【名师点拨】2014-2015学年高中数学第三章函数的应用过关测试卷新人教a版必修1

模块质量检测(一)一、选择题(木大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项屮，只有一项是符合题口要求的)1.设U=R, A={x|x>0}, B= {x|x>l},则AnCuB=( )A{x|0<x<l} B. {x|0<x<l}C. {x x<0}D. {x x>l}【解析】CiB={x|x<l}, /.AnCuB={x|0<x<l}.故选B?【答案】B2.若函数y=f (x)是函数y=a x(a>0,且aHl)的反函数,且f (2)=1,则f(x) =( )A. log2xB. 12xC. Iogl2xD. 2X_2⑵=1,【解析】f(x)=log“x, Tf?\log;12=l,?\a=2.A f (x) =log2x,故选 A.【答案】A3.下列函数中，与函数y=l\r(x)有相同定义域的是()A. f(x)=lnx B? f(x)=lxC? f(x) = x D. f(x)=e'【解析】Vy=l\r (x)的定义域为(0, +8).故选A.【答案】A4.已知函数f(x)满足:当x?4 时，f (x) =\a\vs4\al\col (\f 仃2) )1 当x〈4 时，f(x)=f(x+l)?则 f ⑶=()A. 18B. 8C.116D. 16【解析】f(3)=f(4) = (12)4=116.【答案】C5?函数y = —x? + 8x—16在区间［3, 5］上( )A.没有零点B.有一个零点C.有两个零点D.有无数个零点【解析】Vy=—x J + 8x—16= — (x —4)",???函数在[3, 5]上只冇一个零点 4.【答案】B6.函数y =logl2(x2+6x+⑶的值域是()A. RB. [8, 4-oo)C. ( — 8, -2]D. [ — 3, +8)【解析】设u = x?+6x+13=(X +3)2+4>4y = logl2u在[4, +°°)上是减函数，???ySlogl24 = —2,???函数值域为( — 8, -2],故选C.【答案】C,下列函数屮与f(x)7.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2, 0)±的单调性不同的是()A. y二x2+lB. y=|x|+lC. y = 2x+l, x>0x3+l, x<0)D. y = ex, x>Oc —x, x<0)为减函数，而y = x' 【解析】Vf(x)为偶函数，曲图象知f(x)在(-2, 0)±+ 1在(一8, 0)上为增函数.故选C.【答案】c), 则X。

【随堂优化训练】2014年高中数学 第三章 函数的应用自主检测 新人教A 版必修1(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．函数f (x )＝x 2－4的零点是( ) A ．1 B ．－2C ．2，－2D ．不存在2．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1e D ．(e ，＋∞) 3．f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，三个函数的增长速度比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )4．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水的速度如图3­1(1)、(2)．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图3­1(3)(至少打开一个进水口)．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．图3­1则正确的论断是( ) A ．① B．①② C ．①③ D．①②③ 5．某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y (单位：公顷)关于时间x (单位：年)的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x 10D ．y ＝0.2＋log 16x6．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－127．已知函数f (x )的一个零点x 0∈(2,3)，在用二分法求精确度为0.01的x 0的一个值时，判断各区间中点的函数值的符号最少( )A．5次 B．6次C．7次 D．8次8．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内9．某商品零售价2013年比2012年上涨25%，欲控制2014年比2012年只上涨10%，则2014年应比2013年降价( )A．15% B．12%C．10% D．50%10．将进货单价为80元的商品按90元出售，能卖出400个，根据经验，该商品若每个涨1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应该为( )A．92元 B．94元C．95元 D．88元二、填空题(每小题5分，共20分)11．函数f(x)＝2ax＋4a＋6在区间(－1,1)上有零点，则实数a的取值范围是____________．12．某厂2003年的产值为a万元，预计产值每年以增长率为b的速度增加，则该厂到2015年的产值为____________．13．若方程2ax2－1＝0在(0,1)内恰有一解，则实数a的取值范围是____________．14．函数f(x)＝2x＋x－2的零点有________个．三、解答题(共80分)15．(12分)讨论方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．16．(12分)函数y＝x2＋(m＋1)x＋m的两个不同的零点是x1和x2，且x1，x2的倒数平方和为2，求m的值．17．(14分)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(x∈N)的关系式为y＝－x2＋14x－24.(1)每辆客车从第几年起开始盈利？(2)每辆客车营运多少年，可使其营运的总利润最大？18．(14分)函数f(x)＝(x－3)2和g(x)＝x的图象如图3­2所示，设两函数交于点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图3­2中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？(2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{0,1,2,3,4,5,6}，指出a，b的值，并说明理由．图3­219．(14分)某工厂现有甲种原料360 kg ，乙种原料290 kg ，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品共50件．已知生产一件A 产品，需要甲种原料9 kg ，乙种原料3 kg ，可获利润700元；生产一件B 产品，需用甲种原料4 kg ，乙种原料10 kg ，可获利润1200元．(1)按要求安排A ，B 两种产品的生产件数，有几种方案？请你设计出来；(2)设生产A ，B 两种产品获总利润y (单位：元)，其中一种的生产件数为x ，试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数性质说明(1)中哪种方案获利最大？最大利润是多少？20．(14分)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力[f (x )的值越大，表示接受能力越强]，x 表示提出概念和讲授概念的时间(单位：分)，有以下的关系式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋x ，x ，－3x ＋x(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能持续多少分钟？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力在哪一个时间段强一些？ (3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？(4)如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值M ＝f ＋f ＋…＋f6，它能高于45吗？综合能力检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]2．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x，x >2，则∁U P ＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 3．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．44．设f (x )＝g (x )＋5，g (x )为奇函数，且f (－7)＝－17，则f (7)的值等于( ) A ．17 B ．22 C ．27 D ．125．已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( )A ．－1和－2B ．1和2 C.12和13 D ．－12和－136．下列函数中，既是偶函数又是幂函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝x －2D ．f (x )＝x －17．直角梯形ABCD 如图Z­1(1)，动点P 从点B 出发，由B →C →D →A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f (x )．如果函数y ＝f (x )的图象如图Z­1(2)，那么△ABC的面积为( )(1) (2)图Z­1A ．10B ．32C ．18D ．168．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．一次函数10．甲用1000元人民币购买了一支股票，随即他将这支股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这支股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将这支股票卖给了乙，在上述股票交易中( )A ．甲刚好盈亏平衡B ．甲盈利1元C ．甲盈利9元D ．甲亏本1.1元 二、填空题(每小题5分，共20分)11．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg25÷10012-＝__________. 12．已知f (x )＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的最大值是__________．13．y ＝f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (2)＝6；则当x ≥0时，f (x )的解析式为__________．14．函数y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]的最小值为________；最大值为________．三、解答题(共80分)15．(12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2(11－x 2)>1}，B ＝{x |x 2－x －6>0}，M ＝{x |x 2＋bx ＋c ≥0}．(1)求A ∩B ；(2)若∁U M ＝A ∩B ，求b ，c 的值．16．(12分)已知函数f (x )＝bxax 2＋1(b ≠0，a >0)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)若f (1)＝12，log 3(4a －b )＝12log 24，求a ，b 的值．17．(14分)方程3x 2－5x ＋a ＝0的一根在(－2,0)内，另一根在(1,3)内，求参数a 的取值范围．18．(14分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益为多少元？19．(14分)已知函数f (x )＝2x ＋2ax ＋b，且f (1)＝52，f (2)＝174.(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)试判断f (x )在(－∞，0]上的单调性，并证明； (4)求f (x )的最小值．20．(14分)已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6. (1)证明：函数f (x )在其定义域上是增函数； (2)证明：函数f (x )有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.第三章自主检测 1．C 2.B3．B 解析：指数增长最快．虽然当2<x <4时，2x <x 2，但当x ∈(4，＋∞)时，2x >x 2，且增长速度越来越快．4．A 解析：由图可知进水速度为1/单位时间，出水量为2/单位时间．由图可观察，3小时水量达到6，所以没有出水.3～4点，只减少1个单位，所以1个进水口进水，1个出水口出水.4～6点可能同时2个进水口与出水口都开．5．C 解析：因为沙漠的增加速度越来越快，所以排除A ，D ，将x ＝1,2,3分别代入B ，C 可发现，C 中的函数较符合条件．6．C 解析：由题意，知a ≠0，且b ＝－2a .令g (x )＝－2ax 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝－12. 7．C 8.A 9.B10．C 解析：设商品涨x 元，则利润为(10＋x )(400－20x )＝－20(x －5)2＋4500，x ∈Z ，－10≤x ≤20，∴当x ＝5时，获得利润最大，此时售价为90＋5＝95(元)． 11．(－3，－1)12．a (1＋b )12 解析：共12年，1年后为a (1＋b )，2年后为a (1＋b )2，…，12年后为a (1＋b )12.13．a >12解析：设函数f (x )＝2ax 2－1，由题意可知，函数f (x )在(0,1)内恰有一个零点．∴f (0)·f (1)＝－1×(2a －1)<0，解得a >12.14．1 解析：画出函数y 1＝2x和y 2＝－x ＋2的图象，如图D35，两函数的交点只有一个，故函数f (x )的零点有1个．图D3515．解：令f (x )＝4x 3＋x －15，∵y ＝4x 3和y ＝x 在[1,2]上都为增函数，∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上为增函数． ∵f (1)＝4＋1－15＝－10<0， f (2)＝4×8＋2－15＝19>0，∴f (x )＝4x 3＋x －15在[1,2]上存在一个零点，∴方程4x 3＋x －15＝0在[1,2]内有一个实数解．16．解：∵x 1和x 2是函数y ＝x 2＋(m ＋1)x ＋m 的两个不同的零点，∴x 1和x 2是方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的两个不同的根． 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－m －1，x 1x 2＝m .① 又2＝1x 21＋1x 22＝x 21＋x 22x 21x 22＝x 1＋x 22－2x 1x 2x 1x 22， 将①代入，得－m －2－2mm2＝2， 解得m ＝1或m ＝－1.∵Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2＞0，∴m ≠1，即m ＝－1.17．解：(1)y ＝－x 2＋14x －24>0，即x 2－14x ＋24<0，解得2<x <12，所以每辆客车从第3年起开始盈利．(2)y ＝－x 2＋14x －24＝－(x －7)2＋25.故当每辆汽车营运7年，可使其营运的总利润最大．18．解：(1)C 1对应的函数为f (x )＝(x －3)2，C 2对应的函数为g (x )＝x . (2)a ＝1，b ＝4.理由如下：令φ(x )＝f (x )－g (x )＝(x －3)2－x ， 则x 1，x 2为函数φ(x )的零点， 由于φ(0)＝9>0，φ(1)＝3>0， φ(2)＝1－2<0，φ(3)＝－3<0， φ(4)＝－1<0，φ(5)＝4－5>0.则方程φ(x )＝f (x )－g (x )的两个零点x 1∈(1,2)，x 2∈(4,5)， 因此a ＝1，b ＝4.19．解：(1)设安排生产A 种产品x 件，则生产B 种产品(50－x )件，依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋－x ，3x ＋－x ，解得30≤x ≤32.∵x 是整数，∴x 只能取30,31,32.∴生产方案有3种，分别为A 种30件，B 种20件；A 种31件，B 种19件；A 种32件，B 种18件．(2)设生产A 种产品x 件，则y ＝700x ＋1200(50－x )＝－500x ＋60 000. ∵y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝30时，y 值最大，y max ＝－500×30＋60 000＝45 000.当安排生产A 种产品30件，B 种产品20件时，获利最大，最大利润是45 000元． 20．解：(1)当0<x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9.故当0<x ≤10时，f (x )递增，最大值为f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59. 显然，当16<x ≤30时，f (x )递减，f (x )<－3×16＋107＝59.因此，开讲10分钟后，学生达到最强的接受能力，并能维持6分钟．(2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5， f (20)＝－3×20＋107＝47<53.5，因此，开讲后5分钟，学生的接受能力比开讲后20分钟强一些．(3)当0<x ≤10时，令f (x )≥55，则(x －13)2≤49， ∴6≤x ≤10.当10<x ≤16时，f (x )＝59>55；当16<x ≤30时，令f (x )≥55，则x ≤1713.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113<13，老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．(4)∵f (5)＝53.5，f (10)＝59，f (15)＝59， f (20)＝47，f (25)＝32，f (30)＝17，∴M ＝53.5＋59＋59＋47＋32＋176≈44.6<45.故平均值不能高于45.综合能力检测1．B2．A 解析：由已知U ＝(0，＋∞)．P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以∁U P ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.故选A. 3．D 4.C 5.D 6.B 7.D8．C 解析：由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，可得b ＝4，c ＝2，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0，所以方程f (x )＝x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋4x ＋2＝x .所以x ＝2或x ＝－1或x ＝－2.故选C.9．C10．B 解析：由题意知，甲盈利为1000×10%－1000×(1＋10%)×(1－10%)×(1－0.9)＝1(元)．11．－2012．3 解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(m －2)·(－x )2－(m －1)x ＋3＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋3，∴m ＝1.∴f (x )＝－x 2＋3.f (x )max ＝3.13．－x 2＋5x14.54 32 解析：y ＝2x －1x ＋1＝2x ＋2－3x ＋1＝2－3x ＋1，显然在(－1，＋∞)单调递增，故当x ∈[3,5]时，f (x )min ＝f (3)＝54，f (x )max ＝f (5)＝32.15．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧11－x 2>0，11－x 2>2⇒－3<x <3，∴A ＝{x |－3<x <3}．∵x 2－x －6>0，∴B ＝{x |x <－2或x >3}．∴A ∩B ＝{x |－3<x <－2}．(2)∁U M ＝A ∩B ＝{x |－3<x <－2}＝{x |x 2＋bx ＋c <0}，∴－3，－2是方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根， 则⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝－＋－，c ＝－－⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，c ＝6. 16．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－bxax 2＋1＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)由f (1)＝b a ＋1＝12，则a －2b ＋1＝0.又log 3(4a －b )＝1，即4a －b ＝3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a －2b ＋1＝0，4a －b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1. 17．解：令f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则其图象是开口向上的抛物线． 因为方程f (x )＝0的两根分别在(－2,0)和(1,3)内，故⎩⎪⎨⎪⎧f －＞0，f ＜0，f ＜0，f＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2－－＋a ＞0，a ＜0，3－5＋a ＜0，3×9－5×3＋a ＞0，解得－12＜a ＜0.故参数a 的取值范围是(－12,0)．18．解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为3600－300050＝12(辆)．所以这时租出的车辆数为100－12＝88(辆)．(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －300050(x －150)－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －300050×50所以f (x )＝－150x 2＋162x －21 000＝－150(x －4050)2＋307 050.所以当x ＝4050时，f (x )最大，最大值为307 050，即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元．19．解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＋b＝52，4＋22a ＋b＝174，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.(2)由(1)，知f (x )＝2x＋2－x，任取x ∈R ，有f (－x )＝2－x ＋2－(－x )＝2－x ＋2x＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(3)任取x 1，x 2∈(－∞，0]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(12x ＋12x -)－(22x ＋22x -)＝(12x －22x )＋121122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(12x －22x )121122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(12x －22x )121222122x x x x -.∵x 1，x 2∈(－∞，0]且x 1<x 2，∴0<12x <22x ≤1. 从而12x －22x <0,12x ·22x －1<0,12x ·22x >0， 故f (x 1)－f (x 2)>0.∴f (x )在(－∞，0]上单调递减．(4)∵f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (x )为偶函数，可以证明f (x )在[0，＋∞)上单调递增(证明略)．∴当x ≥0时，f (x )≥f (0)；当x ≤0时，f (x )≥f (0)．从而对任意的x ∈R ，都有f (x )≥f (0)＝20＋20＝2， ∴f (x )min ＝2.20．(1)证明：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 设0<x 1<x 2，则ln x 1<ln x 2,2x 1<2x 2. ∴ln x 1＋2x 1－6<ln x 2＋2x 2－6. ∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)证明：∵f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3>0， ∴f (2)·f (3)<0.∴f (x )在(2,3)上至少有一个零点，又由(1)，知f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 因此函数至多有一个根，从而函数f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (3)解：f (2)<0，f (3)>0， ∴f (x )的零点x 0在(2,3)上，取x 1＝52，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln 52－1<0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52·f (3)<0.∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3.取x 1＝114，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114＝ln 114－12>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52·⎝ ⎛⎭⎪⎫114<0.∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114. 而⎪⎪⎪⎪⎪⎪114－52＝14≤14， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114即为符合条件的区间．。

高中数学第三章函数的应用检测试题（含解析）新人教A版必修1第三章函数的应用(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.函数f(x)=xln x的零点为( B )(A)0或1 (B)1(C)(1,0) (D)(0,0)或(1,0)解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),由f(x)=0得x=0或ln x=0,即x=0或x=1.又因为x∈(0,+∞),所以x=1.故选B.2.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,6),(2,4)内,那么下列命题中正确的是( D )(A)f(x)在区间(2,3)内有零点(B)f(x)在区间(3,4)内有零点(C)f(x)在区间(3,16)内有零点(D)f(x)在区间(0,2)内没零点解析:由于函数y=f(x)的零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,6)内,因此函数零点在区间(0,6)内,又函数零点在(2,4)内,因此函数零点不可能在(0,2)内,故选D.3.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( A )(A)y=2x (B)y=10 000x(C)y=log3x (D)y=x3解析:随着x的增大,指数函数的增长速度是最快的,故选A.4.若函数f(x)=x2+4x+a没有零点,则实数a的取值范围为( B )(A)(-∞,4) (B)(4,+∞)(C)(-∞,4] (D)[4,+∞)解析:由题意知关于方程x2+4x+a=0,Δ=42-4×1×a<0,即16-4a<0,解得a>4.故选B.5.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下图与故事情节相吻合的是( B )解析:兔子在中间一段时间内路程是不变的,且当乌龟到达终点时兔子还差一点,选B.6.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,它可以表示为商品数量的函数,现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)=20+2x+x2(万元),若售出一件商品收入是20万元,那么该企业为获取最大利润,应生产这种商品的数量为( A )(A)18件(B)36件(C)22件(D)9件解析:设获取的利润为y,y=20x-c(x)=20x-20-2x-x2=-x2+18x-20.所以x=18时,y有最大值.故选A.7.函数f(x)=2x-x2的零点个数为( D )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:由题意可知:要研究函数f(x)=2x-x2的零点个数,只需研究函数y=2x和y=x2的图象交点个数即可,画出函数y=2x,y=x2的图象,由图象可得有3个交点,如第一象限的A(2,4),B(4,16)及第二象限的点C.故选D.8.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,且当x>0时,f(x)=3x+x3-5.则函数y=f(x)的零点的个数为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:当x>0时,f(x)=3x+x3-5为增函数,因为f(1)<0,f(2)>0,所以f(1)f(2)<0,函数在(1,2)上存在一个零点,结合奇函数的对称性可知在(-2,-1)上有一个零点,又f(0)=0,所以函数有3个零点9.记[x]表示不超过x的最大整数,如[1.3]=1,[-1.3]=-2.设函数f(x)=x-[x],若方程1-f(x)=log a x有且仅有3个实数根,则正实数a的取值范围为( B )(A)(3,4] (B)[3,4) (C)[2,3) (D)(2,3]解析:由题意得,方程1-f(x)=1+[x]-x,所以方程1-f(x)=log a x有且仅有3个实数根,即1+[x]-x=log a x有且仅有3个实数根,即函数y=1+[x]-x和函数y=log a x的图象有三个不同的交点,分别作出两函数的图象,如图所示,要使得函数y=1+[x]-x和函数y=log a x的图象有三个不同的交点,则log a3≤1,且log a4>1,解得3≤a<4,故选B.10.定义域为R的函数f(x)=若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有5个不同的实数解x1,x2,x3,x4,x5,则f(x1+x2+x3+x4+x5)的值等于( B )(A)4lg 2 (B)3lg 2 (C)2lg 2 (D)lg 2解析:由f(x)解析式知,f(x)关于x=2对称.因关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有五个不同实数根,不妨设有三个解x1,x2,x3使f(x)=1, 有两解x4,x5使f(x)≠1,则x1=2,x2+x3=4,x4+x5=4,则x1+x2+x3+x4+x5=10,所以f(x1+x2+x3+x4+x5)=lg 8=3lg 2.故选B.二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分)11.函数f(x)=x2+mx-6的一个零点是-6,则另一个零点是,增区间为.解析:依题意得x1·x2=-6,所以x2=1,所以f(x)=x2+5x-6=0的两根为1,-6,故1为函数的另一个零点,由对称轴为x=-,所以增区间为[,+∞).答案:1 [,+∞)考点:本题考查函数的零点与方程根的联系.12.函数f(x)=e x+x-2的零点所在的一个区间是(填正确序号)①(-2,-1) ②(-1,0)③(0,1) ④(1,2)解析:由f(-2)=-2-2<0,f(-1)=-3<0,f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,f(2)=e2+2-2>0知函数零点所在的一个区间是(0,1).答案:③13.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间y(小时)与储藏温度x(℃)的关系为指数型函数y=ka x,若牛奶在10 ℃的环境中保鲜时间约为64小时,在5 ℃的环境中保鲜时间约为80小时,那么在0 ℃时保鲜时间约为小时.解析:由题意知则a5=,k=100.故当x=0时,y=k·a0=100.答案:10014.若f(x)=a x-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则a的取值范围是.解析:函数f(x)的零点的个数就是函数y=a x与函数y=x+a交点的个数,如图,由函数的图象可知当a>1时两函数图象有两个交点,当0<a<1时两函数图象有唯一交点,故a>1.答案:(1,+∞)15.已知函数f(x)=log a x+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则增区间为,n= .解析:因为2<a<3<b<4,所以f(2)=log a2+2-b<1+2-b=3-b<0,f(3)=log a3+3-b>1+3-b=4-b>0,即f(2)·f(3)<0,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增.所以函数f(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点x0,且x0∈(2,3),所以n=2.答案:(0,+∞) 216.若f(x)=x2+bx+c,g(x)=bx2+cx+1,b,c∈R,有且只有一个实数满足f(x)=g(x).(1)则b,c应满足的条件为;(2)当b<0时,f(x)≥|g(x)|恒成立,则b的取值范围为.解析:(1)(1-b)x2+(b-c)x+c-1=0,1-b=0时,(1-c)x+c-1=0,1-c≠0时,只有一解x=1,当1-c=0,有无数个解;1-b≠0时,Δ=(b-c)2-4(1-b)(c-1)=(b+c-2)2=0,得b+c=2;综上b,c应满足的条件是b=1,c≠1或b+c=2,b≠1;(2)当b<0时,c=2-b,所以f(x)=x2+bx+2-b,g(x)=bx2+(2-b)x+1,设g(x)的两个零点为x1,x2(x1<x2),当x∈[x1,x2]时,g(x)≥0,f(x)-g(x)=(1-b)(x-1)2≥0,所以f(x)≥g(x)成立;当x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时,g(x)<0,f(x)-|g(x)|=f(x)+g(x)=(1+b)x2+2x+3-b,又因为x∈[x1,x2]时,f(x)≥g(x)≥0≥-g(x)恒成立,所以问题等价于f(x)+g(x)≥0在R上恒成立,得1-≤b<0.综上,b的取值范围是[1-,0).答案:(1)b=1,c≠1或b+c=2,b≠1(2)[1-,0)17.(1)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,则实数a的取值范围为.(2)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为.解析:(1)由题意得a>-对1<x<4恒成立,又-=-2(-)2+,<<1,所以(-)max=,所以a>.即实数a的取值范围为(,+∞).(2)2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.当x=0时,适合;当x≠0时,a<(-)2-,因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当x=1时,右边取最小值,所以a<.综上,实数a的取值范围是(-∞,).答案:(1)(,+∞) (2)(-∞,)三、解答题(共74分)18.(本小题满分14分)设函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3和2.(1)求函数f(x)的表达式;(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时,求函数f(x)的值域.解:(1)因为函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3和2,所以有a≠0,且解得所以f(x)=-3x2-3x+18.(2)由(1)得f(x)=-3x2-3x+18=-3(x+)2++18,所以f(x)的图象的对称轴为x=-.又0≤x≤1,所以f(x)min=f(1)=12,f(x)max=f(0)=18,所以函数f(x)的值域是[12,18].19.(本小题满分15分)为了保护环境,某工厂在国家的号召下,把废弃物回收转化为某种产品,经测算,处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为:y=x2-50x+900,且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品,同时获得国家补贴10万元.当x∈[10,15]时,判断该项举措能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,请求出国家最少补贴多少万元,该工厂才不会亏损?解:设处理量x吨(10≤x≤15)时,利润为P万元,根据题意得P=(10+10)x-y=20x-x2+50x-900=-x2+70x-900=-(x-35)2+325,x∈[10,15].因为x=35∉[10,15],P=-(x-35)2+325在[10,15]上为增函数,可求得P∈[-300,-75].所以当x∈[10,15]时,该项举措不能获利,国家只需要补贴75万元,该工厂就不会亏损. 20.(本小题满分15分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求实数k的值;(2)设函数g(x)=log4(a·2x-a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.解:(1)由题意知,任意x∈R,有f(-x)=f(x),则f(-1)=f(1),即log4-k=log45+k,所以2k=-1,所以k=-.(2)因为函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,所以方程log4(4x+1)-x=log4(a·2x-a)有且只有一个实根,化简得,方程2x+=a·2x-a有且只有一个实根,令t=2x>0,则方程(a-1)t2-at-1=0有且只有一个正根.①当a=1时,t=-不合题意;②当a≠1时,(i)若Δ=0,则a=或-3.若a=,则t=-2不合题意;若a=-3,则t=合题意;(ii)若Δ>0即a<-3或a>时,由题意,方程有一个正根与一个负根,即<0,解得a>1.综上所述,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).21.(本小题满分15分)某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿千瓦时,本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间,经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x-0.4)元成反比例.又当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)]解:(1)因为y与(x-0.4)成反比例,所以设y=(k≠0).把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8=,k=0.2,所以y==,即y与x之间的函数关系式为y=.(2)根据题意,得(1+)·(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%),整理,得x2-1.1x+0.3=0,解得x1=0.5,x2=0.6.经检验x1=0.5,x2=0.6都是方程的根.因为x的取值范围是0.55～0.75,故x=0.5不符合题意,应舍去.所以x=0.6.即当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.22.(本小题满分15分)已知函数f(x)=|2-|(p为大于0的常数).(1)求函数f(x)在[1,4]上的最大值(用常数p表示);(2)若p=1,是否存在实数m使得函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[ma,mb],如果存在求出实数m的取值范围,如果不存在说明理由.解:(1)x∈[1,4],函数f(x)=当>4时,即p>8,f(x)的最大值为f(1)=p-2;当1≤≤4时,即2≤p≤8,f(1)=p-2,f(4)=2-;若8≥p≥,f(1)≥f(4),f(x)的最大值为f(1)=p-2;若2≤p<,f(1)<f(4),f(x)的最大值为f(4)=2-;当<1时,即p<2,f(x)的最大值为f(4)=2-.综上所述,当p≥,f(x)的最大值为p-2;当p<,f(x)的最大值为2-.(2)存在,理由如下:若p=1,函数f(x)=|2-|,由a<b,ma<mb知,m(a-b)<0,m>0,又ma≥0,所以a>0,当0<a<b≤时,由题意得得-=m(b-a),=mb代入得-2=,a无解.当a≤≤b时,ma≤0与m>0,a>0矛盾. 当≤a<b时,由题意得即2-=mx(x≥)有两个不同的实数解. 法一m=-+,令t=,t∈(0,2],则m=-t2+2t有两个解,得m∈(0,1).法二由2-=mx可化为mx2-2x+1=0,要使得方程有两个不等的实根,令g(x)=mx2-2x+1,则函数应满足得m∈(0,1).。

2014届高考数学第三章函数的应用复习强化训练新人教A版必修1一、选择题1、（2014白山一中高三8月摸底）已知，则函数的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42、(蠡县二中8月月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是( )A．0 B．0或－ C．－或－ D．0或－3、将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点（2p，0），这样的正三角形有（）A． 0个B． 2个C． 4个D． 1个4、（2013滨海新区五所重点学校高三联考）已知函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+，g（x）=1﹣x+﹣+﹣…﹣，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z内，则b﹣a的最小值为（）A． 8 B． 9 C． 10 D． 115、若一元二次方程有两个正实数根，则的取值X围是（）A． B． C． D．6、（2013某某师大附中一模）已知，则函数的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．47、.给定方程，有下列命题：（1）该方程没有小于0的实数解；（2）该方程有无数个实数解；（3）该方程在内有且只有一个实数解；（4）若是该方程的实数解，.其中正确命题的个数是A.1B.2C.3D.48、函数在[0，2]的最小值为A．4 B．3C．1 D．一19、已知函数y=x3-3x+c的图像与x恰有两个公共点．则c=A．一2或2 B．一9或3 C．一1或1 D．一3或110、函数的零点所在区间是（）A．B．C．D．11、函数的零点个数为(A) 1 (B)2 (C)3 (D) 412、已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c ，下列结论中错误的是（A）（B）函数y=f（x）的图像是中心对称图形（C）若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x0）单调递减（D）若x0是f(x)的极值点，则f’（ x0）=013、抛物线的焦点坐标为（）A、 B、 C、D、14、7．若，则函数在区间上零点的个数为（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个参考答案一、选择题1、B2、D3、考点：抛物线的简单性质．专题：数形结合．分析：根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，可知当等边三角形关于x轴轴对称时，有两个．解答：解：y2=2px（P＞0）等边三角形的一个顶点位于（2p，0），另外两个顶点在抛物线上，则当等边三角形关于x轴轴对称时两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x﹣2p），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，这样的正三角形有2个，图中黑色的两个．两个顶点同时在抛物线上方如图中蓝色，或同时在下方各一个如图中绿色，故选C．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质和数形结合思想，主要是利用抛物线和正三角形的对称性．4、考点：函数的零点与方程根的关系；函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：可通过导数法求得f（x）与g（x）的零点，从而可得f（x+3）和g（x﹣4）的零点，继而可求得F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）的具体区间，从而可求得b﹣a的最小值．解答：解：∵f（x）=1+x﹣+﹣+…+，∴f′（x）=（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2012=（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012当x=﹣1时，f′（x）=2×1006+1=2013＞0，当x≠﹣1时，f′（x）=（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012=（1﹣x）•+x2012=＞0，∴f（x）=1+x﹣+﹣+…+在R上单调递增；又f（0）=1，f（﹣1）=﹣﹣﹣﹣…﹣＜0，∴f（x）=1+x﹣+﹣+…+在（﹣1，0）上有唯一零点，由﹣1＜x+3＜0得：﹣4＜x＜﹣3，∴f（x+3）在（﹣4，﹣3）上有唯一零点．∵g（x）=1﹣x+﹣+﹣…﹣，∴g′（x）=（﹣1+x）+（﹣x2+x3）+…﹣x2012=﹣[（1﹣x）+（x2﹣x3）+ (x2012)=﹣f′（x）＜0，∴g（x）在R上单调递减；又g（1）=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＞0，g（2）=﹣1+（﹣）+（﹣）+…+（﹣），∵n≥2时，﹣=＜0，∴g（2）＜0．∴g（x）在（1，2）上有唯一零点，由1＜x﹣4＜2得：5＜x＜6，∴g（x﹣4）在（5，6）上有唯一零点．∵函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），∴F（x）的零点即为f（x+3）和g（x﹣4）的零点．∴F（x）的零点区间为（﹣4，﹣3）∪（5，6）．又b，a∈Z，∴（b﹣a）min=6﹣（﹣4）=10．故选C．点评：本题考查函数的零点，考查利用导数判断函数的单调性及零点存在定理的应用，考查综合分析与转化的能力，属于难题．5、C6、【答案】D【解析】函数的零点个数为函数和函数的图像交点的个数，在同一平面直角坐标系画出函数和函数的图像，由图像知当时，图像由4个交点，因此选D。

【名师一号】（学习方略）2015-2016学年高中数学第三章函数的应用单元测试新人教A版必修1(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是( )A．0 B．1C．2 D．不确定解析方程2x2＋bx－3＝0的判别式Δ＝b2＋24>0恒成立，所以方程有两个不等实根，因而函数f(x)有两个零点．答案 C2．若函数y＝f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)，(1,2)，(0,4)内，则下列命题中正确的是( )A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间(1,1.5)内有零点C．函数f(x)在区间(2,4)内无零点D．函数f(x)在区间(1,4)内无零点解析可用排除法，由题意知在(0,1)内没有零点，所以A错．B不一定，因为在(1,4)内一定有零点，所以D错，故C正确．答案 C3．根据表中的数据，可以判定方程e x－x－2＝0的一个根所在的区间是( )x －1012 3e x0.371 2.727.3920.09x＋21234 5A.(－1,0)C．(1,2) D．(2,3)答案 C4．方程ln x＋2x－8＝0根的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析利用图象作答．答案 B5．下列函数中，随着x的增大，其增大速度最快的是( )A．y＝0.001e x B．y＝1000ln xC．y＝x1000D．y＝1000·2x解析增大速度最快的应为指数型函数，又e≈2.718>2.答案 A6．已知直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线x＝t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)为y，则函数y＝f(t)的大致图象为图中的( )解析按一般方法求解，应先求出函数表达式，根据表达式确定图象，然而按小题小作的原则，不必求出解析式，观察图象不难发现C正确，因为一开始面积增长较快，当1≤t≤2时，面积平均增长，图象为直线，只有C适合这种规律．答案 C7．已知函数f(x)＝e x－x2＋8x，则在下列区间中f(x)必有零点的是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析f(x)＝e x－x2＋8x，f(－2)＝e－2－4－16<0，f(－1)＝e－1－1－8<0，f(0)＝e0＝1＞0，∴f(x)在区间(－1，0)内至少有一个零点，故选B.答案 B8．已知函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 100的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t (h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N 表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min 的水平，所需的学习时间是( )A ．144 hB ．90 hC ．60 hD ．40 h解析 由N ＝90可知，t ＝－144lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－90100＝144 h. 答案 A9．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y0.240.5112.023.988.02则x ，y ) A ．y ＝a ＋b xB ．y ＝a ＋bxC ．y ＝a ＋log b xD ．y ＝a ＋bx解析 B 为匀速递增，对C ，x 要求大于0，D 是成反比，又因为函数值增长速度越来越快，只有A 项中指数型函数最接近．答案 A10．实数a ，b ，c 是图象连续不断的函数y ＝f (x )定义域中的三个数，且满足a <b <c ，f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点个数为( )A ．2B ．奇数C ．偶数D ．至少是2解析 画出示意图．可知，至少有2个零点，应选D. 答案 D11．某方程在区间D ＝(2,4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则应将D 分( )A ．2次B ．3次C ．4次D ．5次解析 等分1次，区间长度为1，等分2次区间长度为0.5，…，等分4次，区间长度为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意．故选D.答案 D12．西南大旱，为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”．计算方法如下表：每户每月用水量 水价 不超过12m 3的部分3元/m 3超过12 m 3但不超过18 m 3的部分6元/m 3 超过18 m 3的部分9元/m 3A ．比12 m 3少B ．比12 m 3多，但不超过18 m 3C ．比18 m 3多D ．恰为12 m 3 答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为y cm ，椅子的高度为x cm ，则y 应是x 的一次函数．下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套 第二套 椅子高度x (cm) 40.0 37.0 课桌高度y (cm)75.070.2解析 依题意，由于课桌高度y 是椅子高度x 的一次函数，故可设y ＝ax ＋b (a ≠0)，将给出的符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，得⎩⎪⎨⎪⎧40a ＋b ＝75，37a ＋b ＝70.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1.6，b ＝11.所以y 与x 的函数关系式是y ＝1.6x ＋11. 答案 y ＝1.6x ＋1114．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．解析 设f (x )＝x 3－6x 2＋4，显然f (0)>0，f (1)<0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋4>0，∴下一步可断定方程的根所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 15．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________． 解析 ∵f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0.而g (x )＝bx 2－ax ＝x (bx －a )＝0，∴x ＝0，或x ＝a b ＝－12.答案 0，－1216．已知y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示．令f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则下列关于f (x )＝0的解叙述正确的是________．①有三个实根；②x >1时恰有一实根；③当0<x <1时恰有一实根；④当－1<x <0时恰有一实根；⑤当x <－1时恰有一实根．解析 f (x )的图象是将函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象向上平移0.01个单位得到的，故f (x )的图象与x 轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫0，12和⎝⎛⎭⎪⎫12，1内，故只有①⑤正确．答案 ①⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意知，c ＝3，－b2a＝2.设x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.∵x 21＋x 22＝10，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－2c a＝10，∴(－4)2－6a ＝10， ∴a ＝1，b ＝－4. ∴f (x )＝x 2－4x ＋3.18．(本小题满分12分)A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．(1)求x 的范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小． 解 (1)x 的取值范围为10≤x ≤90； (2)y ＝0.25×20x 2＋0.25×10(100－x 2) ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)；(3)由y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋500003.则当x ＝1003km 时，y 最小．故当核电站建在距A 城1003km 时，才能使供电费用最小．19．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记资金总额为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；(2)如果业务员老张获得5.5万元的资金，那么他的销售利润是多少万元？ 解 (1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ，0<x ≤15，1.5＋2log 5x －14，x >15.(2)∵x ∈(0,15]时，0.1x ≤1.5， 又y ＝5.5>1.5，∴x >15，所以1.5＋2log 5(x －14)＝5.5，x ＝39. 答：老张的销售利润是39万元．20．(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫克血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效． ①求服药一次治疗疾病有效的时间；②当t ＝5时，第二次服药，求服药后30分钟，每毫升血液中的含药量． 解 (1)把点M (1,4)分别代入所给解析式可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t 0≤t <1，23－tt ≥1.(2)①∵⎩⎪⎨⎪⎧0≤t <1，4t ≥0.25，解得0.0625≤t <1.又⎩⎪⎨⎪⎧t ≥1，23－t≥0.25，解得1≤t ≤5.综上知，0.0625≤t ≤5.②由题设知，第二次服药后血液中每毫升的含药量y ＝12×4＋23－5.5＝2＋0.177＝2.177(微克)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图象判断f (x )有几个零点；并利用零点存在性定理确定各零点所在的范围(各区间长度不超过1)．解由f (x )＝0，得x －1＝－12x 2＋2，令y ＝x －1，y ＝－12x 2＋2，其中抛物线顶点为(0,2)，与x 轴交于点(－2,0)，(2,0)．如图所示y ＝x －1，y ＝－12x 2＋2的图象有3个交点，从而函数f (x )有3个零点．∵x ≠0，f (x )图象在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别是连续不断的， 且f (－3)＝136>0，f (－2)＝－12<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18>0，f (1)＝－12<0，f (2)＝12>0，即f (－3)·f (－2)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0， f (2)·f (1)<0，∴ 三个零点分别在区间(－3，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，(1,2)内． 22．(本小题满分12分)某县城出租车的收费标准是：起步价是5元(乘车不超过3公里)；行驶3公里后，每公里车费1.2元；行驶10公里后，每公里车费1.8元．(1)写出车费与路程的关系式；(2)一顾客行程30公里，为了省钱，他设计了两种乘车方案： ①分两段乘车：乘一车行15公里，换乘另一车再行15公里； ②分三段乘车：每乘10公里换一次车．问哪一种方案最省钱．解 (1)车费f (x )与路程x 的关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5 0<x ≤3，5＋x －3×1.2 3<x ≤10，5＋7×1.2＋x －10×1.8 x >10，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5 0<x ≤3，1.2x ＋1.4 3<x ≤10，1.8x －4.6 x >10.(2)30公里不换车的车费为1.8×30－4.6＝49.4(元)； 方案①：行驶两个15公里的车费为 (1.8×15－4.6)×2＝44.8(元)； 方案②：行三个10公里的车费为 (1.2×10＋1.4)×3＝40.2(元)．由此可见，方案①和方案②都比不换车省钱，方案②比方案①更省钱．。

第三章 函数的应用章末整合提升A 级 基础巩固一、选择题1．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是( D ) A ．(1，－4) B ．(4，－1) C ．1，－4D ．4，－1[解析] 由x 2－3x －4＝0，得x 1＝4，x 2＝－1.2．在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝a ＋b2，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( D )A ．在区间(a ，c )内B ．在区间(c ，b )内C ．在区间(a ，c )或(c ，b )内D ．等于a ＋b2[解析] 根据二分法求方程的近似解的方法和步骤，函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点，x 0＝a ＋b2，故选D ．3．某工厂2018年生产某种产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开始超过12万件？( C )A ．2026年B ．2027年C ．2028年D ．2029年[解析] 设经过x 年这种产品的年产量开始超过12万件，则2(1＋20%)x＞12，即1.2x＞6，∴x ＞lg6lg1.2≈9.8，取x ＝10，故选C ．4．(2019·某某某某市高一期末测试)函数f (x )＝2x＋x －4，则f (x )的零点所在的大致区间是( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析]f (0)＝20－4＝－3<0，f (1)＝2＋1－4＝－1<0， f (2)＝22＋2－4＝2>0，∴f (1)·f (2)<0，故选B ．5．向高为H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( B )[解析] 解法一：很明显，从V 与h 的函数图象看，V 从0开始后，随h 的增大而增大且增速越来越慢，因而应是底大口小的容器，即应选B ．解法二：取特殊值h ＝H 2，可以看出C ，D 图中的水瓶的容量恰好是V2，A 图中的水瓶的容量小于V2，不符合上述分析，排除A ，C ，D ，应选B ．解法三：取模型函数为y ＝kx 13(k >0)，立即可排除A ，C ，D ，故选B ．6．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m[解析] 设隔墙的长度为x m ，即矩形的宽为x m ，则矩形的长为24－4x 2m(0<x <6)，∴矩形的面积S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，S max ＝18.∴当隔墙的长度为3 m 时，矩形的面积最大，最大为18 m 2. 二、填空题7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7x <0x x ≥0，f (a )<1，则实数a 的取值X 围是__(－3,1)__.[解析] 当a <0时，(12)a －7<1，即2－a <23，∴a >－3，∴－3<a <0；当a ≥0时，a <1， ∴0≤a <1.综上可知－3<a <1.故实数a 的取值X 围是(－3,1)．8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是__4__(lg2≈0.301 0)．[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.322，所以需4次．三、解答题9．某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每X 收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每X 减少10元，直至每X 降为450元为止．某团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．假设一个旅行团不能超过70人．(1)写出每X 飞机票的价格关于人数的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解析] (1)设旅行团的人数为x ，机票价格为y ，则：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤30900－x －30·1030＜x ≤70，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9001≤x ≤301 200－10x 30＜x ≤70.(2)设旅行社可获得利润为Q ，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤3012 000－10x x －15 00030＜x ≤70，即Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 0001≤x ≤30－10x 2＋1 200x －15 00030＜x ≤70.当x ∈[1,30]时，Q max ＝900×30－15 000＝12 000(元)， 当x ∈(30,70]时，Q ＝－10(x －60)2＋21 000， 所以当x ＝60时，Q max ＝21 000(元)，所以当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21 000元．B 级 素养提升一、选择题1．方程4x＝4－x 的根所在区间是( B )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)[解析] 由4x＝4－x ，得4x＋x －4＝0，令f (x )＝4x＋x －4， ∴方程4x＝4－x 的根即为函数，f (x )＝4x＋x －4的零点，f (－1)＝4－1－1－4＝－194<0，f (0)＝40－4＝1－4＝－3<0， f (1)＝4＋1－4＝1>0，f (2)＝42＋2－4＝14>0， f (3)＝43＋3－4＝63>0，∴f (0)·f (1)<0，故选B ．2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( A )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③[解析] 由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．3．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系式分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( D )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D ．4．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，至2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从2011年起，城乡居民人均收入每年比上一年都增长p %.下面给出了依据“至2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p 的四个关系式：①(1＋p %)×10＝2；②(1＋p %)10＝2； ③lg(1＋p %)＝2；④1＋10×p %＝2. 其中正确的是( B ) A ．① B ．② C ．③D ．④[解析] 设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p %，由题意，得(1＋p %)10＝2，故选B ．二、填空题5．函数f (x )＝x 2－3x ＋2a 有两个不同的零点，则a 的取值X 围是__(－∞，98)__.[解析] 令x 2－3x ＋2a ＝0，由题意得Δ＝9－8a >0， ∴a <98.6．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m 2；③设野生薇甘菊蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)． [解析]∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确； 当t ＝5时，S ＝32>30，故②正确； ∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26， ∴t 1＋t 2＝t 3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确． 三、解答题7．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值X 围．[解析] 由题意知，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，可以画出示意图(如图所示)，观察图象可得⎩⎪⎨⎪⎧f0＝2m ＋1<0f－1＝2>0f1＝4m ＋2<0f2＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.所以m 的取值X 围是(－56，－12)．8．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解析] (1)由题意可知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，∴5log 2Q 10＝0，∴log 2Q10＝0，∴Q10＝1，∴Q ＝10.∴当燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)由题意可知，当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度v ＝5log 28010＝5log 28＝5×3＝15.∴它的飞行速度是15 m/s.9．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值X 围．[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx (1－x m)(0<x <m )．(2)y ＝kx (1－x m )＝－km (x 2－mx )＝－k m (x －m2)2＋km4，∵0<x <m ，∴当x ＝m 2时，y 取得最大值km4. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km4<m ， 解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.。

第三章 函数的应用一、选择题1．下列方程在(0，1)内存在实数解的是( )． A ．x 2＋x －3＝0B ．x1＋1＝0 C ．21x ＋ln x ＝0D ．x 2－lg x ＝02．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0］上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )＜0的x 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2］B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)3. 若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( )． A ．{a |a ＞1}B ．{a |a ≥2}C ．{a |0＜a ＜1}D ．{a |1＜a ＜2}4．若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)＞0，f (1)f (2)f (4)＜0，则下列命题正确的是( )．A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点B ．函数f (x )在区间(1，2)内有零点C ．函数f (x )在区间(0，2)内有零点D ．函数f (x )在区间(0，4)内有零点5. 函数f (x )＝⎩⎨⎧0＞，ln ＋2－0 ，3－2＋2x x x x x ≤的零点个数为( ).A ．0B ．1C ．2D ．36. 图中的图象所表示的函数的解析式为( ).A ．y ＝23|x －1|(0≤x ≤2) B ．y ＝23－23|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝23－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)7．当x ∈(2，4)时，下列关系正确的是( )．A ．x 2＜2xB ．log 2 x ＜x 2C ．log 2 x ＜x1 D ．2x ＜log2 x 8．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到( )．A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只9．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低( )元．A ．2元B ．2.5元C ．1元D ．1.5元10．某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份是0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，为使每月所获利润最大，这个摊主每天从报社买进( )份晚报．A ．250B ．400C ．300D ．350二、填空题11．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a －1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a 的取值范围是 ．12．用100米扎篱笆墙的材料扎一个矩形羊圈，欲使羊的活动范围最大，则应取矩形长 米，宽 米.13．在国内投寄平信，将每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重x (0＜x ≤40)(克)的函数，其表达式为 ．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为at y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=161(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系(第14题)式为.(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.15．已知f(x)＝(x＋1)·|x－1|，若关于x的方程f(x)＝x＋m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围．16．设正△ABC边长为2a，点M是边AB上自左至右的一个动点，过点M的直线l垂直与AB，设AM＝x，△ABC内位于直线l左侧的阴影面积为y，y表示成x的函数表达式为．三、解答题17．某农家旅游公司有客房300间，日房租每间为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？18．A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C市10台机器，D市8台机器．已知从A市调运一台机器到C市的运费为400元，到D市的运费为800元；从B 市调运一台机器到C市的运费为300元，到D市的运费为500元．(1)若要求总运费不超过9 000元，共有几种调运方案？(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？19．某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．20．设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面的宽与高的比为λ(λ＜1 )，画面的上、下各留8 cm空白，左、右各留5 cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?参考答案一、选择题 1．C解析：易知A ，B ，D 选项对应的函数在区间(0，1)内的函数值恒为负或恒为正，当x 是接近0的正数时，21x ＋ln x ＜0；当x 接近1时，21x ＋ln x ＞0. 所以选C ． 2．D解析：因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数且一个零点是2，则另一个零点为－2，又在(－∞，0］上是减函数，则f (x )＜0的x 的取值范围是(－2，2)．3．A解析：设函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a 1)有两个零点， 就是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，由图象可知当0＜a ＜1时两函数只有一个交点，不符合，当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0，1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点(0，a )一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是{a |a ＞1}.4．D解析：因为f (0)＞0，f (1)f (2)f (4)＜0，则f (1)，f (2)，f (4)恰有一负两正或三个都是负的，函数的图象与x 轴相交有多种可能．例如，所以函数f (x )必在区间(0，4)内有零点，正确选项为D ．(第4题)5. C解析：当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0解得x ＝－3；当x ＞0时，令－2＋ln x ＝0，得x ＝100，所以已知函数有两个零点，选C ． 还可以作出f (x )的图象，依图判断． 6. B解析：取特殊值x ＝1，由图象知y ＝f (1)＝32，据此否定A ，D ，在取x ＝0， 由图象知y ＝f (0)＝0，据此否C ，故正确选项是B.或者勾画选项B 的函数图象亦可判断． 7．B解析：当x ∈(2，4)时，x 2∈(4，16)，2x ∈(4，16)，log 2 x ∈(1，2)，x 1∈⎪⎭⎫⎝⎛2141 ，，显然C 、D 不正确，但对于选项A ，若x ＝3时，x 2＝9＞23＝8，故A 也不正确，只有选项B 正确．8．A解析：由题意知100＝a log 2(1＋1)，得a ＝100，则当x ＝7时，y ＝100 log 2(7＋1)＝100×3＝300．9．D解析：设每件降价0.1x 元，则每件获利(4－0.1x )元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x )． 经济效益：y ＝(4－0.1x )(1 000＋100x )＝－10x 2＋300x ＋4 000＝－10(x 2－30x ＋225－225)＋4 000 ＝－10(x －15)2＋6 250．x ＝15时，y max ＝6 250．每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益． 10．B解析：若设每天从报社买进x (250≤x ≤400，x ∈N )份，则每月共可销售(20x ＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x －250)份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f (x )，再求f (x )的最大值，可得一个月的最大利润．设每天从报社买进x 份报纸，每月获得的总利润为y 元，则依题意，得 y ＝0.10(20x ＋10×250)－0.15×10(x －250)＝0.5x ＋625，x ∈［250，400］．∵ 函数y 在［250，400］上单调递增，∴ x ＝400时，y max ＝825(元)． 即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元． 二、填空题11．参考答案：(－∞，－1)．解析：函数f (x )＝x 2＋ax ＋a －1的两个零点一个大于2，一个小于2，即f (2)＜0，可求实数a 的取值范围是(－∞，－1)．12．参考答案：长宽分别为25米． 解析：设矩形长x 米，则宽为21(100－2x )＝(50－x )米，所以矩形面积y ＝x (50－x )＝－x 2＋50 x ＝－(x －25)2＋625，矩形长宽都为25米时，矩形羊圈面积最大．13．参考答案：f (x )＝⎩⎨⎧)＜( )＜(40≤ 20 16020≤ 008x x解析：在信件不超过20克重时，付邮资80分，应视为自变量在0＜x ≤20范围内，函数值是80分；在信件超过20克重而不超过40克重时，付邮资160分，应视为自变量在20＜x ≤40范围内，函数值是160分，遂得分段函数．14．参考答案：(1) y ＝⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛- )＞( )(1.01611.0≤ ≤ 0101.0t t t t ； (2)0.6．解析：(1)据图象0≤t ≤0.1时，正比例函数y ＝k t 图象过点(0.1，1)，所以，k ＝10， 即y ＝10t ；当t ＞0.1时，y 与t 的函数y ＝at -⎪⎭⎫⎝⎛161(a 为常数)的图像过点(0.1，1)，即得1＝a-⎪⎭⎫ ⎝⎛1.0161，所以a ＝0.1，即y ＝1.0161-⎪⎭⎫⎝⎛t ．(2)依题意得1.0161-⎪⎭⎫⎝⎛t ≤0.25，再由y ＝lg x 是增函数，得(t －0.1)lg161≤lg 41，∵ lg 41＜0，即得t －0.1≥0.5，所以，t ≥0.6．15．参考答案：－1＜m ＜45． 解析：由f (x )＝(x ＋1)｜x －1｜＝得函数y ＝f (x )的图象(如图)．按题意，直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝(x ＋1)|x －1|有三个不同的公共点，求直线y ＝x ＋m 在y 轴上的截距m 的取值范围．由 得x 2＋x ＋m －1＝0．Δ＝1－4(m －1)＝5－4m ，由Δ＝0，得m ＝45，易得实数m 的取值范围是－1＜m ＜45．16．参考答案：y ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)＜( －＋－ )＜( a x a a ax x a x x 2≤ 33223≤ 023222解析：当直线l 平移过程中，分过AB 中点前、后两段建立y 与x 的函数表达式． (1)当0＜x ≤a 时，y ＝21x ·3x ＝23 x 2；(2)当a ＜x ≤2a 时，y ＝21·2a ·3a －21(2a －x )·3(2a －x )＝－23x 2＋23ax －3a 2．所以，y ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)＜( －＋－ )＜( a x a a ax x a x x 2≤ 33223≤ 023222三、解答题17．参考答案：每间客房日租金提高到40元．解析：设客房日租金每间提高2x 元，则每天客房出租数为300－10x ， 由x ＞0，且300－10x ＞0，得0＜x ＜30．设客房租金总收入y 元，y ＝(20＋2x )(300－10x )＝－20(x －10)2 ＋8 000(0＜x ＜30)， 当x ＝10时，y max ＝8 000．即当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元.18．参考答案：设从B 市调运x (0≤x ≤6)台到C 市，则总运费x 2－1，x ≥11－x 2，x ＜1 y ＝1－x 2，y ＝x ＋m(第15题)y ＝300x ＋500(6－x )＋400(10－x )＋800［8－(6－x )］＝200x ＋8 600(0≤x ≤6)． (1)若200x ＋8 600≤9 000，则x ≤2． 所以x ＝0，1，2，故共有三种调运方案．(2)由y ＝200x ＋8 600(0≤x ≤6)可知，当x ＝0时，总运费最低，最低费用是8 600元． 19．参考答案：(1)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数决不是单调函数，这与函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t 均具有单调性不符，所以，在a ≠0的前提下，可选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．把表格提供的三对数据代入该解析式得到： 150250500 62108110100 1215050500 2=++=++=++c b a c b a c b a 解得a ＝2001，b ＝－23，c ＝2425．所以，西红柿种植成本Q 与上市时间t 的函数关系是Q ＝2001t 2－23t ＋2425．(2)当t ＝－2001223－⨯＝150天时，西红柿种植成本Q 最低为Q ＝2001×1502－23×150＋2425＝100(元/100 kg )．20．参考答案：高为88 cm ，宽为55 cm ．解析：设画面高为x cm ，宽为λx cm ，λx 2＝4 840，设纸张面积为S ，有 S ＝(x ＋16)( λx ＋10)＝λx 2＋(16 λ＋10)x ＋160， 将λ＝28404x 代入上式可得，S ＝10(x ＋x 48416⨯)＋5 000＝10(x －x88)2＋6 760，所以，x ＝x88，即x ＝88 cm 时，宽为λx ＝55 cm ，所用纸张面积最小．。

第三章检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．设集合A＝{x|－4<x<3}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝(B)A．(－4,3) B．(－4,2]C．(－∞，2] D．(－∞，3)解析：∵集合A＝{x|－4<x<3}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|－4<x≤2}，用区间表示为(－4,2]，故选B.2．函数f(x)＝|x－1|的图象是(B)解析：代入特殊点，∵f(1)＝0，∴排除A，C；又f(－1)＝2，∴排除D.3．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a 的取值X围是(D)A．a≤2 B．a≥－2C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2解析：∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)．∴|a|≥2，得a≤－2，或a≥2.4．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是(B)A．f(x)＝9x＋8B．f(x)＝3x＋2C．f(x)＝－3x－4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4解析：令3x ＋2＝t ，则3x ＝t －2，故f (t )＝3(t －2)＋8＝3t ＋2. 5．已知函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( A ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2解析：设g (x )＝y ＝f (2x )＋2x ，∵函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，∴g (－x )＝f (－2x )－2x ＝g (x )＝f (2x )＋2x ，即f (－2x )＝f (2x )＋4x ，当x ＝1时，f (－2)＝f (2)＋4＝1＋4＝5，故选A.6．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x )>f (2x －3)的解集是( D )A ．(－∞，3)B ．(3，＋∞)C ．(0,3) D.⎝⎛⎭⎫32 ，3 解析：本题考查函数的单调性．因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>f (2x －3)⇔x >2x －3>0，解得32<x <3，故选D.7．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( C )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元解析：要想获取最大利润，则甲的价格为6元时，全部买入，可以买120÷6＝20万份，价格为8元时，全部卖出，此过程获利20×2＝40万元；乙的价格为4元时，全部买入，可以买(120＋40)÷4＝40万份，价格为6元时，全部卖出，此过程获利40×2＝80万元，∴共获利40＋80＝120万元，故选C.8．一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是( C )A ．这个函数仅有一个单调增区间B ．这个函数有两个单调减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值是7D ．这个函数在其定义域内有最小值是－7解析：结合偶函数图象关于y 轴对称可知，这个函数在[－7，7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．9．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2在[0，a ]上的最大值为3，最小值为2，则a 的值为( C ) A ．0 B ．1或2 C ．1D ．2解析：二次函数y ＝x 2－2ax ＋a ＋2的图象开口向上，且对称轴为x ＝a ，所以该函数在[0，a ]上为减函数，因此有a ＋2＝3且a 2－2a 2＋a ＋2＝2，得a ＝1.10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( A )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)．又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．又∵1<2<3，∴f (1)>f (2)＝f (－2)>f (3)，故选A. 11．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列命题：①f (0)＝0；②若f (x )在[0，＋∞)上有最小值－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值1；③若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数；④若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x .其中正确命题的个数是( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2－2x ，故④正确．12．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值X 围是( B )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2)∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析：根据题意，知y ＝(mx －1)2在区间⎝⎛⎭⎫0，1m 上为减函数，⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞上为增函数，函数y ＝x ＋m 为增函数．分两种情况讨论：①当0<m ≤1时，有1m ≥1，在区间[0,1]上，y ＝(mx －1)2为减函数，且其值域为[(m －1)2,1]，函数y ＝x ＋m 为增函数，其值域为[m,1＋m ]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②当m >1时，有1m <1，y ＝(mx －1)2在区间⎝⎛⎭⎫0，1m 上为减函数，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m 1上为增函数．函数y ＝x ＋m 为增函数，在x ∈[0,1]上，其值域为[m,1＋m ]，若两个函数的图象有1个交点，则有(m －1)2≥1＋m ，解得m ≤0或m ≥3.又m 为正数，故m ≥3.综上所述，m 的取值X 围是(0,1]∪[3，＋∞)，故选B.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≥2，2x ，x <2，已知f (x 0)＝8，则x 0＝ 6.解析：∵当x ≥2时，f (x )≥f (2)＝6， 当x <2时，f (x )<f (2)＝4， ∴x 20＋2＝8(x 0≥2)，解得x 0＝ 6.14．若函数f (x )＝x(x ＋1)(2x －a )为奇函数，则a ＝2.解析：由题意知x ≠－1且x ≠a2.因为函数f (x )为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，故x ≠1，即a2＝1，a ＝2.15．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为(－1,0)∪(0,1)．解析：因为f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x <0化为f (x )x<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋a ，x >1，(3－2a )x －1，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值X 围为⎣⎡⎭⎫1，32.解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋a －1，x >1，(3－2a )x －1，x ≤1，显然函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a －1≥(3－2a )×1－1，解得1≤a <32.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0为奇函数．(1)求f (－1)以及实数m 的值；(2)在给出的直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象并写出f (x )的单调区间．解：(1)由已知得f (1)＝1， 又f (x )为奇函数， 所以f (－1)＝－f (1)＝－1.又由函数表达式可知f (－1)＝1－m ，所以1－m ＝－1，所以m ＝2. (2)y ＝f (x )的图象如图所示．y ＝f (x )的单调递增区间为[－1,1]．y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 18．(12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，某某数a 的取值X 围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值X 围．解：(1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )关于直线x ＝1对称，又函数f (x )的最小值为1， 故可设f (x )＝a (x －1)2＋1， 由f (0)＝3，得a ＝2. 故f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)要使函数不单调，则2a <1<a ＋1， 则0<a <12.(3)由已知，即2x 2－4x ＋3>2x ＋2m ＋1， 化简得x 2－3x ＋1－m >0，设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，则只要g (x )min >0，∵x ∈[－1,1]，∴g (x )min ＝g (1)＝－1－m >0，得m <－1.19．(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2xx －1.求：(1)f (x )的解析式；(2)f (x )在[2,6]上的最大值和最小值．解：(1)因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 则当x >0时，－x <0，f (x )＝－f (－x )＝－－2x －x －1＝－2xx ＋1，所以f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx －1，x ≤0，－2xx ＋1，x >0.(2)任取2≤x 1≤x 2≤6，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2x 2＋1＝2x 2x 2＋1－2x 1x 1＋1＝2(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)， 由2≤x 1<x 2≤6可得2(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在[2,6]上单调递减． 故当x ＝2时，f (x )取得最大值－43；当x ＝6时，f (x )取得最小值－127.20．(12分)已知函数f (x )＝x 2－|x 2－ax －2|，a 为实数． (1)当a ＝1时，求函数f (x )在[0,3]上的最小值和最大值；(2)若函数f (x )在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，某某数a 的取值X 围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <－1或x >2，2x 2－x －2，－1≤x ≤2，结合图象可知f (x )在⎣⎡⎦⎤0，14上单调递减，在⎣⎡⎦⎤14 ，3上单调递增， f (x )在[0,3]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫14＝－178， f (x )在[0,3]上的最大值为f (3)＝5. (2)令x 2－ax －2＝0，∵Δ＝a 2＋8>0， 必有两根x 1＝a －a 2＋82，x 2＝a ＋a 2＋82， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋2，x <x 1或x >x 2，2x 2－ax －2，x 1≤x ≤x 2，若函数f (x )在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －a 2＋82≥－1a 4≤2，即可，解得1≤a ≤8.21．(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m 立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a 元；②若每月用水量超过m 立方米时，除了付基本费和定额损耗费时，超过部分每立方米付n 元的超额费；③每户每月的定额损耗费a 不超过5元．(1)求每户每月水费y (元)与月用水量x (立方米)的函数关系式； (2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：的值． 解：(1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9＋a0<x ≤m ， ①9＋n (x －m )＋a ，x >m . ②其中0<a ≤5.(2)∵0<a ≤5，∴9<9＋a ≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米．将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝17和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝23分别代入②， 得⎩⎪⎨⎪⎧17＝9＋n (4－m )＋a ， ③23＝9＋n (5－m )＋a . ④ ③－④，得n ＝6.代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16.又三月份用水量为2.5立方米，若m <2.5，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5，y ＝11代入②，得a ＝6m －13， 这与a ＝6m －16矛盾．∴m ≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量． 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2.5，y ＝11代入①，得11＝9＋a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6m －16，11＝9＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，m ＝3.∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.22．(12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝x ＋m x 2＋nx ＋1. (1)求m ，n 的值；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上为增函数；(3)若f (x )≤a 3对x ∈⎣⎡⎦⎤－13，13恒成立，求a 的取值X 围． 解：(1)因为奇函数f (x )的定义域为R ，所以f (0)＝0.故有f (0)＝0＋m 02＋n ×0＋1＝0， 解得m ＝0.所以f (x )＝x x 2＋nx ＋1. 由f (－1)＝－f (1)．即－1(－1)2＋n ×(－1)＋1＝－112＋n ×1＋1， 解得n ＝0.所以m ＝n ＝0.(2)证明：由(1)知f (x )＝x x 2＋1，任取－1<x 1<x 2<1. 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1 ＝x 1(x 22＋1)－x 2(x 21＋1)(x 21＋1)(x 22＋1)＝x 1x 22－x 2x 21＋(x 1－x 2)(x 21＋1)(x 22＋1) ＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(x 21＋1)(x 22＋1). 因为－1<x 1<1，－1<x 2<1， 所以－1<x 1x 2<1.故1－x 1x 2>0，又因为x 1<x 2， 所以x 1－x 2<0，故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)由(2)知f (x )在(－1,1)上为增函数，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－13，13上为增函数， 故最大值为f ⎝⎛⎭⎫13＝310.由题意可得a 3≥310，解得a ≥910. 故a 的取值X 围为⎣⎡⎭⎫910，＋∞.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第3章 函数的应用综合素能检测 新人教A 版必修1本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013～2014学年度河北孟村回民中学月考试题)若函数f (x )在[a ，b ]上连续，且同时满足f (a )·f (b )＜0，f (a )·f (a ＋b2)＞0.则( )A ．f (x )在[a ，a ＋b2]上有零点 B ．f (x )在[a ＋b2，b ]上有零点 C ．f (x )在[a ，a ＋b 2]上无零点D ．f (x )在[a ＋b2，b ]上无零点[答案] B[解析] 由已知，易得f (b )·f (a ＋b2)＜0，因此f (x )在[a ＋b2，b ]上一定有零点，但在其他区间上可能有零点，也可能没有零点．2．函数y ＝1＋1x的零点是( )A ．(－1,0)B ．x ＝－1C ．x ＝1D ．x ＝0[答案] B3．下列函数中，增长速度最快的是( ) A ．y ＝20x B ．y ＝x 20C ．y ＝log 20xD ．y ＝20x[答案] D4．已知函数f (x )＝2x －b 的零点为x 0，且x 0∈(－1,1)，那么b 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－1,1) C ．(－12，12)D ．(－1,0)[答案] A[解析] f (x )＝2x －b ＝0，得x 0＝b2，所以b2∈(－1,1)，所以b ∈(－2,2)．5．函数f (x )＝ax ＋b 的零点是－1(a ≠0)，则函数g (x )＝ax 2＋bx 的零点是( ) A ．－1 B ．0 C ．－1和0 D ．1和0[答案] C[解析] 由条件知f (－1)＝0，∴b ＝a ，∴g (x )＝ax 2＋bx ＝ax (x ＋1)的零点为0和－1. 6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：A ．(－3，－1)和(2,4)B ．(－3，－1)和(－1,1)C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)[答案] A[解析] ∵f (－3)＝6＞0，f (－1)＝－4＜0， ∴f (－3)·f (－1)＜0. ∵f (2)＝－4＜0，f (4)＝6＞0，∴f (2)·f (4)＜0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2,4)． 7．用二分法求方程f (x )＝0在区间(1,2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f (32)＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈(1，32)B ．x 0＝－32C ．x 0∈(32，2)D ．x 0＝1[答案] C[解析] 由于f (2)·f (32)＜0，则x 0∈(32，2)．8．在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据：则x ，y ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x[答案] B[解析] 代入数据检验，注意函数值．9．设a，b，k是实数，二次函数f(x)＝x2＋ax＋b满足：f(k－1)与f(k)异号，f(k＋1)与f(k)异号．在以下关于f(x)的零点的说法中，正确的是( )A．该二次函数的零点都小于kB．该二次函数的零点都大于kC．该二次函数的两个零点之间差一定大于2D．该二次函数的零点均在区间(k－1，k＋1)内[答案] D[解析] 由题意得f(k－1)·f(k)＜0，f(k)·f(k＋1)＜0，由零点的存在性定理可知，在区间(k－1，k)，(k，k＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故D正确．10．(2013～2014山东梁山一中期中试题)若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125f(x)－10.875－0.29690.2246－0.051513A．1.2 B．1.3125C．1.4375 D．1.25[答案] B[解析] 由于f(1.375)＞0，f(1.3125)＜0，且1．375－1.3125＜0.1，故选B.11．(2013～2014河北广平县高一期中试题)“龟兔赛跑”讲过了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路线，t为时间，则图中与故事情节相吻合的是( )[答案] D12．已知函数f(x)的图象如图，则它的一个可能的解析式为( )A ．y ＝2xB ．y ＝4－4x ＋1C ．y ＝log 3(x ＋1)D ．y ＝x 13 (x ≥0)[答案] B[解析] 由于过(1,2)点，排除C 、D ；由图象与直线y ＝4无限接近，但到达不了，即y ＜4知排除A ，∴选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．如函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋3的一个零点为0，则另一个零点是________． [答案] 3[解析] 代入x ＝0得m ＝－3.∴f (x )＝x 2－3x ，则x 2－3x ＝0得x 1＝0，x 2＝3 因此另一个零点为3.14．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是________．[答案] (2,3)[解析] 设f (x )＝x 3－3x －5，则f (2)＜0，f (3)＞0，f (4)＞0，有f (2)f (3)＜0，则下一个有根区间是(2,3)．15．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，…，x 2013，则x 1＋x 2＋…＋x 2013＝________.[答案] 0[解析] 由于奇函数图象关于原点对称，因此零点是对称，所以x 1＋x 2＋…＋x 2013＝0. 16.已知y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示．令f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则下列关于f (x )＝0的解叙述正确的是________．①有三个实根； ②x ＞1时恰有一实根； ③当0＜x ＜1时恰有一实根； ④当－1＜x ＜0时恰有一实根；⑤当x ＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)． [答案] ①⑤[解析] f (x )的图象是将函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f (x )的图象与x 轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，12)和(12，1)内，故只有①⑤正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2的零点个数．[解析] 解法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1＜0，f (2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3＞0， ∴函数f (x )在区间(0,2)上必定存在零点．又f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2在区间(－1，＋∞)上为增函数，故函数f (x )有且只有一个零点．解法二：在同一坐标系内作出函数h (x )＝2－2x和g (x )＝lg(x ＋1)的图象，如图所示，由图象知y ＝lg(x ＋1)和y ＝2－2x有且只有一个交点，即f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点．18．(本小题满分12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？[解析] 设每天从报社买进x 份报纸，每月获得的总利润为y 元，则依题意有y ＝0.10(20x ＋10×250)－0.15×10(x －250)＝0.5x ＋625，x ∈[250,400]．该函数在[250,400]上单调递增，所以x ＝400时，y max ＝825(元)．答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元． 19．(本小题满分12分)某公司今年1月份推出新产品A ，其成本价为492元/件，经试销调查，销售量与销售价的关系如下表：由此可知，＋b 的关系(通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确)．试问：销售价定为多少时，1月份利润最大？并求最大利润和此时的销售量．[解析] 由表可知⎩⎪⎨⎪⎧350＝650k ＋b ，200＝800k ＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1000，故y ＝－x ＋1000. 设1月份利润为W ，则W ＝(x －492)(－x ＋1000)＝－x 2＋1492x －492000＝－(x －746)2＋64516，∴当x ＝746，W max ＝64516，此时销售量为1000－746＝254件，即当销售价定为746元/件时，1月份利润最大，最大利润为64516元，此时销售量为254件．20．(本小题满分12分)用二分法求f (x )＝x 3＋x 2－2x －2在x 的正半轴上的一个零点(误差不超过0.1)．[解析] 显然f (2)＝23＋22－2×2－2＝6＞0.当x ＞2时f (x )＞0，又f (0)＝－2＜0，f (1)＝－2＜0， 故f (x )在(1,2)区间内有零点.因为|1.375－x ＝1.4. 21．(本小题满分12分)某城市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，但不超过40小时．设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)．(1)求f (x )和g (x )；(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？ [解析] (1)f (x )＝5x (15≤x ≤40)；g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x ≤30，2x ＋30，30＜x ≤40.(2)由f (x )＝g (x )，得⎩⎪⎨⎪⎧15≤x ≤30，5x ＝90或⎩⎪⎨⎪⎧30＜x ≤40，5x ＝2x ＋30，即x ＝18或x ＝10(舍)．当15≤x ＜18时，f (x )－g (x )＝5x －90＜0， 即f (x )＜g (x )，应选甲家；当x ＝18时，f (x )＝g (x )，即可以选甲家也可以选乙家． 当18＜x ≤30时，f (x )－g (x )＝5x －90＞0， 即f (x )＞g (x )，应选乙家． 当30＜x ≤40时，f (x )－g (x )＝5x －(2x ＋30)＝3x －30＞0，即f (x )＞g (x )，应选乙家．综上所述：当15≤x ＜18时，选甲家； 当x ＝18时，可以选甲家也可以选乙家； 当18＜x ≤40时，选乙家．22．(本小题满分12分)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比．(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[分析] (1)根据10年的砍伐面积为原来的一半，列方程求解． (2)根据到今年为止，森林剩余面积为原来的22，列方程求解． (3)求出第n 年后森林剩余面积，根据森林面积至少要保留原面积的14列不等式求解．[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12.解得x ＝1－(12)110 .(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即(12)m10＝(12)12，m 10＝12，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍伐了n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，(12)n10≥(12)32，n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．[点评] 通过本题，重点强调高次方程、指数不等式的解法．对于高次方程应让学生明确，主要是开方运算；对于指数不等式，强调化为同底，应用指数函数的单调性求解，本题中化为同底是一大难点．。

第三章过关测试卷（100分，45分钟）一、选择题（每题6分，共48分）1.设a ＜b ＜0,下列不等式一定成立的是（ ）A.a 2＜ab ＜b 2B.b 2＜ab ＜a 2C.a 2＜b 2＜abD.ab ＜b 2＜a 22.关于x 的不等式022>-+bx ax 的解集是⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,3121, ,则ab 等于（ ）A.24B.6C.14D.14- 3.〈四川〉不等式32+-x x ≤2的解集是（ ） A.{}38->-<x x x 或 B.{}38->-≤x x x 或 C.{}23≤≤-x x D.{}23≤<-x x 4.已知函数y =f (x )的图象如图1所示，则不等式0112>⎪⎭⎫⎝⎛-+x x f 的解集为（ ）A.()1,∞-B. ()1,2-C. ()2,-∞-D. ()()+∞-∞-,12,图1 图25.设x ,y ∈R ,a ＞1,b ＞1，若a x =b y =3,32=+b a ,则yx 11+的最大值为（ ） A.2 B.23 C.1 D.216.若不等式x 2+ax +1≥0对一切x ∈⎥⎦⎤⎝⎛21,0成立，则a 的最小值为（ ）A.0B. 2-C.25- D. 3-7.如图2，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车的运营总利润y （单位：十万元）与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系.若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营 运（ ）A.3年B.4年C.5年D.6年8.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--,0,0,02,063y x y x y x 若目标函数z =ax +by (a ＞0,b ＞0)的最大值为12，则ba 32+的最小值为（ ） A.625 B. 38 C. 311D.4 二、填空题（每题5分，共15分）9.〈许昌五校联考〉已知实数x ,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≥+-,0,30,02y x y x 则目标函数y x z -=2的最大值是 .10.已知二次函数f (x )=ax 2+2x +c (x ∈R )的值域为［0,+∞),则ac c a 11+++的最小值为 .11.〈安徽理〉设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.①若ab ＞c 2,则3π<C ;②若a +b ＞2c ,则3π<C ;③若a 3+b 3=c 3,则2π<C ; ④若(a +b )c ＜2ab ,则2π>C ;⑤若(a 2+b 2)c 2＝2a 2b 2,则3π>C .三、解答题（14题13分，其余每题12分，共37分） 12.已知x ＞0,y ＞0且082=-+xy y x ,求：（1）xy 的最小值； （2）x +y 的最小值.13.医院用甲、乙两种原料给手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？14.设a ＞0,b ＞0,对任意的实数x ＞1,有b x xax >-+1成立，试比较1+a 和b 的大小.参考答案及点拨一、1.B 点拨：∵a ＜b ＜0,∴()()0,022>-=->-=-b a b b ab b a a ab a , ∴a 2＞ab ,ab ＞b 2,∴a 2＞ab ＞b 2,故选B.2.A 点拨：由题意知3121，-是方程022=-+bx ax 的根，故有⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯--=+-,23121,3121a a b ∴a =12,b =2,∴ab =24. 3.B 点拨：原不等式可化为232-+-x x ≤0，即38+--x x ≤0，即(x +3)(x +8)≥0且3-≠x ,解得：x ≤-8或3->x . 4.B 点拨：由函数y =f (x )的图象知：要使0112>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x f ,则需1112<-+x x ,即012<-+x x ,利用穿根法得12<<-x （如答图1）. ∴原不等式的解集为()1,2-.答图15.C 点拨：∵a x =b y =3,∴3log ,3log b a y x ==. ∴()3lg ·lg 3lg lg 3lg lg 3log 13log 111b a b a y xb a =+=+=+. ∵ab b a 232≥+=,即ab ≤3（当且仅当a =b 时，取“=”）， 由⎩⎨⎧==+，b a b a ,32得⎩⎨⎧==.3,3b a ∴当3==b a 时，ab 有最大值3.∴yx11+的最大值为1.故选C.6.C 点拨：∵不等式12++ax x ≥0对一切⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0x 成立，∴对一切⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0x ,12--≥x ax ,即x x a 12+-≥成立.令⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=x x x x x g 11)(2.易知⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x g 1)(在⎥⎦⎤⎝⎛21,0内为增函数. ∴当21=x 时，25)(max-=x g .∴a 的取值范围是25-≥a ,即a 的最小值是25-.故选C.7.C 点拨：由题图知抛物线顶点坐标为（6，11），且过点（4，7）.设()1162+-=x a y ,将（4，7）代入，得()116472+-=a ,∴1-=a . ∴()251211622-+-=+--=x x x y .∴年平均利润为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=x x x x x y 25121225.∵1025≥+x x （当且仅当x x 25=,即x =5时，取“=”）,∴当x =5时，xy 有最大值2.故选C.8.A 点 拨：不等式组表示的平面区域如答图2所示的阴影部分，当直线ax +by =z (a ＞0,b ＞0)过直线02=+-y x 与直线063=--y x 的交点（4，6）时，目标函数by ax z += (a ＞0,b ＞0)取得最大值12，即4a +6b =12,即2a +3b =6,而62526136136323232=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+•⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a ab b a b aba(当且仅当a =b =56时取“=”),故选A.答图2 答图3二、9. 6 点拨：平面区域如答图3所示，平移直线02=-y x ,当直线过点A (3,0)时，目标函数的值最大，最大值为6.10.4 点拨：依题意f (x )的最小值为0，所以a ＞0且0211=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-c aaa f ,即a ＞0且ac =1,所以c ＞0,故422112222=+≥+++=+++=+++ac ac c a c a accc a a a c c a ，当且仅当a =c =1时，等号成立.11.①②③ 点拨：对于①,∵ab ＞c 2,∴212222cos 22222=-≥-+>-+=ab ab ab ab ab b a ab c b a C (当且仅当a =b 时取“=”).又∵C ∈(0,π),∴⎪⎭⎫⎝⎛∈3,0πC ,∴①正确.对于②，∵a +b ＞2c ＞0,∴4)(22b ac +<.∴()()21222143242cos 22222222=≥-+=+-+>-+=ab ab ab abb a abba b a abcb a C (当且仅当a =b 时取“=”).又∵C ∈(0,π),∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,0πC ,∴②正确.对于③, ∵333c b a =+,∴()()()()=-+=+-+=-+33422423332232322233b a b a b a b a b a c b a()04233332222>≥-+b a ab b a b a （当且仅当a =b 时取“=”）.∴(a 2+b 2)3＞(c 2)3,即a 2+b 2＞c 2.∴02cos 222>-+=ab c b a C ,∴2π<C ,∴③正确. 对于④，∵0＜(a +b )·c ＜2ab ,∴()ab b a b a c ≤+<22224 (当且仅当a =b 时取“=”).∴021222cos 22222>=≥-+>-+=ab ab ab ab b a ab c b a C (当且仅当a =b 时取“=”),∴2π<C ,故④不正确.对于⑤，∵(a 2+b 2)·c 2=2a 2b 2, ∴ab ab b a ba b a c =≤+=2222222222(当且仅当a =b 时取“=”), ∴212222cos 22222=-≥-+≥-+=ab ab ab ab ab b a ab c b a C (当且仅当a =b 时取“=”).又∵C ∈(0,π),∴⎥⎦⎤⎝⎛∈30π，C ,故⑤不正确.∴正确命题为：①②③. 三、12.解：（1）由082=-+xy y x ,得128=+yx ,又x ＞0, y ＞0，则xy y x y x 8282281=⋅≥+=,得xy ≥64.当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+,28,128yx yx 即⎩⎨⎧==4,16y x 时等号成立.此时（xy ）min =64. (2)由082=-+xy y x ,得128=+yx, 则()1882210821028=⋅+≥++=+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+x yy x x y y x y x y x y x .当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+,82,128x yyx yx 即⎩⎨⎧==6,12y x 时等号成立.此时(x +y )min =18. 13.解：设甲、乙两种原料各用10x g 、10y g ，所需费用为z 元.由题意，得z =3x +2y ,线性约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,40410,2275y x y x y x 画出可行域如答图4中阴影部分.作直线l 0:3x +2y =0,则易知当l 0平移至l 位置时，z 有最小值，此时l 过点A .由⎩⎨⎧=+=+40410,3575y x y x 得⎪⎭⎫ ⎝⎛3,514A .∴用甲、乙原料分别为514×10=28(g),3×10=30(g)时，费用最省. 温馨提示：本题设“甲、乙原料分别为10x g 、10y g ”比设“甲、乙原料分别为x g,y g ”运算方便.答图414.解：设()1-+=x x ax x f ,则()()1111111)(-+-++=-++=x x a a x ax x f , ∵x ＞1,∴1-x ＞0,∴()2121)(+=++≥a a a x f .当且仅当()()1111>-=-x x x a ,即a x 11+=时，上式取“=”，又f (x )＞b 恒成立，∴()21+<a b ,又∵a ＞0,b ＞0,∴b a >+1.。

专题 直线方程综合训练一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1. 两条直线mx ＋y －n ＝0和x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1C.⎩⎨⎧-≠=11n m ，D.⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m ，或， 2. 已知直线l 1的方程是y ＝ax ＋b ，l 2的方程是y ＝bx －a (ab ≠0，a ≠b )，则图1中准确的是( )A B C D图13. 已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，交点为(1，p )，则m －n ＋p 的值是( ) A.24 B.20 C.0 D.－44. 已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝x 对称，直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为( ) A.21 B ．－21C ．－2D ．2 5.已知点A (－3，－4)，B (6，3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( ) A.97 B ．－31 C ．－97或－31 D. 97或31 6．过点)1,1(P 作直线l ，与两坐标相交，所得三角形面积为2，则这样的直线l 有 （ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．若),(y x M 在直线上012=++y x 移动，则yx42+的最小值是（ ）A ．22B ．2C ．22D ．24 8．已知ABC ∆的一个顶点为)1,3(-A ，B ∠被y 轴平分，C ∠被直线x y =平分，则直线BC 的方程是 （ ） A ．052=+-y x B ．032=+-y x C ．053=+-y x D ． 052=-+y x 9．直线l 过点A (3,4)，且与点B (－3,2)的距离最远，则直线l 的方程为( )A ．3x －y －5＝0B ．3x －y ＋5＝0C ．3x ＋y ＋13＝0D ．3x ＋y －13＝010.与两平行直线：1l ：;093=+-y x l 2：330x y --=等距离的直线方程为 . 2212.直线l 过点(1,0)且被两条平行直线l 1：3x ＋y －6＝0和l 2：3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为91010，则直线l 的方程 1．如图，矩形OABC 的顶点O 为原点，AB 边所在直线的方程为34250x y +-=，顶点B 的纵坐标为10．（1）求OA OC ，边所在直线的方程；（2）求矩形OABC 的面积．2在ABC ∆中，C ∠的平分线所在直线l 的方程为2y x =，若点()()4,2,3,1A B -． （1）求点A 关于直线l 的对称点D 的坐标；（2）求AC 边上的高所在的直线方程； （3）求ABC ∆得面积．3．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．4．直线L 经过点)2,1(P ，且被两直线L 1：02y x 3=+-和 L 2：01y 2x =+-截得的线段AB 中点恰好是点P ，求直线L 的方程．5．已知△ABC 的顶点为A(3，－1)，AB 边上的中线所在的直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在的直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在的直线方程．6．已知直线l ：()()212m x m y ＋＋－＋4－3m ＝0.(2)过定点M 作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线l 1的方程．7．光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点()1,6C ,求BC 所在直线的方程及点B 的坐标．8．(本小题满分12分) 已知两点)1,4(),3,2(B A ，直线022:=-+y x l ，在直线l 上求一点P .（1 （2.9．（本题满分14分）在平行四边形ABCD 中，(11)(71)(46)A B D ，，，，，，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ，（1）求直线CM 的方程 （2）求点P 的坐标．10．（本题8分）如图，已知点A(2,3), B(4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．（Ⅰ）求AB 边上的高CE 所在直线的方程； （Ⅱ）求△ABC 的面积．11．设10,x y -+=求341062222+++-++=y x y x y x d 229304+--y x 的最小值.12．（本题6分）已知直线l的倾斜角为135，且经过点P(1,1)．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求点A(3,4)关于直线l的对称点A的坐标．参考答案边所在直线的方程为430x y -=， OC 边所在直线的方程为340x y +=；（2）OABC S =．[－2 3．（1）3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0 （2）(－∞，－1] 4．011y 4x 3=-+.5．2x ＋9y －65＝0. 6．（1）见解析（2）2x ＋y ＋4＝07．直线方程为：5270x y -+=；8．（1）直线A 1B 与l 的交点可求得为.（2）直线AB 与l 的交点可求得为()3,8-P ，它使.9．（1）10.（Ⅰ）x －y －1＝0． 11．29312．（Ⅰ）x ＋y －2＝0；（Ⅱ）A(－2,－1)．参考答案及点拨一、1. D 点拨：由m 2－1＝0得m ＝±1.当m ＝1时，由－n ≠1知，n ≠－1；当m ＝－1时，n ≠1，故选D.2. A 点拨：直线l 1的斜率为a ，在y 轴上的截距为b ;直线l 2的斜率为b ，在y 轴上的截距为－a .选项A 中，由直线l 1知⎩⎨⎧，＞，＜00b a 由l 2知⎩⎨⎧-，＞，＞00b a 即⎩⎨⎧，＞，＜00b a 没有矛盾.其他选项都有矛盾.3. B 点拨：由直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，知524⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-m ＝－1⇒m ＝10，∵交点为(1，p )，∴⎩⎨⎧-=-=∴⎩⎨⎧=+-=-+，，，，12205202410n p n p p ∴m －n ＋p ＝20.4. A 点拨：AB 的中点在与l 1，l 2平行且到l 1，l 2距离相等的直线上，易知所求最小值为原点到l 1，l 2距离的平均数.5. C 点拨：∵直线l 1与l 2关于y ＝x 对称，∴直线l 2的方程为x ＝2y ＋3，即y ＝21x －23，∴212=l k .又l 3⊥l 2，∴231l l k k -=－2. 6. C 点拨：由题意及点到直线的距离公式得1136114322+++=++--a a a a ，解得a ＝－31或－97. 二、7. 4; ()⎪⎩⎪⎨⎧+≥+)10(32132＜＜k k k k点拨：根据题意，得d (A ，O )＝|－1－0|＋|3－0|＝4，令M (x ，kx ＋k ＋3)，则d (B ，M )＝|x －1|＋|kx ＋k ＋3|，当0＜k ＜1时，点M (1，2k ＋3)在直线kx －y ＋k ＋3＝0上，易知d (B ，M )的最小值为2k ＋3，当k ≥1时，点M (－1－k3，0)在直线kx －y ＋k ＋3＝0上，易知d (B ，M )的最小值为2＋k3. 8.59点拨：可用消元法：x ＝3－2y 代入x 2＋y 2，化为(3－2y )2+y 2求最值；或用解析法：将x 2＋y 2视为直线x ＋2y －3＝0上的点P (x ，y )与原点O (0，0)间距离的平方．其最小值为原点到直线x ＋2y －3＝0的距离的平方，故(x 2＋y 2)min ＝253⎪⎪⎭⎫⎝⎛-＝59. 9. 2 点拨：直线y ＝ax ＋8关于直线y ＝x 对称的直线的方程为x ＝ay ＋8，所以直线x ＝ay ＋8与y ＝－21x ＋b 为同一直线，故得⎩⎨⎧=-=，，42b a 所以a ＋b ＝2.10. ⎪⎭⎫⎝⎛-32,31 点拨：整理为x －y ＋1＋λ (2x ＋y )＝0，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+=+-，，解得，，32310201y x y x y x ∴恒过点⎪⎭⎫⎝⎛-32,31． 11.［0，10］ 点拨：因为d =5315)3(4134422a a -=-+--⨯≤3，所以|3a －15|≤15，所以－15≤3a －15≤15，所以0≤3a ≤30，所以0≤a ≤10．三、12. 解：易知A 不在两条高所在的直线上，不妨设AB 、AC 边上的高所在的直线方程分别为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，则AB 、AC 边所在的直线方程分别为y －2＝－23(x －1)，y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，y －x －1＝0.由⇒⎩⎨⎧=+=-+00723y x y x ，B (7，－7)，由⇒⎩⎨⎧=+-=--013201y x x y ，C(－2，－1)．所以BC 边所在直线的方程为727717---=+-+x y ，即2x ＋3y ＋7＝0.13. 解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线OA 的方程为y ＝x ，直线OB 的方程为y ＝－33x .设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,23n m n m ，由点C 在直线y ＝21x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---⋅=+，，1301023212n n m m nm n m 解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝233133+=-，所以直线AB 的方程为y ＝233+ (x －1)，即(3＋3)x －2y －3－3＝0. 14. 解：设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边所在的直线l 1的方程为x ＋3y ＋c ＝0.由⎩⎨⎧=++=+-01022y x y x ，得正方形的中心为P (－1，0)，由点P 到两直线l ，l 1的距离相等，得22223113151++-=+--c ，解得c ＝－5或c ＝7(－5不合题意，舍去)，∴l 1：x ＋3y ＋7＝0.又∵正方形另两边所在直线与l 垂直，∴设另两边所在直线的方程分别为3x －y ＋a ＝0，3x －y ＋b ＝0.∵正方形中心到四条边的距离相等，∴22223151)1(33+--=-++-a ，解得a ＝9或a ＝－3，易知正方形的其他两条边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，3x －y －3＝0.∴正方形的其他三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0，3x －y －3＝0.。

第三章 函数的应用单元检测卷(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【答案】：C【解析】：因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是连续不断的，且f(2)＝3－1>0，f(4)＝32－2<0，所以，函数f(x)的零点在区间(2，4)内． 2.函数f(x)＝ln 2x －3lnx ＋2的零点是( )A ．(e,0)或(e 2，0)B ．(1,0)或(e 2，0)C ．(e 2，0)D ．e 或e 2 【答案】：D【解析】：f(x)＝ln 2x －3lnx ＋2＝(lnx －1)(lnx －2)，由f(x)＝0得x ＝e 或x ＝e 2.3．当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( ) A ．y ＝3x B ．y ＝log 3x C ．y ＝x 3D ．y ＝3x【答案】：D【解析】：几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D ．4.已知函数f (x )的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )A ．4,4B ．3,4C ．5,4D ．4,3【答案】：D【解析】：图象与x 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.5.设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f(−12)⋅f(12)<0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内( )A ．可能有3个实根B ．可能有2个实根C ．有唯一实根D ．没有实根【答案】：C【解析】：由于f(x)＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f(−12)⋅f(12)<0，所以f(x)在（−12，12）上有唯一零点，即方程f(x)＝0在[－1，1]内有唯一实根． 6.方程|x |－ax ＝0(a >0)的零点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．至少1个【答案】：A【解析】；令f(x)＝|x|，g(x)＝a x(a>0)，作出两个函数的图象，如图，从图象可以看出，交点只有1个．7．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f(x)的图象大致是( )【答案】：D【解析】：设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意，ax ＝a(1＋0.104)y ，故y ＝log1.104x(x ≥1)， ∴y ＝f(x)的图象大致为D 中图象．8．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.4【答案】：B【解析】：由题意可知函数的零点在(0.68,0.72)内，四个选项中只有0.7，满足|0.7－0.68|<0.1，故选B ． 9.已知关于x 的方程a·4x ＋b·2x ＋c ＝0(a≠0)，常数a ，b 同号，b ，c 异号，则下列结论中正确的是( ) A ．此方程无实根 B ．此方程有两个互异的负实根 C ．此方程有两个异号实根 D ．此方程仅有一个实根 【答案】：D【解析】：由常数a ，b 同号，b ，c 异号，可得a ，c 异号，令2x ＝t ，则方程变为at 2＋bt ＋c ＝0，t>0，由于此方程的判别式Δ＝b 2－4ac>0，故此方程有2个不等实数根，且两根之积为ca <0，故关于t 的方程只有一个实数根，故关于x 的方程只有一个实数根．10．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年 【答案】：D【解析】：设从2016年起，过了n(n ∈N*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg2013lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2 016＝2 020.故选D.11．已知f(x)是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f(2x 2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18C ． －78 D ．－38 【答案】：C【解析】：依题意，方程f(2x 2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x 2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x －λ)有1个实数解.∴2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0有两相等实数解， 故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.12.已知函数f(x)＝{e x ,x ≤0lnx,x >0,g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞) 【答案】：C【解析】：令h(x)＝－x －a ，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y ＝f(x)，y ＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y ＝f(x)的图象与y ＝h(x)的图象有2个交点． 平移y ＝h(x)的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝lg x ＋1的零点是______.【答案】：110.【解析】：由lg x ＋1＝0，得lg x ＝－1，所以x ＝110.14．设y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z)，则n ＝________.【答案】：1【解析】：作出y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象观察可知1<x 0<2.故n ＝1.15.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为_______【答案】：3【解析】：g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1，1－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x <1，易知当x ≥1时，函数g(x)有1个零点；当x<1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，16.已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R.若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．【答案】(0,1)∪(9，＋∞)【解析】：设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|. 在同一平面直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |， y 2＝a |x －1|的图象，如图．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同的解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，该方程有两个不等实根． 所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0，解得a <1或a >9. 又由图象得a>0， ∴0<a<1或a>9.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围．解：设f(x)＝3x 2－5x ＋a ，则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)． ∵f(x)＝0的两根分别在区间(－2,0)，(1,3)内， ∴{f (−2)>0f(0)<0 f(1)<0 f(3)>0 即{3×(−2)2−5×(−2)+a >0a <03−5+a <03×9−5×3+a >0解得－12<a<0.∴所求a 的取值范围是(－12,0)．18.（本小题满分12分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM 面积的最大值． 解：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米． 又⊥EPQ ⊥⊥EDF ， 所以EQ PQ ＝EFFD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米， 则S (x )＝xy ＝x (10−x2)＝－12(x －10)2＋50，S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ⊥[4,8]时，S (x )单调递增． 所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．19.（本小题满分12分）关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围解：设f(x)＝x2＋(m －1)x ＋1，x⊥[0,2]，⊥若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解x0，当0<x 0<2时， ⊥f(0)＝1>0，则f(2)<0，又f(2)＝22＋(m －1)×2＋1， ⊥m<－32；当x 0＝2时，42(m 1)10122m +-+=⎧⎪⎨-->⎪⎩,无解．②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则1022(2)0mf∆≥⎧⎪-⎪≤-≤⎨⎪≥⎪⎩,即是：2(m1)40314(m1)210m⎧--≥⎪-≤≤⎨⎪+-⨯+≥⎩∴313132m mmm⎧⎪≥≤-⎪-≤≤⎨⎪⎪≥-⎩或,所以－32≤m≤－1.由①②可知m的取值范围是(－∞，－1]．20.（本小题满分12分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3500元(即3500元以下不必纳税，超过3500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：(1)列出公民全月工资总额(2)刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？解：(1)依题意可得：⊥当0<x≤3500时，y＝0.⊥当3500<x≤5 000时，y＝(x－3500)×3%＝0.03x－105.⊥当5000<x<8000时，y＝45＋(x－5000)×10%＝0.1x－455，综上可得y＝0,035000.03105,35005000 0.1455,50008000xx xx x<≤⎧⎪-<≤⎨⎪-<<⎩.(2)因为需交税300元，故有5000<x<8000，所以300＝0.1x－455，所以x＝7550.答：刘丽十二月份工资总额为7550元．21.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x －2|，G(x)＝m ，画出F(x)的图象如图所示．由图象看出，当m ＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解； 当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t 2＋t ，因为H(t)＝（t +12）2－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.因此要使t 2＋t>m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0].22．（本小题满分12分）设函数f(x)＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A(2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g(x)．(1)求g(x)的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标． 解：(1)设点P(x ，y)是C 2上的任意一点， 则P(x ，y)关于点A(2,1)对称的点P′(4－x,2－y)， 代入f(x)＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，⊥g(x)＝x －2＋1x －4.(2)由124y m y x x =⎧⎪⎨=-+⎪-⎩消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0. Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)，⊥直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ⊥Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．。

第三章 函数的应用过关检测(时间90分钟,满分100分)一、选择题（每小题4分，共40分） 1.函数y ＝x 2－2x －3的零点是（ ） A.1，－3 B.3，－1C.1，2D.不存在2.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（ ）3.方程x －1＝lg x 必有一个根的区间是（ ） A.(0.1,0.2)B.(0.2,0.3)C.(0.3,0.4)D.(0.4,0.5)4.下列函数中增长速度最快的是（ ） A.xy e 1001=B.y ＝100ln x C 100x y = D.y ＝100·2x 5.若函数y (x )唯一的一个零点一定在三个区间(2,16)、(2,8)、(2,4)内,那么下列命题中正确的（ ）A.函数y (x )在区间(2,3)内有零点B.函数y (x )在区间(2,3)或(3,4)内有零点C.函数y (x )在区间(3,16)内无零点D.函数y (x )在区间(4,16)内无零点6.如右图所示,阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H),则该函数的图象是下面四个图形中的（ ）7.某人2006年7月1日到银行存入a 元,若按年利率x 复利计算,则到2009年7月1日可取款（ ）A.a (1＋x )2元 B.a (1＋x )4元 C.a ＋(1＋x )3元 D.a (1＋x )3元8.已知函数f (x )＝2mx ＋4,若在［－2,1］上存在x 0,使f (x 0)＝0,则实数m 的取值范围是（ ） A ［25-,4］ B.(－∞,－2］∪［1,＋∞) C.［－1,2］ D.［－2,1］9.某商品进价为每件40元,当售价为50元/件时,一个月能卖出500件,通过市场调查发现,若每件商品的单价每提高1元,则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高,则应将每件商品定价为（ ） A.45元B.55元C.65元D.70元10.某工厂2005年生产电子元件2万件,计划从2006年起每年比上一年增产10%,则2009年大约可生产电子元件(精确到0.01万件)（ ） A.2.42万件 B.2.66万件 C.2.93万件 D.3.22万件 二、填空题(每小题4分,共16分)11.因为方程f (x )＝x －4＋2x在区间［1,2］上满足_______,所以y (x )＝0在区间［1,2］有根.12.某工厂1993年底某种产品年产量为a ,若该产品的年平均增长率为x ,2009年底该厂这种产品的年产量为y ,那么y 与x 的函数关系式是____________.13.某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为kty e =，其中k 为常数,t 表示时间,y 表示细菌个数.则k ＝______时,经过5小时,1个病菌能繁殖为______. 14.当x ＞0时, x 2和x ln x 中较大的一个是_______.三、解答题(15、16小题各10分,17、18小题各12分,共44分) 15.设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －a b 的两个零点分别是－3和2; (1)求f (x );(2)当函数f (x )的定义域是［0,1］时,求函数f (x )的值域.16.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少31,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知lg2＝0.301,lg3＝0.477)17.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度为T 0，经过一段时间t 后的温度是T,则h ta a T T T T )21()(0⋅-=-，其中a T 表示环境温度,h 称为半衰期.现在有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么由88 ℃降温到28 ℃,需要多少时间?18.星期天,刘老师到电信局打算上网开户,经询问,记录了可能需要的三种方式所花费的费用资料,现将资料整理如下:①163普通:上网资费2元/小时;②163A:每月50元(可上网50小时),超过50小时的部分资费2元/小时;③ADSLD:每月70元,时长不限(其他因素均忽略不计). 请你用所学的函数知识对上网方式与费用问题作出研究: (1)分别写出三种上网方式中所用资费与时间的函数解析式; (2)在同一坐标系内分别画出三种方式所需资费与时间的函数图象; (3)根据你的研究,请给刘老师一个合理化的建议.参考答案1解析:方程x 2－2x －3＝0的解是x 1＝3,x 2＝－1,所以函数的零点是－1，3，故选B. 答案:B2解析:C 中图象中的零点O 两侧的函数值为同号. 答案:C3解析:y (x )＝lg x －x ＋1,f (0.1)＝lg0.1－0.1＋1＝－0.1＜0,f (0.2)＝lg0.2－0.2＋1≈0.1＞0,f (0.1)f (0.2)＜0. 答案:A4解析:通过三类函数增长情况的比较:知指数函数当底数大于1时,增长速度最快.因为e ＞2,所以xy e 1001=最快. 答案:A5解析:依题意知,零点x 0∈(2,4),故在（4,16）内无零点,即D 正确. 答案:D6解析:当2Hh =时，对应阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，且随着h 的增大，S 随之减小，故排除A 、B 、D ，选择C. 答案:C7解析:由题意知,2007年7月1日可取款a (1＋x )元, 2008年7月1日可取款a (1＋x )·(1＋x )＝a (1＋x )2元,2009年7月1日可取款a (1＋x )2·(1＋x )＝a (1＋x )3元.答案:D8解析:由题意,知m ≠0,故y (x )是单调函数.又在［－2,1］上存在x 0,使f (x 0)＝0, 所以f (－2)·f (1)≤0.所以(－4m ＋4)·(2m ＋4)≤0,即(m －1)(m ＋2)≥0, 得⎩⎨⎧≥+≥-0201m m 或⎩⎨⎧≤+≤-0201m m 可解得m ≤－2或m ≥1.答案:B9解析:设每件商品定价为x 元,则月利润为［500－10(x －50)］(x －40)＝－10(x －70)2＋9 000.所以当x ＝70时,利润最大. 答案:D10解析:2009年可生产2×(1＋10%)4≈2.93(万件). 答案:C11答案:f (1)·f (2)＜0且f (x )的图象在［1,2］内是一条连续曲线 12解析:1994年底这种产品的年产量为a (1＋x ),1995年底这种产品的年产量为a (1＋x )·(1＋x )＝a (1＋x )2, 1996年底这种产品的年产量为a (1＋x )2·(1＋x )＝a (1＋x )3 ……2009年底这种产品的年产量y ＝a (1＋x )16. 答案:y ＝a (1＋x )1613解析:将(21,2)代入ktey =得k e212=∴21k ＝ln2,k ＝2ln2. 这时函数解析式为y ＝e2t ln2＝e ln2t＝22t,令t ＝5,则得一个细菌经5小时繁殖为y ＝210＝1 024.答案:2ln2 1 02414解析:作出y ＝x 与y ＝ln x 的图象,可看出y ＝x 的图象在y ＝ln x 的图象的上方.因为x ＞0,x －ln x ＞0,所以x (x －ln x )＞0,故有x 2＞x ln x . 答案:x 215解:(1)∵f (x )的两个零点是－3和2,∴函数图象过点(－3,0)、(2,0). ∴9a －3(b －8)－a －ab ＝0, ① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0. ② ①－②,得b ＝a ＋8. ③③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0,即a 2＋3a ＝0. ∵a ≠0,a ＝－3,∴b＝a ＋8＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18. (2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3(x ＋21)2＋43＋18, 图象的对称轴方程是x ＝21-,且0≤x ≤1,∴12)1()(min ==f x f ,18)0()(max ==f x f , ∴函数f (x )的值域是［12,18］. 16解:依题意,得1002·(32)n ≤10001,即n )32(≤201,两边同时取常用对数, 得)2lg 1()3lg 2(lg +-≤-n ,故4.72lg 3lg 2lg 1≈-+≥n .因为n∈N *,所以n≥8,即至少要过滤8次才能达到市场要求.17解:由题意知h 20)21()2488(2040⋅-=-,即h 20)21(41=, ∴h ＝10.故10)21()2488(24tT ⋅-=-.∴当T ＝28时, 1012124-882428）（）＝（⋅-, 即410)21(16121==t）（,∴410=t,t ＝40,因此,约需40分钟,可降温到28 ℃. 18解:(1)上网费用y (元)与上网时间t (小时)的函数关系: ①163普通:y ＝2t (t ≥0);②163A:⎩⎨⎧>-+≤≤=.50),50(250500,50t t t y ，③ADSLD:y ＝70(t ≥0);(2)如下图所示(3)163普通:适合不常上网,偶尔上网的,当每月上网时间t ≤25小时时,这种方式划算. 163A:适合每月上网25~60小时的情况.ADSLD:每月上网时间t ≥60小时的情况,用此方式比较合算。