2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第十节抛物线(二) 文

第九节 抛物线(一)知识梳理一、抛物线的定义平面内到定点F 的距离等于到定直线l (定点不在定直线上)的距离的点的轨迹是抛物线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线． 注意：当定点在定直线上时，点的轨迹是过该定点且与定直线垂直的一条直线．基础自测1．已知抛物线y 2＝2px 上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝8B ．x ＝－8C ．x ＝4D ．x ＝－4解析：由题意得1＋p 2＝5，故p ＝8，所以准线方程为x ＝－p2＝－4，故选D.答案：D1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.2.理解数形结合的思想.2．一动圆的圆心在抛物线x 2＝－8y 上，且动圆恒与直线y －2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(0，－4)C ．(2,0)D ．(0，－2)解析：由抛物线的定义知到焦点距离与到准线的距离相等，动圆必过焦点(0，－2)．故选D.答案：D3．若动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为____________．解析：由抛物线定义知点，P 的轨迹是以F (2,0)为焦点，直线x ＝－2为准线的抛物线，所以p ＝4，所以其方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x4．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.答案：41．(2013²四川卷)抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1 D. 3解析：抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y＝0，所以所求距离为|3±0|32＋2＝32.故选B. 答案：B2．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求A D →²E B →的最小值．解析：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )， 由题意有x －2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故A D →²E B →＝(A F →＋F D →)²(E F →＋F B →)＝A F →²E F →＋A F →²F B →＋F D →²E F →＋F D →²F B →＝|A F →|²|F B →|＋|F D →|²|E F →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4³2k 2²1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，A D →²E B →取最小值16.1．(2013²汕头一模)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．解析：因为y 2＝4x ，所以p ＝2，焦点坐标为(1,0)，依题意可知当P ，Q 和焦点三点共线且点P 在中间的时候，距离之和最小如图，故P 的纵坐标为－1，然后代入抛物线方程求得x ＝14.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点F ()1，0的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F 作倾斜角为45°的直线m 交轨迹E 于点A ，B ，求△AOB 的面积．解析：(1)设P ()x ，y ，由抛物线定义知，点P 的轨迹E 为抛物线，方程为y 2＝4x .(2)m ：y ＝x －1，代入y 2＝4x ，消去x 得y 2－4y －4＝0.设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则y 1，y 2为方程的两实根，于是y 1＋y 2＝4，y 1²y 2＝－4.则||y 2－y 1＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝42，所以S △AOB ＝12³||OF ³||y 2－y 1＝12³1³42＝2 2.。

高三抛物线的知识点归纳一、抛物线的定义及方程抛物线是二次函数的图像，它的一般方程可以表示为 y = ax^2 + bx+ c。

在这个方程中，a、b、c 是常数，其中 a 决定抛物线的开口方向和大小，b 影响抛物线沿着 x 轴的位置，而 c 则决定了抛物线与y 轴的交点。

二、抛物线的性质1. 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

2. 对称性：抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = -b/(2a)。

3. 顶点：抛物线的最高点或最低点称为顶点，其坐标可以通过公式(-b/(2a), -Δ/(4a)) 计算得出，其中Δ = b^2 - 4ac 称为判别式。

4. 焦点和准线：对于开口向上或向下的抛物线，可以定义一个焦点和一条准线。

焦点位于距离顶点 a/(4a) 的位置，准线则是与抛物线对称轴平行且距离顶点 a/(2a) 的直线。

三、抛物线的应用1. 物理现象：在物理学中，抛物线常用于描述物体在重力作用下的抛射运动轨迹。

2. 工程建筑：在建筑设计中，抛物线形状常用于拱桥、穹顶等结构，以实现良好的力学性能。

3. 艺术设计：在艺术领域，抛物线因其优美的曲线被广泛应用于雕塑和装饰品的设计。

四、解题技巧1. 确定方程：根据题目条件确定抛物线的一般方程 y = ax^2 + bx + c。

2. 计算顶点：通过公式 (-b/(2a), -Δ/(4a)) 快速求出抛物线的顶点坐标。

3. 判断交点：通过代入 x 值或 y 值，可以求出抛物线与 x 轴或 y轴的交点。

4. 应用对称性：利用抛物线的对称性简化计算，特别是在求解与抛物线相关的最值问题时。

五、例题分析例1：已知抛物线 y = 2x^2 - 4x + 3，求其顶点坐标和对称轴方程。

解：首先计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*2*3 = 16 - 24= -8。

由于Δ < 0，该抛物线与 x 轴无交点。

六节 椭 圆 (二)基础自测1．(2012·东北四校一模)已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，2 B ．(1，＋∞) C ．(1,2)D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：依题意，2k －1＞2－k ＞0，解得1＜k ＜2.故选C. 答案：C2．(2013·湖南郴州模拟)设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B.⎝⎛⎭⎫3，163 C ．(0,3)∪⎝⎛⎭⎫163，＋∞D ．(0,2)解析：当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C.答案：C3．(2013·福建卷)椭圆P ：x 2a 2＋y 2b2(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线l ：y ＝3(x ＋c )与椭圆P 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：本题考查的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，△MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，所以有⎩⎪⎨⎪⎧MF 21＋MF 22＝F 1F 22＝(2c )2，MF 1＋MF 2＝2a ，MF 2＝3MF 1，整理得e ＝ca ＝3－1，故答案为3－1.答案：3－14．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是_____________．解析：因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，所以|4|m 2＋n2>2，所以m 2＋n 2<4. 所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内部．所以交点个数为2个．答案：21．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33解析：因为PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°， 所以PF 2＝2c tan 30°＝233c ，PF 1＝433c . 又|PF 1|＋|PF 2|＝633c ＝2a ，所以c a ＝13＝33， 即椭圆的离心率为33.故选D. 答案：D2．(2013·安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．(1)解析：因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c .直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝⎛⎭⎫0，cy 0c －x 0.因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限． 解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2. 即点P 在定直线x ＋y ＝1上．1．(2012·长春调研)以O 为中心，F 1，F 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则该椭圆的离心率为( )A.33B.23C.63D.255解析：易知点M 在OF 2的垂直平分线上，过M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则点N 坐标为⎝⎛⎭⎫c 2，0，并设|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|＝2t ，根据勾股定理可知，|MF 1→|2－|NF 1→|2＝|MF 2→|2－|NF 2→|2，得到c ＝62t ，由|MF 1|＋|MF 2|＝2a 得a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63.故选C.答案：C2．(2013·潮州二模)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，离心率e ＝32.过该椭圆上任一点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且|QP |＝|PC |.(1)求椭圆的方程；(2)求动点C 的轨迹E 的方程；(3)设直线AC (C 点不同于A ，B )与直线x ＝2交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论．解析：(1)由题意，可得a ＝2，e ＝c a ＝32，可得c ＝3， 所以b 2＝a 2－c 2＝1，因此，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设C (x ，y )，P (x 0，y 0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝12y .又x 204＋y 204＝1，代入得x 24＋⎝⎛⎭⎫12y 2＝1， 即x 2＋y 2＝4.即动点C 的轨迹E 的方程为x 2＋y 2＝4. (3)设C (m ，n )，点R 的坐标为(2，t )， 因为A 、C 、R 三点共线，所以AC →∥AR →，而AC →＝(m ＋2，n )，AR →＝(4，t )， 则4n ＝t (m ＋2)，所以t ＝4nm ＋2，可得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，4nm ＋2，点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，2nm ＋2，所以直线CD 的斜率为k ＝n －2n m ＋2m －2＝mnm 2－4，而m 2＋n 2＝4，所以m 2＝4－n 2， 代入上式可得k ＝mn －n2＝－mn ，所以直线CD 的方程为y －n ＝－mn (x －m )，化简得mx ＋ny －4＝0，所以圆心O 到直线CD 的距离d ＝4m 2＋n 2＝44＝2＝r ，因此，直线CD 与圆O 相切，即CD 与曲线E 相切．。

引言概述：抛物线是高中数学中的重要内容，具有广泛的应用领域，包括物理、工程、经济等。

本文将对抛物线的相关知识进行归纳总结，从定义、性质、方程、焦点与准线、图形以及应用等多个方面进行详细的阐述。

正文内容：一、定义和性质1.抛物线的定义：抛物线是平面内一点到固定点和固定直线的距离之比等于常数的轨迹。

2.焦点与准线的关系：焦点是抛物线上所有点到准线的距离相等的点。

3.对称性：抛物线具有关于准线对称和关于纵轴对称的性质。

4.切线方程：抛物线上任意一点的切线方程为y=mx+c，其中m 是斜率，c是截距。

5.切线与法线的关系：切线与法线互为垂线且交于抛物线上的点。

二、方程和焦点、准线1.标准方程：抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c 是常数，a≠0。

2.顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(b/2a,f(b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。

3.焦点坐标：抛物线的焦点坐标为(h,f(h+1/4a))，其中h=b/2a。

4.准线方程：抛物线的准线方程为y=f(h+1/4a)1/(4a)。

三、图形展示和性质分析1.抛物线的开口方向：a的正负决定抛物线的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

2.抛物线的焦点位置：焦点在抛物线的顶点上方，焦点的纵坐标为f(h+1/4a)+1/(4a)。

3.抛物线的对称轴：对称轴是通过抛物线的顶点和焦点的直线。

4.抛物线的顶点与焦点距离：顶点与焦点的距离等于抛物线的准线长。

四、应用领域1.物理学应用：抛物线可以描述自由落体运动、抛射运动等。

2.工程学应用：抛物线常用于建筑物的设计、桥梁的设计等。

3.经济学应用：抛物线可以用来表示成本、收入和利润的函数关系。

4.生物学应用：抛物线可用于描述某些生物体运动的轨迹。

5.计算机图像处理应用：抛物线可以用于图像处理算法中的平滑处理。

五、总结本文对抛物线的定义、性质、方程、焦点与准线、图形以及应用进行了详细的阐述。

抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是一种常见的二次函数形式，常用的标准方程为y=ax²+bx+c (a≠0)。

一、抛物线的平移和缩放1. 平移：平移抛物线的顶点到坐标轴原点的方法是将x轴和y轴分别平移a和b个单位，即将抛物线方程中的x替换为x-a，y替换为y-b。

2. 缩放：抛物线关于顶点的对称性使得在抛物线上多取任意一点，将这点关于顶点进行对称得到的点的纵坐标与原点的纵坐标成等差数列，且公差是常量。

我们可以通过改变a来改变抛物线的形态，使得抛物线开口向上或向下，并使得抛物线的开口程度变化。

二、抛物线的顶点、焦点和直线1. 顶点：抛物线的顶点是二次函数的极值点，由公式x=-b/2a和y=f(x)得到。

顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

2. 焦点：抛物线焦点的纵坐标是顶点的纵坐标f(-b/2a)+1/(4a)，焦点的横坐标为-b/2a。

焦点到抛物线的距离等于焦半径r=1/(4a)。

3. 直线：抛物线的准线是与抛物线平行的一条直线，其方程为y=f(-b/2a)-1/(4a)。

三、抛物线的对称轴1. 对称轴：抛物线的对称轴是通过抛物线的顶点和焦点的直线，对称轴与x轴垂直。

通过求焦差得到对称轴的方程，对称轴的方程为x=-b/2a。

四、抛物线的焦半径和离心率1. 焦半径：焦半径是焦点到抛物线上任一点的距离，焦半径的长度为r=1/(4a)。

2. 离心率：离心率是抛物线焦点到焦点所在直线的距离与抛物线到准线的距离的比值，离心率的值为e=1。

五、抛物线的判别式和根的个数抛物线的判别式为Δ=b²-4ac，根的个数与判别式的大小有关。

1. 当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，即有两个实根。

2. 当Δ=0时，抛物线与x轴相切，即有一个实根。

3. 当Δ<0时，抛物线与x轴无交点，即无实根。

六、抛物线图像的性质1. 抛物线的开口方向与系数a的正负有关，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

高中数学-抛物线知识点抛物线是数学中的重要概念，广泛应用于几何学和物理学中。

本文将介绍高中数学中与抛物线相关的知识点。

1. 抛物线的定义和特征- 抛物线是由平面上一动点P和一定点F以及到F的距离与到直线l的距离相等的所有点P的轨迹形成的曲线。

- 抛物线的特征是对称性，即关于对称轴对称。

对称轴是通过焦点F的垂直于直线l的直线。

- 抛物线的焦点F与对称轴的交点称为焦点，对称轴上的任意一点P到直线l的距离称为焦距。

2. 抛物线的方程- 抛物线的一般方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

- 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

- 抛物线的判别式Δ = b^2 - 4ac，通过判别式的值可以判断抛物线的开口方向和与x轴的交点个数。

3. 抛物线的图像和性质- 当a > 0时，抛物线开口向上，当a < 0时，抛物线开口向下。

- 抛物线的顶点是极小值点或极大值点，具有最值性质。

- 抛物线的对称轴与x轴的交点是抛物线的零点，也是方程的实根。

- 抛物线的导数表示斜率，斜率为0时对应抛物线的顶点。

4. 抛物线的应用- 抛物线可用于描述物体在一定条件下的运动轨迹，如炮弹抛体运动、射击训练等。

- 抛物线的最值性质可应用于优化问题，如求解最大最小值等。

- 抛物线的几何性质可应用于建筑设计、桥梁设计等。

以上是高中数学中关于抛物线的基本知识点。

抛物线作为基础的数学概念，为其他数学和物理学知识的研究奠定了坚实基础。

参考资料：- 高中数学教材- 数学知识网站。

抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是解析几何中的一个重要概念，在高中数学中经常遇到。

抛物线的定义是平面上到定点和定直线的距离相等的点的集合。

抛物线有许多基本性质和相关公式，下面是对抛物线的知识点的总结。

1. 抛物线的定义抛物线是平面上到定点（焦点）和定直线（准线）的距离相等的点的集合。

2. 抛物线的方程抛物线的一般方程形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线的最低点（顶点在上凸抛物线中为最高点）。

抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为抛物线方程。

4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴是通过抛物线顶点且垂直于准线的直线。

5. 抛物线的焦点和准线焦点是到定点相等距离的点，准线是到定直线相等距离的点。

焦点的坐标为(-b/2a, c - (b^2-1)/4a)，准线的方程为y = c - (b^2-1)/4a。

6. 抛物线的开口方向抛物线的开口方向取决于系数a的正负。

如果a > 0，则抛物线开口向上；如果a < 0，则抛物线开口向下。

7. 抛物线的对称性抛物线具有对称性，即抛物线上的任意一点关于对称轴的对称点也在抛物线上。

8. 抛物线的性质- 抛物线是一条连续曲线。

- 抛物线没有最大值或最小值。

- 开口向上的抛物线在对称轴上方的点的纵坐标都大于或等于对称轴上的点的纵坐标。

- 开口向下的抛物线在对称轴上方的点的纵坐标都小于或等于对称轴上的点的纵坐标。

9. 抛物线与二次函数的关系二次函数是一种特殊的抛物线，即二次函数的图像为一条抛物线。

10. 抛物线的平移和缩放抛物线的平移可以通过改变抛物线方程中的常数项b和c的值来实现。

抛物线的缩放可以通过改变抛物线方程中的系数a的值来实现。

11. 抛物线的判别式抛物线的判别式D用来判断抛物线的开口方向和是否与x轴相交。

当D > 0时，抛物线与x轴有两个交点；当D = 0时，抛物线与x轴有一个交点；当D < 0时，抛物线与x 轴无交点。

数学高三抛物线知识点高中数学的抛物线是一种非常重要的曲线，它在生活中的应用广泛。

在数学高考中，抛物线相关的知识点也是必考内容之一。

本文将详细介绍高三数学中与抛物线相关的重要知识点，帮助高三学生系统地掌握这一部分内容。

一、抛物线的定义及性质抛物线是平面上一点到定直线（称为准线）和定点的距离之比（称为离心率）为常数的轨迹。

它的定义可以用数学方程表示为：y=ax^2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为常数，a决定了抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

1. 对称性：抛物线关于准线和对称轴对称。

2. 焦点与准线之间的关系：离心率e=焦距f/准线与焦点之间的距离。

3. 切线和法线：抛物线上任意一点的切线与过该点的准线垂直，且过该点的法线经过焦点。

二、抛物线的方程和图像1. 标准方程：当抛物线的顶点为原点时，抛物线的标准方程为y^2=4ax。

2. 顶点坐标：对于标准方程y^2=4ax，抛物线的顶点为(0,0)。

3. 对称轴和焦点坐标：对于标准方程y^2=4ax，抛物线的对称轴为x轴，焦点坐标为(F,0)，其中焦距F=a/2。

三、抛物线的平移和旋转1. 平移：抛物线的平移是指将抛物线上所有点的坐标同时增加或减少一个固定的数值。

设抛物线的标准方程为y^2=4ax，平移后的抛物线的方程为(y-k)^2=4a(x-h)，其中(h,k)为平移的距离。

2. 旋转：抛物线的旋转是指将抛物线绕原点或其他点旋转一定角度。

抛物线的旋转方程相对复杂，这里不再展开。

四、抛物线的焦点与准线问题1. 已知抛物线方程求焦点和准线：根据抛物线的标准方程或一般方程，可以求得焦点和准线的坐标。

2. 已知焦点和准线求抛物线方程：通过已知的焦点和准线的坐标，可以推导出抛物线的方程。

五、抛物线的应用抛物线在生活中有着广泛的应用，以下举几个例子：1. 投射问题：抛物线可以用来描述抛体的运动轨迹，比如抛物线的顶点表示抛体的最高点，焦点表示抛体的着地点。

2015年高考数学（理）一轮复习讲义：8-7 抛物线第7讲抛物线[最新考纲]1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．理解数形结合的思想．3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.知识梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px (p>0)y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离续表性质顶点O(0,0) 对称轴y＝0 x＝0 焦点F 向上向下辨析感悟1．对抛物线定义的认识(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(³)(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(³)2．对抛物线的标准方程与几何性质的理解(3)(2013²北京卷改编)若抛物线y＝ax2的焦点坐标为(0,1)，则a＝，准线方程为y＝－1.(√)(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(³)(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.(√)[感悟²提升]1．一点提醒抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．如(2)．2．两个防范一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程，如(3).考点一抛物线的定义及其应用【例1】 (2014²深圳一模)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM||MN|＝( )．A．2 B．12C．1 D．13解析如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF||MN|＝|MH||MN|.由MHN∽△FOA，则＝＝，则|MH||MN|＝1，即|MF||MN|＝1.答案 C规律方法抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．【训练1】 (2014²山东省实验中学诊断)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时，|PA|＋|PM|的最小值是________．解析将x＝4代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±4，|a|＞4，所以A在抛物线的外部，如图，由题意知F(1,0)，则抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1.当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取最小值，此时|PA|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝－1.答案－1考点二抛物线的标准方程与几何性质【例2】 (2014²郑州一模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )．A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x解析如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，|BC|＝2|BF|，|BC|＝2|BB1|，BCB1＝30°，AFx＝60°，连接A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，抛物线方程为y2＝3x，故选C. 答案 C规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【训练2】 (2014²兰州一模)已知圆x2＋y2＋mx－＝0与抛物线y＝x2的准线相切，则m ＝( )．A．±2 B. C. D．±解析抛物线的标准方程为x2＝4y，所以准线为y＝－1.圆的标准方程为2＋y2＝，所以圆心为，半径为.所以圆心到直线的距离为1，即＝1，解得m＝±.答案 D考点三直线与抛物线的位置关系【例3】 (2013²湖南卷)过抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1＞0，k2＞0，证明：²＜2p2；(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．审题路线(1)写出直线l1的方程与抛物线联立用根与系数的关系求M，N的坐标写出，的坐标求²用基本不等式求得结论．(2)由抛物线定义求|AB|，|CD|得到圆M与圆N的半径求出圆M与圆N的方程得出圆M与圆N的公共弦所在直线l的方程点M到直线l的距离求出其关于k1的函数式求其最小值求得p.解(1)由题意知，抛物线E的焦点为F，直线l1的方程为y＝k1x＋.由得x2－2pk1x－p2＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p.所以点M的坐标为，＝(pk1，pk)．同理可得点N的坐标为，＝(pk2，pk)，于是²＝p2(k1k2＋kk)．因为k1＋k2＝2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜k1k2＜2＝1.故²＜p2(1＋12)＝2p2.(2)由抛物线的定义得|FA|＝y1＋，|FB|＝y2＋，所以|AB|＝y1＋y2＋p＝2pk＋2p，从而圆M的半径r1＝pk＋p.故圆M的方程为(x－pk1)2＋2＝(pk＋p)2，化简得x2＋y2－2pk1x－p(2k＋1)y－p2＝0.同理可得圆N的方程为x2＋y2－2pk2x－p(2k＋1)y－p2＝0.于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2－k1)x＋(k－k)y＝0.又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0.因为p＞0，所以点M到直线l的距离d＝＝＝.故当k1＝－时，d取最小值.由题设，＝，解得p＝8.故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.规律方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．【训练3】设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.(1)若BFD＝90°，ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝ p.因为ABD的面积为4 ，所以|BD|²d＝4 ，即²2p² p＝4 ，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|.所以ABD＝30°，m的斜率为或－.当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0，解得b＝－.因为m的纵截距b1＝，＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值也为3.当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋，它们在解题中有重要的作用，注意运用．教你审题9——灵活运用抛物线焦点弦巧解题【典例】已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．[审题] 一审：由直线过抛物线焦点可利用焦点弦长公式求解．二审：由点C为抛物线上一点，可设出C点坐标，利用＝＋λ表示出点C坐标，将点C坐标代入抛物线方程求解．解(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)；设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[反思感悟] (1)解决与抛物线的焦点弦有关问题，常用到x1x2＝，y1y2＝－p2，|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)，＋＝这些结论，就会带来意想不到的效果．(2)解析几何中像这样可以引申推广的规律有很多，只要我们平时善于总结、归纳同类题的解题方法，并注意探究和发掘变换事物中所蕴涵的一般规律，就一定会有更多发现．【自主体验】1．(2012²安徽卷)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析法一由＋＝.得|BF|＝.法二设BFO＝θ，则由|AF|＝3，p＝2，得cos θ＝，|BF|＝.答案2．(2012²重庆卷)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.解析由＋＝＝2及|AB|＝|AF|＋|BF|＝，得|AF|²|BF|＝，再由解得|AF|＝，|BF|＝.答案基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013²四川卷)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )．A. B. C．1 D.解析抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－＝1的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0，故所求距离为＝.选B.答案 B2．(2014²济宁模拟)已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p 的值为( )．A．1 B．2 C. D．4解析圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－＝4，解得p＝2.答案 B3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )．A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2解析分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.答案 D4．(2014²潍坊一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则A点的横坐标为( )．A．2 B．3 C．2 D．4解析抛物线的焦点为，准线为x＝－.双曲线的右焦点为(3,0)，所以＝3，即p＝6，即y2＝12x.过A做准线的垂线，垂足为M，则|AK|＝|AF|＝|AM|，即|KM|＝|AM|，设A(x，y)，则y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3.答案 B5．(2013²天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p＝( )．A．1 B. C．2 D．3解析由已知得双曲线离心率e＝＝2，得c2＝4a2，b2＝c2－a2＝3a2，即b＝a.又双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，抛物线的准线方程为x＝－，所以不妨令A，B，于是|AB|＝p.由AOB的面积为可得²p²＝，所以p2＝4，解得p＝2或p＝－2(舍去)．答案 C二、填空题6．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．解析由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.答案x2＝12y7．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x0＝________.解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.答案 38．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p＝________.解析如图，在等边三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，B点坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1.解得p＝6.答案 6三、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．解法一根据已知条件，抛物线方程可设为y2＝－2px(p＞0)，则焦点F.点M(－3，m)在抛物线上，且|MF|＝5，故解得或抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.法二设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则准线方程为x＝，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以有－(－3)＝5，p＝4.所求抛物线方程为y2＝－8x，又点M(－3，m)在抛物线上，故m2＝(－8)³(－3)，m＝±2.10．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：²是一个定值．(1)解由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x＝－1，直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，x1＋x2＝6，由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.(2)证明设直线l的方程为x＝ky＋1，由得y2－4ky－4＝0.y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．²＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.²是一个定值．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )．A．x2＝y B．x2＝yC．x2＝8y D．x2＝16y解析－＝1的离心率为2，＝2，即＝＝4，＝.x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意，得＝2，p＝8.故C2：x2＝16y，选D.答案 D2．(2014²洛阳统考)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )．A. B. C．2 D.－1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.答案 D二、填空题3．(2014²郑州二模)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________. 解析抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以tan 120°＝，所以yA＝2.因为PAl，所以yP＝yA＝2，代入y2＝4x，得xA＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.答案 4三、解答题4．(2013²辽宁卷)如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．解(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为，故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.因为点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0＝－(2－)＋＝－，y0＝－＝－.由得p＝2.(2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2，由N为线段AB中点知x＝.y＝.切线MA，MB的方程为y＝(x－x1)＋，y＝(x－x2)＋.由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0＝，y0＝.因为点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，所以x1x2＝－.由得x2＝y，x≠0.当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y. 因此AB中点N的轨迹方程为x2＝y.。