《15.1.1从分数到分式》教学课件1

思考: 1、分式概念的形成过程，体现了什么数学思想方法？ （如分类、整体、类比、数形结合等思想）
2、分式与整式的区别是什么？ 分母中必须含有字母
知识讲解
下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
根据分式的概念,试着写出一个具有实际背景意义的分式.
知识讲解
二、分式有意义的条件
5 x 3
注意：分式中字 母的取值不能使分母 为零．因为当分母的 值为零时，分式就没 有意义．
新课导入
问题二： 奥帆中心规定，学生单价为60元/人，成人单价为70元/人。我们
共有a位学生，b位教师，买门票需要多少元？平均每张门票多少元？
问题三： 按照奥帆中心规定，m个人享受团购价，交了600元门票钱，那么
平均每个人多少元？
知识讲解
一、分式的概念
把除式 A÷B 写成 的形式，其中 A，B 都是整式，且 B 中含有字母，我们把代数式 叫做分式.
第十五章 分式
第十五章 分式
15.1.1 从分数到分式
学习目标
1 了解分式的概念，能区别分式与分数的相同与区别 之处.（重点）
2 能确定分式有，无意义的条件，能确定分式为零的 条件 .（重、难点）
新课导入
问题一： 周末，部分老师和学生去青岛
奥帆中心研学，早上7点乘车从学校出发，9点到达目的地，行程 145千米，那么汽车的平均速度约为多少千米/小时？
知识讲解
a 1
2a a 1
2a
4a3 3-2 a
2
a 1
知识讲解
三、分式值为0的条件
问题1：通过上面的学习知道分式的分母不能为0，那分子能为 0吗？
问题2: 在分母不为0的前提下，分子为0，分式的值将怎样？
知识讲解

x 3
x3
的值是零.
提升：当求使分式值为零的字母的取值时，我们可以先求满足分子的值为零
时字母的值，再代入分母，检验是否为零，舍掉使分母为零的值；也可以直
接利用分子的值为零、分母的值不为零这两个条件共同确定字母的取值.
x 1
的值为1，求x的值.
3x 2
x 1
（2）若分式 3 x 2 的值为正数，求x的取值范围.
2

思考1：分式概念中的关键词是什么？
2.当x取何值时，下列分式有意义？
5
x
（1） ；（2）
；
2x
x 4
2x
x2
（3） 2 ；（4）
.
x +1
x 31 x
思考2：分式有意义、无意义的条件是什么？
3.当x取何值时，下列分式的值为零？
x +3
（1）
;
2x 7
x 2
（2）
x4
x 5x 6
x3
3.求当x取何值时，分式
的值：
x5
（1）为正数；
（2）为负数
4.当x为何值时，分式
x 3
的值是非负数？
x2 1
6
5.若整数m满足
为正整数，求整数m的值.
1+m
1
6.如果对于任何实数x，分式 x 2 2 x c 总有意义. 求c的取值范围.
x
7.若对于任意数x，分式 2
都有意义. 求m的取值范围.
x +m
(2) 5a 5b3c 15a 4b ;
(3) 12a 3 6a 2 3a 3a .
除法分为单项式除单项式；多项式除单项式的形式，整式除法的计算

V
的圆柱形容器中,水面高度为______; S
S
V
思考
议一议：请大家观察式子 和 ，有S 什么V特点？
aS
请大家观察式子
和100 ，有什60么特点？
20 u 20 u
他们与分数有什么相同点和不同点？
相同点 都具有分数的形式
不同点 （观察分母） 分母中有字母
分式的定义
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称
解：x≠±1，且x≠－2
x 1xx有意11义x； 2
(2)当x取何值时，分式
无4意x义？5
3x 7
解：根据题意，得3x－7＝0，解得x＝ .
7
所以当x＝
时，7 分式
3
无意34 xx义-+．75
3
知识模块三 分式的值为零的条件
想一想： 分式 A的值为零应满足什么条件？
B
当A=0而 B≠0时， 分式 BA的值为零.
有意义；2
3x
有意义；x x 1
有意义；1 5 3x
取全体实数时，分式
有意义；x 1 x2 1
时32，分式
有意义x .1
2x 3
合作探究
1.分式
x2
x2
4x的9值3为零，求x的值；
解：
x2 – 9 = 0, x2 – 4x+3 ≠ 0.
解得x＝－3.
合作探究 2．当x取什么值时，分式
40
则高为 c7m；三角形的面积为S，底边为a，
2S
则高为 ；a
2．王老师骑自行车用了m小时到达距离家n千米的学校，则王老师
的平均速度是
n
千米/时；若乘公共汽车则可m少用0.2小时，则

1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。 2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。 3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力 ! 4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂 不自在，哪里来的尘埃! 5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。 6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。 7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中; 像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。 8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受; 有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。 9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有; 不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。 10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。 11、人生的某些障碍，你是逃不掉的。与其费尽周折绕过去，不如勇敢地攀登，或许这会铸就你人生的高点。 12、有些压力总是得自己扛过去，说出来就成了充满负能量的抱怨。寻求安慰也无济于事，还徒增了别人的烦恼。 13、认识到我们的所见所闻都是假象，认识到此生都是虚幻，我们才能真正认识到佛法的真相。钱多了会压死你，你承受得了吗 ?带，带不走，放，放不下。时时刻刻发悲心，饶益众生为他人。 14、梦想总是跑在我的前面。努力追寻它们，为了那一瞬间的同步，这就是动人的生命奇迹。 15、懒惰不会让你一下子跌倒，但会在不知不觉中减少你的收获; 勤奋也不会让你一夜成功，但会在不知不觉中积累你的成果。人生需要挑战，更需要坚持和勤奋 ! 16、人生在世：可以缺钱，但不能缺德;可以失言，但不能失信; 可以倒下，但不能跪下; 可以求名，但不能盗名 ; 可以低落，但不能堕落; 可以放松，但不能放纵;可以虚荣，但不能虚伪; 可以平凡，但不能平庸; 可以浪漫，但不能浪荡;可以生气，但不能生事。 17、人生没有笔直路，当你感到迷茫、失落时，找几部这种充满正能量的电影，坐下来静静欣赏，去发现生命中真正重要的东西。 18、在人生的舞台上，当有人愿意在台下陪你度过无数个没有未来的夜时，你就更想展现精彩绝伦的自己。但愿每个被努力支撑的灵魂能吸引更多的人同行。 19、积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会中看到了某种忧患。莫找借口失败，只找理由成功。 20、每一个成就和长进，都蕴含着曾经受过的寂寞、洒过的汗水、流过的眼泪。许多时候不是看到希望才去坚持，而是坚持了才能看到希望。

A 有意义 B
2、分式
A B
的应满足什么条件，分式无意义？
分母B=0时，分式
A B
无意义
(1)当 x__0 _时 _,分 _ 式 32x有意 . 义 牛 (2)当 x__1 _时 _,分 _ 式 x 有意 . 义 刀 (3)当 b_ _53 _时 _,分 _ x5 式 113b有意 . 小 试义
S
V
请大家观察式子
S a
v,Βιβλιοθήκη ,90, 60
s 30 v 30 v
与分数 10 7
, 200 33
有什么相同点和不同点？
都是 A （即A÷B）的形式 B
分数的分子A与分母B都是整数 这些式子中的A与B都是整式，
并且分母 B中含有字母
分式定义:
一般地，如果A、B表示两个整式
，并且B中含有字母，那么式子 A B
问题1一艘轮船在静水中的速度为30千米/时，水流速度为 3千米/时，请问这艘轮船顺流航行的速度为（33km/h ）， 逆流航行的速度为（ 27km/h ）
问题2 一艘轮船在静水中的最大航速是30千米/时,它沿江
以最大船速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流
航行60千米所用的时间相等，江水的流速是多少?
思考填空
1.长方形的面积为10cm²,长为7cm.宽应为
10
___7 ___cm;长方形的面积为S,长为a,宽应
S
为__a____;
S
?
a
2.把体积为200cm³的水倒入底面积为
33cm²的圆柱形容器中,水面高度为
200 __3_3 __cm;把体积为V的水倒入底面积为S
v 的圆柱形容器中,水面高度为___s ___;

• 课后思考： 分式的值为正数需要什么条件？分式值为
负数又需要什么条件？
【例题】
下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义.
（1） 2
3x
解：要使分式有意义，分母 3x≠0 ， 即 x≠0
（2） x
x 1
解：要使分式有意义，分母 x－1≠0 ，
即 x≠1
下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义.
（3） 1
5 3b
解：要使分式有意义，分母 5－3b≠0 即b≠ 5
分式的特点：
• 分式和分数相比较，形式相同。分数的分 子和分母都是整数；分式的分子和分母都 是整式，并且分母中含有字母。
• 分式和整式相比较，整式可以没有分母， 或者有分母，但分母中没有字母；分式一 定有分母，并且分母中含有字母。
分式的特点：分母中含有字母
【例题】
判断：下面的式子哪些是整式？哪些是分式？
（4） x y 3
xy
解：要使分式有意义，分母 x－y≠0
即 x≠y
【跟踪训练】
已知分式 x2 -4 ,
x+2
(1) 当x为何值时，分式无意义? (2) 当x为何值时，分式有意义?
解：(1) 当分母等于零时,分式无意义.
即 x+2=0 ∴ x =-2， ∴当x = -2时分式 x2 -4 无意义.
,c
3(a
b)
.
解：整式有：2a 5 , a .
3 2π
分式有： x x2 y2
,
mn mn
,
x2 x2
2y 1 2y 1
,c
3(a b)
.
知识点2（重点）： 分式有意义的条件:
分式
A B
的分母有什么条件限制（类比分数）

【选自教材P128 练习 第1题】
40
（1）某村有n个人，耕地40hm2，则人均耕地面积为 n hm2.
2S
（2）△ABC的面积为S，BC边的长为a，则高AD为 a .
a
（3）一辆汽车b h行驶了a km，则它的平均速度为 b km/h；
一列火车行驶a km比这辆汽车少用1 h，则它的平均速度为
a
b - 1 km/h.
B. x ≠ 2 D. 以上结果都不对
方法总结:分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是 几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零.
想一想
分式 A 的值为零应满足什么条件？ B
0 0 2
分子为0 分母不为0
A0 B
当A=0，B≠0时，分式 A 0 B
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.
针对训练
区别
分子与分母都是整 数，即都不含字母
分母中一定含有 字母
整式 整式（含字母）
S 令S=100，a=7 100
a
7
整数 整数
分式
具体化 一般化
分数
实质：分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具有一般性.
针对训练
下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
ab2 ； 1 ； a ； x ； x 1 ； 1 x y ； 1 .
面积 = 长×宽
S?
a
体积 = 底面积×高
（2）把体积为200 cm3 的水倒入底面积为33
200
cm2 的圆柱形容器中，则水面高度为 33 cm；
把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容
V
器中，则水面高度为 S .
S
同5÷3可以写成
5 3

由分母 x+2≠０， 得 x ≠ -2
所以 当x = 2时 分式 x2 4 的值为零。 x2
归纳：
当
A B
=0时分子和分母应满足什么条
件？为什么？
当A=0而
B≠0时，分式
A B
的值为零。
随堂练习
当x取什么值时，下列分式的值为零？
⑴ x 1
x 3
(2)
4x 1
2x 6
解⑴： 由分子 x －1﹦0， 得 x =1
从分数到分式
分式定义：
一般地，如果A、B都表示整式，且B 中 做含 分有式字的母分，子那，么B为称分BA式的为分分母式。。其中A叫
注意：分式是不同于整式的另一类有理 式，且分母中含有字母是分式的一大特 点。
类比分数，分式的概念及表达形式:
被除数÷除数=商数
被除式÷除式=商式
如:
3
÷5
3
=5
类比 如: (v-v0) ÷ t
200 形容器中，水面高度为 33 cm；
（3）把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中， 水面
V 高度为 S .
问题2：
小明过生日，请来了五位好朋友，一
起分享蛋糕，应该分成多少块，每人可
得多少块？
1
分数
6
如果有一位好朋友缺席，应该怎
么分？
1
5
如果有n位好朋友，怎么分？
1 n 1
议一议
上面问题中得到的式子 10 ，S ， 200 ，V ， 1 ，1 7 a 33 S n 1 6
有意义。
2
(1)当a ≠ 0 时分式 a 有意义。
5
1
（2）当b ≠ 3 时，分式5 3b有意义.

第十五章 分式
15.1 分式
第十五章 分式
15．1.1 从分数到分式
目标突破 总结反思
目标突破
目标一 会识别分式
例 1 教材补充例题 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ (1)1a；(2)－x2；(3)xx＋yy；(4)xx2；
(5)14(x2＋1)；(6)2x－ 3 y；(7)2πm.
[解析] 一个式子是分式必须同时满足以下两个条件：(1)式子的
目标二 理解分式有意义的条件和值为零的条件
例 2 教材例 1 针对训练 要使分式22xx＋ －11无意义，则 x 的取值
应满足( B )
A．x＝－12
B．x＝12
C．x≠－12
D．x≠12
[解析] B 分母为 0 时，分式无意义，即 2x－1＝0，所以 x＝21.
【归纳总结】分式有无意义的条件 分母＝0⇔分式无意义； 分母≠0⇔分式有意义．
谢 谢 观 看！
分子与分母都是整式；(2)式子的分母中含有不表示常数的字 母．注意xx2是分式，不能化简后再去判断；而2πm中分母 π 是常 数，因此2πm是整式．
解：整式有(2)(5)(6)(7)，分式有(1)(3)(4)．
【归纳总结】辨别分式的“两关键”和“两误区”
1．“两关键”； (1)AB的形式(A，B 都是整式)； (2)B 中必须含有字母． 2．“两误区”： (1)含分母的式子不一定是分式，如a2，π9 等不是分式而是整式； (2)只看形式，不能看化简后的结果，如xx2是分式，而不是整式．
知识点二 分式值为零 当 A＝0 且___B_≠_0___时，分式AB的值为零．
下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ π1 ，x，xx2，a2. 解：x，xx2，a2是整式，π1 是分式． 以上判断是否正确？若不正确，请说明理由．

6
第二步：互助探究
二、分式 BA的分母有什么条件限制？
当B=0时， 分式 BA无意义. 当B≠0时，分式 BA有意义.
7
第二步：互助探究
下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（课本129页练习3）
(1) 2 a
a≠0
2 x 1
x 1
x≠1
(3) 2m 3m 2
m2 3
4 1
x y
5 2a b
a
b 千米/小时；一列火车行a驶a千米比这辆汽车
少用1小时，它的平均车速为 b 1 千米/小时。
11
三、分层提高
2、判断：下面的式子哪些是分式？
1 2x
x
2 3000
300 a
3 2
7
(4) V S
5 S
3
62x2
1 5
7 4
5b c
8 5 (9)5x 7 10 x2 xy y2 2x 1
v
s和
S a
，以及
210和00 v
60有什么共同特点？
20 v
（分母中都含有字母）
它们与分数有什么相同点和不同点？
4
第二步：互助探究
： 一、分式定义
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含 有字母，那么称 BA为分式.其中A叫做分式的分子， B为分式的分母.
注：1）分母中含有字母是分式的一大特点。
______170____S__c; m;长方形的面积为S,长为a,宽应为
a
S?
a
2.把体积为200cm³的水倒入底面200积为33cm² 的圆柱形容器中,水面高度为___3_3 _cm;把体
积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,

.
解：分式：1 ， 4 , m n x 3b2 5 m n
整式：x ，2a 5 ,3 x y ,2x y
334
π
两类式子的区别在于整式的分母中不含字母，
而分式的分母中含有字母.
3.当x取什么值时，下列分式有意义？
(1) 1 ;(2) 1 ;(3) x 5 ;(4) 1 ;(5) x . 3x 3 x 3x 5 x2 16 x 3
在经历探索、思考、类比的过程中，体会分式的意义，感受分式是刻画现实问题中数 量关系的一种模型. （三）情感态度
进一步增强从特殊到一般的认知过程，发展学生的数学思维能力. 二、教学重点 理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法. 三、教学难点 在分式有意义的条件下，分式值为0的字母的取值情况.
第十五章 分式
15.1 分式
15.1.1 从分数到分式
5÷3可以写成分数 5，那么x÷y可以写成这样 的形式吗？如果你认为3 行，那么这个式子是我
们以前学习的整式吗？那它是什么式子呢？通
过今天的学习，我们会进一步认识它.
一、教学目标 （一）知识与技能
理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取 值范围或字母之间的相互关系. （二）过程与方法】
（4）填空：
（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应
10 为 7 cm；长方形的面积为S，长为a，宽 应为 S cm.
a
（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积200为33 cm2 的圆柱形容器中，水面高度为 33 cm；
把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形
容器中，水面高度为 V . S
追问1 上面问题中得到的式子 10 ，S ，200 ，V

（3）培养学生运用类比转化的思想解决问题的能力。 （2）能够求出分式有意义的条件；
分母。 当x取什么宽应为______;
B
4、已知，当x=5时，分式
的值等于零，
当x取什么值时，下列分式有意义？
⑵ 当x
时，分式
的值为零。
注意：分式是不同于整式的另一类有理式， 4、已知，当x=5时，分式
的值为零。
1、这节课你有哪些收获？
代数化 ，所以其性质与运算是完全类似的。
相同点
不同点（观察分母）
都具有分数的形式
分母中有字母
分式定义
D.
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字
母，那么式子 A叫做分式。其中A叫做分子，B叫做 注意：分式是不同于整式的另一类有理式，且分母中含有字母是分式的一大特点。
思考：
？
1、分式
A B
的分母有什么条件限制？
当B=0时，分式
A B
无意义。
当B≠0时，分式
A B
有意义。
2、当
A B
=0时分子和分母应满足什
么条件？
A 当A=0而 B≠0时，分式 B的值为零。
x2 4 例1. 已知分式 x 2 ,
(1) 当x为何值时，分式无意义? (2) 当x为何值时，分式有意义?
4 5b c
3000
2
300 a 7
5 5x7
VS S 32
x2 xy y2 2x 1
2x2 1 5
3x2 1
分式：
2、下列式子中，哪些是分式？哪些是 整式？两类式子的区别是什么？
1 x 4 2a 5 x x 3 3b3 5 3 x 2 y 2
m n x2 2x 1 c