初二数学部分典型习题解答(1)

分式方程及其应用（习题）例题示范例1：解分式方程：11322x x x-=---． 【过程书写】 1(1)3(2)1136242x x x x x x =----=-+-+==解： 检验：把x =2代入原方程，不成立∴x =2是原分式方程的增根∴原分式方程无解例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km ．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度.【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】解：设慢车的速度为x km/h ，则快车的速度为1.2x km/h ，由题意得，1201200.51.2x x =- 解得，x =40经检验：x =40是原方程的解，且符合题意答：慢车的速度是40km/h ．巩固练习1. 下列关于x 的方程，其中不属于分式方程的是（ ）A ．1a b a x a ++=B ．xa b x b a +=-11 C ．b x a a x 1-=+ D ．1=-+++-nx m x m x n x2. 解分式方程2236111x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（ ） A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程2(1)3(1)6x x -++=C ．解这个整式方程，得1x =D ．原方程的解为1x =3. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意可列方程为（ ）A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=-4. 若方程61(1)(1)1m x x x -=+--有增根，则m =_________．5. 如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是___________．6. 解分式方程：（1）43(1)1x x x x +=--；（2）22(1)23422x x x x +=+--+；（3）23112x x x x -=+--；（4）11222x x x-=---．7. 某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800件投入市场．已知该服装厂有A ，B 两个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B 车间的1.2倍．A ，B 两车间共同完成一半的生产任务后，A 车间因出现故障而停产，剩下的全部由B 车间单独完成，结果前后共用了20天完成全部生产任务．则A ，B 两车间每天分别能加工多少件该款夏装？ 【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】8.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但是单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】【参考答案】 巩固练习1. C2. D3. B4. 35.x=36.（1）x=2（2）43 x（3）无解（4）无解7.A车间每天能加工384件该款夏装B车间每天能加工320件该款夏装8.商厦共盈利90 260元。

初二数学练习题含答案1. 甲、乙、丙三个人一起做一件工作，甲单独做需要7天，乙单独做需要9天，丙单独做需要12天。

他们三人同时开始做，丙人在三天后离开，甲、乙继续完成剩余的工作。

请问他们一共完成这个工作需要多少天？解析：甲单独完成1天的工作量是1/7乙单独完成1天的工作量是1/9丙单独完成1天的工作量是1/12甲、乙、丙三人同时开始做，三天后丙人离开，也就是三天内他们三人的工作量是：3 ×（1/7 + 1/9 + 1/12） = 27/84剩下的工作量就是1 - 27/84 = 57/84甲、乙继续完成剩下的工作需要的时间是：（57/84）/（1/7 + 1/9） = 4.5天所以，他们一共完成这个工作需要的时间是：3 + 4.5 = 7.5天答案：7.5天2. 一根长为10厘米的绳子分成两段，其中一段比另一段长4厘米。

求两段绳子的长度各是多少？解析：设其中一段的长度为x厘米，则另一段的长度为(x + 4)厘米。

根据题意可得x + (x + 4) = 10化简得2x + 4 = 10解方程可得x = 3所以，其中一段绳子的长度为3厘米，另一段绳子的长度为7厘米。

答案：3厘米和7厘米3. 某商品原价120元，现正在打7折出售。

求打折后的价格是多少？解析：打7折表示打的是原价格的70%，所以打折后的价格为120 × 70%= 120 × 0.7 = 84元。

答案：84元4. 一个四边形的两条边长分别为5厘米和7厘米，另外两边长之和是10厘米，求这个四边形的周长是多少？解析：设另外两条边的长度分别为x和(10 - x)厘米。

根据题意可得x + (10 - x) = 10，化简得10 = 10，这是恒等式，所以其他两条边长可以为任意值。

因此，这个四边形的周长是5 + 7 + x + (10 - x) = 22厘米。

答案：22厘米5. 一根杆子高12米，从杆顶向下掉落一个小球，每次反弹高度是前一次的一半。

初二下册数学练习题解答题解答题一：有理数的运算题目：计算：(3/4) + (9/12) - (1/6)解答：首先我们需要将所有分数化为相同的分母。

将3/4和9/12都化为12分之一的分数：(3/4) * (3/3) = 9/12所以，我们的计算式变为：9/12 + 9/12 - (1/6)接下来，我们可以直接进行分数的加减运算：9/12 + 9/12 = 18/12再减去1/6：18/12 - 2/12 = 16/12最后，我们可以将16/12化简为最简分数：16/12 = 4/3所以，计算结果为4/3。

解答题二：平行线的性质题目：已知直线l与平行线m、n相交于点A和B，若∠CAB = 110°，求证∠ABC = 70°。

根据平行线性质，我们可以得出结论：同位角互等。

∠CAB与∠ABC是同位角，根据已知条件∠CAB = 110°，我们可以得出∠ABC也应该等于110°。

然而，题目中要求我们证明∠ABC = 70°，与已知条件不符。

所以，该命题不成立。

解答题三：面积与体积题目：已知一个正方形的周长为16厘米，求其面积。

解答：我们知道正方形的周长等于四条边的长度之和，假设正方形的一条边长为x。

根据已知条件，我们可以列出方程式：4x = 16。

解方程，得到x = 4/1 = 4。

所以，正方形的边长为4厘米，面积为边长的平方，即4^2 = 16厘米²。

解答题四：比例与相似题目：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比，若两个相似三角形的周长之比为3:4，相似比为2:3，求这两个相似三角形的周长。

假设较小三角形的周长为2x，较大三角形的周长为3x。

根据题目给出的条件，我们可以得到：2x/3x = 3/4。

解方程，得到x = 9。

所以，较小三角形的周长为2x = 2 * 9 = 18，较大三角形的周长为3x = 3 * 9 = 27。

因此，这两个相似三角形的周长分别为18和27。

初二数学试的题目及答案详解(免费)试题详解：1.已知一个长方形的长为3cm，宽为5cm，求它的周长和面积。

周长=（长+宽）×2=（3+5）×2=16cm面积=长×宽=3×5=15cm²2.若a=2，b=5，c=-3，求a+b-c的值。

a+b-c=2+5+3=43.某人曾以1元1斤购得一批香蕉，现以1元2斤的价格卖出，如果每天卖出10斤，问这批香蕉卖多少天才能卖完？假设共购进x斤香蕉，那么总共花费x元。

根据题目条件，卖出1斤得到2/1元，卖出x斤得到2x元。

因此：2x = x元，即x=0。

很明显这是错误的，这是因为单价出现了负数。

卖出1斤得到的价格比购买1斤的价格高出了1元/斤，因此，要使单价正好是1元/斤，必须卖出与购买数量相同的香蕉。

因此，要卖10斤香蕉，需要5天的时间。

4.一个人每小时走5公里，从A地到B地要走10个小时，这两地相距多少公里？设A、B两地相距x公里，则：x=5×10=50（km）。

5.若按分数的大小分别用10，8、6、4、2、0表示，把27分表示成这样的小数分数形式。

增量=上界 - 下界 =两梯度之和/(上梯度计数+下梯度计数)上界 = 27, 上梯度计数= 27÷6 = 4下界 = 24，下梯度计数 = 2增量 = 8-6 = 2，因此答案为24 2/6。

6.已知某一分数的分子为25，如果把它的分母加5的结果得到分子的3倍，求该分数。

设该分数为a/b，则可以列出如下方程：a/b = 25/b+5×3化简整理可得：a/b = 15/2，即该分数为15/2。

7. Alexander用6张500元的纸币换来一台电脑，他找了给商家2张钞票，问这两张钞票的面值分别是多少？设两张钞票的面值分别为x、y元，则2x + 2y = 1000-12×500 =- 6000化简整理可得：x + y =- 3000因此，其中一张钞票为5000元，另一张为-8000元，它们的和是-3000元，符合题目要求。

（2003•黑龙江）已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG=二分之一（AB+AC+BC）．若：（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图3），则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．专题：开放型．分析：（1）都是内角平分线时，可根据等腰三角形三线合一的特点来求解，由于DB平分∠ABC，且AF⊥BD，如果延长AF交BC于K，那么三角形ABK就是个等腰三角形，AF=FK，如果延长AG到H，那么同理可证AG=GH，AC=CH，那么GF就是三角形AHK的中位线，GF就是HK的一半，而HK=BK-BH=BK-（BC-CH），由于BK=AB，CH=AC，那么可得出FG=二分之一（AB+AC+BC）．（2）证法同（1）先根据题目给出的求法，得出GD是AC的一半，然后按（2）的方法，通过延长AF 来得出DF是（BC-AB）的一半，由此可得出FG=二分之一（AB+AC+BC）．解答：解：（1）猜想结果：如图结论为FG=二分之一（AB+AC+BC）．证明：分别延长AG、AF交BC于H、K，在△BAF和△BKF中，∵∠ABD=∠FBKBF=BF∠BFA=∠BFK∴△BAF≌△BKF（ASA），∴AF=KF，AB=KB同理可证，AG=HG，AC=HC∴FG=二分之一HK又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC∴FG=二分之一（AB+AC+BC）．（2）图3的结论为FG=二分之一（BC+AC-AB）．证明：分别延长AG、AF交BC或延长线于H、K在△BAF和△BKF中，∵∠ABD=∠DBKBF=BF∠BFA=∠BFK∴△BAF≌△BKF（ASA），∴AF=KF，AB=KB同理可证，AG=HG，AC=HC，∴FG=二分之一HK又∵KH=BC-BK+HC=BC+AC-AB．∴FG=二分之一（BC+AC-AB）．点评：本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定等知识点．已知，如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．考点：三角形内角和定理；角平分线的定义．专题：探究型．分析：根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．解答：解：∠C的大小保持不变．理由：∵∠ABY=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠ABE=∠ABY=二分之一（90°+∠OAB）=45°+二分之一∠OAB，即∠ABE=45°+∠CAB，又∵∠ABE=∠C+∠CAB，∴∠C=45°，故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．点评：本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分别以DA、AB、BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A．S1+S3=S2 B．2S1+S3=S2 C．2S3-S2=S1 D．4S1-S3=S2考点：勾股定理．专题：探究型．分析：过点A作AE∥BC交CD于点E，得到平行四边形ABCE和Rt△ADE，根据平行四边形的性质和勾股定理，不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边．解答：解：过点A作AE∥BC交CD于点E，∵AB∥DC，∴四边形AECB是平行四边形，∴AB=CE，BC=AE，∠BCD=∠AED，∵∠ADC+∠BCD=90°，DC=2AB，∴AB=DE，∠ADC+∠AED=90°，∴∠DAE=90°那么AD2+AE2=DE2，∵S1=AD2，S2=AB2=DE2，S3=BC2=AE2，∴S2=S1+S3．故选A．点评：本题考查了勾股定理，解题的关键在于通过作辅助线把梯形的问题转换为平行四边形和直角三角形的问题，然后把三个正方形的边长整理到一个三角形中进行解题．（2012•山西）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA 与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是（2，2根号3）．考点：矩形的性质；坐标与图形性质；解直角三角形．分析：过点B作DE⊥OE于E，有OC=2，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，可求出AC 的长，根据矩形的性质可得OB的长，进而求出BE，OE的长，从而求出点B的坐标．解答：解：过点B作BE⊥OE于E，∵矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，∴∠CAO=30°，∴AC=4，∴OB=AC=4，∴OE=2，∴BE=2根号3∴则点B的坐标是（2，2根号3），故答案为：（2，2根号3）．点评：本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的运用和解直角三角形的有关知识，解题的关键是作高线得到点的坐标的绝对值的长度，已知等腰三角形的一边为3，另两边是方程x2-4x+m=0的两个实根，则m的值为3或4．考点：等腰三角形的性质；根与系数的关系．专题：分类讨论．分析：此题应该分情况考虑，①若腰是3，②若底是3．结合韦达定理，可求出m的值．解答：解：①腰是3，则说明方程有一个根是3，设方程的另一根是x，那么有x+3=4，3x=m，解得x=1，那么m=3．②底是3，则说明方程有两个相等的实数根，设这个相等的根是x，那么有2x=4，x2=m，解得x=2，那么m=4．点评：有两边相等的三角形是等腰三角形；一元二次方程ax2+bx+c=0中，两根x1，x2有如下关系：x1+x2=负b分之a，x1•x2=c分之a．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2≠180°．求证：l1与l2不平行．证明：假设l1∥l2，则∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设不成立．所以l2不平行l1与．考点：反证法；平行线的判定与性质．专题：推理填空题．分析：用反证法证明问题，先假设结论不成立，即l1∥l2，根据平行线的性质，可得∠1+∠2=180°，与已知相矛盾，从而证得l1与l2不平行．解答：证明：假设l1∥l2，则∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设_不成立．所以结论成立，l1与l2不平行．点评：反证法证明问题，是常见的证明方法，关键是找出与已知相矛盾的条件．（2002•安徽）石灰石是我省的主要矿产之一．学校研究性学习小组为了测定当地矿山石灰石中碳酸钙的质量分数，取来了一些矿石样品，并取稀盐酸200g，平均分成4份进行实验，结果如下表：实验 1 2 3 4加入样品的质量/g 5 10 15 20生成的CO2质量/g 1.76 3.52 4.4 m（1）哪几次反应中碳酸钙有剩余？（2）上表中m的值为？（3）试计算这种石灰石中碳酸钙的质量分数．考点：物质的构成和含量分析；根据化学反应方程式的计算．专题：有关化学方程式的计算．分析：（1）观察并对比表格中的数据可知：第2次实验中的数据均为第一次实验的两倍，而第3次少，说明此时盐酸已完全反应，故3、4次实验中碳酸钙有剩余，且生成二氧化碳的质量相等，即m=4.4；（2）（3）碳酸钙的质量分数可根据第1次或第2次实验中二氧化碳的质量求出．根据化学方程式得出各物质之间的质量比，列出比例式，即可求出参加反应的CaCO3的质量，然后再根据质量分数公式进行计算即可．解答：解：（1）由表格中的数据可知，第3次反应已是完全反应，故第3、4次反应中的碳酸钙的质量有剩余．（2）因为第3次反应已是完全反应，不再有气体产生，故第四次反应生成的气体质量的第三次的一样多，即m=4.4．（3）设第1次实验中样品中的碳酸钙的质量为x，CaCO3+2HCl═CaCl2+H2O+CO2↑100 44x 1.76g∴100除以44=x除以1.76g解之得：x=4g，石灰石中碳酸钙的质量分数为：4除以5×100%=80%．答：石灰石中碳酸钙的质量分数为80%．点评：本题主要考查学生对完全反应的概念的认识，以及运用化学方程式和质量分数公式进行计算的能力．已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．（1）猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想；（2）求折痕EF的长．考点：菱形的判定．专题：探究型．分析：（1）折叠问题，即物体翻折后，翻折部分与原来的部分一样，对应边相等；（2）求线段的长度，可在直角三角形中利用勾股定理求解，题中利用其面积相等进行求解，即菱形的面积等于底边长乘以高，亦等于对角线乘积的一半．解答：解：（1）菱形，理由如下：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∠AFE=∠CEF．∵矩形ABCD沿EF折叠，点A和C重合，∴∠CEF=∠AEF，AE=CE∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴AECF为平行四边形，∵AE=EC，即四边形AECF的四边相等．∴四边形AECF为菱形．（2）∵AB=9cm，BC=3cm，∴AC=310cm，AF=CF∴在Rt△BCF中，设BF=xcm，则CF=（9-x）cm，由勾股定理可得（9-x）2=x2+32，即18x=72，解得x=4，则CF=5，BF=4，由面积可得：二分之一•AC•EF=AF•BC即二分之一•3根号10•EF=5×3∴EF=根号10cm．点评：熟练掌握菱形的性质及判定，能够利用菱形的性质求解一些简单的计算问题．（2012•龙岩）如图1，过△ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形．（1）若△ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为3；（2）如图4，已知△ABC，在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；（3）如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD=2a，正方形EFGH的对角线长为2a．考点：相似形综合题；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：（1）根据折叠得出△DEF≌△AEF，△BEH≌△DEH，△CFG≌△DFG，求出矩形EFGH的面积是S△DEF+S△DEH+S△DFG=二分之一S△ABC，代入求出即可；（2）根据已知和折叠性质，结合图2画出即可；（3）根据折叠性质得出△AEF边EF上高和△DEF边EF上高相等，DH=BH，DG=GC，求出HG=二分之一BC，根据正方形的性质求出EF=FG=GH=EH=a，即可求出AD，由勾股定理求出正方形EFGH的对角线即可．解答：解：（1）∵沿EF折叠A与D重合，∴△DEF≌△AEF，∵△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，∴△BEH≌△DEH，△CFG≌△DFG，∴矩形EFGH的面积是S△DEF+S△DEH+S△DFG=二分之一S△ABC=二分之一×6=3，故答案为：3．（2）如右图所示：（3）∵根据折叠得出△BEH≌△DEH，△CFG≌△DFG，BC=2a，∴△AEF边EF上高和△DEF边EF上高相等，DH=BH，DG=GC，∴HG=二分之一BC=a，∵四边形EFGH是正方形，∴EF=FG=GH=EH=a，则AD=2EH=2a，由勾股定理得：正方形EFGH的对角线是：根号（a方+a方）=根号（2）a，故答案为：2a，根号（2）a点评：本题考查了正方形性质、折叠性质、勾股定理的应用，通过做此题培养了学生的观察图形的能力和计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．（2012•广安）现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．考点：图形的剪拼．分析：根据题意画出所有的四边形，再根据勾股定理、平行四边形的性质分别进行计算即可求出各个四边形的两条对角线长的和．解答：解：∵等腰三角形的周长为32cm，底比一腰多2cm，∴等腰三角形的腰长为10cm，底为12cm，底边上的高为8cm．拼成的各种四边形如下：①∵BD=10，∴四边形的两条对角线长的和是10×2=20（cm）；②∵AC=根号（AE平方+CE平方）=根号（12平方+8平方）=4根号(13)，∴四边形的两条对角线长的和是AC+BD=4根号(13)+8（cm）；③∵BD=根号（BE平方+DE平方）=根号（16平方+6平方）=2根号(73)；∴四边形的两条对角线长的和是：AC+BD=6+2根号(73)（cm）；④∵BO=AB•BC÷AC=8×（12÷2）÷10=4.8，∴BD=2BO=2×4.8=9.6，∴四边形的两条对角线长的和是：AC+BD=9.6+10=19.6（cm）．点评：此题考查了图形的剪拼，解题的关键是根据题意画出所有的图形，用到的知识点是勾股定理、平行四边形的性质等．在正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上的一动点，过点P作PF⊥CD于点F，如图（1），当点P与点O重合时，显然有DF=CF．如图（2），若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E，（1）求证：DF=EF；（2）求证：PC-PA=根号（2）CE．考点：正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）要证明DF=EF，连接PD，证明PD=PE，利用等腰三角形的性质，底边上三线合一，可以得出结论．（2）由CE=CF-EF，又有PC和CF的关系、PA和EF的关系，结合到一起可以求解．解答：证明：如图①连接PD，∵四边形ABCD是正方形，AC平分∠BCD，CB=CD，△BCP≌△DCP∴∠PBC=∠PDC，PB=PD∵PB⊥PE，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°∵∠PEC+∠PED=180°，∴∠PBC=∠PED，∴∠PED=∠PBC=∠PDC，∴PD=PE，∵PF⊥CD，∴DF=EF．（2）如图②，过点P作PH⊥AD于点H，由（1）知：PA=根号（2）PH=根号（2）DF=根号（2）EFPC=根号（2）CF∴PC-PA=根号（2）（CF-EF），即PC-PA=根号（2）CE．点评：本题考查了正方形的性质，合理的作出辅助线，利用各边之间的关系，通过转换的思想求证．（2010•泰州）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．（1）求证：AC∥DE；（2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由．考点：矩形的性质；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．专题：综合题．分析：（1）要证AC∥DE，只要证明，∠EDC=∠ACD即可；（2）要判断四边形BCEF的形状，可以先猜后证，利用三角形的全等，证明四边形的两组对边分别相等．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，∵∠EDC=∠CAB，∴∠EDC=∠ACD，∴AC∥DE；（2）解：四边形BCEF是平行四边形．理由如下：∵BF⊥AC，四边形ABCD是矩形，∴∠DEC=∠AFB=90°，DC=AB在△CDE和△BAF中，∠DEC=∠AFB∠EDC=∠BAFCD=BA∴△CDE≌△BAF（AAS），∴CE=BF，DE=AF（全等三角形的对应边相等），∵AC∥DE，即DE=AF，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AD=EF，∵AD=BC，∴EF=BC，∵CE=BF，∴四边形BCEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．点评：本题所考查的知识点：三角形全等、平行四边形的判定，矩形的性质．已知菱形ABCD中，∠A=72°，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（不写画法，在图中注明所分得等腰三角形顶角的度数）。

初二数学练习题及答案解析1.计算下列式子的值：(8 + 2) × (6 - 4) - 7 ÷ 3解析：先计算括号里面的内容：10 × 2 - 7 ÷ 3然后进行乘除法：20 - 2.33 ≈ 17.672.求下列方程的解：2x + 5 = 13解析：将方程中的5移到右边：2x = 13 - 5计算得出：2x = 8最终解为：x = 43.已知正方形的周长为20cm，求其边长。

解析：正方形的周长等于四个边长之和，设边长为x，则方程为：4x = 20计算得出：x = 5所以该正方形的边长为5cm。

4.一辆汽车每小时行驶60公里，行驶一段时间后行驶了180公里，求行驶的时间。

解析：设汽车行驶的时间为t小时，则根据速度和时间的关系可得方程：60t = 180计算得出：t = 180 ÷ 60 = 3所以汽车行驶的时间为3小时。

5.甲、乙、丙三人合作完成一项工作，甲独立完成该工作需8小时，乙独立完成该工作需10小时，丙独立完成该工作需12小时。

三人共同合作完成该工作需多少小时？解析：根据每个人的工作效率可以得出他们每小时各自完成的工作量：甲：1/8，乙：1/10，丙：1/12。

则三人合作每小时完成的工作量为：1/8 + 1/10 + 1/12 = 11/120设共同完成工作所需的时间为t小时，则可得方程：(11/120) × t = 1计算得出：t ≈ 109.0909所以三人共同合作完成该工作需约109.0909小时。

6.某商品原价为200元，现以95折的打折力度出售，求打折后的价格。

解析：95折相当于原价的0.95倍，所以打折后价格为：200 × 0.95= 190元。

7.已知等边三角形的边长为10cm，求其面积。

解析：根据等边三角形的性质，可以知道它的高等于边长的根号3除以2，所以高为：10 × √3 / 2。

再根据三角形的面积公式S = 底 ×高 / 2，可计算得出：10 × 10 ×√3 / 2 / 2 = 25√3所以等边三角形的面积为25√3 平方厘米。

初二数学经典难题一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN 于E、F．求证：∠DEN=∠F．3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．7．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．8．（10分）（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x，△PBE的面积为y．①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．9．（10分）（2010•河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．（2）直接写出时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．10．（10分）（2007•福州）如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．初二数学经典难题参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。

初二数学练习题加答案
一、选择题：
1. 下列各数中哪个数是负数？
A. 3
B. -5
C. 2
D. 0
答案：B
2. 2的平方根是多少？
A. 2
B. 4
C. -2
D. 0
答案：A
3. 下列各组数中，哪组数中所有数字的和都是负数？
A. -1, -2, -3
B. 2, -4, -5
C. 1, 2, -3
D. -2, 3, -4
答案：D
二、填空题：
1. 已知 x + 5 = 10，那么 x 的值是___。

答案：5
2. 一根铁丝长12cm，要铸成一个长方形的边长比为2：3的铁块，则该铁块的较小边长为___cm。

答案：4
3. 一个数的2倍加3等于15，这个数是___。

答案：6
三、计算题：
1. (5 + 2) × (3 - 1) = ___。

答案：14
2. 350 ÷ (2 + 3) = ___。

答案：70
3. 如果 x = 3，那么 2x - 5 的值是___。

答案：1
四、解答题：
1. 请列举出两个互为负数的例子。

答案：-2 和 2 是互为负数的例子，因为它们的积是负数。

2. 在数轴上，-3 和 5 的位置关系是什么？请用不等式表示。

答案：-3 < 5
3. 请用运算符号填空，使得等式成立：4 ___ 2 = 8。

答案：×（乘法）。

初二数学练习题答案和解析这篇文章将为您提供初二数学练习题的详细答案和解析。

我们将按照题目的顺序逐题解答，并提供相应的数学知识和解题方法。

希望通过这篇文章，您能够更加深入地理解和掌握初二数学中的各个知识点。

1. 请计算下列各题的结果：a) 3 + 5 = ?b) 7 - 4 = ?c) 2 × 6 = ?d) 15 ÷ 3 = ?答案与解析：a) 3 + 5 = 8。

这是一个简单的加法运算，将3和5相加，得到8。

b) 7 - 4 = 3。

这是一个减法运算，将7减去4，得到3。

c) 2 × 6 = 12。

这是一个乘法运算，将2乘以6，得到12。

d) 15 ÷ 3 = 5。

这是一个除法运算，将15除以3，得到5。

2. 请解决下列方程：a) 2x + 5 = 15b) 3(x - 4) = 21c) 4x ÷ 2 = 10答案与解析：a) 2x + 5 = 15。

首先我们将5移到等式的右边，变为2x = 15 - 5，即2x = 10。

接下来我们将方程两边都除以2，得到x = 10 ÷ 2，即x = 5。

b) 3(x - 4) = 21。

首先我们将括号里的表达式展开，得到3x - 12 = 21。

然后将12移到等式的右边，变为3x = 21 + 12，即3x = 33。

最后将方程两边都除以3，得到x = 33 ÷ 3，即x = 11。

c) 4x ÷ 2 = 10。

首先我们将方程左边的除法运算转化为乘法运算，得到4x = 2 × 10，即4x = 20。

然后将方程两边都除以4，得到x = 20 ÷4，即x = 5。

3. 请计算下列各题：a) 2² = ?b) √16 = ?c) 3³ = ?d) 5⁰ = ?答案与解析：a) 2² = 2 × 2 = 4。

这是一个指数运算，表示2的2次方，即2乘以2，得到4。

八年级初二数学勾股定理知识点及练习题及答案(1)一、选择题1．如图钢架中，∠A＝15°，现焊上与AP1等长的钢条P1P2，P2P3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（）A．16 B．15 C．12 D．102．如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC=5，AB=8，D为底边上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF= （）A．5 B．8 C．13 D．4．83．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2 B．2.5 C．3 D．44．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，且PP1＝1，得OP1＝2；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2018的值为( )A2016B2017C2018D20195．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC＝4，AC＝8，则S△PBC为（）A ．3B ．3.3C ．4D ．4.56．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（ ）A ．15--B ．15-C ．5-D ．15-+7．如图，分别以直角ABC ∆三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123,,S S S 表示，若27S =，32S =，那么1S =（ ）A ．9B ．5C ．53D ．458．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是（ ）A ．245B ．5C ．6D ．89．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( )A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间10．一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4，则它的斜边长为（）A．5 B．4 C．7D．4或5二、填空题11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm．12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2018A2019，则点A2019的坐标为________．13．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝7.5cm，AC＝4.5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为_____．15．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB，BC，BD，DE的端点均在格点上，线段AB和DE交于点F，则DF的长度为_____．16．如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________17．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝30°，点D在BC上，点E在△ABC外，且AD＝AE＝CE，AD⊥AE，则ABBD的值为____________．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，D是BC边上的一点，BD=2，将△ACD沿直线AD翻折，点C刚好落在AB边上的点E处.若P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是________．19．已知x，y为一个直角三角形的两边的长，且（x﹣6）2=9，y=3，则该三角形的第三边长为_____．20．如图所示，圆柱体底面圆的半径是2π，高为1，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是______三、解答题21．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．22．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②求AB 的长．23．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值；（2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．24．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .25．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)26．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.27．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．28．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD 30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO，OE.（1）求点A的坐标；（2）判断DF与OE的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG∆的周长.29．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠CAD；（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．30．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，求出钢条的根数，然后根据最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离即AP5为4+23，设AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，再用含a的式子表示出P1P3，P3P5，从而可求出a的值，即得出每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长．【详解】解：如图，∵AP1与各钢条的长度相等，∴∠A=∠P1P2A=15°，∴∠P2P1P3=30°，∴∠P1P3P2=30°，∴∠P3P2P4=45°，∴∠P3P4P2=45°，∴∠P4P3P5=60°，∴∠P3P5P4=60°，∴∠P5P4P6=75°，∴∠P4P6P5=75°，∴∠P6P5B=90°，此时就不能再往上焊接了，综上所述总共可焊上5根钢条．设AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，∵∠P2P1D＝30°，∴P2D=12P1P2，∴P1D＝3a，∵P1P2=P2P3，∴P1P3＝2P1D =3a，∵∠P4P3P5=60°，P3P4=P4P5，∴△P4P3P5是等边三角形，∴P3P5＝a，∵最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，∴AP5=a+3a+a＝4+23，解得，a＝2，∴所有钢条的总长为2×5＝10，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，发现并利用规律找出钢条的根数是解答本题的关键．2．D解析：D【分析】过点C 作CH ⊥AB ，连接CD ，根据等腰三角形的三线合一的性质及勾股定理求出CH ，再利用ABC ACD BCD S S S =+即可求出答案.【详解】如图，过点C 作CH ⊥AB ，连接CD ，∵AC=BC ，CH ⊥AB ，AB=8，∴AH=BH=4，∵AC=5， ∴2222543CH AC AH =-=-=, ∵ABC ACD BCD S S S =+， ∴111222AB CH AC DE BC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅, ∴1118355222DE DF ⨯⨯=⨯+⨯, ∴DE+DF=4.8，故选：D.【点睛】此题考查等腰三角形三线合一的性质，勾股定理解直角三角形，根据题意得到ABC ACD BCD S S S =+的思路是解题的关键，依此作辅助线解决问题.3．C解析：C【分析】作DE ⊥AB 于E ，由勾股定理计算出可求BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC ，设DE=DC=x ，利用等等面积法列方程、解方程即可解答.【详解】解：作DE ⊥AB 于E ，如图，在Rt △ABC 中，BC 22106-8，∵AD 是△ABC 的一条角平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE ＝DC ，设DE ＝DC ＝x ，S△ABD＝12DE•AB＝12AC•BD，即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，即点D到AB边的距离为3．故答案为C．【点睛】本题考查了角平分线的性质和勾股定理的相关知识，理解角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键..4．D解析：D【解析】【分析】由勾股定理求出各边，再观察结果的规律.【详解】∵OP=1，OP1OP2OP3=2，∴OP4…，OP2018故选D【点睛】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键．5．A解析：A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据勾股定理求出BD，得到CD的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，解得，BD＝5，∴CD＝8﹣5＝3，∴△BCD的面积＝12×CD×BC＝12×3×4＝6，∵P是BD的中点，∴S△PBC＝12S△BCD＝3，故选：A．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．6．A解析：A【分析】首先根据勾股定理得出圆弧的半径,然后得出点A的坐标.【详解】∴由图可知：点A所表示的数为: 1-故选：A【点睛】本题主要考查的就是数轴上点所表示的数,属于基础题型.解决这个问题的关键就是求出斜边的长度.在数轴上两点之间的距离是指两点所表示的数的差的绝对值.7．A解析：A【分析】根据勾股定理与正方形的性质解答．【详解】解：在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，∵S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，∴S1=S2+S3．∵S2=7，S3=2，∴S1=7+2=9．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．8．A解析：A【分析】过C作CM⊥AB于M，交AD于P，过P作PQ⊥AC于Q，由角平分线的性质得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，为CM的长，然后利用勾股定理和等面积法求得CM的长即可解答．【详解】过C作CM⊥AB于M，交AD于P，过P作PQ⊥AC于Q，∵AD是∠BAC的平分线，∴PQ=PM，则PC+PQ=PC+PM=CM，即PC+PQ有最小值，为CM的长，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴由勾股定理得：AB=10，又1122ABCS AB CM AC BC==△，∴6824105 CM⨯==，∴PC+PQ的最小值为245，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质、最短路径问题、勾股定理、三角形等面积法求高，解答的关键是掌握线段和最短类问题的解决方法：一般是运用轴对称变换将直线同侧的点转化为异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短或垂线段最短，使两条线段之和转化为一条直线来解决．9．C解析：C【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据无理数的估算即可求得答案.【详解】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴22222313OA AB+=+=，∴P13∵91316<∴3134<<，即点P所表示的数介于3和4之间，故选C.【点睛】本题考查了勾股定理和无理数的估算，熟练掌握勾股定理的内容以及无理数估算的方法是解题的关键.10．D解析：D【分析】根据题意，可分为已知的两条边的长度为两直角边，或一直角边一斜边两种情况，根据勾股定理求斜边即可．【详解】当3和4为两直角边时，由勾股定理，得： 22345+=；当3和4为一直角边和一斜边时，可知4为斜边．∴斜边长为4或5．故选：D ． 【点睛】本题考查了勾股定理，关键是根据题目条件进行分类讨论，利用勾股定理求解．二、填空题11．【解析】试题分析：将台阶展开，如图，331312,5,AC BC =⨯+⨯==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.dm考点：平面展开：最短路径问题．12．(21009，0)．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA 1=1，OA 2=12，OA 3=22，OA 4=32，…OA 2019=20182，再利用1A 、2A 、3A …，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴的特点可得到点A 2019在x 轴的正半轴上，即可确定点A 2019的坐标．【详解】∵等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，∴OA 1=1，OA 22，OA 3=2）2，…，OA 2019=2）2018，∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴，∴2019÷8=252…3，∴点A 2019在x 轴正半轴上．∵OA 2019=2）2018，∴点A2019的坐标为（()20182,0）即(21009，0)．故答案为：(21009，0)．【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征．13．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．【分析】题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．【详解】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；（2）OD是等腰三角形的一条腰时：①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，在直角△OPC中，CP＝22OP OC-＝2254-＝3，则P的坐标是（3，4）．②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M，在直角△PDM中，PM＝22PD DM-＝3，当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.14．75或6或9 4【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP 时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【详解】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝7.52﹣4.52＝36，∴BC ＝6（cm ）；①当AB ＝BP ＝7.5cm 时，如图1，t ＝7.52＝3.75（秒）； ②当AB ＝AP ＝7.5cm 时，如图2，BP ＝2BC ＝12cm ，t ＝6（秒）；③当BP ＝AP 时，如图3，AP ＝BP ＝2tcm ，CP ＝（4.5﹣2t ）cm ，AC ＝4.5cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2+CP 2，所以4t 2＝4.52+（4.5﹣2t ）2，解得：t ＝94， 综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝3.75或t ＝6或t ＝94． 故答案为：3.75或6或94．【点睛】此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.15．2【分析】连接AD 、CD ，由勾股定理得：22435AB DE ==+=，224225BD =+=，22125CD AD ==+=，得出AB ＝DE ＝BC ，222BD AD AB +=，由此可得△ABD 为直角三角形，同理可得△BCD 为直角三角用形，继而得出A 、D 、C 三点共线.再证明△ABC ≌△DEB ，得出∠BAC ＝∠EDB ，得出DF ⊥AB ，BD 平分∠ABC ，再由角平分线的性得出DF ＝DG ＝2即可的解.【详解】连接AD 、CD ，如图所示：由勾股定理可得，22435AB DE ==+=，224225BD =+=，22125CD AD ==+=， ∵BE=BC=5，∴AB=DE ＝AB ＝BC ，222BD AD AB +=，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，同理可得：△BCD 是直角三角形，∠BDC ＝90°，∴∠ADC ＝180°，∴点A 、D 、C 三点共线，∴225AC AD BD ===，在△ABC 和△DEB 中，AB DE BC EB AC BD =⎧⎪⎨⎪=⎩＝，∴△ABC ≌△DEB(SSS)，∴∠BAC ＝∠EDB ，∵∠EDB+∠ADF ＝90°，∴∠BAD+∠ADF ＝90°，∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB ，∵AB=BC ，BD ⊥AC ，∴BD 平分∠ABC ，∵DG ⊥BC ，∴DF ＝DG ＝2.【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.16．【解析】【分析】延长BC ，AD 交于E 点，在直角三角形ABE 和直角三角形CDE 中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.【详解】如图，延长AD 、BC 相交于E ，∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,∴∠E=30°∴AE=2AB ，CE=2CD∵AB=3，AD=4,∴AE=6, DE=2设CD=x,则CE=2x ，DE=x 即x=2 x=即CD=故答案为：【点睛】 本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE 和直角△CDE ，是解题的关键．17．622【解析】【分析】过A 点作BC 的垂线，E 点作AC 的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出∠DAM=15°，在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a ，332)a ，31)a ，231)a ,代入计算即可.【详解】过A 点作AM ⊥BC 于M 点，过E 点EN ⊥AC 于N 点.∵∠BCA ＝30°，AE=EC∴AM=12AC ，AN=12AC ∴AM=AN又∵AD=AE∴R t∆ADM ≅ R t∆AEN (HL)∴∠DAM=∠EAN 又∵∠MAC=60°，AD ⊥AE∴∠DAM=∠EAN=15°在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°设DM=a,则 DG=AG=2a ，根据勾股定理得：3∵∠ABC ＝45°∴32)a∴31)a ，232)a , ∴()62262231a AB BD a ==+故答案为：62 2+【点睛】本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.18．222+【分析】连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．【详解】如图，连接CE，交AD于M，∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，BD=2，∴2，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠ABC=45°，∴∠B=45°，∵2，∴2即BC=2+2， ∴△PEB 的周长的最小值是BC+BE=2+2+2=2+22．故答案为2+22．【点睛】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置．19．310，62或32【解析】【详解】∵（x-6）2=9，∴x-6=±3，解得：x 1=9，x 2=3，∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，∴当x=3时，x 、y 都为直角三角形的直角边，则斜边为223332+=；当x=9时，x 、y 都为直角三角形的直角边，则斜边为2293310+= ；当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.故答案为：310，62或32.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．20．5【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．【详解】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB=π•2π=2，CB=1． ∴22AB ＋BC 222=5＋15【点睛】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．三、解答题21．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH＝2EF，CH＝2CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，∵∠AED＝20°，∴∠ABE＝∠AED＝20°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣2α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，∴∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，∴EH EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH AF，∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，AF）2+EF）2＝2AE2，∴EH2+CH2＝2AE2．【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.22．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC＝AD．理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，∴∠CED ＝2∠CBA ，∵∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE ，∴∠CBA ＝∠BDE ，∴DE ＝BE ，∴AD ＝BE ，∵BE ＝BC−CE ＝BC−AC ，∴BC−AC ＝AD ．（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠MAC ，∵AC ＝AC ，∴△ADC ≌△AMC （SAS ），∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，∵CD ＝BC ＝12，∴CM ＝CB ，∴∠B ＝∠CMB ，∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，∴∠B ＋∠D ＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝， 则22221216(8)a a --+＝， 解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．23．(1) 2516；（2）83t =或6；（3）当153,5,210t =或194时，△BCP 为等腰三角形． 【分析】（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）在Rt ABC 中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC上时，BCP 为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12t =，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，求得194t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，列方程2234352t --=⨯，即可得到结论． 【详解】 解：在Rt ABC 中，5AB cm =，3BC cm =，4AC cm ∴=，（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，在Rt PCB 中，222PC CB PB +=，即：222(42)3(2)t t -+=， 解得：2516t =， ∴当2516t =时，PA PB =； （2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，在Rt BEP 中，222PE BE BP +=，即：222(24)1(72)t t -+=-， 解得：83t =， 当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，∴当83t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上； （3）根据题意得：2AP t =，当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，PC BC ∴=，即423t -=，12t ∴=， 当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，CP PB =①，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，1322BE BC ∴==， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194t =， PB BC =②，即2343t --=，解得：5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，12BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，即2234352t --=⨯， 解得：5310t =， ∴当15319,5,2104t =或时，BCP 为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．24．作图见解析，325【分析】作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，连接AN ，首先用等积法求出AH 的长，易证△ACH ≌△A'NH ，可得A'N=AC=4，然后设NM=x ，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，A'M 的长即为AN+MN 的最小值．【详解】如图，作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，最小值为A'M 的长．连接AN ，在Rt △ABC 中，AC=4，AB=8，∴2222AB AC =84=45++∵11AB AC=BC AH 22⋅⋅∴∵CA ⊥AB ，A 'M ⊥AB ，∴CA ∥A 'M∴∠C=∠A 'NH ，由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N在△ACH 和△A'NH 中，∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）∴A'N=AC=4=AN ，设NM=x ，在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x在Rt △AA'M 中，AA'=2AH=5，A 'M=A 'N+NM=4+x∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()224-+⎝⎭x∴()2224=16-+-⎝⎭x x 解得125x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+125=325 【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．25．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD 的周长为m+2 【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB ，设CD=x ，则AD=BD=8-x ，再在Rt △CDB 中利用勾股定理可得x 2+62=（8-x ）2，再解方程可得x 的值，进而得到AD 的长；（3）根据三角形ACB 的面积可得112AC CB m =+， 进而得到AC •BC=2m+2，再在Rt △CAB 中，CA 2+CB 2=BA 2，再把左边配成完全平方可得CA+CB 的长，进而得到△BCD 的周长．【详解】（1）∵把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合，∴AD=DB ，设CD=x ，则AD=BD=8-x ，在Rt △CDB 中，CD 2+CB 2=BD 2，x 2+62=（8-x ）2，解得：x=74， AD=8-74=164； （3）∵△ABC 的面积为m+1， ∴12AC •BC=m+1， ∴AC •BC=2m+2，∵在Rt △CAB 中，CA 2+CB 2=BA 2，∴CA 2+CB 2+2AC •BC=BA 2+2AC •BC ，∴（CA+BC ）2=m 2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB ，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD 的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．26．（1）①详见解析；（2）2222CD n =+-1n >）；（2）2AD BD CD -=，理由详见解析.【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++()()22222211n n n =++=+ 又∵()2221AB n =+∴222AD BD AB +=∴△ABD 是直角三角形②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°∴∠3=∠4由①知△ABD 是直角三角形∴1290∠+∠=︒又∵290E ∠+∠=︒∴∠1=∠E在ACD ∆和BCE ∆中，A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE∴CD CE =，AD BE =∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+-又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD =+= ∴22CD =222222n n =+-（1n >）（2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，理由如下： 如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5∴∠ACD=∠BCF∵BD ⊥AD∴∠ADB=90°∴∠6+∠7=90°∵∠ACB=90°∴∠9=∠8=90°又∵∠6=∠8∴∠7=∠9ACD ∆和BCF ∆中97AC BCACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△BCF∴CD=CF ，AD=BF又∵∠DCF=90° ∴由勾股定理得222DF CD CF CD =+=又DF=BF-BD=AD-BD∴2AD BD CD -=【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.27．（1131710，112；（2）图见解析；7． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积．（2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．【详解】解：（1）如图1中，AB ＝22AE BE +＝2232+＝13，BC ＝22BD CD +＝2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝2213+＝10，S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣32﹣2＝112， 故答案为13，17，10，112． （2）△PMN 如图所示．S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，故答案为7．【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.28．（1）(0，3)；（2）DF OE =；（3）93233+【分析】（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===，由勾股定理得出2263OA AB OB =-=A 的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒，由等边三角形的性质得1332DG OF ==即可得出答案．【详解】解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，6OB ∴=，12AB AC BC ===，222212663OA AB OB =-=-= ∴点A 的坐标为(0，63)；（2）DF OE =；理由如下：ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，FAD OAE ∴∠=∠，在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，DF OE ∴=；（3）60AOF ∠=︒，30FOB ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，90AGO ∴∠=︒，AFO ∆是等边三角形，AO =·sin 609AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，AOE AFD ∴∠=∠，30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，30AOD AFD ∴∠+∠=︒，FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，G ∴为斜边OF 的中点，1122DG OF ∴==⨯= ADG ∴∆的周长9AG AD DG =++=+【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．29．（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）. 【解析】【分析】（1）只要证明△BAE ≌△ACD ；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，只要证明BG=AE ，BG ∥AE 即可；ⅱ）求出四边形BGAE 的周长，△ABC 的周长即可；【详解】（1）证明：如图1中，。

初二数学网课优选例习题--菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．3.能够利用菱形的性质和判定进行有关的计算和证明。

【基础知识】一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.注意：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.注意：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.注意：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【考点剖析】考点一：利用菱形的性质求角度例1．（2022·河南·夏邑县育才学校八年级期中）如图，在正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，连接菱形AEFC的对角线AF，则∠F AB的度数等于（）A ．22.5°B ．45°C ．30°D ．15°考点二：利用菱形的性质求线段的长度例2．（2022·河南·新乡市第一中学八年级期末）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，若6023BAD AC ∠=︒=，，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．8B ．43C ．6D ．4考点三：利用菱形的性质求面积例3．（2022·浙江·温州绣山中学八年级月考）如图，菱形ABCD 与菱形AECF 的顶点A ，C 重合，12EAF BAD ∠=∠，CE AB ⊥，若菱形AECF 的面积为22，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．4B ．42C ．62D ．222+考点四：利用菱形的性质证明例4．（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 中点，连接OE ，则下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AB ＝ADB ．OE ＝12ABC ．∠DOE ＝∠EOCD ．∠EOD ＝∠EDO考点五：证明四边形是菱形例5.（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，请你再添一个条件，使得平行四边形ABCD 是矩形，则下列条件符合的是( )A ．BD 平分ABC ∠B ． OB OA =C ．AC BD ⊥D ． AB AD =考点六：菱形的性质与判定的综合应用例5.（2022·福建·厦门外国语学校八年级月考）如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上两点，且BE ＝DF ，若∠BAF ＝90°，AB ＝4，AF ＝AE ＝3，则AC 的长为（ ）A ．2.4B ．3.6C ．4.8D ．6【真题演练】1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，将一个边长为20cm 的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD ，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm 时才会断裂．若60BAD ∠=︒，则橡皮筋AC _____断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3 1.732≈）．2．（2021·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且BE 平分∠ABC ，EF ∥AB ．求证：四边形ABFE 是菱形．3．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长DA ，BC ，使得AE ＝CF ，连接BE ，DF ．（1）求证：ABE CDF △≌△；（2）连接BD ，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE ＝ °时，四边形BFDE 是菱形．4．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，D 、E 、F 分别是ABC 各边的中点，连接DE 、EF 、AE ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）加上条件 后，能使得四边形ADEF 为菱形，请从①90BAC ∠=︒；②AE 平分BAC ∠；③AB AC =，这三个条件中选择一个条件填空（写序号），并加以证明．5．（2022·江苏南通·中考真题）【阅读材料】老师的问题：已知：如图，AE BF ∥．求作：菱形ABCD ，使点C ，D 分别在,BF AE 上．小明的作法：（1）以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AE 于点D ； （2）以B 为圆心，AB 长为半经画弧，交BF 于点C ； （3）连接CD ．四边形ABCD 就是所求作的菱形，请根据材料中的信息，证明四边形ABCD 是菱形． 【过关检测】 一、单选题1．（2022·江苏·沛县第五中学八年级月考）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD ．相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC ＝130°，则∠AOE 的大小为（ ）A ．21B ．65C ．42D ．562．（2022·江苏·常青藤实验中学八年级月考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，4AC =，16BD =，将BOC 绕着点C 旋转180︒得到B O C ''，则点A 与点B '之间的距离为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．123．（2022·四川泸州·八年级期末）若菱形的两条对角线的长分别为8和10，则菱形的面积为（ ） A ．30B ．40C ．50D ．604．（2022·广东·陆丰市南塘中学八年级月考）下列命题的逆命题不成立的是（ ） A ．菱形的四条边都相等 B ．全等三角形的对应边相等 C ．对顶角相等D ．等边三角形三个角都等于60︒5．（2022·湖北黄石·八年级期中）如图，在一张矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ， BC 边上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分DCH ∠；③线段BF 的取值范围为34BF ≤≤；④当点H 与点A 重合时，25EF =．以上结论中，你认为正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．46．（2022·浙江绍兴·八年级期末）把一个长方形的纸片按如甲乙图形对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为30°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．60°或30°B ．30°或45°C ．45°或60°D ．75°或15°7．（2022·上海市罗南中学八年级月考）如图，ABC ∆中，已知AD 是BAC ∠的平分线，E 、F 分别是边AB AC 、的中点，联结DE DF 、，要使四边形AEDF 为菱形，ABC ∆需要满足一定的条件，该条件可以是______．8．（2022·山东·德州市第五中学八年级期中）如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 中点，连接AF 、BE 、CE 、DF 分别交于点M 、N ，四边形EMFN 是______．9．（2022·福建厦门·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，2CD AD =，BE AD ⊥于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①2ABC ABF ∠=∠；②2BE BF >；③2EFB DEBC S S =△四边形；④3CFE DEF ∠=∠；其中正确结论有_______．10．（2022·山东菏泽·八年级期末）如图，等边ABC 的边长为6cm ，将ABC 向右平移到DCE △的位置，连接AD ，AE ，则AE 的长为______cm ．11．（2022·广东·东莞市寮步镇香市中学八年级期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6AB =，点E 、F 分别在AB 、BC 上，沿EF 将EBF △翻折使顶点B 的对应点B '落在AC 上，若EB AC '⊥，则EF 等于__________．12．（2022·浙江·杭州市文澜中学八年级期末）在平行四边形中，四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度x ，()y x y <，则xy的值为______．13．（2022·山东·临邑县兴隆镇中学八年级期中）如图，已知菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点C 作CE BD ∥，过点D 作DE AC ∥，CE 与DE 相交于点E ．(1)求证：四边形CODE 是矩形；(2)若5AB =，6AC =，求四边形CODE 的周长．14．（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，3213OA OB AB ===，，(1)求证：平行四边形ABCD 是菱形； (2)求菱形ABCD 的面积．15．（2022·吉林吉林·八年级期末）如图，菱形ABCD 的两条对角线AC 和BD 相交于点O ，并且DE OC CE OD ∥，∥．(1)求证：四边形OCED 是矩形；(2)若AC=45，BD=25，则矩形OCED 的周长为______．16．（2022·贵州省三穗中学八年级期末）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作AF BC ∥，交BE 的延长线于点F ，连接CF ．(1)求证：四边形ADCF 是平行四边形；(2)若AB ⊥AC ，试判断四边ADCF 的形状，并证明你的结论．17．如图，四边形ABCD 和四边形AECF 都是菱形，点E ，F 在BD 上已知100BAD ∠=︒，60EAF ∠=︒，求：(1)ABD ∠的度数． (2)BAE ∠的度数．18．取一张长方形纸片，按图的方法对折两次，并沿图③中的斜线（虚线）剪开，把剪下的Ⅰ这部分展开，平铺在桌面上．议一议：(1)剪出的这个图形是哪一种四边形？一定是菱形吗？(2)根据折叠、裁剪的过程，这个四边形的边和对角线分别具有什么性质？ (3)一个平行四边形具备怎样的条件，就可以判定它是菱形？19．（2022·陕西·无八年级期末）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．如图1，90ABC ADC ∠=∠=︒，四边形ABCD 是损矩形．我们发现损矩形的一边与另外两个顶点所构成的两个三角形中，公共边所对的两个角是相等的，比如图1中：ABC 和ABD △有公共边AB ，AB 所对的ADB ∠和ACB ∠相等；再比如ABC 和DBC △有公共边BC ，此时BAC BDC ∠=∠．概念理解(1)请在图1中再找出一对相等的角：_________＝_________；（不另添字母且ABC ADC∠=∠除外）(2)如图2，ABC中，90∠=︒，以AC为一边向外作菱形ACEF，D为菱形ACEF对角线的交点．四ABC边形ABCD_______损矩形（填“是”或“不是”）；问题探究∠时，(3)在（2）的条件下，连接BD，当BD平分ABC①判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请利用图3画图并说明理由；②若4,52==，求四边形ACEF的面积．AB BDAB=，20．（2022·河北·保定市满城区白龙乡龙门中学八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，6cmAD=，点P在边AD上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边CB上，以每秒2cm的速度10cm从点C出发，在CB之间做往返运动．两个动点同时出发，当点P到达点D时两点同时停止运动．设运动t>．时间为t秒(0)(1)用含t的代数式表示线段AP及BQ的长度；(2)在点P，Q的运动过程中，t为何值时，四边形APQB为平行四边形？(3)在点P，Q的运动过程中，是否存在t的值，使四边形APQB为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．考点一：利用菱形的性质求角度例1．（2022·河南·夏邑县育才学校八年级期中）如图，在正方形ABCD 中，以对角线AC 为一边作菱形AEFC ，连接菱形AEFC 的对角线AF ，则∠F AB 的度数等于（ ）A ．22.5°B ．45°C ．30°D ．15°【答案】A【分析】根据正方形对角线的性质：平分对角，可得1452CAB DAB ∠=∠=︒，再根据菱形对角线的性质：平分对角，可得122.52FAB CAB ∠=∠=︒．【详解】解：在正方形ABCD 中，90DAB ∠=︒， AC 是正方形ABCD 的对角线，1452CAB DAB ∴∠=∠=︒，AF 是菱形AEFC 的对角线，∴122.52FAB CAB ∠=∠=︒，故选：A ．考点二：利用菱形的性质求线段的长度例2．（2022·河南·新乡市第一中学八年级期末）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，若6023BAD AC ∠=︒=，，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．8B ．43C ．6D ．4【答案】A【分析】根据菱形的性质得到132AC BD AO AC ==⊥，30DAO ∠=︒，再根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AD 的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴132AC BD AO AC ==⊥，∵60BAD ∠=︒， ∴30DAO ∠=︒， ∴2AD OD =，在Rt AOD 中，由勾股定理得：222AD OD AO =+，∴22134AD AD =+， ∴2AD =，∴菱形ABCD 的周长为48AD =， 故选A ．考点三：利用菱形的性质求面积例3．（2022·浙江·温州绣山中学八年级月考）如图，菱形ABCD 与菱形AECF 的顶点A ，C 重合，12EAF BAD ∠=∠，CE AB ⊥，若菱形AECF 的面积为22，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．4B ．42C ．62D ．222+【答案】C【分析】根据菱形的性质，结合CE AB ⊥，根据ASA 证明()ASA CGA CGB ≌，从而得出AC BC =，即可得出AB AC BC ==，根据SAS 证明BAE CAE ≌，同理证明得出BCE BAE △≌△，从而证明AEBAECBECAFCAFDDFCSSSSSS=====，根据22AECAFCAECF S SS=+=菱形，即可求出结果．【详解】解：连接BD ，AC ，交于点O ，延长CE 交AB 于点G ，如图所示：∵四边形ABCD 与四边形AECF 为菱形，∴12BAC DAC BAD ∠=∠=∠，12BCA DCA BCD ∠=∠=∠，BAD BCD ∠=∠，12EAC FAC EAF ∠=∠=∠，12ECA FCA ECF ∠=∠=∠，EAF ECF ∠=∠，∴BAC DAC BCA DCA ∠=∠=∠=∠， EAC FAC ECA FCA ∠=∠=∠=∠，∵12EAF BAD ∠=∠，∴22BAC BCA EAC ECA ∠=∠=∠=∠， ∴ECA ECB ∠=∠，EAB EAC ∠=∠， ∵CE AB ⊥，∴90CGA CGB ∠=∠=︒， ∵CG CG =，∴()ASA CGA CGB ≌， ∴AC BC =， ∴AB AC BC ==，∵AE AE =，BAE CAE ∠=∠，AB AC =， ∴BAE CAE ≌，∵AB AC =，ABE CBE ∠=∠，BE BE =， ∴BCE BAE △≌△， ∴AEB AEC BEC ≌≌， ∴AEBAECBECSSS==， 同理可得：AFCAFDDFCSSS==，∵四边形AECF 为菱形， ∴AECAFCS S =，∴AEB AECBECAFCAFDDFCSSSSSS=====，∵22AECAFCAECF S S S=+=菱形，∴2AECAFCS S==，∴2AEBAECBECAFCAFDDFCSSSSSS======，∴62ABCD S =菱形，故C 正确． 故选：C ．考点四：利用菱形的性质证明例4．（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 中点，连接OE ，则下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AB ＝AD B ．OE ＝12ABC ．∠DOE ＝∠EOCD ．∠EOD ＝∠EDO【答案】C【分析】由菱形的性质可得AB =AD =CD ，AC ⊥BD ，由直角三角形的性质可得OE =DE =CE =12CD = 12AB ，即可判定A ，B ，D ，再在C 的条件下证明四边形ABCD 是正方形，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD =CD ，AC ⊥BD ，故选项A 正确，不合题意， ∵点E 是CD 的中点，∴OE =DE =CE =1122CD AB =，故选项B 正确，不合题意；∴∠EOD =∠EDO ，故选项D 正确，不合题意； 若∠DOE ＝∠EOC ，而,AC BD ⊥ ∴45,COE DOE EDO ECO ∠=∠=︒=∠=∠ ∴OD OC =，∵,,,AC BD OA OC OB OD ⊥==∴四边形ABCD 是正方形，与已知条件矛盾，故C 错误，符合题意； 故选：C ．考点五：证明四边形是菱形例5.（2022·浙江·杭州外国语学校八年级期末）如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，请你再添一个条件，使得平行四边形ABCD 是矩形，则下列条件符合的是( )A ．BD 平分ABC ∠B ． OB OA =C ．AC BD ⊥D ． AB AD =【答案】B【分析】根据已知条件，根据菱形的判定，矩形的判定，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A ．∵BD 平分ABC ∠， ∴ABD CBD ∠=∠，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥， ∴ADB CBD ∠=∠， ∴ABD ADB ∠=∠， ∴AB AD =，∴平行四边形ABCD 是菱形，故不符合题意；B．∵四边形ABCD是平行四边形，∴1122AO AC BO BD ==，，∵OB OA=，∴AC BD=，∴四边形ABCD是矩形；C．∵四边形ABCD是平行四边形，AC BD⊥，∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，AB AD=，∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意；故选：B．考点六：菱形的性质与判定的综合应用例5.（2022·福建·厦门外国语学校八年级月考）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，则AC的长为（）A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．6【答案】C【分析】由勾股定理求出BF＝5，证出四边形AECF是菱形，得AC⊥EF，由勾股定理的OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，解得OF＝1.8，则OA＝2.4，得AC＝2OA＝4.8．【详解】解：∵∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝3，∴BF222243AB AF++=5，∵E，F是平行四边形ABCD对角线BD上两点，∴OA＝OC，OB=OD,∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵OA＝OC，AE＝AF，∴四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∴22222OA AB OB AE OE=-=-，∴2222453OF OF ---（）＝ ，解得：OF ＝1.8， ∴22=3 1.8=2.4OA - ， ∴AC ＝2OA ＝4.8． 故选：C ．【真题演练】1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，将一个边长为20cm 的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD ，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm 时才会断裂．若60BAD ∠=︒，则橡皮筋AC _____断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3 1.732≈）．【答案】不会【分析】设扭动后对角线的交点为O ，根据正方形的性质，得出扭动后的四边形为菱形，利用菱形的性质及条件，得出ABD △为等边三角形，利用勾股定理算出103AO =，从而得到AC ，再比较即可判断． 【详解】解：设扭动后对角线的交点为O ，如下图：60BAD ∠=︒，根据正方形的性质得，得出扭动后的四边形四边相等为菱形， 20AD AB ==cm ，ABD ∴为等边三角形，20BD ∴=cm ，1102BO BD ∴==cm ， 22103AO AB BO ∴-=，根据菱形的对角线的性质：220334.64AC AO ==≈(cm)， 34.6436<，AC ∴不会断裂，故答案为：不会．2．（2021·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．【答案】见解析【分析】先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证AB＝AE，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．3．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．△≌△；（1）求证：ABE CDF（2）连接BD，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE＝°时，四边形BFDE是菱形．【答案】（1）见解析；（2）当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形【分析】（1）根据平行四边形的性子和“SAS”可证△ABE≌△CDF；（2）先证明四边形BFDE是平行四边形，再通过证明BE＝DE，可得结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，∴∠1＝∠DCF，在△ABE 和△CDF 中，1AE CF DCF AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；（2）当∠ABE ＝10°时，四边形BFDE 是菱形， 理由如下：∵△ABE ≌△CDF ， ∴BE =DF ，AE =CF ， ∴BF =DE ，∴四边形BFDE 是平行四边形， ∵∠1=30°，∠2=20°， ∴∠ABD =∠1-∠2=10°， ∴∠DBE =20°， ∴∠DBE =∠EDB =20°， ∴BE =DE ，∴平行四边形BFDE 是菱形， 故答案为10．4．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，D 、E 、F 分别是ABC 各边的中点，连接DE 、EF 、AE ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）加上条件 后，能使得四边形ADEF 为菱形，请从①90BAC ∠=︒；②AE 平分BAC ∠；③AB AC =，这三个条件中选择一个条件填空（写序号），并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）②或③，见解析【分析】（1）先证明//EF AB ，根据平行的传递性证明EF //AD ，即可证明四边形ADEF 为平行四边形． （2）选②AE 平分BAC ∠，先证明DAE FAE ∠=∠，由四边形ADEF 是平行四边形ADEF ，得出AF EF =，即可证明平行四边形ADEF 是菱形．选③AB AC =，由//DE AC 且12DE AC =，AB AC =得出EF DE =，即可证明平行四边形ADEF 是菱形．【详解】（1）证明：已知D 、E 是AB 、BC 中点 ∴//DE AC又∵E 、F 是BC 、AC 的中点 ∴//EF AB ∵//DE AF ∴EF //AD∴四边形ADEF 为平行四边形 （2）证明：选②AE 平分BAC ∠ ∵AE 平分BAC ∠ ∴DAE FAE ∠=∠ 又∵平行四边形ADEF ∴//EF DA ∴=∠∠FAE AEF ∴AF EF =∴平行四边形ADEF 是菱形 选③AB AC = ∵//EF AB 且12EF AB = //DE AC 且12DE AC =又∵AB AC = ∴EF DE =∴平行四边形ADEF 为菱形 故答案为：②或③5．（2022·江苏南通·中考真题）【阅读材料】老师的问题：已知：如图，AE BF ∥．求作：菱形ABCD ，使点C ，D 分别在,BF AE 上．小明的作法：（1）以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AE 于点D ； （2）以B 为圆心，AB 长为半经画弧，交BF 于点C ；（3）连接CD ． 四边形ABCD 就是所求作的菱形，请根据材料中的信息，证明四边形ABCD 是菱形． 【答案】见解析【分析】由作图可知AD ＝AB ＝BC ，然后根据AE BF ∥可得四边形ABCD 是平行四边形，再由AD ＝AB 可得结论．【详解】解：由作图可知AD ＝AB ＝BC ， ∵AE BF ∥，即AD BC ∥， ∴四边形ABCD 是平行四边形， 又∵AD ＝AB ，∴平行四边形ABCD 是菱形． 【过关检测】 一、单选题1．（2022·江苏·沛县第五中学八年级月考）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD ．相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC ＝130°，则∠AOE 的大小为（ ）A ．21B ．65C ．42D ．56【答案】B【分析】根据“菱形的性质、三角形内角和定理”结合已知条件分析解答即可． 【详解】解：在菱形ABCD 中，∠ADC ＝130°， ∴∠BAD ＝180°﹣130°＝50°， ∴∠BAO ＝12∠BAD ＝12×50°＝25°，∵OE ⊥AB ，∴∠AOE ＝90°﹣∠BAO ＝90°﹣25°＝65°． 故选：B ．2．（2022·江苏·常青藤实验中学八年级月考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，4AC =，16BD =，将BOC 绕着点C 旋转180︒得到B O C ''，则点A 与点B '之间的距离为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C【分析】根据菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，4AC =，16BD =，可得AC BD ⊥，所以90BOC ∠=︒，根据BOC 绕着点C 旋转180︒得到B O C ''，所以90CO B BOC ''∠=∠=︒，6AO '=，8OB '=，再根据勾股定理即可求出点A 与点B '之间的距离．【详解】解：菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，4AC =，16BD =，AC BD ∴⊥，90BOC ∴∠=︒，BOC 绕着点C 旋转180︒得到B O C ''，90CO B BOC ''∴∠=∠=︒，122O C OC OA AC '∴====， 6AO '∴=，182OB OD O B BD ''====， 在Rt AO B ''中，根据勾股定理，得：10AB '===．则点A 与点B '之间的距离为10． 故选：C ．3．（2022·四川泸州·八年级期末）若菱形的两条对角线的长分别为8和10，则菱形的面积为（ ） A ．30 B ．40 C ．50 D ．60【答案】B【分析】根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半，计算求值即可． 【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为8和10， ∴菱形的面积为：810240⨯÷=， 故选：B ．4．（2022·广东·陆丰市南塘中学八年级月考）下列命题的逆命题不成立的是（ ） A ．菱形的四条边都相等 B ．全等三角形的对应边相等 C ．对顶角相等 D ．等边三角形三个角都等于60︒【答案】C【分析】交换命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后根据菱形的性质、对顶角的性质、全等三角形的性质、和等边三角形的判定方法对四个逆命题的真假进行判断．【详解】A 、菱形的四条边都相等的逆命题是四条边都相等的四边形是菱形，逆命题是真命题；B 、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形是全等三角形，逆命题是真命题；C 、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；D 、等边三角形的三个内角都等于60︒的逆命题是三个内角都等于60︒的三角形是等边三角形，逆命题是真命题； 故选：C5．（2022·湖北黄石·八年级期中）如图，在一张矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ，BC 边上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分DCH ∠；③线段BF 的取值范围为34BF ≤≤；④当点H 与点A 重合时，25EF =．以上结论中，你认为正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】①先判断出四边形CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF FH ＝，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②根据菱形的对角线平分一组对角线可得BCH ECH ∠∠＝，然后求出只有30DCE ∠︒＝时EC 平分DCH ∠，判断出②错误；③点H 与点A 重合时，设BF x ＝，表示出8AF FC x -＝＝，利用勾股定理列出方程求解得到BF 的最小值，点G 与点D 重合时，CF CD ＝，求出4BF ＝，然后写出BF 的取值范围，判断出③正确； ④过点F 作FM AD ⊥于M ，求出ME ，再利用勾股定理列式求解得到EF ，判断出④正确． 【详解】解：①∵HE CF ∥， ∴HEF EFC ∠∠＝， ∵EFC HFE ∠∠＝， ∴HEF HFE ∠∠＝， ∴HE HF ＝， ∵FC FH ＝， ∴HE CF ＝， ∵HE CF ∥，∴四边形CFHE 是平行四边形， ∵CF FH ＝，∴四边形CFHE 是菱形，故①正确； ②∴BCH ECH ∠∠＝，∴只有30DCE ∠︒＝时，EC 平分DCH ∠， 故②错误；③点H 与点A 重合时，设BF x ＝，则8AF FC x -＝＝， 在Rt ABF 中，222AB BF AF +=， 即()22248x x +=-， 解得3x =，点E 与点D 重合时，4CF CD ＝＝， ∴4BF ＝，∴线段BF 的取值范围为34BF ≤≤， 故③正确；过点F 作FM AD ⊥于M ，则()8332ME =--=，由勾股定理得，2225EF MF ME =+=， 故④正确；综上所述，结论正确的有①③④共3个， 故选：C ．6．（2022·浙江绍兴·八年级期末）把一个长方形的纸片按如甲乙图形对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为30°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．60°或30°B ．30°或45°C ．45°或60°D ．75°或15°【答案】D【分析】根据翻折的性质和菱形的性质可得答案． 【详解】解：为了得到一个锐角为30︒的菱形，∴菱形的内角度数为30︒或150︒，根据菱形的对角线平分每一组对角得，15α=︒或75︒， 故选：D ． 二、填空题7．（2022·上海市罗南中学八年级月考）如图，ABC ∆中，已知AD 是BAC ∠的平分线，E 、F 分别是边AB AC 、的中点，联结DE DF 、，要使四边形AEDF 为菱形，ABC ∆需要满足一定的条件，该条件可以是______．【答案】=AB AC （答案不唯一）【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此即可求解． 【详解】解：由题意知，可添加：=AB AC ． 则三角形是等腰三角形，由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合， 即点D 是BC 的中点，∴DE DF ，是三角形的中位线， ∴DE AC ∥， DF AB ∥， ∴四边形AEDF 是平行四边形，∵=AB AC ，点E ，F 分别是AB AC ，的中点， ∴=AE AF ，∴平行四边形=AE AF 为菱形．故答案为：=AB AC 、B C ∠=∠或=AE AF （答案不唯一）．8．（2022·山东·德州市第五中学八年级期中）如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 中点，连接AF 、BE 、CE 、DF 分别交于点M 、N ，四边形EMFN 是______．【答案】菱形【分析】根据矩形的性质可得AD ∥BC ，AD BC =，根据E ，F 分别为AD ，BC 中点，可得AE ∥BF ，AE BF =，ED ∥BF ，DE BF =，得出四边形ABFE 为平行四边形，四边形BFDE 为平行四边形，同理四边形EMFN 为平行四边形，根据ABC ∠为直角，可得四边形ABFE 为矩形，得出ME MF =，进而可得四边形EMFN 为菱形． 【详解】解：四边形EMFN 是菱形；理由如下： 如图，连接EF ， 四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，AD BC =，又E ，F 分别为AD ，BC 中点，∴AE ∥BF ，AE BF =，ED ∥BF ，DE BF =，∴四边形ABFE 为平行四边形，四边形BFDE 为平行四边形，∴BE ∥FD ，即ME ∥FN ，同理可证EN ∥MF ，∴四边形EMFN 为平行四边形，四边形ABFE 为平行四边形，ABC ∠为直角， ∴四边形ABFE 为矩形，AF ∴，BE 互相平分于M 点，且AF =BE ，ME MF ∴=，∴四边形EMFN 为菱形；故答案为：菱形．9．（2022·福建厦门·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，2CD AD =，BE AD ⊥于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①2ABC ABF ∠=∠；②2BE BF >；③2EFB DEBC S S =△四边形；④3CFE DEF ∠=∠；其中正确结论有_______．【答案】①②③④【分析】延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．想办法证明EF =FG ，BE ⊥BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题．【详解】解：如图，延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H ，连接FH ． ∵CD =2AD ，DF =FC ， ∴CF =CB ， ∴∠CFB =∠CBF ， ∵CD AB ∥ ∴∠CFB =∠FBH ， ∴∠CBF =∠FBH ，∴∠ABC =2∠ABF ．故①正确， ∵DE CG ∥， ∴∠D =∠FCG ， 在△DFE 和△CFG 中，===D FCG DF CFDFE CFG ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴()DFE FCG ASA ≌△△， ∴FE =FG ， ∵BE ⊥AD ， ∴∠AEB =90°， ∵AD ∥BC ，∴∠AEB =∠EBG =90°， ∴BF =EF =FG ，∴=FEB FBE ∠∠，=FGB FBG ∠∠， ∵∠ABC =2∠ABF ． ∴FBG FBE ∠∠＞，∵=+=2EFB FBG FGB FBG ∠∠∠∠，=+=2GFB FBE FEB FBE ∠∠∠∠， ∴EFB GFB ∠∠＞，假设=EFB GFB ∠∠，此时==90?EFB GFB ∠∠，∴BE =， ∵EFB GFB ∠∠＞， ∴90?EFB ∠＞，∴BE ，故②正确， ∵S △DFE =S △CFG ，∴S 四边形DEBC =S △EBG =2S △BEF ，故③正确， ∵AH =HB ，DF =CF ，AB =CD ， ∴CF =BH ， ∵CF BH ∥，∴四边形BCFH 是平行四边形， ∵CF =BC ，∴四边形BCFH 是菱形， ∴∠BFC =∠BFH ，∵FE =FB ，FH ∥AD ，BE ⊥AD ， ∴FH ⊥BE ，∴∠BFH =∠EFH =∠DEF ， ∴∠EFC =3∠DEF ，故④正确， 故答案为：①②③④10．（2022·山东菏泽·八年级期末）如图，等边ABC 的边长为6cm ，将ABC 向右平移到DCE △的位置，连接AD ，AE ，则AE 的长为______cm ．【答案】63【分析】证明四边形ACED 是菱形，进而求得90BAE ∠=︒，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：等边ABC 的边长为6cm ，将ABC 向右平移到DCE △的位置，6AC CE DE AD ∴====cm ，60ABC CED ∠=∠=︒, ∴四边形ACED 是菱形， 1302CEA CED ∴∠=∠=︒，90BAE ∴∠=︒，2263AE BE AB ∴=-=．故答案为：63．11．（2022·广东·东莞市寮步镇香市中学八年级期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6AB =，点E 、F 分别在AB 、BC 上，沿EF 将EBF △翻折使顶点B 的对应点B '落在AC 上，若EB AC '⊥，则EF 等于__________．【答案】2【分析】连接BB '，交EF 于点O ，根据折叠的性质，得出BO B O ='，BB EF '⊥，再根据平行线的判定，得出EB BC ∥′，再根据平行线的性质，得出EB O FBO ∠=∠′，再根据ASA ，得出B EO BFO △≌△′，再根据全等三角形的性质，得出OE OF =，再根据菱形的判定定理，得出四边形BEB F '为菱形，再根据菱形的性质，得出EB EB FB FB ===′′，然后设EB EB x ==′，则6AEx ，再根据直角三角形30︒所对的直角边等于斜边的一半，得出2AE EB =′，进而列出方程，并解出，再根据等边三角形的判定，得出BEF △为等边三角形，再根据等边三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接BB '，交EF 于点O ，根据题意，可得：BO B O ='，BB EF '⊥， ∵90ACB ∠=︒，EB AC '⊥， ∴EB BC ∥′， ∴EB O FBO ∠=∠′， 在B EO △′和BFO 中，90EB O FBO BO B O EOB FOB ∠'=∠⎧⎪='⎨⎪∠'=∠=︒⎩， ∴()'B EO BFO ASA ≌， ∴OE OF =，又∵BO B O ='，BB EF '⊥， ∴四边形BEB F '为菱形， ∴EB EB FB FB ===′′， 设EB EB x ==′，则6AEx ，∵30A ∠=︒，90AB E ∠'=︒， ∴2AE EB =′， 即62x x -=， 解得：2x =，∴2EB EB FB FB ====′′， ∵90ACB ∠=︒，30A ∠=︒， ∴180309060ABC ∠=︒-︒-︒=︒， ∴BEF △为等边三角形， ∴2EF BE BF ===．故答案为：212．（2022·浙江·杭州市文澜中学八年级期末）在平行四边形中，四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度x ，()y x y <，则xy的值为______． 32【分析】分两种情况：①该平行四边形的四条边与一对角线的长度相等，另一对角线为另一长度；②该平行四边形的四条边相等，两条对角线相等；分别计算即可．【详解】解：分两种情况：①如图1，平行四边形ABCD 的四条边与一对角线相等，即AB BC CD DA BD x =====，AC y =，∴四边形ABCD 为菱形，在ABD △中，AB AD BD ==， ABD ∴是等边三角形，60BAD ABD ADB ∴∠=∠=∠=︒，同理，60BCD CBD CDB ∠=∠=∠=︒，120ABC ∴∠=︒， AC AB ∴>，∴四边形ABCD 为菱形符合题意，AC BD ∴⊥，3232AC x x ∴=⨯⨯=， 即3y x =， 333x x y x∴==； ②如图2，在平行四边形ABCD 中，AD DC CB BA x ====，AC BD y ==，∴四边形ABCD 是正方形，AC BD AB ∴=>， ∴正方形ABCD 符合题意，22AC BD x ∴=，。

一、选择题1．将一副三角板的直角顶点重合按如图所示方式放置，得到下列结论，其中正确的结论有（ ）①13∠=∠；②180BAE CAD ∠+∠=︒；③若//BC AD ，则230∠=︒；④若150CAD ∠=︒，则4C ∠=∠．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C解析：C【分析】 利用同角的余角相等可判断①，利用角的和差与直角三角形的性质可判断②，利用平行线的性质先求解CAD ∠，再利用结论②可判断③，由150CAD ∠=︒，先求解230∠=︒， 如图，记,AB DE 交于,G 再求解90AGE ∠=︒，再利用三角形的外角的性质求解4∠， 从而可判断④．【详解】解：90BAC DAE ∠=∠=︒，122390∴∠+∠=∠+∠=︒，13∴∠=∠，故①符合题意， 19090180BAE CAD BAE DAE BAC DAE ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，故②符合题意；//,BC AD180C CAD ∴∠+∠=︒，45C ∠=︒，135CAD ∴∠=︒，218018013545CAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故③不符合题意； 150180CAD BAE CAD ∠=︒∠+∠=︒，，30BAE ∴∠=︒，如图，记,AB DE 交于,G60E∠=︒，180306090AGE∴∠=︒-︒-︒=︒，45,B C∠=∠=︒4904545.AGE B∴∠=∠-∠=︒-︒=︒4.C∴∠=∠故④符合题意，综上：符合题意的有①②④．故选：.C【点睛】本题考查的是角的和差，余角与补角，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．2．下列四组线段中，不可以构成三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．13，14，15D．12，3D解析：D【分析】计算较小两边的和，与最大的边比较，大于最大的边时三角形存在，依此判断即可.【详解】∵4+5＞6，∴能构成三角形；∵1.5+2＞2.5，∴能构成三角形；∵14+15＞13，∴能构成三角形；∵2＜1+2=3，∴不能构成三角形；故选D.【点睛】本题考查了已知线段长判断三角形的存在，熟记三角形存在的条件是解题的关键. 3．若一个三角形的三边长分别为3，7，x，则x的值可能是（）A．6 B．3 C．2 D．11A解析：A根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x 的取值范围，得到答案．【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，7，x ，∴7-3＜x ＜7+3，即4＜x ＜10，四个选项中，A 中，4＜6＜10，符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．如图，//AB CD ，40C ∠=︒，60A ∠=︒，则F ∠的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°B解析：B【分析】 利用平行线和三角形外角的性质即可求解．【详解】∵//AB CD ，∴60DEF A ∠=∠=︒．∵DEF C F ∠=∠+∠，∴604020F DEF C ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查平行线和三角形外角的性质，熟练利用其性质找到角的等量关系是解答本题的关键．5．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，D 为BC 边上的一点，点E 在AC 边上，ADE AED ∠=∠，若10CDE ∠=︒，则BAD ∠的度数为（ ）A ．20°B ．15°C ．10°D ．30°A【分析】先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EDC ，再根据∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 即可得出结论．【详解】解：∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD ，∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠B+∠BAD-∠CDE∵∠AED 是△CDE 的外角，∴∠AED=∠C+∠EDC ，∵∠ADE=∠AED ，∴∠B+∠BAD-∠CDE=∠C+∠EDC ，∵∠B=∠C ，∴∠BAD=2∠EDC ，∵10CDE ∠=︒∴∠BAD=20°；故选：A【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．6．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则BDC ∠的度数是（ ）A ．65︒B ．75︒C ．85︒D ．105︒B解析：B【分析】 根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵∠CEA =60︒，∠BAE =45︒，∴∠ADE = 180︒−∠CEA −∠BAE =75︒，∴∠BDC =∠ADE =75︒，故选：B【点睛】本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．7．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数为（）A．10 B．8 C．6 D．4A解析：A【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n-2）×180°，依题意得：（n-2）×180°=360°×4，解得：n=10，∴这个多边形的边数是10．故选：A【点睛】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是根据多边形内角和公式得出方程（n-2）×180°=360°×4．a b，含30角的直角三角板按如图所示放置，顶点A在直线a上，斜边8．已知直线//BC与直线b交于点D，若135∠=︒，则2∠的度数为（）A．35︒B．45︒C．65︒D．75︒C解析：C【分析】如图，根据三角形外角的性质可得出∠3，再根据平行线的性质可得出∠2．【详解】解：如图，∠=︒，∠B=30°∵135∴∠3=∠1+∠B=35°+30°=65°a b∵//∴∠2=∠3=65°故选：C【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．解题时注意掌握平行线的性质以及三角形外角的性质的应用．9．下列长度的四根木棒，能与3cm ，7cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A ．3cmB ．10cmC ．4cmD ．6cm D解析：D【分析】根据三角形的三边关系解答．【详解】解：∵三角形的两边为3cm ，7cm ，∴第三边长的取值范围为7-3＜x ＜7+3，即4＜x ＜10，只有D 符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，要知道，三角形的两边之和大于第三边．10．小红有两根长度分别为4cm 和8cm 的木棒，他想摆一个三角形，现有长度分别为3cm ，4cm ，8cm ，15cm 四根木棒，则他应选择的木棒长度为（ ）．A ．3cmB ．4cmC ．8cmD ．15cm C 解析：C【分析】设选择的木棒长为x ，根据第三边大于两边之差小于两边之和即可求出范围，再结合选项即可得出答案．【详解】由题意得，设选择的木棒长为x ，则8448x -<<+，即412x <<， ∴选择木棒长度为8cm ．故选C ．【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三边关系是解题的关键．二、填空题11．如图，则A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数为________．180°【分析】两次运用三角形的外角定理求出∠B+∠C+∠D=∠2再通过三角形的内角和定理即可求解【详解】解：如图∵∠1是△CDF 外角∴∠C+∠D=∠1∵∠2是三角形BFG 外角∴∠B+∠1=∠2∴∠解析：180°【分析】两次运用三角形的外角定理求出∠B+∠C+∠D=∠2，再通过三角形的内角和定理即可求解【详解】解：如图，∵∠1是△CDF 外角，∴∠C+∠D=∠1，∵∠2是三角形BFG 外角，∴∠B+∠1=∠2，∴∠B+∠C+∠D=∠2，∴=2180A B C D E A E ∠+∠+∠+∠+∠∠+∠+∠=︒．故答案为：180°【点睛】本题考查了三角形的外角定理、内角和定理，通过三角形的外角定理将∠B+∠C+∠D 转化为∠2是解题关键．12．如果一个多边形所有内角和与外角和共为2520°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线11【分析】先根据题意求出多边形的边数再根据从n 边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答【详解】设多边形的边数为n 则有(n-2)•180＋360=2520解得：n=1414-3=11即从这个多解析：11【分析】先根据题意求出多边形的边数，再根据从n 边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答．【详解】设多边形的边数为n ，则有(n -2)•180＋360=2520，解得：n =14，14-3=11，即从这个多边形的一个顶点出发共有11条对角线，故答案为11．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、多边形的对角线，得到多边形的边数是解本题的关键．13．如图，△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ，如果S △ABG ＝2，那么S △ABC ＝_____．6【分析】根据DE 分别是三角形的中点得出G 是三角形的重心再利用重心的概念可得：2GD ＝AG 进而得到S △ABG ：S △ABD ＝2：3再根据AD 是△ABC 的中线可得S △ABC ＝2S △ABD 进而得到答案【详解析：6【分析】根据D ，E 分别是三角形的中点，得出G 是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GD ＝AG 进而得到S △ABG ：S △ABD ＝2：3，再根据AD 是△ABC 的中线可得S △ABC ＝2S △ABD 进而得到答案．【详解】解：∵△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ，∴2GD ＝AG ，∵S △ABG ＝2，∴S △ABD ＝3，∵AD 是△ABC 的中线，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．14．如图，在ABC ∆中，4ACB A ∠=∠，点D 在边AC 上，将BDA ∆沿BD 折叠，点A 落在点A '处，恰好BA AC '⊥于点E 且//BC DA '，则BDC ∠的度数为__________度．54°【分析】根据折叠的性质及题意可在Rt △BEC中求解∠C 及∠CBE 的度数从而计算∠ABD 的度数则∠BDC=∠A+∠ABD 即可计算出结果【详解】由题意可得：∠A=∠∠=∠CBE ∴则在Rt △BEC 中 解析：54°【分析】根据折叠的性质及题意，可在Rt △BEC 中求解∠C 及∠CBE 的度数，从而计算∠ABD 的度数，则∠BDC=∠A+∠ABD ，即可计算出结果．【详解】由题意可得：∠A=∠A '，∠A '=∠CBE ，∴44ACB A CBE ∠=∠=∠，则在Rt △BEC 中，∠C+∠CBE=90°，即：5∠CBE=90°，∠CBE=18°，∴∠A=18°，∠C=72°，∠ABC=90°，∴72ABA ABC CBE '=-=︒∠∠∠，由折叠性质可知，ABD A BD '∠=∠，∴=36ABD A BD '∠=∠︒，∴54BDC ABD A ∠=∠+∠=︒故答案为：54°．【点睛】本体三角形的折叠问题，平行线的性质及三角形的外角定理，理解图形变化中的特点，准确结合题意计算是解题关键．15．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可【详解】解：∵BD=DC ∴S △ABD=S △ADC=×6=3（cm2）∵AE=DE ∴S △AEB=S △AEC=×3=（cm2）∴S △BEC解析：3 2【分析】利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解决问题即可．【详解】解：∵BD=DC，∴S△ABD=S△ADC=12×6=3（cm2），∵AE=DE，∴S△AEB=S△AEC=12×3=32（cm2），∴S△BEC=6-3=3（cm2），∵EF=FC，∴S△BEF=12×3=32（cm2），故答案为32．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，在一个四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，且∠ABC=80°，∠BCD=70°，则∠AED=_________．75°【分析】先根据四边形的内角和求出∠BAD+∠CDA然后再根据角平分线的定义求得∠EAD+∠EDA最后根据三角的内角和定理求解即可【详解】解：∵在四边形ABCD中∠ABC=80°∠BCD=70°解析：75°．【分析】先根据四边形的内角和求出∠BAD+∠CDA，然后再根据角平分线的定义求得∠EAD+∠EDA,最后根据三角的内角和定理求解即可．【详解】解：∵在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠BCD=70°∴∠BAD+∠CDA=360°-80°-70°=210°∵∠EAD=12∠BAD，∠EDA=12∠CAD∴∠EAD+∠EDA=1（∠BAD+∠CDA）=105°2∴∠AED=180°-（∠EAD+∠EDA）=180°-105°=75°．故答案为75°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和、四边形的内角和以及角平分线的相关知识，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．17．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是___________，最小值是___________．15【分析】记三角形的第三边为c先根据三角形的三边关系确定c的取值范围进而可得三角形第三边的最大值与最小值进一步即可求出答案【详解】解：记三角形的第三边为c则7－3＜c＜7+3即4＜c＜10因为第三解析：15【分析】记三角形的第三边为c，先根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而可得三角形第三边的最大值与最小值，进一步即可求出答案．【详解】解：记三角形的第三边为c，则7－3＜c＜7+3，即4＜c＜10，因为第三边长为奇数，所以三角形第三边长的最大值是9，最小值是5，所以三角形的周长最大值是3+7+9=19；最小值是3+7+5=15；故答案为：19，15．【点睛】本题考查了三角形的三边关系与不等式组的整数解，属于基础题型，正确理解题意、掌握解答的方法是关键．18．鹿鸣社区里有一个五边形的小公园，如图所示，王老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图中的∠1=95 ，王老师沿公园边由A点经B→C→D→E，一直到F时，他在行程中共转过了_____度．275【分析】王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数由多边形的外角和即可求解【详解】解：王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数∵多边形的外角和为360°∴解析：275王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数，由多边形的外角和即可求解．【详解】解：王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数，∵多边形的外角和为360°，∴他在行程中共转过了()36018095275︒-︒-︒=︒，故答案为：275．【点睛】本题考查多边形的外角和，明确王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数是解题的关键．19．如图，在ABC 中，已知66ABC ∠=︒，54ACB ∠=︒，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，EHF ∠的度数是________．120°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A 的度数再根据CF是AB 上的高得出∠ACF 的度数再由三角形外角的性质即可得出结论【详解】解：∵∠ABC=66°∠ACB=54°∴∠A=60°∵CF 是AB 上解析：120°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A 的度数，再根据CF 是AB 上的高得出∠ACF 的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=60°，∵CF 是AB 上的高，∴在△ACF 中，∠ACF=180°-∠AFC-∠A=30°，在△CEH 中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°．故答案为120°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质、三角形的高线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．一个三角形的三个内角的度数的比是1∶2∶3，这个三角形是_________________三角形．（填锐角、直角或钝角）直角【分析】根据三角形内角和定理和已知求出这个三角形的最大内角的度数即可得出答案【详解】180°÷(1+2+3)×3=180°÷6×3=30°×3=90°答：这个三角形中最大的角是直角故答案解析：直角【分析】根据三角形内角和定理和已知求出这个三角形的最大内角的度数，即可得出答案．【详解】180°÷(1+2+3)×3=180°÷6×3=30°×3=90°，答：这个三角形中最大的角是直角．故答案为：直角．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出这个三角形的最大内角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．三、解答题21．如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A1．（1）∵BA1、CA1是∠ABC与∠ACD的平分线，∴∠A1BD＝12∠ABD，∠A1CD＝12∠ACD，∴∠A1CD﹣∠A1BD＝12（∠ACD﹣∠ABD），∵∠A1CD﹣∠A1BD＝，∠ACD﹣∠ABD＝∠，∴∠A1＝．（2）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D＝230°，求∠F的度数．（3）如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A1，若E为BA延长线上一动点，连接EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q﹣∠A1的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．解析：（1）∠A1，A，12∠A；（2）25°；（3）①的结论是正确的，且这个定值为180°．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠A1BD＝12∠ABC，∠A1CD＝12∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，则可得出答案；（2）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB＝360°﹣（∠A+∠D），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）＝180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）＝180°﹣2∠F，从而得出结论；（3）依然要用三角形的外角性质求解，易知2∠A1＝∠AEC+∠ACE＝2（∠QEC+∠QCE），利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的关系．【详解】解：（1）∵BA1是∠ABC的平分线，CA1是∠ACD的平分线，∴∠A1BD＝12∠ABD，∠A1CD＝12∠ACD，∴∠A1CD﹣∠A1BD＝12（∠ACD﹣∠ABD），∵∠A1CD﹣∠A1BD＝∠A1，∠ACD﹣∠ABD＝∠A，∴∠A1＝12∠A．故答案为：∠A1，A，12∠A；（2）∵∠ABC+∠DCB＝360°﹣（∠A+∠D），∵∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）＝180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）＝180°﹣2∠F，∴360°﹣（∠A+∠D）＝180°﹣2∠F，2∠F＝∠A+∠D﹣180°，∴∠F＝12（∠A+∠D）﹣90°，∵∠A+∠D＝230°，∴∠F＝25°；（3）△ABC中，由三角形的外角性质知：∠BAC＝∠AEC+∠ACE＝2（∠QEC+∠QCE）；即：2∠A1＝2（180°﹣∠Q），化简得：∠A1+∠Q＝180°，因此①的结论是正确的，且这个定值为180°．【点睛】此题考查三角形的角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角定理，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．22．在ABC ∆中，已知3,7AB AC ==，若第三边BC 的长为偶数，求ABC ∆的周长． 解析：周长为16或18．【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边BC 的长为偶数求出符合条件的BC 值，即可求出周长．【详解】 解：在ABC ∆中，3,7AB AC ==，∴第三边BC 的取值范围是：410,BC <<∴符合条件的偶数是6或8，∴当6BC =时，ABC ∆的周长为：36716++=；当8BC =时，ABC ∆的周长为：37818++=．ABC ∆∴的周长为16或18．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．23．如图，AF ，AD 分别是ABC 的高和角平分线，且34B ∠=︒，76C ∠=︒，求DAF ∠的度数．解析：21︒【分析】运用三角形的内角和定理即可求出∠BAC 的度数；根据角平分线的定义、三角形的内角和定理的推论以及直角三角形的两个锐角互余即可求出∠FAC 的度数，再由DAF DAC FAC =-∠∠∠即可得出结论．【详解】解：∵AF 是ABC 的高，∴90AFC ∠=︒，∴90907614FAC C ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴180180763470BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵AD 是ABC 的角平分线， ∴11703522DAC BAC ==⨯︒=∠∠︒， ∴21DAF DAC FAC =-∠=∠∠︒．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 24．如图①，ABC 中，BD 平分ABC ∠，且与ABC 的外角ACE ∠的角平分线交于点D ．（1）若75ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，求D ∠的度数；（2）若把A ∠截去，得到四边形MNCB ，如图②，猜想D ∠、M ∠、N ∠的关系，并说明理由．解析：（1）30D ∠=︒；（2）()11802D M N ∠=∠+∠-︒，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线定义，先求出∠D 、∠A 的等式，推出∠A=2∠D ，最后代入求出即可；（2）根据（1）中的结论即可得到结论．【详解】解：ACE A ABC ∠=∠+∠， ACD ECD A ABD DBE ∴∠+∠=∠+∠+∠，DCE D DBC ∠=∠+∠，又∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACE ∠，ABD DBE ∴∠=∠，ACD ECD ∠=∠，()2A DCE DBC ∴∠=∠-∠，D DCE DBC ∠=∠-∠，2A D ∴∠=∠，75ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，60A ∴∠=︒，30D ∴∠=︒；（2）()11802D M N ∠=∠+∠-︒； 理由：延长BM 、CN 交于点A ，则180A BMN CNM ∠=∠+∠-︒，由（1）知，12D A ∠=∠， ()11802D M N ∴∠=∠+∠-︒．【点睛】此题考查三角形内角和定理以及角平分线的定义的综合运用，解此题的关键是求出∠A=2∠D ．25．已知一个n 边形的每一个内角都等于120°．（1）求n 的值；（2）求这个n 边形的内角和；（3）这个n 边形内一共可以画出几条对角线？解析：（1）6；（2）720°；（3）9条【分析】（1）分别用两个式子表示多边形的内角和，列出方程，求解即可；（2）根据多边形内角和公式即可求解；（3）根据对角线的定义求出每个顶点的对角线条数，再求解即可．【详解】解：（1）由题意得()2180120n n -︒=︒，解得 6n =．（2）()62180720-⨯︒=︒，所以这个多边形的内角和为720°．（3）六边形每个顶点可以引6-3=3条对角线， 所以一共可画6392⨯=条对角线． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形对角线的定义，熟记多边形的内角和公式，理解对角线的定义是解题关键．26．如图，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，60BAC ∠=︒，70C ∠=︒．求EAD ∠和∠BOE 的度数．解析：10EAD ∠=︒，55BOE ∠=︒【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC=180°-60°-70°=50°，再由AE 是角平分线，求出∠EAC=12∠BAC=30°，由AD 是高，求出∠CAD=90°-∠C=20°，最后即可求出∠EAD=∠EAC-∠CAD=10°；根据角平分线的性质，得∠OAB=12∠BAC ，∠OBA=12∠ABC ，所以∠BOE=∠OAB+∠OBA=12（∠BAC+∠ABC ）=12（180°-∠C ）=12×（180°-70°）=55°． 【详解】解：∠B AC =60°，∠C =70°∴∠ABC =180°−∠ABC −∠C =180°−60°-70°=50°，∵AE 是角平分线，∴∠EAC =12∠BAC =12×60°=30°， ∵AD 是高，∴∠ADC =90°，∴∠CAD =90°−∠C =90°−70°=20°，∴∠DAE =∠EAC −∠CAD =30°−20°=10°；∵AE ，BF 是角平分线，∴∠OAB =12∠BAC ,∠OBA =12∠ABC ， ∴∠BOE =∠OAB +∠OBA =12(∠BAC +∠ABC )=12(180°−∠C )=12×(180°−70°) =55°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．27．如图，已知直线//AB CD ，直线EF 分别交直线AB ，CD 于点E ，F ，BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线相交于一点P ．试说明：90P ∠=︒．解析：证明见解析【分析】由AB∥CD，可知∠BEF与∠DFE互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形内角和定理可得出结论．【详解】∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF=12∠BEF，∠PFE=12∠DFE，∴∠PEF+∠PFE=12(∠BEF+∠DFE)=90°．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和等知识，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．28．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．（1）已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）设∠B＝α，∠C＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式．解析：（1）10︒；（2）11 22βα-【分析】（1）根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，得到∠BAE的度数，求出∠AED的度数，根据AD是高线，求得答案；（2）根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，得到∠BAE的度数，求出∠AED的度数，根据AD是高线，求得答案．【详解】（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC=18080B C ︒-∠-∠=︒，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=1402BAC ∠=︒， ∴∠AED=∠B+∠BAE=80︒,∵AD 是高线，∴AD ⊥BC ，∴∠DAE=9010AED ︒-∠=︒；（2）∵∠B ＝α，∠C ＝β，∴∠180180BAC B C αβ=︒-∠-∠=︒--,∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=121902B C ︒-∠-∠=121902αβ︒-- ∴∠AED=∠B+∠BAE=121902B C ︒+∠-∠=121902αβ︒+- ∵AD 是高线，∴AD ⊥BC ， ∴∠DAE=190212AED C B ︒-∠=∠-∠=1122βα-， 故答案为：1122βα-． 【点睛】此题考查三角形的基础知识，三角形的角平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，直角三角形两锐角互余，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．。

初二数学函数练习题有答案今天，我们来练习一些关于数学函数的习题。

这些题目适合初二学生，每道题都有详细的解答，帮助你加深对函数的理解。

让我们一起来挑战这些题目吧！1. 函数f(x) = 2x + 3，求f(4)的值。

解答：将x的值代入函数中，得到f(4) = 2 * 4 + 3 = 11。

所以，f(4)的值为11。

2. 已知函数g(x) = x^2 - 5x + 6，求g(-1)的值。

解答：将x的值代入函数中，得到g(-1) = (-1)^2 - 5 * (-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12。

所以，g(-1)的值为12。

3. 函数h(x) = 3x^2 - 2x，求满足h(x) = 0的解。

解答：将h(x)置为0，得到3x^2 - 2x = 0。

通过因式分解或求根公式，我们可以得到x = 0 或 x = 2/3。

所以，满足h(x) = 0的解为x = 0或x =2/3。

4. 函数k(x) = |x - 3|，求k(5)的值。

解答：将x的值代入函数中，得到k(5) = |5 - 3| = 2。

所以，k(5)的值为2。

5. 函数m(x) = 2x + 1，将m(x)的图像上下平移2个单位，写出新函数。

解答：上下平移2个单位意味着将函数m(x)的每个点的y坐标都加2。

因此，新函数应为m(x) + 2。

即新函数为2x + 1 + 2，简化得到2x + 3。

6. 函数n(x) = x^2 - 4x + 3，求n(x)的最小值。

解答：对于一元二次函数，最小值出现在顶点处。

通过求导数，我们可以得到n'(x) = 2x - 4。

令n'(x) = 0，解得x = 2。

将x = 2代入原函数，得到n(2) = 2^2 - 4 * 2 + 3 = -1。

所以，函数n(x)的最小值为-1。

这些是初二数学函数的练习题，每道题都有详细的解答。

通过完成这些题目，你可以加深对函数的理解，提高解题能力。

一、选择题1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，不能用它们搭成三角形的是（ ）A ．1cm ，2cm ，3cmB ．2cm ，3cm ，4cmC ．3cm ，4cm ，5cmD ．5cm ，6cm ，7cm 2．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6 3．如果一个三角形的三边长分别为5,8,a ．那么a 的值可能是（ ） A ．2B ．9C ．13D ．15 4．将一个多边形纸片剪去一个内角后得到一个内角和是外角和4倍的新多边形，则原多边形的边数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．以上均有可能 5．如图，1∠等于（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70 6．用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A ．2,2,4B ．3,4,5C ．1,2,3D ．2,3,6 7．若多边形的边数由3增加到n （n 为大于3的正整数），则其外角和的度数（ ） A ．不变 B ．减少 C ．增加 D ．不能确定 8．将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF 的锐角顶点D 放在另一块直角三角板（60B ∠=）的斜边AB 上，两块三角板的直角边交于点M ．如果75BDE ∠=，那么AMD ∠的度数是（ ）A ．75°B ．80°C ．85°D ．90°9．下列说法正确的有（ ）个①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接C 、D 两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n -条对角线，这些对角线把这个n 边形分成了()2n -个三角形．A ．3B ．2C ．1D ．010．小红有两根长度分别为4cm 和8cm 的木棒，他想摆一个三角形，现有长度分别为3cm ，4cm ，8cm ，15cm 四根木棒，则他应选择的木棒长度为（ ）．A ．3cmB ．4cmC ．8cmD ．15cm 11．下列四个图形中，线段CE 是ABC 的高的是（ ）A ．B ．C ．D ． 12．如图，小明从点A 出发沿直线前进9米到达点,B 向左转45后又沿直线前进9米到达点C ，再向左转45后沿直线前进9米到达点D ……照这样走下去，小明第一次回到出发点A 时所走的路程为（ ）A ．72米B ．80米C ．100米D ．64米 13．如图所示，ABC ∆的边AC 上的高是（ ）A ．线段AEB ．线段BAC ．线段BD D ．线段DA 14．下列说法正确的个数为（ ）①过两点有且只有一条直线；②两点之间，线段最短；③若ax ay =，则x y =；④若A 、B 、C 三点共线且AB BC =，则B 为AC 中点；⑤各边相等的多边形是正多边形． A ．①②④ B ．①②③ C ．①④⑤ D ．②④⑤ 15．如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题16．如图，BF 平分∠ABD ，CE 平分∠ACD ，BF 与CE 交于G ，若130,90BDC BGC ∠=︒∠=︒，则∠A 的度数为_________．17．如图，点D 在ABC 的边BA 的延长线上，点E 在BC 边上，连接DE 交AC 于点F ，若3117DFC B ∠∠==︒，C D ∠=∠，则BED ∠=________．18．如图1，△ABC 中，有一块直角三角板PMN 放置在△ABC 上（P 点在△ABC 内），使三角板PMN 的两条直角边PM 、PN 恰好分别经过点B 和点C .若∠A ＝52°，则∠1＋∠2＝__________；19．如果一个多边形所有内角和与外角和共为2520°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线20．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L 的取值范围是________21．如图，在ABC 中，80B ∠=︒，BAC ∠和BCD ∠的平分线交于点E ，则E ∠的度数是______．22．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、AD 、CE 上的中点，则6ABC S =，则BEF S =△______．23．一个三角形的三个内角的度数的比是1∶2∶3，这个三角形是_________________三角形．（填锐角、直角或钝角）24．如图，把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若150,222∠=︒∠=︒，则3∠=_______．25．如图，AB BE ,分别是ABC 中,BC AC 边上的高，6cm BC ，4cm AC =，若3cm =AD ，则BE 的长为__________cm ．26．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____．（填写度数）．三、解答题27．如图，在ABC 中，A ACB ∠=∠，CD 为ABC 的角平分线，CE 是ABC 的高．（1）若15DCB ∠=︒，求CBD ∠的度数；（2）若36DCE ∠=︒，求ACB ∠的度数．28．如图，BM 是ABC 的中线，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，那么ABM 与BCM 的周长的差是多少？29．已知：180,BDG EFG B DEF ∠+∠=︒∠=∠．（1）如图1，求证：//DE BC ．（2）如图2，当90A EFG ∠=∠=︒时，请直接写出与C ∠互余的角．30．（1）一个多边形的内角和等于1800度，求这个多边形的边数．（2）一个多边形的每一个内角都是108°，求这个多边形的边数．。

湘教版初二练习题数学在湘教版初二数学教材中，有许多练习题可以帮助学生巩固所学的知识。

这些练习题旨在激发学生的兴趣、培养学生的思维能力和解决问题的能力。

以下是一些例题，让我们来看看它们是如何帮助学生提高数学水平的。

一、整数运算1. 将-5与3相加后，再减去2。

解答：(-5) + 3 - 2 = -42. 计算(-7) × 4 ÷ (-2)。

解答：(-7) × 4 ÷ (-2) = 14二、分数运算1. 将2/3加上1/4。

解答：2/3 + 1/4 = 11/122. 计算3/5减去1/10。

解答：3/5 - 1/10 = 5/10 = 1/2三、代数式1. 如果x = 3，计算3x + 2x² = ?解答：将x = 3代入表达式中：3(3) + 2(3)² = 272. 如果x = -2，计算4x - x² = ?解答：将x = -2代入表达式中：4(-2) - (-2)² = -8 - 4 = -12四、方程求解1. 解方程3x + 4 = 16。

解答：3x + 4 = 16，移项得3x = 12，再除以3，得x = 4。

2. 解方程2(x - 3) + 4 = 10。

解答：2(x - 3) + 4 = 10，展开得2x - 6 + 4 = 10，化简得2x - 2 = 10，再加2得2x = 12，最后除以2得x = 6。

五、几何1. 计算一个正方形的面积，已知边长为4cm。

解答：正方形的面积等于边长的平方，所以面积为4² = 16cm²。

2. 计算一个圆的周长，已知半径为5cm。

解答：圆的周长等于2πr，所以周长为2π(5) = 10π cm。

六、概率1. 把一副52张的牌洗乱后，从中随机抽取1张牌，抽到红心的概率是多少？解答：一副牌中有13张红心，因此概率为13/52 = 1/4。

2. 把一枚骰子掷一次，掷到偶数点的概率是多少？解答：一枚骰子中有3个偶数点（2、4、6），因此概率为3/6 = 1/2。

初二数学第一章练习题答案1. 有理数的运算1.1 有理数的加减法1.1.1 有理数的加法题答案-3 + 5 = 28 + (-2) = 61.1.2 有理数的减法题答案6 - 2 = 4-9 - (-3) = -61.2 有理数的乘除法1.2.1 有理数的乘法题答案(-3) × 4 = -125 × (-2) = -101.2.2 有理数的除法题答案(-20) ÷ 5 = -416 ÷ (-2) = -82. 整数的整除关系2.1 除数倍数相关题2.1.1 题目：4的倍数有哪些？答案：-12, -8, -4, 0, 4, 8, 12...2.1.2 题目：10的因数有哪些？答案：-10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10...2.2 整除与约数的关系2.2.1 题目：100 ÷ 20的余数是多少？答案：02.2.2 题目：-36 ÷ (-6)的商是多少？答案：63. 数轴与坐标3.1 数轴上的有理数3.1.1 题目：-2与2谁大？谁小？答案：-2小，2大。

3.1.2 题目：-3与-4距离原点谁近？谁远？答案：-3近，-4远。

3.2 坐标3.2.1 题目：数轴上的点A坐标为-5，点B坐标为2，求AB的距离。

答案：AB的距离为7。

3.2.2 题目：数轴上的点C坐标为-3，点D坐标为7，求CD的距离。

答案：CD的距离为10。

4. 有理数的比较4.1 大小关系4.1.1 题目：-5与-3谁大？答案：-3大。

4.1.2 题目：-1与0谁小？答案：-1小。

4.2 排序4.2.1 题目：对-2，5，-4，3，-1这几个数由小到大排序。

答案：-4，-2，-1，3，5。

4.2.2 题目：对-9，-7，-10，-6这几个数由大到小排序。

答案：-6，-7，-9，-10。

总结：初二数学第一章练习题主要涉及到有理数的运算、整数的整除关系、数轴与坐标以及有理数的比较。

《确定位置》典型例题例1 阅读下面的问题：（1）一位居民打电话给供电部门反映“前进路第8个电杆的路灯坏了”，维修人员很快修好了路灯．（2）某人买了一张5排9号的电影票，很快找到了自己的座位．（3）地质部门在某地埋下一个标志牌，上面写着“北纬44.2°，东经125.7°”．请分析上面几个问题有什么共同的特点？例2 上午8时，一艘船从海港A出发，以每小时15海里的速度驶向在北偏东60°的小岛B，10时整到达B岛．这时船在海港A的什么位置？从B看A 在什么位置？例3 一艘船向正东方向航行，上午9时到一座灯塔C南偏西45°方向68海里的A处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的B处，求这艘船的航行速度．例4如图所示，从位于O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向，相距600m的A处有一艘快艇正向正南方向航行，经过若干时间到达哨所东南方向的B处，求AB的距离．参考答案例1 分析 上面这几个问题中都是用两个量来确定平面上一个点的位置．如（1）中“××路×个电线杆”，（2）中“×排×号”，（3）中“北纬×度，东经×度”，都是用两个量确定一个点的位置．例2 解 这时船在海港A 的北偏东60°，相距30海里的位置．A 在B 的南偏西60°，相距30海里的位置．例3 分析 把题目中的文字语言转化为图形语言，见图．∴68=AC 海里，.,45AB CB ACB ⊥︒=∠设x AB =，则22268,=+==x x x AB BC ，解得 .217)911(234,234=-÷=x所以这艘船的行驶速度为217海里/时．说明：方向角是指目标方向线与指南或指北的方向所成的锐角，见图，OA 方向表示北偏东30°，OB 方向表示南偏西75°，在大海、草原、沙漠等地方大都用此种方法确定点的位置．例4 分析 依题意，可知600=OA （m ）︒=∠601Θ，∴.,453,302OC AB ⊥︒=∠︒=∠600=OA Θ，∴3300,3300300600,30022===-==OC BC OC AC ， ∴)3300300(+=AB m ．。

初二数学练习题答案和解析一、选择题1.答案：B解析：根据题意，我们可以将321除以9，得到余数为6。

因此，所给数除以9的余数为6，故选B。

2.答案：A解析：对于本题，我们可以通过计算得出各选项的数值，然后对比大小。

计算结果为A>B>C>D，因此选A。

3.答案：C解析：我们将所给的带有根号的数值进行平方，并进行计算，计算结果为C。

4.答案：D解析：本题是一个等比数列，前两项的比值为2，因此公比为2。

根据公式an = a1 * (r^(n-1))，我们可以得到第12项的数值为4096，故选D。

5.答案：A解析：在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0, 2)，点B的坐标为(3,0)。

根据两点间距离公式，可得到AB的长度为√13，故选A。

二、填空题1.答案：8解析：我们将所给的方程化简为2x - 12 = -4，然后解方程可得x = 8。

2.答案：72解析：我们将所给的比例关系转化为等式，得到(2x + 8) / 4 = x / 3，然后解方程可得x = 72。

3.答案：10解析：我们将所给的不等式化简为2x - 4 < 18，然后解不等式可得x < 11。

由于只需要找出小于10的正整数解，因此选10。

4.答案：25解析：我们将所给的平方根运算进行计算，得到√625 = 25。

5.答案：16解析：我们将所给的分式进行运算，得到(4^4) / 2 = 16。

三、解答题1.答案：解析：首先，我们需要将方程2(x + 3) = 4x - 6进行化简，得到2x + 6 = 4x - 6。

然后，将4x - 6移项，得到2x + 6 = -6，再将2x移项，得到6 = -6 - 2x。

最后，解得x = -6 - 2 = -8。

2.答案：解析：由题意可知，正方形的边长为x cm，高度为4 cm，所以根据勾股定理可得(x^2) + 16 = (x + 4)^2。

化简后，得到x^2 + 16 = x^2 + 8x + 16。

初二数学练习题及答案解析一、选择题1. 设函数f(x)=-2x+5，则当x=3时，f(x)的值为多少？A. 1B. 5C. 7D. 9答案：C解析：将x=3代入函数f(x)，得f(3)=-2(3)+5=-6+5=7，故选C。

2. 以下哪个数是无理数？A. √4B. √9C. √16D. √25答案：A解析：√4=2，√9=3，√16=4，√25=5，它们都是有理数，而√4=2的平方是4，故选A。

3. 一个长方体的底面积为15平方厘米，高为6厘米，则该长方体的体积是多少？A. 9立方厘米B. 30立方厘米C. 45立方厘米D. 90立方厘米答案：B解析：长方体的体积等于底面积乘以高，即体积=15平方厘米×6厘米=90立方厘米，故选B。

二、填空题1. 若a:b=3:4，b:c=2:5，则a:b:c的比值为___。

答案：6:8:20解析：由已知条件，可得a:b:c=3×2:4×2:4×5=6:8:20，故填6:8:20。

2. 定义域为[-2, 4]的函数f(x)=x²的值域为___。

答案：[0, 16]解析：将[-2, 4]内的各个x值代入函数f(x)=x²得到的y值，可以得到值域为[0, 16]。

三、计算题1. 计算：3/5 × 1 1/3 - 2/3 ÷ 1/4。

答案：1解析：首先计算除法：2/3 ÷ 1/4 = 2/3 × 4/1 = 8/3。

然后计算乘法：3/5 × 1 1/3 = 16/15。

最后计算减法：16/15 - 8/3 = 16/15 - 40/15 = -24/15= -8/5 = -1 3/5。

最终结果是-1 3/5，即-1.6。

所以答案为1。

2. 在等差数列-10, -7, -4, ..., 49中，共有多少个数？答案：30解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1=-10，d=3。