2020年贵州省贵阳市一模 理科数学(试题与答案)

贵阳市普通高中2020届高三年级第一学期监测考试试卷理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，M ＝{1，4}，N ＝{2，3}，则集合{5，6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∩(∁U N )D ．(∁U M )∪(∁U N ) 2．满足i 3·z ＝1－3i 的复数z 的共轭复数是( )A ．3－iB ．－3－iC ．3＋iD ．－3＋i3．若双曲线x 2－y 2m＝1的一个焦点为(－3，0)，则m ＝( )A ．2 2B ．8C ．9D ．64 4．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈。

”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天开始每天比前一天多织( )A.12尺布B.518尺布C.1631尺布D.1629尺布 5．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈(0，＋∞)的值域为D ，在区间(－1，2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是( )A.12B.13C.14D ．1 6．已知函数f (x )＝cos2x ＋3sin2x ，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥y ，x ≤2，y －1≥0，若z ＝x ＋ay (a >0)的最大值为10，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．48．在△ABC 中，| AB u u u r ＋AC u u u r ＝| AB u u u r －AC u u ur |，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点， 则AE u u u r ·AF u u u r＝( )A.109B.259C.269D.899．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎦⎤32，3C.⎝⎛⎭⎫32，32 D.⎝⎛⎦⎤12，32 10．函数y ＝2|x|sin2x 的图像可能是( )11．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM u u u u r |＝1，且PM u u u u r ·AM u u u u r＝0，则|PM u u u u r|的最小值为( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．312．已知函数f (x )＝2e x ＋1e x ＋1＋1与g (x )＝mx ＋m ＋1(m 为常数)，若函数F (x )＝f (x )－g (x )恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝( )A ．eB ．e －1 C ．1 D ．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届贵州省贵阳市、六盘水市、黔南州高三3月适应性考试（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1345A =，，，，集合2{|450}B x x x =∈--<Z ，则A B 的元素个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意得{}{}{}2|450|150,1,2,3,4B x Z x x x Z x =∈--<=∈-<<=,∴{}1,3,4A B ⋂=。

∴A B ⋂的元素个数为3.选C 。

2．复数21i z i-=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】∵2i 11=22i i iz -=-=+， ∴复数z 在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限．选A ．3．为了保障人民群众的身体健康，在预防新型冠状病毒期间，贵阳市市场监督管理局加强了对市场的监管力度，对生产口罩的某工厂利用随机数表对生产的600个口罩进行抽样测试是否合格，先将600个口罩进行编号，编号分别为001,002,,599,600⋯；从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 1 8 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 3 1 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号为（ ） A ．578 B ．324C ．535D ．522【答案】D【解析】根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可.【详解】编号分别为001，002，...，599，600， 从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据， 第一个数为808>600，不符合条件； 第二个数为436 <600，符合条件； 第三个数为789>600，不符合条件； 第四个数为535<600，符合条件； 第五个数为577<600，符合条件； 第六个数为348<600，符合条件； 第七个数为994>600，不符合条件； 第八个数为837>600，不符合条件； 第九个数为522 <600，符合条件； 得到的第5个样本编号是522. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了随机数表法提取样本，根据定义选择满足条件是解决本题的关键，属于基础题. 4．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．4-B ．4C ．13-D ．13【答案】C【解析】 因为cos()2cos()2παπα+=-，所以sin 2cos tan 2ααα-=-⇒=， 所以1tan 1tan()41tan 3πααα--==-+，故选C. 5．若x y 、满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．6-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】画出约束条件表示的平面区域，利用目标函数找出最优解，即可求出目标函数的最小值. 【详解】画出x y 、满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域，如图所示，化目标函数为1122y x z =-+，由图可知，当直线1122y x z =-+过点()0,3A -时直线在y 轴上的截距最小， z ∴的最小值为()0236+⨯-=-.故选：A . 【点睛】本题主要考查的是线性规划的简单应用，弄清楚目标函数所表示的几何意义是解题的关键，是基础题.6．已知132a -=， 21log 3b =， 131log 4c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D 【解析】131218a -==<， 21log 03b =<， 1331log log 414c ==>， 所以c a b >>. 故选D.7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．12C ．32D ．2【答案】B【解析】由三视图画出主观图，利用锥体体积公式即可求得. 【详解】由三视图可知，该几何体是底面是上底为1DC =，下底为2AB =，高为1BC =的直角梯形，高为1PC =的四棱锥，()1111211322V =⨯⨯+⨯⨯=.故选：B . 【点睛】本题主要考查的是由三视图画出主观图，再求出其体积，由三视图画出主观图的步骤和思想方法是：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体的前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整，8．在二项式3nx x ⎫⎪⎭的展开式中,各项系数之和为M ,各项二项式系数之和为N ,且72M N +=,则展开式中常数项的值为A ．18B ．12C ．9D ．6【答案】C【解析】令1x =,可得各项系数之和()134nn M =+=;各项二项式系数之和2n N =;而M N +=4272n n +=,解得3n =;所以333n x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其通项()3133T Crrrr x x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭=332233C rr rx -,令1r =,可得展开式中常数项为1133C 9=.故选C.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数和，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9．己知A B C D ，，，四点在球O 的表面上，且 2 22AB BC AC ===，，若四面体ABCD 的体积的最大值为43，则球O 的表面积为（ ） A ．7π B ．9πC ．10πD ．12π【答案】B【解析】根据几何体的特征可得DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为1433ABC S DQ ⨯⨯=，在Rt AQO 中222OA AQ OQ =+，求得R 进而可求得结果. 【详解】由题意ABC 是一个直角三角形，其所在球的球小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积最大，由于底面积ABCS 不变，高最大时体积最大，所以DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为1433ABC SDQ ⨯⨯=， 1122222ABCSAC BQ =⨯=⨯，∴114323DQ ⨯⨯=， 即2DQ =，如图所示，设球心为O ，半径为R ，则在Rt AQO 中222OA AQ OQ =+，即222(2)R R =+-， 所以32R =， 因此球的表面积为：23492ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题主要考查的是一道关于球内接多面体及球的表面积的题目，关键是分析出何时四面体ABCD 的体积取得最大值；细查题意知，灵活运用球的性质是解答本题的基本方法，是中档题.10．已知函数()π2sin (04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭)的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为A ．19π27π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．9π13π,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17π25π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)4π,6π 【答案】C【解析】因为函数()π2sin (04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭)的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点,所以函数()π2sin (04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭)的图象在区间[]0,1上至少有两个周期加八分之一周期,少于三个周期加八分之一周期,所以4ππ6ππ144ωωωω+≤<+,所以17π25π44ω≤< 本题选择C 选项.11．过双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左焦点(,0)Fc -，作圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ．若线段PF 的中点为M M ，在线段PT 上，O 为坐标原点，则OM MT -=（ ）A ．b a -B ． a b -C ．c a -D ．c b -【答案】A【解析】设双曲线的右焦点为F '，2PF PF a '-=，连接PF '，OM 为中位线，所以12OM PF '=，||||||OM MT FT a -=-，又在Rt FOT ，可以得到FT ，由此能求出OM MT -. 【详解】如图所示，设F '是双曲线的右焦点，连接PF '， 点,M O ，分别为线段,PF FF '的中点. 由三角形中位线定理得：111||(||2)||||222OM PF PF a PF a MF a '==-=-=- ||||||||||OM MT MF MT a FT a ∴-=--=-，连接OT ，因为PT 是圆的切线，则OT FT ⊥， 在Rt FOT 中，22||,||,||||||OF c OT a FT OF OT b ==∴=-=， ||||OM MT b a ∴-=-.故选：A . 【点睛】本题主要考查的是双曲线的性质和应用，解题是要注意圆的方程和性质的合理应用以及三角形的中位线定理，考查的是学生计算能力和分析能力，是中档题.12．若函数()1(ln )2f x a x =-与函数()2g x x =有四个不同的交点，则实数a 的取值（ ）A ．2(0,)2eB ．2(,)2e +∞C ．2(0,2)eD ．2(2,)e +∞【答案】D【解析】设2()()()ln ||2ah x f x g x x a x =-=+-，易知()h x 为偶函数，函数()h x 有四个零点等价于函数()h x 在(0,)+∞内有2个零点，进而分析0a ≤和0a >，对()h x 求导分析单调性，可得()h x 的极值亦是最小值，只要min ()0h x <，即可得到实数a 的取值范围. 【详解】由题意，函数1()ln ||2f x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数2()g x x =有4个不同的交点， 即方程()()f x g x =有4个解， 设2()()()ln ||2ah x f x g x x a x =-=+-， 显然函数()h x 为偶函数，且0x ≠，函数()h x 有四个零点等价于函数()h x 在(0,)+∞内有2个零点.当0x >时，2()ln 2ah x x a x =+-， （1）当0a ≤时，函数的()h x 在(0,)+∞上单调递增，最多只有一个零点，显然不满足题意；（2）当0a >时，22()2a x ah x x x x'-=-=由()0h x '>得x >()0h x '<得0x <<，所以函数()h x 在区间上单调递减，在区间)+∞上单调递增，.所以函数min ()lnh x h a a ==- 又当0x →时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞由函数()h x 在区间(0,)+∞上有两个零点可得，min ()0h x <即ln 02aa a -<， 解之得22a e >. 故选：D . 【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的零点，构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值，考查学生的分析问题的能力和解决问题的能力，是难题.二、填空题13．已知向量a 与b 的夹角为60︒，2a =，3b =，则32a b -=__________． 【答案】6. 【解析】【详解】分析：根据平面向量的数量积与模的计算公式，即可求解答案． 详解：由题意，向量,a b 的夹角为60,2,3a b ==，所以22222(32)9124921223cos604336a b a a b b -=-⋅+=⨯-⨯⨯+⨯=， 所以2326a b -=．点睛：本题主要考查了平面向量数量积与模的计算问题，此类问题的求解，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 14．已知圆C 的圆心是抛物线2 4x y =的焦点，直线43 2 0x y --=与圆C 相交于A B 、两点，且6AB =，则圆C 的标准方程为____【答案】()22110x y +-=【解析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，得圆心以及圆心到直线43 2 0x y --=的距离，根据勾股定理求得圆的半径，则圆的方程可得. 【详解】依题意可知，抛物线的焦点为()0,1， 即圆C 的圆心坐标为()0,1，直线43 2 0x y --=与圆C 相交于A B 、两点，且6AB =，∴1=，∴则所求圆C 的方程为221()10x y +-=. 故答案为：221()10x y +-=. 【点睛】本题主要考查了抛物线的应用，涉及了圆的基本性质，点到直线的距离，数形结合思想等问题，是基础题.15．已知随机变量~(2,)X B p ，2~(2,)Y N σ，若(1)0.64P X ≥=，(02)P Y p <<=，则(4)P Y >=__________．【答案】0.1【解析】∵随机变量服从()~2,X B p ，∴()()202111p 0.64P X C ≥=--=，解得：0.4p =.又()2~2,Y N σ，∴()()()400.5020.1P Y P Y P Y >=<=-<<=故答案为：0.116．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若()()3 1cosA sinB sin A cosB -=+，6a c +=，则ABC ∆的面积的最大值为________【答案】【解析】利用正弦定理得出,,a b c 的关系，利用余弦定理，同角三角函数基本关系式可求得sin B ，利用基本不等式，三角形面积公式即可求解. 【详解】()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+，3sin sin sin cos cos sin sin sin B A A B A B A C =++=+，∴由正弦定理可得：36b a c =+=， ∴解得2b =.6a c +=，6a c ∴=+≥9ac ≤（当且仅当3a c ==时等号成立），2222()2416cos 22a c b a c ac acB ac ac ac +-+---∴===，可得sin B ===11csin 22S a B ac ∴==⨯==仅当3a c ==时等号成立）.故答案为：【点睛】本题主要考查的是正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握正余弦定理是解本题的关键，是中档题.三、解答题17．已知等比数列{}n a 的公比为(1)≠q q ，前n 项和为n S ，满足：42120,2S a =是13a 与3a 的等差中项．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且33n n b log a =． （1）求n a 与n b ;（2）证明：1211112.33n T T T ≤++⋅⋅⋅+< 【答案】（1）3,3nn n a b n ==（2）见解析【解析】（1）设等比数列的公比为q ，利用42120,2S a =是13a 与3a 的等差中项，求出公比和首项，即可求n a ，再根据33n n b log a =即可得到n b ；（2）求出数列{}n b 的前n 项和为n T ，可得数列通项，利用裂项法求数列的和，即可证得结论. 【详解】（1）由题意，设数列{}n a 的公比为(1)≠q q ，依题意得方程组()41211111201223a q q a q a a q⎧-⎪=⎨-⎪⨯=+⎩，解得133q a =⎧⎨=⎩或1301a q =⎧⎨=⎩（舍去）， 1333n n n a -∴=⨯=，333log 3log 33n n n b a n ===.（2）3n b n =，()13133n n b b n n +∴-=+-=，∴数列{}n b 为的等差数列，()()333122n n n n n T ++∴==， 所以()122113131n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 1211121111111322331n T T T n n ⎛⎫∴+++=-+-+++- ⎪+⎝⎭2121313n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭， 令()111f x x =-+，则()()2101f x x '=>+恒成立， ∴函数()f x 单调递增，21131n ⎛⎫∴- ⎪+⎝⎭单调递增，且n 为正整数，所以当1n =时，21131n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭有最小值13， 所以1211112 (33)n T T T ≤+++<. 【点睛】本题考查数列的通项，考查裂项法求数列的和，考查学生分析解决问题的能力，准确利用公式和确定数列的通项是关键，是中档题.18．如图，是一个半圆柱与多面体11ABB AC 构成的几何体，平面ABC 与半圆柱的下底面共面，且AC BC ⊥，P 为弧11A B 上（不与11,A B 重合）的动点.（1）证明：1PA ⊥平面1PBB ；（2）若四边形11ABB A 为正方形，且AC BC =，114PB A π∠=，求二面角11P A B C--的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)55-. 【解析】试题分析：（1）由1BB ⊥平面11PA B ，可得1BB PA ⊥，由11A B 是上底面对应圆的直径，可得11PA PB ⊥，根据线面垂直的判定定理可得1PA ⊥平面1PBB ；（2）以C 为坐标原点，以,CA CB 为,x y 轴，过C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，利用向量垂直数量积为零，列方程组分别求出平面11PA B 与平面11A B C 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得面角11P A B C --的余弦值.试题解析：（1）在半圆柱中，1BB ⊥平面11PA B ，所以1BB PA ⊥. 因为11A B 是上底面对应圆的直径，所以11PA PB ⊥.因为111PB BB B ⋂=，1PB ⊂平面1PBB ，11BB PBB ⊂，所以1PA ⊥平面1PBB . （2）以C 为坐标原点，以,CA CB 为,x y 轴，过C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -.如图所示，设1CB =，则()1,0,0B ，()0,1,0A ，(12A ，(12B ，(2P . 所以(12CA =，(12CB =. 平面11PA B 的一个法向量()10,0,1n =.设平面11CA B 的一个法向量()2,,n x y z =，则2020y z x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1z =，则221y x z ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩所以可取()22,2,1n =--，所以1215cos ,515n n ==⨯.由图可知二面角11P A B C --为钝角，所以所求二面角的余弦值为55-. 【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米以上的进入决赛，把所得的成绩进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知第6组的频数是7.（1）求进入决赛的人数；（2）用样本的频率代替概率，记X 表示两人中进入决赛的人数，求X 得分布列及数学期望.【答案】（1）36人（2）见解析，数学期望为3625【解析】（1）由频率分直方图求出第6小组的频率，从而求出总人数，进而得到第4、5、6组成绩均进入决赛，由此能求出进入决赛的人数.（2）由题意知X 的可能取值为0，1，2，进入决赛的概率为36185025=，从而182,25X B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此能求出X 的分布列及数学期望. 【详解】（1）第6小组的频率为()10.040.100.140.280.300.14-++++=，∴总人数为7500.14=(人). ∴第4,5,6组成绩均进入决赛，人数为()0.280.300.145036⨯++=（人），即进入决赛的人数为36.（2）由题意可知X 的可能取值为0,1,2，进入决赛的概率为36185025=， 182,25XB ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， ()2027********P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()1271825212525624P x C ==⨯=， ()222183********P x C ⎛⎫===⎪⎝⎭，所求分布列为：183622525EX =⨯=，两人中进入决赛的人数的数学期望为3625. 【点睛】本题主要考查的是平率分布直方图的简单应用，考查分布列以及数学期望的求法，考查学生的分析问题的能力和解决问题的能力，考查学生的计算能力，是中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中取两个定点()1A ，)2A ，再取两个动点()10,N m ，()20,N n ，且2mn =.(1)求直线11A N 与22A N 的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过()3,0R 的直线与轨迹C 交于,P Q 两点，过点P 作PN x ⊥轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若()1RP RQ λλ=>，求证：NF FQ λ=【答案】(1)22162x y +=； (2)证明见解析【解析】(1)由直线所过两点可得直线11A N 和22A N 的方程，设(),M x y 为两直线交点，则两方程做乘法整理可得所求轨迹方程；(2)设过R 直线:3l x ty =+及,P Q 坐标，将直线方程与椭圆方程联立整理可得韦达定理的形式；由RP RQ λ=可得()121233x x y y λλ⎧-=-⎨=⎩；通过分析法可知，若要证NF FQ λ=，只需证得11223232x x x x --=---，将等式整理后可知最终只需证得()2121220t y y t y y ++=，将韦达定理的结论代入即可知等式成立，即所证NF FQ λ=成立. 【详解】(1)由题意知，直线11A N的方程为：y x =+…① 直线22A N的方程为：y x =-…② 设(),M x y 是直线11A N 与22A N 的交点，①×②得：()()22216663mn y x x =--=--，整理得：22162x y +=即点M 的轨迹C 的方程为：22162x y +=(2)证明：设过点R 的直线:3l x ty =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,N x y -由223162x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得：()223630t y ty +++=12263t y y t ∴+=-+，12233y y t =+ 由RP RQ λ=得：()121233x x y y λλ⎧-=-⎨=⎩由(1)知：()2,0F ，则要证NF FQ λ=，即证()()11222,2,x y x y λ-=- 只需证()1222x x λ-=-，只需11223232x x x x --=--- 即证()121225120x x x x -++=又()()()2121212123339x x ty ty t y y t y y =++=+++，()12126x x t y y +=++()()21212122618530120t y y t y y t y y ∴+++-+-+=，即()2121220t y y t y y ++= ()221212223622033tt y y t y y t t t t ++=⋅-⋅=++成立 NF FQ λ∴=成立 【点睛】本题考查定点轨迹方程求解、直线与椭圆综合应用中的向量问题的求解；本题证明的关键是能够通过分析法将证等式进行转化，转化为能够利用韦达定理的形式，通过直线与椭圆方程联立得到韦达定理的结果，代入即可证得结论. 21．已知函数21()(1)ln .2f x x ax a x =-+- （1）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a =时，令()()2 22F x f x xln x lnx =-++，是否存在区间()[,,]1m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[,]m n 上的值域为()[()2]2,k m k n ++，若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析（2）不存在，见解析【解析】（1）求出()f x '，分三种情况讨论a 的范围，在定义域范围内，分别令()0f x '>求得x 的范围，可得函数()f x 的增区间，()0f x '<求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）假设存在区间()[,,]1m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[,]m n 上的值域为()[()2]2,k m k n ++，则()()()()22ln 22ln 22F x m m m k m F n n n n k n ⎧=-+=+⎪⎨=-+=+⎪⎩，问题转化为关于x 的方程()222x xlnx k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()21111'x x a a x ax a f x x a x x x-+---+-=-+==， ①11a -=即2a =，则()()21'0x f x x-=≥恒成立，故()f x 在()0,∞+单调递增，②若11a -<，而1a >，故12a <<， 则当()1,1x a ∈-时，()'0f x <；当()0,1x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()'0f x >，故()f x 在()1,1a -单调递减，在()(0,1,1),a -+∞单调递增， ③若11a ->，即2a >，同理()f x 在()1,1-a 单调递减， 在()(,1,)01,a -+∞单调递增.（2）()22F x x xlnx =-+，所以()'21F x x lnx =--，令()()'21x F x x lnx ω==--，则()1'20x xω=->对(1,)x ∀∈+∞恒成立， 所以()F x '在区间(1,)+∞内单调递增， 所以()()''110F x F >=>恒成立， 所以函数()F x 在区间(1,)+∞内单调递增，假设存在区间[],1,()m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()() 2, 2k m k n ++⎡⎤⎣⎦，则()()()()22ln 22ln 22F x m m m k m F n n n n k n ⎧=-+=+⎪⎨=-+=+⎪⎩， 问题转化为关于x 的方程()222x xlnx k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，即222x xln k x x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，令()()2ln 2,1,2x x x h x x x -+=∈+∞+，则()()22342ln 2x x xh x x +--'=+，设()23()42,1,p x x x lnx x =+--∈+∞， 则对()()()212223=0x x p x x x x-+'=+->对()1,x ∀∈+∞恒成立， 所以函数()P x 在区间()1,+∞内单调递增， 故()()10p x p >=恒成立，所以()'0h x >，所以函数()h x 在区间(1,)+∞内单调递增.所以方程2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内不存在两个不相等的实根.综上所述，不存在区间[],1,()m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ++⎡⎤⎣⎦. 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、存在性问题，解决导数综合题时，函数的单调性、极值是解题的基础，在得到单调性的基础上经过分析可使得问题得以解决；对于探索性问题，在求解的过程中可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则说明假设不成立；若无矛盾出现，则说明假设成立，从而说明所证明题成立，考查考生的分类讨论思想、等价转化能力、数学计算能力，是中档题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是1(x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方sin cos 0.m θρθ-+=（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(,0)P m ，直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，1PA PB ⋅=，求实数m 的值． 【答案】（1）()2212x y -+=，)y x m =-（2）1m =0m =或2m =. 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.（2）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系求出结果. 【详解】（1）()22112x x y y αα⎧=+⎪⇒-+=⎨=⎪⎩， 故曲线C 的普通方程为()2212x y -+=.sin y ρθ=，cos x ρθ=，∴直线l)03x m y x m -+=⇒=-. （2）直线l的参数方程可以写为212x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2212x y -+=，可以得到)()222211211202m t t m t m ⎛⎫⎛⎫-+-=+-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 223(1)4[(1)2]0m m =---->,解得11m -<<+所以()212121PA PB t t m ==--=，22211220m m m m ⇒--=⇒--=或220m m -=，解得1m =±0m =或2m =. 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查直线的参数方程的几何意义的应用，是中档题. 23．已知a ，b ，c 为正数，函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|. (1)求不等式f (x )≤10的解集；(2)若f (x )的最小值为m ，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥12. 【答案】(1) {x |－3≤x ≤7} (2) 证明见解析【解析】（1）分段讨论x 的范围，去掉绝对值符号得出不等式的解； （2）求出m 的值，根据基本不等式得出结论． 【详解】解：（1）()|1||5|10f x x x =++-，等价于1(1)(5)10x x x -⎧⎨-+--⎩或15(1)(5)10x x x -<<⎧⎨+--⎩或5(1)(5)10x x x ⎧⎨++-⎩，解得31x --或15x -<<或57x ， 所以不等式()10f x 的解集为{|37}x x -． （2）因为()|1||5||(1)(5)|6f x x x x x =++-+--=，第 21 页 共 21 页 当且仅当(1)(5)0x x +-即15x -时取等号．所以6m =，即6a b c ++=．222a b ab +，222a c ac +，222c b bc +，2222()222a b c ab ac bc ∴++++，22222223()222()36a b c a b c ab ac bc a b c ∴+++++++=++=．22212a b c ∴++．当且仅当2a b c ===时等号成立．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．。

贵州省贵阳市第一中学2020届高三数学上学期第一次适应性考试试题理（扫描版）贵阳第一中学2020届高考适应性月考卷(一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BABDACBDCCAA【解析】1．，故选B ． 2．因为,所以，的共轭复数为，故选A.3．假真，故选B ．4．是奇函数,在区间上为减函数，故选D ． 5．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为，记第二次出现的点数为，基本事件总数有种，事件“”包含的基本事件有，共2个,所以事件“”的概率为，故选A ．6．双曲线的实轴长为8，得，又，所以双曲线的渐近线方程为，故选C ．7．由三视图知该几何体是四棱锥，如图1,则最小三角形面积为,故选B ．8．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，再向左平移个单位，所得函数，故选D ．9．以为邻边作菱形，投影为，故选C ．10．的展开式中的系数为25,即，，设，令,得{2345}M=，，，(1i )|3i |z+=+|13i |22(1i )1i1i (1i )(1i )z +-====-+-+z1i +pqsi n ()y x =-(01)，m n 6636⨯=3m n =(31)，(62)，3m n =213618P ==4a =1b =14y x=±AB C D E -2A B E S =△πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1πs in 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π61πs in 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a b ，A B C D 33c o s 120︒=-5(2)(1)a x x ++2x21552C C 25a +=1a =5234560123456(2)(1)x x a a x a x a x a x a x a x ++=++++++1x =512332a aa a =+++图，故选C ．11．设，由，则，当时，，解得;当时,恒成立,综上知，当时，不等式对成立，故选A ．12．根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在区间上有解，，即,即方程在区间上有解，设函数，其导数，又,在有唯一的极值点，分析可得：当时，,为减函数，当时，，为增函数，故函数有最小值，又由,，比较得,故函数有最大值，故函数在区间上的值域为，若方程在区间上有解,必有，则有，即的取值范围是,故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分) 题号 13 141516答案，13．由线性约束条件画出可行域（如图2所示），由过点时，z 最小,最小值为5。

2020年贵州省贵阳市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.计算：(−3)×5的结果是()A. −15B. 15C. −2D. 22.一个不透明的袋子中装有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别.从袋中随机取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是()A. 3个B. 不足3个C. 4个D. 5个或5个以上3.某地区有38所中学，其中七年级学生共6858名．为了了解该地区七年级学生每天体育锻炼的时间，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题所要经历的几个主要步骤进行排序．①抽样调查；②设计调查问卷；③用样本估计总体；④整理数据；⑤分析数据．其中正确的是()A. ①②③④⑤B. ②①③④⑤C. ②①④③⑤D. ②①④⑤③4.如图，直线AB与CD相交于点O，∠COE=2∠BOE.若∠AOC=120°，则∠DOE等于()A. 135°B. 140°C. 145°D. 150°5.若分式x−1无意义，则()x+2A. x=1B. x=0C. x=−2D. x=1或x=−26.下列图形中，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的是()A. B.C. D.7.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm和8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是()A. 245cmB. 2√5cmC. 485cmD. 5√3cm8.若m>n，下列不等式不一定成立的是()A. m+2>n+2B. 2m>2nC. m2>n2D. m2>n29.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=2，P为AB上一动点，则PD的最小值为()A. 2B. 3C. 4D.无法确定10.若二次函数y=3x2+x−2m的图象与x轴有两个交点，则关于x的一元二次方程3x2+x=2m的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 不能确定二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.计算x(x+1)=________．12.过反比例函数y=k的图象上一点P，作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点M、N，得到的矩形xOMPN的面积为2，若点P的横坐标为1，则点P的坐标为______．213.在“抛掷正六面体”的试验中，如果正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是______．14.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，∠ABD=25°，则∠BAD=______°.15.如图所示，在RtΔABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，BD是∠ABC的平分线，___________．三、解答题（本大题共10小题，共100.0分）16.正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点．(1)在图①中，画一个面积为10的正方形；(2)在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．17.学校开展“书香校园”活动以来，受到了同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如下不完整的统计图表．学生借阅图书的次数统计图学生借阅图书的次数统计表．借阅图书的次数0次1次2次3次4次及以上人数713a103请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：(1)a=，b=;(2)该调查统计数据的中位数是，众数是;(3)请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数;(4)若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．18.已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ECD=∠DBA，∠CED=90°，AF⊥BD于点F．(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；(2)若AB=4，AD=3，求EC的长．19.已知正比例函数y=x和反比例函数y=k的图象都经过点A(3,3)．x(1)直接写出反比例函数的解析式；(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,m)，求平移的距离．20.将背面相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．(1)从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；(2)先从中随机抽取一张卡片(不放回)，将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．21.如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度(精确到0.1米).(参考数据：√3≈1.73)22.某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元．设小明计划今年夏季游泳次数为x(x为正整数)．(1)根据题意，填写下表：(2)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？(3)当x>20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC=CD，过点C作⊙O的切线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．(1)求证：AF⊥EF；(2)若cos∠DAB=4，BE=1，求AD的长．524. 霍邱县三流乡开展产业扶贫，鼓励农民养殖龙虾，去年喜获丰收，今年随着各地龙虾节的火热举办，该乡某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，以16元/kg 的价格，一次性收购了10000kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知这批小龙虾每天需要养殖成本600元．设这批小龙虾放养t 天后的质量为akg ，销售单价为y 元/kg ，根据往年的行情预测，a 与t 的函数关系为a ={10000(0≤t ≤20)100t +8000(20<t ≤50)，y 与t 的函数关系如图所示．(1)求y 与t 间的函数表达式；(2)如果将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元，问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ (总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额−总成本)25.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．(1)求证：EG=CG；(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG.猜想EG和CG的关系，并说明理由.(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问(2)中的结论是否仍然成立？(不要求证明)【答案与解析】1.答案：A解析：解：(−3)×5=−15；故选：A．根据正数与负数相乘的法则得(−3)×5=−15；本题考查有理数的乘法；熟练掌握正数与负数的乘法法则是解题的关键．2.答案：D解析：本题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据取到白球的可能性较大可以判断出白球的数量大于红球的数量，从而得解．解：因为袋中有4个红球，取到白球的可能性较大，所以袋中白球的个数大于红球个数，所以袋中白球的个数可能是5个或5个以上．故选D．3.答案：D解析：此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握调查的过程是解题关键．直接利用调查收集数据的过程与方法分析排序即可．解：解决一个问题所要经历的几个主要步骤为：②设计调查问卷，再①抽样调查；④整理数据；⑤分析数据；③用样本估计总体．所以为：②①④⑤③．故选：D．解析：解：∵∠AOC=120°，∴∠BOC=60°，∵∠COE=2∠BOE，∴∠BOE=20°，∵∠DOB=∠AOC=120°，∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=140°，故选：B．根据邻补角的定义得到∠BOC=60°，求得∠BOE=20°，根据对顶角的性质得到∠DOB=∠AOC= 120°，于是得到结论．本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．5.答案：C无意义，解析：解：∵分式x−1x+2∴x+2=0，则x=−2．故选C．直接利用分式无意义则分母为零进而得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．6.答案：D解析：本题考查了平行投影特点．平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．解：A、影子的方向不相同，错误；B、影子的方向不相同，错误；C、同一时刻树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误；D、影子方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确，7.答案：A解析：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=12AC=3cm，BO=12BD=4cm，AO⊥BO，∴BC=√AO2+BO2=5cm，∴S菱形ABCD =BD·AC2=12×6×8=24cm2，∵S菱形ABCD=BC×AE，∴BC×AE=24，∴AE=245cm，故选A．8.答案：D解析：解：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A一定成立；B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B一定成立；C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C一定成立；D、当0>m>n时，例如m=−1，n=−2，m2>n2不成立，故D不一定成立；故选：D．根据不等式的性质1，可判断A；根据不等式的性质2，可判断B、C；根据反例，可判断D．本题考查了不等式的性质，.“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变解析：本题主要考查了角平分线的画法与性质，垂线段的性质，首先由图形可知AE是∠BAC的平分线，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等和垂线段最短进行求解即可．解：由图可知AE平分∠BAC，∵∠C=90°，CD=2，∴点D到AB的距离为2，∴DP的最小值为2．故选A．10.答案：A解析：解：∵二次函数y=3x2+x−2m的图象与x轴有两个交点，∴当y=0时，3x2+x−2m=0，此时使得3x2+x−2m=0成立的x的值有两个，∴关于x的一元二次方程3x2+x=2m的根的情况是有两个不相等的实数根，故选：A．根据题意和二次函数与一元二次方程之间的关系可以解答本题．本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与一元二次方程的关系解答．11.答案：x2+x解析：本题主要考查了单项式乘多项式，掌握运算法则是解题的关键.根据题意运用单项式乘多项式的运算法则展开即可．解：x(x+1)=x2+x，故答案为x2+x．12.答案：(12,4)或(12,−4)解析：解：设点P的坐标为(12,y)，则12y=k．∵过反比例函数y=kx的图象上一点P，作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点M、N，得到的矩形OMPN 的面积为2，∴|k|=2，∴k=±2，∴12y=±2，∴y=±4，∴点P的坐标为(12,4)或(12,−4)．故答案为(12,4)或(12,−4)．设点P的坐标为(12,y)，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得12y=k.根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|=2，即k=±2，那么12y=±2，求出y=±4，即可得到点P的坐标．本题考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．13.答案：接近16解析：解：如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是接近16．随着试验次数的增多，变化趋势接近与理论上的概率．实验次数越多，出现某个数的变化趋势越接近于它所占总数的概率．14.答案：95解析：根据等边三角形的性质得到∠ACB=60°，根据圆周角定理得到∠ACD=∠ABD=25°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠BAD的度数．本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和等边三角形的性质．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠ACD=∠ABD=25°，∴∠BCD=60°+25°=85°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BAD=180°−85°=95°．故答案为95．15.答案：12解析：本题主要考查的是勾股定理，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义的有关知识，先利用三角形内角和定理得到∠ABC=60°，再利用角平分线的定义和等腰三角形的判定及性质得到AD=BD，最后利用勾股定理求解即可．解：∵∠C=90∘，∠A=30∘，AC=18，∴AB=2BC，∵AC2+BC2=AB2，∴182+BC2=4BC2，解得：BC2=108，∴∠ABC=180°−90°−30°=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=30°，∴∠A=∠ABD，∴AD=BD，∴DC=AC−AD=18−AD，在Rt△ADC中BC2+CD2=BD2，∴108+(18−AD)2=AD2，解得：AD=12．故答案为12．∴16.答案：解：(1)如图①所示：(2)如图图②、图③所示．解析：此题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，无理数的定义，利用勾股定理画图，关键是计算出所画图形的边长是直角边长为多少的直角三角形的斜边长．(1)根据正方形的面积为10可得正方形边长为√10，画一个边长为√10正方形即可；(2)①画一个边长为√2，2√2，√10的直角三角形即可；②画一个边长为√5，√5，√10的直角三角形即可．17.答案：解：(1)∵被调查的总人数为13÷26%=50人，×100%=20%，即b=20，∴a=50−(7+13+10+3)=17，b%=1050故答案为17；20；(2)由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均为2次，所以中位数为2次，出现次数最多的是2次，所以众数为2次，故答案为2次；2次；(3)扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360°×20%=72°；=120人．(4)估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为2000×350解析：本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．(1)先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；(2)根据中位数和众数的定义求解；(3)用360°乘以“3次”对应的百分比即可得；(4)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．18.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，DC=AB，DC//AB，∴∠CDF=∠DBA．∵AF⊥BD于点F，∠CED=90°，∴∠BFA=∠CED=90°．又∵∠ECD=∠DBA，∴∠CDF=∠ECD，∴EC//BF，在△ECD和△FBA中，{∠CED=∠BFA∠ECD=∠FBACD=BA,∴△ECD≌△FBA(AAS)，∴EC=BF，又∵EC//BF，∴四边形BCEF是平行四边形；(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AB=4，AD=3，∴BD=√AB2+AD2=5，∵AF⊥BD，∴∠AFB=90°=∠BAD，∴S△ABD=12AD·AB=12AF·BD，∴AD·AB=AF·BD，∴3×4=5·AF，解得：AF=125，∴BF=√AB2−AF2=√42−(125)2=165，∵四边形BCEF是平行四边形，∴EC=BF=165．解析：本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．(1)由矩形的性质得出∠BAD=90°，DC=AB，DC//AB，得出∠CDF=∠DBA，证出∠BFA=∠CED= 90°，∠CDF=∠ECD得到EC//BF，证明△ECD≌△FBA，得出EC=BF，即可得出结论；(2)由勾股定理得出BD=√AB2+AD2=5，再用面积法求出AF，然后用勾股定理求出BF的长，即可得出CE的长．19.答案：解：(1)y=9x；(2)点B(6,m)在反比例函数的图象上，m=1.5，平移后的直线的解析式为y=x+b，y=x+b的图象过点B，把B的坐标代入得：1.5=6+b，解得：b=−4.5，∴平移的距离为4.5．解析：(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式求出即可；(2)把B的坐标代入反比例函数的解析式求出B的坐标，设平移后的直线的解析式为y=x+b，把B 的坐标代入求出即可．本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．20.答案：解：(1)P(偶数)=24=12；(2)树状图为：或列表法为：第一次第二次1 2 3 4 1− 21 31 412 12− 32 423 13 23− 434 14 2434 −所以P(4的倍数)=312=14．解析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.答案：解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，∴DE=50，CE=50√3，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=x则AF=AB−BF=AB−DE=x−50DF=BE=BC+CE=x+50√3，在Rt△AFD中，∠ADF=30°，tan30°=AFFD，∴x+50√3=√33，∴x=50(3+√3)≈236.5，经检验：x=50(3+√3)是原分式方程的解．答：山AB的高度约为236.5米解析：易证△ABC是等腰直角三角形，直角△CDE中已知边CD和∠DCE=30°则可以得到CE和DE 的长度，设BC=x，则AF和DF即可用含x的代数式表示出来，在直角△AFD中利用三角函数即可得到一个关于x的方程，即可求得x的值．本题主要考查了解直角三角形，要求学生能借助仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．22.答案：解：(1)200，100+5x，180，9x；(2)方式一：令100+5x=270，解得：x=34，方式二：令9x=270，解得：x=30；∵34>30，∴选择方式一付费方式，他游泳的次数比较多；(3)令100+5x<9x，得x>25，令100+5x=9x，得x=25，令100+5x>9x，得x<25，∴当20<x<25时，小明选择方式二的付费方式，当x=25时，小明选择两种付费方式一样，但x>25时，小明选择方式一的付费方式．解析：本题考查一次函数的应用、列代数式、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．(1)根据题意可以将表格中空缺的部分补充完整；(2)根据题意可以求得当费用为270元时，两种方式下的游泳次数；(3)根据题意可以计算出x在什么范围内，哪种付费更合算．解：(1)当x=20时，方式一的总费用为：100+20×5=200，方式二的费用为：20×9=180，当游泳次数为x时，方式一费用为：100+5x，方式二的费用为：9x，故答案为200，100+5x，180，9x；(2)见答案；(3)见答案．23.答案：(1)证明：连接OC，如图，∵CD=BD，∴CD⏜=BC⏜，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠2=∠OCA，∴∠1=∠OCA，∴OC//AF，∵EF为切线，∴OC⊥EF，∴AF⊥EF；(2)解：∵OC//AF，∴∠COE=∠DAB，在Rt△OCE中，设OC=r，∵cos∠COE=cos∠DAB=OCOE =45，即rr+1=45，解得r=4，连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，cos∠DAB=ADAB =45，∴AD =45×8=325．解析：【试题解析】(1)连接OC ，如图，先证明OC//AF ，再根据切线的性质得OC ⊥EF ，从而得到AF ⊥EF ；(2)先利用OC//AF 得到∠COE =∠DAB ，在Rt △OCE 中，设OC =r ，利用余弦的定义得到r r+1=45，解得r =4，连接BD ，如图，根据圆周角定理得到∠ADB =90°，然后根据余弦的定义可计算出AD 的长．本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和解直角三角形．24.答案：解(1)①当0≤t ≤20时，设y =k 1t +b 1，由图象得{b 1=1620k 1+b 1=28解得{k 1=35b 1=16 ∴y =35t +16；②当20<t ≤50时，设y =k 2t +b 2，由图象得{20k 2+b 2=2850k 2+b 2=22解得{k 2=−15b 2=32 ∴y =−15t +32． 综上，y ={35t +16(0≤t ≤20)−15t +32(20<t ≤50)， (2)由题意可得：W =ya −600t −160000．①当0≤t ≤20时，W =10000(35t +16)−600t −160000=5400t∵5400>0∴当t =20时，W 最大=5400×20=108000．②当20<t ≤50时，W =(−15t +32)(100t +8000)−600t −160000=−20t 2+1000t +96000=−20(t −25)2+108500∵−20<0，抛物线的开口向下，∴当t =25时，W 最大=108500．∵108500>108000，∴当t=25时，W取得最大值，该最大值为108500元．解析：(1)根据图象，分类讨论利用待定系数法求出y与t的解析式即可；(2)表示出W与t的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．此题考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．25.答案：证明：(1)如图①，在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，FD，∴CG=12在Rt△DEF中，∵G为DF的中点，∴EG=1FD，2∴CG=EG；(2)如图②，猜想EG=CG，且EG⊥CG．理由：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．∴∠AMG=∠DMG=90°．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC=AB，∠ADG=∠CDG，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．在△DAG和△DCG中，{AD=CD∠ADG=∠CDG DG=DG，∴△DAG≌△DCG(SAS)，∴AG=CG，∠GCD=∠MAG．∵G为DF的中点，∴GD=GF．∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠BEF=∠BAD，∴AD//EF，∴∠N=∠DMG=90°．在△DMG和△FNG中，{∠DGM=∠FGN FG=DG∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG(ASA)，∴MG=NG．∵∠DAB=∠AMG=∠N=90°，∴四边形AENM是矩形，∠CGN=∠GCD=∠MAG ∴AM=EN，∠AGM+∠CGN=90°，在△AMG和△ENG中，{AM=EN∠AMG=∠ENG MG=NG，∴△AMG≌△ENG(SAS)，∴AG=EG，∠AGM=∠EGN，∴EG=CG，又∵∠AGM+∠CGN=90°，∴∠EGN+∠CGN=90°，即：EG⊥CG，综上所述EG=CG，且EG⊥CG．(3)如图③，(2)中的结论仍然成立．理由：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN⊥AB于N．∵MF//CD，∴∠FMG=∠DCG，∠MFD=∠CDG.∠AQF=∠ADC=90°∵FN⊥AB，∴∠FNH=∠ANF=90°．∵G为FD中点，∴GD=GF．在△MFG和△CDG中{∠FMG=DCG∠MFD=∠CDG GF=GD，∴△CDG≌△MFG(AAS)，∴CD=FM.MG=CG．∴MF=AB．∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°．∵∠NHF+∠HNF+∠NFH=∠BEF+∠EHB+∠EBH=180°，∴∠NFH=∠EBH．∵∠A=∠ANF=∠AMF=90°，∴四边形ANFQ是矩形，∴∠MFN=90°．∴∠MFN=∠CBN，∴∠MFN+∠NFE=∠CBN+∠EBH，∴∠MFE=∠CBE．在△EFM和△EBC中{MF=AB∠MFE=CBE EF=EB，∴△EFM≌△EBC(SAS)，∴ME=CE.，∠FEM=∠BEC，∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG．解析：本题考查了正方形的性质的运用，矩形的判定就性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．(2)结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG且EG⊥CG..(3)结论依然成立．过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB 于N.由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC，得出△MEC是等腰直角三角形，就可以得出结论．。

2020年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设设集合A={1，2，3}，B={x|x2-2x+m=0}，若A∩B={2}，则B=（）A. {0}B. {2}C. {1}D. {0，2}2.复数z=2+ai（a∈R）的共轭复数为，若z•=5，则a=（）A. ±1B. ±3C. 1或3D. -1或-33.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A. y=x3B. y=|x-1|C. y=|x|-1D. y=2x4.已知{a n}为递增的等差数列，a4+a7=2，a5•a6=-8，则公差d=（）A. 6B. -6C. -2D. 45.若双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.6.设a=log32，b=log23，c=5，则a，b，c的大小关系是（）A. a＞c＞bB. b＞c＞aC. c＞b＞aD. c＞a＞b7.执行如图的程序框图，如果输出的S=3，则输入的t=（）A. -1B. -3C. 1或3D. 1或-38.平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，AC=4，则BD=（）A. 4B.C.D.9.等比数列{a n}的前n项和S n=a•2n+1（n∈N*），其中a是常数，则a=（）A. -2B. -1C. 1D. 210.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A. AB∥mB. AC⊥mC. AB∥βD. AC⊥β11.已知点F1，F2分别是椭圆E：=1的左、右焦点，P为E上一点，直线l为∠F1PF2的外角平分线，过点F2作l的垂线，交F1P的延长线于M，则|F1M|=（）A. 10B. 8C. 6D. 412.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（a-x），若函数y=|x2-ax-5|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），且=2m，则a=（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.向量，是相互垂直的单位向量，若向量=2+3，=-m（m∈R），•=1，则m=______．14.曲线y=xe x+x+1在点（0，1）处的切线方程为______．15.三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA=3，SB=4，SC=5，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为______．16.已知直线l：x+y-6=0，过直线上一点P作圆x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB面积的最小值为______，此时四边形PAOB外接圆的方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=b cos C+c sin B．（1）求B；（2）求y=sin A-sin C的取值范围．18.运动健康已成为大家越来越关心的话题，某公司开发的一个类似计步数据库的公众号．手机用户可以通过关注该公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK和点赞．现从张华的好友中随机选取40人（男、女各20人），步数0～20002001～50005001～80008001～10000＞10000性别男12476女03962（1）若某人一天行走的步数超过8000步被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，根据题意完成下列2×2列联表，并据此判断能否有90％的把握认为男、女的“评定类型”有差异？积极型懈怠型总计男女总计（2）在张华的这40位好友中，从该天行走的步数不超过5000步的人中随机抽取2人，设抽取的女性有X人，求X＝1时的概率．参公式与数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828，其中n＝a＋b＋c＋d．19.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，点M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面△ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）求点C到平面BDM的距离．20.如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线G；x=a2上的射影依次为点D、K、E，若抛物线x2=4y的焦点为椭圆C的顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L交y轴于点M，=λ1，=λ2，当M变化时，求λ1+λ2的值．21.已知函数f（x）=ax2+（a-2）ln x+1（a∈R）．（1）若函数在点（1，f（1））处的切线平行于直线y=4x+3，求a的值；（2）令c（x）=f（x）+（3-a）ln x+2a，讨论c（x）的单调性；（3）a=1时，函数y=f（x）图象上的所有点都落在区域内，求实数t的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的方程为（x-1）2+（y-1）2=2．（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）直线θ=β（0＜β＜π）与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|的最大值．23.已知函数f（x）=|2x+1|-|2x-3|，g（x）=|x+1|+|x-a|．（l）求f（x）≥1的解集；（2）若对任意的t∈R，s∈R，都有g（s）≥f（t）．求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】考查交集的定义及运算，描述法、列举法的定义，以及元素与集合的关系．根据A∩B={2}即可得出2∈B，从而可求出m=0，解方程x2-2x=0得，x=0或2，从而得出B={0，2}．【解答】解：∵A∩B={2}；∴2∈B；∴4-4+m=0；∴m=0；∴B={x|x2-2x=0}={0，2}．故选：D．2.答案：A解析：解：∵z=2+ai，∴z•=，即a=±1．故选：A．由已知结合列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x3为幂函数，是奇函数，不符合题意，对于B，y=|x-1|，不是奇函数，不符合题意；对于C，y=|x|-1=，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数，符合题意；对于D，y=2x，为指数函数，不是偶函数，不符合题意；故选：C．4.答案：A解析：解：∵{a n}为递增的等差数列，且a4+a7=2，a5•a6=-8，∴a5+a6=2，∴a5，a6是方程x2-2x-8=0的两个根，且a5＜a6，∴a5=-2，a6=4，∴d=a6-a5=6，故选：A．a5，a6是方程x2-2x-8=0的两个根，且a5＜a6，求解方程得答案．本题考查等差数列的通项公式，考查方程的解法，是基础的计算题．5.答案：D解析：解：由题意，=1∴双曲线的离心率e===．故选：D．根据双曲线的渐近线方程，可得a，b的关系，利用e==，即可求得结论．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：log32＜log33=1，1=log22＜log23＜log24=2，；∴c＞b＞a．故选：C．可以得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、幂函数的单调性，以及增函数的定义，对数的运算．7.答案：C解析：解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=的值，由于输出的S=3，则当t≥1时，可得：4t-t2=3，解得：t=3，或1，当t＜1时，可得：3t=3，解得t=1（舍去）．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=的值，根据S的值，分类讨论即可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.答案：B解析：解：如图所示：平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，AC=4，则：在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=4，利用余弦定理：=，故：，则：BD2=AD2+AB2-2•AD•AB•cos∠DAB，解得：BD=．故选：B．直接利用余弦定理求出，进一步利用余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.答案：B解析：解：n=1时，a1=S1=2a+1．n≥2时，a n=S n-S n-1=a•2n+1-（a•2n-1+1），化为：a n=a•2n-1，对于上式n=1时也成立，∴2a+1=a，解得a=-1．故选：B．n=1时，a1=S1=2a+1．n≥2时，a n=S n-S n-1，对于上式n=1时也成立，解得a．本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：D解析：解：如图所示AB∥l∥m；A对AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B对AB∥l⇒AB∥β，C对对于D，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直；故错．故选：D．利用图形可得AB∥l∥m；A对再由AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B对又AB∥l⇒AB∥β，C对AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直，所以D不一定成立．高考考点：线面平行、线面垂直的有关知识及应用易错点：对有关定理理解不到位而出错．全品备考提示：线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点，要重点掌握11.答案：A解析：【分析】本题考查椭圆的定义，以及等腰三角形的性质，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．由题意可得三角形PMF2为等腰三角形，|PM|=|PF2|，运用椭圆的定义，计算可得所求值．【解答】解：如图：由直线l为∠F1PF2的外角平分线，l⊥F2M，可得|PM|=|PF2|，而椭圆E：=1的a=5，2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10，故选：A．12.答案：D解析：【分析】本题考查了函数的图象对称关系，函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．求出f（x）的对称轴，y=|x2-ax-5|的图象的对称轴，根据两图象的对称关系，求和，解方程可得所求值．【解答】解：∵f（x）=f（a-x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，又y=|x2-ax-5|的图象关于直线x=对称，当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线对称，∴x1+x2+x3+…+x m=•a=2m，解得a=4．当m奇数时，两图象的交点有m-1个两两对称，另一个交点在对称轴上，∴x1+x2+x3+…+x m=a•+=2m．解得a=4．故选：D．13.答案：解析：解：∵•=（2+3）•（-m）=22-3m2+（3-2m）•=2-3m又已知•=1，所以2-3m=1，解得m=故答案为：．利用向量数量积的性质运算得到•，与已知相等，列式解得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．14.答案：2x-y+1=0解析：解：y=xe x+x+1的导数为y′=（1+x）e x+1，可得曲线在点（0，1）处的切线斜率为1+1=2，则曲线在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1．故答案为：2x-y+1=0．求得函数y的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程即可得到所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.答案：50π解析：解：由SA，SB，SC两两垂直，联想长方体，利用长方体外接球直径为其体对角线长可得球直径为=，∴=50π，故答案为：50π．利用三线垂直联想长方体，结合长方体外接球直径为其体对角线长，容易求解．此题考查了三棱锥外接球问题，难度不大．16.答案：2（x-）2+（y-）2=解析：解：圆x2+y2=4的半径为2，圆心为（0，0），由切线性质可知OA⊥AP，∴AP=，又△OAP的面积S==，∴当OP取得最小值时，△OAP的面积取得最小值，又OP的最小值为O到直线l的距离d==3．∴四边形PAOB面积的最小值为：2S△OAP=2=2．此时，四边形PAOB外接圆直径为d=3．∵OP⊥直线l，∴直线OP的方程为x-y=0．联立方程组，解得P（3，3），∴OP的中点为（，），∴四边形PAOB外接圆的方程为（x-）2+（y-）2=．故答案为：2，（x-）2+（y-）2=．求出O到直线l的最短距离即可得出四边形的最小面积，求出此时P的坐标，得出OP 的中点坐标，从而得出外接圆方程．本题考查了圆的切线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．17.答案：（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得：sin A=sin B cos C+sin C sin B，即sin（B+C）=sin B cos C+sin C sin B，故 cos B sin C=sin C sin B，因为 sin C≠0，所以 cos B=sin B，因为 0＜B＜π，所以B=；………………………………………………………（6分）（2）因为B=，所以y=sin A-sin C=sin（-C）-sin C=sin cos C-cos sin C=cos C，又因为0＜C＜，且y=cos C在（0，）上单调递减，所以y=sin A-sin C的取值范围是（-，）．………………………………（12分）解析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cos B sin C=sin C sin B，由sin C≠0，可求cos B=sin B，结合范围0＜B＜π，可求B的值．（2）由B=，利用三角函数恒等变换的应用可求y=cos C，由0＜C＜，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：解：（1）由题意可得列联表积极型懈怠型总计男13720女81220总计211940K2=≈2.506＜2.706，因此，没有90%的把握认为男、女的“评定类型”有差异；（2）该天行走的步数不超过5000步的人有3男3女共6人，设男生为A、B、C，女生为a，b，c，A B C a b cA AB AC Aa Ab AcB BC Ba Bb BcC Ca Cb Cca ab acb bcc由图表可知：所有的基本事件个数n =15，事件“X=1”包含的基本事件个数N=9，所以P（X=1）==.解析：本题考查了独立性检验，属中档题．（1）先得2×2列联表，再根据列联表计算K2的观测值，并结合临界值表可得；（2）用列举法列举出所有基本事件的种数以及x=1包含的基本事件后根据古典概型的概率公式可得．19.答案：（1）证明：取AM中点O，连结DO，因为平面ADM⊥平面ABCM，AD=DM，所以OD⊥平面ABCM，DO⊥BM，易知AM⊥BM，所以MB⊥平面ADM，所以BM⊥AD；（2）解：∵在矩形ADCB中，AB=2BC=2，点M为DC的中点，∴DM=CM=，BM=AM==，DO=，由（1）知MB⊥平面ADM，DM⊂平面ADM，∴BM⊥DM，S△BDM=．，又∵DO⊥平面ABCM，∴×=．，记点C到平面BDM的距离为h，∴V C-BDM═，又∵v D-BCM=V C-BDM∴，解得h=，∴点C到平面BDM的距离为．解析：（1）取AM中点O，连结DO，可得DO⊥BM，AM⊥BM，MB⊥平面ADM，即可得BM⊥AD；（2）×=．，记点C到平面BDM的距离为h，V C-BDM═，又v D-BCM=V C-BDM，即可得点C到平面BDM的距离．本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，点线面距离的求法，考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：解：（1）抛物线x2=4y的焦点为（0，），且为椭圆C的上顶点∴b=，∴b2=3，又F（1，0），∴c=1，a2=b2+c2=4．∴椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线x=my+1代入椭圆方程，整理可得：（3m2+4）y2+6my-9=0，故△=144（m2+1）＞0．∴y1+y2=-，y1y2=-∴∵=λ1，∴（x1，y1+）=λ1（1-x1，-y1）．∴λ1=-1-．同理λ2=-1-∴λ1+λ2=-2-（）=-．解析：（1）求出抛物线的焦点，可得b的值，结合F的坐标，即可确定椭圆的方程；（2）直线x=my+1代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可求λ1+λ2的值．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交，考查向量知识的运用，联立方程组，利用韦达定理解题是解题的关键．21.答案：解：函数的定义域为（0，+∞），（1）f′（x）=2ax+，由题意f′（1）=4，所以2a+（a-2）=4，解之得：a=2………………………………………………………………（4分）（2）由已知c（x）=ax2+ln x+2a+1，则c′（x）2ax+=，当a≥0，则当x∈（0，+∞）时，有c′（x）＞0，故c（x）在x∈（0，+∞）上单调递增；当a＜0，则当x∈（0，）时有c′（x）＞0，当x∈（，+∞））时有c′（x）＜0，故c（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减；……………（8分）（3）a=1时，f（x）=x2-ln x+1，即当x＞0时恒有x2-ln x+1≥tx-x2，又x∈（0，+∞），整理得：t≤2x-+，令g（x）=2x-+，则g′（x）=2--=，令h（x）=2x2+ln x-2，由h′（x）=4x+＞0恒成立，即h（x）=2x2+ln x-2在（0，+∞）上单调递增，且h（1）=0，则g′（1）=0，所以x∈（0，1）时h（x）＜0，x∈（1，+∞）时h（x）＞0，所以x∈（0，1）时g′（x）＜0，此时y=g（x）单调递减，x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，此时y=g（x）单调递增，所以g（x）≥g（1）=3，所以t≤3；………………………………………………………………（12分）解析：（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（3）代入a的值，整理得：t≤2x-+，令g（x）=2x-+，根据函数的单调性求出t的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.答案：解：（1）由曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为：x2+（y-2）2=4．①将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入①，化简得：ρ=4sinθ，即C1的极坐标方程为ρ=4sinθ；将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入C2的方程（x-1）2+（y-1）2=2，得ρ=2cosθ+2sinθ，化简得，即C2的极坐标方程为；（2）由极径的几何意义，|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sinβ-2cosβ-2sinβ|=，当时，，所以：|AB|的最大值为．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程进行转化．（2）利用极径对三角函数关系式进行恒等变换，利用正弦型函数的性质的应用求出结果．23.答案：解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|-|2x-3|，故f（x）≥1，等价于|2x+1|-|2x-3|≥1，令2x+1=0，解得x=-，令2x-3=0，解得x=，则：不等式等价于：，或，或．解①求得x∈∅，解②求得，解③求得x．综上可得，不等式的解集为{x|}．（2）若对任意的t∈R，s∈R，都有g（s）≥f（t），可得g（x）min≥f（x）max，∵函数f（x）=|2x+1|-|2x-3|≤|2x+1-2x+3|=4，∴f（x）max=4．∵g（x）=|x+1|+|x-a|≥|x+1-x+a|=|a+1|，故g（x）min=|a+1|，∴|a+1|≥4，∴a+1≥4或a+1≤-4，求得a≥3或a≤-5．故所求的a的范围为{a|a≥3或a≤-5}．解析：（1）首先利用零点讨论法求出在不同范围内的不等式组，进一步解不等式组求出结论．直接根据函数的恒成立问题进一步建立，对任意的t∈R，s∈R，都有g（s）≥f（t），可得g（x）min≥f（x）max，进一步求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法，零点讨论法的应用，利用恒成立问题求参数的取值范围问题．。

贵阳第一中学2020届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{2345}M=，，，，故选B．2．因为(1i)|1|z+=+，所以22(1i)1i1i(1i)(1i)z-====-+-+，z的共轭复数为1i+，故选A.3．p假q真，故选B．4．sin()y x=-是奇函数，在区间(01)，上为减函数，故选D．5．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具)先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，基本事件总数有6636⨯=种，事件“3m n=”包含的基本事件有(31)，，(62)，共2个，所以事件“3m n=”的概率为213618P==，故选A．6．双曲线的实轴长为8，得4a=，又1b=，所以双曲线的渐近线方程为14y x=±，故选C．7．由三视图知该几何体是四棱锥A BCDE-，如图1，则最小三角形面积为ABES=△B．8．将函数πsin6y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得1πsin26y x⎛⎫=+⎪⎝⎭，再向左平移π6个单位，所得函数1πsin24y x⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选D．9．以a b，为邻边作菱形ABCD︒=C．10．5(2)(1)ax x++的展开式中2x的系数为25，即21552C C25a+=，1a=，设523450123456(2)(1)x x a a x a x a x a x a x a x++=++++++，令1x=，得5012332a a a a=+++ 45696a a a+++=，故选C．图111．设1ln t x x =+，由211e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则2[1e 2]t ∈-，，当2e 12m -≤时，2max ||e 2t m m -=-- e m +≤，解得2e e 22m --≥；当2e 12m ->时，max ||1e t m m m -=-+≤恒成立，综上知，当2e e 22m --≥时，不等式1ln e x m m x +-+≤对211e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，成立，故选A ． 12．根据题意，若函数2()1f x x a =-++1e e e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤，是自然对数的底数与()2ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程212ln x a x -++=-在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解，212ln x a x -++=-，即212ln a x x +=-，即方程212ln a x x +=-在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解，设函数2()2ln h x x x =-，其导数222(1)()2x h x x x x -'=-=，又1e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，()0h x '=在1x =有唯一的极值点，分析可得：当11ex ≤≤时，()0h x '≤，()h x 为减函数，当1e x ≤≤时，()0h x '≥，()h x 为增函数，故函数2()2ln h x x x =-有最小值(1)1h =，又由221e e1h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2(e)e 2h =-，比较得)1e (e h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故函数2()2ln h x x x =-有最大值2(e)e 2h =-，故函数2()2ln h x x x =-在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域为2[1e 2]-，，若方程212ln a x x +=-在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解，必有211e 2a +-≤≤，则有20e 3a -≤≤，即a 的取值范围是2[0e 3]-，，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由线性约束条件画出可行域（如图2所示），由23z x y =+，过点(11)A ，时，z 最小，最小值为5.14．圆的方程为22(1)(2)16x y ++-=，故直线过圆心，22201a b a b --+=+=，，1111()=a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 2 4.b a a b++≥ 15．()e e x x f x a -'=-且()f x '是偶函数，1a =-.设切点为00()x y ，，图2则0005()e e 2x x f x -'=+=，解得0ln 2x =或0ln 2x =-. 16．如图3，由抛物线定义和3FP FQ =，得||243MQ =，8||||3FQ MQ ==. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）1()2cos 2sin 226f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 令222()6k x k k ππππ-+π+∈22Z ≤≤， ()f x 的单调递增区间为()6k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥3⎣⎦Z ，. ………………………………（6分） （2）由1()2f A =，得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 522266666A A A ππππππ<+<π++==3∵，∴，∴. 由b a c ，，成等差数列，得2a b c =+，9AB AC =∵，cos 9bc A =∴，18bc =∴，由余弦定理，得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，224318a a =-⨯∴，a =∴. ………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）当[100130)X ∈，时，800200(130)100026000T X X X =--=-；当[130150]X ∈，时，800130104000T =⨯=，所以100026000100130104000130150.X X T X -<⎧=⎨⎩，≤，，≤≤ ………………………………（4分） （2）由（1）知利润T 不少于94000元，当且仅当120150X ≤≤.由直方图知需求量[120150]X ∈，的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于94000元的概率的估计值为0.7. …………（8分）（3）依题意可得T 的分布列为图3所以()790000.1890000.2990000.31040000.497000E T =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：2AF AB ==∵，BF =222AF AB BF +=∴，90FAB ∠=︒∴，即AF AB ⊥.//AF DE ∵，//AB CD ，∴DE DC ⊥.∵四边形AFED 为直角梯形，AF AD ⊥，DE AD ⊥∴，DE ⊥∴平面ABCD ，DE AC ⊥∴，①由已知得，四边形ABCD 为菱形，AC BD ⊥∴，②由①②，且DE BD D =，AC ⊥∴平面BDE ，AC BE ⊥∴. ………………………………………（6分） （2）解：设AC BD O =，如图4，连接OE .由（1）AC ⊥平面BDE ，OE ∴是EC 在平面BDE 内的射影， EC ∴与平面BDE 所成的角为CEO ∠.//AF DE ∵，AF ⊄平面DCE ，DE ⊂平面DCE ， //AF ∴平面DCE ，∴点F 到平面DCE 的距离等于点A 到平面DCE 的距离.在平面ABCD 内作AH CD ⊥，交CD 延长线于H ，∵平面ABCD ⊥平面DCE ，AH ⊥∴平面DCE ，AH =∴（或转化为点B 到平面DCE 的距离）图42AD =∵，60ADH ∠=︒∴，∴在菱形ABCD 中，60BDC ∠=︒，OC ==∴在Rt DEC △中，EC =sin OC OEC CE ∠===∴， EC ∴与平面BDE. ……………………………………（12分） 20．（本小题满分12分） 解：（1）()f x 的定义域是(0)+∞，，211()x f x x x x-+'=-+=，令()0f x '=， 则1211x x ==-，（舍去），当(01)x ∈，时，()0f x '>，故()f x 在(01)，上是增函数； 当(1)x ∈+∞，时，()0f x '<，故()f x 在(1)+∞，上是减函数. ……………………（4分）（2）①当0a ≥时，()f x 在(0)+∞，上是增函数，故在(01]，上的最大值是1(1)32f a ==-，显然不合题意；②若01a <⎧，， 即10a -<≤时，(01]0⎛⊆ ⎝，，则()f x 在(01]，上是增函数， 故在(01]，上的最大值是1(1)32f a ==-，不合题意，舍去；③若01a <⎧<，， 即1a <-时，()f x在0⎛ ⎝上是增函数，在1⎫⎪⎪⎭上是减函数，故在(01]，上的最大值是132f =-+=-，解得5e a =-，符合， 综合①，②，③，得5e a =-. ………………………………………………（8分）（3）2()(1)ln 1g x a x ax =+++，则2121()2a ax a g x ax x x +++'=+=， 当2a -≤时，()0g x '<，故2a -≤时，()g x 在(0)+∞，上是减函数， 不妨设210x x >≥，则21()()g x g x ≤，故1212|()()|||g x g x k x x --≥等价于1221()()()g x g x k x x --≥， 即1122()()g x kx g x kx ++≥，记()()x g x kx ϕ=+，从而()x ϕ在(0)+∞，上为减函数，由2()(1)ln 1x a x ax kx ϕ=++++，得221()0ax kx a x xϕ+++'=≤， 故(1)2a k ax x -+-+≤恒成立，(1)2a ax x-+-+∵≥()2(1)h a a a =+在(2]-∞-，上单调递减，(1)()(2)424a h a h ax x -+-=-+∴≥，∴≥，4k ∴≤. 故当2a -≤时，k 的最大值为4. ………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）由题意知11a c a c +=-=和， 又222a b c =+，可解得b =，1c =，a = 所以椭圆的方程为22132x y +=. ………………………………………………（4分） （2）由（1）可知(10)F -，，则直线CD 的方程为(1)y k x =+， 联立22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 消去y 得2222(23)6360k x k x k +++-=.设1122()()C x y D x y ，，，， 所以221212226362323k k x x x x k k -+=-=++，.又(0)0)A B ，，所以AC DB AD CB +11222211()(3)(3)(3)x y x y x y x y =+--++--，，， 1212622x x y y =--21212622(1)(1)x x k x x =--++22212126(22)2()2k x x k x x k =-+-+-2221261023k k +=+=+，解得k = 从而1234x x +=-，1232x x =-，所以12||x x -=1212|||()|y y k x x -=-=， 所以OCD △的面积为121211|||||()|22S OF y y k x x =-=-=. …………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由直线l的参数方程为1()x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，，消去参数t ，可得10x -=． 圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，即24cos ρρθ=-． ∴圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++=．则圆心(20)C -，．∴圆心(20)C -，到直线l 的距离|21|322d --==. ………………………………（5分） （2）已知(10)P ，，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，将1()x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，，代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=，得2450t ++=． 设A ，B 对应参数为1t ，2t，则121254t t t t +==g ，12120t t t t >∵，，是同号．121111||||2||2||PA PB t t +=+=∴ …………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）由()5f x >，得|3|2x ->，即32x -<-或32x ->，1x <∴或5x >，故原不等式的解集为{|15}x x x <>或． …………………………………（5分）（2）由()()f x g x ≥，得|3|||3x m x --≥对任意x ∈R 恒成立， 当0x =时，不等式|3|||3x m x --≥成立， 当0x ≠时，问题等价于|3|3||x m x -+≤对任意非零实数恒成立， |3|3|33|1||||x x x x -+-+=∵≥， 1m ∴≤，即m 的取值范围是(1]-∞，． …………………………………………（10分）。