离散型随机变量及其分布单元测试题

离散型随机变量及其分布列测试题（含答案）离散型随机变量及其分布列测试题⼀、选择题：1、如果X 是⼀个离散型随机变量，则假命题是( )A. X 取每⼀个可能值的概率都是⾮负数；B. X 取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某⼏个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. X 在某⼀范围内取值的概率⼤于它取这个范围内各个值的概率之和2①某寻呼台⼀⼩时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取⼀个数X ；③某超市⼀天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（） A ．①； B ．②； C ．③； D ．①③3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（）A ．12 B ．6 C ．3 D ．44、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k P X k k n λ===??，则λ的值为（）A ．1；B ．12； C ．13； D ．145．给出下列四个命题：①15秒内，通过某⼗字路⼝的汽车的数量是随机变量；②在⼀段时间内，某侯车室内侯车的旅客⼈数是随机变量；③⼀条河流每年的最⼤流量是随机变量；④⼀个剧场共有三个出⼝，散场后某⼀出⼝退场的⼈数是随机变量．其中正确的个数是（ D ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．46、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（）A. 4B. 6C. 10D. ⽆法确定7、投掷两枚骰⼦，所得点数之和记为X ，那么4X =表⽰的随机实验结果是（）A. ⼀枚是3点，⼀枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点D. ⼀枚是3点，⼀枚是1点或两枚都是2点8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．⾄多有2只是坏的9.(2007年湖北卷第1题) 如果nx x ??? ?-3223 的展开式中含有⾮零常数项，则正整数n 的最⼩值为 A.3 B.5 C.6 D.1010.（2007年湖北卷第9题）连掷两次骰⼦得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹⾓为θ，则??π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C.127 D.65 11.（2007年北京卷第5题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位⽼⼈拍照，要求排成⼀⾏，2位⽼⼈相邻但不排在两端，不同的排法共有A ．1440种 B.960种 C ．720种 D.480种12.(2007年全国卷Ⅱ第10题) 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期⽇参加公益活动，每⼈⼀天，要求星期五有2⼈参加，星期六、星期⽇各有1⼈参加，则不同的选派⽅法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种⼆、填空题：13 、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（把全部正确的答案序号填上）()2,1,2,3,,21n P X k k n ===-14、已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1,2,3,,10 ，则X 的取值为 15、⼀袋中装有5只同样⼤⼩的⽩球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最⼤号码数X 可能取值为16. (2007年重庆卷第4题)若1nx x ?+展开式的⼆项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____17、某城市出租汽车的起步价为10元，⾏驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不⾜1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于⾏车路线的不同以及途中停车时间要转换成⾏车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机⼀次接送旅客的⾏车路程ξ是⼀个随机变量，他收旅客的租车费可也是⼀个随机变量 (1)求租车费η关于⾏车路程ξ的关系式； (2)已知某旅客实付租车费38元，⽽出租汽车实际⾏驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多⼏分钟?18、⼀盒中放有⼤⼩相同的红⾊、绿⾊、黄⾊三种⼩球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的⼀半．现从该盒中随机取出⼀个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出⼀球所得分数X 的分布列．分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每⼀值时的概率．19.(2007年重庆卷第6题) 从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中⾄少有2张价格相同的概率20.(2007年辽宁卷) ⼀个坛⼦⾥有编号为1，2，…，12的12个⼤⼩相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是⿊球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且⾄少有1个球的号码是偶数的概率为多少 21、⼀个类似于细胞分裂的物体，⼀次分裂为⼆，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，⽽随机终⽌．设分裂n 次终⽌的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终⽌后所⽣成的⼦块数⽬，求(10)P X ≤.22．(本题满分12分)(2010·浙江杭州⾼⼆检测)甲、⼄等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位⾄少有⼀名志愿者．② ()1,2,3,4,5,P X k k k=== ④⑤(1)求甲、⼄两⼈同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、⼄两⼈不在同⼀个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的⼈数，求X 的分布列．⾼中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案⼀、选择题：1、D2、D3、C4、B5、D6、C7、D8、C9、B 10、C 11、B 12、B ⼆、填空题： 13、③④ 14、13579,1,,2,,3,,4,,52222215、 3,4,5 16、 2017、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 18、解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==．19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，⽽“⾄少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++?+??C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=??-?=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终⽌后所⽣成的数⽬X 的分布列为．∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22. [解析] (1)记甲、⼄两⼈同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、⼄两⼈同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、⼄两⼈同时参加同⼀岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、⼄两⼈不在同⼀岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两⼈同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为：。

离散型随机变量及其分布列测试题（理科）2012-4-25一、选择题（每小题5分，共40分）1、10件产品中有4件次品，从中任取2件，可为随机变量的是（ B ）A 取到产品的件数B 取到次品的件数C 取到正品的概率D 取到次品的概率 2、下列随机变量：（1）某人一生中的身高；（2）在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数；（3）某城市一天内的温度；（4）15秒内，通过某十字路口的汽车的数量；其中是离散型随机变量的是（ D ） Ａ．（1）（2） Ｂ．（1）（3） Ｃ．（2）（3） Ｄ．（2）（4）3.抛两枚骰子，所得点数之和为X ，那么X=5表示的随机试验结果是（ D ） A 一颗是1点，一颗是4点 B 一颗2点，颗3点C 两颗都是5点D 一颗1点，一颗是4点或一颗2点，一颗3点4、袋中有大小相同的6个球，分别标有1,2,3,4,5，6六个号码，现在在不放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（ B ） A.8 B. 9 C. 10 D.155、设随机变量ξ的分布列为)5,4,3,2,1(15)(===k k k P ξ，则)2521(<<ξP 等于（ D ） A.21 B.91 C. 61 D.516.在15个村庄中有7个交通不方便，现从中任意选出10个村庄，用ξ表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于10156847C C C 的是（ C ）A.)2(=ξPB.)2(≤ξPC.)4(=ξPD.)4(≤ξP 7.设随机变量ξ的概率分布如下表所示：)()(x P x f ≤=ξ,则当x 的范围是[)2,1时，)(x f 等于（ B ） A.31 B.65 C.21 D.618. 已知随机变量ξ的概率分布为：则==)10(ξP ( )A.932B.1032C. 931 D. 1031二、填空题（每小题5分，共20分）9、一个袋中装有10个黑球，3个白球，从中任取4个球，设取出白球的个数为X ，写出随机变量所有可能的取值 10、随机变量ε的分布列为则ε为奇数的概率为________________11设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率相同，则=>)8(ξP12、设随机变量ξ的概率分布列是6,5,4,3,2,1,2)(===k Ck P k ξ，其中C 为常数，则)2(≤ξP =三、解答题（每小题20分，共40分）13、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最小号码数X（1）写出随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(2)写出随机变量X 的分布列14、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数。

2.1离散型随机变量及其分布列(包括2.1.1离散型随机变量,2.1.2离散型随机变量的分布列)姓名:___________班级:______________________一、选择题1.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量ξ,则ξ所有可能取值的个数是( )A.5B.9C.10D.252.随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-,且1(2)4P X =-=,11(3),(5)212P X P X ====,则(0)P X =的值为( ) A.0 B.14 C.16 D.18 3.设ξ的分布列如下:则p 等于( ) A.0 B.13 C.16D.不确定 4.设随机变量X 的分布列为()15k P X k ==,1,2,3,4,5k =,则1522P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭等于() A.215 B.25 C.15 D.1155.设随机变量X 的概率分布如下表,则(|2|1)P X -==( )A.712B.12C.512D.166.则q 等于( )A.1B.C.17.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为)(X P ,则)4(=X P 的值为( ) A.2201 B.5527 C.22027 D.2521 8.一袋中装有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个,取出后记下颜色,若为红色停止,若为白色则继续抽取,停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量ξ,则=≤)6(ξP ( ) A.149 B. 5625 C. 5637 D. 2823二、填空题9.袋内有5个白球,6个红球,从中摸出两球,记X ＝01⎧⎨⎩，两球全红，，两球非全红，则X 的分布列为________.10.某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下:11.已知12x x <,0αβ≠,与随机变量ξ相关的三个概率的值分别是()11P x ξα≥=-、2()1P x ξβ≤=-和()1234P x x ξ<<=,则αβ的最大值为 .三、解答题12.某校高二年级某班的数学课外活动小组中有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,用X 表示其中的男生人数,求X 的分布列.13.在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖;某顾客从此10张券中任取2张,求:(1)该顾客中奖的概率;(2)该顾客获得的奖品总价值ξ(元)的概率分布列.14.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费,超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按 1小时计算).有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24;两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列.参考答案1.B【解析】号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9种.考点:离散型随机变量.2.C【解析】因为随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-,且1(2)4P X =-=, 11(3),(5)212P X P X ====,所以(0)P X =＝16,故选C 考点:随机变量的概率.3.C【解析】由已知及分布列的性质知:11123p ++=,16p ∴=,故选C. 考点:分布列的性质.4.C故选C. 考点:随机变量的概率公式及运用.5.C【解析】由所有概率和为1,所以 ()()115(|2|1)136412P X P X P X -===+==+=.故选C. 考点:随机变量的概率分布.6.C1－2.故选C. 考点:分布列的性质.7.C【解析】从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,当盒中旧球的个数为4X =时,相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个,所以取出的3个球中只有一个新球,即取出的3个球中有2个是旧球1个新球,所以21393123927(4)121110220321C C P X C ⨯====⨯⨯⨯⨯,故选C. 考点:离散型随机变量及其分布列.8.D【解析】k =ξ表示前k 个为白球,第1+k 个恰为红球.18135)(+⋅==k k A A A k P ξ(=k 0,1,2,…,5), ∴分布列为 ∴=≤)6(ξP 4623(0)(1)(2)5628P P P ξξξ=+=+===. 考点:离散型随机变量及其分布列.9.如下表:【解析】P(X ＝0)311,P(X ＝1)＝1－311＝811,故X 的分布列如下表.考点:离散型随机变量及其分布列.10.0.88【解析】根据射手射击所得的环数ξ的分布列,有P(ξ＝7)＝0.09,P(ξ＝8)＝0.28,P(ξ＝9)＝0.29,P(ξ＝10)＝0.22,所求的概率P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88. 考点:离散型随机变量及其概率.11.4964【解析】()()()12311114P x x ξαβαβ<<=----=+-=,∴74αβ+=,又,0αβ>,∴49264αβαβ+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭. 考点:离散型随机变量,概率及不等式性质.12.X 的分布列如下:【解析】X 的可能取值为0,1,2,3,4, ()0464410C C 10C 210P X ===,()1364410C C 41C 35P X ===,()2264410C C 32C 7P X ===,()3164410C C 83C 21P X ===,()4064410C C 14C 14P X ===. ∴X 的分布列为:考点:古典概率的计算,随机变量的分布列.13.(1)23(2)概率分布列见解析 【解析】即该顾客中奖的概率为23. (2)ξ的所有可能值为0,10,20,50,60,()26210C 10C 3P ξ===,()1136210C C 210C 5P ξ===,()23210C 120C 15P ξ===, ()1116210C C 250C 15P ξ===,()1131210C C 160C 15P ξ===, 故ξ的分布列为:ξ 010 20 50 60 P 13 25 115 215 115 考点:离散型随机变量的概率及分布列.14.(1)516(2)ξ的分布列见解析 【解析】(1)由题意得,甲,乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为11,44.记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件A ,则111()422P A =⨯+ 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为516. (2)ξ的可能取值为0,2,4,6,8,1111151111115(0),(2),(4)844221644242416P P P ξξξ====⨯+⨯===⨯+⨯+⨯=, 11113(6)442416P ξ==⨯+⨯=,111(8)4416P ξ==⨯=, 分布列如下表:02468P 18516516316116考点:离散型随机变量的分布列及概率.。

离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X 、Y 、ξ、η …表示．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．二、离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2， …x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2， … ，n)的概率P(X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了表达简单，1.i P ≥0，i ＝1,2，…，n ； 211n i i p ==∑.四、常见离散型随机变量的分布列p ＝P(X ＝1)为成功概率．2．超几何分布列一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k}发生的概率为(),0,1,2,k n k M N M n C C P X k k m C --=== .其中m ＝min{M ，n}，且n≤N ，M≤N ，n ，M ，N ∈N*.称分布列例1：设随机变量X A.1 B.1 C.23 D.12X ，那么X ＝4表示的随机试验结果是( )A ．2颗都是4点B ．1颗是1点，另一颗是3点C ．2颗都是2点D ．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解：X ＝4表示的随机试验结果是1颗1点，另1颗3点或者两颗都是2点．例3：若随机变量X 的分布列P (x ＝i )＝i 2a(i ＝1、2、3)，则P (x ＝2)＝ ( ) A.1 B.1 C.1 D.1 ＝0.3，那么n ＝________.2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布解：P (X ＝0)＝1C 25＝110，P (X ＝1)＝C 3C 2C 25＝35，P (X ＝2)＝C 3C 25＝310. 1．对随机变量的理解(1)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．(2)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．因此， 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．分布列正误的检验方法对于离散型随机变量的分布列，要注意利用它的两条性质检验所列分布列是否正确，如果求出的离散型随机变量的分布列不满足这两条性质，就说明计算过程中存在错误；反之，也不能说明所得分布列一定是正确的．但要掌握利用这两条性质判断计算过程是否存在错误的方法．例6：设X则q 等于 A ．1 B ．1±2 C ．1－2 D ．1＋2则k 的值为 A.12B ．1C ．2D ．3若P (ξ2<x )＝1112，则实数x 的取值范围是__________．i i ＝1,2…. 2．P 1＋P 2＋…＋P n ＝1.其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性，或者用来计算随机变量取某些值的概率. 例9：某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．求X 的分布列．解：X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4C 4(i ＝0,1,2,3,4)，即例10：1个红球每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；解：由题意知η可取3,2,1,0即当η＝3时，ξ＝0.η＝2时，ξ＝1.η＝1时，ξ＝2.η＝0时，ξ＝3.∴η的分布列为η 3 2 1 0P 542 1021 514 121例13：第:31组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎如图(单位：cm)： 若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以抽中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有1名‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710. (2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3P 1455 2855 1255 155胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D 、E 、F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知F 、E 、D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此p (ξ＝0)＝P (DEF )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (DE F )＋P (DEF )＋P (D EF )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得 P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此E (ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.。

高中数学离散型随机变量的分布列综合测试题（附答案）第二课时离散型随机变量的分布列2一、选择题1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是()A.1 0 1P 141214B.0 1 2P －143412C.0 1 2P 152535D.－1 0 1P 141412[答案] D[解析] 本题考查分布列的概念与性质．即的取值应互不相同且P(0，i＝1,2，…，n，i＝1nP(i)＝1.A中的取值出现了重复性；B中P(＝0)＝－140，C中i＝13P(i)＝15＋25＋35＝651.2．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为，则下列概率中等于C18C16＋C14C16C112C112的是()A．P(＝0) B．P(2)C．P(＝1) D．P(＝2)[答案] C[解析] 即取出白球个数为1的概率．3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1、2、…，则P(2＜X4)＝()A.316B.14C.116D.516[答案] A[解析] P(2＜X4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.4．随机变量的概率分布列为P(＝k)＝ck(k＋1)，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P12＜＜52则值为()A.23B.34C.45D.56[答案] D[解析] c12＋c23＋c34＋c45＝c1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45c＝1.c＝54.P12＜＜52＝P(＝1)＋P(＝2)＝54112＋123＝56.5．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分；④表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④[答案] B[解析] 依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．6．(2019东营)已知随机变量的分布列为P(＝i)＝i2a(i＝1,2,3)，则P(＝2)＝()A.19B.16C.13D.14[答案] C[解析] 由离散型随机变量分布列的性质知12a＋22a＋32a ＝1，62a＝1，即a＝3，P(＝2)＝1a＝13.7．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是()A.1120B.724C.710D.37[答案] B[解析] P＝C37C03C310＝724.8．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，这些数能被2整除的概率是()A.15B.14C.25D.35[答案] C[解析] P＝2A44A55＝25.二、填空题9．从装有3个红球、3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为：0 1 2P[答案] 15 35 1510．随机变量的分布列为：0 1 2 3 4 5P 192157458451529则为奇数的概率为________．[答案] 81511．(2019常州)从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是______．[答案] 5612．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量，则P(＞1)＝________.[答案] 12[解析] 依题意，P(＝1)＝2P(＝2)，P(＝3)＝12P(＝2)，P(＝3)＝P(＝4)，由分布列性质得1＝P(＝1)＋P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4)4P(＝2)＝1，P(＝2)＝14.P(＝3)＝18.P(＞1)＝P(＝2)＋P(＝3)＋P(＝4)＝12.三、解答题13．箱中装有50个苹果，其中有40个合格品，10个是次品，从箱子中任意抽取10个苹果，其中的次品数为随机变量，求的分布列．[解析] 可能取的值为0、1、2、...、10.由题意知P(＝m) ＝Cm10C10－m40C1050(m＝0、1、2、...、10)，的分布列为0 1 ... k (10)P C010C1040C1050C110C940C1050… Ck10C10－k40C1050… C1010C040C105014.设随机变量X的分布列PX＝k5＝ak，(k＝1、2、3、4、5)．(1)求常数a的值；(2)求P(X)35；(3)求P110＜X＜710.[分析] 分布列有两条重要的性质：Pi0，i＝1、2、…；P1＋P2＋…＋Pn＝1利用这两条性质可求a的值．(2)(3)由于X的可能取值为15、25、35、45、1.所以满足X35或110710的X值，只能是在15、25、35、45、1中选取，且它们之间在一次试验中相互独立，只要求得满足条件的各概率之和即可．[解析] (1)由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，得a＝115. (2)因为分布列为PX＝k5＝115k (k＝1、2、3、4、5)解法一：PX35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝315＋415＋515＝45；解法二：PX35＝1－PX＝15＋PX＝25＝1－115＋215＝45.(3)因为110＜X＜710，只有X＝15、25、35时满足，故P110＜X＜710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋215＋315＝25.15．(2009福建)盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；(2)随机变量的概率分布．[解析] (1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.(2)由题意可能的取值为2,3,4,5，P(＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130，P(＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215，P(＝4)＝C26C12＋C16C22C310＝310，P(＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815.所以随机变量的概率分布为：2 3 4 5P 13021531081516.(2019福建理，16)设S是不等式x2－x－60的解集，整数m，nS.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设＝m2，求的分布列．[解析] 本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换．(1)由x2－x－60得－23，即S＝{x|－23}．由于m，nZ，m，nS且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以＝m2的所有不同取值为0,1,4,9.且有P(＝0)＝16，P(＝1)＝26＝13，P(＝4)＝26＝13，P(＝9)＝16.故的分布列为：0 1 4 9P 161313。

离散型随机变量及其分布列训练题2一．选择题（共15小题） 1．设随机变量ξ的分布列由，则a 的值为（ ）A ．1B ．C ．D ．2．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P （X ＜4）=0.3，那么（ ） A ．n=3 B ．n=4 C ．n=10 D ．n=93．下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是（ ） A ． B ．C ．D ．4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值（ ）A ．0，1B ．1，2C ．0，1，2D ．0，1，2，35．设离散型随机变量X 的概率分布如表：则随机变量X 的数学期望为（ ）A ．B ．C ．D ． 6．设随机变量X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 Pmζ ﹣1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 ζ 1 2 3 P0.40.7﹣0.1ζ ﹣1 01P 0.3 0.4 0.3ζ 1 2 3P0.3 0.4 0.4X 0 1 2 3 P ip则P（|X﹣3|=1）=（）A．B． C．D．7．设随机变量X的概率分布如右下，则P（X≥0）=（）X ﹣1 0 1P pA．B．C．D．8．随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，3，其中c为常数，则P（ξ≥2）等于（）A．B．C．D．9．两名学生参加考试，随机变量x代表通过的学生数，其分布列为x 0 1 2p那么这两人通过考试的概率最小值为（）A． B．C．D．10．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P（X），则P（X=4）的值为（）A．B． C．D．11．6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是（）A．取到产品的件数 B．取到正品的件数C．取到正品的概率D．取到次品的概率12．已知随机变量ξ～B（9，）则使P（ξ=k）取得最大值的k值为（）A．2 B．3 C．4 D．513．设随机变量的ξ的分布列为P（ξ=k）=（k=1，2，3，4，5，6），则P（1.5＜ξ＜3.5）=（）A．B． C． D．14．已知随机变量X的分布列为：P（X=k）=，k=1，2，…，则P（2＜X≤4）等于（）A． B．C． D．15．袋中共放有6个仅颜色不同的小球，其中3个红球，3个白球，每次随机任取1个球，共取2次，则下列不可作为随机变量的是（）A．取到红球的次数 B．取到白球的次数C．2次取到的红球总数D．取球的总次数二．填空题（共5小题）16．设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布列如下：ξ﹣1 0 1P 0.5 q2则q= ．17．设随机变量X的分布列为P（X=i）=，i=1，2，3，则P（X=2）= ．18．随机变量X的分布列为X x1x2x3P p1p2p3若p1，p2，p3成等差数列，则公差d的取值范围是．19．设随机变量X的概率分布为P（X=2k）=ak（a为常数，k=1，2，3，4，5），则P（X＞6）= ．20．（2014•嘉定区校级模拟）己知A、B两盒中都有红球、白球，且球的形状、大小都相同，盒子A中有m个红球与10﹣m个白球，盒子B中有10﹣m个红球与m个白球（0＜m＜10）．分别从A、B中各取一个球，ξ表示红球的个数，表中表示的是随机变量ξ的分布列则当m为时，D（ξ）取到最小值．ξ0 1 2P ？三．解答题（共8小题）21．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．22．某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40，50）、[50，60）、…、[90，100]后得到如图部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）记0分，在[60，80）记1分，在[80，100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．23．2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施（简称“国五条”）．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．24．在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：现从第一小组、第二小组中各任选2人分月收入（百元） 赞成人数 [15，25） 8 [25，35） 7 [35，45） 10[45，55） 6 [55，65） 2 [65，75） 1科目甲 科目乙 总计 第一小组 1 5 6 第二小组 24 6 总计3912析选课情况．（1）求选出的4 人均选科目乙的概率；（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．25．某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；（2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．26．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．一．选择题（共15小题）1．D；2．C；3．C；4．C；5．C；6．B；7．C；8．C；9．B；10．C；11．B；12．A；13．A；14．A；15．D；二．填空题（共5小题）16．；17．；18．[-，]；19．；20．1或9；三．解答题（共8小题）21.解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×=4人，“乙部门”人选有10×=4人，用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．因此，X的分布列如下：所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．22.解：（1）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示（2）平均分为=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71（3）学生成绩在[40，60）的有0.25×60=15人，在[60，80）的有0.45×60=27人，在[80，100）的有0.3×60=18人，ξ的可能取值是0，1，2，3，4则，，，，所以ξ的分布列为：∴23.解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为（20×0.015+30×0.015+40×0.025+0.02×50+60×0.015+70×0.01）×10=43.5（百元）（Ⅱ）根据频率分布直方图可知[15，25）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的只有1人；[25，35）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的有2人．则X 的所有取值可能为0，1，2， 3.，，P （X=2）=+，．∴随机变量X 的分布列为 ∴E （X ）==1．24.解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B ，由于事件A 、B 相互独立，且P （A ）=，P （B ）=，所以选出的4人均选科目乙的概率为： P （A •B ）=P （A ）•P （B ）=；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，则P （ξ=0）=，P （ξ=1）=+=，P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P （ξ=3）=，ξ的分布列为：所以ξ的数学期望为：0×+1×+2×+3×=1． 25.解：（1）．（2）ξ可取0，1，2，3，4，P （ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=； P （ξ=1）=（）（1﹣）（）2+（1﹣）2=；P （ξ=2）=++=；P （ξ=3）==；P （ξ=4）==．X12 3 P （X ）∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 4 PE ξ=0×+1×+2×+3×+4×=．26.（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+++=16个，则A 事件包含基本事件的个数为=6个，则 P （A ）==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为，（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20．，，，，．所以，随机变量X 的分布列为：X 0 5 10 15 20 P。

离离离离离离离离离离离离一、单选题1. 随机变量X的分布列如下表所示：则P(X≤2)=( )A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.42. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X=0)=3−4P(X=1)=a，则a=( )A. 23B. 12C. 13D. 14二、解答题3. 一机床生产了100个汽车零件，其中有40个一等品、50个合格品、10个次品，从中随机地抽出4个零件作为样本．用X表示样本中一等品的个数．(1)若有放回地抽取，求X的分布列；(2)若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例．①求误差不超过0.2的X的值；②求误差不超过0.2的概率(结果不用计算，用式子表示即可)．4. 第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有2的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前3三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p n，易知p1=1，p2=0．}为等比数列；①试证明：{p n−13②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q n，比较p10与q10的大小．5. 五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率;(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n元的奖金;若中两次奖，则获得数额为3n元的奖金;若中三次奖，则共获得数额为6n元的奖金.假设顾客每次抽奖中奖，请问：商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利⋅的概率都是146. 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张.(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．答案和解析1.解：由分布列的性质可得，0.1+m+0.3+2m=1，可得m=0.2，所以P(X ≤2)=P(X =1)+P(X =2)=0.1+0.2=0.3．故选：C ．2.解：因为X 的分布列服从两点分布，所以，因为所以，，故选C ．3.解：(1)依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为p =13×13=19，门将在前三次扑到点球的个数X 可能的取值为0，1，2，3，易知X∽B(3,19)，所以P(X =k)=C 3k×(19)k ×(89)3−k ，k =0，1，2，3，故X 的分布列为： X 0123P512729 6424382431729所以X 的期望E(X)=3×19=13．(2) ①第n 次传球之前球在甲脚下的概率为p n ，则当n ≥2时，第n −1次传球之前球在甲脚下的概率为p n−1， 第n −1次传球之前球不在甲脚下的概率为1−p n−1， 则p n =p n−1×0+(1−p n−1)×12=−12p n−1+12， 即p n −13=−12(p n−1−13)，又p 1−13=23， 所以{p n −13}是以23为首项，公比为−12的等比数列． ②由 ①可知p n =23(−12)n−1+13，所以p 10=23(−12)9+13<13， 所以q 10=12(1−p 10)=12[23−23(−12)9]>13，故p 10<q 10．4.解：(1)解：设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，一共有C 93种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有C 63种，所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为P(A)=1−C 63C 93=1−521=1621;(2)解：设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能取值为0，n ，3n ，6n;(单元：元)ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P(ξ=0)=C 30(14)0(1−14)3=2764， 同理P(ξ=n)=C 31(141(1−14)2=2764,P(ξ=3n)=C 32(14)2(1−14)=964,P(ξ=6n)=C 33(14)3(1−14)0=164;顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E(ξ)=0×2764+n ×2764+3n ×964+6n ×164=15n16， 由15n16≤60，解得n ≤64，所以n 最高定为64元，才能使促销方案对商场有利．5.解：(1)P =1−C 62C 102=1−1545=23，即该顾客中奖的概率为23．(2)X 的所有可能值为：0，10，20，50，60． 且P(X =0)=C 62C 102=13，P(X =10)=C 31C 61C 102=25， P(X =20)=C 32C 102=115，P(X =50)=C 11C 61C 102=215，P(X =60)=C 11C 31C 102=115． 故X 的概率分布列为：6.解：(1)一机床生产了100个汽车零件，其中有40个一等品、50个合格品、10个次品，从中随机地抽出4个零件作为样本．用X 表示样本中一等品的个数．若有放回地抽取，X ～B(4,25)，∴P(X =0)=C 40(35)4=81625， P(X =1)=C 41(25)(35)3=216625，P(X =2)=C 42(25)2(35)2=216625， P(X =3)=C 43(25)3(35)=96625，P(X =4)=C 44(25)4=16625，∴X 的分布列为：(2)对于不放回抽取，各次试验结果不独立，X 服从超几何分布，样本中一等品的比例为X4，而总体中一等品的比例为40100=0.4，①|X4−0.4|≤0.2，解得0.8≤X≤2.4，所以X=1或X=2，②P(|X4−0.4|≤0.2)=P(X=1)+P(X=2)=C401C603+C402C602C1004．。

7.2 离散型随机变量及其分布列（同步练习）一、选择题1.(多选)已知下列随机变量，其中X是离散型随机变量的是()A.10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数XB.6张奖券中只有2张有奖，从这6张奖券中随机的抽取3张，用X表示抽到有奖的奖券张数C.某运动员在一次110米跨栏比赛中的成绩XD.在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X2.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如表，则q＝()A.112 B.712 C.12 D.133.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()A.0B.12 C.13 D.234.袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是()A.取到的球的个数B.取到红球的个数C.至少取到1个红球D.至少取到1个红球的概率5.若用随机变量X表示从一个装有1个白球、3个黑球、2个黄球的袋中取出的4个球中不是黑球的个数，则X的取值不可能为()A.0B.1C.2D.36.袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机摸取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若摸球的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是()A.ξ＝4B.ξ＝5C.ξ＝6D.ξ≤57.若随机变量X的分布列为则当P(X<a)＝0.8A.(－∞，2]B.[1,2]C.(1,2]D.(1,2)8.设随机变量X的分布如下表，则P(|X－3|＝1)＝()A.712 B.512 C.14 D.16二、填空题9.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________10.设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝________11.连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X 是一个随机变量，则X ＝4表示的试验结果是____________12.已知随机变量ξ的分布列为设η＝ξ2－2ξ，则P(η＝三、解答题13.如表所示，记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在表中以X 表示．如果X ＝9，分别从甲、Y 的分布列．14.设随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝ia (i ＝1，2，3，4)，求：(1)P(X ＝1或X ＝2)；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X<72．15.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X．(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X．参考答案及解析：一、选择题1.ABD解析：C中X的值可在某一区间内取值，不能一一列出，故不是离散型随机变量．2.B解析：根据题意可得14＋2q－1＋q＝1，解得q＝712，故选B．3.C解析：设失败率为p，则成功率为2p，ξ的分布列为即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝13，所以P(ξ＝0)＝13．故选C．4.B解析：A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求．5.A 解析：由于白球和黄球的个数和为3，所以4个球不是黑球的个数分别可能是1,2,3，X不可能取0.6.C 解析：“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.故选C.7.C 解析：由随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．8.B 解析：因为|X－3|＝1，所以X＝2或X＝4，所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝1－1 3－14＝512.二、填空题9.答案：300，100，－100，－300解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．10.答案：23解析：依题意有P(ξ>8)＝112×8＝23．11.答案：前3次未击中目标，第4次击中目标解析：由于随机变量X表示首次击中目标需要的射击次数，所以当X＝k时，表示前k－1次均未击中目标，第k次击中目标，故X＝4表示的试验结果为前3次未击中目标，第4次击中目标．12.答案：13解析：由题意，可知P(η＝3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝3)＝14＋112＝13.三、解答题13.解：当X＝9时，由题表可知，甲组同学的植树棵数分别是9，9，11，11；乙组同学的植树棵数分别是9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵树Y 的可能取值为17，18，19，20，21．事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y ＝17)＝216＝18．同理可得P(Y ＝18)＝14；P(Y ＝19)＝14；P(Y ＝20)＝14；P(Y ＝21)＝18．所以随机变量Y 的分布列为14.解：(1)∵1a ＋2a ＋3a ＋4a ＝1，∴a ＝10，则P(X ＝1或X ＝2)＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝110＋210＝310． (2)由a ＝10，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X<72＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝110＋210＋310＝35．15.解：(1)X 可取0，1，2，3．X ＝0表示取5个球全是红球； X ＝1表示取1个白球，4个红球；X ＝2表示取2个白球，3个红球； X ＝3表示取3个白球，2个红球．(2)X 可取3，4，5．X ＝3表示取出的球编号为1，2，3； X ＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4．X ＝5表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5．。

数学选修2-3离散型随机变量及其分布列练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 已知离散型随机变量X的分布列如右表，则常数q的值为（）A.−1B.1C.13D.122. (1)某机场候机室中一天的游客数量为ξ；(2)某寻呼台一天内收到的寻呼次数为ξ；(3)某水文站观察到一天中长江水位为ξ；(4)某立交桥一天经过的车辆数为ξ，则（）不是离散型随机变量．A.(1)中的ξB.(2)中的ξC.(3)中的ξD.(4)中的ξ3.设随机变量X的概率分布列如下：则P(X<4)=( )A.0.15B.0.3C.0.65D.0.54. 已知随机变量X的分布列如图，则p的值为（）A.1 4B.12C.34D.15. 随机变量X的分布列如下，则m等于（）A.1 3B.12C.16D.146. 设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=m(23)k，k=1，2，3，则m的值是（）A.17 36B.2738C.1719D.27197. 随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=ck(1+k)，k=1，2，3，其中c为常数，则P(ξ≥2)等于（）A.89B.23C.13D.298. 一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件X的分布列为．A.B.C.9. 已知随机变量X的概率分布列如表所示：且X的数学期望EX=6，则（）A.a=0.3，b=0.2B.a=0.2，b=0.3C.a=0.4，b=0.1D.a=0.1，b=0.410. 已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(x)=()A.3 2B.2C.52D.311. 设随机变量X的概率分布列为则P(|X−3|=1)=()A.7 12B.512C.14D.1612. 备注：试题题型错误。

A.PB.13C.aD.b若E(X)=1，则E(aX+b)=13. 已知离散型随机变量X的分布列为14. 已知随机变量ξ的分布列为：则m=________．15.设离散型随机变量X的概率分布如下：则a的值为________．16. 已知随机变量X的分布列为：．17. 某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表：（1）试估计该市小微企业资金缺额的平均值；（2）某银行为更好的支持小微企业健康发展，从其第一批注资的A行业4家小微企业和B行业的3家小微企业中随机选取4家小微企业，进行跟踪调研．设选取的4家小微企业中是B行业的小微企业的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列．18. 某射手每次射击击中目标的概率是2，且各次射击的结果互不影响．3假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．19. 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）(1)求在1次游戏中：①摸出3个白球的概率;②获奖的概率;(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列．20. 某市9月份空气质量为：9天良、12天轻度污染、6天中度污染、3天重度污染．若9月份的重度污染都发生在一个星期内，且这个星期只有一天是轻度污染，其余三天空气质量好坏是随机的，求评级为良的天数X的分布列．21. 将4封不同的信随机地投入到3个信箱里，记有信的信箱个数为ξ，试求ξ的分布列．22. 某校对数学、物理两科进行学业水平考前辅导，辅导后进行测试，按照成绩（满分均为100分）划分为合格（成绩大于或等于70分）和不合格（成绩小于70分）．现随机抽取两科各100名学生的成绩统计如下：（1）试分别估计该校学生数学、物理合格的概率；（2）设数学合格一人可以赢得4小时机器人操作时间，不合格一人则减少1小时机器人操作时间；物理合格一人可以赢得5小时机器人操作时间，不合格一人则减少2小时机器人操作时间．在（1）的前提下，(I)记X为数学一人和物理一人共同赢得的机器人操作时间（单位：小时）总和，求随机变量X的分布列和数学期望；(II)随机抽取4名学生，求这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率．参考答案与试题解析数学选修2-3离散型随机变量及其分布列练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用概率的基本性质即可得出．【解答】解：由概率的规范性可得：12+q2+q2=1，化为2q2+q−1=0，又q≥0，解得q=12．故选D．2.【答案】C【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，分析题干的四个变量可得，(1)(2)(4)中的ξ，都可以一一列举，是离散型随机变量；(3)中的ξ，水文站观察到一天中长江水位即ξ的值是连续的，无法按一定次序一一列出，不符合定义，不是离散型随机变量；即可得答案．【解答】解：根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出；分析题干的四个变量可得(1)中的ξ，符合定义，是离散型随机变量；(2)中的ξ，符合定义，是离散型随机变量；(3)中的ξ，水文站观察到一天中长江水位即ξ的值是连续的，无法按一定次序一一列出，不符合定义，不是离散型随机变量；(4)中的ξ，符合定义，是离散型随机变量；故选C．3.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知：P(X<4)=0.3+0.2=0.5.4.【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用概率的性质，建立方程，即可求得p的值．【解答】解：由题意，14+p+14=1∴p=12故选B．5.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】由概率和为1，求解得m=14．6.【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】先根据所给的随机变量ξ的分布列，写出各个变量对应的概率，然后根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于m的方程，解方程求得m 的值．【解答】解：∵随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=m(23)k，k=1，2，3∴P(ξ=1)=2m3，P(ξ=2)=4m9，P(ξ=3)=8m27，∵2m3+4m9+8m27=1，∴m=2738，故选B．7.【答案】C离散型随机变量及其分布列 【解析】先根据分布列中所有的概率和为1求出参数c ，再判断出满足 条件的ξ≥2的值，代入分布列求出值． 【解答】解：根据分布列中所有的概率和为1，得c1×2+c2×3+c3×4=1， 解得c =43∴ P(ξ=k)=431k(1+k)∴ P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=43(12×3+13×4)=13故选C ． 8.【答案】 A【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】先计算P(x =0)，即从7个球中任意摸出两个球，取到两个白球的概率，利用古典概型概率的计算方法，先求总的基本事件数，再求所研究事件包含的基本事件数，即可得其概率，最后利用排除法即可得正确选项 【解答】解：从7个球中任意摸出两个球，共有c 72=21种取法摸出的俩个球都是白球，共有c 32=3种取法 故P(x =0)=321=17故选A 9. 【答案】 A【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】利用概率的和为1，以及期望求出a 、b ，即可． 【解答】解：由表格可知：0.4+a +b +0.1=1， 又EX =6，可得：2+6a +7b +0.8=6， 解得b =0.2，a =0.3， 故选：A ． 10.【答案】 A【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】在离散型随机变量X的分布列中，随机变量各个取值的概率和等于1，本题可利用该性质求a，再利用期望计算公式求期望．【解答】解：因为a=1−35−110=310，所以E(x)=1×35+2×310+3×110=32，故选：A．11.【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用概率分布的定义得出：13+m+14+16=1，求出m，得出分布列，判断P(|X−3|=1)=P(4)+P(2)，求解即可．【解答】解：根据概率分布的定义得出：13+m+14+16=1．得m=14，随机变量X的概率分布列为∴P(|X−3|=1)=P(4)+P(2)=512故选：B．12.【答案】A【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】本题考查期望的算法和超几何分布等．【解答】解：由题可得：E(x)=a+2b=1a+b=2 3∴ a=13b=13E(ax+b)=aE(x)+b=13×1+13=23故答案为23．故选A．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 3 分，共计12分）13.【答案】1−√2 2【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】由分布列的性质可得0.5+1−2q+q2=1，解得q的值．【解答】解：由分布列的性质可得0.5+1−2q+q2=1，解得q=1+√22（舍去），或q=1−√22.故答案为：1−√22．14.【答案】13【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】欲求出m值，只要利用分布列的性质：概率之和为1，列式14+13+m+112=1，即可求得．【解答】解：由分布列性质得：1 4+13+m+112=1，∴m=13．故答案为：13．15.【答案】13【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用离散型随机变量的分布列的性质求解．【解答】解：由离散型随机变量ξ的分布列，知：1 6+13+16+a=1，解得a=13．故答案为：13．16.【答案】512【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】根据随机变量取各个值的概率之和等于1，求得m的值，再根据本题即求X=3和X=4的概率之和，利用X的分布列求得X=3和X=4的概率之和．【解答】解：根据概率分布列的性质可得13+m+14+16=1，解得m=14．故有P(|X−3|=1)=P(X=2，或X=4)=14+16=512，故答案为512．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分）17.【答案】（1）解：由统计表得：该市小微企业资金缺额的平均值x¯=10×0.05+30×0.1+50×0.35+70×0.3+90×0.2=60（万元）．−−−−−4分（2）由题设ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C44C74=135，P(ξ=1)=C43C31C74=1235，P(ξ=2)=C42C32C74=1835，P(ξ=3)=C41C33C74=435，所以ξ的分布列为−−−−−−13分．【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】（1）利用统计表中的数据，结合平均数计算公式能求了该市小微企业资金缺额的平均值．（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P(ξ=0)，P(ξ=1)，P(ξ=2)，P(ξ=3)，由此能求出ξ的分布列．【解答】（1）解：由统计表得：该市小微企业资金缺额的平均值x ¯=10×0.05+30×0.1+50×0.35+70×0.3+90×0.2=60（万元）．−−−−−4分（2）由题设ξ的所有可能取值为0，1，2，3， P(ξ=0)=C 44C 74=135，P(ξ=1)=C 43C 31C 74=1235，P(ξ=2)=C 42C 32C 74=1835， P(ξ=3)=C 41C 33C 74=435，所以ξ的分布列为−−−−−−13分．18. 【答案】解 设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ∼B (5,23)．在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P (X =2)=C 52×(23)2×(1−23)3=40243． 设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i =1,2,3)． 由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6. P (ξ=0)=P (A 1¯A 2¯A 3¯)=(13)3=127；P(ξ=1)=P(A 1A 2¯A 3¯)+P(A 1¯A 2A 3¯)+P(A 1¯A 2¯A 3)=23×(13)2+13×23×13+(13)2×23=29；P (ξ=2)=P (A 1A 2¯A 3)=23×13×23=427；P(ξ=3)=P(A 1A 2A 3¯)+P(A 1¯A 2A 3)=(23)2×13+13×(23)2=827； P (ξ=6)=P (A 1A 2A 3)=(23)3=827． 所以ξ的分布列是注意：解本题第（2）问易因不明独立事件与独立重复试验的区别，误认为是n 次独立重复试验，可导致求得P =C 53(23)3×(13)2=80243这一错误结果．【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 略 19.【答案】解：(1)①设“在1次游戏中摸到i 个白球”为事件A i (i =0, 1, 2, 3)， 则P(A 3)=C 32⋅C 21C 52⋅C 32=15；②设“在一次游戏中获奖”为事件B ，则B =A 2∪A 3，又P(A 2)=C 32C 52⋅C 22C 32+C 31⋅C 21C 52⋅C 21C 32=12，且A 2、A 3互斥，所以P(B)=P(A 2)+P(A 3)=12+15=710. (2)由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2． P(X =0)=(1−710)2=9100，P(X =1)=C 21710(1−710)=2150， P(X =2)=(710)2=49100，所以X 的分布列是:离散型随机变量及其分布列 【解析】（2）确定在3次游戏中获奖次数X 的取值是0、1、2、3，求出相应的概率，即可写出分布列． 【解答】解：(1)①设“在1次游戏中摸到i 个白球”为事件A i (i =0, 1, 2, 3)，则P(A 3)=C 32⋅C 21C 52⋅C 32=15；②设“在一次游戏中获奖”为事件B ，则B =A 2∪A 3， 又P(A 2)=C 32C 52⋅C 22C 32+C 31⋅C 21C 52⋅C 21C 32=12，且A 2、A 3互斥，所以P(B)=P(A 2)+P(A 3)=12+15=710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2．P(X =0)=(1−710)2=9100，P(X =1)=C 21710(1−710)=2150，P(X =2)=(710)2=49100，所以X 的分布列是:【答案】解：把30天的天气看成是30个可能事件，由题意已经去掉了15个可能事件（3天重度可能，12天轻度污染可能）所以要解决原题，即从剩下的15种天气可能中（包含9个“良”的可能以及其余6个“非良”的可能）随机取出3个，求为“良”的个数X 的分布列问题． 易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3， 则P(X =0)=C 63C 153=491；P(X =1)=C 62C 91C 153=2791； P(X =2)=C 61C 92C 153=216455；P(x =3)=C 93C 153=84455．故X 的分布列为：．【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】虽然是一共有30个各种天气可能结果，但由题意已经先把3种重度污染结果去掉，再去掉12种轻度污染结果，然后从剩下的15种天气结果随机选出三种，求选到的为“良”的可能数X 的分布列的问题，此时就剩15种天气结果，由研究的问题可以看成两种情况：9个“良”的可能，6个“非良”的可能，则借助于组合数公式，容易算出当良的个数分别为0，1，2，3时的概率，则分布列迎刃而解． 【解答】解：把30天的天气看成是30个可能事件，由题意已经去掉了15个可能事件（3天重度可能，12天轻度污染可能）所以要解决原题，即从剩下的15种天气可能中（包含9个“良”的可能以及其余6个“非良”的可能）随机取出3个，求为“良”的个数X 的分布列问题． 易知X 的所有可能取值为：0，1，2，3， 则P(X =0)=C 63C 153=491；P(X =1)=C 62C 91C 153=2791； P(X =2)=C 61C 92C 153=216455；P(x =3)=C 93C 153=84455．故X 的分布列为：．21.【答案】解：由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3， P(ξ=1)=C 3134=127， P(ξ=2)=C 32(2C 41+C 42)34=1427，P(ξ=3)=C 42A 3334=1227，∴ ξ的分布列是【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】根据题意得到变量的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件根据等可能事件的概率公式写出变量对应的概率，写出分布列． 【解答】解：由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，P(ξ=1)=C 3134=127， P(ξ=2)=C 32(2C 41+C 42)34=1427，P(ξ=3)=C 42A 3334=1227，∴ ξ的分布列是22. 【答案】解：（1）数学合格率p 1=40+32+8100=45， (1)物理合格率p 2=40+29+6100=34． (2)(2)(I)随机事件X 的取值为9，4，2，−3， P(X =9)=45×34=35，….3 P(X =4)=(1−45)×34=320，…4 P(X =2)=45×(1−34)=15，…5 P(X =−3)=(1−45)×(1−34)=120， (6)X 的分布列：EX =9×35+4×320+2×15+(−3)×120=254． (8)(II)设这4名学生物理辅导后测试合格人数为n(n =0, 1, 2, 3, 4)，则由题意得：5n −2(4−n)≥13，解得n ≥3，故n =3或n =4， (10)∴ 这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率：p =C 43(34)3(1−34)+C 44(34)4=189256． (12)【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）由等可能事件概率计算公式能求出数学合格率和物理合格率．(2)(I)随机事件X 的取值为9，4，2，−3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和EX ．(II)设这4名学生物理辅导后测试合格人数为n(n =0, 1, 2, 3, 4)，则由题意得：5n −2(4−n)≥13，由此能求出这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率． 【解答】解：（1）数学合格率p 1=40+32+8100=45， (1)物理合格率p 2=40+29+6100=34． (2)(2)(I)随机事件X 的取值为9，4，2，−3， P(X =9)=45×34=35， (3)P(X =4)=(1−45)×34=320，…4 P(X =2)=45×(1−34)=15， (5)P(X =−3)=(1−45)×(1−34)=120，…6 X 的分布列：EX =9×35+4×320+2×15+(−3)×120=254． (8)(II)设这4名学生物理辅导后测试合格人数为n(n =0, 1, 2, 3, 4)，则由题意得：5n −2(4−n)≥13，解得n ≥3，故n =3或n =4， (10)∴ 这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率：p =C 43(34)3(1−34)+C 44(34)4=189256． (12)。