临考押题卷01-2020年高考数学临考押题卷(天津专版)(原卷和解析)

2020年高考临考押题卷（二）数学（天津卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单选题1．已知集合2{|24},{|}x A x B x x x =<=>，则A B =U （ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0)(1,2)-∞UC ．(,0)(1,4)-∞UD ．R【答案】D【解析】{|2},{|01},A x x B x x x A B =<=<>∴=R U 或． 2．复数z 满足()12z i i +=，则复数z 的共轭复数是（ ）A ．1i +B ．1i -C ．12i +D ．12i -【答案】B【解析】由(1)2z i i +=，得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-， ∴1z i =-，3．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）A ．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B ．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C ．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D ．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50% 【答案】D【解析】对于A ，2016年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为6.30.8100%687.5%0.8-⨯=，高于2018年的增长率47.723.2100%105.6%23.2-⨯≈，A 错误；对于B ，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是21.4，故中位数为21.4万台，B 错误； 对于C ，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为4.914.121.430.044.723.025++++=万台，C 错误；对于D ，从2017年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为52.0%，61.4%，57.5%，均超过50%，D 正确.4．已知a i j =+r r ，2b i =r r，其中i r ，j r 是互相垂直的单位向量，则3a b -=r r （ ）A．B．C ．28D ．24【答案】A【解析】a i =r r Q ，2b i =r r，且i r ，j r 是互相垂直的单位向量3325a b i j i i ∴-=-⨯=-r r r r r ，0i j ⋅=r r3a b ∴-====r r5．在ABC V 中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC V 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】B 【解析】sin sin sin cos cos B CA B C+=+Q ，∴由正弦定理及余弦定理可得22222222b ca a cb a bc ac ab+=+-+-+，22222222a c b a b c a a b c ac ab +-+-∴⨯+⨯=+，22222222a c b a b c b c c b+-+-∴+=+，()()2222222222b a c b c a b c bc b c ∴+-++-=+， 223322a b a c b c b c bc ∴+--=+，()()()()222a b c c b b c bc b c bc ∴+-++-=+，222a b c ∴=+，ABC ∴V 是直角三角形.6．已知抛物线21:8C y x =的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线2y kx =-与C 交于A ，B 两点，若FA 为HFB ∠的角平分线，且||2||AB AH =，则||AF =( ) A ．2 B ．83C ．3D ．4【答案】B【解析】如图,连接AF ,BF ,过A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为M ,N ,易知(0,2)F ,(0,2)H -,||4FH =.由角平分线定理可得||||2||||BF BA FH AH ==,则||||1||||3AH AM BH BN ==.∵||||2||8BN BF FH ===,∴8||||3AM AF ==.7．关于函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-，有下列三个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 有3个零点；③()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【解析】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==Q ，()f x ∴为偶函数，①正确；令()0f x =，则0x =或sin 0x =，当sin 0x =时，0x =或x π=-或x π=，()f x ∴的零点为0x =或x π=-或x π=，共3个，②正确； ()sin cos f x x x x '=+Q ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，cos 0x >，()0f x '∴>， ()f x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，③正确.8．已知函数()()222sin cos sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,25⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以223562πωπωππ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，所以02ππω≤≤， 所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 9．存在两个正实数x ，y ，使得等式(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-，其中e 为自然对数的底数，则a 的范围为（ ） A ．(,0)-∞ B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1(,0),e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-得(2)ln 0yx a y ex x+-=， 即1(2)ln 0y ya e x x+-=， 即设yt x=，则0t >， 则条件等价为1(2)ln 0a t e t +-=， 即1(2)ln t e t a-=-有解， 设()(2)ln g t t e t =-，2()ln 1eg t t t'=+-为增函数， ()g e 'Q 2ln 11120ee e=+-=+-=， ∴当t e >时，()0g t '>，当0t e <<时，()0g t '<，即当t e =时，函数()g t 取得极小值，为()ge (2)ln e e e e =-=-，即()g t g …（e ）e =-， 当0t→时，()(2)ln +g t t e t =-→∞，当x →+∞时，()(2)ln +g t t e t =-→∞.若1(2)ln t e t a -=-有解， 则1e a--…，即1e a„， 则0a <或1a e…， 二、填空题10．已知tan α=，则sin 2α=__________．【答案】3【解析】2222sin cos 2tan sin 22sin cos cos sin 1tan 3ααααααααα====++.11．在ABC V 中，60A =︒，2AB =，且ABC V AC =________；【答案】1【解析】由题得，ABC V 的面积为13sin 6022S AB AC =⨯=o ，解得1AC =. 12．在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答）【答案】21【解析】721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()773177211rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令731r -=，得2r =，()227121C -=，故答案为21.13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________. 【答案】5【解析】1335,0,0,155x y xy x y y x+=>>∴+=Q ， ()13133121331234342555555555x y x yx y x y y x y xy x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当31255x yy x=，即21x y ==时取等号． 14．已知四面体ABCD 中，26AB AD ==，43BD =，BCD ∆为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为______. 【答案】64π 【解析】取BD 的中点E ，连接AE ，CE ， 取CE 的三等分点为O ，使得2CO OE =， 则O 为等边BCD ∆的中心.由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，CE BD ⊥，CE ⊥平面ABD .而22248AB AD BD +==，所以ABD ∆为等腰直角三角形，且E 为ABD ∆的外心， 所以OA OB OD ==，又OB OC OD ==， 所以O 为四面体ABCD 外接球的球心，其半径243r ==. 故四面体ABCD 外接球的表面积为24464S ππ=⋅=.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F . （1）若2F 到渐近线的距离是3，则b 为__________.（2）若P 为双曲线C 右支上一点，1260F PF ∠=︒且12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点为Q ，满足122FQ QF =u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为__________.【答案】3【解析】取渐近线方程为by xa=，即0bx ay -=，()2,0F c 到直线的距离为3d ==，故3b =；122FQ QF =u u u r u u u u r ，则122PF PF =，122PF PF a -=，故14PF a =，22PF a =，根据余弦定理：2224416242cos60c a a a a =+-⨯⋅︒，整理得到：223c a =，故e =三、解答题16．为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站时间不低于40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关； 非网购达人 网购达人 总计 男 女 10 总计（2）将上述调査所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取3名，记被抽取的3名网民中的“网购达人”的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k …0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“网购达人”有(0.0200.005)1010025+⨯⨯=（人）.补充完整的22⨯列联表如下：非网购达人 网购达人 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计752510022100(30104515)100 3.030 2.7067525455533K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关.（2）由频率分布直方图知，“网购达人”对应的频率为0.0200.0051025(.)0+⨯=， 将频率视为概率即从该地随机抽取1名网民，该网民是“网购达人”的概率为14. 由题意知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 从而X 的分布列为 X1 2 3P2764 2764 964 164由二项分布的数学期望与方差公式得13()344E X np ==⨯=， 139()(1)34416D X np p =-=⨯⨯=，17．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值. 【解析】(1)如图所示，连结11,A E B E ，等边1AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ⊆平面11A B E ，故EFBC ⊥.(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH=，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==，据此可得：()()()1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B的坐标为132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用中点坐标公式可得：34F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于()0,0,0E ， 故直线EF的方向向量为：34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则：()()133,,3302233,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩， 据此可得平面1A BC的一个法向量为()m =u r，34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r此时4cos ,5EF m EF m EF m ⋅===⨯u u u r u r u u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55EF m θθ===u u u r u r . 18．给定()3,n n n N *≥∈个不同的数1、2、3、L 、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ． （1）若3n =，求3T ；（2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1kk N k n *∈≤≤使得2k n S S =；②求n T （用n 表示）．【解析】（1）1、2、3的所有排列为1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1. 因为36S =，所以对应的P k 分别为2、1、2、1、1、1，所以38T =；（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、L 、n a ，因为41n l =+，l N *∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =（ii ）因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+①，且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②，考虑排列P 的对应倒序排列:P 'n a 、1n a -、L 、1a ，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++，由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-；又1、2、3、L 、n 这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． 19．已知直线l 与椭圆22:162x y C +=交于不同的两点A ，B . （1）若线段AB 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线l 的方程； （2）若l 的斜率为k ，且l 过椭圆C 的左焦点F ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证：||||FN AB 为定值. 【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ， 则22112222162162x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：2112211213y y x x x x y y -+=-⨯-+，AB Q 中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，2121l y y k x x -=-，12233l k ∴=-⨯=-， ∴直线l 的方程为：()12123y x -=--，即：4670x y +-=. （2）由椭圆方程知：()2,0F -，可设直线l 的方程：()2y k x =+，联立()222162y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()222213121260k x k x k +++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则21221213k x x k +=-+，212212613k x x k -=+， ()3121222124441313k k y y k x x k k k k∴+=++=-+=++， 21226213x x k k +∴=-+，1222213y y k k +∴=+， 当0k =时，AB =2FN =，FNAB ∴=； 当0k ≠时，AB 的垂直平分线方程为：2222161313k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭， 令0y =得：22413k x k =-+，224,013k N k ⎛⎫∴- ⎪+⎝⎭，()222221421313k k FN k k +∴=-+=++，AB ==Q )22113k k +=+， ()2222113k FN AB k +∴==+； 综上所述：FN AB 20．已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +> （1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数.【解析】(1)当34a =-时，()3ln 4f x x =-+()0,∞+，且： ()3433'4x x f x x -+=-== 因此函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3.(2)由1(1)2f a ≤，得0a <≤当04a <≤时，()fx ≤2ln 0x≥， 令1t a=，则t ≥ 设()22ln gt t x =，t ≥，则2()2ln g t t x =--， （i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤则()2ln g xg x =…，记1()ln ,7p xx x =≥，则1()p x x '=-==列表讨论：()(1)0,()2()0p x p g t g p x ∴=∴=厖?（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 则()10q x'=+>， 故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()f x ≤，综上所述，所求的a 的取值范围是0,4⎛⎝⎦．。

高考数学仿真押题试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2i z i -=，则下列关于复数z 说法正确的是( ) A ．1z i =--B ．||2z =C ．2z z =D ．22z =【解析】解：由(1)2i z i -=，得，故A 错；||z =B 错；2||2z z z ==，故C 正确；，故D 错误．【答案】C ．2．命题“x R ∀∈，210x x -+…”的否定是( ) A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．0x R ∃∈，C ．0x R ∃∈，2010x x -+… D ．0x R ∃∈，2010x x -+… 【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题， 则命题的否定是：0x R ∃∈，【答案】B ．3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A ．171B ．342C ．683D ．341【解析】解：根据程序框图可知：1i =1S =；2i =2S =；3i =3S =；4i =6S =；5i =，11S =；6i =22S =；7i =，43S =；8i =，86S =；9i =171S =；10i =，342S =；11i =683S =，1110i =>满足条件． 输出683S =， 【答案】C ．4．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且，则( )A ．4παβ-=B ．2παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【解析】解：由，可得，，即，又(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，则，．故，即22παβ+=．【答案】D ．5．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为()A B C．2 D．4【解析】解：作出可行域，的几何意义表示可行域中点(,)x y与定点(1,0)D-的距离的平方，可知当1y=时，目标函数取到最小值，x=，0最小值为，【答案】D．6．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A．27 B．24 C．18 D．12【解析】解：由三视图可知，该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为3，其体积为．【答案】B ．7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若1x ，2x R ∈，则“120x x +=”是“”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：函数()f x 是奇函数，∴若120x x +=，则12x x =-， 则，即成立，即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时， 满足，此时满足，但，即必要性不成立，故“120x x +=”是“”的充分不必要条件，【答案】A ． 8．已知函数，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，点3(0,)2-，(3π，0)，7(,0)3π在图象上，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则12()(f x x += )A ．3B ．32C ．0D ．32-【解析】解：由条件知函数的周期满足，即24ππω=，则12ω=， 由五点对应法得03πωϕ+=，即1032πϕ⨯+=，得6πϕ=-， 则，则，得3A =，即，在7(,)33ππ内的对称轴为，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则1x ，2x 关于43x π=对称， 则，则，【答案】D ． 9．若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,0)-D ．(2,0)-【解析】解：根据题意，圆的圆心为(1,0)，半径1r =，与x 轴的交点为(0,0)，(2,0)，设B 为(2,0)； 直线即，恒过经过点(0,1)，设(0,1)A ；当直线经过点A 、B 时，即2m =-，若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限， 必有20m -<<，即m 的取值范围为(2,0)-；【答案】D ．10．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 各顶点坐标分别为(2A ，2，1)，(2B ，2，1)-，(0C ，2，1)，(0D ，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A ．16πB ．12πC ．D ．6π【解析】解：通过各点的坐标可知，A ，B ，C ，D 四点恰为棱长为2的正方体的四个顶点，故此四面体与对应正方体由共同的外接球，故其表面积为：12π， 【答案】B ．11．设P 是抛物线2:4C y x =上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与(OQ O 为坐标原点）垂直，则P 到l 的距离的最小值的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，1]D ．(0，2]【解析】解：抛物线24y x =上的准线方程是1x =-设点Q 的坐标为(1,)t -，(0)t ≠． 则直线l 的方程为．设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+=．代入抛物线方程可得，由△，可得2m t =．故与直线l 平行且与抛物线相切的直线方程为20x ty t -+=．∴则P 到l 的距离的最小值．【答案】B ． 12．已知函数．若不等式()0f x >的解集中整数的个数为3，则a 的取值范围是( ) A ．(13ln -，0]B ．(13ln -，22]lnC ．(13ln -，12]ln -D ．[0，12]ln -【解析】解：，当10a -…时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，不满足条件，舍去．当10a -<时，，可得11x a=-时取得极大值即最大值．．而f （1）10a =->，f （2）20ln =>，∴必须f （3），f （4）．解得：．a ∴的取值范围是(13ln -，12]ln -．【答案】C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知向量a 与b 的夹角为3π，||||1a b ==，且()a a b λ⊥-，则实数λ= 2 ． 【解析】解：向量a 与b 的夹角为3π，||||1a b ==，且()a a b λ⊥-；∴；2λ∴=． 【答案】2．14．若21(2)n x x -展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 60 ．【解析】解：若21(2)n x x-展开式的二项式系数之和为64，则264n =，6n ∴=．则展开式中的通项公式为，令1230r -=，求得4r =，可得常数项为426260C =， 【答案】60．15．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，且75a b +=，则cos(2)2πα+的值是 2425- ． 【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，∴由任意角的三角函数的定义得，sin b α=，cos a α=．75a b +=，可得：，∴两边平方可得：，可得：，解得：，∴．【答案】2425-． 16．图（1）为陕西博物馆收藏的国宝--唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯型几何体的主体部分可近似看作是双曲线的右支与直线0x =，4y =，2y =-围成的曲边四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图（2）．N ，P 分别为C 的渐近线与4y =，2y =-的交点，曲边五边形MNOPQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖恒原理（祖恒原理：幂势既同，则积不容异）．意思是：两登高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等．那么这两个几何体的体积相等）据此求得该金杯的容积是 18π ．（杯壁厚度忽略不计）【解析】解：由双曲线，得a =3b =，则渐近线方程为y =．设y h =在y 轴右侧与渐近线的交点N 的横坐标x ，与双曲线第一象限的交点M 的横坐标x =，∴金杯的容积是．【答案】18π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若点D 为BC 中点，且AD =4a =，求ABC ∆的面积．【解析】解：（1），，，1cos 2C ∴=-，0C π<<， 23C π∴=；（2）ADC ∆中，AD =4a =， 由余弦定理可得，，，，解可得4AC =，6AC =-（舍)，．18．如图，在三棱柱中，四边形11AA C C 是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，160A AC ∠=︒，90BCA ∠=︒．（Ⅰ）求证：11A B AC ⊥；（Ⅱ）已知点E 是AB 的中点，BC AC =，求直线1EC 与平面11ABB A 所成的角的正弦值．【解析】（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接1A O ， 由于平面ABC ⊥平面11AA C C ，1AO AC ⊥， 所以：1A O ⊥平面ABC ， 所以：1AO BC ⊥， 又BC AC ⊥，所以：BC ⊥平面1A AC ，又11AC AC ⊥，1A C 为1A B 的射影， 所以：11A B AC ⊥．（Ⅱ）以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz -，(0A ，1-，0)，(2B ，1，0)，(0C ，1，0)，1(0C ，2，则：(2,2,0)AB =，，设(m x =，y ，)z 是平面11ABB A 的法向量， 所以：100m AB m BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，2200x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩求得：，由(1E ，0，0) 求得：，直线1EC 与平面11ABB A 所成的角的正弦值．19．一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄在20至60的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：（Ⅰ）为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有10000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关？（Ⅲ）现从该超市这200位顾客年龄在[55，60]的人中，随机抽取2人，记这两人中使用移支付的顾客为X 人，求X的分布列．附：【解析】解：（Ⅰ）根据图中数据，由频率估计概率，根据已知可预计该超市顾客使用移动支付的概率为：，所以超市当天应准备的环保购物袋个数为：．（Ⅱ）由（1）知列联表为：假设移动支付与年龄无关，则，，所以有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关．（Ⅲ）X可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：20．已知两点(2,0)A -、(2,0)B ，动点P 与A 、B 两点连线的斜率PA k ，PB k 满足14PA PB k k =-．（Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若H 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，则曲线E 上是否存在两点M ，N ，使得HMN ∆是以H 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明满足条件的点M 、N 有几对；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，因为斜率PA k ，PB k 存在，故2x ≠±， 则2PA y k x =+，2PB yk x =-， 又动点P 与A 、B 两点连线的斜率PA k ，PB k 满足14PA PB k k =-，所以，化简得，动点P 的轨迹E 的方程为：2214x y +=，(2)x ≠±（2）设能构成等腰直角三角形HMN ，其中H 为(0,1)，由题意可知，直角边HM ，HN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设HM 所在直线的方程为1y kx =+，（不妨设0)k >则HN 所在直线的方程为11y x k =-+，由求得交点28(14kM k -+，2281)14k k -++，（另一交点(0,1))H ，，用1k-代替上式中的k ，得，由||||HM HN =，得，，解得：1k =或k ．当HM 斜率1k =时，HN 斜率1-；当HM 斜率k =时，HN ；当HM 斜率k =时，HN ．21．设函数，实数[0a ∈，)+∞，是自然对数的底数，．（Ⅰ）若()0f x …在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若x e lnx m +…对任意0x >恒成立，求证：实数m 的最大值大于2.3． 【解析】解：（Ⅰ），()0f x …在x R ∈上恒成立，12x e a x ∴+…，设()12x e h x x =+，，令()0h x '=，解得12x =， 当12x >，即()0h x '>，函数单调递增， 当12x <，即()0h x '<，函数单调递减， ，0a ∴<…故a的取值范围为；（Ⅱ）设，∴，()0g x '>，可得x >；()0g x '<，可得0x <．()g x ∴在，)+∞上单调递增；在上单调递减．， ，∴ 1.6>，() 2.3g x ∴>．由（Ⅰ）可得，x e lnx ∴-的最小值大于2.3，故若x e lnx m +…对任意0x >恒成立，则m 的最大值一定大于2.3． 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[极坐标与参数方程]22．已知直线l 的参数方程为，点(1,2)P 在直线1上．（1）求m 的值；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线1:4C ρ=与直线l 交于两点A 、B ，求||||PA PB 的值．【解析】解：（1）由于点(1,2)P 在直线1上．直线l 的参数方程为，故代入直线的参数方程得到：2m =+． （2）曲线1:4C ρ=，转换为直角坐标方程为：2216x y +=， 由于圆与直线l 交于两点A 、B ， 把直线的参数方程代入圆的方程得到：，故：12111(t t t =-和2t 为A 、B 对应的参数）． 故：．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数．（Ⅰ）若对(0,)…恒成立，求实数m的取值范围；f x ma∀∈+∞，()（Ⅱ）若f（2）1a<+，求a的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）0a>，a=时取等号，a>时，，当且仅当1，()…恒成立，f x m∴…，2m（Ⅱ）f（2），，等价于或，a…或，解得2故a的取值范围为，)+∞．。

2020天津高考压轴卷数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ）A ．{|22}x x -<<B ．{|24}x x -≤≤C ．{|22}x x -≤≤D ．{|24}x x -<≤2．已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位，则的值为（ ）A ．B ．1-C ．D ．2-3．已知不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件是1x ≤或2x ≥，则实数的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知函数()f x 是定义在上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ）A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-< 5．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ． C ．7-D ．3- 6．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ） A．3 B．3 CD ．7．已知sin α，sin()10αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．45B ．35C ．25D ．159．已知函数()()23201120x x f x x x a x ax x ⎧≤⎪=-⎨⎪-++>⎩，，，若方程()f x ax =有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（0，1]D ．（1，+∞）第II 卷（非选择题)二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．10．若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________．11．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为 ．（用数字作答）12．抛物线，直线l 经过抛物线的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，若，则（O 为坐标原点）的面积为______．13．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.14．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>，x ∈R .若函数()f x 在区间(0，4)π内恰有5个零点，则的取值范围为_________．15．已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为____．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．16．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分． 已知函数2()2sin cos 23cos 3,f x x x x x R =-+∈.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间2[,]243ππ上的最大值和最小值； (3)若关于x 的不等式()3()mf x m f x +≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分． 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且1111A B B C ⊥，M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点．（1）求证：//MN 平面ABC ；（2）求二面角1B MN B --的正弦值；（3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，求111B P B C 的值18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知抛物线2:C y =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =．（1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知数列{}n a 的前项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑．20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分． 已知函数2(2)1ln f x x ax x =-+，a R ∈． （1）试判断函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数，使函数()f x 的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分已知数列{}n a 的前项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑．2020天津高考压轴卷数学Word 版含解析参考答案1．【答案】B【解析】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B2．【答案】A【解析】∵()()2243,m i i i +-=+∴()2m 2443m i i ++-=+，∴22443m m +=⎧⎨-=⎩，即m 1= 故选A3．【答案】C【解析】()()()()2224220x mx m x m x m -+-=-+-->Q ，2x m ∴<-或2x m >+， 1x ≤Q 或2x ≥是不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件，2122m m -≤⎧∴⎨+≥⎩，解得：03m ≤≤，则实数的最大值为3. 故选：C .4．【答案】C【解析】()f x Q 为上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.故选：C .5．【答案】C【解析】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==，所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-.故选：C6．【答案】A【解析】 双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则tan 63π=，所以该条渐近线方程为3y x =；=，解得a =所以c ==，所以双曲线的离心率为3c e a ===． 故选：A ．7．【答案】C【解析】由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2π.又.又 ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝5×10－5×10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝2.∴β＝4π. 8．【答案】C选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种， 由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项.9．【答案】B【解析】解：由题意0x =满足方程()f x ax =，①当0x <时，只需1x a x =-有一个负根，即01a x a =-＜， 解得：01a <<；②当0x >时，只需()210x a x a -++=有两个正根即可， 方程可化为()()10x x a --=，故两根为：1x =或，由题意只需0a >且1a ≠，综合①②可知，当01a <<时，方程()f x ax =有4个不同的实数根． 所以实数的取值范围是（0，1）.故选：B ．10．【答案】-1【解析】当213x +=时1x =,故()3f =()2211121f ⨯+=-=-.故答案为：1-11．【答案】-160【解析】由6662166(2)(1)(2)()r r r r r r r r T C x C x x ---+⎛=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=得3r =，所以62x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-. 12．【答案】【解析】由题意可知：，结合焦半径公式有：，解得：，故直线AB 的方程为：，与抛物线方程联立可得：， 则， 故的面积.13．【答案】16【解析】设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长AB BC a ==，高1AA b =， 则111121ABCD A B C D ABCD V S AA a b -=⨯=， 111211113326P D DB B D DP D DP V V S BC ab a a b --∆==⋅=⨯⋅= 1111116ABCD D P D D A B BC V V --∴=即116V V = 故答案为：1614．【答案】7(6，17]12 【解析】 因为()sin 32sin()3f x x x x πωωω==+， 所以令2sin()03x πω+=，()3x k k Z πωπ+=∈，解得(31)()3k x k Z πω-=∈ 0>ω，则非负根中较小的有：258111417,,,,,,333333ππππππωωωωωωL 因为函数()f x 在区间(0，4)π内恰有5个零点， 所以1443ππω<且1743ππω≥，解得717612ω<≤. 故答案为：717(,]612 15．【答案】42【解析】已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数恒成立，再由0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，可得1640,4ab ab ∆=-≥∴≤，4ab ∴=，22221642,,04a a b a a b a a b a a ++∴>==>--， 令22168a t a +=>，则()22222221664816161632488a a b t a t a b t t a a ⎛⎫+ ⎪⎛⎫+===-++≥+= ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪-⎝⎭ （当16t =时，等号成立），所以，222a b a b ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭的最小值为32， 故22a b a b+-=，故答案为16．【答案】(1);(2)最大值为，最小值为;(3) 25m ≥. 【解析】2()2sin cos =-+f x x xx sin 22x x =2sin(2)3x π=- (1)22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为. (2)当2[,]243x ππ∈时, 2[,]34x πππ-∈-, 当234x ππ-=-时,即24x π=时函数求得最小值()24f π=当232x ππ-=时,即512x π=时函数求得最大值5()212f π=; 所以()f x 在区间2,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为，最小值为 (3)对x ∀∈R ，2()2f x -≤≤，所以不等式()3()mf x m f x +≥恒成立等价于，对x ∀∈R ，()()3f x m f x ≥+恒成立，即max()()3f x m f x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭， 设()()()3f x g x f x =+，则()3()1()3()3f xg x f x f x ==-++，令()t f x =，且313y t=-+在[]22-,上为增函数， 所以，max 2()(2)5g x g ==， 所以，25m ≥. 17．【答案】（1）证明过程见详解；（2）459；（3）13.【解析】（1）取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ， 因为M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点， 所以//ON AB ，//OM AC ，又AB Ì平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC AB A ⋂=，所以平面//MON 平面ABC ， 又MN ⊂平面MON ， 所以//MN 平面ABC ；（2）因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以11B C ，1B B ，11B A 两两垂直，以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设11ABB A 边长为，则1(0,0,0)B ，(2,0,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,2,0)C ，1(0,0,2)A ， 所以(1,0,1)N ，(1,2,0)M ，因此1(1,2,0)B M =u u u u r ，(0,2,1)MN =-u u u u r ，(1,2,0)BM -=u u u u r，设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =u r，则m BM m MN ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u u v v ，所以2020m BM x y m MN y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩u u u u v v u u u u v v ，令1y =，则22x z =⎧⎨=⎩，因此()2,1,2m =u r；设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =r，则1m B M m MN ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u u v v ，所以12020m B M x y m MN y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩u u u u v v u u u u v v ，令1y =，则22x z =-⎧⎨=⎩，因此()2,1,2n =-r，设二面角1B MN B --的大小为θ，则4141cos cos ,9414414m nm n m nθ⋅-++=<>===++⨯++u r r u r r u r r ，所以245sin 1cos θθ=-=； （3）因为是棱11B C 上一点，设[]1110,1B Pt B C =∈，则(0,2,0)P t ， 所以()1,22,0PM t u u u u r=-，由（2）知，平面1MNB 的一个法向量为()2,1,2n =-r，又直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，记直线PM 与平面1MNB 所成角为 则有222222sin cos ,151(22)34853PM n t PM n PM n t t t α⋅-+-=<>====+-⨯-+⨯u u u u r r u u u u r r u u u ur r ， 整理得221850t t +-=，解得13t =或57t =-（舍）所以11113B P t BC ==.18．【答案】（1）22142x y +=；（2）220x y ++=. 【解析】（1）因为抛物线2:C y =的焦点为)，由题意，可得：椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两焦点为()),，又抛物线C 的准线与交于，Q 两点，且2PQ =，将x c =-代入椭圆方程得22221c y a b+=，所以2by a =±，则222b a=，即2b a =①，又2222c a b =-=②，根据①②解得：24a =，22b =，因此椭圆的方程为22142x y +=；（2）由（1）得22142x y +=的左顶点为()2,0A -，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=，所以0242A m y y m +=+，因此0242m y m =+，所以20022422m x my m -=-=+，则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又因为BO （O 为坐标原点）的延长线交于点M ，则M 与关于原点对称，所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭， 因为直线AM 的斜率为1，所以2224212422mm m m +=--++，解得：2m =-， 因此，直线l 的方程为：220x y ++=.19．【答案】（Ⅰ）n a n =；12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122n n n n ++-⋅+．【解析】（Ⅰ）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =时，111a S ==，适合上式， 所以：n a n =；∵122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈， ∴()122nn n b b n -=≥，∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，∴12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，i a i =， 且21122122i i i b-+-==，22222i i i b ==，212122ii i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭，设()()2311231,0,1n n M x x x n xn x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠L ，①∴()23411231nn xM x x x n x n x+=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ，②①﹣②得()()2311111n n n n x x x M x x x x n x n x x++--=++++-⋅=-⋅-L ，∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-，∴()()112122122122(12)n nin i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n ni ni n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122n n i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑．20．【答案】（1）见解析；（2）存在，实数的取值范围为(0,2)．【解析】（1）由题可得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21(1)1ax x x a f x x'x ---+=-=． ①当0a =时，1()0f x 'xx+=>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． ②当0a ≠时，令'()0f x =，即210ax x x--=，即210ax x --=，14a ∆=+．当0∆≤，即14a -≤时，210ax x --≤， 故'()0f x ≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．当>0∆，即14a >-时，方程210ax x --=的两个实根分别为1x =2x =． 若104a -<<，则10x <，20x <， 此时'()0f x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 若0a >，则10x <，20x >，此时当2(0,)x x ∈时，'()0f x >，当2(,)x x ∈+∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在1(0,2a+上单调递增，在12),(a+∞+上单调递减．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在1(0,2a+单调递增，在12)(a+∞+上单调递减．（2）由（1）可得，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，故函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 在1(0,)2a+上单调递增，在12)(a+∞+上单调递减，此时函数()f x 有极大值，极大值为222221ln ()2f x ax x x =-+，其中212x a=． 又2()0f 'x =，所以22210ax x --=，即2221ax x =+，所以2221l 2)n (x f x x -=+． 令1ln (2)x h x x =+-，则11(2)0h'x x =+>，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．又(1)0h =，所以当1x >时，()0h x >，所以222()1ln 02x f x x =+>-等价于21>x ， 即当0a >1>21a >-，显然当0a >|21|a >-，所以214(21)a a +>-，即220a a -<，解得02a <<， 故存在满足条件的实数，使函数()f x 的极值大于，此时实数的取值范围为(0,2)．21. （Ⅰ）n a n =；12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122n n n n ++-⋅+．（Ⅰ）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =时，111a S ==，适合上式， 所以：n a n =；∵122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈， ∴()122nn n b b n -=≥，∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，∴12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，i a i =， 且21122122i i i b-+-==，22222i i i b ==，212122i i i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭，设()()2311231,0,1n n M x x x n xn x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠L ，①∴()23411231nn xM x x x n x n x +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ，②①﹣②得()()2311111n nn n x x x M x x x x n xn x x++--=++++-⋅=-⋅-L ，∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-，∴()()112122122122(12)n nin i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n ni ni n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122nn i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑．。

高考数学仿真押题试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()(a bi += ) A ．54i -B ．54i +C ．34i -D ．34i +【解析】解：a i -与2bi +互为共轭复数，则2a =、1b =，，故选：D ．2．已知全集U R =，{|0}A x x =…，{|1}B x x =…，则集合()(U A B =ð )A ．{|0}x x …B ．{|1}x x …C ．{|01}x x 剟D ．{|01}x x <<【解析】解：或0}x …，，故选：D ．3．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：设数列{}n a 的公差为d ，则由1510a a +=，47a =，可得12410a d +=，137a d +=，解得2d =， 故选：B ．4．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A．13πB．23πC．43πD．53π【解析】解：圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，该几何体的体积，故选：C．5．若变量x，y满足约束条件，则3z x y=+的最小值为()A．3 B．4 C．2 D．1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数3z x y=+为3y x z=-+，由图可知，当直线3y x z=-+过(0,1)A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故选：D．6．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为()A．16 B．18 C．24 D．32【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个， 当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列33A ， 当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列33A ， 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列33A ， 当最右边三辆时，有车之间的一个排列33A ，总上可知共有不同的排列法33424A ⨯=种结果， 故选：C ．7．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是( )A ．716B ．916 C ．35D ．12【解析】解：由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成， 设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A ，由几何概型中的面积型可得：P （A ），故选：B ．8．在ABC ∆中，2AD DB =，2CE EA =，则( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：，故选：A ．9．已知双曲线，O 为坐标原点，过C 的右顶点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于A ，B ，过C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于M ，N ，若O A B ∆与OMN ∆的面积之比为1:9，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．2y x =±B ．y =±C ．y =±D ．8y x =±【解析】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则2219a c =， ∴2229a b a +=，∴ba=C ∴的渐近线方程为y =±， 故选：B ．10．设0sin a xdx π=⎰，则8()ax x+展开式中的常数项为( )A ．560B ．1120C ．2240D ．4480 【解析】解：设，则展开式中的通项公式为，令820r -=，求得4r =，可得展开式中的常数项为48161120C =， 故选：B ．11．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，90ABC ∠=︒，12AB AA ==，BC =1CA 与平面11ABB A 所成角的大小为( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒【解析】解：在堑堵中，90ABC ∠=︒，12AB AA ==，BC =∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0C ，0)，1(2A ，0，2)，1(2A C =-，2)-，平面11ABB A 的法向量(0n =，1，0)，设1CA 与平面11ABB A 所成角的大小为θ，则，1CA ∴与平面11ABB A 所成角的大小为45︒．故选：B ．12．已知函数，若方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)3B ．1(,2)3C ．14(,)25D ．1(,1)2【解析】解：方程()1f x kx =+有四个不相等的实根， 等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点，易得：①当直线1y kx =+与函数相切时，12k =， ②当直线1y kx =+与函数相切时，利用导数的几何意义可得：1k =，即由图知函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点时， 实数k 的取值范围是112k <<， 故选：D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．10的展开式中含2x 项的系数为 5 ．【解析】解：10的展开式的通项公式为，令10223r-=，求得2r =， 故展开式中含2x 项的系数为210159C =， 故答案为：5．14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且3tan 4B =，则的值是53． 【解析】解：a ，b ，c 成等比数列，2b ac ∴=，，3tan 4B =，3sin 5B ∴=．则．故答案为：53．15．已知0x >，0y >，且121x y+=，则xy x y ++的最小值为 7+ 【解析】解：121x y+=， 2xy x y ∴=+，，当且仅当26y xx y=时，即y =时取等号， 故xy x y ++的最小值为7+故答案为：7+16．如图，已知过椭圆的左顶点(,0)A a -作直线1交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为．【解析】解：AOP ∆是等腰三角形，(A a -，0)(0P ∴，)a ． 设0(Q x ，0)y ，2PQ QA =，0(x ∴，，0)y -．∴，解得002313x a y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．代入椭圆方程得，化为2215b a=．∴．． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数．（1）求函数()y f x =的单调增区间；（2）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知f （A ）0=，1a =，求b c +的取值范围．【解析】解：（1）函数，由，可得，可得函数的单调递增区间是(6k ππ-，)3k ππ+，k Z ∈．（2）ABC ∆中，已知f （A ），，3A π∴=．1a =，由正弦定理可得，．2(0,)3B π∈，(66B ππ∴+∈，5)6π，，2]．所以b c +的范围是(1，2]．18．椭圆的左右焦点分别为1(F 0)、2F 0)，点A 1)2在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆交于E 、F 两点，以EF 为直径的圆过坐标原点O ，求证：坐标原点O 到直线l 距离为定值．【解析】解：（1）由椭圆定义可知，，所以2a =，因为c =，所以1b =，椭圆C 的方程为：2214x y +=；（2）证明：由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得，△，即2241k m +>，设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，又，，∴，，，所以坐标原点O 到直线l． 19．某校学业水平考试中，某两个班共100名学生，物理成绩的优秀率为20%，数学成绩的频率分布直方图如图所示，数学成绩大于90分的为优秀．（1）利用频率分布直方图估计数学成绩的众数和中位数（中位数保留小数点后两位）；（2）如果数学、物理都优秀的有12人，补全下列22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关？（3）在物理优秀的20人中，随机抽取2人，记数学物理都优秀的人数为X ，求X 的概率分布列及数学期望．附：，其中．【解析】解：（1）由频率分布直方图估计数学成绩的众数是：8090852+=，由频率分布直方图得：[60，80)的频率为：，[80，90)的频率为：．估计数学成绩的中位数是：．⋯（2）列联表是：，所以有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关⋯（3）X的可能取值为0，1，2，，，，X 概率分布列为：数学期望．⋯20．如图①在四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AB =4BC =，6AD =，E 是AD 上的点，13AE AD =，P 为BE 的中点将ABE ∆沿BE 折起到△1A BE 的位置，使得14A C =，如图②． （1）求证：平面1A CP ⊥平面1A BE ；（2）点M 在线段CD 上，当直线1A M 与平面1A PD 1M A P D --的余弦值．【解析】证明：（1）BPC ∆中，2BP =，PC =，4BC =，所以BP PC ⊥，同理△1A PC 中，12A P =，PC =，14A C =， 所以1A P PC ⊥，因为1A P ⊂平面1A BE ，PB ⊂平面1A BE ，，所以PC ⊥平面1A BE ，又PC ⊂平面1A PC ， 所以平面1A CP ⊥平面1A BE ．⋯解：（2）以点P 为坐标原点，PE ，PC 所在直线为x ，y 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，1(0A ，1，C ，0，0)，D ，4，0)，(0E ，2，0)设M a ，0)，则1A M =1a -，，1(0PA =，1，PD =4，0)，设平面1A PD 的法向量为(m x =，y ，)z ，由100m PA m PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得．令2x =，得(2m =，1)，直线1A M 与平面1A PD ，，解得2a =或8a =（舍)，∴1A M =1，， 设平面1A PD 的法向量为(n x =，y ，)z ，由，取1x =，得(1n =，1)，设二面角1M A P D --的平面角为θ，则，所以当直线1A M 与平面1A PD 1M A P D --．⋯21．某财团欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格y （单位：万元）是每日产量x （单位：吨）的函数：．（1）求当日产量为3吨时的边际成本（即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数）； （2）记每日生产平均成本yx为m ，求证：16m <； （3）若财团每日注入资金可按数列2241n na n =-（单位：亿元）递减，连续注入60天，求证：这60天的总投入资金大于111n 亿元．【解析】解：（1）因为22321x y lnx x =-，(1)x >，所以，当3x =时，；证明：（2）要证，只需证设，则所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，所以()h x h <（1）0= 所以16yx<， 即16m <； 证明（3）因为，又由（2）知，当1x > 时，12x lnx x ->， 所以，所以，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线（其中t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线关于1C 对称．（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 直角坐标方程；（2）将2C 向左平移2个单位长度，按照12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩变换得到3C ，点P 为3C 上任意一点，求点P 到曲线1C 距离的最大值．【解析】解：（1）由2121x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得20x y --=，由2c os a ρθ=得，得，依题意2C 的圆心2(,0)C a 在上，所以020a --=，解得2a =，故曲线1C 的普通方程为20x y --=，曲线2C 的直角坐标方程为．即．（2）2C 向左平移2各单位长度后得224x y +=，再按照12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'⎪⎩变换得到，设P 点坐标为，P 点到1C 的距离为，当23πθ=时，点P 到1C的距离最大，最大值为 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知．（1）解关于x 的不等式()4f x >；（2）对于任意正数m 、n ，求使得不等式恒成立的x 的取值集合M ．【解析】解：（1）函数，当0x …时，不等式()4f x >化为，解得1x <-；当01x <<时，不等式()4f x >化为，解得3x >，所以x ∈∅； 当1x …时，不等式()4f x >化为，解得53x >； 综上，不等式()4f x >的解集为{|1x x <-或5}3x >；⋯（2）对于任意正数m 、n ，，当且仅当1m n ==时“=”成立， 所以不等式恒成立，等价于，由（1）知，该不等式的解集为5{|1}3x x-剟， 所以x 的取值集合是[1M =-，5]3．⋯。

2020年高考临考押题卷（二）数学（天津卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．1．已知集合2{|24},{|}x A x B x x x =<=>，则A B =U （ ） A ．(,0)-∞B ．(,0)(1,2)-∞UC ．(,0)(1,4)-∞UD ．R2．复数z 满足()12z i i +=，则复数z 的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i -C ．12i +D ．12i -3．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）A ．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B ．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C ．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D ．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%4．已知a i =+r r ，2b i =r r，其中i r ，j r 是互相垂直的单位向量，则3a b -=r r （ ）A ．B ．C ．28D ．245．在ABC V 中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC V 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能6．已知抛物线21:8C y x =的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线2y kx =-与C 交于A ，B 两点，若FA 为HFB ∠的角平分线，且||2||AB AH =，则||AF =( ) A ．2B ．83C ．3D ．47．关于函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-，有下列三个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 有3个零点；③()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③8．已知函数()()222sin cos sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,25⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭9．存在两个正实数x ，y ，使得等式(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-，其中e 为自然对数的底数，则a 的范围为（ ） A ．(,0)-∞B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1(,0),e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）10．已知tan α=，则sin 2α=__________．11．在ABC V 中，60A =︒，2AB =，且ABC V AC =________；12．在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答） 13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.14．已知四面体ABCD 中，26AB AD ==，43BD =，BCD ∆为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为______.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F . （1）若2F 到渐近线的距离是3，则b 为__________.（2）若P 为双曲线C 右支上一点，1260F PF ∠=︒且12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点为Q ，满足122FQ QF =u u u r u u u u r ，则双曲线C 的离心率为__________. 三、解答题：（本大题5个题，共75分）16．为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站时间不低于40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关； 非网购达人 网购达人 总计 男 女 10 总计（2）将上述调査所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取3名，记被抽取的3名网民中的“网购达人”的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k …0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82817．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.18．给定()3,n n n N*≥∈个不同的数1、2、3、L、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ． （1）若3n =，求3T ； （2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =；②求n T （用n 表示）．19．已知直线l 与椭圆22:162x y C +=交于不同的两点A ，B .（1）若线段AB 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求直线l 的方程； （2）若l 的斜率为k ，且l 过椭圆C 的左焦点F ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证：||||FN AB 为定值.20．已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数.一、单选题1．已知集合2{|24},{|}x A x B x x x =<=>，则A B =U （ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0)(1,2)-∞UC ．(,0)(1,4)-∞UD ．R【答案】D【解析】{|2},{|01},A x x B x x x A B =<=<>∴=R U 或． 2．复数z 满足()12z i i +=，则复数z 的共轭复数是（ ） A ．1i + B ．1i -C ．12i +D ．12i -【答案】B【解析】由(1)2z i i +=，得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-， ∴1z i =-，3．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）A ．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B ．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C ．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D ．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50% 【答案】D【解析】对于A ，2016年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为6.30.8100%687.5%0.8-⨯=，高于2018年的增长率47.723.2100%105.6%23.2-⨯≈，A 错误；对于B ，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是21.4，故中位数为21.4万台，B 错误；对于C ，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为4.914.121.430.044.723.025++++=万台，C 错误；对于D ，从2017年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为52.0%，61.4%，57.5%，均超过50%，D 正确.4．已知a i =+r r ，2b i =r r，其中i r ，j r 是互相垂直的单位向量，则3a b -=r r （ ）A． B．C ．28 D ．24【答案】A【解析】a i =+r r Q ，2b i =r r，且i r ，j r 是互相垂直的单位向量3325a b i j i i ∴-=-⨯=-r r r r r ，0i j ⋅=r r3a b ∴-====r r5．在ABC V 中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC V 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】B 【解析】sin sin sin cos cos B CA B C+=+Q ，∴由正弦定理及余弦定理可得22222222b ca a cb a bc ac ab+=+-+-+，22222222a c b a b c a a b c ac ab +-+-∴⨯+⨯=+，22222222a c b a b c b c c b+-+-∴+=+，()()2222222222b a c b c a b c bc b c ∴+-++-=+， 223322a b a c b c b c bc ∴+--=+，()()()()222a b c c b b c bc b c bc ∴+-++-=+，222a b c ∴=+，ABC ∴V 是直角三角形.6．已知抛物线21:8C y x =的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线2y kx =-与C 交于A ，B 两点，若FA 为HFB ∠的角平分线，且||2||AB AH =，则||AF =( ) A ．2 B ．83C ．3D ．4【答案】B【解析】如图,连接AF ,BF ,过A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为M ,N ,易知(0,2)F ,(0,2)H -,||4FH =.由角平分线定理可得||||2||||BF BA FH AH ==,则||||1||||3AH AM BH BN ==. ∵||||2||8BN BF FH ===,∴8||||3AM AF ==.7．关于函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-，有下列三个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 有3个零点；③()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==Q ，()f x ∴为偶函数，①正确； 令()0f x =，则0x =或sin 0x =， 当sin 0x =时，0x =或x π=-或x π=，()f x ∴的零点为0x =或x π=-或x π=，共3个，②正确； ()sin cos f x x x x '=+Q ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，cos 0x >，()0f x '∴>，()f x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，③正确.8．已知函数()()222sin cos sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,25⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以223562πωπωππ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤， 所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 9．存在两个正实数x ，y ，使得等式(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-，其中e 为自然对数的底数，则a 的范围为（ ） A ．(,0)-∞ B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1(,0),e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-得(2)ln 0yx a y ex x+-=， 即1(2)ln 0y ya e x x+-=，即设yt x=，则0t >， 则条件等价为1(2)ln 0a t e t +-=， 即1(2)ln t e t a-=-有解，设()(2)ln g t t e t =-， 2()ln 1eg t t t'=+-为增函数， ()g e 'Q 2ln 11120ee e=+-=+-=， ∴当t e >时，()0g t '>，当0t e <<时，()0g t '<，即当t e =时，函数()g t 取得极小值，为()g e (2)ln e e e e =-=-， 即()g t g …（e ）e =-， 当0t →时，()(2)ln +g t t e t =-→∞，当x →+∞时，()(2)ln +g t t e t =-→∞. 若1(2)ln t e t a -=-有解，则1e a--…，即1e a „，则0a <或1a e…，二、填空题10．已知tan α=，则sin 2α=__________．【答案】3【解析】2222sin cos 2tan sin 22sin cos cos sin 1tan 3ααααααααα====++.11．在ABC V 中，60A =︒，2AB =，且ABC V AC =________； 【答案】1【解析】由题得，ABC V 的面积为13sin 6022S AB AC =⨯=o ，解得1AC =. 12．在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答）【答案】21【解析】721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()773177211rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令731r -=，得2r =，()227121C -=，故答案为21.13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________. 【答案】5【解析】1335,0,0,155x y xy x y y x+=>>∴+=Q ， ()13133121331234342555555555x y x yx y x y y x y xy x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当31255x yy x=，即21x y ==时取等号． 14．已知四面体ABCD 中，26AB AD ==，43BD =，BCD ∆为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为______.【答案】64π 【解析】取BD 的中点E ，连接AE ，CE ， 取CE 的三等分点为O ，使得2CO OE =， 则O 为等边BCD ∆的中心.由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，CE BD ⊥，CE ⊥平面ABD .而22248AB AD BD +==，所以ABD ∆为等腰直角三角形，且E 为ABD ∆的外心， 所以OA OB OD ==，又OB OC OD ==， 所以O 为四面体ABCD 外接球的球心，其半径243r ==. 故四面体ABCD 外接球的表面积为24464S ππ=⋅=.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F . （1）若2F 到渐近线的距离是3，则b 为__________.（2）若P 为双曲线C 右支上一点，1260F PF ∠=︒且12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点为Q ，满足122FQ QF =u u u r u u u u r ，则双曲线C 的离心率为__________.【答案】3【解析】取渐近线方程为by xa=，即0bx ay -=，()2,0F c 到直线的距离为3d ==，故3b =；122FQ QF =u u u r u u u u r ，则122PF PF =，122PF PF a -=，故14PF a =，22PF a =，根据余弦定理：2224416242cos60c a a a a =+-⨯⋅︒，整理得到：223c a =，故e =三、解答题16．为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站时间不低于40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关； 非网购达人 网购达人 总计 男 女 10 总计（2）将上述调査所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取3名，记被抽取的3名网民中的“网购达人”的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k …0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“网购达人”有(0.0200.005)1010025+⨯⨯=（人）.补充完整的22⨯列联表如下：非网购达人 网购达人 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计752510022100(30104515)100 3.030 2.7067525455533K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关.（2）由频率分布直方图知，“网购达人”对应的频率为0.0200.0051025(.)0+⨯=， 将频率视为概率即从该地随机抽取1名网民，该网民是“网购达人”的概率为14. 由题意知1~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 从而X 的分布列为 X 0123P2764 2764 964 164由二项分布的数学期望与方差公式得13()344E X np ==⨯=， 139()(1)34416D X np p =-=⨯⨯=，17．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值. 【解析】(1)如图所示，连结11,A E B E ，等边1AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ⊥.(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH =，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==，据此可得：()()()1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B的坐标为132B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用中点坐标公式可得：34F ⎛⎫⎪⎝⎭，由于()0,0,0E ， 故直线EF的方向向量为：34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r，则：()()133,,3302233,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩， 据此可得平面1A BC的一个法向量为()m =u r，34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r此时4cos ,5EF m EF m EF m⋅===⨯u u u r u ru u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55EF m θθ===u u u r u r .18．给定()3,n n n N*≥∈个不同的数1、2、3、L、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ． （1）若3n =，求3T ； （2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =；②求n T （用n 表示）．【解析】（1）1、2、3的所有排列为1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1.因为36S =，所以对应的P k 分别为2、1、2、1、1、1，所以38T =；（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、L 、n a ， 因为41n l =+，l N *∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =（ii ）因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+①， 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②， 考虑排列P 的对应倒序排列:P 'n a 、1n a -、L 、1a ，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++， 由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-；又1、2、3、L 、n 这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． 19．已知直线l 与椭圆22:162x y C +=交于不同的两点A ，B .（1）若线段AB 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求直线l 的方程； （2）若l 的斜率为k ，且l 过椭圆C 的左焦点F ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证：||||FN AB 为定值.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222162162x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：2112211213y y x x x x y y -+=-⨯-+， AB Q 中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，2121l y y k x x -=-，12233l k ∴=-⨯=-，∴直线l 的方程为：()12123y x -=--，即：4670x y +-=. （2）由椭圆方程知：()2,0F -，可设直线l 的方程：()2y k x =+，联立()222162y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()222213121260k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则21221213k x x k +=-+，212212613k x x k-=+， ()3121222124441313k ky y k x x k k k k∴+=++=-+=++， 21226213x x k k+∴=-+，1222213y y k k +∴=+， 当0k=时，AB =2FN =，FN AB∴=； 当0k ≠时，AB 的垂直平分线方程为：2222161313k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0y =得：22413k x k =-+，224,013k N k ⎛⎫∴- ⎪+⎝⎭，()222221421313k k FN k k +∴=-+=++，AB ==Q )22113k k +=+， ()2222113k FN AB k +∴==+； 综上所述：FN AB20．已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数. 【解析】(1)当34a =-时，()3ln 4f x x =-+()0,∞+，且： ()3433'4x x f x x -+=-== 因此函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3. (2)由1(1)2f a ≤，得0a <≤当04a <≤时，()f x≤2ln 0x-≥，令1t a=，则t ≥， 设()22lng t t x =，t ≥，则2()2ln g t t x =--， （i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()2ln g x gx =…，记1()ln ,7p xx x =≥，则1()p x x '=-== 列表讨论：()(1)0,()2()0p x p g t g p x ∴=∴=厖?（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 则()10q x'=>， 故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a≤，综上所述，所求的a 的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦．。

2020年高考临考押题卷（五）数学（天津卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．1．已知集合{}2|2A x x x =>，{}|13B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．{}|01x x ≤<B ．{0x x <或}1x ≥C ．{}|23x x <≤D ．{1x x ≤或}3x > 2．设，则“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()0,∞+ 4．已知12a log 3-=，b 1=52⎛⎫ ⎪⎝⎭，3c=log 2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．a b c <<5．以椭圆22194y x +=的长轴端点作为短轴端点，且过点()4,1-的椭圆的焦距是（ ） A ．16 B ．12 C ．8 D ．66．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为（ ）A ．23B ．13C ．12D ．567．在“志愿和平”活动中，某校高二年级3名男教师和4名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务.根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少有1名男教师；另外4人测量出入人员体温.则这7名教师不同的安排方法有（ ）A ．15种B ．18种C ．31种D ．45种8．已知0a >，0b >，则22(1)(1)b a a b+++的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．12 D ．49．()()()(),0f x g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()''f x g x f x g x ＜，且()30f -=，则()()0f x g x ＜的解集为（ ） A ．()(),33,-∞-+∞ B ．()()3,00,-+∞ C ．()()3,03,-⋃+∞ D ．()(),30,3-∞-第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．） 10．若复数3()12ai a R i-∈-是纯虚数，则2a i +=______. 11．73)x 的展开式中3x 的系数为______.12．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．13．在平画直角坐标系xOy 中，直线():220l mx y m m R ---=∈交圆221:8C x y +=所得弦的中点为M ，N 为圆()()222:431C x y -+-=上任意一点，则||MN 长的取值范围是________.14．函数()cos(2)f x x ϕ=+的图像向左平移3π单位后为奇函数，则ϕ的最小正值为______.15．A ，B 为单位圆（圆心为O ）上的点，O 到弦AB 的距离为32，C 是劣弧AB （包含端点）上一动点，若OC OA OB λμ=+ (,)R λμ∈，则λμ+的取值范围为___.三、解答题：（本大题5个题，共75分）16．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=． （1）求角A 的大小；（2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积．17．我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能常见的口罩有90KN 和95KN （分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒）两种，某口罩厂两条独立的生产线分别生产90KN 和95KN 两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品，现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下： 总分 [)75,80[)80,85 [)85,90 [)90,95 [)95,100 90KN 614 42 31 7 95KN4 6 47 35 8 （1）试分别估计两种口罩的合格率；（2）假设生产一个90KN 口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品，则亏损1元；生产一个95KN 口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，①设X 为生产一个90KN 口罩和生产一个95KN 口罩所得利润的和，求随机变量X 的分布列和数学期望； ②求生产4个90KN 口罩所得的利润不少于8元的概率18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E ，M ，N 分别是线段BC ，AE ，1CD 的中点.（1）求证：//MN 平面11ADD A ；（2）在线段11A D 上有一点P ，若二面角P AE D --221，求点1D 到平面PAE 的距离. 19．已知数列{a n }的首项135a =，1321n n n a a a +=+，n *∈N ． (1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)记12111n n S a a a =+++，若S n <100，求最大正整数n ； (3)是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且a m －1，a s －1，a n －1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．20．已知函数()1ln x f x x+=. （1）求函数()f x 的图象在x e =（e 为自然对数的底数）处的切线方程；（2）若对任意的x D ∈，均有()()m x n x ≤，则称()m x 为()n x 在区间D 上的下界函数，()n x 为()m x 在区间D 上的上界函数.①若()1xe g x x =+，求证：()g x 为()f x 在()0,∞+上的上界函数； ②若()1k g x x =+，()g x 为()f x 在[)1,+∞上的下界函数，求实数k 的取值范围.。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =（）A ．{|22}x x -<<B ．{|24}x x -≤≤C ．{|22}x x -≤≤D ．{|24}x x -<≤2．已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位，则m 的值为（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．已知不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件是1x ≤或2x ≥，则实数m 的最大值为（） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（） A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<-C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<5．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（） A ．3B ．7C ．7-D ．3-6．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ）A B C D ．27．已知sin α，sin()αβ-=，,αβ均为锐角，则β=（） A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．159．已知函数()()23201120x x f x x x a x ax x ⎧≤⎪=-⎨⎪-++>⎩，，，若方程()f x ax =有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（0，1]D ．（1，+∞）第II 卷（非选择题)二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 10．若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________．11．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为 ．（用数字作答）12．抛物线，直线l 经过抛物线的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______．13．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.14．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>，x ∈R .若函数()f x 在区间(0，4)π内恰有5个零点，则ω的取值范围为_________．15．已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为____．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．16．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分．已知函数2()2sin cos 23cos 3,f x x x x x R =-+∈. (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 在区间2[,]243ππ上的最大值和最小值； (3)若关于x 的不等式()3()mf x m f x +≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分． 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且1111A B B C ⊥，M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点．（1）求证：//MN 平面ABC ； （2）求二面角1B MN B --的正弦值；（3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，求111B P B C 的值18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知抛物线2:2C y x =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点，C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =． （1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑． 20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分． 已知函数2(2)1ln f x x ax x =-+，a R ∈． （1）试判断函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a ，使函数()f x 的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 21.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求()*21121ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑． 参考答案1．答案：B由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 2．答案：A∵()()2243,m i i i +-=+ ∴()2m 2443m i i ++-=+，∴22443m m +=⎧⎨-=⎩，即m 1=故选A 3．答案：C()()()()2224220x mx m x m x m -+-=-+-->，2x m ∴<-或2x m >+，1x ≤或2x ≥是不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件，2122m m -≤⎧∴⎨+≥⎩，解得：03m ≤≤，则实数m 的最大值为3. 故选：C . 4．答案：C()f x 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，0.633322log 9log 13log 273<=<<=且()f x 在()0,∞+上单调递增，()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.故选：C . 5．答案：C由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 6．答案：A双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则tan63π=，所以该条渐近线方程为3y x =；=，解得a =所以c ==所以双曲线的离心率为3cea===．故选：A．7．答案：C由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π<α－β<2π.又.又∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝5×10－5×10⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭＝2.∴β＝4π.8．答案：C选取两支彩笔的方法有25C种，含有红色彩笔的选法为14C种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105CpC===.本题选择C选项.9．答案：B解：由题意0x=满足方程()f x ax=，①当0x<时，只需1xax=-有一个负根，即01axa=-＜，解得：01a<<；②当0x>时，只需()210x a x a-++=有两个正根即可，方程可化为()()10x x a--=，故两根为：1x=或a，由题意只需0a>且1a≠，综合①②可知，当01a<<时，方程()f x ax=有4个不同的实数根．所以实数a 的取值范围是（0，1）. 故选：B ． 10．答案：-1当213x +=时1x =,故()3f =()2211121f ⨯+=-=-.故答案为：1- 11．答案：-160由6662166(2)(1)(2)()r r r r r r rr T C x C x x ---+⎛=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=得3r =，所以62x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-.12．答案：由题意可知：，结合焦半径公式有：， 解得：，故直线AB 的方程为：，与抛物线方程联立可得：，则，故的面积.13．答案：16设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长AB BC a ==，高1AA b =， 则111121ABCD A B C D ABCD V S AA a b -=⨯=，111211113326P D DB B D DP D DP V V S BC ab a a b --∆==⋅=⨯⋅=1111116ABCD D P D D A B B C V V --∴=即116V V =故答案为：1614．答案：7(6，17]12因为()sin 2sin()3f x x x x πωωω==+，所以令2sin()03x πω+=，()3x k k Z πωπ+=∈，解得(31)()3k x k Z πω-=∈ 0>ω，则非负根中较小的有：258111417,,,,,,333333ππππππωωωωωω因为函数()f x 在区间(0，4)π内恰有5个零点， 所以1443ππω<且1743ππω≥，解得717612ω<≤. 故答案为：717(,]61215．答案：已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，0a ∴>，且1640,4ab ab ∆=-≤∴≥；再由0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，可得1640,4ab ab ∆=-≥∴≤，4ab ∴=，22221642,,04a a b a a b a a b a a++∴>==>--， 令22168a t a +=>，则()22222221664816161632488a a b t a t a b t t a a ⎛⎫+ ⎪⎛⎫+===-++≥+= ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪-⎝⎭ （当16t =时，等号成立），所以，222a b a b ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭的最小值为32，故22a b a b+-=，故答案为16．答案：(1)π;(2)最大值为2，最小值为25m ≥.2()2sin cos =-+f x x xx sin 22x x =2sin(2)3x π=-(1)22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为π. (2)当2[,]243x ππ∈时,2[,]34x πππ-∈-,当234x ππ-=-时,即24x π=时函数求得最小值()24f π=当232x ππ-=时,即512x π=时函数求得最大值5()212f π=; 所以()f x 在区间2,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为 (3)对x ∀∈R ，2()2f x -≤≤，所以不等式()3()mf x m f x +≥恒成立等价于， 对x ∀∈R ，()()3f x m f x ≥+恒成立，即max()()3f x m f x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，设()()()3f x g x f x =+，则()3()1()3()3f xg x f x f x ==-++，令()t f x =，且313y t =-+在[]22-,上为增函数， 所以，max 2()(2)5g x g ==，所以，25m ≥. 17．答案：（1）证明过程见详解；（2（3）13.（1）取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ， 因为M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点，所以//ON AB ，//OM AC ， 又AB平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC AB A ⋂=，所以平面//MON 平面ABC ， 又MN ⊂平面MON ， 所以//MN 平面ABC ；（2）因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以11B C ，1B B ，11B A 两两垂直，以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，则1(0,0,0)B ，(2,0,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,2,0)C ，1(0,0,2)A ， 所以(1,0,1)N ，(1,2,0)M ，因此1(1,2,0)B M =，(0,2,1)MN =-，(1,2,0)BM -=， 设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =，则m BM m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以2020m BM x y m MN y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =⎧⎨=⎩，因此()2,1,2m =；设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =，则1m B M m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以12020m B M x y m MN y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =-⎧⎨=⎩，因此()2,1,2n =-，设二面角1B MN B --的大小为θ， 则4141cos cos ,9414414m n m n m nθ⋅-++=<>===++⨯++，所以245sin 1cos 9θθ=-=；（3）因为P 是棱11B C 上一点，设[]1110,1B P t B C =∈，则(0,2,0)P t ， 所以()1,22,0PM t =-，由（2）知，平面1MNB 的一个法向量为()2,1,2n =-， 又直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，记直线PM 与平面1MNB 所成角为α 则有222222sin cos ,151(22)34853PM n tPM n PM n t t t α⋅-+-=<>====+-⨯-+⨯， 整理得221850t t +-=，解得13t =或57t =-（舍） 所以11113B P t BC ==.18．答案：（1）22142x y +=；（2）220x y ++=.（1）因为抛物线2:2C y x =的焦点为)2,0， 由题意，可得：椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的两焦点为())2,0,2,0-， 又抛物线C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =，将x c =-代入椭圆方程得22221c y a b+=，所以2b y a =±，则222b a=，即2b a =①， 又2222c a b =-=②，根据①②解得：24a =，22b =，因此椭圆E 的方程为22142x y +=； （2）由（1）得22142x y +=的左顶点为()2,0A -，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ， 由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=，所以0242A m y y m +=+， 因此0242m y m =+，所以20022422m x my m -=-=+， 则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又因为BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，则M 与B 关于原点对称，所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭， 因为直线AM 的斜率为1， 所以2224212422mm m m +=--++，解得：2m =-， 因此，直线l 的方程为：220x y ++=.19．答案：（Ⅰ）n a n =；12222nn n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122n n n n ++-⋅+．（Ⅰ）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =时，111a S ==，适合上式，所以：n a n =；∵122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈， ∴()122n n n b b n -=≥，∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列， ∴12222nn n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，i a i =， 且21122122i i i b -+-==，22222ii i b ==， 212122i i i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭， 设()()2311231,0,1n n M x x x n x n x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠，① ∴()23411231n n xM x x x n x n x +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，②①﹣②得()()2311111n n n n x x x M x x x x n x n x x ++--=++++-⋅=-⋅-， ∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-， ∴()()112122122122(12)n n i n i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n n i n i n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122n n i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑． 20．答案：（1）见解析；（2）存在，实数a 的取值范围为(0,2)．（1）由题可得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21(1)1ax x x a f x x'x ---+=-=． ①当0a =时，1()0f x 'x x+=>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． ②当0a ≠时，令'()0f x =，即210ax x x--=，即210ax x --=，14a ∆=+． 当0∆≤，即14a -≤时，210ax x --≤， 故'()0f x ≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．当>0∆，即14a >-时，方程210ax x --=的两个实根分别为112x a -=，212x a +=． 若104a -<<，则10x <，20x <， 此时'()0f x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；若0a >，则10x <，20x >，此时当2(0,)x x ∈时，'()0f x >，当2(,)x x ∈+∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在1(0,2a +上单调递增，在12),(a+∞+上单调递减．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在单调递增，在)+∞上单调递减． （2）由（1）可得，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，故函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，此时函数()f x 有极大值，极大值为222221ln ()2f x ax x x =-+，其中212x a=． 又2()0f 'x =，所以22210ax x --=，即2221ax x =+，所以2221l 2)n (x f x x -=+． 令1ln (2)x h x x =+-，则11(2)0h'x x =+>， 所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．又(1)0h =，所以当1x >时，()0h x >，所以222()1ln 02x f x x =+>-等价于21>x ， 即当0a >时，112a>21a >-， 显然当0a >|21|a >-，所以214(21)a a +>-，即220a a -<，解得02a <<，故存在满足条件的实数a ，使函数()f x 的极值大于0，此时实数a 的取值范围为(0,2)．21.（Ⅰ）n a n =；12222nn n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122n n n n ++-⋅+． （Ⅰ）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =时，111a S ==，适合上式，所以：n a n =；∵122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈， ∴()122n n n b b n -=≥，∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列， ∴12222nn n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，i a i =， 且21122122i i i b -+-==，22222ii i b ==， 212122i i i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭， 设()()2311231,0,1n n M x x x n x n x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠，① ∴()23411231n n xM x x x n x n x +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，②①﹣②得()()2311111n n n n x x x M x x x x n x n x x ++--=++++-⋅=-⋅-，∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-， ∴()()112122122122(12)n n i n i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n n i n i n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122n n i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑．。

绝密★启用前2024年高考考前押题冲刺模拟卷01（天津专用）数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设全集{0U =，1，2，4，6，8}，集合{0M =，4，6}，{0N =，1，6}，则(U M N = ð)A ．{0，2，4，6，8}B ．{0，1，4，6，8}C ．{1，2，4，6，8}D ．U 【答案】A【分析】直接利用集合的补集和并集运算求出结果．【解答】解：由于{2U N =ð，4，8}，所以{0U M N = ð，2，4，6，8}．故选：A ．2．“1x <”是“|21|1x -<”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先求出不等式|21|1x -<的解集，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：|21|1x -< ，1211x ∴-<-<，01x ∴<<，{|01}{|1}x x x x <<< Ü，1x ∴<是01x <<的必要不充分条件，故选：B ．3．函数2|sin |()2x f x x =+在区间[π-，]π的部分图象大致为()A ．B ．C ．D ．A ． 1.113(2)(3)(log 2)f f ln f >>B ． 1.113(2)(log 2)(3)f f f ln >>C ． 1.113(3)(2)(log 2)f ln f f >>D ． 1.113(3)(log 2)(2)f ln f f >>5．设0a >，0b >．若3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为()A ．8B ．4C ．1D ．146．下列说法不正确的是()A ．甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18B ．设一组样本数据1x ，2x ，⋯，n x 的方差为2，则数据14x ，24x ，⋯，4n x 的方差为32C ．在一个22⨯列联表中，计算得到2χ的值，则2χ的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大D ．已知随机变量2~(2,)N ξσ，且(4)0.8P ξ<=，则(04)0.6P ξ<<=7．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线224y x=的准线上，则双曲线的方程为()A ．22136108x y -=B ．221927x y -=C ．22110836x y -=D ．221279x y -=【解答】解：因为抛物线224y x =的准线方程为6x =-，则由题意知，点(6,0)F -是双曲线的左焦点，所以22236a b c +==，又双曲线的一条渐近线方程是3y x =，所以3ba=，解得29a =，227b =，所以双曲线的方程为221927x y -=．故选：B ．8．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =．设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为()A ．12B ．13C ．16D ．18【答案】C【分析】根据给定的几何体，利用等体积法及锥体体积、柱体体积公式计算作答．【解答】解：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =，则1111111113326P D DB B D DP D DP V V V S BC DD CD BC V --===⋅=⋅⋅⋅= ，所以1V V 的值为16．故选：C ．9．已知函数()sin()(4f x x x R ω=+∈，0)ω>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象()A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.10．若i为虚数单位，则11ii+=-i．11．6(2x的二项展开式中的常数项为60．厂产品的合格率是80%，在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为0.86；如果买到的灯泡是合格品，那么它是甲厂产品的概率为．14．已知平行四边形ABCD 的面积为23BAD ∠=，||6AD =，E 为线段BC 的中点，若F 为线段DE 上的一点，且56AF AB AD λ=+，则λ=13；AF AE ⋅的值为．15．设函数2()1f x x =-，对任意3[2x ∈，)+∞，2(4()(1)4()f m f x f x f m m--+恒成立，则实数m的取值范围是3(,])2-∞-+∞ ．【分析】由已知得214m -三、解答题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b c =，2sin B A =，（1）求sin B 的值；（2）求sin(2)6B π-的值．1111111分别是BC ，BA 中点．（Ⅰ）求证：1//B B 平面1C MA ；（Ⅱ）求二面角1A C M N --的正弦值；（Ⅲ）求点C 到平面1C MA 的距离．则(0A ，0，0)，1(0C ，1，2)，(1M (1AM = ，1，0)，1(0AC = ，1，2)，设平面1AC M 的法向量为(n x =，y ，则120n AC y z n AM x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1z =，得n 设平面1MNC 的法向量为(m a =，b ，则120m NC a b c m NM b ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1c =，得设二面角1A C M N --的平面角为θ，由图知则||55cos ||||335m n m n θ⋅===⋅，∴二面角A C M N --的正弦值为sinn n 15n n n （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设1(1)(1)nn n n b c b b +=++，数列{}n c 的前n 项和为n M ，求n M ；（3）设(1)()n n n n n d a b lnS =-+，求数列{}n d 的前n 项和．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，点(t t>是椭圆C上的动点，直线AM与y轴M s，)(0)交于点D，点E是y轴上一点，EF DF⊥，EA与椭圆C交于点G，若AMG∆的面积为线AM的方程．（1）设2()()h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间；（2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图象在点0(A x ，0())g x 处的切线l 与函数()y f x =的图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a ，总存在正数x ，使得不等式()1|1|f x a x --<成立．。

2020年高考临考押题卷（一）数学（天津卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单选题 1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I2．命题:(0,)p x ∀∈+∞，2112xex x >++，则p ⌝为（ ） A ．(0,)x ∀∈+∞，2112xex x ++„B ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112x e x x <++ C ．(0,)x ∀∈+∞，2112xe x x <++D ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112x ex x ++„ 【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，且:(0,)p x ∀∈+∞，2112xex x >++， 故p ⌝：0(0,)x ∃∈+∞，0200112x ex x ++„. 3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．【答案】B【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20， 则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于60分的人数是15人， 所以该班的学生人数是15÷0.3=50. 4．已知ABC ∆中4,30a b A ===o ，则B 等于（ ） A ．60°或120° B ．30°C ．60°D ．30°或150°【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a b A B =得4sin sin 30B ==o60,120B =o o5．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13-B ．13C ．-3D ．3【答案】A【解析】3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112431124tan tantan tan ππαππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故选A . 6．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线2py =-与C 交于A ，B两点，若||3AH =，则||AF =（ ） A ．3 B ．83C ．2D ．4【答案】C【解析】连接AF ，如图，过A 作准线的垂线，垂足为M ，易知点0,,0,22p p F H ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．易知直线2p y =-过点H，tan 3AHM AHM π∠=∠=，则||||AM AH =又||AH = 所以||2AM =，由抛物线的定义可得||AF =||2AM =.7．已知实数,x y 满足1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是( ) A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+C ．11x y> D ．33x y >【答案】D【解析】根据题意，实数x ，y 满足（12）x <（12）y ，则x >y ，依次分析选项：对于A ，y=tanx 在其定义域上不是单调函数，故tanx >tany 不一定成立，不符合题意；对于B ，若0>x>y ，则x 2+2>y 2+2不成立，故ln （x 2+2）>ln （y 2+2）不一定成立，不符合题意；对于C ，当x >y>0时，1x <1y，不符合题意；对于D ，函数y=x 3在R 上为增函数，若x >y ，必有x 3>y 3，符合题意． 8．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．由函数()f x 的图象向右平移8π个单位长度可以得到函数sin 2y x =的图象D ．函数()f x 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】C【解析】对于函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，它的最小正周期为22π=π，故排除A ；令x=4π，求得f （x ）=2，故函数f （x ）的图象不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称；故排除B ； 把函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移8π个单位长度， 可以得到函数y=sin2（x ﹣8π）+4π]=sin2x 的图象，故C 满足条件； 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，24x π+∈（2π，32π），函数f （x ）单调递减，故排除D ， 9．已知函数1ln ln 1,0()12,02x x x x x f x x +⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，则满足方程()12(())12f m f f m ++=的实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1](0,1]-∞-⋃B ．(,1]-∞C ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1(,1],1e ⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由()12(())12f m f f m ++=，可得()1(())22f m f f m =-，则()0f m ≤． 当0m ≤时，由1()202mf m =-≤，解得1m ≤-； 当0m >时，1ln ()ln 1m f m m m +=+-，2ln ()m mf m m -'=． 令()lng m m m =-，11()1m g m m m-'=-=， 当01m <<时，()0g m '<，()g m 单调递减；当1m >时，()0g m '>，()g m 单调递增，则()g m 的最小值为(1)1g =． 故2ln ()0,()m mf m f m m-'=>单调递增， 又(1)0f =，故当01m <≤时，()0f m ≤．综上可知，当(,1](0,1]m ∈-∞-⋃时，()0f m ≤，满足()12(())12f m f f m ++=，二、填空题10．复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】1|||1|2z i ===+. 11．6x⎛- ⎝的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答） 【答案】20-【解析】二项展开式通项公式为3662166((1)r rrr r rr T C xC x --+==-，其中系数奇数项为正，偶数项为负，又6(0,1,,6)rC r =L 中，36C 最大，因此二项式系数最大的项为第4项，系数为3620C -=-．12．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，4,AC PA ==当四棱锥P ABCD -的体积最大时，其外接球的表面积为_______． 【答案】28π．【解析】设,AB x AD y ==，则22162,8x y xy xy +=厔，故8ABCD S xy =矩形…（当且仅当x y ==， 矩形ABCD 的面积最大为8．当侧棱PA ⊥面ABCD 时，四棱锥P ABCD -的体积最大，把体积最大的四棱锥补充为一个长方体，该长方体的高为 底面ABCD 为正方形，对角线4AC =，长方体的外接球半径R ==故外接球的表面积224428===球S R πππ．13．已知双曲线222:1(0)4x y C b b -=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线C 上，若2PBA PAB π∠=∠+，则双曲线C 的焦距为_________．【答案】【解析】由2PBA PAB π=∠+，则1PA PBk k ⋅=．设()00,P x y ，则20020001224y y y x x x ⋅==+--． ∵点P 在双曲线C 上，2200214x y b ∴-=，220244y b x =-， 214b ∴=， 即2b =，则焦距为=14．已知正实数x ，y 满足23x y +=，则xy 的最大值为________，23x yxy+的最小值为________．【答案】981．【解析】由题可知，对正实数x ，y 有()292828x y xy x y xy +≥≤+⇒≤（当且仅当322x y ==时取等号），所以xy 的最大值为98；因为()2222232211x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x+++++===++≥（当且仅当6x ==-等号），所以23x y xy+的最小值为1．15．在锐角ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =u u u r u u u r ，ACAF λ=u u u ru u u r，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，1ED =u u u r ，则实数λ的值为_______．【答案】3【解析】如下图所示：3AB AD =u u u r u u u r Q ，AC AF λ=u u ur u u u r ，13AD AB ∴=u u u r u u u r ，1AF AC λ=u u u r u u u r ，()11111333EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB ACλλ⎛⎫∴=-+=-+=+-+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11133ED BC AC λ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r，ABC QV 是锐角三角形，则ED u u u r 与AC u u ur 不垂直，即0ED AC ⋅≠u u u r u u u r ，1ED =u u u r Q ，6ED BC ⋅=u u u r u u u r，则21111113333ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED ACλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅++-=+⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11333ED AC λ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ，即1103ED AC λ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ， 0ED AC ⋅≠u u u r u u u r Q ，1103λ∴-=，因此，3λ=.三、解答题16．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）和年龄的中位数（保留一位小数）； （Ⅱ）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中的概率；（Ⅲ）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．【解析】（Ⅰ）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯=＋＋＋＋，得0.035a =， 平均年龄为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯⨯⨯⨯⨯=＋＋＋＋ （岁）． 设中位数为x 岁，则()100.010100.015350.0350.5x ⨯⨯-⨯=＋＋，解得42.1x ≈， 故这200人年龄的中位数为42.1岁（Ⅱ）易知从第1，2组中抽取的人数分别为2，3， 设“抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中”为事件A ，则()12233535C C P A C == （Ⅲ）从所有参与调查的人员中任意选出1人，则其关注生态文明建设的概率为45. 由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3，()30341015125P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ()121344121155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()212341482155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()33346435125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 所以X 的分布列为 X123P1125121254812564125因为4 3, 5X B⎛⎫⎪⎝⎭:，所以()412355E X=⨯=17．如图，在四棱锥M ABCD-中，AB AD⊥，2AB AM AD===，22MB MD==.（1）证明：AM⊥平面ABCD；（2）若E是BM的中点，//CD AB，2CD AB=，求二面角E CD M--的余弦值.【解析】（1）因为2228AB AM BM+==,所以AB AM⊥,同理可得AD AM⊥.因为AD AB A⋂=,所以AM⊥平面ABCD.（2）因为AB AD⊥,所以AD、AM、AB两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为2AB AM AD===,所以(0,0,0)A,(2,0,0)D,(0,2,0)M,(0,0,2)B,因为E是BM的中点,所以(0,1,1)E,因为//CD AB,2CD AB=,所以(2,0,1)C,所以(2,1,0)CE=-u u u r,(0,0,1)DC=u u u r.设平面CED的一个法向量为()111,,m x y z=r,由()()111111,,(0,0,1)0,,(2,1,0)0m DC x y zm CE x y z⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u vru u u vr,得11120zx y=⎧⎨-+=⎩,取11x=,得(1,2,0)m=r.取DM 的中点H ,连接AH ,易证AH⊥平面CDM ,则平面CDM 的一个法向量为(1,1,0)n AH ==u u u rr .设二面角E CD M --的平面角为θ,由图知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以||cos ||||10m n m n θ⋅===⋅r r r r , 所以二面角E CD M --18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N L 【解析】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- .其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n nn b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+， 故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：2n C ==<=<=，则)122022n C C C +++<+++=L L 19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，过(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，点A 在第一象限，抛物线C 在,A B 两点处的切线相互垂直.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点P 为抛物线C 上异于,A B 的点，直线,AP BP 均不与x 轴平行，且直线AP 和BP 交抛物线C 的准线分别于,M N 两点，4AQ QB =u u u r u u u r .（i ）求直线AB 的斜率；（ⅱ）求||MN 的最小值.【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y .抛物线C 的方程可化为2,2x x y y p p'==. 抛物线C 在,A B 两点处的切线的斜率分别为212121212122,,1,x x x x k k k k x x p p p p==∴==-=-. 由题可知直线l 的斜率存在，故可设直线1的方程为1y kx =+，联立212y kx x py=+⎧⎨=⎩，消去y 可得2220x pkx p --=， 122x x p ∴=-.2122x x p p ∴=-=-，解得2p =.∴抛物线C 的标准方程为24x y =；（2）（i ）由（1）可得12124,4x x k x x +==- 由4AQ QB =u u u r u u u r ，可得124x x =-，又点A 在第一象限，解得1234,1,4x x k ==-=. ∴直线AB 的斜率为34；（ii ）由（i ）易知1(4,4),1,4A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 设()()()00,,,,,M M N N P x y M x y N x y ，则2004x y =. 由题可知0,0AP BP k k ≠≠，故04x ≠-且01x ≠.∴直线AP 的斜率200044444APx x k x -+==-，同理可得014BP x k -=. ∴直线04:4(4)4x AP y x +-=-，当1y =-时，00444M x x x -=+. 直线011:(1)44x BP y x --=+，当1y =-时，00045111N x x x x +=-+=--. 0000444||41M N x x MN x x x x -+∴=-=++-.令00444,||||41||x m MN m m x m m +=∴=+=+=-…， 当且仅当||2m =，即00421x x +=-，也即06x =或023x =-时，||MN 取得最小值4. 20．已知函数ln ()x x f x xe x=+. （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意(0,)x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】（I ）()()21ln '1x x f x x e x-=++， 易知()'f x 在()0e ，上为正，因此()f x 在区间()01，上为增函数，又1210e e e f e e -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，0f I e =>（） 因此10f f I e ⎛⎫<⎪⎝⎭（），即()f x 在区间()01，上恰有一个零点， 由题可知()0f x >在()1+∞，上恒成立，即在()1+∞，上无零点， 则()f x 在()0+∞，上存在唯一零点．（II ）设()f x 的零点为0x ，即0000ln 0x x x e x +=．原不等式可化为ln 1x xe x k x --≥， 令()ln 1x xe x g x x --=，则()ln 'x x xe x g x x+=，由（I ）可知()g x 在()00x ，上单调递减， 在()0x ，+∞上单调递增，故只求()0g x ，，设00x x e t =， 下面分析0000ln 0x x x e x +=，设00x x e t =，则00ln x t x =-， 可得0000lnx tx lnx x lnt=-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -= 若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左正右负不相等，只能1t =．因此()0000000ln 1ln 1x x e x x g x x x --==-=，即1k …求所求．。

2024年高考数学临考押题卷01（新高考通用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若2i23ia +-为纯虚数，R a ∈，则=a （）A ．3B ．4C ．-3D ．-4【答案】A【分析】由复数除法运算化简复数，结合复数是纯虚数列方程解出参数a 即可.【详解】因为()()()2i 23i 2634i2i 23i 1313a a a a ++-+++==-为纯虚数，所以260340a a -=⎧⎨+≠⎩，解得3a =.故选：A.2．已知平面向量()1,3a x x =--- ，()1,2b x =+ ，4a b ⋅=- ，则2a b + 与b 的夹角为（）A ．π3B ．π4C ．2π3D ．3π4【答案】B【分析】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得=1x -，再由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果.【详解】()()()()41123412,2a b x x x x a ⋅=-⇒-+-+=-⇒=-⇒=- ，()()0,222,2b a b =⇒+=，(2)cos2,|2|||a b ba b ba b b+⋅∴〈+〉==+r rrr rrr rr2,[0,π]a b b〈+〉∈r rrQ，.π2,4a b b∴+=．故选：B3．甲、乙、丙、丁4人参加活动，4人坐在一排有12个空位的座位上，根据要求，任意两人之间需间隔至少两个空位，则不同的就座方法共有（）A．120种B．240种C．360种D．480种【答案】C【分析】先假设每个人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4个人中间任意两个人之间放入2个空位，此时空位一共还剩2个，再将这两个空位分一起和分开插入4人之间和两侧空位，即可得解.【详解】先假设每个人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4个人中间任意两个人之间放入2个空位，此时空位一共还剩2个，若将这两个空位连在一起插入4人之间和两侧空位，有5种放法；若将这两个空位分开插入4人之间和两侧空位，有2522A10A=种放法，故不同的就座方法共有()44A510360⨯+=种.故选：C.4．已知点()4,4M在抛物线C：22y px=（0p>）上，F为C的焦点，直线MF与C的准线相交于点N，则NF=（）A．203B．103C．152D．154【答案】B【分析】代点计算可得抛物线方程，即可得焦点纵坐标与准线方程，即可得直线MF的方程，求出两直线交点，即可得N点坐标，结合两点距离公式即可得解.【详解】由()4,4M，有1624p=⨯，即2p=，即抛物线C：24y x=，则()1,0F，准线方程为：=1x-，故()4:141MFl y x=--，整理得44:33MFl y x=-，令=1x -，则448333y =--=-，即81,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则103NF ==.故选：B.5．已知ABC 的内角, , A B C 的对边分别为, , ,a b c 若面积()22,3a b c S +-=则sin C =（）A ．2425B ．45C ．35D ．725【答案】A【分析】先利用余弦定理的变形：2222cos a b c ab C +-=，结合三角形的面积公式in 12s S ab C =，可把条件转化为：4cos 43sin C C +=，再根据同角三角函数的基本关系和三角形中sin 0C >，可求得sin C .【详解】因为in 12s S ab C =，所以()221sin 23a b c ab C +-=22223a b c ab +-+=，又由2222cos c a b ab C =+-⇒2222cos a b c ab C +-=，所以12cos 2sin 23ab C abab C +=⇒4cos 43sin C C +=.所以4cos 3sin 4C C =-⇒()()224cos 3sin 4C C =-⇒2216cos 9sin 24sin 16C C C =-+⇒()22161sin 9sin 24sin 16C C C -=-+所以225sin 24sin 0C C -=，又因为在ABC 中，sin 0C ≠，所以24sin 25C =.故选：A6．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为32.25g/m ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.21g/m ，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r 满足函数模型0.25010()3n tn r r r r +=+-⋅（t ∈R ，*n ∈N ），其中0r 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，1r 为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过30.65g/m 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．12B ．13C ．14D ．15【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得0.25(1)2.250.043n n r -=-⨯，由0.65n r ≤，解不等式即可求解.【详解】由题意知30 2.25g/m r =，31 2.21g/m r =，当1n =时，0.251010()3t r r r r +=+-⨯，故0.2531t +=，解得0.25t =-，所以0.25(1)2.250.043n n r -=-⨯．由0.65n r ≤，得0.25(1)340n -≥，即lg 400.25(1)lg 3n -≥，得4(12lg 2)114.33lg 3n +≥+≈，又*n ∈N ，所以15n ≥，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．故选：D7．记数列{}n a 的前n 项积为n T ，设甲：{}n a 为等比数列，乙：2n n T ⎧⎫⎨⎩⎭为等比数列，则（）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用等比数列通项公式、等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.【详解】若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则11n n a a q -=，(1)12(1)211n n n n n n T a q a q-+++-== ，于是(1)12()22n n n n n T a q -=，(1)111211(1)12()222()22n n n n n n n n n n n T a qa q T a q ++++-==⋅，当1q ≠时，12n a q ⋅不是常数，此时数列2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；若2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，令首项为1b ，公比为p ，则112n n n T b p -=，112(2)n n T b p -=⋅，于是当2n ≥时，112112(2)22(2)n n n n n T b p a p T b p ---⋅===⋅，而1112a T b ==，当1b p ≠时，{}n a 不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，所以甲是乙的既不充分也不必要条件.8．设202310121011a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，202510131012b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列关系正确的是（）A ．2e a b <<B ．2e b a<<C ．2e a b <<D ．2e b a <<【答案】B【分析】由题意可得10121ln 2023ln(210111)ln(1)10111011a ==⨯++、10131ln 2025ln(210121)ln(1)10121012b ==⨯++，构造函数1()(21)ln(1)(21)[ln(1)ln ](1)f x x x x x x x=++=++->、2()ln(1)(0)2xh x x x x =+->+，利用导数讨论两个函数的单调性可得a b >、2e b >，即可求解.【详解】10121ln 2023ln(210111)ln(1)10111011a ==⨯++，10131ln 2025ln(210121)ln(1)10121012b ==⨯++，设函数1()(21)ln(1)(21)[ln(1)ln ](1)f x x x x x x x=++=++->，则2111121()2ln(1)2ln (21)()2ln(1)()111f x x x x x x x x x x'=+-++-=+-⋅+++，设22()2ln(1)(01)1x xg x x x x+=+-<<+，则22()0(1)x g x x '=-<+，所以()g x 在(0,1)上单调递减，且()(0)0g x g <=，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，则(1011)(1012)f f >，即ln ln a b >，所以a b >.设2()ln(1)(0)2x h x x x x =+->+，则22214()01(1)(1)(2)x h x x x x x '=-=>++++，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，且1()(0)0h h x>=，即21(21)ln(1)2112()2ln(1)ln(1)012121212x f x xx x x x x x x++--+-=+-==>++++，得()2f x >，所以(1012)2f >，即ln 2b >，解得2e b >.综上，2e b a <<.故选：B【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。

2022年高考临考押题卷（一）数学（新高考卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知全集{}U 1,0,1,3,6=-，{}0,6A =，则UA =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,1,3-C ．{}0,1,3D ．{}0,3,6【答案】B 【详解】由题意，全集{}U 1,0,1,3,6=-，且{}0,6A =， 根据集合补集的概念及运算，可得{}U1,1,3A =-.故选：B.2．复数z 满足()12i 3i z +=-，则z =（ ）AB C ．2 D 【答案】A 【详解】因为()12i 3i z +=-，所以()()()()3i 12i 3i17i 12i 12i 12i 55z ---===-++-，所以z 故选：A3．已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2α的值为（ ）A ．12B ．12-C D ．【答案】A 【详解】因3sin()42πα+=-，所以2sin 2cos(2)cos 2()2sin ()1244πππαααα=-+=-+=+-2312()122=--=.故选：A4．甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（ ） A ．0.36 B ．0.352 C ．0.288 D ．0.648【答案】D 【详解】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为0.60.60.36⨯= 二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为120.60.40.60.288C ⨯⨯=， 而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为0.360.2880.648+=， 故选：D5．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点()0,2A ，与抛物线C 的准线交于点N ，55FM MN =，则p 的值等于（ ） A ．18B ．2C ．14D ．4【答案】B 【详解】解：设点M 到抛物线的准线的距离为|MM ′|，抛物线的准线与x 轴的交点记为点B .由抛物线的定义知，|MM ′|＝|FM |. 因为||5||FM MN ，所以5||MM MN '=5cos ||MM NMM MN ''∠=，所以5cos cos 5OFA NMM '∠=∠=， 而22||52cos ||522p OF OFA AF p ∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 解得p ＝2, 故选：B.6．某品牌暖水瓶的内胆规格如图所示，分为①②③④四个部分（水瓶内胆壁厚不计），它们分别为一个半球，一个大圆柱，一个圆台和一个小圆柱．若其中圆台部分的体积为52πcm 3，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出10π3cm 3，则盖上瓶塞后水瓶的最大盛水量为（ ）A ．640πcm 3B ．1930π3cm 3 C ．320πcm 3 D ．965π3cm 3 【答案】A 【详解】 半球体积32π250π533⨯=， 大圆柱的体积2π520500π⨯⨯=， 圆台的体积52π，小圆柱的体积2π228π⨯⨯=， 所以最大盛水量为3250π10π500π52π8π640πcm 33+++-=. 故选：A7．在如今这个5G 时代，6G 研究已方兴未艾．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G 速率有望达到1Tbps ，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G 数据传输速率有望比5G 快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式2log (1)SC W N=+是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比．若不改变带宽W ，而将信噪比SN从11提升至499，则最大信息传递率C 会提升到原来的（ ）参考数据： 22log 3 1.58,log 5 2.32==． A ．2.4倍 B ．2.5倍 C ．2.6倍 D ．2.7倍【答案】B 【详解】设提升前最大信息传递率为1C ，提升后最大信息传递率为2C ，则 由题意可知，122log (111)log 12C W W =+=， 222log (1499)log 500C W W =+=，所以()()()()log log log log lo log g C W C W ⨯⨯===⨯⨯223222222122210525500232123 log log log ...log log log ..+++⨯====≈+++23222232222523523232896252232158358倍. 所以最大信息传递率C 会提升到原来的2.5倍. 故选：B.8．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，且不等式()()12124f x f x x x t +<++-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[)1,-+∞B ．[)5,-+∞C ．[)22ln 2,-+∞D ．[)1ln 2,-+∞【答案】A 【详解】()()22210-+'=>ax x f x x x，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212Δ48010102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<.因为不等式()()12124f x f x x x t +<++-恒成立， 所以()()()12124f x f x x x t +-++<恒成立.()()2212121112221242ln 2ln 4f x f x x x ax x x ax x x x x +--+=-++-+--+ ()()()21212121223ln 4a x x x x x x x x ⎡⎤=+--+++⎣⎦23ln 2a a=-+-，设()213ln 202h a a a a ⎛⎫=-+-<< ⎪⎝⎭，()220-'=>a h a a ，故()h a 在102a <<上单调递增，故()112h a h ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，所以1t ≥-.因此实数t 的取值范围是[)1,-+∞. 故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．某市为了更好的支持小微企业的发展，对全市小微企业的年税收进行适当的减免，为了解该地小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业减免前和减免后的年收入进行了抽样调查，将调查数据整理，得到如下所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）A ．推行减免政策后，某市小微企业的年收入都有了明显的提高B ．推行减免政策后，某市小微企业的平均年收入有了明显的提高C ．推行减免政策后，某市小微企业的年收入更加均衡D ．推行减免政策后，某市小微企业的年收入没有变化【答案】BC 【详解】 对于A从图中无法确定推行减免政策后，某市小微企业的年收入是否都有了明显的提高， 故A 错误， 对于B从图中可以看出，减免前占比最多的平均年收入为45~50万元，其次是40~45万元及50~55万元，减免后占比最多的为50~55万元，其次是55~60万元及45~50万元，明显增多，所以平均年收入也有明显提高， 所以B 正确.对C ，从图中看出，推行减免政策后，年收入的中位数是52.5，而减免前年收入的中位数是47.5，所以减免后年收入更加均衡， 所以C 错误 对于 D从图中看出，某市小微企业的年收入有明显变化， 所以D 错误. 故选:BC10．已知函数()sin cos f x x x =+，下列结论正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数B ．()f x的值域为⎡-⎣C ．()f x 在[]0,π上单调递减D ．()f x 的图象关于直线π4x =不对称【答案】AB 【详解】对于A ：因为()sin cos f x x x =+的定义域为R ， 且()sin()cos()|sin |cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数()sin cos f x x x =+是偶函数， 即选项A 正确；对于B ：由题意，得()sin cos ,2ππ2π(Z)sin cos ,π2π<2π2π(Z)x x k x k k f x x x k x k k +≤≤+∈⎧=⎨-++<+∈⎩， 即()π,2ππ2π(Z)4π,π2π<2π2π(Z)4x k x k k f x x k x k k ⎛⎫+≤≤+∈ ⎪⎝⎭=⎛⎫++<+∈ ⎪⎝⎭，当2ππ2πk x k ≤≤+时，ππ5π2π2π444k x k +≤+≤+，则πsin()14x ≤+≤，即π1)4x -≤+≤当π2π<2π2πk x k +<+时，5ππ9π2π<2π444k x k ++<+，则πcos 14x ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即π14x ⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭综上所述，()f x的值域为⎡-⎣， 即选项B 正确；对于C ：当0πx ≤≤时，()πsin cos )4f x x x x =+=+，且ππ5π444x ≤+≤，令πππ442x ≤+≤，得π04x ≤≤， 令ππ5π244x ≤+≤，得ππ4x ≤≤， 即()f x 在π[0,]4上单调递增，在π[,π]4上单调递减，即选项C 错误；对于D ：由选项B 得()f x，且=|si πππ44n |+co 4s f ⎛⎫⎪⎝⎭即()f x 的图象关于直线π4x =对称， 即选项D 错误. 故选：AB.11．在平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是BCD △面积的2倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，恒有()()1122n n n nBD a BA aBC --=-++，设{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．{}n a 为等比数列B ．{}n a 为递减数列C ．2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 D ．()152210n n S n +=--【答案】BCD 【详解】设AC 与BD 交于点E ，1sin 221sin 2ABD CBDBD AE AEBS AE SCE BD CE CEB ⋅∠===⋅∠，2212()3333BE BA AE BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+， ,,B E D 共线，所以存在实数(0)λλ≠，使得BD BE λ=，所以()()1122n nn nBD a BA aBC --=-++1233BA BC λλ=+， 所以11123223n n n n a a λλ--⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以1122(2)n n n n a a --+=-，1122n n n a a +-=-，所以12a =，24a =-，324a =-，{}n a 不是等比数列，A 错；因为1122n n n a a +-=-，所以11222n n n n a a --=-，即11222n n nn a a ---=-，所以{}2n n a是等差数列，C 正确； 又因为12a =，则112a =，即12(1)322n n an n =--=-，(32)2n n a n =-⋅， 所以当2n ≥时，()()()11132232121220n n n n n a a n n n ----=-⋅---⋅=-⋅<⎡⎤⎣⎦，即1n n a a -<，所以{}n a 是递减数列，B 正确； 因为231212(1)2(3)2(32)2n n n S a a a n =+++=⨯+-⨯+-⨯++-⨯，231212(1)2(52)2(32)2n n n S n n +=⨯+-⨯++-⨯+-⨯，所以两式相减得2312(2)2(2)2(2)2(32)2n n n S n +-=+-⨯+-⨯++-⨯--⨯21112(12)2(2)(32)210(52)212n n n n n -++-=+-⨯--⨯=--⨯-，所以1(52)210n n S n +=-⨯-，D 正确．故选：BCD ．12．已知函数()21,11ln 1,1x x f x x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪+-≥⎩，()g x kx k =-，k ∈R ，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在()0,2上单调递增B ．当54k =时，方程()()f x g x =有且只有3个不同实根 C ．()f x 的值域为[)1,-+∞D ．若对于任意的x ∈R ，都有()()()()10x f x g x --≤成立，则[)2,k ∈+∞ 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A ：()21,11ln 1,1x x f x xx x x ⎧-<⎪=-⎨⎪+-≥⎩. 因为23354134414f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎝⎭-，55551ln 1ln 44444f ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭， 所以355515ln 1ln 0444444f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3544f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 在()0,2上不是增函数. 故A 错误；对于B ：当54k =时，方程()()f x g x =可化为：()2511141x x x x ⎧-=-⎪-⎨⎪<⎩或()5ln 1141x x x x ⎧+-=-⎪⎨⎪≥⎩. 由()2511141x x x x ⎧-=-⎪-⎨⎪<⎩可解得：13x =. 对于()5ln 1141x x x x ⎧+-=-⎪⎨⎪≥⎩，显然1x =代入方程成立，所以1x =是方程的根.当1≥x 时，记()()()5ln 1ln 11144x h x x x x x =+---=--. ()41414xh x x x-'=-=. 所以令()0h x '>，解得：14x <<；令()0h x '<，解得：4x >； 所以()h x 在()1,4上单增，在()4,+∞上单减. 所以()()410h h >=.所以()h x 在()1,4上没有零点； 而()h x 在()4,+∞上单减，且()40h >，()()333311310e 44e ln e e h -=-=<-，所以在()4,+∞上有且只有一个零点. 综上所述：当54k =时，方程()()f x g x =有且只有3个不同实根. 故B 正确；对于C ：对于()21,11ln 1,1x x f x xx x x ⎧-<⎪=-⎨⎪+-≥⎩. 当1≥x 时，()ln 1f x x x =+-.()110f x x'=+>，所以()()1ln1110f x f ≥=+-=； 当1≥x 时，()211x f x x=--.()()2221x x f x x -'=-.令()0f x '>，解得：01x <<；令()0f x '<，解得：0x <； 所以()f x 在(),0∞-上单减，在()0,∞+上单增. 所以()()0011f x f ≥=-=-； 故()f x 的值域为[)1,-+∞成立. 故C 正确.对于D ：对于任意的x ∈R ，都有()()()()10x f x g x --≤成立， 所以()21111x x k x x<⎧⎪⎨-≥-⎪-⎩及()1ln 11x x x k x ≥⎧⎨+-≥-⎩恒成立.若()21111x x k x x<⎧⎪⎨-≥-⎪-⎩恒成立，则有()()()211111x k x x x x ≥-<---. 令()()()()21,1111x t x x x x x =-<---，只需()max k t x ≥. 令1m x =-，则0m <.则()22221113135124m y m m m m m +⎛⎫⎛⎫=-=-++=-++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 所以max 54y =，即54k ≥.若()1ln 11x x x k x ≥⎧⎨+-≥-⎩恒成立，当1x =，无论k 取何值，不等式均成立，所以R k ∈. 当1x >，则有()ln 111xk x x ≥->-. 令()()ln 111xp x x x =+>-，只需()max k p x ≥. ()()()()22111ln 1ln 11x x xx x p x x x ----'==--.记()11ln x x x ϕ=--，则()221110xx x x x ϕ-'=-=<，所以()11ln x x x ϕ=--在()1,+∞上单减，所以()()111ln101x ϕϕ<=--=，即()0p x '<，所以()ln 11x p x x =+-在()1,+∞上单减，所以()()()max11ln ln lim 1lim 111211x x x x p x x x ++→→'⎛⎫=+=+=+= ⎪-'⎝⎭- 所以2k ≥. 综上所述：2k ≥. 故D 正确. 故选：BCD二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量,a b 满足||1,||2,a b a ==与b 的夹角为60︒，则|2|a b -=______．【详解】根据题意，cos601a b a b ⋅=︒=，又222|2|4?413a b a a b b -=-+=，则213a b -=.14．()52x y -的展开式中23x y 的系数是______．（用数字作答） 【答案】80- 【详解】()52x y -的展开式的通项公式为()()5515522r rr r r r r r T C x y C x y --+=-=-，令3r =可得()3323235280C x y x y -=-所以()52x y -的展开式中23x y 的系数是80- 故答案为：80-15．建在水资源不十分充足的地区的火电厂为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统（冷却塔），以使水可循环使用．下图是世界最高的电厂冷却塔——中国国家能源集团胜利电厂冷却塔，该冷却塔高225米，创造了“最高冷却塔”的吉尼斯世界纪录．该冷却塔的外形可看作双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图：已知直线1l ，2l 为该双曲线的两条渐近线，1l ，2l 向上的方向所成的角的正切值为512，则该双曲线的离心率为______．【答案】26 【详解】解：设一条渐近线向上的方向与虚轴向上的方向所成的角为α， 则22tan 5tan 21tan 12ααα==-，解得1tan 5α=或tan 5α=-（舍），即15a b=，故5ba=， 所以22126b e a =+=．故答案为：26.16．如图，在四棱锥P ABCD -的平面展开图中，四边形ABCD 是矩形，ABE △是等边三角形，AD AH ⊥，1AD =，2AB =.则平面展开图中sin GCF ∠=___________，四棱锥P ABCD -的外接球半径为___________.【答案】 35##0.6 571576 【详解】因为在四棱锥P ABCD -的平面展开图中，四边形ABCD 是矩形，ABE △是等边三角形，AD AH ⊥，1AD =，2AB =，所以sin sin 5BCF DCG ∠=∠=所以sin sin(2)2GCF BCF DCG ππ∠=-∠-∠-，sin(22)2DCG ππ=-∠-，cos2DCG =-∠2432sin 12155DCG =∠-=⨯-=，如图，连接,AC BD 交于点M ，四棱锥P ABCD -的外接球球心为O ，在四棱锥P ABCD -中，,AD AP AD AB ⊥⊥，AP AB A =，所以AD ⊥平面ABP ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面ABP ，取AB 的中点H ，连接PH ，因为PAB △为等边三角形，所以PH AB ⊥， 因为平面ABCD 平面ABP AB =，PH ⊂平面ABP ，所以PH ⊥平面ABCD ，设ABP △的外接圆圆心为N ，连接,OM ON ，则OM ⊥平面ABCD ，ON ⊥平面ABP ，则OM ∥PH ，可证得ON ∥MN ，所以四边形OMHN 是矩形，连接OD ，由于PAB △为等边三角形，所以113323323NH PH ==⨯⨯=，所以33OM =, 设四棱锥P ABCD -的外接球半径为R ，则22215193412R OM DM =+=+=，解得576R =， 故答案为：35，57617．已知{}n a 是公差为2的等差数列，10a >，且4a 是22a 和52a -的等比中项． (1)求{}n a 的通项公式； (2)设数列{}n b 满足112122n nnb b b a a a ++++=，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)2n a n =(2)()2128n n T n +=-⋅+【解析】(1)依题意，{}n a 是公差为2的等差数列，10a >，且4a 是22a 和52a -的等比中项，即()242522a a a =⨯-，即()()()2111162262a a a a +=+⨯+⇒=，所以()2212n a n n =+-=. (2) 依题意112122n nnb b b a a a ++++=①， 当1n =时，21112,8b b a ==， 当2n ≥时，1121212n n n b b b a a a --+++=②， ①-②得：12,222n n n nn nb b n n a +==⨯=⨯， 所以18,12,2n n n b n n +=⎧=⎨⨯≥⎩. 341822322n n T n +=+⨯+⨯++⨯③， 45221622322n n T n +=+⨯+⨯++⨯④，③-④得：()()13412228122222212812n n n n n n T n n n -++++--=+++-⨯=-⨯=-⋅--，所以()2128n n T n +=-⋅+.18．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ABC 的面积为()22234a b c +-．(1)求C ∠； (2)若2A π∠=，C ∠的角平分线CE 与边AB 相交于点E ，延长CE 至点D ，使得CE DE =，求cos ADB ∠．【答案】(1)3C π∠=(2)7cos 14ADB ∠=【解析】(1)解：由题可知()22231sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以()22232sin a b c ab C +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，所以sin 3cos C C =，可得tan 3C =， 因为()0,C π∈，所以3C π∠=.(2)解：不妨令3AC =，因为3C π∠=，可得33AB =，6BC =，又因为CE 为ACB ∠的角平分线，所以3AE =，23BE CE ==，得23DE =，所以在ACD △中，由余弦定理可得2222cos216AD CA CD CA CD π=+-⨯⨯=，即21AD =，在BDE 中，可得23ED BE ==，3BED π∠=，所以，BDE 为等边三角形，所以23BD =，在ABD △中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⨯⨯∠，得7cos 14ADB ∠=． 19．如图①，在梯形ABCD 中，AB DC ∥，2AD BC CD ===，4AB =，E 为AB 的中点，以DE 为折痕把ADE 折起，连接AB ，AC ，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题．(1)证明：AC DE ⊥；(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角D AE C --的余弦值． ①四棱锥A BCDE -的体积为2； ②直线AC 与EB 6 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】(1)证明：在图①中 因为DC AB ∥，12CD AB =，E 为AB 中点所以//DC AE ，DC AE =， 所以ADCE 为平行四边形，所以2AD CE CD AE ====，同理可证2DE =，在图②中，取DE 中点O ，连接OA ，OC ，OA OC == 因为AD AE CE CD ===，所以DE OA ⊥，DE OC ⊥， 因为OA OC O =，所以DE ⊥平面AOC ， 因为AC ⊂平面AOC ，所以DE AC ⊥. (2)若选择①：因为DE ⊥平面AOC ，DE ⊂平面BCDE ，所以平面AOC ⊥平面BCDE 且交线为OC ，所以过点A 作AH OC ⊥，则AH ⊥平面BCDE ，因为BCDE S =所以四棱锥A BCDE -的体积123A BCDE V AH -==⨯，所以AH OA =，所以AO 与AH 重合，所以AO ⊥平面BCDE ，建系如图，则()0,0,0O ，()C ，()0,1,0E ，(0A ,， 平面DAE 法向量为()3,0,0CO =，设平面AEC 法向量为(),,n x y z =，因为()3,1,0CE =，(3,0,CA =，所以0y +==，得()1,3,1n =--，设二面角D AE C --的大小为θ，则cos 3CO n CO nθ⋅===⋅，所以二面角D AE C --. 若选择②：因为//DC EB ，所以ACD ∠即为异面直线AC 与EB 所成角，在ADC 中，244cos 4AC ACD AC +-∠==所以AC =222OA OC AC +=，所以OA OC ⊥， 因为DE ⊥平面AOC ，DE ⊂平面BCDE ，所以平面AOC ⊥平面BCDE 且交线为OC ，所以AO ⊥平面BCDE ，建系如图，则()0,0,0O ，()C ，()0,1,0E ，(0A ,， 平面DAE 法向量为()3,0,0CO =，设平面AEC 法向量为(),,n x y z =， 因为()3,1,0CE =，()3,0,3CA =，所以30330x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得()1,3,1n =--，设二面角D AE C --的大小为θ，则35cos 535CO n CO nθ⋅===⨯⋅， 所以二面角D AE C --的余弦值为55.20．第56届世界乒乓球锦标赛将于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分. (1)已知某局比赛中双方比分为8：8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为35，乙发球时乙得分的概率为12，各球的结果相互独立，求该局比赛甲以11：9获胜的概率；(2)已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且每局比赛的结果相互独立.两人又进行了X 局后比赛结束，求X 的分布列与数学期望. 【答案】(1)21100(2)见解析，23681【解析】(1)解：设事件A =“在比分为8：8的条件下甲以11：9获胜”，则()3211331121255225522100P A =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.(2)解：随机变量X 的所有可能取值为：2，3，4，5，()2242339P X ==⨯=，()122128333327P X C ==⨯⨯⨯=，()42131212134333381P X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()31421853381P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭， 所以随机变量X 的分布列为：所以()481382362345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左，右焦点分别为1F ，2F ，上，下顶点分别为A ，B ，四边形12AF BF 的面积和周长分别为2和(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：()1y k x =+（0k ≠）与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中垂线交y 轴于M 点，且EMF △为直角三角形，求直线l 的方程.【答案】(1)2212x y +=(2)10x y -+=或10x y ++=【解析】(1)由题意知222122224c b a a b c⎧⨯⨯⨯=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆的方程为2212x y +=(2)设1122(,),(,)E x y F x y联立22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(12)4220k x k x k +++-= 由韦达定理得2122412k x x k+=-+，21222212k x x k -=+22222(4)4(12)(22)880k k k k ∆=-+-=+>21222212x x k k +-∴=+，12122(2)2212y y k x x k k +++==+， 所以线段EF 的中垂线方程为22212()1212k k y x k k k -=-+++， 令0x =，解得212k y k -=+，20,12k M k -⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭112,12k ME x y k ⎛⎫∴=+ ⎪+⎝⎭，222,12k MF x y k ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭， 又EMF △为直角三角形，且ME MF =，ME MF ∴⊥ 1212221212k k ME MF x x y y k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭ 22121222222(1)(1)1212(12)k k k x x k x x k k k =++++⋅++++22221212223()()(112)k k x x k x x k k =++++++2422222222243(1)1212(12)k k k k k k k k -=+-+++++4222(1)0(12)k k -==+21k =∴，即1k =±所以直线l 的方程10x y -+=或10x y ++= 22．已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若对任意()0,x ∞∈+都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值集合； (3)证明：11111nn e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（其中n *∈N ，e 为自然对数的底数）．【解析】(1)解：因为函数()1lnx f x x a =--，定义域为()0,∞+， 所以()af x x x'-=， 当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上递增； 当0a >时，令()0f x '=，得x a =，当0x a <<时，()0f x '<，函数()f x 在()0,a 上递减； 当x a >时，()0f x '>，函数()f x 在(),a +∞上递增；所以当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间是()0,∞+，无减区间；当0a >时，函数()f x 的单调增区间是(),a +∞，减区间是()0,a ； (2)当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上递增，又()10f =，当()0,1x ∈时，()0f x <，所以()0f x ≥不成立；当0a >时，由（1）得()()min 1ln f x f a a a a ==--， 因为对任意()0,x ∞∈+都有()0f x ≥成立， 所以1ln 0a a a --≥， 令()1ln g a a a a =--，则()ln g a a '=-，令()0g a '=，得1a =， 当01a <<时，()0g a '>，当1a >时，()0g a '<， 所以当1a =时，()g a 取得最大值()10g =， 所以实数a 的取值集合是{}1； (3)由（2）知：()1ln ,1,x x x ->∈+∞， 令*11,x n N n =+∈，则1111ln 1n n ⎛⎫+->+ ⎪⎝⎭，即11ln 1n n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，则11ln 1n n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭， 所以11e nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，由（2）知：()1ln ,1,x x x ->∈+∞， 令*,1n x n N n =∈+，则1ln 11n n n n ⎛⎫-> ⎪++⎝⎭， 即11ln 11n n ⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭，则()111ln 1n n ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭， 所以11e<1n n +⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故11111nn e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。

○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________绝密★启用前|学科网试题命制中心2020年高考临考押题卷（一）数学（北京卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}20A x x =-≥，{}1,2,3B =，则A B =I ( ) A ．{}1B ．{}2C ．{}2,3D ．{}1,2,32．已知复数z 满足3z z i +=+，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．43i -D ．43i +3．若向量,a b v v 的夹角为3π，且||2a =v ，||1b =v ，则向量2a b +v v 与向量a v 的夹角为（ ）A ．3πB ．6π C ．23π D ．56π 4．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<5．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．256．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）A ．219B ．995C ．4895D ．5197．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ∆为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．272π B ．283π C ．263π D ．252π 9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段1F A为直径的圆交线段1F B 的延长线于点P ，若2//F B AP 且线段AP 的长为22+，则该椭圆方程为（ ）○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________A ．22142x y +=B ．22183x y +=C ．22154x y +=D ．22184x y +=10．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

（三）一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合1．已知集合{}0A x x =≥，(){}2lg B x y x x ==-，则AB =（ ）A ．[)0,+∞B ．()1,+∞C ．{}[)01,+∞D ．(](),01,-∞+∞2．设,a b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．222cos cos 105ππθθ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．12B ．2C ．1D ．3 4．已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．23B ．34C ．15 D ．1055．已知函数()πsin 03y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知22log aa =，1212bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n 1si c c =+，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<7．如图所示，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且1AD =，2PD =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ）A．9πB．10πC．12πD．14π8．已知,a b R+∈，且113 a bab+--=，则+a b的取值范围是（）A．(][),14,-∞-+∞B．[)4,+∞C．[]1,4 D．[)1,+∞9．已知,a b∈R，函数32,0()11(1),032x xf xx a x ax x<⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b=--恰有三个零点，则（）A．1,0a b<-<B．1,0a b<->C．1,0a b>-<D．1,0a b>->二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）10．已知复数z满足i1iz=+（i为虚数单位），则复数z i-的模为________11．61(2)2xx-的展开式的常数项是（用数字作答）12．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[)25,30的为一等品，在区间[)20,25和[)30,35的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为______.13．过抛物线C：22x y=的焦点F的直线l交C于两点A、B，点A处的切线与x、y轴分别交于两点P、Q，若POQ△（O为坐标原点）的面积为1，则AF=______.14．小周今年暑假打算带父母去国外旅游，他决定从日本、泰国、法国、加拿大、韩国、墨西哥、英国这7个国家中随机选取1个国家，则他去旅游的国家来自亚洲的概率为___________.16．已知函数()()()cos sin3f x x x x x=∈R.（1）求()f x的最小正周期和单调增区间；（2）在ABC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c.若322Bf⎛⎫=-⎪⎝⎭，6b=，求ABC的面积的取值范17．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，AC BC ⊥,E 为PD 的中点，3ABC PCD π∠=∠=，1,3,10BC PC PB ===.（1）求证：//PB 平面ACE ； （2）求二面角A DE C --的余弦值.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设数列{}n b 满足()()()112n n n n n n b S S S n S S n N *++=--+∈．（1）若数列{}n a 为等差数列，且0n b =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若11a =，23a =，且数列{}21n a -，{}2n a 都是以2为公比的等比数列，求满足不等式221n n b b -<的所有正整数的n 集合．20．已知函数1()ln f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()k g x x x=-. （1）证明：当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥.（2）若函数()()y f x g x =-在[)1,+∞有两个零点，证明：1718k <≤.。

2020年高考临考押题卷（一）数学（北京卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题1．已知集合{}20A x x =-≥，{}1,2,3B =，则A B =I ( ) A ．{}1 B ．{}2C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】C【解析】由题意，{}2A x x =≥，{}1,2,3B =，则{}2,3A B =I . 故选：C.2．已知复数z 满足3z z i +=+，则z =（ ） A ．1i - B ．1i +C ．43i - D ．43i + 【答案】D【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z =3a bi i +=+，所以31a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩ ，解得431a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即43z i =+，选D. 3．若向量,a b v v的夹角为3π，且||2a =v ，||1b =v ，则向量2a b +v v 与向量a v 的夹角为（ ） A ．3πB ．6πC ．23π D ．56π【答案】B【解析】设向量2a b +r r 与a r 的夹角为α，因为,a b v v 的夹角为3π，且2a =v ，1b =v ，所以221(2)()22cos 4221632a ab a a b a a b π+=+=+=+⨯⨯⨯=r r r r r r r r r gg g ，2a b +==r r==，所以(2)cos 2a a b a a b α+===+r r r g r r r ，又因为[0,]απ∈ 所以6πα=，故选B4．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m |＝|x ﹣m |； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ．5．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】D【解析】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333nn n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造.故选：D .6．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ） A ．219B ．995C ．4895D ．519【答案】B【解析】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率2201089C 95P +==. 故选:B.7．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】22x y +≥Q 且224x y +≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥Q ，0,0x y >>21xy ∴⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ∆为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．272π B ．283π C ．263π D ．252π 【答案】B【解析】ABC ∆的外接圆半径为32sin3AB r π==，PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC -的外接球半径为3R ===， 因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为22284433R πππ⎛=⨯= ⎝⎭. 故选：B.9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，以线段1F A为直径的圆交线段1F B 的延长线于点P ，若2//F B AP 且线段AP的长为2+，则该椭圆方程为（ ）A ．22142x y +=B ．22183x y +=C ．22154x y +=D ．22184x y +=【答案】D【解析】设椭圆的半焦距为c ，因为点P 在以线段1F A 为直径的圆上，所以1AP PF ⊥. 又因为2//F B AP ，所以21F B BF ⊥.又因为21F B BF =，所以12F F B △是等腰直角三角形，于是1F AP △也是等腰直角三角形，21F B BF a ==，222cos 452OF c BF a ===o ，12F A =， 得222a c +=，解得22a =2c =2224b a c =-=，所以椭圆方程为22184x y +=.故选：D.10．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

2020年高考临考押题卷（一）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题1．已知集合{}1M x x =<，{}20N x x x =-<，则（ ） A ．{}1M N x x =<I B ．{}0M N x x =>U C ．M N ⊆ D ．N M ⊆【答案】D【解析】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<， 则：{}|01M N x x =<<I ，选项A 错误；{}|1M N x x ⋃=<，选项B 错误； N M ⊆，选项C 错误，选项D 正确；故选：D .2．设复数z 满足：(1)2i z i +=-，则z 的虚部为（ ） A ．12i B ．12C ．32i -D ．32-【答案】D【解析】因为(1)2i z i +=-，故可得()()()()211311122i i i z i i i i --2-===-++-. 则z 的虚部为：32-. 故选：D.3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。

2020年全国高考数学试卷及答案(名师押题预测试卷+解析答案，值得下载)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则(A B = )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．(1，2]D ．(2,)+∞【解析】解：，，则【答案】A ． 2．已知向量，(3,1)b =，若//a b ，则(a b = ) A ．1 B ．1-C ．10-D ．1±【解析】解：，(3,1)b =， 若//a b ，则，1m ∴=-，【答案】C ．3．已知α是第二象限角，若，则sin (α= )A ．223-B ．13-C ．13D ．223【解析】解：α是第二象限角，若可得1cos 3α=-，所以．【答案】D ．4．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与8a 的等差中项为10，则10(S = ) A ．200B ．100C ．50D ．25【解析】解：由等差数列的性质可得：，则．【答案】B ．5．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m α⊂，//n α，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】解：①若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，故不正确； ②若//m α，//m β，则α与β可能相交或平行，故不正确； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β，m 也可能在平面内，故不正确；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ，垂直与同一直线的两平面平行，故正确 【答案】B ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )A．11 B．9 C．7 D．5 【解析】解：模拟程序的运行，可得1n=，0S=不满足条件37S，执行循环体，113S=⨯，3n=不满足条件37S，执行循环体，，5n=不满足条件37S，执行循环体，，7n=此时，满足条件37S，退出循环，输出n的值为7．【答案】C．7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD-中，AB⊥平面BCD，BC CD⊥，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A．23B．34C．33D．24【解析】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则(1A，0，1)，(1B，0，0)，(0C，0，0)，(0D，1，0)，111 (,,)222 M，则，(0CD =，1，0)，设异面直线BM 与CD 夹角为θ，则．∴异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为33． 【答案】C ．8．设0a >且1a ≠，则“b a >”是“log 1a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：充分性：当01a <<时，“b a >”时“log 1a b <”故充分性不成立． 必要性：当log 1a b >时，若01a <<，则0b a <<，故充分性不成立． 综上，“b a >”是“log 1a b >”的既不充分也不必要条件． 【答案】D ．9．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是( )A．322+B．312+C．3122++D．23+【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分，三棱锥A BCD-，正方体的棱长为1，所以几何体的表面积为：．【答案】C．10．程序框图如图，若输入的2a=，则输出的结果为()A ．20192B ．1010C ．20232D ．1012【解析】解：模拟程序的运行，可得2a =，0S =，0i = 执行循环体，2S =，12a =，1i = 满足条件2019i ，执行循环体，122S =+，1a =-，2i = 满足条件2019i ，执行循环体，1212S =+-，2a =，3i = 满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，4i = ⋯由于，观察规律可知，满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，2020i = 此时，不满足条件2019i ，退出循环，输出．【答案】D ．11．将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”，则概率()P A B 等于( ) A ．14B ．3536C ．518D ．512【解析】解：将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”， 基本事件总数，AB 包含的基本事件个数，∴概率．【答案】C ．12．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，，若在3[,2]2ππ上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2-，)+∞ C ．(-∞，2] D ．[2-，1]-【解析】解：定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，方程()0f x '=无解，即()f x 为R 上的单调函数，，则()2018x f x +为定值， 设，则，易知()f x 为R 上的减函数，，，又()g x 与()f x 的单调性相同， ()g x ∴在R 上单调递减，则当3[,2]2x ππ∈，()0g x '恒成立， 即，当3[,2]2x ππ∈，则5[63x ππ+∈，13]6π， 则当26x ππ+=时，取得最大值2，此时取得最小值2-，即2m -，即实数m 的取值范围是(-∞，2]-， 【答案】A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数1()x f x e -=在(1,1)处切线方程是 ． 【解析】解：函数1()x f x e -=的导数为1()x f x e -'=，∴切线的斜率k f ='（1）1=，切点坐标为(1,1)，∴切线方程为1y x -=，即y x =．故答案为：y x =．14．已知P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值是 ．【解析】解：抛物线24y x =的焦点坐标(1,0)，P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值，就是PF 的距离减去y 轴与准线方程的距离， 可得最小值为：．故答案为：2．15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 1nn + ．【解析】解：点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，2n a n ∴=．．∴．则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．故答案为：1nn +． 16．已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为 254π ．【解析】解：由圆锥体积为23π，其底面半径为1， 可求得圆锥的高为2， 设球半径为R ，可得方程：，解得54R =， ∴，故答案为：254π． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为42，求b 的值． 【解析】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）由、及正弦定理可得：，⋯⋯由于sin 0A >，整理可得：，又sin 0B >， 因此得3sin 5B =．⋯⋯ （Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin 5B =， 又ABC ∆的面积为42，且10a =， 从而有，解得14c =，⋯⋯又角B 是最小的内角， 所以03Bπ<，且3sin 5B =，得4cos 5B =，⋯⋯ 由余弦定理得，即62b =．⋯⋯18．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0~2000步，（说明：“0~2000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），B 、2000~5000步，C 、5000~8000步，D 、8000~10000步，E 、步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”． （Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000~8000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“认定类别”与“性别”有关？参与者超越者 合计 男 20 女20合计 40附：，，20()P K k0.10 0.050 0.010 0k 2.706 3.841 6.635【解析】解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走2000~8000步的人数：男12人， 女14人⋯⋯，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人数 约为：人⋯⋯；（Ⅱ）该天抽取的步数在8000~12000的人数：男8人，女4人， 再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人⋯⋯所求概率（或⋯⋯ （Ⅲ）完成22⨯列联表⋯⋯参与者 超越者 合计男 12 8 20女 16 4 20合计 28 12 40计算，⋯⋯因为1.905 3.841<，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关， 即“认定类别”与“性别”无关 ⋯⋯19．如图，在正三棱柱中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1//B E 平面ACF ；（Ⅱ）求CE 与平面ACF 所成角的正弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中， 因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以//EM BC 且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，所以1//B F BC 且112B F BC =，即1//EM B F 且1EM B F =，故四边形1EMFB 为平行四边形，所以，又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊂/平面ACF ，所以1//B E 平面ACF ．⋯⋯解：（Ⅱ）取BC 中点O ，连结AO 、OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以OB 、AO 、OF 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 ⋯⋯ 则有， 得 设平面ACF 的一个法向量为(n x =，y ，)z则00n CA n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3020x y x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令3z =-，则(23n =，2，3)-，⋯⋯ 设CE 与平面ACF 所成的角为θ，则，所以直线CE 与平面ACF 所成角的正弦值为21919．⋯⋯。

高三模拟考试卷压轴题押题猜题普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式: ·如果事件A, B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V=Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A, B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R| |x|≤2}, A = {x ∈R| x≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x, y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z =y －2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 10 (B) 10 (C) 310 (D) 5 (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A, 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D) 5,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ 普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a, b ∈R, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = .(10) 6x x ⎛- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为. (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C, 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP| = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为.(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD//AC. 过点A做圆的切线与DB 的延长线交于点E, AD 与BC 交于点F. 若AB = AC,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为.(14) 设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值. 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;(Ⅱ) 求f(x)在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. (16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A1B1C1D1中, 侧棱A1A ⊥底面ABCD, AB//DC, AB ⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱AA1的中点.(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;(Ⅱ) 求二面角B1－CE －C1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C1E 上, 且直线AM 与平面ADD1A1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F, , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C, D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值. (20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.威武不屈舍死忘生肝胆相照克己奉公一丝不苟两袖清风见礼忘义永垂不朽顶天立地豁达大度兢兢业业卖国求荣恬不知耻贪生怕死厚颜无耻描写人物神态的成语神采奕奕眉飞色舞昂首挺胸惊慌失措漫不经心垂头丧气没精打采愁眉苦脸大惊失色炯炯有神含有夸张成分的成语怒发冲冠一目十行一日千里一字千金百发百中——一日三秋一步登天千钧一发不毛之地不计其数胆大包天寸步难行含——比喻成分的成语观者如云挥金如土铁证如山爱财如命稳如泰山门庭若市骨瘦如柴冷若冰霜如雷贯耳守口如瓶浩如烟海高手如林春天阳春三月春光明媚春回大地春暖花开春意盎然春意正浓风和日丽春花烂漫春天的景色鸟语花香百鸟鸣春百花齐放莺,歌燕舞夏天的热赤日炎炎烈日炎炎骄阳似火挥汗如雨大汗淋漓夏天的景色鸟语蝉鸣万木葱茏枝繁叶茂莲叶满池秋天秋高气爽天高云淡秋风送爽秋菊怒放秋菊傲骨秋色迷人秋色宜人金桂飘香秋天的景色果实累累北雁南飞满山红叶五谷丰登芦花飘扬冬天——天寒地冻北风呼啸滴水成冰寒冬腊月瑞雪纷飞冰天雪, 地冬天的景色冰封雪盖漫天飞雪白雪皑皑冰封大地冰天雪地早晨东方欲晓旭日东升万, 物初醒空气清醒雄鸡报晓晨雾弥漫晨光绚丽中午烈日当头丽日临空艳阳高照万里无云碧空如洗傍晚日落西山夕阳西斜残阳如血炊烟四起百鸟归林华灯初上夜幕低垂日薄西山夜晚夜深人静月明星稀夜色柔美夜色迷人深更半夜漫漫长夜城镇风光秀丽人山人海车水马龙宁静和谐村庄草木苍翠竹篱瓦舍山幽路辟小桥流水大楼、饭店直指青云古色古香青砖素瓦耸入碧云工厂机器轰鸣铁流直泻热气腾腾钢花飞溅商店粉饰一新门可罗雀冷冷清清错落有致馆场富丽堂皇设施齐全气势雄伟金碧辉煌学校风景如画闻名遐迩桃李满天下车站、码头井然有序杂乱无章布局巧妙错落有致街道宽阔平坦崎岖不平拥挤不堪畅通无阻花花红柳绿花色迷人花香醉人花枝招展百花齐放百花盛开百花争艳绚丽多彩五彩缤纷草绿草如茵一碧千里杂草丛生生机勃勃绿油油树苍翠挺拔郁郁葱葱枯木逢春秀丽多姿青翠欲滴林海雪原耸入云天瓜果蔬菜清香鲜嫩青翠欲滴果园飘香果实累累果实饱满鲜嫩水灵鸽子、燕子象征和平乳燕初飞婉转悦耳莺歌燕舞翩然归来麻雀、喜鹊枝头嬉戏灰不溜秋叽叽喳喳鹦鹉鹦鹉学舌婉转悦耳笨嘴学舌啄木鸟利嘴如铁钢爪如钉鸡鸭鹅神气活现昂首挺胸肥大丰满自由自在引吭高歌马腾空而起狂奔飞驰膘肥体壮昂首嘶鸣牛瘦骨嶙峋行动迟缓俯首帖耳膘肥体壮车川流不息呼啸而过穿梭往来缓缓驶离船一叶扁舟扬帆远航乘风破浪雾海夜航追波逐浪飞机划破云层直冲云霄穿云而过银鹰展翅学习用品美观实用小巧玲珑造型优美设计独特玩具栩栩如生活泼可爱惹人喜爱爱不释手彩虹雨后彩虹彩桥横空若隐若现光芒万丈雪大雪纷飞大雪封山鹅毛大雪漫天飞雪瑞雪纷飞林海雪原风雪交加霜雪上加霜寒霜袭人霜林尽染露垂露欲滴朝露晶莹日出露干雷电电光石火雷电大作惊天动地春雷滚滚电劈石击雷电交加小雨阴雨连绵牛毛细雨秋雨连绵随风飘洒大雨倾盆大雨狂风暴雨大雨滂沱瓢泼大雨大雨淋漓暴雨如注风秋风送爽金风送爽北风呼啸微风习习寒风刺骨风和日丽雾大雾迷途云雾茫茫雾似轻纱风吹雾散云消雾散云彩云满天天高云淡乌云翻滚彤云密, 布霞彩霞缤纷晚霞如火朝霞灿烂丹霞似锦星最远的地方：天涯海角最远的分离：天壤之别最重的话：一言九鼎最可靠的话：一言为定其它成语一、描写人的品质：平易近人宽宏大度冰清玉洁持之以恒锲而不舍废寝忘食大义凛然临危不俱光明磊落不屈不挠鞠躬尽瘁死而后已二、描写人的智慧：料事如神足智多谋融会贯通学贯中西博古通今才华横溢出类拔萃博大精深集思广益举一反三三、描写人物仪态、风貌：憨态可掬文质彬彬风度翩翩相貌堂堂落落大方斗志昂扬意气风发, 威风凛凛容光焕发神采奕奕四、描写人物神情、情绪：悠然自得眉飞色舞喜笑颜开神采奕奕欣喜若狂呆若木鸡喜出望外垂头丧气无动于衷勃然大怒五、描写人的口才：能说会道巧舌如簧能言善辩滔滔不绝伶牙俐齿, 出口成章语惊四座娓娓而谈妙语连珠口若悬河六、来自历史故事的成语：三顾茅庐铁杵成针望梅止渴完璧归赵四面楚歌负荆请罪精忠报国手不释卷悬梁刺股凿壁偷光七、描写人物动作：走马——花欢呼雀跃扶老携幼手舞足蹈促膝谈心前俯后仰奔走相告跋山涉水前赴后继张牙舞爪八、描写人间情谊：恩重如山深情厚谊手足情深形影不离血浓于水志同道合风雨同舟赤诚相待肝胆相照生死相依九、说明知事晓理方面：循序渐进日积月累温故——新勤能补拙笨鸟先飞学无止境学海无涯滴水穿石发奋图强开卷有益十、来自寓言故事的成语：夏天的, 景色鸟语蝉鸣万木葱茏枝繁叶茂莲叶满池秋天秋高气爽天高云淡秋风送爽秋菊怒放秋菊傲骨秋色迷人秋色宜人金桂飘香秋天的景色果实累累北雁南飞满山红叶五谷丰登芦花飘扬冬天天寒地冻北风呼啸滴水成冰寒冬腊月瑞雪纷飞冰天雪地冬天的景色冰封雪盖漫天飞雪白雪皑皑冰封大地冰天雪地早晨东方欲晓旭日东升万物初醒空气清醒雄鸡报晓晨雾弥漫晨光绚丽中午烈日当头丽日临空艳阳高照万里无云碧空如洗傍晚日落西山夕阳西斜残阳如血炊烟四起百鸟归林华灯初上夜幕低垂日薄西山夜晚夜深人静月明星稀夜色柔美夜色迷人深更半夜漫漫长夜城镇风光秀丽人山人海车水马龙宁静和谐村庄草木苍翠竹篱瓦舍山幽路辟小桥流水大楼、饭店直指青云古色古香青砖素瓦耸入碧云工厂机器轰鸣铁流直泻热气腾腾钢花飞溅商店粉饰一新门可罗雀冷冷清清错落有致馆场富丽堂皇设施齐全气势雄伟金碧辉煌学校风景如画闻名遐迩桃李满天下车站、码头井然有序杂乱无章布局巧妙错落有致街道宽阔平坦崎岖不平拥挤不堪畅通无阻花花红柳绿花色迷人花香醉人花枝招展百花齐放百花盛开百花争艳, 绚丽多彩五彩缤纷草绿草如, 标准答案一、填空题。

2020年高考临考押题卷（一）数学（天津卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．命题:(0,)p x ∀∈+∞，2112xe x x >++，则p ⌝为（ ） A ．(0,)x ∀∈+∞，2112xe x x ++„ B ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112xe x x <++ C ．(0,)x ∀∈+∞，2112xe x x <++D ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112x e x x ++„ 3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．4．已知ABC ∆中4,43,30a b A ===o ，则B 等于（ ） A ．60°或120° B ．30°C ．60°D ．30°或150°5．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13-B ．13C ．-3D ．36．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线32py x =-与C 交于A ，B 两点，若43||AH =||AF =（ ） A ．3B ．83C ．2D ．47．已知实数,x y 满足1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是( ) A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+ C ．11x y>D ．33x y >8．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．由函数()f x 的图象向右平移8π个单位长度可以得到函数sin 2y x =的图象 D ．函数()f x 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 9．已知函数1ln ln 1,0()12,02x x x x x f x x +⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，则满足方程()12(())12f m f f m ++=的实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1](0,1]-∞-⋃B ．(,1]-∞C ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1(,1],1e ⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）10．复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =________. 11．6x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答） 12．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，4,23AC PA ==．当四棱锥P ABCD -的体积最大时，其外接球的表面积为_______．13．已知双曲线222:1(0)4x y C b b -=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线C 上，若2PBA PAB π∠=∠+，则双曲线C 的焦距为_________．14．已知正实数x ，y 满足23x y +=，则xy 的最大值为________，23x yxy+的最小值为________．15．在锐角ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =u u u r u u u r ，AC AF λ=u u u r u u u r，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，1ED =u u u r ，则实数λ的值为_______．三、解答题：（本大题5个题，共75分）16．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）和年龄的中位数（保留一位小数）； （Ⅱ）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中的概率；（Ⅲ）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．17．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==.（1）证明：AM ⊥平面ABCD ；（2）若E 是BM 的中点，//CD AB ，2CD AB =，求二面角E CD M --的余弦值.18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N L19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，过(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，点A 在第一象限，抛物线C 在,A B 两点处的切线相互垂直. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点P 为抛物线C 上异于,A B 的点，直线,AP BP 均不与x 轴平行，且直线AP 和BP 交抛物线C 的准线分别于,M N 两点，4AQ QB =u u u r u u u r.（i ）求直线AB 的斜率； （ⅱ）求||MN 的最小值.20．已知函数ln ()xxf x xe x=+. （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意(0,)x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围.一、单选题1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I 2．命题:(0,)p x ∀∈+∞，2112xe x x >++，则p ⌝为（ ） A ．(0,)x ∀∈+∞，2112xe x x ++„ B ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112xe x x <++ C ．(0,)x ∀∈+∞，2112xe x x <++ D ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112x e x x ++„ 【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，且:(0,)p x ∀∈+∞，2112xe x x >++， 故p ⌝：0(0,)x ∃∈+∞，0200112xe x x ++„. 3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．【答案】B【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于60分的人数是15人， 所以该班的学生人数是15÷0.3=50. 4．已知ABC ∆中4,30a b A ===o ，则B 等于（ ） A ．60°或120° B ．30°C ．60°D ．30°或150°【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a b A B =得4sin sin 30B ==o 60,120B =o o5．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13- B ．13C ．-3D ．3【答案】A【解析】3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112431124tan tantan tan ππαππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故选A . 6．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H，直线2py =-与C 交于A ，B两点，若||3AH =，则||AF =（ ） A ．3 B ．83C ．2D ．4【答案】C【解析】连接AF ，如图，过A 作准线的垂线，垂足为M ，易知点0,,0,22p p F H ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．易知直线2p y =-过点H，tan 3AHM AHM π∠=∠=，则||||2AM AH =又||3AH =， 所以||2AM =，由抛物线的定义可得||AF =||2AM =.7．已知实数,x y 满足1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是( ) A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+ C ．11x y> D ．33x y >【答案】D【解析】根据题意，实数x ，y 满足（12）x <（12）y ，则x >y ，依次分析选项：对于A ，y=tanx 在其定义域上不是单调函数，故tanx >tany 不一定成立，不符合题意；对于B ，若0>x>y ，则x 2+2>y 2+2不成立，故ln （x 2+2）>ln （y 2+2）不一定成立，不符合题意；对于C ，当x >y>0时，1x <1y，不符合题意；对于D ，函数y=x 3在R 上为增函数，若x >y ，必有x 3>y 3，符合题意． 8．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．由函数()f x 的图象向右平移8π个单位长度可以得到函数sin 2y x =的图象 D ．函数()f x 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】C【解析】对于函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，它的最小正周期为22π=π，故排除A ；令x=4π，求得f （x ）=2，故函数f （x ）的图象不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；故排除B ； 把函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移8π个单位长度， 可以得到函数y=sin2（x ﹣8π）+4π]=sin2x 的图象，故C 满足条件； 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，24x π+∈（2π，32π），函数f （x ）单调递减，故排除D ， 9．已知函数1ln ln 1,0()12,02x x x x x f x x +⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，则满足方程()12(())12f m f f m ++=的实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1](0,1]-∞-⋃B ．(,1]-∞C ．1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1(,1],1e ⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由()12(())12f m f f m ++=，可得()1(())22f m f f m =-，则()0f m ≤． 当0m ≤时，由1()202mf m =-≤，解得1m ≤-； 当0m >时，1ln ()ln 1m f m m m +=+-，2ln ()m mf m m -'=． 令()lng m m m =-，11()1m g m m m-'=-=，当01m <<时，()0g m '<，()g m 单调递减；当1m >时，()0g m '>，()g m 单调递增，则()g m 的最小值为(1)1g =． 故2ln ()0,()m mf m f m m-'=>单调递增， 又(1)0f =，故当01m <≤时，()0f m ≤．综上可知，当(,1](0,1]m ∈-∞-⋃时，()0f m ≤，满足()12(())12f m f f m ++=，二、填空题10．复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】1|||1|2z i ===+. 11．6x⎛⎝的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答） 【答案】20-【解析】二项展开式通项公式为3662166((1)r rrr r rr T C xC x --+==-，其中系数奇数项为正，偶数项为负，又6(0,1,,6)r C r =L 中，36C 最大，因此二项式系数最大的项为第4项，系数为3620C -=-．12．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，4,AC PA ==P ABCD -的体积最大时，其外接球的表面积为_______． 【答案】28π．【解析】设,AB x AD y ==，则22162,8x y xy xy +=厔，故8ABCD S xy =矩形…（当且仅当x y ==， 矩形ABCD 的面积最大为8．当侧棱PA ⊥面ABCD 时，四棱锥P ABCD -的体积最大，把体积最大的四棱锥补充为一个长方体，该长方体的高为 底面ABCD 为正方形，对角线4AC =，长方体的外接球半径R ==故外接球的表面积224428===球S R πππ．13．已知双曲线222:1(0)4x y C b b -=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线C 上，若2PBA PAB π∠=∠+，则双曲线C 的焦距为_________．【答案】【解析】由2PBA PAB π=∠+，则1PA PB k k ⋅=．设()00,P x y ，则20020001224y y y x x x ⋅==+--． ∵点P 在双曲线C 上，2200214x y b ∴-=，220244y b x =-， 214b ∴=， 即2b =，则焦距为=14．已知正实数x ，y 满足23x y +=，则xy 的最大值为________，23x yxy+的最小值为________．【答案】981．【解析】由题可知，对正实数x ，y 有()292828x y xy x y xy +≥≤+⇒≤（当且仅当322x y ==时取等号），所以xy 的最大值为98；因为()2222232211x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x+++++===++≥（当且仅当6x ==-取等号），所以23x yxy+的最小值为1．15．在锐角ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =u u u r u u u r ，AC AF λ=u u u r u u u r，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，1ED =u u u r ，则实数λ的值为_______．【答案】3【解析】如下图所示：3AB AD =u u u r u u u r Q ，AC AF λ=u u ur u u u r ，13AD AB ∴=u u u r u u u r ，1AF AC λ=u u u r u u u r ，()11111333EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB ACλλ⎛⎫∴=-+=-+=+-+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11133ED BC AC λ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r，ABC QV 是锐角三角形，则ED u u u r 与AC u u ur 不垂直，即0ED AC ⋅≠u u u r u u u r ，1ED =u u u r Q ，6ED BC ⋅=u u u r u u u r，则21111113333ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED ACλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅++-=+⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11333ED AC λ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ，即1103ED AC λ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ， 0ED AC ⋅≠u u u r u u u r Q ，1103λ∴-=，因此，3λ=.三、解答题16．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）和年龄的中位数（保留一位小数）； （Ⅱ）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中的概率；（Ⅲ）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．【解析】（Ⅰ）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯=＋＋＋＋，得0.035a =， 平均年龄为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯⨯⨯⨯⨯=＋＋＋＋ （岁）．设中位数为x 岁，则()100.010100.015350.0350.5x ⨯⨯-⨯=＋＋，解得42.1x ≈， 故这200人年龄的中位数为42.1岁（Ⅱ）易知从第1，2组中抽取的人数分别为2，3， 设“抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中”为事件A ，则()12233535C C P A C == （Ⅲ）从所有参与调查的人员中任意选出1人，则其关注生态文明建设的概率为45. 由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3，()30341015125P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ()121344121155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()212341482155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()33346435125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 所以X 的分布列为 X123P1125121254812564125因为4 3, 5X B⎛⎫⎪⎝⎭:，所以()412355E X=⨯=17．如图，在四棱锥M ABCD-中，AB AD⊥，2AB AM AD===，22MB MD==.（1）证明：AM⊥平面ABCD；（2）若E是BM的中点，//CD AB，2CD AB=，求二面角E CD M--的余弦值.【解析】（1）因为2228AB AM BM+==,所以AB AM⊥,同理可得AD AM⊥.因为AD AB A⋂=,所以AM⊥平面ABCD.（2）因为AB AD⊥,所以AD、AM、AB两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为2AB AM AD===,所以(0,0,0)A,(2,0,0)D,(0,2,0)M,(0,0,2)B,因为E是BM的中点,所以(0,1,1)E,因为//CD AB,2CD AB=,所以(2,0,1)C,所以(2,1,0)CE=-u u u r,(0,0,1)DC=u u u r.设平面CED的一个法向量为()111,,m x y z=r,由()()111111,,(0,0,1)0,,(2,1,0)0m DC x y zm CE x y z⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u vru u u vr,得11120zx y=⎧⎨-+=⎩,取11x=,得(1,2,0)m=r.取DM 的中点H ,连接AH ,易证AH ⊥平面CDM ,则平面CDM 的一个法向量为(1,1,0)n AH ==u u u rr .设二面角E CD M --的平面角为θ,由图知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以||cos ||||10m n m n θ⋅===⋅r r r r , 所以二面角E CD M --. 18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N L 【解析】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- . 其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+， 故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：2n C ==<=<=，则)122022n C C C +++<+++=L L 19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，过(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，点A 在第一象限，抛物线C 在,A B 两点处的切线相互垂直. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点P 为抛物线C 上异于,A B 的点，直线,AP BP 均不与x 轴平行，且直线AP 和BP 交抛物线C 的准线分别于,M N 两点，4AQ QB =u u u r u u u r.（i ）求直线AB 的斜率； （ⅱ）求||MN 的最小值.【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y .抛物线C 的方程可化为2,2x xy y p p'==. 抛物线C 在,A B 两点处的切线的斜率分别为212121212122,,1,x x x xk k k k x x p p p p==∴==-=-. 由题可知直线l 的斜率存在，故可设直线1的方程为1y kx =+，联立212y kx x py=+⎧⎨=⎩，消去y 可得2220x pkx p --=，122x x p ∴=-.2122x x p p ∴=-=-，解得2p =.∴抛物线C 的标准方程为24x y =； （2）（i ）由（1）可得12124,4x x k x x +==-由4AQ QB =u u u r u u u r，可得124x x =-，又点A 在第一象限，解得1234,1,4x x k ==-=. ∴直线AB 的斜率为34；（ii ）由（i ）易知1(4,4),1,4A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 设()()()00,,,,,M M N N P x y M x y N x y ，则2004x y =. 由题可知0,0AP BP k k ≠≠，故04x ≠-且01x ≠.∴直线AP 的斜率200044444APx x k x -+==-，同理可得014BP x k -=. ∴直线04:4(4)4x AP y x +-=-，当1y =-时，00444M x x x -=+. 直线011:(1)44x BP y x --=+，当1y =-时，00045111N x x x x +=-+=--. 0000444||41M N x x MN x x x x -+∴=-=++-.令00444,||||41||x m MN m m x m m +=∴=+=+=-…， 当且仅当||2m =，即00421x x +=-，也即06x =或023x =-时，||MN 取得最小值4. 20．已知函数ln ()xxf x xe x=+. （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意(0,)x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围. 【解析】（I ）()()21ln '1xxf x x e x-=++， 易知()'f x 在()0e ，上为正，因此()f x 在区间()01，上为增函数，又1210ee ef e e-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，0f I e =>（） 因此10f f I e ⎛⎫< ⎪⎝⎭（），即()f x 在区间()01，上恰有一个零点，由题可知()0f x >在()1+∞，上恒成立，即在()1+∞，上无零点， 则()f x 在()0+∞，上存在唯一零点．（II ）设()f x 的零点为0x ，即0000ln 0x x x e x +=．原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥，令()ln 1x xe x g x x--=，则()ln 'x x xe x g x x+=，由（I ）可知()g x 在()00x ，上单调递减， 在()0x ，+∞上单调递增，故只求()0g x ，，设00x x et =，下面分析0000ln 0xx x e x +=，设00x x e t =，则00ln xt x =-， 可得0000lnx tx lnx x lnt=-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左正右负不相等，只能1t =．因此()0000000ln 1ln 1x x e x xg x x x --==-=，即1k …求所求．。