反证法和放缩法

《反证法和放缩法》知识清单一、反证法反证法是一种间接证明的方法。

当我们要证明一个命题成立时，如果直接证明比较困难，那就可以考虑使用反证法。

反证法的基本思路是先假设命题的结论不成立，即提出与命题结论相反的假设。

然后，从这个假设出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果。

这个矛盾可以是与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、或者是自相矛盾。

由于推理过程是正确的，所以产生矛盾的原因只能是假设不成立，从而证明原命题的结论是正确的。

例如，证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60 度”。

我们先假设三角形的三个内角都大于 60 度，那么三个内角之和就会大于 180 度，这与三角形内角和定理（三角形内角和为 180 度）矛盾，所以假设不成立，原命题成立。

反证法的一般步骤可以总结为：1、提出反设：假设命题的结论不成立。

2、推出矛盾：从反设出发，通过推理得出矛盾。

3、肯定结论：由于矛盾的出现，说明反设错误，从而证明原命题的结论正确。

反证法在数学证明中有着广泛的应用，尤其是在证明一些存在性、唯一性、否定性的命题时，往往能起到意想不到的效果。

二、放缩法放缩法是不等式证明中一种常用的方法。

其基本思想是将不等式中的某些项进行放大或缩小，从而使不等式变得更加简单，易于证明。

放缩的依据通常是不等式的基本性质、已知的不等式、函数的单调性等。

比如，要证明不等式＼（A ＜ B\），我们可以先将＼（A\）适当放大得到＼（A' ＼），使得＼（A' ＜ B\）易于证明；或者将＼（B\）适当缩小得到＼（B' ＼），使得＼（A ＜ B' ＼）易于证明。

常见的放缩技巧有：1、舍去或加上一些项，如：＼（＼frac{1}｛n(n ＋ 1)｝＜＼frac{1}｛n^2}＼）。

2、将分子或分母放大（或缩小），如：＼（＼frac{1}｛n} ＜＼frac{1}｛n 1}＼）（＼（n ＞ 1\））。

3、利用基本不等式进行放缩，例如：若＼（a, b\）均为正数，则＼（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。

《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》证明不等式的基本方法包括反证法和放缩法。

反证法是一种常用的证明不等式的方法，它的思路是假设不等式不成立，然后通过推理推出一个矛盾的结论，从而证明原不等式的成立。

放缩法是通过对不等式进行变形、放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。

首先介绍反证法。

对于一个要证明的不等式，我们可以假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。

然后通过对这个假设的推理，得出一个与已知条件相矛盾的结论，从而证明假设是错误的，进而证明原不等式的成立。

具体步骤如下：1.假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。

2.根据已知条件和假设，对变量进行推理，得出结论。

3.利用这个结论推出与已知条件矛盾的结论。

4.由此可以得出假设是错误的，从而证明原不等式的成立。

举个例子来说明反证法的应用：对于不等式x+y>0，假设不等式不成立，即存在一些满足条件的x和y使得x+y≤0。

然后我们通过推理可以得到y≤-x，即y的取值范围在x的左侧。

然而，根据已知条件，对于任意的x和y，x+y的和都大于0，与假设矛盾。

因此，假设错误，原不等式成立。

接下来介绍放缩法。

放缩法是通过对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。

放缩法的关键在于找到合适的放缩因子和放缩方法。

具体步骤如下：1.根据不等式的特点，选择合适的放缩因子和放缩方法。

2.对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。

3.对新形式的不等式进行证明。

4.如果新形式的不等式成立，根据不等式的等价性，原不等式也成立。

举个例子来说明放缩法的应用：对于不等式(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz，我们可以使用放缩法进行证明。

我们选择放缩因子2和放缩方法(x + y) ≥ 2√xy，可以得到(2√xy)(2√yz)(2√xz) ≥ 8xyz。

化简后得到(√xy)(√yz)(√xz) ≥ xyz，即x·y·z ≥ xyz，显然成立。

《反证法和放缩法》知识清单一、反证法反证法是一种间接证明的方法。

当我们要证明一个命题成立时，如果直接证明比较困难，就可以考虑使用反证法。

反证法的基本步骤：1、提出反设：首先假设要证明的命题不成立，也就是提出与原命题相反的假设。

2、推出矛盾：从反设出发，通过一系列的推理，得出与已知条件、定理、公理或者明显事实相矛盾的结果。

3、否定反设：由于推出了矛盾，所以说明反设是错误的，从而肯定原命题成立。

例如，要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”。

我们先假设在一个三角形中可以有两个直角。

那么三角形的三个内角之和就会大于 180 度，这与三角形内角和定理（三角形的内角和等于 180 度）相矛盾。

所以假设不成立，即在一个三角形中最多只能有一个直角。

反证法在数学中的应用非常广泛，尤其是在证明一些存在性、唯一性的命题时，往往能起到意想不到的效果。

反证法的关键在于能够准确地提出反设，并通过合理的推理导出矛盾。

在导出矛盾的过程中，需要对所学的数学知识有扎实的掌握和灵活的运用。

二、放缩法放缩法是一种用于证明不等式的重要方法。

放缩的基本思路是：将不等式中的某些项进行放大或缩小，使得不等式的关系更加明显，从而达到证明的目的。

常见的放缩技巧：1、舍去或加上一些项：例如，在证明不等式时，如果某些项对证明结果影响不大，可以舍去，以达到放缩的效果。

2、放大或缩小分式的分子或分母：比如，将分式的分子放大或分母缩小，从而使分式的值变大；反之，将分子缩小或分母放大，分式的值变小。

3、利用基本不等式进行放缩：常见的基本不等式如均值不等式等，可以为放缩提供依据。

例如，要证明“当 n 为正整数时，1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋… ＋ 1/n ＜2”。

我们可以这样进行放缩：1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋ 1/4 ＋ 1/5 ＋ 1/6 ＋ 1/7 ＋ 1/8 ＋… ＋ 1/n＜ 1 ＋ 1/2 ＋（1/4 ＋ 1/4）＋（1/8 ＋ 1/8 ＋ 1/8 ＋ 1/8）＋… ＋（1/2^k ＋ 1/2^k ＋… ＋ 1/2^k）＝ 1 ＋ 1/2 ＋ 1/2 ＋ 1/2 ＋… ＋ 1/2可以发现，这样的放缩使得式子变得更加简洁，便于证明不等式。

《反证法与放缩法》讲义一、反证法反证法是一种间接证法。

当我们要证明一个命题为真时，先假设这个命题为假，然后从这个假设出发，通过一系列正确的逻辑推理，推出一个与已知条件、定理、公理等相互矛盾的结果，从而得出假设不成立，原命题为真的结论。

反证法的一般步骤可以概括为：1、反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立。

2、归谬：从反设和已知条件出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾。

3、结论：由矛盾判定反设不成立，从而肯定原命题的结论成立。

为了更好地理解反证法，我们来看几个例子。

例 1：证明根号 2 是无理数。

假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为一个既约分数 p/q（p、q 为互质的正整数）。

即根号 2 ＝ p/q ，两边平方得到 2 ＝ p²/q²，则 p²＝ 2q²。

因为 2q²是偶数，所以 p²是偶数，从而 p 也是偶数。

设 p ＝ 2m（m 为正整数），代入 p²＝ 2q²得到 4m²＝ 2q²，即2m²＝ q²。

所以 q 也是偶数，这与 p、q 互质矛盾。

因此，根号 2 是无理数。

例 2：证明在一个三角形中，不能有两个角是钝角。

假设在一个三角形中有两个角是钝角，不妨设∠A 和∠B 是钝角，即∠A＞90°，∠B＞90°。

那么∠A ＋∠B ＋∠C ＞ 180°，这与三角形内角和为 180°矛盾。

所以在一个三角形中，不能有两个角是钝角。

反证法在数学证明中有着广泛的应用，它常常能使一些看似难以直接证明的问题变得简单明了。

但在使用反证法时，需要注意正确地作出反设，以及准确地找出矛盾所在。

二、放缩法放缩法是不等式证明中一种常用的方法。

它的基本思想是：将不等式中的某些项适当放大或缩小，使不等式变得简单，从而便于证明。

放缩法的关键在于放缩的适度。

不等式的证明（二）：反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造法等证明不等式。

1. 证明不等式的其他方法有：反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造法等，这些方法在证明不等式时各有利弊，不论应用哪种方法，都要注意对知识的灵活运用。

2. 反证法属于间接证法，主要适用于命题的形式为否定式，其主要步骤如下：（1）作出与命题结论相反的假设（反设）；（2）在假设的基础上，经过合理的推导，导出矛盾的结论（归谬）；（3）肯定命题的正确性。

在利用反证法证明不等式时，一是要将命题结论的反面找全，不要遗漏；二是要注意在证明过程中，综合运用分析法与综合法的解题思想。

3. 放缩法是证明不等式的一种特殊方法，也是很重要的证明方法。

它利用已知的基本不等式或某些函数的有界性、单调性等对新证式子适当放缩。

通过证明加强命题以达到证明目的。

其证明关键是要有明确的放缩目标，而这个目标来源于对试题的分析。

4. 换元法是把试题中反复出现的代数式用一个字母代替或用一个熟悉的函数替换，达到化繁为简、化生为熟、化难为易的目的。

在换元时要注意变元的等价性。

5. 当所证不等式一边为含有某个字母的二次三项式时，可以考虑判别式法。

因此此法应用具有局限性。

它实质也是利用二次函数的性质来证明与之相关的不等式。

6. 构造法是通过构造方程（组）、函数、数列、不等式等来证明不等式的方法，它将证明不等式化归为比较函数值的大小，此法对数学能力要求较高，在高考或竞赛中经常需要用构造法解题。

在利用函数单调性证明不等式的过程中，难点就是构造函数，并且利用这个函数的单调性易证（或是熟悉的函数）。

7. 证明不等式的方法很多，对同一个不等式，思考角度不同，选择的方法也有所不同。

因此，同一个不等式证明方法可能有四种、五种，甚至更多，选择更合适、简捷的方法，需要多比较、多思考。

因此，不等式的证明对学生而言，没有固定模式，对其能力要求较高。

例1. 若a b c 、、都是小于1的正数，求证：()()()111---a b b c c a ，，不可能同时大于14。

《反证法和放缩法》知识清单一、反证法反证法是一种间接证法，它先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理，推出矛盾，从而否定假设，证明原命题成立。

（一）反证法的步骤1、反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。

例如，如果要证明“一个三角形中最多只有一个直角”，那么反设就是“假设一个三角形中有两个或三个直角”。

2、归谬：从反设出发，通过推理，导出矛盾。

这个矛盾可以是与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、与假设矛盾等等。

比如，在上述三角形的例子中，从假设出发，根据三角形内角和为 180 度，两个直角就已经达到 180 度，第三个角就不存在了，这与三角形的定义矛盾。

3、结论：由矛盾判定反设不成立，从而肯定原命题的结论成立。

（二）适用反证法的常见题型1、命题的结论以否定形式出现。

例如，“不存在”“不可能”等。

比如证明“不存在最大的整数”。

2、命题的结论以“至少”“至多”形式出现。

像“至少有一个”“至多有一个”。

比如证明“一个班级中至多有一半同学是男生”。

3、唯一性命题。

比如证明“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。

（三）反证法的优点反证法在数学证明中具有独特的优势，它能够帮助我们在直接证明比较困难的情况下，通过间接的方式达到证明的目的。

而且，反证法能够培养我们的逆向思维能力，拓宽我们解决问题的思路。

二、放缩法放缩法是证明不等式的一种重要方法，它通过对不等式中的式子进行放大或缩小，从而达到证明不等式的目的。

（一）放缩法的常见技巧1、舍去或加上一些项。

例如，要证明 1 ＋ 1/2 ＋ 1/3 ＋… ＋ 1/n ＜ 2（n 为正整数且 n ＞1），可以舍去一些项，将 1/2 以后的各项都放大为 1/2 ，得到 1 ＋ 1/2 ＋ 1/2 ＋… ＋ 1/2 ＜ 2 。

2、将分子或分母放大或缩小。

比如，在证明 1 ／（n ＋ 1) ＜ 1 ／ n （n 为正整数）时，可以将分母缩小，得到 1 ／（n ＋ 1) ＜ 1 ／ n 。

【高中数学】高中数学知识点：反证法与放缩法反证法的定义：
有些不等式不能用问题的已知条件直接证明。

我们可以通过一种间接的方法——反证法，即通过否定原始结论——推导矛盾——来证明它们，从而达到肯定原始结论的目的。

放缩法的定义：
为了把原来的不等式扩大或缩小为可以简化的形式，更常用的方法是扩大或缩小分母，或适当地（减法或加正数）简化不等式，使其易于证明。

反证法证题的步骤：
如果a为真，则验证B为真。

共分三步：
（1）提出与结论相反的假设；如果负数的对边是非负数，则正数的对边是非正数，
即0和负数；
（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（必须由假设出发进行推理否则不是反证
法或证错）；
（3）从矛盾中判断假设是不正确的，因此肯定命题的结论是正确的矛盾：与现有的
所有结论如定义、公理、定理、公式和性质相矛盾，甚至自相矛盾。

反证法是一种间接证明命题的基本方法。

在证明一个数学命题时，如果运用直接证明
法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

收缩法的意义：
放缩法理论依据是不等式的传递性：若,a<b,b<c，则a<c.
伸缩法操作：
若求证p<q，先证p<p
一
<p
二
<…<p
N
,再证恰有p
N
<q.
注：（1）只能在同一方向上缩回，不能在相反方向上缩回。

（2）不能放（缩）得太大（小），否则不会有最后的p
N
<q.。