第九章 扭转

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二、极惯性矩与抗扭截面系数
I p A dA
2
10
d
Wp
Ip R

1、实心圆截面
O
D
I p A dA 0 2 d
2 R 3
1 2
R
4
D
4
32
∴ I p
Wp
D
Ip R
4
单位：m4，cm4，mm4。
Ip
32

D
3
单位：m3，cm3，mm3。
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1
T1 MC
2
2
T3
B MB
3
D
T2
B
C
(3) 绘制扭矩图
6
MB
T1 = –4.775 kN· m T2 = –9.55 kN· m
MC
MA
MD
T3 = 6.336 kN· m
B
C
A
6.336
D
T
C B 4.775 9.55 CA 段为危险截面：
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+
-
A
D
x
| T |max = 9.55 kN· m
Ti li GI p
i
15
(rad/m)
在工程上限制 ，使其不超过许用扭转角 [ ]：
max
Tmax GI p
∵ ：rad/m， [ ]：º /m ∴
max
T GI p 180


(/m)
对一般传动轴： [ ] = (0.5~1.0) º /m 对精密机械的轴： [ ] = (0.25~0.50) º /m

T 1000 0.04 3 Wp (1 0.54 )
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx

上式写成通用形式为：
绕第i室的 周线积分
ds ds qi qk 2GA2 t k i k t i
沿第i与第k 室的公共 壁积分 （9-13）
式中，i=1,2,3,…,n；
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
令
qi qi G
（9-14）
qi 第i室的扭转常数,式（9-13）可写为：
§9－1 概述
薄壁杆件在实际工程上应用非常广泛。如桥梁工 程和海洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船 舶结构来说，船体骨架一般有薄壁杆件组成；整个船 体梁也是一根薄壁杆件。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
1.开口薄壁杆件的自有扭转 开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截 面所组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计 算公式和如下两个假定可导出薄壁杆件自有扭转的计 算公式。这两个假定是： （1）假定开口薄壁杆件自由扭转时，截面在其本身平 面内形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面 内的投影只作刚性平面运动。此即为刚周边假定； （2）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。
求扭转惯性矩及 剪流
300
Байду номын сангаас400
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
作业2、3、5
考试
考试题型： （1）选择填空 （2）判断题（不要解释理由，只要判断对错） 以上两项共54分，可能会增加题量，减小每题的分值 （3）计算题（基本运算）46分 计算题比作业题目简单，运算量小 重点在后面章节，与材料力学重复率低的章节 试验报告＋作业＝平时分 考试时计算题先把关键公式写下
M s 2 Ai qi
i 1
n
式中，Ai——第i个闭室壁厚中心线所围的面积。 仅由式(9-12)不能确定剪流qi（i=1、2、3、…n),还 必须利用变形协调条件才能确定剪流 qi。 刚周边假定对多闭室薄壁横截面仍然使用。据此， 各闭室具有相同的扭率，且等于杆件的扭率φ’。对于 图9-4所示的每一闭室，应用环流方程式(9-11)，例如 对于第2室，有

呈线性分布，圆心附近处应力较小，材料未能充分发挥作用。改
为空心轴后，相当于把少量轴心处的材料移向边缘，从而保证了
轴的强度。但是，空心轴价格昂贵，要视具体情况采用。故AB
轴满足强度要求 。
第九章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的变形与刚度计算
一、圆轴扭转时的变形计算
扭转变形是用两个横截面绕轴线的扭角来表示的。对于
MB
9550 PB n
9550 20 N m 199N m 960
MC
9550 PC n
9550 7.5 N m 75N m 960
式中，MA为主动力偶矩，与ABC轴转向相同；MB、 MC为 阻力偶矩，其转向与MA相反。
MA
解 1)计算外力偶矩。MA=274Nm；
MB=199Nm； MC=75Nm 2)计算扭矩。将轴分为两段，
(1 0.9444 )mm 3
29500mm 3
max
Mn Wn
1.5103 103
29500
MPa
50.8MPa
[ ]
故AB轴满足强度要求 。
第九章 圆轴的扭转
已知：D＝90mm，t=2.5mm， [ ] =60MPa，Mn=1.5kN·m。
1)试校核AB轴的强度。 2)如将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径。 3)比较实心轴和空心轴的质量。 解 1)校核AB轴的强度。
反形、力。偶矩大小相等的外力使
圆轴扭2转）。由当上扭述转现变象形可很认小为时：，
圆周线 O
M A'
OA
可扭观转察变到形：后，轴的横截面仍保 持平面，其形状和大小不变， M
OM
半径仍为直线。这就是圆轴扭
转的平面假设。