高中数学学习材料金戈铁骑整理制作贵州省兴仁三中2011-2012学年高一下学期4月月考数学试题I 卷一、选择题1．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成角的余弦值为( )A ．13B ．23C ．33D ．23【答案】C2．设n m ,是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中不正确的个数是 （ ）(1）,,,m n m αβαββ⊥⊥⋂=⊥若则n (2）,,//m m αβαβ⊥⊥若则 (3）,,//,m n m n αβαβ⊥⊥⊥若则 (4）,,,m n m n αβαβ⊥⊂⊥⊥若则A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C3．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ∥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C4．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得（ ）A ．αα⊂⊂b a ,B ．b a ,α⊂∥αC ．αα⊥⊥b a ,D ．αα⊥⊂b a ,【答案】B5．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α； ②若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β；③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α； ④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β. 其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D6． 已知a 、b 、c 均是直线，则下列命题中，必成立的是 ( ）A ． 若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ． 若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交C ． 若ab ，bc ，则acD ． 若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 也是异面直线 【答案】C7．设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( ) A ．m ∥β且l 1∥α B ．m ∥l 1且n ∥l 2 C ．m ∥β且n ∥β D ．m ∥β且n ∥l 2 【答案】B 8．“直线a 与平面M 没有公共点”是“直线a 与平面M 平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C9．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α⊥β，其中正确的命题是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 【答案】B10． a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题 ①⎭⎬⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ② ⎭⎬⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ③⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ④⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β ⑤⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a ⑥⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a 其中正确的命题是( )A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④【答案】C11．已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )A．32B．12C．33D．36【答案】D12．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】CII 卷二、填空题13．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m ∥平面β； ③若平面α与平面β的交线为m ，平面α内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面β； ④若平面α内的三点A ，B ，C 到平面β的距离相等，则α∥β. 其中正确命题的个数为________． 【答案】114．设l ，m 表示两条不同的直线，α表示一个平面，从“∥、⊥”中选择适当的符号填入下列空格，使其成为真命题，即：⎭⎬⎫l m l α⇒m ________α.【答案】∥ ⊥ ⊥15．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，116．如图：点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④面PDB 1⊥面ACD 1.其中正确的命题的序号是________． 【答案】①②④三、解答题17．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合．(1)当CF ＝1时，求证：EF ⊥A 1C ；(2)设二面角C －AF －E 的大小为θ，求tan θ的最小值． 【答案】解法1：过E 作EN ⊥AC 于N ，连结EF .(1)如图1，连结NF 、AC 1，由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面A 1C ， 又底面ABC ∩侧面A 1C ＝AC ，且EN ⊂底面ABC .所以EN ⊥侧面A 1C ，NF 为EF 在侧面A 1C 内的射影． 在Rt △CNE 中，CN ＝CE cos60°＝1.则由CF CC 1＝CN CA ＝14，得NF ∥AC 1，又AC 1⊥A 1C ，故NF ⊥A 1C . 由三垂线定理知EF ⊥A 1C .(2)如图2，连结AF ，过N 作NM ⊥AF 于M ，连结ME . 由(1)知EN ⊥侧面A 1C ，根据三垂线定理得EM ⊥AF ， 所以∠EMN 是二面角C －AF －E 的平面角， 即∠EMN ＝θ，设∠FAC ＝α，则0°<α≤45°.在Rt △CNE 中，NE ＝EC ·sin60°＝3， 在Rt △AMN 中，MN ＝AN ·sin α＝3sin α，故tan θ＝NE MN ＝33sin α．又0°<α≤45°，∴0<sin α≤22．故当sin α＝22，即当a ＝45°时，tan θ达到最小值， tan θ＝33×2＝63，此时F 与C 1重合．解法2：(1)建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (23，2,0)，C (0,4,0)，A 1(0,0,4)，E (3，3,0)，F (0,4,1)， 于是＝(0，－4,4)，＝(－3，1,1)，则·＝(0，－4,4)·(－3，1,1)＝0－4＋4＝0，故EF ⊥A 1C .(2)设CF ＝λ，(0<λ≤4)，平面AEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由(1)得F (0,4，λ)，＝(3，3,0)，＝(0,4，λ)，于是由m ⊥，m ⊥可得 即⎩⎨⎧3x ＋3y ＝0，4y ＋λz ＝0.取m ＝(3λ，－λ，4)．又由直三棱柱的性质可取侧面AC 1的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是由θ为锐角可得cos θ＝|m ·n ||m |·|n |＝3λ2λ2＋4，sin θ＝λ2＋162λ2＋4， 所以tan θ＝λ2＋163λ＝13＋163λ2． 由0<λ≤4，得1λ≥14，即tan θ≥13＋13＝63， 故当λ＝4，即点F 与点C 1重合时，tan θ取得最小值63． 18．如图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心．求证：PQ ∥平面BCC 1B 1.【答案】证法一：如图①取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连接PE 、QF 、EF ，∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 、B 1B 的中点，∴PE 綊12A 1B 1.同理QF 綊12AB .又A 1B 1綊AB ，∴PE 綊QF .∴四边形PEFQ 是平行四边形．∴PQ ∥EF .又PQ⊄平面BCC1B1，EF⊂平面BCC1B1，∴PQ∥平面BCC1B1.证法二：如图②，连接AB1，B1C，∵△AB1C中，P、Q分别是A1B、AC的中点，∴PQ∥B1C. 又PQ⊄平面BCC1B1，B 1C⊂平面BCC1B1，∴PQ∥平面BCC1B1.19．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1上的动点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)求直线DF与平面A1B1CD所成角的正弦值；(2)若E为C1D1的中点，在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.【答案】(1)证明：连接AD1，依题意可知AD1⊥A1D，又C1D1⊥平面ADD1A1，∴C1D1⊥A1D，又C1D1∩AD1＝D1，∴A1D⊥平面ABC1D1.又AE⊂平面ABC1D1，∴AE⊥A1D.(2)设正方体的棱长为2，取CC1的中点M，连接FM交CB1于O点，连接DO，则FO ＝22，连接BC 1，易证BC 1⊥平面A 1B 1CD .又FM ∥BC 1， ∴FM ⊥平面A 1B 1CD .则∠FDO 为直线DF 与平面A 1B 1CD 所成的角，∴sin ∠FDO ＝FO DF ＝225＝1010．(3)所求G 点即为A 1点，证明如下：由(1)可知AE ⊥DA 1，取CD 中点H ，连接AH ，EH ，由DF ⊥AH ，DF ⊥EH ，AH ∩EH ＝H ，可证得DF ⊥平面AHE ， ∴DF ⊥AE ，又DF ∩A 1D ＝D ，∴AE ⊥平面DFA 1， 即AE ⊥平面DFG .20．如图，在空间四边形ABDP 中，AD ⊂α，AB ⊂α，AB ⊥AD ，PD ⊥α，且PD ＝AD＝AB ，E 为AP 中点．(1)请在∠BAD 的平分线上找一点C ，使得PC ∥平面EDB ； (2)求证：ED ⊥平面EAB .【答案】(1)设∠BAD 的平分线交BD 于O ，延长AO ，并在平分线上截取AO ＝OC ，则点C 即为所求的点．证明：连接EO 、PC ，则EO 为△PAC 的中位线， 所以PC ∥EO ，而EO ⊂平面EDB ，且PC ⊄平面EDB ， ∴PC ∥平面EDB .(2)∵PD ＝AD ，E 是边AP 的中点， ∴DE ⊥PA ①又∵PD ⊥α(平面ABD )，∴PD ⊥AB ，由已知AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面PAD ， 而DE ⊂平面PAD ，∴AB ⊥DE ②由①②及AB ∩PA ＝A 得DE ⊥平面EAB .21．如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱EF綊12 BC.(1)证明FO∥平面CDE；(2)设BC＝3CD，证明EO⊥平面CDF.【答案】(1)取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，OM綊12BC，又EF綊12BC，则EF綊OM.连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形．∴FO∥EM.又∵FO⊄平面CDE，且EM⊂平面CDE，∴FO∥平面CDE.(2)连结FM，由(1)和已知条件，在等边△CDE中，CM＝DM，EM⊥CD，且EM＝32CD＝12BC＝EF.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM，而FM∩CD＝M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而FM∩CD＝M，所以EO⊥平面CDF.22．如图所示，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.(1)求证：AF⊥平面CBF；(2)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF.【答案】 (1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF.∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB.又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF.∴AF⊥平面CBF.(2)设DF的中点为N，连结MN、AN，则MN 綊12CD .又AO 綊12CD ，则MN 綊AO .∴四边形MNAO 为平行四边形． ∴OM ∥AN .又∵AN ⊂平面DAF ， OM ⊄平面DAF ， ∴OM ∥平面DAF .。
