八年级奥数辅导二

奥数知识点汇总初二初二阶段的奥数学习，对于提升数学思维和解决问题的能力有着重要作用。

以下为大家汇总初二奥数常见的知识点。

一、二次根式1、二次根式的定义：形如\（＼sqrt{a}（a\geq0)＼）的式子叫做二次根式。

2、二次根式的性质：＼（＼sqrt{a^2}＝｜a|＼）＼（＼sqrt{ab}＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}（a\geq0,b\geq0)＼）＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝（a\geq0,b>0)＼）3、二次根式的运算：二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式。

二次根式的乘除：乘法法则为\（＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＝＼sqrt{ab}（a\geq0,b\geq0)＼），除法法则为\（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝（a\geq0,b>0)＼）二、勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为\（a\）、＼（b\），斜边长为\（c\），那么\（a^2 ＋ b^2 ＝ c^2\）。

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长\（a\）、＼（b\）、＼（c\）满足\（a^2 ＋ b^2 ＝ c^2\），那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足\（a^2 ＋ b^2 ＝ c^2\）的三个正整数，称为勾股数。

三、平行四边形1、平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等。

平行四边形的对角相等，邻角互补。

平行四边形的对角线互相平分。

2、平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

四、特殊的平行四边形1、矩形：性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。

2015年夏季初二奥数班讲义1一、基本知识点1、什么叫做平方根？如果一个数的平方等于9，这个数是几？±3是9的平方根；9的平方根是±3。

一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根,也称为二次方根。

数学语言：如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。

4的平方根是 ；149的平方根是 。

的平方根是0.81。

如果225x =，那么x = 。

2的平方根是 ？ 2、平方根的表示方法：一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。

这两个平方根合起来记作“a ±”，读作“正，负根号a ”.表示 ，= 。

2的平方根是 ；如果22x =，那么x = 。

3、平方根的概念：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；0只有1个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。

求一个数的平方根的运算叫做开平方。

4、算术平方根：正数有两个平方根,其中正数的正的平方根,叫的算术平方根.例如，4的平方根是2±，2叫做4的算术平方根，记作4=2； 2的平方根是2±，2叫做2的算术平方根，记作22=。

5、算术平方根的性质：⑴0≥0a ≥。

⑵),0(2≥=a a a )0(2≤-=a a a ， )0()(2≥=a a a6、立方根的概念：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，则这个数x 叫做a 的立方根．7、立方根的的表达形式：一个数a 的立方根记作“3a ”，读作“三次根号a ”， a 是被开方数，3是根指数。

8、 立方根的性质：任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 二、经典例题例1． 求下列各数的算术平方根和平方根．（1）729（2）2(7)-例2．下列式子中，正确的是（ ）．A．0.6=- B13=- C6=± D．5=- 例30=，求x ＋y 的值．例4：求下列各数的立方根（1）2 （2）-0.008 (3)-343 （4）0.512例5 求下列各式中的x ：（1）012583=+x （2）()343143=-x ； （3）02713=+x三、过关检测题 一 填空题1. 一个正数有 个平方根，0有 个平方根，负数 平方根.算术平方根是 ，平方根是 ；81的平方根是___，4的算术平方根是_____ 3. 81-的立方根是________，125的立方根是________． 4．若某数的立方等于－0.027，则这个数的倒数是________． 6．已知33y x -=，则x ＋y 的值为________．7．－3是________的平方根，－3是________的立方根．8．若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是________．27109 设827-=x ，则2x ，3x ，32x 分别等于____ ____ ____ 10．算术平方根等于它本身的数有________，平方根等于本身的数有________． 11．一个正数的两个平方根的和是________． 一个正数的两个平方根的商是________ 12．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 13． 13-的相反数是 ； 14、化简：=-2)3(π 。

目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。

注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在与中考中难以上题，奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。

本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。

另外在本次培训中，内容的编排大多大于80分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和选择内容。

由于《相似三角形》与其他知识的衔接较多，因此本讲义补充了初三的《相似三角形》，可根据实际情况进行必要的讲解。

注：有(*) 标注的为选做内容。

本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲分式的运算第二讲分式的化简求值第三讲分式方程及其应用第四讲二次根式的运算第五讲二次根式的化简求值第六讲相似三角形（基础篇）第七讲相似三角形（提高篇）第八讲平行四边形（基础篇）第九讲平行四边形（提高篇）第十讲梯形、中位线及其应用第十一讲结业考试（未装订在内，另发）第十二讲试卷讲评第一讲：分式的运算【知识梳理】一、分式的意义 形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。

当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。

二、分式的性质（1）分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。

（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。

（3）倒数的性质：1、()()011011>=⋅≠=⋅a aa a a a ，； 2、若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a aa 。

三、分式的运算分式的运算法则有：bdbc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n nn ba b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。

目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。

注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。

本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。

另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。

注：有(*) 标注的为选做内容。

本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（一）第三讲平行四边形（二）第四讲梯形第五讲中位线及其应用第六讲一元二次方程的解法第七讲一元二次方程的判别式第八讲一元二次方程的根与系数的关系第九讲一元二次方程的应用第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形第十二讲专题复习三：相似三角形第十三讲结业考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

八年级奥数 一元二次方程（二） 一、选择题：1、关于x 的一元二次方程()022=-++m mx x 的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定2、下列命题：① 若0a b c ++=，则240b ac -≥；② 若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③ 若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等实数根； ④ 若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④．3、已知方程20x bx a ++=有一个根是()0a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A.abB.a bC.a b +D.a b - 4、关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定5、若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2=0有一个根为0，则m 的值等于（ ）A.1B.2C.1或2D.06、已知206<<k k 为的整数，方程02)12(2=-+--k x k kx ，两根为有理数，则=k （ ）A. 8B. 9C.11D.127、已知c b a ,,是不全为零的三个实数，那么关于x 的方程0)(2222=++++++c b a x c b a x 的根的情况是（ ）A.有二个负根B. 有二个正根C. 有二个异号的实根D. 无实根二、填空题：8、已知α，β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则α2+β2+2α+2β的值为_______9、已知3-=+b a ，1=ab ，则=+b a 83 10、已知实数m 、n 满足0142=--m m ，0142=--n n 。

【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。

奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。

下⾯是为⼤家带来的⼋年级奥数⼆次根式试题及答案，欢迎⼤家阅读。

⼀、单选题 1．已知函数y=（m+1）是正⽐例函数，且图象在第⼆、四象限内，则m的值是（ ）A. 2B. ﹣2C. ±2D. 【答案】B 2．已知正⽐例函数y=3x的图象经过点（1，m），则m的值为（） A. B. 3 C. ﹣ D. ﹣3 【答案】B 【解析】把点（1，m）代⼊y=3x，m=3,所以选B. 3．若函数y=（-1）x+ -1是正⽐例函数，则的值是（ ）A. -1B. 1C. -1或1D. 任意实数 【答案】A 【解析】试题解析：函数是正⽐例函数， 则：解得： 故选A. 4．若y关于x的函数y=（m-2）x+n是正⽐例函数，则m，n应满⾜的条件是（ ）A. m≠2且n=0B. m=2且n=0C. m≠2D. n=0 【答案】A 【解析】试题解析：若y关于x的函数是正⽐例函数， 解得： 故选A. 5．如果5a=3b，那么a和b的关系是（）A. 成正⽐例B. 成反⽐例C. 不成⽐例D. 没有关系 【答案】A 【解析】由5a=3b，可得a：b= ，是个定值，⼀个因数⼀定，积和另⼀个因数成正⽐例．故选A． 6．若函数y=(2m+6)x2+(1-m)x是正⽐例函数,则m的值是（）A. m=-3B. m=1C. m=3D. m>-3 【答案】A 【解析】 7．已知直线y=-6x，则下列各点中⼀定在该直线上的是( )A. （3，18）B. (-18，-3）C. （18，3）D. （3，-18） 【答案】D 8．设点是正⽐例函数图象上的任意⼀点，则下列等式⼀定成⽴的是（）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题解析：把点代⼊正⽐例函数，可得，所以，选项正确．故选D.21世纪教育 9．关于函数，下列判断正确的是（）A. 图象必经过点（-1，-2）B. 图象必经过第⼀、第三象限C. 随的增⼤⽽减⼩D. 不论为何值，总有 【答案】C 10．设正⽐例函数y＝mx的图象经过点A(m，4)，且y的值随x值的增⼤⽽减⼩，则m＝( )A. 2B. －2C. 4D. －4 【答案】B 【解析】把x=m，y=4代⼊y=mx中， 可得：m=±2， 因为y的值随x值的增⼤⽽减⼩， 所以m=-2， 故选B. 11．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是正⽐例函数y=x（＜0）图像上两点，若x1＞x2，则下列结论正确的是( )A. y1＜y2B. y1=y2C. y1＞y2D. -y1＜-y2 【答案】A 【解析】∵正⽐例函数y=x（＜0）， ∴y随x的增⼤⽽减⼩， ⼜∵x1＞x2, ∴y1 故选A. 12．下列函数中，满⾜y的值随x的值增⼤⽽增⼤的是（） A. B. C. D. 【答案】B ⼆、填空题 13．已知y与成正⽐例，并且＝－3时，y＝6，则y与的函数关系式为________． 【答案】 【解析】设y=x,6=-3,解得=-2.所以y=-2x. 14．已知与成正⽐例，且当时，，写出与的函数关系式________ 【答案】 【解析】由y与4x-1成正⽐例，设y=(4x-1)（≠0）， 把x=1，y=6代⼊得，(4-1)=6， 解得=2， 所以，y与x的函数关系式为y=2(4x-1)=8x-2， 故答案为：y=8x-2. 15．若函数是正⽐例函数，则该函数的图象经过第____象限． 【答案】⼀、三 16．在同⼀直⾓坐标平⾯内，直线与双曲线没有交点，那么m的取值范围是_____． 【答案】m＜2 【解析】由题意得：经过第⼆、四象限 则 即 17．对每个x，y是， , 三个值中的最⼩值，则当x变化时，函数y的值是__________. 【答案】6 【解析】分别联⽴、，y1、，、， 可知、的交点A（2，4）；、y3的交点B（，）；、的交点C（4，6），∴当x≤2时，y最⼩=4；当2 当x>4时，y最⼩>6， 故答案为：6 18．已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正⽐例函数y=x的图象上的两点，则y1___y2（填“＞”或“＜”或“=”）． 【答案】＜ 【解析】∵1>0, ∴y随x的增⼤⽽增⼤， ∵1<2, ∴y1 故答案为：< 19．如果正⽐例函数的图像经过原点和第⼀、第三象限，那么 ______． 【答案】 【解析】由正⽐例函数y=(-1)x的图像经过原点和第⼀、第三象限可得-1＞0，解得＞1. 20.已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正⽐例函数y=x的图象上的两点，则y1____y2（填“＞”或“＜”或“=”）． 【答案】＜。

奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案（初二下部分,共）-43初中数学竞赛辅导资料（43）面积法甲内容提要1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。

运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法。

2. 面积公式（略）3. 两个三角形的面积比定理① 等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比② 有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比③ 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方④ 有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比）。

如图△ABC 和△ADC 有公共边AC ， M 内分BD 第三顶点连线BD 被公共边AC内分或外分于点M ，则MDBMS ADC ABC ＝△△S M 外分BD定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比乙例题例1. 求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD 中，∠DAC ＝30求证：AB 2＝AC ×BD证明：作高DE ，∵∠DAE ＝30∴DE ＝21AD ＝21AB S 菱形ABCD ＝AB ×DE ＝21AB 2 S 菱形ABCD ＝AC ×BD ，∴AB 2＝AC ×BDA BCDMAB CDMA B C D M AB C D MABCDE例2. 求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，D 是形内任一点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DG ⊥AB ，E ，F ，G 是垂足求证：DE ＋DF ＋DG 是一个定值证明：连结DA ，DB ，DC ，设边长为a, S △ABC ＝S △DBC ＋S △DCA ＋S △DAB21ah a ＝21a （DE ＋DF ＋DG ）∴DE ＋DF ＋DG ＝h a∵等边三角形的高h a 是一个定值，∴DE ＋DF ＋DG 是一个定值本题可推广到任意正n 边形,其定值是边心距的n 倍例3.已知：△ABC 中，31===CA CF BC BE AB AD 求：ABCDEFS △△S 的值解：∵△ADF 和△ABC 有公共角A∴ABCADF S △△S ＝AC AB AF AD ??＝ACAB AC32AB 31??＝92，同理92S ABC BED ＝△△S ，ABC CFE S S △△＝92，∴ABC DEF S △△S ＝31 （本题可推广到：当m AB AD 1=，n BC BE 1=，=CACFp 1时，ABC DEF S △△S ＝mnpnpmp mn p n m mnp ---+++）例4.如图Rt △ABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE 分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积x 。

初中数学竞赛辅导资料(37)不等关系甲内容提要1. 不等式三个基本性质：① 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

② 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

③ 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。

设a>b,不等式组⎩⎨⎧>>bx a x 的解集是x>a ⎩⎨⎧<<b x a x 的解集是x<b ⎩⎨⎧<>a x b x 的解集是 b<x<a ⎩⎨⎧<>bx a x 的解集是空集 3. 几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理① 三角形任意边两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

② 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。

③ 在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。

直角三角形中，斜边大于任一直角边。

④ 有两组边对应相等的两个三角形中如果这两边的夹角大，那么第三边也大；如果第三边大，那么它所对的角也大。

⑤任意多边形的每一边都小于其他各边的和乙例题例1. 已知：x ≤2，求下列代数式的取值范围：①7－3x, ②x x 1+ 解：①∵x ≤2，∴两边乘以－3，得 －3x ≥－6两边加上7， 得 7－3x ≥7－6∴7－3x ≥1 ②设xx 1+＝y, x+1=xy, (y －1)x=1 x=11-y ≤2，在两边乘以y －1时，根据不等式基本性质2和3，得不等式组：⎩⎨⎧-≤>-)1(2101y y 或⎩⎨⎧-≥<-)1(2101y y ⎪⎩⎪⎨⎧≥>231y y 或⎪⎩⎪⎨⎧≤<231y y ∴y ≥1.5 或y<1 即x x 1+≥1.5或xx 1+＜1 例2.设实数a,b 满足不等式)(b a a +-＜b a a +-，试决定a,b 的符号。

八年级奥数专题第一讲：勾股定理及应用第二讲：实数的性质第三讲：二次根式（1）第四讲：二次根式（2）第五讲：一次函数的图像和性质第六讲：待定系数法------李第七讲：一次函数的应用-第八讲：二元一次方程组和不定方程第九讲：三元一次方程组与不定方程组第十讲：二元一次方程组的应用第十一讲：等腰三角形与等边三角形-------张琼方第十二讲：线段的垂直平分线第十三讲：角平分线第十四讲：一元一次不等式与一元一次不等式组第十五讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（1）第十六讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（2）------方案设计------罗第十七讲：因式分解（1）第十八讲：因式分解（2）第十九讲：因式分解（3）第二十讲：因式分解（4）第二十一讲：因式分解（5）-----刘第二十二讲：分式第二十三讲：分式的运算第二十四讲：含字母系数的方程和分式方程第二十五讲：分式方程的应用第二十六讲：平行四边形性质与判定---杨洁第二十七讲：矩形第二十八讲：菱形第二十九讲：正方形第三十讲：三角形的中位线第三十一讲：梯形第三十二讲：梯形的中位线------张皓第一讲勾股定理及应用1、勾股定理及逆定理：△ABC中∠C＝Rt∠ a2＋b2=c22、勾股定理及逆定理的应用①作已知线段a的2，3，5……倍②计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③证明线段的平方关系等。

3勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数. 4勾股数的推算公式a) 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn,m 2+n 2是一组勾股数。

b) 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,212+k 是一组勾股数。

c) 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。

简单的八年级奥数题5篇1.简单的八年级奥数题篇一1、客车由甲城开往乙城要10小时,货车由乙城开往甲城要15小时,两车同时从两城相向开出,相遇时客车比货车多行96千米,甲乙两城之间的公路长多少千米?2、甲乙两地相距1800千米,一架飞机从甲地飞往乙地,每小时飞行360千米,返回时顺风,比去时少用1小时.往返平均每小时飞行多少千米?3、一列火车每小时行68千米,另一列火车每小时行76千米,这两列火车分别从甲乙两站同时相对开出，行了5/6小时后还相距两站之间的铁路长的1/4，甲乙两站之间的铁路长多少千米?4、两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离车站60千米的地方相遇，之后两车继续以原来速度前进，各车到站后立即返回，又在离中点30千米处相遇，两站相距多少千米？5、甲、乙两车分别从东、西两站同时相对开出。

第一次相遇时，甲车行了80千米，两车继续以原来速度前进，各车到站后立即返回，第二次相遇地点在第一次相遇地点东侧40千米处。

东、西两站相距多少千米？2.简单的八年级奥数题篇二1、A、C两地相距7000米，B是A、C两地的中点，小明骑自行车从A地、小华步行从B地同时出发去C地，并且到了C地立即返回，已知小明的速度为250米/分，小华的速度为100米/分，小明和小华相遇时距C地多少米？2、两辆汽车从两地同时出发，相向而行，已知甲车行完全程比乙车多用1.5小时，甲车每小时行40千米，乙车每小时行50千米，出发后多少小时两车相遇？3、甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。

甲车从A地、乙车从B地同时出发相向而行。

两车相遇后4.5小时甲车到达B地，A、B两地相距多少千米？4、甲乙两车分别从相距306千米的两地同时开出，相向而行，4.5小时后相遇，甲乙两车的速度比为8：9，甲乙两车每小时各行多少千米？5、甲乙从同一地点向相反的方向行驶，甲下午6时出发每小时行40000米，乙第二天上午4时出发，经过10小时后两车相距1080千米。

英才培训初二奥数精英班讲义第1讲：分式的概念 学生姓名：一、内容提要： 1、分式的概念： 2、分式有意义的条件： 3、分式的基本性质： 4、分式的约分： 5、分式的通分： 6、最简分式： 7、最简公分母： 二、例题分析：例题1：下列式子中，什么是整式？什么是分式？3b a -；22-x ；3y 2-4；π10；m m 2；xy y x +例题2：下列各式中x 取何值时，分式有意义？（1）2+x x （2）2||3-x （3）x x x22+ （4）21--x x （5）1123+-x例题3：将下列各式进行约分：（1）234334227y x ab y bx a （2）221612yx yx n n +- （3）99622-++x x x例题4：将下列各式进行通分： （1）26ab x ，abc y 9 （2）x x x +-21，xx x--31例题5：将分式2223b a ab-中的a 、b 都扩大为原先的3倍，分式的值如何变化？例题6：若分式3222++x x 的值为正，试化简2)2(+x +|x+23|例题7：已知ab=1，求211a +＋211b+的值。

法一： 法二： 法三：例题8：已知x1-y 1=3，求分式y xy x y xy x -+-+2252的值。

法一： 法二： 法三：例题9：已知：2523+--+b a b a =82312-+++c b c b =6223-++-a c a c =2，求分式734232++--++c b a c b a 的值例题10、若x 取整数，求使分式1236-+x x 的值是整数的所有整数x 的值。

三、习题训练： 1、函数y ＝21-+x x 中自变量x 的取值范围是 . 2、已知x ＝－3时,分式ax bx +-无意义；当x ＝3时，此分式值为0，求a 2＋b 2的值。

3、把分式ba ba 5.13.02.0+-的分子与分母中各项系数都化为整数，分式变为 .4、下列各式成立的是（ ） （A ）y x y x ---＝－1 （B ）))((d c b a ba ---＝c －d （C ）22ba b a --＝b a -1 （D ）m m a 2.0501.0-＝m ma 20500- 5、若x 2－4＝0,则2652-+-x x x 的值为( )（A ）1 （B ）－5 （C ）－1或者－5 （D ）06、将下列各式进行约分：（1）233233627y x b xy b a - （2）21221632y x yx n n ++- （3）99622-+-x x x7、将下列各式进行通分：（1）215ab x ，abc y 9 （2）x x +21，xx x-38、将分式22232ba ba -+中的a 、b 都扩大为原先的3倍，分式的值如何变化？9、如图，数轴上表示1、3的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，设点C 表示的数为x ，求x ＋x1的值．10、若x 取整数，求使分式1254-+x x 的值是整数的所有整数x 的值。

专题02 乘法公式例1 73 提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．例2 （1）B x －y ＝（2a ＋4a ＋a ）＋（2b －8b ＋16）＝()22a +＋()24b -≥0，x ≥y ． （2）B 3个等式相加得：()23a -＋()21b +＋()21c -＝0，a ＝3，b ＝－1，c ＝1．a ＋b ＋c ＝3－1＋1＝3．例3 （1）167 （2）4 （3）－5050 例4718 提示：由a ＋b ＝1，2a ＋2b ＝2得ab ＝－12，利用1n a +＋1n b +＝（n a ＋n b ）（a ＋b )－ab (1n a -＋1n b -)可分别求得3a ＋3b ＝52，4a ＋4b ＝72，5a ＋5b ＝194，6a ＋6b ＝264，7a ＋7b ＝718． 例5 （1）设n 为自然数，则n （n ＋1)(n ＋2)(n ＋3）＋1＝()2231n n ++（2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝24006001． 例6（1）设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①.3,2,1333222c b a c b a c b a2①－②，得ab ＋b c ＋a c ＝21-， ∵333c b a ++－3ab c ＝（a ＋b ＋c ）（222c b a ++－ab －b c －a c ），∴ab c ＝31（333c b a ++）－31（a ＋b ＋c ）（222c b a ++－ab －b c －a c ）＝31×3－31×1×（2＋21）＝61． （2）将②式两边平方，得,4222222222444=+++++a c c b b a c b a∴()2222224442224a c c b b a c b a ++-=++＝4－2()[])(22c b a abc ac bc ab ++-++ ＝4－2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1612212＝625．A 级1．0或6 2．26，28 3．2 4．40 5．34 6．0 7．D 8．A 9．C10.原有136或904名学生．设⎪⎩⎪⎨⎧=-=+②①.1208,120822m x m x m ，n 均为正整数，且m ＞n ，①－②得（m ＋n ）（m －n ）＝240＝5324⨯⨯． 2m ，2n 都是8的倍数，则m ，n 能被4整除，m ＋n ，m －n 均能被4整除．得⎩⎨⎧=-=+460n m n m 或⎩⎨⎧=-=+1220n m n m ， ∴⎩⎨⎧==2812n m 或⎩⎨⎧==416n m 8x ＝2m －120＝904或8x ＝2m －120＝136．11.因为a ＝910＋338－2＝（910－1）＋（338－1）＝999 999 999＋37×（238＋38＋1），而999 999 999＝9×111 111 111＝9×3×37 037 037＝27×37×1 001 001＝37×（27×1 001 001）．所以37|999 999 999，且37|37×（238＋38＋1），因此a 是37的倍数．12.第2003行式子为：()2222004200420032003+⨯+＝()2120042003+⨯． 第n 行式子为：()()222211++++n n n n ＝()221++n n ．证明略B 级1．1．0942．76 提示：由13＋a ＝9＋b ＝3＋c 得a －b ＝－4，b －c ＝－6，c －a ＝103．13 4．156 5．D6.C 提示：（x ＋y ）（x －y ）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：⎩⎨⎧------=-------=+.1,7,41,49,287,2009,1,7,41,49,287,2009;2009,287,49,41,7,1,2009,287,49,41,7,1y x y x 故（x ，y ）共有12组不同的表示．7．B 8．C9．提示：不存在符合条件的整数对（m ，n ），因为1954不能被4整除．10．设所求两位数为AB ，由已知得22BA AB -＝2k （k 为整数），得2119.k A B A B =⨯+⨯-而88,0,A B A B -≤-≤+≥得111A B A B +=⎧⎨-=⎩或111A B A B +=⎧⎨-=-⎩解得65A B =⎧⎨=⎩或56A B =⎧⎨=⎩，即所求两位数为65，56 11. 设2222x y a b x y a b +=+⎧⎨+=+⎩①②, 则由2,-①②得22xy ab = ③②-③, 得22()()x y a b -=-, 即x y a b -=- x y a b ∴-=-或x y b a -=-分别与x y a b +=+联立解得x a y b =⎧⎨=⎩或x b y a =⎧⎨=⎩2003200320032003x y a b ∴+=+ 12. (1)22284786,=⨯=- 2220124503504502=⨯=-, 故28和2012都是神秘数（2）22(22)(2)4(21),k k k +-=+为4的倍数 （3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数. 22(21)(21)8n n n +--=,故两个连续奇数的平方差不是神秘数。

精选八年级奥数题合集（二）
1、快、慢两车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。

两车分别用了6分钟、10分钟追上骑车人。

已知快车每分钟行400米，慢车每分钟行320米。

骑车人每分钟行多少米？
2、某特训营纵队以7千米／时的速度行进，队尾的通信员以11千米／时的速度赶到队首送一封信，送到后立即以原速返回队尾，共用0.22小时。

求这支队伍的长度。

3、甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。

现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？
4、一个自行车选手在相距950千米的甲、乙两地之间训练。

从甲地出发，去时每90千米休息一次；到达乙地并休息一天后再沿原路返回，每100千米休息一次；他发现恰好有一个休息的地点与去时的一个休息地点相同，那么这个休息地点距甲地有多少千米？
5、一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。

这两只蚂蚁每秒分别爬5.5厘米和3.5厘米。

它们每爬行1秒，3秒、5秒……（连续的奇数），就调头爬行。

那么，它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？。

初二奥数知识点大全总结1. 有理数- 有理数包括整数和分数。

它们是可以表示为两个整数之比的数。

- 有理数的加减乘除和整数一样，遵循相同的运算法则。

2. 负数- 负数是小于零的有理数，可以用负号表示。

- 在数轴上，负数位于零的左边。

负数加减乘除的规则与正数相同。

3. 分数- 分数是形如a/b的数，其中a为分子，b为分母，且b不为0。

- 分数可以化简至最简形式，即约分。

两个数的最大公约数可以用来进行约分。

4. 整数乘法- 整数相乘，当两个数的符号相同时，积为正；符号不同时，积为负。

- 乘积的绝对值等于因数的绝对值相乘。

5. 整数除法- 整数相除，当两个数的符号相同时，商为正；符号不同时，商为负。

- 除法的计算可以转化为乘法，即a ÷ b = a × (1/b)。

6. 极分数- 极分数是指在分数的分母与分子上均无公约数的分数。

7. 小数- 小数是十进制分数直接写出的形式。

- 小数可以化为分数，分数也可以化为小数。

8. 小数加减乘除- 小数加减乘除的规则与整数相同，需要注意小数点的位置。

- 乘除小数时，需要将小数点移动到合适的位置，使得计算更加方便。

9. 简便计算法- 在计算中，可以利用一些简便计算法来简化计算过程。

- 比如，乘法中的“交叉相乘法”，以及“竖式计算法”等。

10. 负数的应用- 在实际生活中，经常会用到负数，比如气温为负数、海拔为负数等。

- 负数还可以用于解决一些实际问题，比如欠债、欠款等。

11. 分数的应用- 分数在日常生活中也有广泛的应用，比如烹饪中的食谱、比例问题等。

- 分数还可以用来解决一些实际问题，比如讨论分配问题、排队等。

12. 小数的应用- 小数同样在实际生活中有很多应用，比如货币、长度、面积等的计算均用到小数。

- 小数还可以用来解决一些实际问题，比如测量、物品的重量等。

13. 数列- 数列是按照一定的规律排列的一组数。

- 数列中的每一个数称为项，数列中的规律称为通项公式。

奥数知识点汇总(初二)奥数知识点汇总（初二）奥数，全称奥林匹克数学竞赛，是国际上著名的数学竞赛。

参加奥数竞赛的学生需要具备扎实的数学基础知识，同时需要了解和掌握一些特定的考察点。

本文将为初二学生整理和汇总一些常见的奥数知识点，帮助大家更好地备战奥数竞赛。

1. 组合与排列组合和排列是奥数竞赛中的常见考点。

组合是指从一组事物中取出部分进行搭配，不考虑顺序；排列则是考虑物品的顺序。

在解决组合和排列问题时，需要注意计算公式的运用和问题的转化。

2. 递推数列递推数列在奥数竞赛中经常出现。

递推数列是一个序列，其中的每一项都由前面的项推导出来。

在解题过程中，需要注意找到递推关系，进而推导得到数列中各项的值。

3. 均值不等式奥数竞赛中常涉及到均值不等式的运用。

均值不等式是数学中的一个重要定理，描述了一组数据的平均值和其他形式的关系。

在解题过程中，可以利用均值不等式来求解最值等问题。

4. 几何图形的性质奥数竞赛中的几何问题通常涉及到对几何图形的性质的分析和运用。

对于各种几何图形，如三角形、四边形等，需要了解其特点和性质，并能够灵活运用相关定理和公式进行推导和计算。

5. 数论数论是奥数竞赛的重要考点之一。

数论研究整数及其性质和关系，涉及到整除性质、素数、最大公约数、最小公倍数等概念。

在解题过程中，需要熟练运用数论的基本知识和定理。

6. 推理与证明在奥数竞赛中，推理与证明问题要求学生具备较强的逻辑思维和证明能力。

推理与证明问题需要根据已知条件和题目要求进行推导和论证，需要思路清晰、严密，语言准确。

7. 数列与函数数列与函数是奥数竞赛的重要内容之一。

在解决数列与函数问题时，需要掌握数列的性质、递推关系和函数的性质、图像和运算，能够灵活运用数列和函数的知识进行分析和计算。

8. 不等式奥数竞赛中的不等式问题考查学生对不等式性质的理解和运用能力。

解决不等式问题时，需要使用合适的方法和技巧进行推导和求解，注意推导过程中的等式变形和条件限制。