二年级奥数讲义7

第七讲 枚举法初步新年到了，爸爸要给小昊买一个四阶魔方作为圣诞礼物，这个魔方的价格是28元8角。

小昊发现，可以有多种付钱方法：（1）2张10元，1张5元，3张1元，1张5角，3张1角；（2）1张10元，3张5元，3张1元，1张5角，1张2角，1张1角；（3）1张20元，4张2元，8张1角；（4）3张10元，收30元找回1元2角；等等。

一般的，根据问题要求，一一列举问题的解答，或者为了解决问题的方便把问题分成不遗漏不重复的优先种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。

这种分析问题解决问题的方法，称之为枚举法。

注意：运用枚举法解决问题时，必须注意无重复，无遗漏。

为此必须要求有次序有规律的进行枚举。

把一个整数表示成若干个小于它的自然数值和，叫做整数的拆分。

整数4有多少种不同的拆分方法？分拆时，将自然数按从达到小的顺序出现，一共有4种不同的分拆方法：4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1。

用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物品当砝码），当砝码只能放在同一个盘内时，可以称出的重量有多少种？共有三个重量不同的砝码，可以取出其中的一个，两个，三个来称量。

一一来列举这三种情况。

取一个砝码可称：1克、3克、9克。

有3种。

取两个砝码可称：1+3=4（克）、1+9=10（克）、3+9=12（克），3种。

取三个砝码可称：1+3+9=13（克），有1种。

注意到1、3、9、4、10、12、13各不相同，所以可以称出： 3+3+1=7（种）课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数。

第一次报数后，单号全部站出来，然后每次余下的人中第一个开始站出来，隔一人站出来一个人，到第几次这些人全部站出来？最后站出的人应该是第几号？根据题目的特点，先用排列法把题中的条件问题列出来，再用枚举法完成题目要求。

排好队的人依次是1，2，3，4，5，．．．．．．28，29，30从上面的列表中我们毫无遗漏的排列，得出到第五次这些人全部站出来，最后在个人是16号。

第七讲 重叠问题 哪吒智闯水晶宫---哪吒被骗了哪吒继续往前去寻宝，只见一位白胡子老爷爷拿着哪吒地乾坤圈站在大厅中间。

“那是我的乾坤圈！”哪吒激动的叫起来。

哪吒赶紧跑过去一看，“怎么有两个乾坤圈？”　白胡子老爷爷微笑的说：“哪吒不认识我了？”哪吒仔细打量了这位老爷爷后说：“我记起来了，你是太白金星。

”太白金星：“哪吒，我听说了你的事后，特意来帮助你的，你看，我帮你把乾坤圈要回来了。

”哪吒：“那怎么有两个乾坤圈？”太白金星：“这其中一个是我的金钢圈，另一个是你的乾坤圈，刚才我拿一个圈称连我共重67千克，拿另一个圈称连我共重68千克，我的金刚圈比你的乾坤圈重，你猜得出来你的乾坤圈和我的金刚圈多重，我就把你的宝贝还给你”哪吒：“太白金星，你说话可得算数！”太白金星：“那当然了，我胡子都白了，还会骗你？你就在这里想吧，我有事先走，一会儿就回来”哪吒在原地想了一天一夜，也没有想出答案，他明白了，他并不知道太白金星的体重是不可能算出乾坤圈和金刚圈的重量的，他被骗了，那个老人根本不是太白金星！他不过是中了龙王的圈套而已，哪吒气冲冲的继续前进，心想，要再被我碰到这假冒的太白金星，我一定把他的胡子拔了！例题精讲例1 小朋友们排队练体操，小红的左边有6个人，右边有2个人，这一排共有几个人？6 小红 2分析：由图知道，小红所在一队的小朋友，可以分成三部分：第一部分是小红的左边的6个人，第二部分是小红这1个人，第三部分是小红右边的2个人。

要求一共有多少人，就是把这三部分加起来。

即6+1+2=9（人）。

小朋友排队去春游，小云的前面有5个同学，小云的后面有几个同学？小云分析：这一队的小朋友，可以分成三部分：要求小云后面有几个同学，就要从总人数12里面去掉小云前面的5个同学，再去掉小云1个人，才能求出问题。

即12―5―1=6（人）。

例3 幼儿园小朋友排队参观盆景，从前面数，小林是第10个，从后面数，小林是第17个，这一排共有几个小朋友？分析：“从前面数，小林是第10个”说明小林和他前面同学一共是10人，这个“10”里面包括小林，也包括他前面的同学；“从后面数，小林是第17个”，说明小林和他后面同学一共是17人，这个“17”里面包括小林，也包括他后面的同学。

二年级数学奥数讲义练习第7讲火柴棒游戏（全国通用版，含答案）【专题简析】用火柴棒做游戏，小朋友们感兴趣吗？火柴棒游戏中有很多窍门，让我们共同了解火柴棒中的数学，了解数学的其妙，使小朋友们在有趣的数学游戏中变得更加聪明。

用火柴棒摆成的算式，可以根据算式中给的数的特点，移动火柴棒使它变成另一个数，或改变一个运算符号，使等式成立，如果是图形，可以直接拿掉或移动多余的几根火柴棒，还要考虑让火柴棒重复使用，这样可增加图形的个数【例题1】下面是用火柴棒摆成的两道算式，但都不能成立，请你只移动一根火柴棒，使算式成立。

（1）（2）思路导航:移动火柴棒时，要保证火柴棒的根数没有变化。

如“”与“”、“”与“”、“”与“”之间都可以相互转化。

第（1）题中，等号左边的计算结果是21，而右边只是1，所以应通过移动火柴棒，使左边减小右边增大。

把左边的“+”变成“－”，左边移动一根火柴棒到右边，使“1”变成“7”，等式成立。

第（2）题中，观察算式两边。

等号左边的计算结果是641，右边的计算结果是141，所以应从等号左边移一根火柴棒到右边，把等号左边的减数121变成21，则左边的计算结果是741。

等号右边141中，添上移过来的一根火柴棒，恰好变成741，于是等式成立。

解；（1）17－7＝7或4+7＝11（2）741+21－21＝741或141+121－121＝141练习11，下面的算式是用火柴棒摆成的，等号两边不相等，请移动其中一根使等式成立。

（1）（2）2，移动一根火柴棒使等式成立。

（1）（2）3，只许移动一根火柴棒，使等式成立。

（1）（2）【例题2】有一把椅子如图（1）所示，椅子翻倒还掉了一条腿。

请移动2根火柴，使椅子翻过来，且看上去也不缺少腿。

（1）（2）思路导航:要把椅子翻过来，就要使下面有四条腿，上面有靠背。

移动后的结果如图（2）所示，虚线表示移走的火柴。

解；见图（2）练习21，下面是用火柴棒摆成头朝上的龙虾，移动3根，使它头朝下。

第七讲找规律（二）例1仔细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图？解：仔细观察图7—1，可知：第1组左边是个大菱形，右边是个小菱形.第2组左边是个大三角形，右边是个小三角形.其规律是：每组中左右两边图形的形状相同，大小不同.都是左边的图形大，右边的图形小.猜出答案：第3组中右边空白格内应填个小长方形.（如图7—3）.仔细观察图7—2可知：第1组左边是个圆，而且左半圆涂有阴影线.右边是左边的阴影半圆顺时针旋转后放置的.第2组左边是个等腰三角形，而且左半部（直角三角形）涂有阴影线，右边是左边阴影直角三角形顺时针旋转后放置的.其规律是：每组的右边格内的图形都是左边图形左边的一半，顺时针旋转放置后成为右边图形.猜出答案：第3组中右框内应填个阴影小长方形.如图7—4示.例2按顺序仔细观察图7—5、7—6的形状，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？解：图7—5的？处应填○▲.注意观察第1组和第2组，每组都是由三对小图形组成；而每对小图形都是由一个“空白”的和一个“黑色”的小图形组成；而且它俩的排列顺序都是“空白”的在左边，“黑色”的在右边.再按着第1、第2、第3组的顺序观察下去，可发现每对小图形在各组中的位置的变化规律：它们都在向左移动，当一对小图形移动到最左边后，下一步它就回到了最右边.按这个移动规律，可知图7—5中第3组“？”处应填：○▲.图7—6的？处应填□△0.仔细观察可发现第1组和第2组中间的部分都是由三个小图形构成的.构成的规律是：当你按照第1、第2、第3组的顺序观察时，6个小图形都在向左移动，而且移动的同时又在重新分组和组合，但排列顺序保持不变，当某一个小图形移动到了最左边时，下一步它就回到了最右边.按这个规律可知图7—6中第3组中间“？”处是：□△0.例3观察图7—7的变化，请先回答：在方框（4）中应画出怎样的图形？再答按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个方框中是怎样的图形？解：先按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可发现：方框中的箭头是按逆时针方向旋转的；方框中的其他小图形，如△、□和○也都是按逆时针方向旋转的.也就是说，方框连同内部的所有小图形作为一个整体在按逆时针方向旋转.因此，方框（4）中的小图形应画成图7—8状.再按已找到的规律，进一步可发现图形的变化是有“周期性”的，也就是说，每过4个方框后，同样的图形又重新出现一次.如，你可看到第（1）和第（5）是完全一样的；因此，你可以想像得到，第（2）和第（6）及第（10）个图形应当是完全一样的.即第（10）个方框中的图形应是图7—9所示的样子.例4观察图7—10的变化，请先回答：第（4）、（8）个图中，黑点在什么地方？第（10）、（18）个图中，黑点在什么地方？解：（1）按图7—10中（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可发现黑点位置的变化规律：在（1）中，黑点在最上面第一条横线上；在（2）中，黑点下降了一格，在上面第二条横线上；在（3）中，黑点又下降了一格，在中间一条线上了.按黑点位置的这种变化可推测出：在（4）中，黑点又下降一格，它的位置应如图7—11所示.继续观察下去：在（5）中，黑点下降到最下面的一条横线上；在（6）中，黑点开始往上升一格；在（7）中，黑点再上升一格，按着黑点位置的这种变化可推测出：在（8）中，黑点又上升一格，它的位置应如图7—12所示.（2）进一步仔细观察图7—10（1）～（9），可发现黑点位置变化的“周期性”规律：也就是说，每隔8个小图，黑点又回到原来的位置.因为2+8=10，2+8+8=18.所以第（10）、（18）个小图中，黑点的位置应与第（2）个小图相同，见图7—13所示.习题七1.仔细观察图7—14，找找变化规律，猜猜在第3组的空白格内填一个什么样的图？2.仔细观察图7—15，找找变化规律，猜猜在第3组的空白格内填一个什么样的图？3.仔细观察图7—16，找找变化规律，猜猜在第3组的空白格内填一个什么样的图？4.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？5.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？6.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”应填什么图？7.按顺序仔细观察下列图形，猜一猜第3组的“？”应填什么图？8.仔细观察下列图形的变化，请先回答：①在方框（4）中应画出怎样的图形？②再按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个方框是怎样的图形？9.仔细观察下列图形的变化，请先回答：①在方框（4）中应画出怎样的图形？②再按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个方框是怎样的图形？习题七解答①先按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，可以发现：在（1）中，*在左上角，在（2）中它在右上角，在（3）中它在右下角，……可见它在沿顺时针方向转动.其他三个小图形，即□、△、○，也和*一样都在沿着顺时针方向转动.发现规律：因方框中的每个小图形的位置的变化都是按顺时针方向旋转，可以说，方框连同内部的小图形及整体在按顺时针方向旋转.②进一步猜想，根据所发现的规律进一步推测可知，第（4）个方框中的图形的样子.③按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，进一步还可发现，图形的变化是有“周期性”的，也就是说，每过4个方框后，完全同样的图形又重新出现，如第（1）、（5）、（9）个图形是完全一样的.因为2＋4＋4=10，所以第（10）个方框内的图形与第（2）完全相同.9.答：（见图7—31）。

第七讲和倍问题智慧屋我们把已知几个数的和以及它们之间的倍数关系，求这几个数各是多少的题目称为和倍问题。

解答和倍问题时，我们要确定一个数为标准，一般是比较小的那个数，假定它为一倍（一份），再根据其他几个数与较小数的倍数关系，确定这几个数是较小数的几倍，然后用除法求出较小数，再算出其他各数。

例1、二（1）班和二（2）班共为“希望工程”捐书120本。

（1）班捐的本数是（2）班的2倍，两个班各捐书多少本？画图：同步演练1五、六年级的同学们共植树180棵，已知六年级植树的棵数是五年级2倍。

每个年级各植树多少棵？例2、王老师和李老师共有100元钱，如果再给王老师20元钱，那么李老师的钱数就正好是王老师的2倍。

王老师原来有多少元钱？同步演练2 两个仓库共存粮83吨，第二个仓库如果再存入7吨，就正好是第一个仓库的2倍。

两个仓库原来各存粮多少吨？例3 有两堆棋子，每一堆有67个，第二堆有53个。

从第二堆拿出多少个给第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的5倍？同步演练3甲、乙两仓库原来各存粮40吨、50吨。

要使乙仓库的粮食是甲仓库的2倍，必须从甲仓库运出多少吨给乙仓库？例4、将被除数个位的0去掉后，被除数与除数相等。

已知被除数与除数的和是66，被除数和除数各是多少？同步演练4被除数除以除数等于9，且被除数和除数的和是90.被除数和除数各是多少？形成平台：1、光明小学买来足球和篮球共30个，已知买来的足球的个数比篮球的2倍还多3个，学校买来足球和篮球各多少个？2、甲、乙、丙三个数的和是270，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍。

甲、乙、丙三个数各是多少？家庭作业：1、王明和张华共有42本练习本，王明比张华的3倍少2本。

两人各有练习本多少本？哈佛思维训练：哈林捡球哈林是一名乒乓球爱好者。

一天，她在打乒乓球的时候，不小心把球掉进球场的一个小洞里。

这是一个老鼠洞，这个洞太深了，她够不到，而且由于洞到了中间就拐弯了，所以即便用木棍也无法把球拿出来。

小学二年级下册数学奥数知识点讲解第7课《数字游戏问题1》试题附答案第七讲数字游戏问题（一）数字游戏问题是数学游戏中的一类.它要求从数字以汲数字间的运算中发现规律.然后技照这个规律去填数或填写运算符号.解决这一类问题的关槌是寻找规律、发现规律.一、找规祥填与数列里面的数例1在口中填入适当的数.1928374□例2在口中填入适当的数.1514121198□□例3在（）里填数.20224610（）二、找规律填写表格中的数例4在空格中填入合适的数.ESS回回例5在空掐中填入合格的数.8I9i；I25例6在空格中填入合适的数.找规律填写图形中的裁三.例7在空白处填入合适的数.答案笫七讲数字游戏问题（一）数字游戏问题是数学游戏中的一类.它要求从数字以及数字间的运算中发现规律，然后按照这个规律去填数或填写运算符号.解决这一类问题的关键是寻找规律、发现规律.一.找规律填写数列里面的数例1在口中填入适当的数.1922374□分析题中共有8个数，前7个已经知道.最后一个需要填写.R个数中1+9=10,2+8=10,3+7=10,所以最后两个数是4+口=10.这样，口里应璋6.解：1928374例2在口中填入适当的数.1514121198□□分析题中的数是技照从大到小的规律排列的.每两个数为一组，每两组之间又去掉了一个相邻的数；15、14、珞12、11、1U.9、8、又6、5.所以口中应顺次填写6、一这道题也可以这样分析：15-1=14,14-2=12,12-1=11,11-2=9,9-1=8, 8-2=6,6-1=5.解.1514121198同同例3在()里填数.20224610()分析观察发现2+0=2,0+2=2,2+2=4,2+4二6,4+6二10.即前两个数相加的和是后面的我｝f样最后一个数应是6+10二16.()里函真16.解：20224610(16)二、找规律填写表格中的教例4在空格中填入合适的数.因回回回回分析表格中的数分上下两排，每一排的数各有自己的规律.上排的数+2+3_+七再从冬开始依次加2,加3,加冬得到：4一"'L~3°这样最后一个数应是13+5=1&下排的数是从5开始依次加4,加6,加密导十4+6 +8到：5^^9*~'15~'236这样下排最后一个数应是23+10=33.解，例5在空格中填入合格的数.分析数字分成三组，前二组中的三个数字的和是20 : 7+12+1二20, 8+9+3=20,所以第三组中应是口+2+5=20,空格中的数是13.解；例6在空格中填入合适的数.813182412分析1九个数分成三组，第一组中有§+18=2X13,即第一个数与第三个数 的和是中间那个数的二倍，同样第三组中16+30=2x 23.所以中间一组2 x □ =12+24, 口中应填 18.分析2将这九个数横的作一排，第一批中有8+4=12, 12+4二16.即后面的数 比前面的数土4.鬲三排申有18+6二24, 24+6=30,后面的数比前面的数大6.由着 第二排应是13+5=18, 18+5=23,所以空格中应填1A解，13 18121824162330图表中的填数一般来说，既要注意横排，也要注意竖排.大部分问题是横竖结合寻找规律.三.找规律填写图形中的教例7在空白处填入合适的数.265分析每个图中都有三个圈，每个圈中填有数字.这三个数字之间有某种关系.分析第一个图发916-5=1,1X2=2,分析第二个图同样有7-4=3,3X2=6,所以第三个图应该是8・3二5,5X2=10.第三个图中空白处应填10.83从以上几种填数游戏中，我们发现填数的过程就是找规律的过程.在我规律中一是要注意数字排列的顺序，看清它们所在的位置.二是把已经知道的数字进行简单变形，如相加，相减，乘2,乘3,除2等.三是发现规律之后技这个规律进行运算求出所需要的结果.习题七找规律填数：1.1>2,3, 3.2,194S5,6,6,5,□.2.4,6,L0,16,26,42,□.3.4,6,10,16,24,34,□.6.△回/\0/\I~I ®O©©©©7.,Q0O Q®000®®8.9.二年级奥数下册：第七讲数字游戏问题（一）习题解答习题七解答1.解：.每三个数一组，前后两组数是时称排列的.2.解：国.从弟3个数开始，后面的数是它前面两个数的和.4+6=10,6+10=16,10+16=26,16+26=42,・'.26+42=68.3.解：国.从第2个数开始，后面的数是它前面的数依次加2,4,6,2, 10,12得到的，即4+2二66+4-1010+6=16,16+8-24,24+1CU34.•.34+12=46.4.解：国叵］,每一竖排中的三个数按上、下、中的顺序依次排列，所以第3列中最下面一个数是&第4列中间的数为10•5.解；14.每个图中，圈左边的数减去圈右边的数再加上圈上边的数得到圈里的数.6.解：回.把横线下面图中的两个数相加减去三角形中的数就得到正方形里的数.7.解：在上排圆中，从第2个数开始是把它前面的数依次加上2,3,4,5得到.在下排圆中，从笫2个数开始是依次把它前面的数依次加上4,6,8,10得到.©应8.解：16.从右上方开始，顺时针方向旋转，依次加上1,2,3,4,5得到后面南数.9.解：21.从左上方开始.逆时针方间旋转，依次加上1,3,5,7,9得到后 面的数.。

二年级奥数寒假班讲义第一节倒过来算--XXX框框法【知识要点】同学们在玩迷宫游戏时，往往会发现，根据要求从里面往外找出路，经常会走入死路，如果反过来思考，从外面的出口往里走，却能很快走到里面的出发点。

数学中有些问题的解答，就像走迷宫一样，需要我们从所求问题出发，倒着想，回到已知条件，这种倒着想的方法，叫做倒推法。

今天我们一起探究邦德框框法的妙处！【课前热身】23＋□=30□－42=15□×3=24□÷4=5【典型例题】例1一个数加上8，再减去2，结果等于8，求这个数是多少？例2某数加上3，乘以5，再减去8，等于12，则这个数是多少？例3一根铁管，第一次截去2米，第二次截去剩下的一半，还剩下5米，这根铁管原有多少米？1二年级数学A例4XXX从学校回家，坐地铁走了全程的一半，坐汽车走了剩下的路程的一半，这时离她家还有2千米，学校到XXX家有多少千米？【经典回顾】例5（1）2、5、3、5、4、5、（）、（）（2）11、4、8、4、5、4、（）、（）（3）1、2、3、5、8、13、（）（4）2、5、6、9、10、13、14、( )、( )（5）1、2、3、2、3、4、3、4、5、( )、( )、( )（6）1、2、4、8、（）（7）6、1、8、3、10、5、12、7、（）、（）；2二年级数学A【小试矛头】1．一个数减去2，再乘以4，结果是24，求这个数？2．一个数加上5，再减去8，成效是12，求这个数？3．一个数除以5，加上6，再减去2，成效是8，求这个数是多少？4．一个数加上2，乘以4，减去4，再除以4，末了成效还是4，求这个数？5．有一盘桃子，猴哥哥取走了10个，猴妹妹取了剩下的一半，这时还剩下4个桃子，问原有桃子多少个？6．有甲、乙、丙三个鸡笼，如果从甲笼取6只小鸡到乙笼，又从乙笼取5只小鸡到丙笼，再从丙笼取4只小鸡到甲笼，这时三个鸡笼里的小鸡都是12只。

求三个鸡笼原各有多少只小鸡？3二年级数学A【大显身手】1．一个数加上7，再乘以2，结果是18，求这个数？2．一个数减去2，乘以3，加上4，除以5后等于2，求这个数？3．一根绳子用去7米，再用去余下的一半，还剩9米，这根绳子原有多长？4．妈妈去商店购物，第一次用去所带钱的一半，第二次又用去了余下的一半，这时妈妈还剩下30元，妈妈原有多少钱？★5．甲、乙、丙三堆砂子，第一次从甲堆取出5千克给乙堆，第二次从乙堆取出10千克给丙堆，第三次从丙堆取出6千克给甲堆，这时三堆砂子都是48千克。