内蒙古包头市高三数学适应性考试试题(二)理

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）(包头市第二次模拟考试）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0。

5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.i 是虚数单位,i33i += 的实部与虚部之和为（）A ．错误!B 。

错误!C 。

错误! D. 错误! 2．“若12a ≥，则0x ∀≥,都有()0f x ≥成立”的逆否命题是（) A ．若0x ∃≥，有()0f x <成立，则12a <； B ．若0x ∃<,()0f x ≥，则12a <； C ．若0x ∀≥，都有()0f x <成立，则12a <； D ．若0x ∃<,有()0f x <成立，则12a <．3.现有2门不同的考试要安排在5天之内进行,每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（） 种.6 .8 .12 .16A B C D4. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为（ ）A. 23π B 。

2024届内蒙古自治区包头市高三下学期适应性考试（二）理综试题-高中物理一、单选题：本题共7小题，每小题4分，共28分 (共7题)第(1)题如图所示、倾角θ为37°的斜面体固定在水平面上，其上表面ABCD是长方形，AB边长为，BC边长为8m，物块与斜面间摩擦因数为0.5。

现要使一质量为m的小滑块从斜面顶端C点沿对角线CA做匀速直线运动，需要对小滑块施加一个平行于斜面的恒力F，重力加速度g，，，则F的大小为（ ）A．B．C．D．第(2)题某同学用图所示装置探究影响感应电流方向的因素，将磁体从线圈中向上匀速抽出时，观察到灵敏电流计指针向右偏转。

关于该实验，下列说法正确的是（ ）A．必须保证磁体匀速运动，灵敏电流计指针才会向右偏转B．若将磁体向上加速抽出，灵敏电流计指针也会向右偏转C．将磁体的N、S极对调，并将其向上抽出，灵敏电流计指针仍向右偏转D．将磁体的N、S极对调，并将其向下插入，灵敏电流计指针仍向左偏转第(3)题PET成像的原理是将放射性同位素C11注入人体，它会发生衰变，其衰变方程为。

正电子和人体内的负电子相遇湮灭成一对光子，光子被探测器探测后经计算机处理形成清晰的图像。

下列说法正确的是（）A．正电子是原子核中一个质子转化成中子时释放的B．正负电子湮灭过程电荷数不守恒C．C11的比结合能比B11的比结合能大D．该衰变前后物质的总质量不变第(4)题如图所示为橙子简易筛选装置，两根共面但不平行的直杆倾斜放置，橙子沿两杆向下运动，大、中、小橙落入不同区域。

橙子可视为球体，假设细杆光滑，不考虑橙子转动带来的影响。

某个橙子从静止开始下滑到离开细杆的过程中，则（）A．橙子受到每根杆的弹力不变B．橙子在杆上运动时所受合力为零C．离开杆后，橙子在空中做匀变速直线运动D．离开杆后，大橙的速度变化与小橙的一样快第(5)题一定质量的理想气体从状态开始分别经过等温膨胀和绝热过程，到达状态和，、状态的体积相同，则（ ）A．状态的内能等于状态B．状态的内能小于状态C．与过程对外做功相等D．过程吸收的热量大于过程对外做的功第(6)题1885年，瑞士科学家巴尔末对当时已知的氢原子在可见光区的4条谱线（记作、、和）作了分析，发现这些谱线的波长满足一个简单的公式，称为巴尔末公式。

内蒙古包头市2021届新高考第二次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ）A ．3πB ．3π-C ．23πD ．23π- 【答案】B【解析】【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-.故选：B【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.2．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x fx -⋅+⋅>，若3(2)y f x e =+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ）A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞ 【答案】A【解析】【分析】构造函数()()x x f x g x e⋅=，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()32y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集.【详解】构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''10x x f x x f x g x e-⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()32y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()320y f e =-=，所以()32f e =，所以()32222e g e e⨯==.由1()20x x f x e +⋅-<得()()()22x x f x g x e g e ⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞. 故选：A【点睛】 本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.3．己知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点,M N 分别在抛物线C 上，且30MF NF +=，直线MN 交l 于点P ，NN l '⊥，垂足为N '，若MN P '∆的面积为243，则F 到l 的距离为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】D【解析】【分析】作MM l '⊥，垂足为M '，过点N 作NG MM '⊥，垂足为G ，设(0)NF m m =>，则3MF m =，结合图形可得2MG m =，||4MN m =，从而可求出60NMG ∠=︒，进而可求得6MP m =，3N P m '=，由MN P '∆的面积12△MN P S MM N P '''=⋅⋅243=即可求出m ，再结合F 为线段MP 的中点，即可求出F 到l 的距离．【详解】如图所示，作MM l '⊥，垂足为M '，设(0)NF m m =>，由30MF NF +=，得3MF m =，则3MM m '=，NN m '=.过点N 作NG MM '⊥，垂足为G ，则M G m '=，2MG m =，所以在Rt MNG ∆中，2MG m =，||4MN m =，所以||1cos ||2MG GMN MN ∠==， 所以60NMG ∠=︒，在Rt PMM '∆中，||3MM m '=，所以6cos60MM MP m '==，所以2NP m =，N P '=，所以 11322MN P S MM N P m '''=⋅⋅=⋅=△4=m ， 因为||||||3||FP FN NP m FM =+==，所以F 为线段MP 的中点，所以F 到l 的距离为||3622MM m p '===． 故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题．4．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（ ）A ．[)1,+∞B ．[)0,+∞C ．(],0-∞D ．(],1-∞ 【答案】A【解析】【分析】构造函数()()1g x f x =-，通过分析()g x 的单调性和对称性，求得不等式()(32)2f x f x +-≤的解集. 【详解】构造函数()()()11111x x g x f x e x e --=-=-+-，()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到()()11x x h x g x e x e =+=-+， ()h x 的定义域为R ，且()()1x x h x e x h x e-=--=-， 所以()h x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 图像关于()1,0对称.不等式()(32)2f x f x +-≤等价于()()13210f x f x -+--≤，等价于()()320g x g x +-≤，注意到()10g =，结合()g x 图像关于()1,0对称和()g x 单调递增可知3221x x x +-≤⇒≥.所以不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是[)1,+∞.故选：A【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.5．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．5D ．8【答案】B【解析】【分析】 列举出循环的每一步，可得出输出结果.【详解】4i =，3S =，22S a b >不成立，239S ==，415i =+=；22S a b >不成立，2981S ==，516i =+=；22S a b >不成立，2816561S ==，617i =+=；22S a b >成立，输出i 的值为7.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题. 6．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=333388=4441515=55552424=，则按照以上规律，若10101010n n=“穿墙术”，则n =（ ） A ．48B ．63C ．99D ．120 【答案】C【解析】【分析】观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n.【详解】解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1所以210199n =-=故选：C.【点睛】本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题.7．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A B C ．2D ．2【答案】C【解析】【分析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，所以b a =，由离心率公式e =即可算出结果.【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，又双曲线的焦点既可在x轴，又可在y 轴上，所以b a =2e ∴==故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.8．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米【答案】B【解析】【分析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，故导线长度约为230203ππ⨯=≈63(厘米).故选：B.【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．2 B．3 C．23D．12-【答案】B【解析】【分析】运行程序，依次进行循环,结合判断框，可得输出值.【详解】起始阶段有1i=，3S=，第一次循环后11132S==--，2i=，第二次循环后121312S==+，3i=，第三次循环后13213S==-，4i=，第四次循环后11132S==--，5i=，所有后面的循环具有周期性，周期为3，当2019i=时，再次循环输出的3S=,2020i=，此时20202019>，循环结束，输出3S=，故选：B【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ） ABC ．2D ．3 【答案】A【解析】【分析】由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率．【详解】 由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，∴12d c ==， 222214a b c c =，即22222()14a c a c c -=，42440e e -+=，e = 故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】【分析】【详解】 方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则112656212a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以51(51)15a =+-⨯=.故选C ． 方法二：因为166256()3()2a a S a a +==+，所以53(2)21a +=，则55a =.故选C ． 12．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ） A ．98 B ．78 C ．12 D ．6256【答案】A【解析】【分析】由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，进而可求得随机变量X 的数学期望值.【详解】由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，则()353810056C P X C ===，()21533830156C C P X C ===，()12533815256C C P X C ===，()33381356C P X C ===. 因此，随机变量X 的数学期望为()103015190123565656568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A.【点睛】 本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年内蒙古包头市高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=x−12},B={x||x|⩾3}，则A⋂(C R B)=()A. [0,3)B. (0,3)C. (3,+∞)D. (0,+∞)2.复数z=(1−i)(4−i)1+i的共轭复数的虚部为()A. −4iB. −4C. 4iD. 43.已知X的分布列如表：且b2=ac，a=12，则E(X)=()A. 19B. 13C. 12D. 234.若cos2αsin(α−π4)=−√22，则cosα+sinα的值为()A. −√72B. −12C. 12D. √725.从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a，b，则log a b为整数的概率()A. 56B. 12C. 13D. 166.设m为一条直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题正确的是()A. 若m//α，α//β，则m//βB. 若m//α，α⊥β，则m⊥βC. 若m⊥α,α//β，则m⊥βD. 若m⊥α,α⊥β，则m//β7.在一次数学竞赛中，甲、乙、丙、丁四个学生中有一人获得一等奖.甲说：“是丙或丁获得一等奖.”乙说：“是丁获得一等奖的.”丙说：“我没有获得一等奖.”丁说：“我没有获得一等奖.”他们中只有一人说了谎，则获得一等奖的是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)中，F2为其右焦点，A1为其左顶点，点B(0,b)在以A1F2为直径的圆上，则此双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. √3+12D. √5+129. 已知f(x)+f(1−x)=2，a n =f(0)+f(1n )+⋯+f(n−1n)+f(1)(n ∈N ∗)，则数列{a n }的通项公式为( )A. a n =n −1B. a n =nC. a n =n +1D. a n =n 210. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A. πB. 3π4C. π2D. π411. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，若cos∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为( )A. 12B. 23C. √32 D. √2212. 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )={2x −1,x ∈[0,1)|x −3|−1,x ∈[1,+∞)，则函数g (x )=f (x )−a (0<a <1)的所有零点之和为( )A. 2a −1B. log 2(a −1)C. log 2(a +1)D. 2−a −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(3,√3)，b ⃗ =(1,0)，则a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．14. 设函数f(x)=sin (ωx +π3)，其中ω>0，若函数f(x)在[0,2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是_________．15. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =2，，则的取值范围是 ．16. 有下列命题：①x =0是函数f (x )=x 3的极值点；②函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)有极值点的充要条件是b 2−3ac >0； ③奇函数f (x )=mx 3+(m −1)x 2+48(m −2)x +n 在区间(−4,4)上单调递减． 其中假命题的序号是________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3a4=117，a2+a5=22．(1)求数列{a n}的通项公式．(2)若数列{b n}满足b n=S n，是否存在非零实数c使得{b n}为等差数列？若存在，求出c的值；n+c若不存在，请说明理由．18.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF//AB，EF⊥EA，AB=2EF=2，∠AED=90∘，AE=ED，H为AD的中点．(Ⅰ)求证：EH⊥平面ABCD；(Ⅱ)在线段BC上是否存在一点P，使得二面角B−FD−P的大小为π？若存在，求BP的长；若3不存在，请说明理由．19.随着经济的发展，人民的收入水平逐步提高，为了解北京市居民的收入水平，某报社随机调查了10000名居民的月收入，得到如下的频率分布直方图：(1)求a的值及这10000名居民的平均月收入x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)①通过大数据分析，北京人的月收入服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ=x−，σ=2.9，求北京人收入ξ落在(6.1,9)的概率；②将频率视为概率，若北京某公司一部门有3人，记这3人中月收入落在(7,11)的人数为X，求X的数学期望．附：若ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.954420.已知函数f(x)=lnx−ax2+1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a=0，xf(x)>k(x−1)在(1,+∞)上恒成立，求整数k的最大值．21. 设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若|AF|=2|BF|，求直线l 的斜率；(2)设线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，求证：|AB|=2|DF|．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα+1(α为参数)，曲线C 2：{x =−√22s +1y =√22s −1(s 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线C 3的极坐标方程为ρcos θ−ρsin θ=2，记曲线C 2与C 3的交点为P ． (1)求点P 的极坐标；(2)设曲线C 1与C 2相交于A ，B 两点，求|PA|2+|PB|2的值．23. 已知：a 2+b 2=1，其中a ，b ∈R ．≤1；(1)求证：|a−b||1−ab|(2)若ab>0，求(a+b)(a3+b3)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题主要考查交，补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解题关键，属于基础题． 首先求出集合A ，B ，根据全集求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可． 解：由题意得A ={x|y =x −12}={x |x >0}，B ={x |x ≥3或x ≤−3}， 所以C R B ={x |−3<x <3}， 所以A ∩(C R B)=(0,3)； 故选B ．2.答案：D解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z .得答案． 解：∵z =(1−i)(4−i)1+i =(1−i)2(4−i)(1+i)(1−i)=−2i(4−i)2=−1−4i ，∴z =−1+4i ， ∴复数z =(1−i)(4−i)1+i的共轭复数的虚部为4．故选：D ．3.答案：A解析：本题考查分布列的性质及期望的计算，由分布列的性质，求出a ，b ，c ，然后利用期望的公式求解即可．解： 由已知有{a +b +c =1−518=1318b 2=aca =12，解得a=12,b=16,c=118(负值舍去)，所以E(X)=−1×12+0×16+1×118+2×518=19．故选A．4.答案：C解析：本题考查两角和与差的三角函数及二倍角公式，属基础题．由cos2α=cos2α−sin2α及sin(α−π4)=√22(sinα−cosα)即可得解．解：∵cos2αsin(α−π4)=22√22(sinα−cosα)=−√2(sinα+cosα)=−√22，∴cosα+sinα=12，故选C．5.答案：D解析：本题考查古典的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出log a b为整数满足的基本事件个数，由此能求出log a b为整数的概率．解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，基本事件总数有12种，log a b为整数满足的基本事件个数为(2,8)，(3,9)，共2个，∴log a b为整数的概率P=212=16．故选D．6.答案：C解析：本题主要考查了空间中直线和平面，平面和平面之间的位置关系，考查了学生的空间想象能力．解：若m//α，α//β，则m可能在β内，故A错误．若m//α，α⊥β，则m可能与β平行，故B错误．若m⊥α,α//β，则m⊥β，故C正确．若m⊥α,α⊥β，则m可能在β内，故D错误．故选C．7.答案：D解析：本题主要考查合情推理，考查学生的思维能力及推理能力，属基础题．分别假设甲乙丙丁获得一等奖，逐步分析每个人的话，即可判断是否符合题意．解：假设甲获得一等奖，甲、乙说了谎，矛盾；假设乙获得一等奖，甲、乙说了谎，矛盾；假设丙获得一等奖，丙、乙说了谎，矛盾；假设丁获得一等奖，只有丁说了谎，符合题意，所以是丁获得一等奖．故选D．8.答案：D解析：本题考查双曲线的离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．由题意，A1B⊥BF2，可得b2=ac，结合b2=c2−a2，即可得出结论．解析：解：由题意，A1B⊥BF2，∴b2=ac，∴c2−a2=ac，∴e2−e−1=0，∵e>1，∴e=√5+1．2故选：D．9.答案：C解析：本题考查了数列“倒序相加”求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 由f(x)+f(1−x)=2，a n =f(0)+f(1n )+⋯+f(n−1n)+f(1)，“倒序相加”即可得出．解：∵f(x)+f(1−x)=2，a n =f(0)+f(1n )+⋯+f(n−1n)+f(1)，∴2a n =[f(0)+f(1)]+[f(1n )+f(n−1n)]+⋯+[f(1)+f(0)]=2(n +1)，∴a n =n +1． 故选C ．10.答案：B解析：本题考查圆柱的体积公式，属于基础题．由圆柱的两个底面的圆在直径为2的同一个球的球面上，知此球的半径r =1，又圆柱的高2ℎ=1，进而得到圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式，即可得到答案． 解：由圆柱的两个底面的圆在直径为2的同一个球的球面上， 则球的半径r =1，又圆柱的高2ℎ=1，所以圆柱的底面半径为r 1=√r 2−(2ℎ2)2=√12−(12)2=√32，由圆柱体的体积公式得V =πr 12⋅2ℎ=π×(√32)2×1=3π4．故选B ．11.答案：D解析：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，勾股定理的逆定理，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设|F 1B|=k(k >0)，则|AF 1|=3k ，|AB|=4k ，由cos∠AF 2B =35，利用余弦定理，可得a =3k ，从而△AF 1F 2是等腰直角三角形，即可求椭圆E 的离心率．解：设|F 1B|=k(k >0)，则|AF 1|=3k ，|AB|=4k ， ∴|AF 2|=2a −3k ，|BF 2|=2a −k ∵cos∠AF 2B =35，在△ABF 2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF 2|2+|BF 2|2−2|AF 2|⋅|BF 2|cos∠AF 2B ， ∴(4k)2=(2a −3k)2+(2a −k)2−65(2a −3k)(2a −k)，化简可得(a +k)(a −3k)=0，而a +k >0，故a =3k ， ∴|AF 2|=|AF 1|=3k ，|BF 2|=5k ，∴|BF 2|2=|AF 2|2+|AB|2, ∴AF 1⊥AF 2,∴△AF 1F 2是等腰直角三角形， ∴c =√22a ， ∴椭圆的离心率e =ca =√22，故选D ．12.答案：C解析：本题考查的是函数的奇偶性和函数零点与方程根的关系，属于中档题． 解：因为f(x)满足：f (x )={2x −1,x ∈[0,1)|x −3|−1,x ∈[1,+∞)，则函数f(x)={2x −1,x ∈[0,1)−x +2,x ∈[1,3)x −4,x ∈[3,+∞),因为R 上的奇函数，与y =a 有五个交点，设为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5， 由图象知x 1+x 52=1,x 2+x 42=−1,即x 1+x 2+x 4+x 5=0，则函数g (x )=f (x )−a (0<a <1)的所有零点之和为x 3，而2x3−1=a，解得x3=log2(1+a)，则函数g(x)=f(x)−a(0<a<1)的所有零点之和为log2(a+1)，故选C．13.答案：3解析：解：a⃗=(3,√3)，b⃗ =(1,0)，则a⃗⋅b⃗ =3×1+√3×0=3．故答案为：3．由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．本题考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．14.答案：[56,4 3 )解析：根据题意，设f(x)在y轴右侧与x轴的第二个交点横坐标为α，第三个交点的横坐标为β，则有ω×α+ π 3 =2π,ω×β+ π 3 =3π,解可得α= 5π3 ω ,β= 8π 3 ω，结合题意分析可得 5π 3 ω ≤2π< 8π3ω ，解可得ϖ的值，即可得答案．解：当f(x)取零点时，ωx+π3=kπ，即x=−π3ω+kπω(k∈Z)，当x>0时的零点从小到大依次为x1=2π3ω，x2=5π3ω，x3=8π3ω，…，所以满足{5 π 3ω⩽2 π 8 π 3ω>2 π ,解得ω∈[56,43)．15.答案：(2√2,4)解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，比例的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．利用三角函数恒等变形的性质化简已知等式可得：cos2A=cosB，结合角的范围可求2A=B，利用三角形内角和定理及已知，可求范围A=π−C3∈(π6,π4)，可得sinA∈(12,√22)，进而根据正弦定理比例的性质，即可求解．解：∵tanA=cosA+cosCsinA+sinC =sinAcosA，h∴cos2A+cosCcosA=sin2A+sinAsinC，可得：cos2A=cosB，∴在锐角△ABC中，2A=B，∵A+B+C=π，可得：3A+C=π，C∈(0,π2)，∴A=π−C3∈(π6,π4)，可得：sinA∈(12,√22)，∵a=2，∴b+csinB+sinC =asinA∈(2√2,4)．故答案为：(2√2,4)．16.答案：①解析：本题考查函数的极值、单调性、命题真假的判断，属于一般难度题．解：对于①，f′(x)=3x2≥0恒成立，函数不存在零点，故错误；对于②，f′(x)=3ax2+2bx+c，函数有零点，则导函数有两不等实根，即b2−3ac>0，故正确；对于③，函数为奇函数，f(−x)=f(x)，求得m=1，n=0，则f′(x)=3x2−48<0，x∈(−4,4)恒成立，所以在区间(−4,4)上单调递减，故正确．故答案为①．17.答案：解：(1)由等差数列的性质，得a3+a4=a2+a5=22，又∵a3⋅a4=117，∴a3，a4是方程x2−22x+117=0的解，结合公差大于零，解得a3=9，a4=13，∴公差d=a4−a3=13−9=4，首项a1=a3−2d=1，因此，数列{a n}的通项公式为a n =a 1+(n −1)d =1+4(n −1)=4n −3； (2)由(1)知：S n =n(1+4n−3)2=2n 2−n ，所以b n =S n n+c=2n 2−n n+c ．故b 1=1c+1，b 2=6c+2，b 3=15c+3． 令2b 2=b 1+b 3，即12c+2=1c+1+15c+3， 化简得2c 2+c =0．因为c ≠0，故c =−12，此时b n =2n 2−n n−12=2n ．当n ≥2时，b n −b n−1=2n −2(n −1)=2，符合等差数列的定义， ∴c =−12时，b n =2n.(n ∈N +)，由此可得，当c =−12时，{b n }成以2为首项、公差为2的等差数列．解析：本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差数列的性质以及判定，属于中档题． (1)根据等差数列的性质，得出a 3，a 4是方程x 2−22x +117=0的解，解此方程得a 3=9且a 4=13，再求出{a n }的首项和公差，即可得到数列{a n }的通项公式； (2)由(1)的结论，化简得b n =2n 2−n n+c，分别令n =1，2，3，得到{b n }的前3项，由2b 2=b 1+b 3解出c =−12，再将c =−12回代加以检验，即可得到当c =−12时，{b n }成以2为首项、公差为2的等差数列．18.答案：证明：(Ⅰ)因为AB//EF ，EF ⊥EA ， 所以AB ⊥EA ．因为AB ⊥AD ，且EA ∩AD =A ， 所以AB ⊥平面AED ． 因为EH ⊂平面AED ， 所以AB ⊥EH ．因为AE =ED ，H 是AD 的中点， 所以EH ⊥AD ． 又AB ∩AD =A ，所以EH ⊥平面ABCD ． (Ⅱ)因为AD ，OH ，HE 两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系H −xyz ，则A(1,0，0)D(−1，0，0)，F(0,1，1)，O(0,1，0)，C(−1,2，0)． 设点P(m,2，0)(−1≤m <1)，于是有DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +1,2,0)． 设平面PDF 的法向量n ⃗ =(x,y,z)， 则{n⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{x +y +z =0(m +1)x +2y =0． 令x =2，得y =−(m +1)，z =m −1， 所以n⃗ =(2,−m −1,m −1)． 平面BDF 的法向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 所以cos π3=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |，解得m =−1．所以点P 的坐标为(−1,2，0)， 与点C 的坐标相同， 所以BP =BC =2．解析：本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．(Ⅰ)推导出AB ⊥EA ，AB ⊥AD ，从而AB ⊥EH ，再求出EH ⊥AD.由此能证明EH ⊥平面ABCD ． (Ⅱ)由AD ，OH ，HE 两两垂直，建立空间直角坐标系H −xyz ，利用向量法能求出结果．19.答案：解：(1)由已知得：(0.05+a +0.125+0.15+0.1)×2=1，解得：a =0.075，x −=0.05×2×2+0.125×2×4+0.15×2×6+0.1×2×8+0.075×2×10=6.1； (2)①∵μ=6.1，σ=2.9，∴μ−σ=3.2，μ+σ=9． ∴P(6.1<ξ<9)=12P(3.2<ξ<9)=12×0.6826=0.3413．②由频率分布直方图可知由频率分布直方图可知P(7<ξ<11)=0.35，∴X～B(3,0.35)，则E(X)=3×0.35=1.05．解析：(1)由已知得：(0.05+a+0.125+0.15+0.1)×2=1，由此求得a值，再由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率作和求解；(2)①由μ=6.1，σ=2.9，得μ−σ=3.2，μ+σ=9.则P(6.1<ξ<9)=12P(3.2<ξ<9)=12×0.6826=0.3413．②由频率分布直方图可知由频率分布直方图可知P(7<ξ<11)=0.35，再由二项分布的期望公式求解．本题考查正态分布曲线的特点及表示的意义，考查服从二项分布的随机变量期望的求法，是中档题．20.答案：解：(1)f′(x)=1x −2ax=1−2ax2x(x>0)，当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0,+∞)上为增函数，当a>0时，由f′(x)>0，得0<x<√12a ，则f(x)在(0,√12a)上为增函数；由f′(x)<0，得x>√12a ，则f(x)在(√12a,+∞)上为减函数．综上，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上为增函数；当a>0时，f(x)在(0,√12a )上为增函数，在(√12a,+∞)上为减函数．(2)由题意，x(lnx+1)>k(x−1)恒成立，即k<x(lnx+1)x−1(x>1)，设g(x)=x(lnx+1)x−1(x>1)，则g′(x)=x−lnx−2(x−1)，令ℎ(x)=x−lnx−2(x>1)，则ℎ′(x)=1−1x>0，所以，ℎ(x)在(1,+∞)上为增函数，由ℎ(2)=−ln2<0，ℎ(3)=1−ln3=ln e3<0，ℎ(4)=2−ln4=ln e24>0，故ℎ(x)在(1,+∞)上有唯一实数根m∈(3,4)，使得m−lnm−2=0，则当x∈(1,m)时，ℎ(x)<0；当x∈(m,+∞)时，ℎ(x)>0，即g(x)在(1,m)上为减函数，(m,+∞)上为增函数，所以g(x)在x=m处取得极小值，为g(m)=m(lnm+1)m−1=m，∴k <m ，由3<m <4，得整数k 的最大值为3．解析：(1)求出函数的导数，通过a 与0的大小比较，讨论导函数的符号，判断函数的单调性即可． (2)利用函数恒成立，推出k 的不等式，通过构造法得到新函数，利用函数的导数求出函数的单调性，得到函数的极值，然后求解k 的最大值．本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，单调区间的求法，构造法的应用，是难题．21.答案：(1)解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F(1,0)，由题意可知，直线l 的斜率存在，设为k ，设AB 所在直线方程为y =k(x −1)，k ≠0， 联立抛物线方程，削去y ，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 解得x A =k2+2+2√k 2+1k 2，x B =k2+2−2√k 2+1k 2，由|AF|=2|BF|，得x A +1=2(x B +1)， ∴x A =2x B +1，即k 2+2+2√k 2+1k 2=2×k 2+2−2√k 2+1k 2+1，解得k =±2√2．(2)证明：由(1)得，中点M(k 2+2k 2,2k )，设AB 的垂直平分线的方程为y −2k =−1k (x −k 2+2k 2)，令y =0，可得D(3+2k 2,0)， 又F(1,0)，可得|DF|=2+2k 2，|AB|=x A +x B +2=2+4k 2+2=2(2+2k 2)=2|DF|，则|AB|=2|DF|．解析：本题考查直线与抛物线相交，抛物线的定义与性质，是一道中档题．(1)设出A 、B 所在直线方程，与抛物线方程联立，由抛物线焦半径公式及已知列式求得k ； (2)求得AB 的中点M 的坐标，表示出AB 的垂直平分线方程，可令y =0，求得D 的坐标，进而得到|DF|，再由抛物线的定义可得|AB|，即可得证．22.答案：解：(1)曲线C 2：{x =−√22s +1y =√22s −1(s 为参数)，转换为直角坐标方程为x +y =0，曲线C 3的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ=2，转换为直角坐标方程为x −y −2=0， 所以{x +y =0x −y −2=0，解得{x =1y =−1，转换为极坐标为(√2,7π4).(2)曲线C 2：{x =−√22s +1y =√22s −1(s 为参数)，P(1,−1)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα+1(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=4， 把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，整理得12s 2+12s 2−3√2s +1=0， 即：s 2−3√2s +1=0， 所以s 1+s 2=3√2，s 1.s 2=1．|PA|2+|PB|2=(s 1+s 2)2−2s 1s 2=16解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步建立方程组，求出交点的坐标，最后进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：(1)证明：要证|a−b||1−ab|≤1，只要证明|a −b|≤|1−ab|， 只要证明(a −b)2≤(1−ab)2， 又由a 2+b 2=1，展开(a −b)2≤(1−ab)2，整理可得0≤a 2b 2， 可知：不等式0≤a 2b 2恒成立， 则：(a −b)2≤(1−ab)2成立， 故原不等式成立．(2)解：根据题意，ab >0， 则(a +b)(a 3+b 3)=a 4+ab 3+a 3b +b 4 ≥a 4+2√ab 3×a 3b +b 4=(a 2+b 2)2=1，当且仅当a =b =√22或a =b =−√22时，等号成立，则(a +b)(a 3+b 3)的最小值为1．解析： 本题考查不等式的证明方法，利用基本不等式求最值，属于中档题． (1)根据题意，要证|a−b||1−ab|≤1，只要证明(a −b)2≤(1−ab)2，即可得证； (2)根据题意，利用基本不等式可求得最值．。

2020年内蒙古包头市高考数学二模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，复数的共轭复数是（）A. iB. -iC. 1D. -12.已知集合A={x|x2+x=0，x∈R}，则满足A∪B={0，-1，1}的集合B的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 83.设向量，满足|+|=，||=，则•=（）A. 1B. -1C. -2D. 24.定义运算,则函数的大致图象是( )A. B.C. D.5.圆C：,定点,直线l：,则“点P在圆C外”是“直线l与圆C相交”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.如果执行如图的框图，输入N=6，则输出的数等于（）A. B. C. D.7.在公差不等于零的等差数列{a n}中，a2=4，且a1，a3，a9成等比数列，则a8=（）A. 4B. 18C. 24D. 168.已知F1，F2为椭圆E的左右焦点，点M在E上（不与顶点重合），△MF1F2为等腰直角三角形，则E的离心率为（）A. +1B.C.D.9.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. 80B. 40C.D.10.若行的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）A. 672B. -672C. 5376D. -537611.已知函数f（x）=2，则f（x）的最大值为（）A. 1B.C.D. 212.将边长为2的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，点B、C分别是圆O和圆O1上的点，长为，长为，且B与C在平面AA1O1O的同侧，则A1O1与BC所成角的大小为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.向平面区域{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}内随机投入一点，则该点落在曲线y=下方的概率为______．14.设x，y满足约束条件，则，则z=2x+3y的取值范围______．15.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5-S4=3，S3=，S n=22，则n=______．16.若直线y=kx既是曲线y=e x-1的切线，又是曲线y=ln（x+b）的切线，则b=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+2cos A=0．（1）若b=c=1，求a和S△ABC；（2）求cos B的最小值．18.一只红玲虫的产卵数y和温度t有关．现收集了7组观测数据如表：温度t/℃21232527293235产卵数y/个711212466115325为了预报一只红玲虫在40℃时的产卵数，根据表中的数据建立了y与t的两个回归模型．模型①：先建立y与t的指数回归方程=e0.272t-3.849，然后通过对数变换u=ln y，把指数关系变为u与t的线性回归方程：；模型②：先建立y与t的二次回归方程=0.367t2-202.543，然后通过变换x=t2，把二次关系变为y与x的线性回归方程：=0.367x-202.543．（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在40°时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．（参考数据：模型①的残差平方和Q1=1550.538，模型①的相关指数=0.98；模型②的残差平方和Q2=15448.431，模型②的相关指数=0.8；e7.031=1131，e7=1096，e8=2981，ln7=1.946，ln11=2.398，ln21=3.045，ln24=3.178，ln66=4.190，l nl15=4.745，ln325=5.784）19.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2，AD=CD=1，E是PB的中点．（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）若E是PB的中点，且二面角P-AC-E的余弦值是，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20.设F为抛物线C：y2=2px的焦点，A是C上一点，FA的延长线交y轴于点B，A为FB的中点，且|FB|=3．（1）求抛物线C的方程；（2）过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交干M、N两点，直线l2与C交于D，E 两点，求四边形MDNE面积的最小值．21.e是自然对数的底数，已知函数f（x）=x（x-2）e x，x∈R．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）函数g（x）=f（x）-f（-）在R上能否恰有两个零点？证明你的结论．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ-）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．23.设函数f（x）=|x+1|-2|x-1|．（1）画出y=f（x）的图象；（2）当x∈（-∞，0]时，f（x）≤ax+b，求a-b的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵==，∴复数的共轭复数是-i．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：解：根据题意，A={0，-1}，由A={0，-1}，且A∪B={0，-1，1}，则集合B必须有元素1，可能有元素-1或0，故B可能为{1，-1}或{1，0}或{1，0，-1}或{1}，即满足条件的集合B有4个，故选：C．根据题意化简集合A={0，-1}，再分析可得集合B必须有元素1，可能有元素-1或0，进而可得集合B可能的情况，即可得答案．本题考查集合并集的性质，关键是分析出集合B中必须有和可能有的元素．3.答案：B解析：【分析】本题考查了平面向量模的运算，属基础题．由平面向量模的运算可得：2+2=3，①2-2=7，②，则①-②即可得解．【解答】解：因为向量，满足|+|=，||=，所以2+2=3，①2-2=7，②由①-②得：4=-4，即=-1，故选：B．4.答案：A解析：解：根据题意得，f（x）=且函数f（x）为奇函数，排除B、D；f（0）=0；当0＜x＜π时，f′（x）=，令f′（x）＞0⇒，令f′（x）＜0⇒0＜x＜，∴函数f（x）在（0，π）上是先递减再递增的，排除选项C；故选：A．图象题应用排除法比较简单，先根据函数f（x）为奇函数排除B、D；在根据函数的单调性排除选项C，即可得到答案．本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．5.答案：C解析：解：若点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=1外，则＞1，此时圆C的圆心到直线l：x0x+y0y=1的距离d=＜1，则直线l与圆C相交；反之，若直线l与圆C相交，则圆C的圆心到直线l：x0x+y0y=1的距离d=＜1，即＞1，则点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=1外．∴“点P在圆C外”是“直线l与圆C相交”的充分必要条件．故选：C．由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=1外，得＞1，则圆C的圆心到直线l：x0x+y0y=1的距离d=＜1，直线l与圆C相交；反之成立．然后结合充分必要条件的判定方法得答案．本题考查点与圆、直线与圆的位置关系的应用，考查充分必要条件的判定方法，是中档题．6.答案：B解析：解：经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到经过第四次循环得到经过第五次循环得到此时，不满足判断框中的条件，执行输出故输出结果为故选B按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第五次不满足判断框中的条件，执行输出结果．解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．7.答案：D解析：解：公差不等于零的等差数列{a n}中，a2=4，且a1，a3，a9成等比数列，设公差为d，由题意可得=a1•a9，即（4+d）2=（4-d）（4+7d），求得d=2，则a8=a2+6d=4+12=16，故选：D．由题意利用等差数列、等比数列的定义和性质，求出a8的值．本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，属于基础题．8.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．由题意分类画出图形，结合已知条件列式求解椭圆离心率．【解答】解：如图，若∠MF1F2为直角，则，即，解得e=；若∠F1MF2为直角，则b=c（舍去）.则E的离心率为．故选：B．9.答案：D解析：解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是2+3、4，由正视图知，三棱锥的高是4，∴该几何体的体积V==，故选：D．由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．本题考查三视图求几何体的体积以，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10.答案：A解析：解：∵的展开式中的各项系数的和为（a-1）9=1，∴a=2，或a=0（舍去）．故展开式的通项公式为T r+1=•（-1）r•a9-r•x18-3r，令18-3r=0，求得r=6，可得该展开式中的常数项为•23=672，故选：A．先求出a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．11.答案：B解析：解：f（x）=1++=sin（x+）+，当sin（x+）=1时，f（x）的最大值为．故选：B．根据二倍角公式．辅助角公式化简即得到最值．本题考查三角恒等变换，辅助角公式及求最值，是基础题．12.答案：C解析：解：由弧长公式可知：∠A1O1C=，∠AOB=，在底面圆周上去点D且∠AOD=，则CD⊥面AOD，连接CD，BC，BD，则BD∥A1O1即∠CBD为异面直线A1O1与BC所成角，又DB=2，DC=2，所以∠CBD=，故选：C．由弧长公式可得：∠A1O1C=，∠AOB=，由异面直线所成角的作法可得：∠CBD为异面直线A1O1与BC所成角，再求解即可．本题考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，属中档题．13.答案：解析：解：作出平面区域{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}及曲线y=（x≥0，y≥0）如图，S正方形OABC=1×1=1，．∴向平面区域{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}内随机投入一点，则该点落在曲线y=下方的概率为P=．故答案为：．由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．本题可惜几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：[2，8]解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的取值范围．【解答】解：作出x，y满足约束条件，则对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=-x+，由得A（1，2）,平移直线y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点A（1，2）时，直线y=-x+的截距最大，此时z最大．此时z的最大值为z=2×1+3×2=8，由图象可知当直线y=-x+经过点B（1，0）时，直线y=-x+的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=2×1+3×0=2，∴2≤z≤8.故答案为：[2，8]．15.答案：8解析：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S5-S4=3，S3=，S n=22，∴，解得a1=1，d=，∴S n=n+×=22，解得n=8或n=-11（舍）．故答案为：8．利用等差数列通项公式列出方和组，求出a1=1，d=，从而S n=n+×=22，由此能求出n的值．本题考查等差数列的项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.答案：1解析：解：设y=kx与y=e x-1和y=ln（x+b）的切点分别为（x1，kx1）、（x2，kx2），由导数的几何意义可得，再根据直线y=kx既是曲线y=e x-1的切线，又是曲线y=ln（x+b）的切线，可得，联立上述式子解得x1=x2=0，k=b=1，故答案为：1．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可．本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，属中档题．17.答案：解：（1）因为b=c=1，代入b+2c•cos A=0，得cos A=，所以A=120°，C=B=30°（2分）得，所以n=．（4分）S△ABC=ac sin B=．（6分）（2）把余弦定理代入b+2c•cos A=0，得b+2c•=（10分）≥当且仅当a2=3c2，即时，cos B取最小值．（12分）解析：（1）利用已知条件求出A的余弦函数值，然后求解A的值，然后求解三角形的面积．（2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，三角形的面积以及基本不等式的应用，是中档题．18.答案：解：（1）对于模型①，当t=40°C时，u=0.272×40-3.849=7.031，由u=ln y可得y=e u=e7.031=1131，即根据模型①，可预测1只红玲虫在40°C时产卵1131个．对于模型②，当t=40°C时，x=402=1600，y=0.367×1600-202.543≈385．即根据模型②，可预测1只红玲虫在40°C时产卵385个．（2）因为Q1＜Q2，且R12＞R22，∴模型①得到的预测值更可靠．解析：（1）把t=40分别代入两个模型计算y即可；（2）比较两模型的残差平方和及相关系数大小即可得出结论．本题考查了线性回归方程，相关系数与残差分析，属于基础题．19.答案：解：（1）PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，得AC⊥PC．又AD=CD=1．在Rt△ADC，得，设AB中点为G，连接CG．则四边形ADCG为边长为1的正方形，所以CG⊥AB，且BC=，因为AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC，又因为BC∩PC=C，所以AC⊥平面PBC，又AC⊂平面EAC．所以平面EAC⊥平面PBC．（2）因为PC⊥平面ABCD，所以PC就是四棱锥P-ABCD的高，设PC=a，因为AB⊥CD，AB∥CD，所以四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形因为V P-ABCD=S△ACB×PC=×（CD+AB）×AD×PC==1，所以得a=2．在直角三角形PCB中，PB=，CE=PB=，因为PC⊥平面ABCD，又PC⊂平面PCB，所以平面PBC⊥平面ABCD．在平面PBC内过点E作BC的垂线EF，交BC于点D．则EF⊥平面ABCD，且EF=PC=1，在四面体E-ABC中，设B到平面EAC的距离为h，则V E-ABC=V B-EAC，即S△EAC•h=S△ABC•EF，所以有AC•CE•h=AC•CB•EF，得h==，所以点B到平面EAC的距离为．所以P到平面EAC的距离为．得，PC=2，PA=，直线PA与平面EAC所成角的正弦值为：=．解析：（1）证明AC⊥PC．设AB中点为G，连接CG．推出CG⊥AB，AC⊥BC，得到AC⊥平面PBC，然后证明平面EAC⊥平面PBC．（2）PC就是四棱锥P-ABCD的高，设PC=a，利用V P-ABCD=S△ACB×PC，得a=2．说明平面PBC⊥平面ABCD．通过V E-ABC=V B-EAC，求解点B到平面EAC的距离．得到P到平面的距离，然后求解直线与平面所成角的正弦函数值．本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象以及计算能力．20.答案：解：（1）如图，∵A为FB的中点，OF=,∴A到y轴的距离为，∴|AF|=，解得p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x；（2）由已知直线l1的斜率存在且不为0，设其方程为y=k（x-1）．由，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．∵＞0，设M（x1，y1）、N（x2，y2）∴，则|MN|=x1+x2+2=4（1+）；同理设D（x3，y3）、E（x4，y4），∴，则|DE|=x3+x4+2=4（1+k2）．∴四边形MDNE的面积S=|MN|•|DE|=8（2+k2+）≥32．当且仅当k=±1时，四边形BCDE的面积取得最小值32．解析：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得p，则抛物线C的方程可求；（2）由已知直线l1的斜率存在且不为0，设其方程为y=k（x-1），与抛物线方程联立，求出|MN|，|DE|，可得四边形MDNE的面积，利用基本不等式求最值．21.答案：解：（1）∵函数f（x）=x（x-2）e x，x∈R．∴f′（x）=（2x-2）e x+（x2-2x）e x=（x2-2）e x，由f′（x）=0，得x=．列表如下：x（-∞，-）-（-）（）f′（x）+ 0- 0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴f（-）是极大值，f（）是极小值，∵f（x）=x（x-2）e x，当且仅当0＜x＜2时，f（x）＜0，在区间（0，）上，y=f（x）是减函数，在区间（）上，y=f（x）是增函数，∴y=f（x）在（-∞，+∞）上的最小值为f（）=2（1-）．（2）函数g（x）=f（x）-f（-）在R上恰有两个零点．证明如下：由g（-）=t（-）-t（-）=0，知x=-是一个零点，由（1）知t（-）是函数的一个极大值，g（x）在单调区间（-∞，-）和（-）都不会有零点，考虑区间（），由g（2）=f（2）-2（1+）e=-2（1+）＜0，g（2+）=f（2+）-2（1+）e=2（1+）（）＞0，∴g（x）=f（x）-f（-）在单调区间（，+∞）上恰有一个零点．∴函数g（x）=f（x）-f（-）在R上恰有两个零点．解析：（1）推导出f′（x）=（2x-2）e x+（x2-2x）e x=（x2-2）e x，由f′（x）=0，得x=．列表讨论得到f（-）是极大值，f（）是极小值，由f（x）=x（x-2）e x，当且仅当0＜x＜2时，f（x）＜0，在区间（0，）上，y=f（x）是减函数，在区间（）上，y=f（x）是增函数，由此能求出y=f（x）在（-∞，+∞）上的最小值．（2）由g（-）=t（-）-t（-）=0，知x=-是一个零点，知t（-）是函数的一个极大值，g （x）在单调区间（-∞，-）和（-）都不会有零点，g（x）=f（x）-f（-）在单调区间（，+∞）上恰有一个零点．从而函数g（x）=f（x）-f（-）在R上恰有两个零点．本题考查函数的最小值的求法，考查函数是否有两个零点的判断与证明，考查导数性质、函数的单调性、函数最值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y-4=0，∴直线l的普通方程为x+y-4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x-1）2+（y-1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=-4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．解析：（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ-）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．23.答案：解：（1）当x＜-1时，f（x）=x-3；当-1≤x＜1时，f（x）=3x-1；当x≥1时，f（x）=-x+3．y=f（x）的图象如图所示．（2）当x∈（-∞，0]时，由（1）知，y=f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为-1，且各部分所在直线斜率的最小值为1，故当且仅当a≤-1，且b≥-1时，f（x）≤ax+b在（-∞，0]成立．因此，a-b≤2，即a-b的最大值为2．解析：（1）去掉绝对值符号，化简函数的解析式，然后画出函数的图象．（2）当x∈（-∞，0]时，借助（1）知，y=f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为-1，且各部分所在直线斜率的最小值为1，转化求解即可．本题考查函数的最值的求法，函数的图象的应用，数形结合以及计算能力的考查．。

内蒙古包头市2017届高三数学适应性考试试题（二）理一、选择题：（每题只有一个正确答案，每题5分,共60分。

）1. 若i 是虚数单位，复数iiz +=2的虚部为（ ） A. 51- B.52- C.51 D.522. 已知全集{}2,1,0,2-=U ，集合{}02|2=-+=x x x A ，则=A C U （ ）A. {}1,2- Ｂ．{}1,0,2- Ｃ．{}2,0 Ｄ．{}1,03正方形ABCD 中，Ｅ为DC 的中点，若μλ+=，则μλ+的值为（ ） Ａ．21 Ｂ．21- Ｃ．１ Ｄ．－１ 4函数22x y x-=的图象大致是（ ）5.已知n xx )1(2+的展开式的各项系数和为32，则展开式中4x 项的系数为（ )A. 5B. 40C. 20D. 106.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体中,面积最大的侧面积为( ) A.22 B.25 C.26 D.37已知函数x x x f 22sin cos )(-=,下列说法错误的是( ) A.)(x f 的最小正周期为π B. 直线2π=x 是)(x f 图象的一条对称轴C. )(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛-4,4ππ上单调递增 D. |)(x f |的值域是8. 阅读如图所示的程序框图,则该算法的功能是( ) A.计算数列{}12-n 的第5项B.计算数列{}12-n的前5项和. C.计算数列{}12-n的第6项 D.计算数列{}12-n 的前6项和9.已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S , 若843,,a a a 成等比数列,则( )A. 0,041>>dS d aB. 0,041<<dS d aC. 0,041<>dS d aD. 0,041><dS d a10.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布()23,0N ,从中随机取一件,其长 度误差落在(3,6)内的概率为( )A. 0.2718B.0.0456C. 0.3174D. 0.1359 附:若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ,则6826.0)(=+<<-σμξσμp 9544.0)22(=+<<-σμξσμp11.过双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 的左焦点1F 作曲线2222:a y x c =+的切线,切 点为M, 延长M F 1交曲线)0(2:23>=p px y C 于点N,其中31,C C 有一个共同的焦点,若MN MF =1,则曲线1C 的离心率为( )A. 5B.15-C.15+D.215+ 12.已知定义在R 上的可导函数)(x f 的导函数为)('x f 满足)('x f <)(x f 且)2(+x f 为偶函数,1)4(=f ,则不等式xe xf <)(的解集为( )A. ()+∞,0B. ()+∞-,2C. ()+∞,1D. ()+∞,4 二．填空题（每题5分，共20分）13.已知m l ,是两条不同的直线,βα,是两个不同的平面,则下列问题中真命题的序号 是_______① 若ββαα//,//,,m l m l ⊂⊂则βα// ② 若m l l =⋂⊂βαβα,//,则m l // ③ 若βαα//,//l 则β//l ④ 若βαα//,//,m l l ⊥则β⊥m14.若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+101033y y x y x ，则y x z +=||2的最大植为_________________15.已知A ，B ，C 三人中，一个是油漆工，一个是木工，一个是泥瓦工，但不知A ， B ，C 三人具体谁是什么工种，三人合作一件工程，由于其中的某一个人而做糟了， 为了弄清楚责任，分别询问三人，得到的回答如下： A 说：“C 做坏了，B 做好了”；B 说：“我做坏了，C 做好了”； C 说：“我做坏了，A 做好了”。

2024届内蒙古自治区包头市高三下学期适应性考试（二）理综试题-高中物理一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图是甲、乙两汽车在两条平直公路上运动的位置与时间（）的关系图像，图中甲、乙两条曲线是对称的抛物线。

下列说法正确的是（ ）A．甲车加速时的加速度大于减速时的加速度B．甲车加速时的加速度大于乙车减速时的加速度C．甲车先加速后减速，乙车先减速后加速D．甲车先减速后加速，乙车先减速后加速第(2)题如图，光电管接入电路，用紫外线照射光电管阴极时，发生了光电效应，回路中形成电流。

下列说法正确的是（ ）A．电流方向为a→R→bB．电流方向为b→R→aC．光照时间越长，光电子的最大初动能越大D．入射光光强增大，光电子的最大初动能增大第(3)题游乐场中的升降机在竖直方向上运行，t=0时刻初速度为0，其加速度随时间变化的a-t图像如图所示，以向上为正方向，则下列对升降机的说法正确的是（ ）A．0-0.5T时间内速度保持不变B．0.5T-T时间内做匀速运动C．T-2T时间内所受合力为零D．0-2T时间内一直向上运动第(4)题如图所示，两条虚线分别是等量异种点电荷的连线和其中垂线，a点为点电荷连线的中点。

下列说法正确的是（ ）A．场强大小E b>E a B．场强大小E c>E aC．电势D．电势b>a第(5)题如图所示，物块A、B均静止于倾角为θ的斜面上，它们的质量分别为M和m，已知Mg sinθ＞mg。

若斜面倾角θ变大，B仍保持静止，则（ ）A．绳子的拉力变大B．A所受合力变大C．斜面对A的支持力变大D．斜面对A的静摩擦力变大第(6)题U经过多次衰变后变成Pb，在此过程中质子数和核子数分别减少了（ ）A．10和32B．32和10C．10和22D．22和10第(7)题为了装点城市夜景，常在喷水池水下安装灯光照亮水面。

内蒙古自治区包头市2024届高三下学期适应性考试理科数学试题（二）一、单选题1．已知全集U =R，集合{|M x y =，{N =，则()U M N =I ð（ ）． A．{}B．C．{D ．{}22．已知复数z 满足|34i |1z -+=，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若35242a a a a =，则42S S =（ ） A ．5B ．4C ．3D ．24．如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）．A ．15πB ．20πC ．26πD ．30π5．若实数,x y 满足约束条件40,0,0.x y y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86．德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a 与公转周期T 有如下关系：32T a =，其中M 为太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ）A ．2倍B ．4倍C ．6倍D ．8倍7．某单位共有A ，B 两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下．设A ，B 两部门的服务满意度得分的中位数分别为1n ，2n ，方差分别为21s ，22s ，则（ ）A ．12n n =，2212s s > B ．12n n >，2212s s <C ．12n n =，2212s s < D ．12n n <，2212s s >8．筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m .在筒车转动的一圈内，盛水筒P 距离水面的高度不低于4m 的时间为（ ）A ．9秒B ．12秒C ．15秒D ．20秒9．已知某圆锥的母线长为 9π，记该圆锥的体积为V ，若用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，且截去一个体积为27V的小圆锥，则剩余几何体的外接球的表面积为（ ） A ．60πB ．40πC ．30πD ．20π10．已知O 是ABC V 所在平面内一点，且2AB =u u u r ，1OA AC ⋅=-u u u r u u u r ，1OC AC ⋅=u u u r u u u r，则ABC ∠的最大值为（ ）A ．π6B ．π4 C ．π3D ．π211．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，倾斜角为θ的直线l 过点F 且与C 交于M ，N 两点，若OMN V的面积为 ） A ．1sin 2θ=B ．24MN =C ．以MF 为直径的圆与y 轴仅有1个交点 D．MFNF =MF NF =12．函数()()()221x xx f x a a a =++-+（0a >且1a ≠）的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．将指定的6名学生随机分配到3个不同的校办公室打扫卫生，要求每个办公室分配2人，则恰好甲､乙两人打扫同一个办公室的概率为. 14．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =. 15．已知双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的左、右焦点分别为12,F F ，记以12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限交于点P ，点Q 为线段2PF 与C 的交点，O 为坐标原点，且11222FQ F P OF =+u u u r u u u r u u u u r ，则C 的离心率为.16．已知函数()[]2sin sin 0,π，f x x x k x =-+∈.有下列结论：①若函数()f x 有零点，则k 的范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；②函数()f x 的零点个数可能为0,2,3,4；③若函数()f x 有四个零点1234,,,x x x x ，则10,4k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12342πx x x x +++=；④若函数()f x 有四个零点()12341234,,,x x x x x x x x <<<，且1234,,,x x x x 成等差数列，则2x 为定值，且2π7π,318x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.其中所有正确结论的编号为.三、解答题17．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC V 的面积为S .已知222)S a c b =+-. (1)求B ；(2)若点D 在边AC 上，且π2ABD ∠=，22AD DC ==，求ABC V 的周长. 18．如图，在平行六面体 ABCD A B C D -₁₁₁₁中，E 在线段 A D ₁₁上，且 EDA EAD ∠=∠，F ，G 分别为线段BC ，AD 的中点，且底面 ABCD 为正方形.(1)求证:平面 BCC B ⊥₁₁平面EFG(2)若EF 与底面ABCD 不垂直，直线 ED 与平面EBC 所成角为 45︒，且 2EB AB ==，求点 A 到平面 A B C D ₁₁₁₁的距离.19．红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金x （万元）与年收益y （万元）的8组数据：(1)用ln y b x a =+模拟生产食品淀粉年收益y 与年投入资金x 的关系，求出回归方程； (2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的10%．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元）附：①回归直线ˆˆˆu bv a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii v u nv ubvnv==-⋅=-∑∑，ˆˆau b v =-⋅ ②③ln20.7,ln5 1.6≈≈20．已知函数()e 2e 1xf x x =-+.(1)判断()f x 的零点个数并说明理由；(2)当1x ≥时，()e ln 1exaf x x ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，右顶点为A ，直线l ：4x =与x轴交于点M ，且AM a AF =， (1)求C 的方程；(2)B 为l 上的动点，过B 作C 的两条切线，分别交y 轴于点P ，Q ， ①证明：直线BP ，BF ，BQ 的斜率成等差数列；②⊙N 经过B ，P ，Q 三点，是否存在点B ，使得，90PNQ ∠=︒？若存在，求BM ；若不存在，请说明理由.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.(1)求曲线C 的普通方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.若A 为曲线C 上任意一点，将OA 逆时针旋转90o 得到OB ，求线段AB 中点M 的轨迹的极坐标方程.23．已知函数()f x x a b =++，不等式()4f x <的解集为{06}xx <<∣. (1)求实数,a b 的值；(2)函数()f x 的最小值为t ，若正实数,,m n p 满足23m n p t ++=，求1122m p n p+++的最小值.。

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………内蒙古包头市2022届高三第二次模拟考试数学（理）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分一、单选题 1．设集合{}25A x x =-<<，162B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．122x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭B ．{}26x x -<≤C ．1|52x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭D ．{}|56x x <≤2．已知i 为虚数单位，若2(1)2+=+z i i ，则z =（ ） A ．1i 2B ．12i -+C ．12i --D ．1i 23．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为k E ()1,2k =．已知星A 的星等是 3.5-，星B 的星等是 1.5-，则星A 与星B 的亮度的比值为（ ） A ．4510B ．4510-C ．5410D ．5410-4．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的体积为（ ）A ．8B ．16 C ．12 D ．14○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※5．设01a <<，随机变量ξ的分布列如下表：ξ1 2 P 122a12a -当a 在(0,1)内增大时，则（ ）A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小6．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，设甲：0d <；乙：{}n S 是递减数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．若π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos tan 22sin =-ααα，则tan α=（ ）A ．33B ．33-C ．3D ．3-8．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，需要在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD =50m ，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则A ，B 两点的距离为（ ）A ．405mB ．455mC ．5mD ．555m9．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的两个焦点，R 是C 上的一点，且12120F RF =∠︒，1241::RF RF =，C 经过点23Q ⎛ ⎝⎭，则C 的实轴长为（ ）○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………10．将4个A 和2个B 随机排成一行，则2个B 相邻且不排在两端的概率为（ ） A ．23B ．25C ．13D ．1511．已知A ，B ，C ，D 是半径为R 的球O 的球面上的四个点，△ABC 为等边三角形且它的外接圆1O 的面积为12π，三棱锥D ABC -体积的最大值为183，则R 的值为（ ） A ．43B ．23C ．4D ．612．设函数()f x 的定义域为R ，(2)f x +为奇函数，(3)f x +为偶函数，当[]2,3x ∈时，2()f x ax b =+.若(1)(4)5f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94B ．94-C ．52D ．52-第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题 13．已知非零向量a ，b 满足a m b =，且()a b b -⊥，a 与b 的夹角为45°，则m =______． 14．曲线233x y x +=+在点(2,1)--处的切线方程为___________. 15．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，斜率为-1的直线l 与C 的交点为M ，N ，若8MF NF +=，则l 的方程为______．16．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则满足条件()54f x f π⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()703f x f π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭<⎝的最小正偶数x 为___________.评卷人 得分三、解答题○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※17．已知数列{}n a 的各项均为互不相等的正数，且11a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立． ①数列{}n a 是等比数列；②数列{}1n S +是等比数列；③534a a = 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．18．为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取100名学生，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并估计这100名学生成绩的中位数（精确到0.01）；(2)在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于80分为“优秀”，竞赛成绩低于80分为“非优秀”．①请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？②求出等高条形图需要的数据，并画出等高条形图（按图中“优秀”和“非优秀”所对应阴影线画），利用条形图判断竞赛成绩优秀与性别是否有关系？22⨯列联表优秀 非优秀 合计 男生 10 女生50○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………合计100参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++，P ()2K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82819．已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为正方形.13===AB BC BB ，D ，E 分别为AC 和1AA 上的点，且2AD DC =，12A E EA =，F 为棱11B C 上的点，11BE B C ⊥.(1)证明：AB BC ⊥，且BE DF ⊥；(2)当1C F 为何值时，平面11AA B B 与平面DEF 所成的二面角的正弦值最小？20．设O 为坐标原点，动点P 在椭圆C ：22195x y +=上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足=QM kQP ．(2)当点M 的轨迹为圆时，设点N 在直线3x =上，且3⋅=-OM MN ，证明：过点M 且垂直于ON 的直线l 过C 的右焦点F ．21．已知m >0且m ≠1，函数()mx x f x m =.(1)当m =2时，求()f x 的极值点；(2)当()0,x ∈+∞时，若曲线()y f x =与直线y =1有且仅有1个交点，求m 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线k M 的参数方程为cos ,sin ,k kx k y k αα⎧=⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)当2k =时，曲线2M 是什么曲线？并求2M 的极坐标方程； (2)当4k =时，求4M 与2M 的公共点的直角坐标． 23．已知0a >，0b >，224a b +=．(1)证明：()()3316++≥a b a b ；(2)若min ,4⎧⎫=⎨⎬⎩⎭b t a ，证明：212t ≤．参考答案：1．C 【解析】 【分析】直接由交集得概念求解即可. 【详解】由题意知：A B =1|52x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭. 故选：C. 2．A 【解析】 【分析】利用复数乘方和除法运算求得z 的表达式. 【详解】由2(1)2+=+z i i 得()()()()()22222241222421i i ii i z i i i i i +⋅-++-=====-⋅-+. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数乘方和除法的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】根据题意，运用代入法，结合对数与指数的互化公式进行求解即可. 【详解】 因为12125lg 2E m m E -=，星A 的星等是 3.5-，星B 的星等是 1.5-， 所以41115222541.5( 3.5)lg lg 1025E E E E E E ---=⇒=⇒=， 故选：A 4．B 【解析】根据三视图确定几何体的形状，结合棱锥和棱柱的体积公式进行求解即可. 【详解】由三视图可知该几何体是上面是直三棱锥下面是直三棱柱组成的多面体， 所以体积为：111162222223223⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选：B5．A 【解析】 【分析】根据期望和方差公式表示出()E ξ、()D ξ，再根据函数的性质判断即可； 【详解】由题意，()1012122212E a a aξ=⨯+⨯+=--⨯， 所以()22222111221111111012(1)222424422a a a a a D a a a ξ+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=--+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()D ξ在()0,1上随a 增大而减小． 故选：A 6．B 【解析】 【分析】取特殊值说明不满足充分性，由10n n S S --<，即0n a <对任意2n ≥成立可得满足必要性即【详解】若0d <，取12,2d a =-=，易知20a =，即12S S ，{}n S 不是递减数列，故甲推不出乙；若{}n S 是递减数列，则2n ≥时，有10n n S S --<，即0n a <对任意2n ≥成立，又{}n a 是等差数列，故有0d <，即乙能推出甲，故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 故选：B. 7．B 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合二倍角的正弦公式和余弦公式、特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】 23cos sin 23cos 2sin cos 3cos tan 22sin cos 22sin 12sin 2sin αααααααααααα=⇒=⇒=----，因为π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0a ≠，于是由222sin cos 3cos 2sin 312sin 2sin 12sin 2sin αααααααα=⇒=----，解得24sin 4sin 30αα+-=， 解得1sin 2α=，或3sin 12α=-<-（舍去），因为π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5π6a =，即5ππtan tan tan 66α==-= 故选：B 8．C 【解析】 【分析】在ACD △中，由余弦定理可得AC ，在CDE △中，由余弦定理可得CE ，然后可得BC ，最后在ABC 中，由余弦定理可得AB . 【详解】记AC 与BD 的交点为E ，由题可知，在ACD △中，150,15ADC ACD CAD ∠=︒∠=∠=︒ 所以50AD DC ==由余弦定理可得222505025050cos1502500(23)AC =+-⨯⨯︒=+ 则5023AC =+在CDE △中，易知DE CE =，150CED ∠=︒ 由余弦定理有2222cos15050DE CE DE CE +-⋅︒= 解得5023CE =+在BCE 中，易知30BEC CBE ∠=∠=︒， 所以5023BC CE ==+在ABC 中，由余弦定理可得2222cos120AB AC BC AC BC =+-⋅︒25005012500(23)25023()1250022323=++-⨯+⨯⨯-=++所以505AB =m 故选：C9．B 【解析】 【分析】由双曲线定义及1241::RF RF =分别求出1238,23a RF F a R ==，再由余弦定理得22219c a =，进而结合C 经过点232,3Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭解出a 即可求解.【详解】由双曲线定义可得122RF RF a -=，又1241::RF RF =可得1238,23aRF F a R ==，由余弦定理可得222121212122cos F F RF RF RF RF F RF =+-∠，即2226448214299332a a a a c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭，化简得22219c a =，又222c a b =+，可得2243b a =；又C 经过点23Q ⎛ ⎝⎭，故224431a b -=，即22443143a a -=，解得23a =，故C 的实轴长为223a =. 故选：B. 10．D 【解析】 【分析】先通过倍缩法求出总情况有664242A A A ，再通过插空法求得满足题意的有23C ，由古典概率即可求解. 【详解】由4个A 不区分顺序、2个B 不区分顺序，可得总情况有664242A 15A A =种，先排4个A 有1种排法，在形成的3个中间的空中插入B 即可，故2个B 相邻且不排在两端的情况有23C =3种，故概率为：31155=. 故选：D. 11．C 【解析】 【分析】先由外接圆1O 的面积求出△ABC 的边长，进而由三棱锥D ABC -体积的最大值求出此时的高，再由勾股定理求R 即可. 【详解】如图：设外接圆1O 的半径为r ，则212r ππ=，解得23r =△ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60ABr =，解得6AB =， 故213632=⨯=ABCSD ABC -体积的最大值为1831,,O O D 三点共线如图所示时，三棱锥高最大，即体积最大，设此时高为h ，故1931833h ⨯=6h =，显然此时1DO ⊥面ABC ，在1OO A △中可得()2226R r R -+=， 解得4R =. 故选：C. 12．A 【解析】 【分析】直接由(2)f x +为奇函数得(2)(2)f x f x +=--+，由(3)f x +为偶函数得(3)(3)f x f x +=-+，通过赋值法得(1)(3)f f =-，(4)(2)0f f ==，进而求出,a b ，再由95()()22f f =-求解即可. 【详解】由(2)f x +为奇函数可得(2)(2)f x f x +=--+，令1x =-，可得(1)(3)(9)f f a b =-=-+，令0x =，可得(2)(2)f f =-，即(2)40f a b =+=①；由(3)f x +为偶函数可得(3)(3)f x f x +=-+，令1x =，可得(4)(2)0f f ==，又(1)(4)5f f +=可得(9)5a b -+=②；由①②解得14a b =-⎧⎨=⎩，故[]2,3x ∈时，2()4f x x =-+.令32x =，由(3)(3)f x f x +=-+可得93()()22f f =； 令12x =-，由(2)(2)f x f x +=--+可得35()()22f f =-，故29559()()42224f f ⎡⎤⎛⎫=-=--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选：A.13【解析】 【分析】由()a b b -⊥，则其数量积为零，可得2cos 45a b b ⋅︒=，将条件代入可得答案. 【详解】由()a b b -⊥，即()20a b b a b b -⋅=⋅-=，即2cos 45a b b ⋅︒=所以2cos45m b b b ⋅︒=，即212=，所以m14．350x y -+= 【解析】 【分析】先求导求出切线斜率，再求切线方程即可. 【详解】 ()()()()222323333x x y x x +-+'==++，则()223323x y =-==-+'，故点(2,1)--处的切线方程为13(2)y x +=+，即350x y -+=.故答案为：350x y -+=. 15．10x y +-= 【解析】 【分析】设出直线l 的方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合抛物线的定义进行求解即可. 【详解】抛物线C ：24y x =的焦点为F (1,0)，准线方程为1x =-， 因为斜率为-1的直线l 与C 的交点为M ，N ， 所以设直线l 的方程为y x m =-+，所以有2224(24)0y xx m x m y x m⎧=⇒-++=⎨=-+⎩，设1122(,),(,)M x y N x y ， 因此有1224x x m +=+，由128(1)(1)82461MF NF x x m m +=⇒--+--=⇒+=⇒=， 所以直线l 的方程为110y x x y =-+⇒+-=， 故答案为：10x y +-= 16．4 【解析】 【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出5(),()43f f π7π-的值，然后求解三角不等式可得最小正偶数. 【详解】由图可知35346124T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=； 由五点法可得2122ππϕ⨯+=，即3πϕ=；所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为15()61432sin f ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭-=-，()7()2sin 503f ππ==；所以由()54f x f π⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()703f x f π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭<⎝可得0()1<<f x ；由02sin 213x π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，即10sin 232x π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，∴223Z 2,6k k x k ππ<++π<π∈或22Z 32,6k k x k π5ππ+<<π+π∈+， 解得,Z 612k x k k πππ-<<π-∈或,Z 43k x k k πππ+<<π+∈， 令1k =，可得612x 5π11π<<或43x 5π4π<<， 所以最小正偶数x 为4. 故答案为：4. 17．答案见解析 【解析】 【分析】若由①③⇒②：根据等比数列的通项公式，结合等比数列前n 项和、等比数列的定义进行证明即可；若①②⇒③：根据等比数列的性质，结合等比数列的通项公式进行求解即可；若②③⇒①：根据等比数列前n 项和与通项公式的关系，结合等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】①③⇒②．已知数列{}n a 是等比数列，534a a =．设数列{}n a 的公比为q ，又11a =，所以1n n a q -=，因为534a a =，所以424q q =， 根据题意可知0q >，所以解得2q，所以1211-==--n n n q S q ，所以12n n S +=，且112S +=，因为1111222nn n n S S --++==，所以数列{}1n S +是以2为首项，以2为公比的等比数列． ①②⇒③．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}1n S +是等比数列．设数列{}n a 的公比为q ，又11a =，根据题意1q ≠，所以1n n a q -=，11n n q S q -=-，所以121+-=+-n n q q S q ，122121-==+-q S q ，222121+-==++-q q S q q ，33112+=-+-q q S q ，因为数列{}1n S +是等比数列，所以()()()2213111S S S +=++，即()322221⎛⎫+-+= ⎪-⎝⎭q q q q ， 化解得32320-+=q q q ，即()()210--=q q q ，根据题意1q ≠且0q ≠，所以得2q，从而45216==a ，2344216=⨯=a ，所以有534a a =．②③⇒①．已知数列{}1n S +是等比数列，534a a =． 因为n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，所以112S +=，设数列{}1n S +的公比为q ，根据题意有0q >且1q ≠，所以()111112--+=+=n n n S S qq ，当2n ≥时，()()()12211112221-----=-=+-+=-=-n n n n n n n n a S S S S q q q q ，又因为534a a =，所以()()32181-=-q q q q ，又1q ≠，所以有24q =，又0q >，所以2q，所以得()21212--=-=n n n a q q ()2n ≥，因为121222n n n n a a ---== 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列． 18．(1)平均成绩73，中位数73.33； (2)①表格见解析，没有；②答案见解析，有. 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图，结合平均数和中位数的性质进行求解即可； （2）①根据频率直方图完成列联表，结合题中所给的公式进行求解即可； ②根据列联表画出等高条形图，再做出判断即可. (1)这100名学生的平均成绩：4500555016502575038502950173⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．，设成绩的中位数为x ，则根据频率分布直方图可知，有()()005010257000305+++-⨯=．．．．．x ， 解得107073.333=+≈x ； (2)①根据表中已知数据和频率分布直方图得下表 优秀 非优秀 合计 男生 10 40 50 女生 20 30 50 合计 3070100根据表中数据可得()()()()()()2221003008001004.7625050307021--===≈++++⨯⨯⨯n ad bc K a b c d a c b d ， 因为4.762＜6.635，所以没有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”． ②根据22⨯列联表中数据可知，样本中男生优秀的频率为1020%50=，男生非优秀的频率为4080%50=；女生优秀的频率2040%50=，女生非优秀的频率为3060%50=． 所画等高条形图如图所示：根据等高条形图，比较图中两个用斜纹实线所画条的高可以发现，女生样本中成绩优秀的频率明显高于男生样本中成绩优秀的频率，因此可以认为竞赛成绩优秀与性别有关． 19．(1)证明见解析 (2)175C F =【解析】 【分析】（1）先证BC BE ⊥以及1BC BB ⊥即可证得BC ⊥平面11BB A A ，即可证得BC AB ⊥，建立空间直角坐标系，求出,BE DF ，由0BE DF ⋅=即可证得BE DF ⊥；（2）直接写出平面11AA B B 的一个法向量，求出平面DEF 的法向量，由夹角公式表示出余弦值，由平方关系求出二面角的正弦值，结合二次函数求解即可. (1)因为11BE B C ⊥，11BC B C ∥，所以BC BE ⊥，又1BC BB ⊥，且1BB BE B ⋂=，所以BC ⊥平面11BB A A ， 又AB平面11BB A A ，所以BC AB ⊥.因为13===AB BC BB ，所以在Rt ABC △中，2232AC BC AB =+=， 又2AD DC =，所以2223AD AC ==， 由113AA BB ==，且12A E EA =，得1AE =，取点B 为坐标原点，以BA ，BC ，1BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系B xyz -（如图所示）.则(0,0,0)B ，(1,2,0)D ，(3,0,1)E ，(3,0,1)BE =，设1(03)C F m m =≤≤，则(0,3,3)F m -，于是(1,1,3)DF m =--， 所以330BE DF ⋅=-+=，即BE DF ⊥. (2)因为平面11AA B B 的一个法向量为(0,1,0)n =，又由（1）知(2,2,1)DE =-， (3,3,2)EF m =--，设平面DEF 的法向量为(,,)m x y z =，则0,0,DE m EF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以有()220,3320,x y z x m y z -+=⎧⎨-+-+=⎩ 取7y =，得7x m =-，2z m =，于是平面DEF 的法向量为(7,7,2)m m m =-，所以cos ,n m ==设平面11AA B B 与平面DEF 所成的二面角为θ，则sin ,1n m θ==-故当75m =时，平面11AA B B 与平面DEF 所成的二面角的正弦值取得最小值为23.所以当175C F =时，平面11AA B B 与平面DEF 所成的二面角的正弦值最小. 20．(1)k =229x y +=； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据共线向量的性质，结合点在椭圆上运用代入法进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合（1）的结论、平面向量垂直的性质进行证明即可. (1)设(),M x y ，()00,P x y ，则(),0o Q x ，()0,=-QM x x y ，()00,=QP y ，由=QM kQP ，得0x x =，0=y y k ，因为点00(,)P x y 在C 上，所以有222195+=x y k，当259=k ，即k =M 的轨迹为圆，该圆的方程为229x y +=； (2)由题意知()2,0F ，设()3,N t ，(),M m n ，则()3,=ON t ，()2,=--MF m n ，63⋅=--ON MF m tn ，又(),=OM m n ，()3,=--MN m t n ， 由已知3⋅=-OM MN ，得2233-+-=-m m tn n ，又由（1）知229m n +=，把此式代入2233-+-=-m m tn n 中，得630--=m tn ， 所以0⋅=ON MF ，故⊥ON MF ，又过点M 存在唯一的直线垂直于ON ，所以过点M 且垂直于ON 的直线l 过C 的右焦点F ．【点睛】关键点睛：运用平面向量共线的性质和数量积的坐标表示公式是解题的关键. 21．(1)0x =是极小值点，2ln 2x =是极大值点 (2){}01m m e m =<<或 【解析】 【分析】（1）直接求导，确定单调性，进而求出极值点；（2）先将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有1个交点转化为ln ln x mx m=有1个解，构造函数()()ln 0xg x x x=>，求导确定单调性及最大值，结合图像即可求解. (1)当m =2时，函数()22x x f x =，()()2ln 22xx x f x -'=，令()0f x '>，则20ln 2x <<，此时函数()f x 单调递增， 令()0f x '<，则0x <或2ln 2x >，此时函数()f x 单调递减， 所以0x =是()f x 的极小值点，2ln 2x =是()f x 的极大值点. (2)当()0,x ∈+∞时，曲线()y f x =与直线1y =有且仅有1个交点，可转化为方程()10mx x x m=>有1个解，即方程ln ln x m x m =有1个解.设()()ln 0x g x x x=>，则()()21ln 0x g x x x -'=>， 令()0g x '=，得e x =，当0e x <<，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当x >e 时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，故()()max 1e e g x g ==，且当x >e 时，()e 10,g x ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以ln e 1m m =时，方程ln ln x m x m=有1个解，所以m =e ， 又(1)0g =，所以当ln 0m m <时，根据函数()ln x g x x =的单调性可知， 方程ln ln x m x m=也有一个解， 这时由ln 0m m <与m >0，得ln 0m <，得到0<m <1， 综上，当()0,x ∈+∞时，若曲线()y f x =与直线y =1有且仅有1个交点，则m 的取值范围是{}e,01m m m =<<或.22．(1)曲线2M 是以()2,0与()0,2为端点的线段，cos sin 2ρθρθ+=．（0ρ>，π02θ≤≤）； (2)()1,1.【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合直角坐标方程与极坐标方程互化公式进行求解即可；（2）根据同角的三角函数关系式，通过解方程组进行求解即可.(1) 当2k =时，曲线2M ：222cos ,2sin ,x y αα⎧=⎨=⎩消去参数α得2x y +=，()02x ≤≤故曲线2M 是以()2,0与()0,2为端点的线段．它的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=（0ρ>，π02θ≤≤）； (2)当4k =时，4M ：444cos ,4sin ,x y αα⎧=⎨=⎩消去参数α得，4M 2=，由2,2,x y =+=⎪⎩解得1,1.x y =⎧⎨=⎩故4M 与2M 的公共点的直角坐标为()1,1． 23．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）将()()33a b a b ++展开，配方，再将条件代入可得()216ab a b +-，从而可证. （2）由均值不等式结合条件可得1 42ab ≤，再由题意，,4b t a t ≤≤，从而可证. (1)()()334433a b a b a b ab a b ++=+++()()22222222=+-++a b a b ab a b ()()222222a b ab ab a b =++-++ ()216=+-ab a b 16≥． (2)因为222a b ab +≥，所以2212≤+ab a b ， 又224a b +=，即1 42⨯≤b a ， 由于0min ,4⎧⎫<=≤⎨⎬⎩⎭b t a a ，0min ,44⎧⎫<=≤⎨⎬⎩⎭b b t a ，所以2142≤⨯≤b t a ．。

内蒙古包头市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3}B．{﹣3，﹣1，1}C．{﹣3，5} D．{3，5}2．若复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数（b∈R），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．43．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=，则=（）A．2 B．C．3 D．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）个．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．46．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm37．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.02，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知函数f（x）=x3﹣3ax+，若x轴为曲线y=f（x）的切线，则a的值为（）A．B．﹣C．﹣D．9．实数x，y满足，若3x﹣2y≤m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，9]10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞e x，则使得f（x）＞xe x+2e x成立的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是______．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为f（x）=______．15．一条斜率为1的直线与曲线：y=e x和曲线：y2=4x分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于______．16．已知椭圆E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（2，﹣1），则E的离心率e=______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=pS n+2，其中p为常数．（1）证明：a n+2﹣a n=p；（2）是否存在p，使得|a n|为等差数列？并说明理由．18．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：（1）求证：BO⊥DO；（2）求平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．19．如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 1415数学成绩114 106 115 77 86 90 95 86 97 79 100 78 77 113 60物理成绩72 49 51 29574962 226329422137 46 21学号16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30数学成绩89 74 82 95 64 87 56 65 43 64 64 85 66 5651物理成绩65 4533 28 29 28 39 34 45 35 35 34 20 29 39 将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4数学Ⅱ15合计30（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．可能用到的公式和参考数据：K2=性检验临界值表（部分）P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为H，与C的交点为Q，且|QF|=|HQ|．（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，分别过A，B且与C相切的直线l1，l2相交于点R，求S△RAB的最小值．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．（1）证明：CD=CE；（2）求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设a≥b＞0，证明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；（2）已知|a|＜1，|b|＜1，证明|1﹣ab|＞|a﹣b|．内蒙古包头市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3}B．{﹣3，﹣1，1}C．{﹣3，5} D．{3，5}【考点】交集及其运算．【分析】通过不等式的解法求出集合A，然后求解交集即可．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0，得到（x﹣4）（x+2）＞0，解得x＞4或x＜﹣2，∴A=（﹣∞，2）∪（4，+∞），又B={﹣3，﹣1，1，3，5}，∴A∩B={﹣3，5}．故选C．2．若复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数（b∈R），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复数求模．【分析】用纯虚数的定义：实部为0，虚部不为0，求出a；利用复数模的公式求出复数的模．【解答】解：z=（3+bi）（1+i）﹣2=1﹣b+（3+b）i，∵复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数，∴1﹣b=0，即b=1，∴z=4i，∴|z|=4，故选：D．3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=，则=（）A．2 B．C．3 D．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理将sin2B=2sinAsinC，转换成b2=2ac，根据余弦定理化简得：，同除以c2，设c2=t，解得t的值，根据条件判断的值．【解答】解：三角形ABC中，sin2B=2sinAsinC，由正弦定理：，得：b2=2ac，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，即：，等号两端同除以c2，得：，令=t，∴2t2﹣5t+2=0，解得：t=2，t=，a＞c，∴t=2，则=2，故答案选：A．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）个．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】根据折线图分别判断①②③④的正误即可．【解答】解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分是130分，故而平均成绩小于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中的最高分大于130分，最低分小于90分，差超过40分，故④正确；故选：C．6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图可知该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，四棱柱的体积为V=底面积×高，即可求得V．【解答】解：三视图可知令该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，则四棱柱的体积为V=底面积×高=（3×3+×1×3×2）×2=24（cm3）故答案选：C7．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.02，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的s，m，n的值，可知当s=时，不满足条件s＞0.02，退出循环，输出n的值为6．【解答】解：模拟执行程序，可得t=0.02，s=1，n=0，m=，执行循环体，s=，m=，n=1满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=2满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=3满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=4满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=5满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=6不满足条件s＞0.02，退出循环，输出n的值为6．故选：A．8．已知函数f（x）=x3﹣3ax+，若x轴为曲线y=f（x）的切线，则a的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，0），代入函数的解析式，求出函数的导数，可得切线的斜率，解方程即可得到m，a的值．【解答】解：设切点为（m，0），则m3﹣3am+=0，①f（x）=x3﹣3ax+的导数为f′（x）=3x2﹣3a，由题意可得3m2﹣3a=0，②由①②解得m=，a=．故选：D．9．实数x，y满足，若3x﹣2y≤m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，9]【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而利用线性规划求3x﹣2y的最大值，从而求恒成立问题．【解答】解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，当过点A（3，0）时，3x﹣2y有最大值9，故m≥9，故选：A．10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2∴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∴C到渐近线的距离等于半径，即=2 ②由①②解得：a2=5，b2=4∴该双曲线的方程为故选A11．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴V=πR3=36π．故选：C．12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞e x，则使得f（x）＞xe x+2e x成立的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据f′（x）﹣f（x）＞e x，构造g（x）=e﹣x f（x）﹣x，求导，求出函数的单调增函数，只需将求g（x）的最小值大于2，即可求得x的取值范围．【解答】解：构造辅助函数g（x）=e﹣x f（x）﹣x，g′（x）=﹣e﹣x f（x）+f′（x）e﹣x﹣1=e﹣x[f′（x）﹣f（x）]﹣1，由f′（x）﹣f（x）＞e x，g′（x）＞0恒成立．∴g（x）在定义域上是单调递增函数，要使f（x）＞xe x+2e x，即：e﹣x f（x）﹣x＞2，只需将g（x）的最小值大于2，∵g（0）=2，g（x）在定义域上是单调递增函数；故x＞0，即x的取值范围是（0，+∞）．故答案选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是18．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开即可得出．【解答】解：∵（1+x）3（1+y）4=（1+3x+3x2+x3）（1+4y+6y2+4y3+y4），∴3×6=18，故答案为：18．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为f（x）=2sin（2x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象可得周期T=π，利用周期公式可求ω，利用将点（，A）代入y=Asin （2x+φ）及φ的范围可求φ的值，将（0，），y=Asin（2x+）即可求得A的值，即可确定函数解析式．【解答】解：根据图象可得，=，T==π，则ω=2，将点（，A）坐标代入y=Asin（2x+φ），sin（+φ）=1，|φ|＜，∴φ=，将点（0，）代入得=Asin，∴A=2，∴f（x）=2sin（2x+），故答案为：2sin（2x+）．15．一条斜率为1的直线与曲线：y=e x和曲线：y2=4x分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用导数求出切点的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：∵y=e x，∴y′=e x=1，∴x=0，y=1，即切点坐标为（0，1），∵y=2，∴y′==1，∴x=1，y=2，即切点坐标为（1，2），∴两点间的距离等于．故答案为：．16．已知椭圆E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（2，﹣1），则E的离心率e=．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆E的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．A（x1，y1），B（x2，y2），利用斜率公式可得：k l=1，利用中点坐标公式可得：x1+x2=4，y1+y2=﹣2，由于=1，+=1，相减可得a，b的关系式，再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：设椭圆E的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．A（x1，y1），B（x2，y2），k l===1，x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∵=1， +=1，相减可得： +=0，∴﹣=0，解得=．∴椭圆的离心率e===．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=pS n+2，其中p为常数．（1）证明：a n+2﹣a n=p；（2）是否存在p，使得|a n|为等差数列？并说明理由．【考点】等差数列的性质；数列递推式．【分析】（1）a n a n+1=pS n+2，a n+1a n+2=pS n+1+2，相减可得：a n+1（a n+2﹣a n）=pa n+1，利用a n+1≠0，可得a n+2﹣a n=p．（2）由a n a n+1=pS n+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1，同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2．因此a n+2﹣a n=2，数列{a2n﹣1}，数列{a2n}都是公差为2的等差数列，即可得出．【解答】（1）证明：∵a n a n+1=pS n+2，a n+1a n+2=pS n+1+2，∴a n+1（a n+2﹣a n）=pa n+1，∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=p．（2）解：由a n a n+1=pS n+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1，同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2．∴a n+2﹣a n=2，∴数列{a2n﹣1}是首项为2，公差为2的等差数列，且a2n﹣1=2+2（n﹣1）=2n．数列{a2n}是首项为3，公差为2的等差数列，且a2n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴a n=n+1．∴a n+1﹣a n=1．因此存在p=2，使得数列|a n|为等差数列．18．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：（1）求证：BO⊥DO；（2）求平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）先求出OD=，OB=，连结BD，求出BD=，由勾股定理逆定理得OD ⊥OB．（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知OD==，OB==，连结BD，在Rt△BCD中，BD===，∴OD2+OB2=BD2=6，由勾股定理逆定理得OD⊥OB．解：（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，1），B（），D（0，，2），F（0，0，0），∴=（，﹣1），=（0，，1），=（0，0，1），设平面OBD的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣，得=（，﹣，2），平面FBC的法向量=（0，0，1），cos＜＞===，∴平面DOB与平面BFC所成角的余弦值为．19．如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1413 15 数学成绩114 106 115 77 86 90 95 86 97 79 100 78 77 113 60物理成绩72 49 51 29574962 226329422137 46 21学号16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30数学成绩89 74 82 95 64 87 56 65 43 64 64 85 66 5651物理成绩65 4533 28 29 28 39 34 45 35 35 34 20 29 39 将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4数学Ⅱ15合计30（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．可能用到的公式和参考数据：K2=性检验临界值表（部分）P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【考点】性检验的应用．【分析】（1）根据考试成绩填写列联表，利用公式计算K2，根据所给参数即可得出结论；（2）由题意知ξ满足超几何分布，计算对应的概率，写出ξ的分布列与数学期望值．【解答】解：（1）根据这次考试的成绩填写2×2列联表，如下；物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4 11 15数学Ⅱ0 15 15合计 4 26 30假设数学成绩与物理成绩无关，由公式得K2===≈4.61＞3.841，根据所给参数可知数学成绩与物理成绩无关的概率小于5%，即有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”；（2）由题意知ξ满足超几何分布，从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩共有=435种可能，抽取的两人均达到Ⅰ层次的概率是==，抽取的两人仅有1人同时达到Ⅰ层次的概率是=，抽取的两人同时到达层次Ⅰ的概率是1﹣﹣==，所以ξ的分布列为：ξ0 1 2P（ξ）ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为H，与C的交点为Q，且|QF|=|HQ|．（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，分别过A，B且与C相切的直线l1，l2相交于点R，求S△RAB的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得H，Q的坐标，运用抛物线的定义和解方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率和方程，求得交点R的坐标，再求R 到直线l的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，即可得到所求最小值．【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，），准线方程为y=﹣由题意可得H（4，0），Q（4，），则|HQ|=，|QF|=+，由|QF|=|HQ|，可得+=•，解得p=2，则抛物线的方程为x2=4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+，代入抛物线x2=4y，消去y，可得x2﹣4kx﹣8=0，则x1+x2=4k，x1x2=﹣8，由y=x2的导数为y′=x，即有l1：y﹣y1=x1（x﹣x1），由x12=4y1，可得l1：y=x1x﹣x12，同理可得l2：y=x2x﹣x22，解得交点R（，x1x2），即为R（2k，﹣），即有R到l的距离为d==2，又|AB|=•=•=4（1+k2），则S△RAB=|AB|•d=•4（1+k2）•2=8（1+k2），当k=0时，S△RAB取得最小值8．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，构造函数u（x）=xe x﹣2m，求出M，N的表达式，构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，根据函数的单调性证出结论．【解答】解：（1）由题意x＞0，f′（x）=，m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，m＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）证明：g′（x）=，m≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，无最小值，由（1）得f（x）无最大值，故m＞0，令u（x）=xe x﹣2m，u′（x）=e x+xe x＞0，u（0）=﹣2m＜0，u（2m）=2m（e2m﹣1）＞0，故唯一存在x0∈（0，2m），使得u（x0）=0，即m=，列表如下：x （0，x0）x0（x0，+∞）u（x）﹣0 +g′（x）﹣0 +g（x）递减最小值递增由（1）得：M=f（）=mlnm﹣m，且N=g（x0）=﹣2mlnx0，由题设M≥N，即mlnm﹣m≥﹣2mlnx0，将m=代入上式有：ln﹣≥﹣2（）lnx0，化简得：x0lnx0+﹣（ln2+1）﹣1≥0，（*），构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，h′（x）=（lnx+1）+x﹣（ln2+1），而h′（x）递增，h′（1）=（4﹣ln2）＞0，当x＞0，h′（）=﹣5ln2＜0，则唯一存在t∈（0，1），使得h′（t）=0，则当x∈（0，t），h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（t，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，又h（1）=﹣ln2﹣1＜0，故h（x）≥0只会在（t，+∞）有解，而h（2）=3ln2+2﹣（ln2+1）﹣1=2ln2＞0，故（*）的解是x0＞1，则m=＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．（1）证明：CD=CE；（2）求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用弦切角定理，角平分线的性质，即可证明：CD=CE；（2）证明△CDB∽△CAD，即可求的值．【解答】（1）证明：∵CD是圆O的切线，∴∠CDB=∠DAB，∵∠ADB的平分线交AB于点E，∴∠EDA=∠EDB，∵∠CED=∠DAE+∠EDA，∠EDC=∠EDB+∠BDC，∴∠CED=∠EDC，∴CD=CE；（2）解：∵CD是圆O的切线，∴CD2=CB•CA=3，∴CD=，∵∠CDB=∠DAC，∴△CDB∽△CAD，∴==．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程（t为参数），利用cos2t+sin2t=1消去参数t化为普通方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1．联立可得交点坐标，再化为极坐标即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程（t为参数），消去参数t化为普通方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，展开为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣1=0．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣1=0．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1．联立，j解得，或，化为极坐标，．∴C1与C2交点的极坐标分别为：，．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设a≥b＞0，证明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；（2）已知|a|＜1，|b|＜1，证明|1﹣ab|＞|a﹣b|．【考点】绝对值三角不等式；不等式的证明．【分析】（1）直接利用作差法，再进行因式分解，分析证明即可．（2）直接利用作差法，结合平方、开方，然后分析证明即可．【解答】证明：（1）3a3+2b3﹣（3a2b+2ab2）=3a3﹣3a2b+2b3﹣2ab2=3a2（a﹣b）+2b2（b﹣a）=（3a2﹣2b2）（a﹣b）．因为a≥b＞0，所以a﹣b≥0，3a2﹣2b2≥0，从而（3a2﹣2b2）（a﹣b）≥0，即3a3+2b3≥3a2b+2ab2．（2）∵|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2=1+a2b2﹣a2﹣b2=（a2﹣1）（b2﹣1）．∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2﹣1＜0，b2﹣1＜0．∴|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2＞0，故有|1﹣ab|＞|a﹣b|．9月22日21 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内蒙古包头市2021届高三数学二模考试试题 理（含解析）一､选择题1.已知i 是虚数单位，复数1111i i--+的共轭复数是（ ） A. i B. i -C. 1D. -1【答案】B 【解析】 【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数. 【详解】因为()1i 1i 11i 1i 1i 2+---==-+, 所以共轭复数就是i -. 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2.已知集合{}2|0,A x x x x R =+=∈，则满足{}0,1,1A B =-的集合B 的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先求解集合A ，然后根据{}0,1,1AB =-可求集合B 的个数.【详解】因为{}{}2|0,0,1A x x x x =+=∈=-R ，{}0,1,1AB =-，所以集合B 可能是{}{}{}{}1,0,1,1,1,0,1,1--. 故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.设向量a ，b 满足3a b +=，7a b -=，则a b ⋅=（ ） A. -2B. 1C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】由平面向量模的运算可得：2223a ab b+⋅+=，①2227a ab b-⋅+=，②，则①-②即可得解．【详解】因为向量a，b满足||3a b+=，||7a b-=，所以2223a ab b+⋅+=，①2227a ab b-⋅+=，②由①-②得：44a b⋅=-，即1a b⋅=-，故选：C．【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．4.定义运算a bad bcc d=-，则函数()1sin21xf xx=的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数()f x为奇函数排除B、D；再根据函数的单调性排除选项C ，即可得到答案． 【详解】根据题意得，1()sin 2f x x x =-且函数()f x 为奇函数，排除B 、D ； (0)0f =；当0πx <<时，1()cos 2f x x '=-， 令()03f x x ππ'>⇒<<，令()003f x x π'<⇒<<，∴函数()f x 在(0,)π上是先递减再递增的，排除选项C ；故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5.已知圆C :221x y +=，定点()00,P x y ，直线l :001x x y y +=，则“点P 在圆C 外”是“直线l 与圆C 相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.【详解】若点P 在圆C 外，则22001x y +>，圆心到直线l :001x x y y +=的距离1d =<，此时直线l 与圆C 相交；若直线l 与圆C相交，则1d =<，即22001x y +>，此时点P 在圆C 外.故选：C.【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养. 6.某程序框图如图所示，若输入的6N =，则输出的值是（ ）A. 65B.56 C. 76D. 67【答案】D 【解析】 【分析】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第六次不满足判断框中的条件，执行输出结果．【详解】经过第一次循环得到1,22s k ==经过第二次循环得到112,3263s k =+== 经过第三次循环得到213,43124s k =+== 经过第四次循环得到314,54205s k =+== 经过第五次循环得到415,65306s k =+== 经过第六次循环得到516,6427s =+=66≥ 此时，不满足判断框中的条件，执行输出 故输出结果为67故选：D ．【点睛】本题主要考查解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．7.在公差不等于零的等差数列{}n a 中，24a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列，则8a =（ ） A. 4B. 18C. 24D. 16【答案】D 【解析】 【分析】根据1a ，3a ，9a 成等比数列可求公差，然后可得8a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1a ，3a ，9a 成等比数列，所以2319a a a =，即有2(4)(4)(47)d d d +=-+，解得2d =，0d =（舍），所以82616a a d =+=. 故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据已知条件构建等量关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.8.已知1F ，2F 为椭圆E 的左右焦点，点M 在E 上（不与顶点重合），12MF F ∆为等腰直角三角形，则E 的离心率为（ ）1 1-C.12【答案】B 【解析】 【分析】先根据12MF F ∆为等腰直角三角形可得12,MF MF ，结合椭圆的定义可求离心率. 【详解】由题意12MF F ∆等腰直角三角形，不妨设112MF F F ⊥，则11222,MF F F c MF ===，由椭圆的定义可得22c a +=，解得1c a ==. 故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建,,a b c 间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.9.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. 803B.603C. 503D.403【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【详解】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是23+、4，由正视图知，三棱锥的高是4，∴该几何体的体积11404(23)4323V=⨯⨯⨯+⨯=，故选：D．【点睛】本题主要考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10.若921axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）A. 672B. -672C. 5376D. -5376【答案】A 【解析】 【分析】先根据921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的各项系数的和为1，求解a ，然后利用通项公式可得常数项. 【详解】因为921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的各项系数的和为1，所以()911a -=，即2a =；9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()()()9219183199212r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，令1830r -=得6r =，所以展开式中的常数项为3692672C ⨯=.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知函数()222cos sin 22x x x x f =+，则()f x 的最大值为（ ） A. 1 B.52C.32D. 2【答案】B 【解析】 【分析】先化简函数()f x ，然后利用()f x 解析式的特点求解最大值.【详解】()223132cos sin cos sin 22222262x f x x x x x x π⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭， 因为sin 16x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以5()2f x ≤. 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题，三角函数的最值问题主要是先化简为最简形式，结合解析式的特点进行求解.12.将边长为2的正方形11AAO O (及其内部)绕1OO 旋转一周形成圆柱，点B ､C 分别是圆O 和圆1O 上的点，AB 长为23π，1AC 长为43π，且B 与C 在平面11AAO O 的同侧，则11A O 与BC 所成角的大小为（ ） A.3πB.6π C.4π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】由弧长公式可得1123AO C π∠=，3AOB π∠=，由异面直线所成角的作法可得CBD ∠为异面直线11A O 与BC 所成角，再求解即可． 【详解】由弧长公式可知1123AO C π∠=，3AOB π∠=， 在底面圆周上去点D 且23AOD π∠=， 则CD ⊥面AOD ， 连接CD ，BC ，BD ， 则11//BD AO即CBD ∠为异面直线11A O 与BC 所成角， 又2DB =，2DC =， 所以4CBD π∠=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，考查了空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 二､填空题 13.向平面区域(){},|01,01x y x y ≤≤≤≤内随机投入一点，则该点落在曲线21y x =-下方的概率为______. 【答案】4π 【解析】 【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案． 【详解】作出平面区域{(,)|01x y x ，01}y 及曲线21(0,0)y x x y =-如图， 111OABC S =⨯=正方形，21144S ππ=⨯=阴影．∴向平面区域{(,)|01x y x ，01}y 内随机投入一点，则该点落在曲线21y x =-下方的概率为4P π=．故答案为：4π．【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14.设x ，y 满足约束条件10101x y y x x +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的取值范围是______.【答案】[]28, 【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的取值范围．【详解】作出x ，y 满足约束条件，则10101x y y x x +-⎧⎪--⎨⎪⎩对应的平面区域（阴影部分），由23z x y =+，得233z y x =-+，平移直线233z y x =-+，由图象可知当直线233zy x =-+经过点(1,2)A 时，直线233zy x =-+的截距最大，此时z 最大．此时z 的最大值为21328z =⨯+⨯=， 由图象可知当直线233z y x =-+经过点(1,0)B 时，直线233zy x =-+的截距最小，此时z 最小．此时z 的最小值为21302z =⨯+⨯=，28z ∴故答案为：[2，8]．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若543S S -=，392S =，22n S =，则n =______. 【答案】8 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式可得. 【详解】因为543S S -=，所以53a =， 因为392S =，所以232a =， 设等差数列的公差为d ，则114332a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得111,2a d ==，由22n S =得(1)12222n n n -+⨯=，解得8n =. 故答案为：8.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的运算，熟记相关的求解公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.若直线y kx =既是曲线1xy e =-的切线，又是曲线()ln y x b =+的切线，则b =______.【答案】1 【解析】 【分析】分别设出两个切点，根据导数的几何意义可求.【详解】设直线y kx =与曲线1xy e =-相切于点()11,e 1xx -，直线y kx =与曲线()ln y x b =+相切于点()22,ln()x x b +，则1e x k =且11e 1xkx -=，解得11,0k x ==；同理可得21k x b=+且22ln()x b kx +=，解得21,0b x ==； 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，设出切点建立等量关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 三､解答题17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 0b c A +=.（1）若1b c ==，求a 和ABC S ∆；（2）求cos B 的最小值. 【答案】（1）a =ABC S ∆=（2【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出A 的余弦函数值，然后求解A 的值，然后求解三角形的面积；（2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．【详解】（1）因为1b c ==，代入2cos 0b c A +=，得1cos 2A =-，所以120A =︒，30C B ==︒，由正弦定理得sin sin a b A B=，所以sin120sin 30a ︒==︒11sin 1sin 3022ABC S ac B ∆==⨯︒=（2）把余弦定理代入2cos 0b c A +=，得222202b c a b c bc +-+⋅=，解得2222a cb -=.再由余弦定理得22222222232cos 224a c a c a c b a c B ac ac ac-+-+-+===≥=当且仅当223a c =，即a =时，cos B【点睛】本题主要考查三角形的解法、正余弦定理的应用、三角形的面积以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题． 18.一只红玲虫的产卵数y 和温度t 有关.现收集了7组观测数据如下表:为了预报一只红玲虫在40︒时的产卵数，根据表中的数据建立了y 与t 的两个回归模型.模型①:先建立y 与t 的指数回归方程(1)0.272 3.849t y e -=，然后通过对数变换ln u y =，把指数关系变为u 与t 的线性回归方程:(1)0.272 3.849ut =-；模型②:先建立y 与t 的二次回归方程(2)20.367202.543yt =-，然后通过变换2x t =，把二次关系变为y 与x 的线性回归方程:(2)0.367202.543yx =-.（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在40︒时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和11550.538Q =，模型①的相关指数210.98R =；模型②的残差平方和215448.431Q =，模型②的相关指数220.8R =；7.0311131e =，71096e =，82981e =；ln7 1.946=，ln11 2.398=，ln 21 3.045=，ln 24 3.178=，ln66 4.190=，ln115 4.745=，ln325 5.784=）【答案】（1）(1)1131y =，(2)384.657y=（2）模型①得到的预测值更可靠，理由见解析【解析】 【分析】（1）把40t =︒分别代入两个模型求解即可； （2）通过残差及相关指数的大小进行判定比较. 【详解】(1)当40t =︒时，根据模型①，得(1)0.27240 3.8497.031u=⨯-=，(1)7.0311131ye==，根据模型②，得2(2)0.36740202.543384.657y=⨯-=.（2）模型①得到的预测值更可靠.理由1:因为模型①的残差平方和11550.538Q =小于模型②的残差平方和215448.431Q =，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由2:模型①的相关指数210.98R =大于模型②的相关指数220.80R =，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由3:因为由模型①，根据变换后的线性回归方程(1)0.272 3.849u t =-计算得到的样本点分布在一条直线的附近；而由模型②，根据变换后的线性回归方程(2)0.367202.543yx =-得到的样本点不分布在一条直线的周围，因此模型②不适宜用来拟合y 与t 的关系；所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠.（注:以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得）【点睛】本题主要考查回归分析，模型拟合程度可以通过两个指标来判别，一是残差，残差平方和越小，拟合程度越高；二是相关指数，相关指数越接近1，则拟合程度越高.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（22【解析】 【分析】（1）先证明AC ⊥平面PBC ，然后可得平面EAC ⊥平面PBC ； （2）建立坐标系，根据二面角P AC E --的余弦值是63可得PC 的长度，然后可求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【详解】（1）PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC PC ⊥. 又1AD CD ==，在Rt ADC ∆中，得2AC =设AB 中点为G ，连接CG ，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG AB ⊥，且2BC =因为222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥， 又因为BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ， 又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .（2）以C 为坐标原点，分别以射线CD ､射线CP 为y 轴和z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -. 又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫-⎪⎝⎭，()1,1,0CA=，()0,0,CP a =， 11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,PA a =-.由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-为平面PAC 的一个法向量. 设(),,n x y z =为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--，有26cos ,32m n m n m na ⋅===⋅+，得2a =，从而()2,2,2n =--，()1,1,2PA =-. 设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,n PA n PA n PAθ⋅==⋅22423612-+==⨯. 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.20.设F 为抛物线C :22y px =的焦点，A 是C 上一点，FA 的延长线交y 轴于点B ，A 为FB的中点，且3FB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于M ，N 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，求四边形MDNE 面积的最小值.【答案】（1）24y x =（2）32 【解析】 【分析】（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得p ，则抛物线C 的方程可求；（2）由已知直线1l 的斜率存在且不为0，设其方程为(1)y k x =-，与抛物线方程联立，求出||MN ，||DE ，可得四边形MDNE 的面积，利用基本不等式求最值． 【详解】（1）如图，A 为FB 的中点，A ∴到y 轴的距离为4p， 3||3||42422p p p FB AF ∴=+===，解得2p =． ∴抛物线C 的方程为24y x =；（2）由已知直线1l 的斜率存在且不为0，设其方程为(1)y k x =-．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=． △0>，设1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y∴12242x x k +=+，则1221||24(1)MN x x k =++=+； 同理设3(D x ，3)y 、4(E x ，4)y ，∴23424x x k +=+，则234||24(1)DE x x k =++=+． ∴四边形MDNE 的面积2211||||8(2)322S MN DE k k ==++． 当且仅当1k =±时，四边形BCDE 的面积取得最小值32．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.e 是自然对数的底数，已知函数()()2xf x x x e =-，x ∈R .（1）求函数()y f x =的最小值；（2）函数()()(g x f x f =-在R 上能否恰有两个零点?证明你结论. 【答案】（1）(21f =（2）能够恰有两个零点，证明见解析【解析】 【分析】（1）先求导数，再求极值。

内蒙古包头市数学高三理数第二次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·山东期中) 已知全集 = = = ,则 =（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 设z= ，则 =（）A . ﹣1+3iB . ﹣1﹣3iC . 1+3iD . 1﹣3i3. （2分）已知a>0且a≠1，若函数f（x）= loga（ax2 –x）在[3，4]是增函数，则a的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）(2014·四川理) 平面向量 =（1，2）， =（4，2）， =m + （m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A . ﹣2B . ﹣1C . 1D . 25. （2分）(2017·山东模拟) 函数的图象如图所示，为了得到g（x）=cos2x 的图象，则只需将f（x）的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度6. （2分）从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，甲被选中的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）已知m,n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题正确的是（）A . 若,则B . 若,则C . 若,则D . 若,则8. （2分）(2017·河南模拟) 已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（）A . n＞10B . n≤10C . n＜9D . n≤99. （2分） (2017高二下·宜春期末) 已知a∈R，“2a≥2”是|a|≥1的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分）已知cosθ=﹣，＜θ＜3π，那么sin 等于（）A . -B . -C .D .11. （2分）(2018·河北模拟) 已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过点且与该双曲线的右支交于两点，若的周长为，则该双曲线离心率的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·福州期末) 已知双曲线C: 的左焦点为，圆M的圆心在Y轴正半轴，半径为，若圆M与双曲线的两条渐近线相切且直线M 与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·南京模拟) 已知样本7，8，9，的平均数是9，且，则此样本的方差是________.14. （1分） (2015高三上·务川期中) 已知 =（2，λ）， =（3，4），若⊥ ，则λ=________．15. （1分）(2017·新课标Ⅱ卷文) 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2 ，则f（2）=________．16. （1分）(2020·安阳模拟) 下图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后，左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直.则这个几何体的体积为________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高一下·攀枝花期中) 已知向量 =（an ， 2n）， =（2n+1 ，﹣an+1），n∈N* ，向量与垂直，且a1=1（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=log2an+1，求数列{an•bn}的前n项和Sn．18. （10分） (2017高二上·湖北期末) 某青年教师有一专项课题是进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的研究，他调查了某中学高二年级800名学生上学期期末考试的数学和物理成绩，把成绩按优秀和不优秀分类得到的结果是：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有60人．附：P（K2≥k0）0.1000.0500.010k0 6.6357.87910.828K2= ．（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该中学学生的数学成绩与物理成绩有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取4名学生的成绩，记抽取的4份成绩中数学、物理两科成绩恰有一科优秀的份数为X，求X的分布列和期望E（X）．19. （10分） (2016高二下·南昌期中) 把正方形AA1B1B以边AA1所在直线为轴旋转900到正方形AA1C1C，其中D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：B1F⊥平面AEF；（3）求二面角A﹣EB1﹣F的大小．20. （10分） (2015高二下·双流期中) 求双曲线 =1的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．21. （10分）(2017·池州模拟) 设函数f（x）=xln（x﹣1）﹣a（x﹣2）．（Ⅰ）若a=2017，求曲线f（x）在x=2处的切线方程；（Ⅱ）若当x≥2时，f（x）≥0，求a的取值范围．22. （10分） (2019高二下·哈尔滨月考) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.23. （10分） (2017高三上·河北月考) 设满足以下两个条件的有穷数列，，，为阶“期待数列”：① ；② .（1）分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列”.（2）若某 2017 阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式.（3）记阶“期待数列”的前项和为，试证： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。

内蒙古包头市数学高三理数教学质量检测试卷（二）姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知集合 A={0，1，a}，B={2，a2}，若 A∪B={0，1，2，3，9}，则 a 的值为（ ）A.0B.1C.2D.32. （2 分） (2017·襄阳模拟) 已知复数 z1=a﹣5i 在复平面上对应的点在直线 5x+2y=0 上，复数 z=（i是虚数单位），则 z2017=（ ）A.1B . ﹣1C . ﹣iD.i3. （2 分） (2019 高二上·双流期中) 已知向量,则的充要条件是 （ ）A. B. C. D.4. （2 分） (2016 高三上·宁波期末) 已知实数列{an}是等比数列，若 a2a5a8=﹣8，则++（）第 1 页 共 13 页A . 有最大值 B . 有最小值 C . 有最大值 D . 有最小值 5. （2 分） (2017·西宁模拟) 同时具有性质：“①最小正周期是 π；②图象关于直线上是增函数．”的一个函数为（ ） A. B. C. D. 6. （2 分） 阅读右边的程序框图，若输入 N=100，则输出的结果为（ ）对称；③在A . 50 B.第 2 页 共 13 页C . 51D.7. （2 分） (2016 高二上·定州开学考) 已知圆 C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2 被直线 y=3x+b 所截得的线段的长 度等于 2，则 b 等于（ ）A.±B.±C . ±2D.± 8. （2 分） 设函数的概率为（ ） A . 0.5 B . 0.4 C . 0.3 D . 0.2.若从区间内随机选取一个实数 ,则所选取的实数 满足9. （2 分） (2019 高三上·维吾尔自治月考) 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 且 （）的图象关于点的最大值为 对称，则下列判断正确的是A . 要得到函数的图象，只需将的图象向右平移 个单位B . 函数的图象关于直线对称C.当时，函数的最小值为D . 函数在上单调递增第 3 页 共 13 页10. （2 分） 已知四面体 ABCD 中，AB＝AD＝6，AC＝4，CD＝ 球的表面积为（ ）A . 36π B . 88π C . 92π D . 128π， AB⊥平面 ACD，则四面体 ABCD 外接11. （2 分） (2017 高二上·大连期末) 已知椭圆 圆上存在点 P 使得∠F1PF2 是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（的两个焦点分别为 F1 ， F2 ， 若椭 ）A.B.C.D.12. （2 分） (2020 高二上·青铜峡期末) 对于任意实数 x，符号[x]表示 x 的整数部分，即[x]是不超过 x 的 最大整数，例[2]=2；[2.1]=2；[-2.2]=-3, 这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。

包头一中2019学年度高三年级校二模试题（数学理科）命题人：陈巧梅审题人：数学备课组一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = （）A ．{}0B ．{}1,4--C ．∅D ．{}1,42.若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（）（A）1i-（B）1i+（C）1i--（D）1i-+3.执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =()A.67B.37C.89D.494.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A ．8－2πB ．8－π4C ．8－π2D ．8－π5.直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D 既不充分又不必要条件6．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是()A ．－15B ．－5C ．5 D.157.将函数y ＝3sinx 的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数()A ．在区间π12，7π12上单调递减B ．在区间π12，7π12上单调递增C ．在区间－π6，π3上单调递减D ．在区间－π6，π3上单调递增8．设实数x ，y x －y －10≤0，－2y ＋8≥0，≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为()．A.4B.83C.113D．2569如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（）A.11BF AF ++ B.2211BF AF --C.11BF AF -- D.2211BF AF ++10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2016＝()A ．22016－1B ．3·21008－3C ．3·21008－1D ．3·21007－211.已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.2212已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1，1)．现有下列命题：①f (－x )＝－f (x )；②2f (x )；③|f (x )|≥2|x |.其中的所有正确命题的序号是()A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)14设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －3cos x 取得最大值，则cos θ＝________.15.已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为．16.如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．三．解答题：（解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题12分）向量a ＝(2,2)，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且a ·b ＝－2.(1)求向量b ；(2)若t ＝(1,0)，且b ⊥t ，c A ，2cos A 、B 、C 是△ABC 的内角，若△ABC 的内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b ＋c |的取值范围．18.（本小题满分12分）如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上.（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.19．（本小题满分12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．20.（本小题满分12分）如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问：是否存在实数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2()xf x x e-=.(1)求f (x )的极小值和极大值；(2)当曲线y ＝f (x )的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连接CF 交AB 于点E ．（1）求证：DE 2=DB •DA ；（2）若DB =2，DF =4，试求CE 的长．23.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲B ACDE OF已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)若关于x 的不等式f (x )<|1－2a |的解集不是空集，求实数a 的取值范围；(2)若关于t 的一元二次方程t 2＋26t ＋f (m )＝0有实根，求实数m 的取值范围．17．解：(1)设b ＝(x ，y )，则a ·b ＝2x ＋2y ＝－2，且|b |＝3π4＝1＝，∴解得x ＝－1，y ＝0，或x ＝0，y ＝－1.∴b ＝(－1,0)或b ＝(0，－1)．(2)∵b ⊥t ，且t ＝(1,0)，∴b ＝(0，－1)．∵A 、B 、C 依次成等差数列，∴B ＝π3.∴b ＋c ＝C－1＝(cos A ，cos C )．∴|b ＋c |2＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋12(cos2A ＋cos2C )＝1＋124π－2A ＝1＋123＝1＋12cos π3.∵2A ＋π3∈5π3，∴－1≤cos π3＜12，∴12≤|b ＋c |2＜54，∴22≤|b ＋c |＜52.18..（1）若是的中点，则，，于是，∴，即；（2）由题设知，，是平面内的两个不共线向量.∴，即，亦即，从而，于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积.19．20.【解析】(1)由P 32在椭圆上，得1a2＋94b2＝1.①依题设知a＝2c，则b2＝3c2.②将②代入①，解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.注意到A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y1x1－1＝y2x2－1＝k.所以k 1＋k 2＝2＋2＝y1x1－1＋y2x2－1－321x2－1＝2k －32·x1＋x2－2x1x2－（x1＋x2）＋1.⑤将④代入⑤，得k 1＋k 2＝2k －32·8k2＋1＝2k －1.又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．21.22.（1）证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．………………5分（2）解：DF2=DB•DA，DB=2，DF=4．DA=8，从而AB=6，则．又由（1）可知，DE=DF=4，BE=2，OE=1．从而在中，．………………10分23.24.解：(1)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，∴|1－2a|>4，∴a<－32或a>52，∴实数a的取值范围为32∪5，＋∞.(2)Δ＝24－4(|2m＋1|＋|2m－3|)≥0，即|2m＋1|＋|2m－3|≤6，∴不等式等价于，(2m＋1)＋(2m－3)≤6或，(2m＋1)－(2m－3)≤6或，－(2m＋1)－(2m－3)≤6.∴32<m≤2或－12≤m≤32或－1≤m<－12，∴实数m的取值范围是[－1,2]．。

内蒙古包头市数学高三(高复部)理数第二次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）函数的图象（）A . 关于y轴对称B . 关于x轴对称C . 关于原点对称D . 关于直线y=x对称3. （2分）已知则在方向上的投影是（）A . 1B . -1C .D .4. （2分）正方体的内切球和外接球的体积之比为（）A . 1∶B . 1∶3C . 1∶9D . 1∶35. （2分） (2016高二上·绍兴期末) 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE 折起，在折起过程中，有几个正确（）①ED⊥平面ACD ②CD⊥平面BED ③BD⊥平面ACD ④AD⊥平面BED．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分） (2017高一下·正定期末) 已知定义在上的函数满足，当时，，其中，若方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二下·辽源月考) 下列两个变量具有相关关系且不是函数关系的是（）A . 正方形的边长与面积B . 匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C . 人的身高与体重D . 人的身高与视力8. （2分）(2018·浙江) 已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1 ， SE与平面ABCD所成的角为θ2 ，二面角S−AB−C的平面角为θ3 ，则（）A . θ1≤θ2≤θ3B . θ3≤θ2≤θ1C . θ1≤θ3≤θ2D . θ2≤θ3≤θ19. （2分）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（）A . 椭圆B . 圆C . 双曲线D . 直线10. （2分）在△ABC中，已知b＝， c＝，∠A＝120°，则a等于（）A .B . 6C . 或6D .11. （2分）(2018·全国Ⅲ卷文) 已知双曲线的离心率为，则点到的最近线的距离为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·上海月考) 在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等，则动点所在的曲线的形状为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为________ ．14. （1分）(2017·沈阳模拟) 某班共46人，从A，B，C，D，E五位候选人中选班长，全班每人只投一票，且每票只选一人．投票结束后（没人弃权）：若A得25票，B得票数占第二位，C、D得票同样多，得票最少的E只得4票，那么B得票的票数为________．15. （1分）(2018·杭州模拟) 在中，角所对的边分别为若对任意 ,不等式恒成立，则的最大值为________.16. （1分）(2017高二下·河北期末) 用表示，中的最小值，已知函数，，设函数（），若有个零点，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共72分)17. （2分） (2018高一下·攀枝花期末) 已知正项数列的前项和满足 .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对任意恒成立，求实数的取值范围.18. （10分）(2017·长沙模拟) 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面相互垂直，AB= ，AF=1，G为线段AD上的任意一点．（1）若M是线段EF的中点，证明：平面AMG⊥平面BDF；（2）若N为线段EF上任意一点，设直线AN与平面ABF，平面BDF所成角分别是α，β，求的取值范围．19. （10分）(2018·吉林模拟) 某高中一年级600名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．20. （15分）(2017高一下·东丰期末) 已知圆 : 圆求：（1）圆上的点到直线的最大距离；（2）圆与圆与的公共弦长。