解直角三角形.ppt
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《解直角三角形》数学教学PPT课件(3篇)
b
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
解直角三角形-完整版PPT课件
解成时就已经倾斜， 其塔顶中心点偏离中心线2.1m。1972年地震之 后塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2m，而且 还以每年增加1cm的速度继续倾斜，随时都有 倒塌的危险。经过维修2001年使塔顶中心点偏 离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm。 问题：如果要你根据上述信息，用“塔身中心 线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的 倾斜程度，你能完成吗？
解直角三角形
1972年的情形：设塔顶中心店为B，塔身中心线与垂 直中心线的夹角为A，经过点B向垂直中心线引垂线， 垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C-90°，BC-5.2m， AB=54.5m，
SinA BC 5.2 0.0954 AB 54.5
利用计算器可得∠A≈5°28′。 类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中 心线的夹角。
解直角三角形
1972年的情形：设塔顶中心店为B，塔身中心线与垂 直中心线的夹角为A，经过点B向垂直中心线引垂线， 垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C-90°，BC-5.2m， AB=54.5m，
SinA BC 5.2 0.0954 AB 54.5
利用计算器可得∠A≈5°28′。 类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中 心线的夹角。
解直角三角形-ppt课件
，∴
∴CH = ，
∴AH=
∴AB=2AH=
−
.
=
，∵∠B=30°，
=
，
26.3 解直角三角形
重 ■题型 解双直角三角形
难
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 AC 上一
题
型
点，BD=10
，∠BDC=45°，sinA=
，求 AD 的长．
突
∴S
AB·AE= ×4×4 =8 ，
CD·DE= ×5 ×15=
四边形 ABDC=S△CDE-S△ABE=
，
．
（方法二）如图 2，过点 A 作 AF⊥CD 于点 F，过点
B 作 BG⊥AF 于点 G，则∠ABG=30°，
∴AG=
AB=2，BG= − =2 ，
况讨论，求出不同情况下的答案.
26.3 解直角三角形
■方法：运用割补法求不规则图形的面积
方
法
割补法是求不规则图形面积问题的最常用方法，割补法
技
巧 包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二
点
拨 是通过作辅助线将原有图形补为规则图形；三是分割和补
形兼而有之.
26.3 解直角三角形
例 如图，在四边形 ABDC 中，∠ABD=120°，AB⊥AC，
＝
2
＝25
26.3 解直角三角形
变式衍生 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是 AB
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
28.2.1解直角三角形课件(共16张PPT)
c b 20 34.9. sin B sin 35
A
c
b = 20
35°
B
aC
你还有其他方 法求出c吗？
【针对练】
如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB＝ ________米（用计算器计算，结果精确到0.1米）
【解析】由tanC AB，得
BC
AB=BC·tanC=20×tan33°=13.0 【答案】13.0
C
6
B
AB 2AC 2 2.
合作探究 达成目标
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
个直角三角形（精确到0.1）
【解析】A 90-B 90-35 55.
tan B b a
a b 20 28.6 tan B tan 35
sin B b c
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
合作探究 达成目标
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6
解这个直角三角形.
【解析】
tan A BC AC
6 2
3,
A
2
A 60.
B 90 A 30.
总结梳理 内化目标
1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关 联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时， 要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高 是常用的辅助线）．
2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系 ，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三 角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合 理运用.
A
c
b = 20
35°
B
aC
你还有其他方 法求出c吗？
【针对练】
如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB＝ ________米（用计算器计算，结果精确到0.1米）
【解析】由tanC AB，得
BC
AB=BC·tanC=20×tan33°=13.0 【答案】13.0
C
6
B
AB 2AC 2 2.
合作探究 达成目标
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
个直角三角形（精确到0.1）
【解析】A 90-B 90-35 55.
tan B b a
a b 20 28.6 tan B tan 35
sin B b c
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
合作探究 达成目标
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6
解这个直角三角形.
【解析】
tan A BC AC
6 2
3,
A
2
A 60.
B 90 A 30.
总结梳理 内化目标
1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关 联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时， 要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高 是常用的辅助线）．
2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系 ，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三 角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合 理运用.
解直角三角形ppt课件
经济学中的复利计算
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
解直角三角形的应用(19张ppt)课件
选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。
解直角三角形(共30张)PPT课件
比例性质应用
利用相似三角形中对应边 之间的比例关系进行计算。
实际应用举例
测量问题
利用相似三角形原理解决 测量中的实际问题，如测 量建筑物高度、河宽等。
航海问题
在航海中，利用相似三角 形原理解决船只定位、航 向确定等问题。
物理问题
在物理实验中，利用相似 三角形原理解决光学、力 学等问题，如光的折射、 力的合成与分解等。
利用相似三角形求边长
通过已知边长和相似比，可以求出未知边长。
利用相似三角形求角度
通过已知角度和相似关系，可以求出未知角度。
利用相似三角形求面积
通过已知面积和相似比，可以求出未知面积。
相似比计算方法和技巧
01
02
03
直接计算法
根据已知条件直接计算相 似比。
间接计算法
通过引入辅助线或构造特 殊图形来计算相似比。
解直角三角形(共30张)PPT课 件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 三角函数在解直角三角形中应用 • 相似三角形在解直角三角形中作用
目录
• 复杂图形中解直角三角形策略探讨 • 拓展延伸：非直角三角形解法探讨
01
直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及特点
有一个角为90度的三角形称为直角三角形。
案例三
在三角形中解直角三角形问题。 通过作高线构造直角三角形，并
结合相似性质进行求解。
总结归纳与提高建议
总结归纳
在复杂图形中解直角三角形的关键在于构造直角三角形并利用 已知条件进行推理和计算。通过添加辅助线、利用相似性质和 三角函数关系等方法，可以有效地解决这类问题。
提高建议
为了更好地掌握解直角三角形的技巧和方法，建议多做相关练 习题并总结归纳经验。同时，也可以学习一些高级的数学知识 和技巧，如三角函数恒等式、极坐标等，以便更好地应对复杂 的数学问题。
解直角三角形公开课ppt课件
综合应用举例
具体步骤
根据实际问题建立直角三角形模型，确定已知条件和所求量。然后选择合适的解 法（如已知两边求角、已知两角求边等）进行计算，得出结果并进行检验。
注意事项
在综合应用过程中，需要注意实际问题的背景和限制条件，以及计算结果的合理 性和准确性。同时，还需要掌握多种解法，以便灵活应对不同的问题和情况。
已知两角求边
具体步骤
设已知的两个锐角为α和β，其中α为与已知边相邻的角，β为另一个锐角。则 可以利用正弦函数sin(α) = a/c或余弦函数cos(α) = b/c求解边长a或b，其中c 为斜边。
注意事项
在求解过程中，需要注意角度的单位和范围，以及正弦和余弦函数在不同象限 的正负性。同时，还需要注意已知边与所求边之间的关系，避免出错。
直角三角形两直角边互相 垂直，且斜边是直角边的 平方和的平方根。
直角三角形的元素
包括直角边、斜边和两个 锐角。
解直角三角形的意义
解决实际问题
解直角三角形可以帮助我们解决很多 实际问题，如测量、航海、建筑等。
培养数学思维
为后续学习打下基础
解直角三角形是学习数学的基础，对 于后续学习三角函数、解析几何等具 有重要意义。
力学问题中的解直角三角形
力的分解与合成
在力学中，经常需要将一个力分解为两个或多个分力，或 将多个分力合成为一个力，这时可以利用直角三角形的性 质和三角函数进行计算。
运动学中的问题
在研究物体的运动轨迹、速度、加速度等问题时，可以利 用直角三角形的性质进行求解，如抛物线运动、圆周运动 等。
动力学中的问题
定义、性质、三角函数定义和应用的理解程度等。
学习困难与问题反馈
02
鼓励学生反馈在学习过程中遇到的困难和问题，以便教师及时
解直角三角形(复习课)课件
分析多个直角三角形之间的关系，解 决较为复杂的几何问题。
结合勾股定理和三角函数计算直角三 角形中的未知量。
利用给定的条件，设计合理的方案解 决实际问题，如设计桥梁、建筑等结 构的支撑体系。
06
复习与总结
重点回顾
直角三角形的定义与性质
回顾直角三角形的定义、性质和判定条件，理解其在几何图形中 的重要地位。
求解角度。
常见错误分析
混淆边和角
在解题过程中，有时会混淆边和角，导致计算错误。
忽视勾股定理的条件
在使用勾股定理时，需要确保三角形是直角三角形，否则会导致错 误。
角度范围错误
在计算角度时，需要注意角度的范围，避免出现负角度或超过180 度的角度。
解题方法总结
勾股定理法
适用于已知两边长度， 求第三边长度的情况。
船只安全航行。
物理实验
测量角度
在物理实验中，经常需要测量各 种角度。解直角三角形的方法可 以用来计算这些角度，确保实验
结果的准确性。
计算力的大小
在物理实验中，经常需要计算力的 大小。通过解直角三角形，可以精 确地计算出力的大小，确保实验结 果的可靠性。
确定物体的位置
在物理实验中，物体的位置是非常 重要的。通过解直角三角形，可以 计算出物体的位置，确保实验的准 确性和可靠性。
04
解题技巧与策略
解题思路
01
02
03
04
明确问题要求
首先需要理解题目的要求，确 定需要求解的是什么。
选择合适的三角形
根据问题描述，选择一个合适 的直角三角形来解决问题。
利用勾股定理
在直角三角形中，勾股定理是 一个重要的工具，可以帮助我
们求解边长。
结合勾股定理和三角函数计算直角三 角形中的未知量。
利用给定的条件，设计合理的方案解 决实际问题，如设计桥梁、建筑等结 构的支撑体系。
06
复习与总结
重点回顾
直角三角形的定义与性质
回顾直角三角形的定义、性质和判定条件，理解其在几何图形中 的重要地位。
求解角度。
常见错误分析
混淆边和角
在解题过程中，有时会混淆边和角，导致计算错误。
忽视勾股定理的条件
在使用勾股定理时，需要确保三角形是直角三角形，否则会导致错 误。
角度范围错误
在计算角度时，需要注意角度的范围，避免出现负角度或超过180 度的角度。
解题方法总结
勾股定理法
适用于已知两边长度， 求第三边长度的情况。
船只安全航行。
物理实验
测量角度
在物理实验中，经常需要测量各 种角度。解直角三角形的方法可 以用来计算这些角度，确保实验
结果的准确性。
计算力的大小
在物理实验中，经常需要计算力的 大小。通过解直角三角形，可以精 确地计算出力的大小，确保实验结 果的可靠性。
确定物体的位置
在物理实验中，物体的位置是非常 重要的。通过解直角三角形，可以 计算出物体的位置，确保实验的准 确性和可靠性。
04
解题技巧与策略
解题思路
01
02
03
04
明确问题要求
首先需要理解题目的要求，确 定需要求解的是什么。
选择合适的三角形
根据问题描述，选择一个合适 的直角三角形来解决问题。
利用勾股定理
在直角三角形中，勾股定理是 一个重要的工具，可以帮助我
们求解边长。