，得CE 2＋14CE 2＝CD 2∴CE ＝25CD ＝25AD ，∴BDCE＝5AD25AD＝52（5分）（2）如图3，延长CE 、BA 相交于点F（图1）BACDE （图2）BACDE （图3）BACDEF∵BE 是∠ABC 的角平分线，且BE ⊥CF ∴△BEC ≌△BEF ，∴CE ＝EF ，∴CF ＝2CE又∵∠ABD ＋∠ADB ＝∠CDE ＋∠ACF ＝90°，且∠ADB ＝∠CDE ，∴∠ABD ＝∠ACF∵AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAF ＝90°∴△ABD ≌△ACF ，∴BD ＝CF ，∴BD ＝2CE ，∴BDCE＝2函数专题复习25．（12分）（2014•包头）如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形ABOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵t=1，∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，∵AB=3厘米，OB=4厘米，∴==，==∵∠MON=∠ABE=90°，∴△EOF∽△ABO．（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．∵AB=3，OB=4．∴．又∵∠EOF=∠ABO=90°，∴Rt△EOF∽Rt△ABO．∴∠AOB=∠EOF．∵∠AOB+∠FOC=90°，∴∠EOF+∠FOC=90°，∴EF⊥OA．（3）如图，连接AF，∵OE=1.5t，OF=2t，∴BE=4﹣1.5t∴S△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t2，S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6∵S△AEF=S四边形ABOF∴S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，∴t2+6﹣t=（4t+6），即6t2﹣17t+12=0，解得t=或t=．∴当t=或t=时，S△AEF=S四边形ABOF．26．（本小题满分8分）某服装经营部每天的固定费用为300元，现试销一种成本为每件80元的服装.规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于35%.经试销发现，每件销售单价相对成本提高x （元）（x 为整数）与日均销售量y （件）之间的关系符合一次函数y ＝kx ＋b ，且当x ＝10时，y ＝100；x ＝20时，y ＝80． （1）求一次函数y ＝kx ＋b 的关系式；（2）设该服装经营部日均获得毛利润为W 元（毛利润＝销售收入－成本－固定费用），求W关于x 的函数关系式；并求当销售单价定为多少元时，日均毛利润最大，最大日均毛利润是多少元？解：（1）根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝10020k ＋b ＝80 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝120， ∴所求一次函数的关系式为y ＝－2x ＋120 （3分） （2）W ＝(－2x ＋120)x －300，即W ＝－2x2＋120x －300W ＝－2x2＋120x －300＝－2(x －30)2＋1500， （5分）∵80×35%＝28，∴0≤x ≤28 （6分） ∴当x ＜30时，W 随x 的增大而增大∴当x ＝28时，W 最大＝－2(28－30)2＋1500＝1492， （7分） 此时销售单价为80＋28＝108（元）∴当销售单价定为108元时，日均毛利润最大，为1492元 （8分）1、（武侯区）如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ． （1）求证：直线P A 为⊙O 的切线；（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC ＝6，tan ∠F ＝12，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长．（1）证明：连接OB∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90° ∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于D ，∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POBA C BO D EPF又∵PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO ， ∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，∴直线P A 为⊙O 的切线 （3分） （2）EF 2＝4OD ·OP 证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90° ∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°， ∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A , ∴ODOA＝OAOP，即OA 2＝OD ·OP 又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP （6分） （3）∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝ADFD＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝2x －3 在Rt △AOD 中，由勾股定理，得(2x －3)2＝x2＋32解得x 1＝4，x 2＝0（不合题意，舍去）,∴AD ＝4，OA ＝2x －3＝5 ∵AC 是⊙O 直径，∴∠ABC ＝90°又∵AC ＝2OA ＝10，BC ＝6，∴cos ∠ACB ＝BCAC＝610＝35∵OA 2＝OD ·OP ，∴3(PE ＋5)＝25，∴PE ＝103． 24. （2014四川南充，24，8分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，BP 是⊙O 的弦，弦CD ⊥AB 于点F ，交BP 于点G ，E 在CD 的延长线上，EP=EG, (1)求证：直线EP 为⊙O 的切线；(2)点P 在劣弧AC 上运动，其他条件不变，若BG 2=BF ·BO.试证明BG=PG . (3)在满足(2)的条件下，已知⊙O 的半径为3，sinB=33.求弦CD 的长.A CBOD EPF2、（2014•德阳）如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C 的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．（1）分别求出线段AP、CB的长；（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；（3）如果tan∠E=，求DE的长．1）解：∵AC为直径，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AC=2，AB=4，∴BC==2，∵直径FG⊥AB，∴AP=BP=AB=2；（2）证明：∵AP=BP，∴OP为△ABC的中位线，∴OP=BC=1，∴=，而==，∴=，∵∠EOC=∠AOP，∴△EOC∽△AOP，∴∠OCE=∠OPA=90°，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）解：∵BC∥EP，∴∠DCB=∠E，∴tan∠DCB=tan∠E=在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB==，∴BD=3，∴CD==，∵BC∥EP，∴=，即=，∴DE=．22．（12分）（2014•自贡）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．所以一次函数解析式为y=﹣2x+8；（2）当0＜x＜1或x＞3时，；（3）如图，当x=0时，y=﹣2x+8=8，则C点坐标为（0，8），当y=0时，﹣2x+8=0，解得x=4，则D点坐标为（4，0），所以S△AOB=S△COD﹣S△COA﹣S△BOD=×4×8﹣×8×1﹣×4×2=8．25．（14分）（2014•绵阳）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象过点M （﹣2，），顶点坐标为N （﹣1，），且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线对称轴上的动点，当△PBC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）在直线AC 上是否存在一点Q ，使△QBM 的周长最小？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．25. （2014四川南充，25，10分）如图，抛物线y=x ²+bx+c 与直线y=x －1交于A 、B 两点.点A 的横坐标为－3，点B 在y 轴上，点P 是y 轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m ，过点P 作PC ⊥x 轴于C ，交直线AB 于D. (1)求抛物线的解析式；（2）当m 为何值时，2BPD OBDC S S =V 四边形；(3)是否存在点P,使△PAD 是直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】解：1）由已知得，(3,4)A --，(0,1)B -，∴9341b c c -+=-⎧⎨=-⎩，解得41b c =⎧⎨=-⎩，∴ 241y x x =+-.（2）∵2(,41)P m m m +-，(,1)D m m -，(,0)C mAPDB COy （第25题图）x∴1CD m =-.∵2BPD OBDC S S =四边形V ，即11()222OB CD OC PD OC +⋅=⋅⋅，∴12CD PD +=. 当点P 运动至A 处，此时P 、D 重合.① 当PD 在点A 左侧时，23PD m m =--，则222(3)m m m -=-+， 解得，121,22m m =-=-.② 当PD 在点A 右侧时，23PD m m =+，则222(3)m m m -=+，解得，17654m --=，27654m -+=不合题意，舍去. 综上，12m =-，2-或7654--.（3）∵4590PDA ∠=︒≠︒，∴当90APD ∠=︒或90PAD ∠=︒时，△P AD 是直角三角形. ① 若90APD ∠=︒，则AP ∥x 轴，∴P A y y =，即2414m m +-=-， 解得，121,3m m =-=-，∴(1,4)P --； ② 若90PAD ∠=︒，AP ⊥AB . 又直线AP ：7y x =--，由2741y x y x x =--⎧⎨=+-⎩，解得1125x y =-⎧⎨=-⎩，2234x y =-⎧⎨=-⎩，∴(2,5)P --. 综上，(1,4)P --或(2,5)--.28．（12分）（2014•内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．分析：（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次（2）如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t 的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题．（3）由于AB为直角边，分别以∠BAM=90°（如图3）和∠ABM=90°（如图4）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标．解答：解：（1）如图1，∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4．∴点B的坐标为（5，4）．∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．（2）如图2，设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，∴直线AB的解析式为y=x+．设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．∴y P=t+，y Q=﹣t2+t+4．∴PQ=y Q﹣y P=﹣t2+t+4﹣（t+）=﹣t2+t+4﹣t﹣=﹣t2++=﹣（t2﹣2t﹣15）=﹣[（t﹣1）2﹣16] =﹣（t﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．．（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．∴x H=x G=x M=．∴y G=×+=．∴GH=．∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，∴△AHG∽△MHA．∴．∴=．解得：MH=11．∴点M的坐标为（，﹣11）．②当∠ABM=90°时，如图4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，∴BG===．同理：AG=．∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，∴△AGH∽△MGB．∴=．∴=．解得：MG=．∴MH=MG+GH =+=9．∴点M的坐标为（，9）．综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．16．（3分）（2014•泸州）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若k=4，则△OEF的面积为；②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；④若DE•EG=，则k=1．其中正确的命题的序号是②④（写出所有正确命题的序号）．分析：（1）若k=4，则计算S△OEF=≠，故命题①错误；（2）如答图所示，若，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；（3）因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误；（4）求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式DE•EG=，求出k=1，故命题④正确．15．（4分）（2014•绵阳）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α=20°．解答：。