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算法导论-sch3 Branch and Bound

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干货 ｜ 10分钟教你用branch and bound(分支定界)算法求解TSP旅行商问题

干货 ｜ 10分钟教你用branch and bound(分支定界)算法求解TSP旅行商问题

4. 如果没有到达最底层，则对该支进行定界操作。如果该支的bound也比当前最优解还要大，那么也要砍掉的，就像林志炫的单身情歌里面唱的一样：每一个单身狗都得砍头。
然后讲讲定界过程，TSP问题是如何定界的呢？
我们知道，每个节点保存的城市序列可能不是完整的解。bound的计算方式：bound=当前节点path序列的路径距离 + 访问下一个城市的最短路径距离 + 从下一个城市到下下城市（有可能是起点）的最短路径距离。
- level：记录节点处于搜索树的第几层。
- computeLength：记录当前城市序列的distance。
可能大家还没理解节点是如何分支的，看一张图大家就懂了。我们知道TSP问题的一个solution是能用一个序列表示城市的先后访问顺序，比如现在有4座城市（1，2，3，4）：
比如城市节点5个｛1，2，3，4，5｝。当前path=｛1，2｝，那么：
- 当前节点path序列的路径距离=d12
- 访问下一个城市的最短路径距离= min (d2i), i in {3,4,5}
- 从下一个城市到下下城市（有可能是起点）的最短路径距离=min (dij), i in {3,4,5} , j in {3,4,5,1}, i !=j 。
注意这两个是可以不相等的。
运行说明
03
目前分支定界算法解不了大规模的TSP问题，10个节点以内吧差不多。input里面有算例，可以更改里面的DIMENSION值告诉算法需要读入几个节点。
更改算例在main函数下面，改名字就行，记得加上后缀。
感兴趣的同学可以该一下heap大小跑一跑，不过按照上述的分支思路，很容易爆掉的。小编出差在外没有好的电脑就不跑了。

13分支限界

13分支限界
5
分支限界是有系统的搜索一个解空间的另一个方法。 首先在扩展节点的扩展方法上，它不同于回溯 。
每个活节点变成扩展节点只有一次。当一个节点变 成扩展节点时，我们展开从它可到达的所有节点。 其中那些不能得到可行解的节点去掉（成为死节 点）,把剩下来的节点加到活节点的表中，然后，从 这个表中选一个节点作为下一个扩展节点。
15 return cw
27
AddLiveNode(Q, E, wt, ch, lev) 1 b.parent ← E 2 b.LChild ← ch 3 N.weight ← wt 4 N.level ← lev 5 N.ptr ← b 6 Insert(Q, N)
28
n=3,w=[8,6,2], W=12
7 AddLiveNode(Q, E, cw+r[i], 0, i+1)
8 N←ExtractMax(Q)
9 i ←N.level
10 E ←N.ptr
11 cw ←N.weight-r[i-1]
12 for j ← n downto 1 do
13 bestx[j] ←E.Lchild
14 E ←E.parent
节点i进行剪枝.
L 12
子集树(Subtree)
13
排列树(Permutation tree)
14
2. 装载问题(Container Loading problem)
问题描述
有n个集装箱要装上船，集装箱i的重量为wi。船的最大负载 为W。
装载问题是在保证不沉船的条件下,在船上装尽可能多的集 装箱。
14 cw←E.weight
15 for j←n-1 downto 1 do
16 bestx[j]←bestE.Lchild

算法导论知识点总结

算法导论知识点总结

算法导论知识点总结算法是计算机科学领域的重要概念，它是解决问题的一种有效方式。

在计算机科学中，算法的设计和分析是非常重要的，它涉及到了计算机程序的性能、效率和可靠性。

算法导论是计算机科学和工程领域的一门重要课程，它涵盖了算法的基本概念、设计原则和分析方法。

本文将对算法导论的一些重要知识点进行总结。

一、算法导论的基本概念1. 算法的定义和特点算法是解决问题的一种方法或步骤，它由一系列的操作和指令组成，可以在有限时间内解决问题。

算法的特点包括：输入、输出、有限性、确定性和有效性。

2. 算法的时间复杂度和空间复杂度算法的时间复杂度是一个算法运行所需要的时间成本，通常用大O符号来表示；算法的空间复杂度是一个算法所需要的内存空间大小。

3. 算法设计的基本方法算法的设计方法包括：贪心法、分治法、动态规划、回溯法、分支限界法等。

4. 算法的分析方法算法的分析包括：最坏情况分析、平均情况分析、最好情况分析等。

二、算法导论的主要内容1. 基本数据结构基本数据结构是算法导论中非常重要的内容，包括：数组、链表、栈、队列、树、图等。

2. 排序和查找算法排序算法包括：冒泡排序、选择排序、插入排序、希尔排序、快速排序、归并排序、堆排序等。

查找算法包括：顺序查找、二分查找、哈希查找、树查找等。

3. 字符串匹配算法字符串匹配算法包括：朴素匹配算法、KMP算法、Boyer-Moore算法、Rabin-Karp算法等。

4. 图算法图算法包括：图的遍历、最短路径、最小生成树、拓扑排序、关键路径等。

5. 动态规划动态规划是一种重要的算法设计方法，适用于多阶段决策问题和最优化问题。

6. 贪心算法贪心算法是一种简单而有效的算法设计方法，通常适用于某些特定问题、具有贪心选择性质的问题。

7. 分治法分治法是一种重要的算法设计方法，通常适用于将大问题分解成小问题来解决的问题。

8. 线性规划线性规划是一种数学解法，通常用于解决最优化问题。

9. 概率算法概率算法是一种基于概率和随机性的算法设计方法，通常适用于复杂问题和近似解决问题。

第三节分支定界

第三节分支定界

（P3） ）
1
3
x1
在（P3）的基础上继续分枝。加入条件x1 ≤ 2 ，x1 ≥3 的基础上继续分枝。加入条件 有下式： 有下式：
m in Z = − x1 − 5 x 2 x1 − x 2 ≥ − 2 5 x1 + 6 x 2 ≤ 30 x1 ≤4 ( P5 ) x1 ≥2 x ≤3 2 x1 ≤2 x1 , x 2 ≥ 0 且为整数
例1：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） ：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） min Z = − x 1 − 5 x 2
x1 − x 2 ≥ −2 5 x 1 + 6 x 2 ≤ 30 ≤4 x1 x 1 , x 2 ≥ 0 且全为整数
记为（ 记为（P）
是整数 解，且 z*<z6,
增大下界z0 ≤ z2 ≤ z3 ≤ z*, 减少上界+ ∞ ≥ z的目标函数值 分支后计算松弛的线性规划的最优解: 2. 分支后计算松弛的线性规划的最优解:
整数解且目标值小于原有最好整数解的值则替代 原有最好整数解 整数解且目标值大于原有最好整数解的值， 整数解且目标值大于原有最好整数解的值，则删 除该分支 非整数解且目标值小于原有最好整数 整数解的值则继 非整数解且目标值小于原有最好整数解的值则继 续分支 非整数解且目标值大于等于原有最好整数 整数解的值 非整数解且目标值大于等于原有最好整数解的值 则删除该分支其中无最优整数 整数解 则删除该分支其中无最优整数解
⑵
B
⑴ (18/11,40/11) A C ⑶
（P1）
1 1
（P2）
3
x1
不是整数，故继续分支。 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故继续分支。 ）更小的最优解，

分支定界算法流程

分支定界算法流程

分支定界算法流程Branch and Bound (B&B) algorithm is an algorithm for solving optimization problems, such as finding the best solution of a function in a given search space. 分支定界算法是一种用于解决优化问题的算法，比如在给定搜索空间中找到函数的最佳解。

The basic idea of the branch and bound algorithm is to divide the search space into smaller subspaces, or "branches," and then bound the solution of each branch to determine if it can be pruned or not. 分支定界算法的基本思想是将搜索空间划分为较小的子空间或“分支”，然后对每个分支的解进行界定，以确定是否可以剪枝。

In order to effectively use the branch and bound algorithm, it is important to have a good understanding of the problem and its search space. 为了有效地使用分支定界算法，重要的是要深入了解问题及其搜索空间。

One key aspect of the branch and bound algorithm is the bounding step, which involves determining an upper and lower bound for eachbranch in the search space. 分支定界算法的一个关键方面是界定步骤，它涉及确定搜索空间中每个分支的上界和下界。

分枝定界

分枝定界

常用算法大全－分枝定界任何美好的事情都有结束的时候。

现在我们学习的是本书的最后一章。

幸运的是，本章用到的大部分概念在前面各章中已作了介绍。

类似于回溯法，分枝定界法在搜索解空间时，也经常使用树形结构来组织解空间（常用的树结构是第1 6章所介绍的子集树和排列树）。

然而与回溯法不同的是，回溯算法使用深度优先方法搜索树结构，而分枝定界一般用宽度优先或最小耗费方法来搜索这些树。

本章与第1 6章所考察的应用完全相同，因此，可以很容易比较回溯法与分枝定界法的异同。

相对而言，分枝定界算法的解空间比回溯法大得多，因此当内存容量有限时，回溯法成功的可能性更大。

5.1 算法思想分枝定界（branch and bound）是另一种系统地搜索解空间的方法，它与回溯法的主要区别在于对E-节点的扩充方式。

每个活节点有且仅有一次机会变成E-节点。

当一个节点变为E-节点时，则生成从该节点移动一步即可到达的所有新节点。

在生成的节点中，抛弃那些不可能导出（最优）可行解的节点，其余节点加入活节点表，然后从表中选择一个节点作为下一个E-节点。

从活节点表中取出所选择的节点并进行扩充，直到找到解或活动表为空，扩充过程才结束。

有两种常用的方法可用来选择下一个E-节点（虽然也可能存在其他的方法）：1) 先进先出（F I F O）即从活节点表中取出节点的顺序与加入节点的顺序相同，因此活节点表的性质与队列相同。

2) 最小耗费或最大收益法在这种模式中，每个节点都有一个对应的耗费或收益。

如果查找一个具有最小耗费的解，则活节点表可用最小堆来建立，下一个E-节点就是具有最小耗费的活节点；如果希望搜索一个具有最大收益的解，则可用最大堆来构造活节点表，下一个E-节点是具有最大收益的活节点。

例5-1 [迷宫老鼠] 考察图16-3a 给出的迷宫老鼠例子和图1 6 - 1的解空间结构。

使用F I F O 分枝定界，初始时取（1，1）作为E-节点且活动队列为空。

迷宫的位置（ 1 , 1）被置为1，以免再次返回到这个位置。

用分支限界法求解单源最短路径问题

用分支限界法求解单源最短路径问题
添加到队列中。 重复以下步骤直到队列为空：
•
从队列中取出距离起始节点最近的节点作为当前节点。
•
对当前节点进行扩展操作，生成其可达的所有邻居节点。
•
对于每个邻居节点，计算通过当前节点到达该节点的距离，并更新
其距离值。
•
如果更新后的距离小于该节点当前的最短距离，则更新节点的最短
距离，并将其添加到队列中。
当队列为空时，所有节点的最短路径已经确定。 根据计算得到的最短距离，可以重构最短路径。从目标节点开始，按照每个 节点的最短路径前驱逐步回溯，直到回溯到起始节点，即可得到最短路径。
分支限界法 优化搜索过程。它通过限制搜索空间，避免了对所有可能路径进行穷举搜索，从 而提高了算法的效率。
需要注意的是，分支限界法的实现可能涉及具体的数据结构和算法细节，包 括如何表示图、选择优先队列的实现方式等。具体的实现方法可以根据实际情况 进行调整和优化。
分支限界法（Branch and Bound）是一种常用的算法策略，可用于解决单 源最短路径问题。下面是使用分支限界法求解单源最短路径问题的基本步骤：
初始化：将起始节点设置为当前节点，并将其到起始节点的距离设为 0。将
其他节点到起始节点的距离设为无穷大。 创建一个优先队列（通常使用最小堆）用于存储待扩展的节点。将起始节点

分支定界法

分支定界法

分支定界法
分支定界法(branch and bound)是一种求解整数规划问题的最常用算法。

这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。

定义
分支定界法（branch and bound）是一种求解整数规划问题的最常用算法。

这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。

算法步骤
第1步：放宽或取消原问题的某些约束条件，如求整数解的条件。

如果这时求出的最优解是原问题的可行解，那么这个解就是原问题的最优解，计算结束。

否则这个解的目标函数值是原问题的最优解的上界。

第2步：将放宽了某些约束条件的替代问题分成若干子问题，要求各子问题的解集合的并集要包含原问题的所有可行解，然后对每个子问题求最优解。

这些子问题的最优解中的最优者若是原问题的可行解，则它就是原问题的最优解，计算结束。

否则它的目标函数值就是原问题的一个新的上界。

另外，各子问题的最优解中，若有原问题的可行解的，选这些可行解的最大目标函数值，它就是原问题的最优解的
一个下界。

第3步：对最优解的目标函数值已小于这个下界的问题，其可行解中必无原问题的最优解，可以放弃。

对最优解的目标函数值大于这个下界的子问题，都先保留下来，进入第4步。

第4步：在保留下的所有子问题中，选出最优解的目标函数值最大的一个，重复第1步和第2步。

如果已经找到该子问题的最优可行解，那么其目标函数值与前面保留的其他问题在内的所有子问题的可行解中目标函数值最大者，将它作为新的下界，重复第3步，直到求出最优解。

分支定界法知识

分支定界法知识

分支定界(branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。

但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。

利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有子结点；2 ．在产生的子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。

如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。

分支定界法本质还是一种枚举法，但是是隐枚举法。

它是整数规划领域中非常重要的一类算法思想。

是很多重要算法的源头。

它能解决的实际问题很多，最著名的一个应该就是求解背包问题。

定义分支定界法（branch and bound）是一种求解整数规划问题的最常用算法。

这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。

算法步骤第1步：放宽或取消原问题的某些约束条件，如求整数解的条件。

如果这时求出的最优解是原问题的可行解，那么这个解就是原问题的最优解，计算结束。

否则这个解的目标函数值是原问题的最优解的上界。

第2步：将放宽了某些约束条件的替代问题分成若干子问题，要求各子问题的解集合的并集要包含原问题的所有可行解，然后对每个子问题求最优解。

这些子问题的最优解中的最优者若是原问题的可行解，则它就是原问题的最优解，计算结束。

否则它的目标函数值就是原问题的一个新的上界。

另外，各子问题的最优解中，若有原问题的可行解的，选这些可行解的最大目标函数值，它就是原问题的最优解的一个下界。

第3步：对最优解的目标函数值已小于这个下界的问题，其可行解中必无原问题的最优解，可以放弃。

对最优解的目标函数值大于这个下界的子问题，都先保留下来，进入第4步。

第4步：在保留下的所有子问题中，选出最优解的目标函数值最大的一个，重复第1步和第2步。

分支界定算法

分支界定算法

分支定界(branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。

但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。

利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有孩子结点；2 ．在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的孩子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。

如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。

从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点，根据选择方式的不同，分支定界算法通常可以分为两种形式：1 ．FIFO(First In First Out) 分支定界算法：按照先进先出原则选择下一个活结点作为扩展结点，即从活结点表中取出结点的顺序与加入结点的顺序相同。

2 ．最小耗费或最大收益分支定界算法：在这种情况下，每个结点都有一个耗费或收益。

如果要查找一个具有最小耗费的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最小耗费的活结点；如果要查找一个具有最大收益的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最大收益的活结点。

又称分支定界搜索法。

过程系统综合的一类方法。

该法是将原始问题分解，产生一组子问题。

分支是将一组解分为几组子解，定界是建立这些子组解的目标函数的边界。

如果某一子组的解在这些边界之外，就将这一子组舍弃（剪枝）。

分支定界法原为运筹学中求解整数规划(或混合整数规划)问题的一种方法。

用该法寻求整数最优解的效率很高。

将该法原理用于过程系统综合可大大减少需要计算的方案数日。

分支定界法的思想是：首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。

在竞赛中，我们有时会碰到一些题目，它们既不能通过建立数学模型解决，又没有现成算法可以套用，或者非遍历所有状况才可以得出正确结果。

分支限界法概述_计算机常用算法与程序设计教程（第2版）_[共2页]

分支限界法概述_计算机常用算法与程序设计教程（第2版）_[共2页]

185
第8
章
分支限界法
分支限界法（branch and bound method ）是一种按层次遍历（广度优先）次序搜索解空间树求解最优化的搜索算法。

本章简要介绍分支限界法，并应用分支限界设计求解迷宫的最短通道、装载问题、0-1背包问题与8数码游戏等典型案例。

8.1 分支限界法概述
分支限界法与回溯法类似，是在问题的解空间树上搜索问题解的算法。

这两个算法在求解目标上不同：回溯法的求解目标是找出解空间树上满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标是找出满足条件的一个解，或是在满足约束条件下找出某一函数值达到极大或极小的解，即某种意义下的最优解。

由于求解目标不同，导致这两个算法在搜索次序不同：回溯法按前序遍历（深度优先）次序搜索解空间树，而分支限界法按层次遍历（广度优先）次序或以最优条件优先方式搜索解空间树。

广度优先与深度优先搜索示意如图8-1所示。

图8-1 广度优先与深度优先搜索示意图
1．分支限界策略组成
分支限界法由“分支”策略与“限界”策略两部分组成。

（1）“分支”策略体现在对问题解空间按广度优先的策略进行搜索。

“分支”是采用广度优先的策略，依次搜索活结点的所有分支，也就是所有相邻结点。

在生成的结点中，抛弃那些不满足约束条件或不可能导出可行解的结点，其余结点加入活结点表。

然后。

六章分支限界法

六章分支限界法
（2）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜索解 空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先 的方式搜索解空间树。
6.1 分支限界法的基本思想
分支限界法与回溯法
• 回溯与分支限后评估这个部分
解： – 如果加上剩下的分量也不可能求得一个解，就不再生
首先把物品按照P(i)/W(i)≥P(i+1)/W(i+1)的衡量标准排序， 以此顺序读入物品。并且定义一个大小为物品多少的解向量X， X的一个分量就代表某个物品的装入情况。
6.2 0-1背包问题 (0-1 Knapsack Problem)
[问题描述] 设有n个物体和一个背包，物体i的重量为wi ， 价值为pi ，背包的载荷为M，找一个装载方案，使得能放入 背包的物体总价值最高。
6.1 分支限界法的基本思想
（用于求解最优化问题）
目标函数限界U: 初始U可取，若x*是任一答案结点，且 c(x*)<U, 则更新U=c(x*)， x*为已知答案结点值最小者。当搜索 到结点x，而c(x)>U时， x将不必扩展（剪枝）。
活动结点表: 通常采用优先队列方式组织， c(x)小者优先。
6.1 分支限界法的基本思想
E-结点一直保持到死为止的状态生成方法导致分枝-限 界方法（branch-and-bound）。
6.1 分支限界法的基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效 益）优先的方式搜索问题的解空间树。对已处理的 各结点根据限界函数估算目标函数的可能取值，从 中选取使目标函数取得极值（极大/极小）的结点 优先进行广度优先搜索不断调整搜索方向，尽快 找到解。
• 然而，如果评价函数选择得好，采用分支限界法可 能有一个小得多的常数因子。
• 好的评价函数应该有一个尽可能高的下界估计和一 个尽可能低的上界估计，从而使得搜索空间能够得 到有效的压缩，从而提高效率。

掌握分支界限法的基本步骤

掌握分支界限法的基本步骤

掌握分支界限法的基本步骤分支界限法（Branch and Bound）是一种常用的数学规划方法，主要用于解决优化问题，特别是问题规模较大且无法通过穷举法求解的情况。

本文将介绍分支界限法的基本步骤，帮助读者掌握这一重要的问题求解方法。

一、问题描述在深入了解分支界限法之前，首先需要明确问题的描述及目标。

一般来说，分支界限法适用于具有以下特点的问题：1. 问题具有离散性质，即决策变量只能取离散的值；2. 问题的解空间较大，无法通过穷举法遍历所有可能的解；3. 问题具有最优解的性质，需要找到某个最优解或最优值。

二、基本步骤分支界限法的基本思想是通过对问题的解空间进行划分，同时利用界限函数（bound function）对每个划分区域进行界定，从而剪枝（pruning）不可能得到最优解的区域，减少问题的规模，提高求解效率。

下面是分支界限法的基本步骤：1. 确定初始界限函数初始界限函数用于对整个问题的解空间进行初始界定。

根据问题的具体情况，可以选择合适的界限函数，如目标函数下界、松弛问题的最优值等。

初始界限函数的选择至关重要，它影响了问题的规模、求解效率以及最终得到的解的质量。

2. 划分解空间根据问题的约束条件和初始界限函数，将问题的解空间划分成若干个区域。

划分的方式可以是二叉树、多叉树或者其他适合问题特点的结构。

划分过程中需要考虑以下几个因素：- 如何选择划分的决策变量及其取值，以使得每个区域的解空间较小；- 如何保证每个区域的解都满足问题的约束条件。

3. 界定每个区域的界限函数对于每个划分区域，根据问题的约束条件和初始界限函数，计算该区域的界限函数值。

界限函数可以在划分过程中不断更新，以提高求解效率。

4. 剪枝和下界更新根据界限函数的值，对划分区域进行剪枝。

具体来说，如果某个划分区域的界限函数值小于当前已获得的最优解，可以将该区域剪枝。

同时，根据已求得的最优解可以更新下界，以进一步缩小解空间。

5. 更新最优解在搜索过程中，不断更新已求得的最优解。

算法导论必备知识

算法导论必备知识

算法导论必备知识算法导论是计算机科学中非常重要的一门课程，其中涉及了许多必备的知识。

以下是我总结的算法导论必备知识：一、数据结构1. 数组数组是一种线性数据结构，常用于存储同种类型的固定数量的元素。

在算法中，数组可以很方便地用来存储和处理数据。

2. 链表链表是一种动态数据结构，它由节点组成，每个节点包含一个数据元素和一个指向下一个节点的指针。

链表的插入和删除操作比数组高效。

3. 堆堆是一种二叉树结构，拥有最小节点或最大节点的性质。

在算法导论中，堆通常用于堆排序、优先队列等算法。

4. 栈和队列栈和队列是两种基本的数据结构。

栈的特点是先进后出，可以用于表达式求值、函数调用等。

队列的特点是先进先出，通常用于模拟系统调度等。

5. 散列表散列表是基于数组的数据结构，可以快速地插入、查找和删除数据。

在算法导论中，散列表通常用于快速查找。

二、算法1. 排序算法排序算法是计算机科学中最重要的问题之一。

算法导论中介绍的排序算法包括插入排序、归并排序、快速排序、堆排序等。

2. 算法复杂度算法复杂度是衡量算法性能的重要指标。

算法导论中介绍的算法复杂度包括时间复杂度、空间复杂度，并详细介绍了这些指标的计算方法。

3. 动态规划算法动态规划算法是一种计算机算法，通常用于解决多阶段决策问题。

在算法导论中，介绍了动态规划算法的原理和应用。

4. 贪心算法三、数学知识离散数学是计算机科学的基础，是学习算法导论的必备知识。

离散数学包括集合论、图论、数论、代数等内容。

2. 概率论概率论是计算机科学中被广泛应用的数学分支。

在算法导论中，介绍了概率分析算法的相关知识。

以上就是我总结的算法导论必备知识。

如果想深入学习算法导论，这些知识是必不可少的。

常见搜索算法

常见搜索算法

下面是一些比较重要的算法，原文罗列了32个，但我觉得有很多是数论里的或是比较生僻的，和计算机的不相干，所以没有选取。

下面的这些，有的我们经常在用，有的基本不用。

有的很常见，有的很偏。

不过了解一下也是好事。

也欢迎你留下你觉得有意义的算法。

（注：本篇文章并非翻译，其中的算法描述大部份摘自Wikipedia，因为维基百科描述的很专业了）1A*搜寻算法俗称A星算法。

这是一种在图形平面上，有多个节点的路径，求出最低通过成本的算法。

常用于游戏中的NPC的移动计算，或线上游戏的BOT的移动计算上。

该算法像Dijkstra算法一样，可以找到一条最短路径；也像BFS一样，进行启发式的搜索。

2Beam Search束搜索(beam search) 方法是解决优化问题的一种启发式方法,它是在分枝定界方法基础上发展起来的,它使用启发式方法估计k 个最好的路径,仅从这k 个路径出发向下搜索,即每一层只有满意的结点会被保留,其它的结点则被永久抛弃,从而比分枝定界法能大大节省运行时间。

束搜索于20 世纪70 年代中期首先被应用于人工智能领域,1976 年Lowerre 在其称为HARPY的语音识别系统中第一次使用了束搜索方法,他的目标是并行地搜索几个潜在的最优决策路径以减少回溯,并快速地获得一个解。

3二分取中查找算法一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。

搜素过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜素过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。

这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半。

4Branch and bound分支定界(branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。

但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。

《算法设计与分析》-第六章 分支限界

《算法设计与分析》-第六章 分支限界

例：n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=30 队列式(FIFO)分支限界法
1 1 D 1 H 0 I 1 J B 0 E 0 K 1 L 1 F M 1 N A 0 C 0 G 0 O
6.2
0-1背包问题 背包问题
优先队列式分支限界法 算法的思想
首先，要对输入数据进行预处理，将各物品依其单位重量价值从大 到小进行排列。 在下面描述的优先队列分支限界法中，节点的优先级由已装袋的物 品价值加上剩下的最大单位重量价值的物品装满剩余容量的价值和。 算法首先检查当前扩展结点的左儿子结点的可行性。如果该左儿子 结点是可行结点，则将它加入到子集树和活结点优先队列中。当前扩展 结点的右儿子结点一定是可行结点，仅当右儿子结点满足上界约束时才 将它加入子集树和活结点优先队列。当扩展到叶节点时为问题的最优值。
6.1 分支限界法的基本思想
3. 常见的两种分支限界法
(两种选择下一个E节点的方法：) （1）队列式(FIFO)分支限界法 按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为 扩展节点。 （2）优先队列式分支限界法 按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节 点成为当前扩展节点。
6.2
Байду номын сангаас
0-1背包问题 背包问题
6.3 回溯法与分支限界法对比
优先队列分支限界法能够有效地减少搜索的结点数目， 从而减少计算时间。因此比较适合于求解目标则是找出 满足约束条件的一个解或最优解；而回溯法则比较适合 于找出解空间树中满足约束条件的所有解。 回溯法比分支限界在占有内存方面具有优势。 – 回溯法占用的内存是O(解空间的最大路径长度)，而 分支定界所占的内存为O(解空间的大小)。 对于子集空间，回溯法需O(n)的内存空间，而分 支定界需O(2n) 对于排列空间，回溯法需O(n)的内存空间，而分 支定界需O(n!)

算法导论知识总结

算法导论知识总结

算法导论知识总结算法导论是一本经典的计算机科学教材，由Thomas H. Cormen等人共同撰写。

本文档将总结算法导论中的一些重要知识点，并对其进行简要介绍。

下面是我们要讨论的内容：1.算法分析和复杂性理论2.排序算法3.数据结构4.动态规划5.图算法6.NP-完全性和近似算法算法分析和复杂性理论算法分析是研究算法在不同输入大小下的性能表现的过程。

算法导论中介绍了不同的算法分析方法，包括渐进分析和平摊分析。

渐进分析通过确定算法的渐进上界、下界和平均运行时间来评估算法的效率。

复杂性理论则研究算法的困难程度，通过引入时间复杂性和空间复杂性来衡量算法的效率。

排序算法排序算法是计算机科学中最基本的问题之一。

算法导论中介绍了许多不同的排序算法，包括插入排序、归并排序、快速排序和堆排序。

每种排序算法都有其独特的优点和适用场景。

学习以及理解这些排序算法对于理解算法设计和分析的重要性至关重要。

数据结构数据结构是计算机科学中用于组织和存储数据的方式。

算法导论介绍了许多重要的数据结构，包括数组、链表、栈、队列、二叉树、红黑树和哈希表。

了解这些数据结构的基本性质和实现方式对于编写高效的算法非常重要。

动态规划动态规划是一种解决复杂问题的有效方法。

算法导论中详细介绍了动态规划的原理和应用。

动态规划通过将问题分解为子问题，并利用子问题的解来构建最终问题的解。

通过动态规划，我们可以解决一些计算机科学中的经典问题，如最长公共子序列、背包问题等。

图算法图算法是应用广泛且重要的算法之一。

算法导论中介绍了许多图算法，包括深度优先搜索、广度优先搜索、拓扑排序、最短路径算法和最小生成树算法等。

图算法可应用于许多领域，如网络分析、社交网络分析和地理信息系统等。

NP-完全性和近似算法NP-完全性理论是计算机科学中的一个重要研究领域，涉及到一类问题，这些问题非常困难且难以在有效时间内求解。

算法导论中介绍了NP-完全性理论的基本概念以及一些NP-完全问题的案例。

应用分支界限算法的原理

应用分支界限算法的原理

应用分支界限算法的原理1. 算法概述分支界限算法（Branch and Bound）是一种常用于解决优化问题的算法。

它通过将问题分解为子问题，并对每个子问题设置上界，从而有效地减少搜索空间。

本文将介绍应用分支界限算法的原理，并讨论其在实际应用中的一些重要应用。

2. 算法原理分支界限算法的基本思想是通过不断划分问题的解空间来找到最优解。

具体而言，该算法通过对问题进行分解，形成一个解空间树，然后根据问题的约束条件和目标函数，在解空间树的每一层使用界限函数来对解进行评估，并决定是否继续搜索该分支或剪枝。

2.1 解空间树解空间树是分支界限算法的重要概念，它代表了问题的解空间。

解空间树的根节点表示问题的初始状态，树的每一层都代表了问题的一个解的可能性。

算法通过不断地扩展解空间树的分支，并采用剪枝策略来减少搜索空间。

2.2 上界与界限函数在分支界限算法中，上界函数用于估计问题的最优解的上界，从而在搜索过程中可以及时进行剪枝。

界限函数则用于对解进行评估，并决定是否继续搜索该分支。

2.3 剪枝策略分支界限算法通过设置剪枝策略来减少搜索空间，提高算法效率。

常用的剪枝策略包括确定界限函数的下界和上界、使用排序策略优化搜索顺序、使用限界虚拟节点等方法。

3. 应用领域分支界限算法被广泛应用于各个领域的优化问题。

下面介绍几个典型的应用领域。

3.1 旅行商问题旅行商问题是一个经典的组合优化问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商能够经过每个城市恰好一次，并返回出发地，使得路径的长度最小。

分支界限算法可用于找到具有全局最小路径的解。

3.2 背包问题背包问题是求解如何选择有限物品装入背包，使得装入的物品价值最大化的问题。

分支界限算法可以通过确定上界函数来剪去不可能的解，从而高效地搜索到最优解。

3.3 任务调度问题任务调度问题是指如何合理地安排任务的执行顺序和分配资源的问题。

分支界限算法可以通过设置界限函数，确定任务的执行顺序和资源分配的约束条件，从而找到最优的任务调度方案。

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FIFO分支限界（2）

算法
MaxLoading(w[], M xL di ( [] c, n) ) {//返回最优值bestw和解向量x[1..n] i i iniqueue(Q); (Q) //建立空队列Q，Q中元素为qnode d 类型 p=new qnode; //生成一个qnode结点，装入①结点 p->wt=0; t 0 p->level=1; l l 1 p->parent=NIL; t NIL enqueue(Q, p); //入队 fl float bestw=0; b 0 qnode d b bestp=p;
-如果查找一个具有最小耗费的解，则活结点表可用小 如果查找 个具有最小耗费的解 则活结点表可用小 根堆来建立，下一个扩展结点就是具有最小耗费的活 结点； -如果希望搜索一个具有最大收益的解，则可用大根堆 来构造活结点表，下一个扩展结点是具有最大收益的 活结点。 活结点
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算法设计与分析
①解空间:{(0,0,0), {(0 0 0) (0 (0,0,1), 0 1) … , (1 (1,1,1)} 1 1)} A ②解空间树:
1 0 1
B
0
1 0 1
C
0
D H
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1
I
0
1
E K L
F
J
M
0 1
G N
0
O
10
算法设计与分析
示例2（2）

BFS搜索（优先队列：按价值率优先）
a.每个活结点仅有一次机会变成扩展结点； b 由扩展结点生成一步可达的新结点； b. c.在新结点中, 删除不可能导出最优解的结点； //限界策略 d 将余下的新结点加入活动表(队列)中； d. e.从活动表中选择结点再扩展； //分支策略 f 直至活动表为空； f.
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算法设计与分析

对扩展结点的扩展方式不同：
分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点 中 成 一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点；

存储空间的要求不同：
分支限界法的存储空间比回溯法大得多，因此当内存容量有限时， 回溯法成功的可能性更大；
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算法设计与分析
5
求解步骤
①定义解空间(对解编码); ②确定解空间的树结构; ③按BFS等方式搜索 ③ 索:
7
示例1（1）


示例1（FIFO队列分支限界法） 问题 0-1 问题： 0 1背包问题:物品数n=3, 重量w=(20,15,15), w=(20 15 15) 价值v=(40,25,25), 背包容量c=30, 试装入价值和最 大的物品? 求解：
①解空间:{(0,0,0), (0,0,1), … , (1,1,1)} A ②解空间树:

结点变量的设计
Typedef T d f st struct tT Treenode{ d { float wt; //搜索到该结点时的载重量 int level; //结点所处的层次 struct Treenode *parent; //指向父结点的指针 }*qnode;
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算法设计与分析
1 1 1
可行解(叶结点)
解值
K L,M N,O
40 50,25 25,0
A
0 1
B
0
C
D
0
H
I J
0 1
E
K
0
L M N O
算法设计与分析 9
1
F
0 1
G
0
∴ 最优解为L, 即(0,1,1); 解值为50
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示例2（1）


示例2（优先队列分支限界法） 问题： 0-1背包问题:物品数n=3, 重量w=(20,15,15), w=(20 15 15) 价值v=(40,25,25), 背包容量c=30, 试装入价值和最 大的物品? 求解：
算法设计与分析 4
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与回溯法的区别

求解目标不同 ：
一般而言，回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所 解 是找 解 树中 件 有解，而分支限界法的求解目标则是尽快地找出满足约束条件的一 个解；

搜索方法不同 搜索方法不同：
回溯算法使用深度优先方法搜索，而分支限界一般用宽度优先或最 佳优先方法来搜索； 佳优先方法来搜索
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算法设计与分析
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E d of End f SCh3
装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这n 个集装箱装上这2艘轮船。 可以证明：如果一个给定的装载问题有解，则采用下面 可以证明：如果 个给定的装载问题有解，则采用下面 的策略可得到一个最优装载方案： ① 首先 首先，将第 将第1艘轮船尽可能装满； 船 装满； ② 将剩余的集装箱装上第2艘轮船。
Design and Analysis of Algorithms
算法设计与分析
主讲人 徐云
Fall 2012, USTC
第3章(补充) 分支限界法
3.1 方法概述 3.2 8谜问题 3.3 装载问题
3.1 方法概述

基本思想 与回溯法的区别 求解步骤 两种常见的活结点扩充方式 种常见的活结点扩充方式 示例1和示例2
2 代价函数 2. 代价 数f(x) f( )
设f(x)为经x到解的代价， x是当前结点: (1)如果x是死结点或x的子树不含解，使 的子树不含解 使 f(x)= f( ) ∞ (2)如果x是活结点: f(x)=g(x)+h(x) g(x):从根到x的代价, h(x): 由x产生解的代价估计 这里我们取： h(x)=∑i=1~8(|xi1-xi0|+|yi1-yi0|)
6
两种常见的活结点扩充方式


先进先出队列（F I F O） : 从活结点表中取出 结点的顺序与加入结点的顺序相同 因此活结 结点的顺序与加入结点的顺序相同，因此活结 点表的性质与队列相同； 优先队列（耗费用小根堆 受益用大根堆）: 每 优先队列（耗费用小根堆,受益用大根堆） 个结点都有一个对应的耗费或收益。
扩展 扩展结点 A B E C F G 活结点 队列 列(可行结点) B B,C C D,E(D死结点) E J,K(J死结点) F F,G G L,M , N,O
1 1 C C F G G
可行解 解(叶 叶结点)
解值 解
K
40
L
50( (最优)
1
A
0 1
φ
0
B
0
C
D
H
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I J
0 1
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算法设计与分析
3
基本思想


在解空间树中, 以广度优先BFS或最佳优先方式 搜索最优解, 利用部分解的最优信息, 裁剪那些 不能得到最优解的子树以提高搜索效率。 搜索策略是：在扩展结点处 先生成其所有的 搜索策略是：在扩展结点处，先生成其所有的 儿子结点（分支），然后再从当前的活结点表 中选择下一个扩展结点。为了有效地选择下一 扩展结点，以加速搜索的进程，在每一活结点 处 计算一个函数值（优先值） 并根据这些 处，计算一个函数值（优先值），并根据这些 已计算出的函数值，从当前活结点表中选择一 个最有利的结点作为扩展结点 使搜索朝着解 个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解 空间树上有最优解的分支推进，以便尽快地找 出一个最优解。
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解空间树
解表示和解空间: 解空间：

x1 x2
1 1
{(x1,x2,…,xn)| xi∈{0,1}, i=1~n} i层次
1
0
1 2
20 130n+12012/10/31
算法设计与分析
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FIFO分支限界（1）

全局变量的设计
－x[1..n]保存搜索到的解； －bestw保存当前最优解值；
3.1 方法概述 3.2 8谜问题 3.3 装载问题
3.3 装载问题
问题定义 解空间树 FIFO队列分支限界

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算法设计与分析
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问题定义（1）

有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮 船，其中集装箱i的重量为wi，且
w
i 1
n
i
c1 c2

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FIFO分支限界（4）
//构造解
for i=1 to n do x[i]=0; p=bestp; while( p!=NIL ) do { tempw=p->wt; p p >parent; p=p->parent; if p->wt != tempw then x[p->level]=1; } }//end
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算法设计与分析
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代价最小优先搜索
3.代价最小优先搜索：结点旁的圆圈内的数字为f(x)
1 5 2 5 4 3 7 8 6 1 5 2 5 4 3 6 7 8 1 5 2 7 4 3 6 7 8 1 5 2 7 4 3 7 8 6 1 5 2 5 4 3 7 8 6 1 5 2 7 1 5 2 7 1 5 2 7 1 2 5 4 3 4 5 3 4 8 3 4 3 7 8 6 7 8 6 7 6 7 8 6
1 0 1
B
0
1 0 1
C
0
D H
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1
I
0
1
E K L