04—05第二学期高数A期末A卷及答案

南京邮电大学2009 /2010 学年第 二 学期《 高等数学A 》(下) 期末试卷（A ）院(系) 班级 学号 姓名一、选择题（每小题3分，共15分）1、设21:x y L -=，则⎰+Lds y x )(22= （ ）(A ) π2. (B ) π. (C )2π(D ) π4 2、∑为锥面 22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则=⎰⎰∑zdS （ ） (A )⎰⎰1320ρρθπd d (B ) ⎰⎰1220ρρθπd d(C ) ⎰⎰102202ρρθπd d (D ) ⎰⎰13202ρρθπd d3、已知2-=x 是∑∞=1n n n x a 的收敛点，则当21=x 时，级数 （ ） (A ) 发散 (B ) 绝对收敛 (C ) 条件收敛 (D ) 无法断定4、微分方程x y y 2cos 4=+''的特解形式可设为 （ ） (A ) x a 2cos (B ) x ax 2cos (C ) )2sin 2cos (x b x a x + (D )x b x a 2sin 2cos +5、若9:22=+y x L 为逆时针方向，则⎰-+-Ldy x x dx y xy )4()22(2= ( )(A ) π9 (B )π18 (C )π18- (D )π9-装 订 线 内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不作 弊二、填空题（每小题4分，共20分） 1、∑是球面,2222R z y x =++则.2=⎰⎰∑dS y2、∑∞=-11n n nx 的收敛域为_______，和函数=)(x s _____________.3、以x xe y -=为特解的二阶常系数线性齐次方程为__________________.4、设∑∞==≤≤=12,sin )(,10,)(n n x n b x s x x x f π其中⎰=12,sin 2xdx n x b n π,...3,2,1=n ，则.)21(=-s5、=+)1(i Ln ___________________，0=z 是函数521ze z-的____级极点. 三、讨论下列级数的敛散性。

04-05高等数学试卷A答案04-05高等数学试卷A答案高等数学试卷（A 卷）第 2 页共 13 页广州大学2004-2005学年第二学期考试卷答案与评分标准课程：高等数学(90学时) 考试形式：闭卷考试题号一二三四五六七总分分数 15 15 20 20 16 6 8 100 评分评卷人一．填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．设xye z =，则=dz )(xdy ydx exy+2．设),(y x f 连续，交换积分次序┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院领导审批并签名A 卷高等数学试卷（A 卷）第 3 页共 13 页=110),(xdy y x f dx ?10),(ydxy x f dy3．L 为连接点)0,1(A 与点)1,0(B 的线段，则=+Lds y x )(24．当10≤=-1)1(n p n n条件收敛 5．微分方程54=+'-''y y y 的通解是)sin cos (212x c x c e y x +=二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数),(y x f z =在点),(y x 处的偏导数xz及y z ??存在是),(y x f 在该点可微分的【 B 】（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；高等数学试卷（A 卷）第 4 页共 13 页（C ）充分必要条件；（D ）无关条件. 2.曲线12-=t x ，2+=t y ，3t z =在点)1,1,0(-处的切线方程为【 C 】（A ）232=--z y x （B ）232x y z ++=-（C ）3112+=-=-z y x （D ）3112+=-=z y x3．设Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域，则Ω=xdv 【 B 】（A ）1110x y dx dy x dz--?（B ）1110x x y dx dy x dz ---??（C ）1110y x y dx dy x dz---?（D ）111dx dy x dz4. 设L 为圆周122=+y x ，取顺时针方向，平面区域:D 122≤+y x，高等数学试卷（A 卷）第 5 页共 13 页根据格林公式，曲线积分22Ly xdy x ydy -=【 A 】（A ）??+-Ddxdyy x)(22（B ）??+Ddxdyy x)(22（C ）??--Ddxdyx y)(22（D ）??-Ddxdyx y)(225．微分方程xxe y y y 265=+'-''的特解形式是【 D 】（A ）xaxe 2 （B ）xe ax 22（C ）xe b ax x 22)(+ （D ）xe b ax x 2)(+高等数学试卷（A 卷）第 6 页共 13 页三．解答下列各题（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．),(v u f z =具有二阶连续偏导数，其中y x u -=，22y x v +=，求x z ??与yx z2解：xzxv u f v u f v u2),(1),(?+?=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分vuxf f 2+= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 =yx z2[](1)22(1)2uu uv vu vvf f y x f f y ?-+?+?-+? ┅┅┅┅ 5分2()4uuuvvvf y x f x y f =-+-+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．函数),(y x z z =是由方程z z y x 22 22=++确定，求xz及22x z ?? 解：令z z y x z y x F 2),,(222-++=x F x2= 22-=z F z┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分zx F F x z zx -=-=??1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分┋┋┋┋┋ 装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋高等数学试卷（A 卷）第 7 页共 13 页222)1()(1z xz x z xz-??---=?? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分322)1()1(z xz -+-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值解：由??=-==-=03303322x y f y x f yx┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分得驻点为)0,0(、)1,1( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分x f xx6=， 3-=xyf ， y f yy6= ┅┅┅┅┅┅ 4分在点)0,0(处，092<-=-B AC ，所以)0,0(f 不是极值┅┅ 6分在点)1,1(处，0272>=-B AC ，又06>=A所以在)1,1(处有极小值1)1,1(-=f ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分高等数学试卷（A 卷）第 8 页共 13 页四．计算下列积分（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．计算二重积分dxdy y x D，其中D 由2x y =与xy =围成的闭区域解：dxdy y x D21xx dx ydy=?? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分1201|2xx xy dx =? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 ?-=152)(21dx x x ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分112= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 2．计算二重积分dxdyeDy x ??+22，其中D 由4=+y x围成的闭区域解：dxdy eDy x ??+22?=20202ρρθρπd e d ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分2|2ρπe= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分高等数学试卷（A 卷）第 9 页共 13 页)1(4-=e π ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．利用高斯公式计算曲面积分333I x dy dz y dz dx z dx dy∑=++??，其中∑为球面2a z y x =++的外侧)0(>a ，解：记2222:a z y x≤++Ω由高斯公式2223()I x y z dvΩ=++ ┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 drr d d a420sin 3=ππ??θ ┅┅┅┅┅┅┅ 6分5125a π=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分高等数学试卷（A 卷）第 10 页共 13 页五．解答下列级数（本题共3小题，第1小题6分，第2小题10分，满分16分） 1．判别级数∑∞=1!3n nnn n 的敛散性解：!3)!1(3)1(lim lim 111n n n n uu n nn n n nn n ++=++∞→+∞→ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分nn n+=∞→11lim 31 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分13<=e┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分该级数收敛┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．求幂级数∑∞=?12n nnn x 的收敛域及其和函数解：nn n a a 1lim+∞→=ρnn n n n 212)1(1lim 1+=+∞→1lim 21+=∞→n n n 21=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分故21==ρR ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分┋┋┋┋┋ 装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋高等数学试卷（A 卷）第 11 页共 13 页当2-=x 时，级数∑∞=-1)1(n n n 条件收敛┅┅┅┅┅┅┅ 4分当2=x 时，级数∑∞=11n n发散┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分幂级数的收敛域为)2,2[- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分记=)(x S ∑∞=?12n nnn x 22<≤-x=')(x S ∑∞=-112n nn x=11221-∞=∑??n n x =x-21 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分xx dx S x S x-=-+=?22ln 2)0()(0 （22<≤-x ）┅ 10分六．（本题满分6分）求微分方程32(1)1y y x x '-=++的通解解：该方程为一阶线性微分方程，由常数变易公式+?+?=?+-+C dx ex e y dx x dx x )1(23)1(2)1(┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分[]?+++=Cdx x x )1()1(2 ┅┅┅┅┅┅┅┅高等数学试卷（A 卷）第 12 页共 13 页┅┅┅┅┅┅ 5分+++=C x x 22)1(21)1( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分七．（本题满分8分）一个半球形状的雪堆，其体积减少的速率与半球面的面积成正比，比例常数0>k ，假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为1米的雪堆在开始的3小时内融化了体积的8 7，问雪堆全部融化需要多少时间？解：设雪堆在时刻t 的体积332r V π=，侧面积22r S π=，依题意知2222r k dtdrr dt dV ππ?-==┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分于是得k dtdr-= 积分得Ckt r +-= ┅┅┅┅┅┅┅高等数学试卷（A 卷）第 13 页共 13 页┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分由初始条件1)0(=r ，得1=C 所以kt r -=1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分又由题设，可知03|81|===t t V V即ππ3281)31(323?=-k61=k 得，从而t r 611-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分雪堆全部融化时0=r ，令0=r 得6=t 故雪堆全部融化需6小时┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分。

广州大学2004-2005学年第二学期考试卷答案与评分标准课 程：高等数学(90学时) 考 试 形 式：闭卷 考试一．填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．设xye z =，则=dz )(xdy ydx e xy +2．设),(y x f 连续，交换积分次序=⎰⎰110),(xdy y x f dx ⎰⎰10),(y dx y x f dy3．L 为连接点)0,1(A 与点)1,0(B 的线段，则⎰=+Lds y x )(24．当10≤<p 时，级数∑∞=-1)1(n pnn条件收敛 5．微分方程054=+'-''y y y 的通解是)sin cos (212x c x c e y x+=二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．函数),(y x f z =在点),(y x 处的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是),(y x f 在 该点可微分的【 B 】（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充分必要条件； （D ）无关条件.装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院 系专业班级 学号姓名2.曲线12-=t x ，2+=t y ，3t z =在点)1,1,0(-处的 切线方程为【 C 】（A ）232=--z y x （B ）232x y z ++=- （C ）3112+=-=-z y x （D ）3112+=-=z y x 3．设Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域， 则⎰⎰⎰Ω=xdv 【 B 】（A ）111000x y dx dy xdz --⎰⎰⎰（B ）111000x x y dx dy x dz ---⎰⎰⎰（C ）1110y x y dx dy x dz ---⎰⎰⎰（D ）1110dx dy xdz ⎰⎰⎰4. 设L 为圆周122=+y x ，取顺时针方向，平面区域:D 122≤+y x ， 根据格林公式，曲线积分22Ly xdy x ydx -=⎰【 A 】（A ）⎰⎰+-Ddxdy y x)(22（B ）⎰⎰+Ddxdy y x )(22（C ）⎰⎰--Ddxdy x y)(22（D ）⎰⎰-Ddxdy x y )(225．微分方程xxe y y y 265=+'-''的特解形式是【 D 】 （A ）xaxe 2 （B ）xeax 22（C ）xe b ax x 22)(+ （D ）xe b ax x 2)(+三．解答下列各题（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．),(v u f z =具有二阶连续偏导数，其中y x u -=，22y x v +=，求x z ∂∂与y x z ∂∂∂2解：xz ∂∂x v u f v u f v u 2),(1),(⋅+⋅=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分v u xf f 2+= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分=∂∂∂yx z2[](1)22(1)2uu uv vu vv f f y x f f y ⋅-+⋅+⋅-+⋅ ┅┅┅┅ 5分 2()4uu uv vv f y x f xy f =-+-+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．函数),(y x z z =是由方程z z y x 2222=++确定，求x z ∂∂及22xz∂∂解：令z z y x z y x F 2),,(222-++=x F x 2= 22-=z F z ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分zxF F x z z x -=-=∂∂1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 222)1()(1z x zx z x z -∂∂---=∂∂ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 322)1()1(z x z -+-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分3．求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值解：由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=03303322x y f y x f y x ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 得驻点为)0,0(、)1,1( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 x f xx 6=， 3-=xy f ， y f yy 6= ┅┅┅┅┅┅ 4分在点)0,0(处，092<-=-B AC ，所以)0,0(f 不是极值 ┅┅ 6分 在点)1,1(处，0272>=-B AC ，又06>=A所以在)1,1(处有极小值1)1,1(-=f ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分四．计算下列积分（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．计算二重积分dxdy y x D⎰⎰，其中D 由2xy =与x y =围成的闭区域解：dxdy y x D⎰⎰210x dx y dy =⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分12012x xy dx =⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 ┋┋┋┋┋ 装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院系 专业 班级学号姓名⎰-=1052)(21dx x x ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分112= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．计算二重积分dxdy e Dy x ⎰⎰+22，其中D 由422=+y x 围成的闭区域解：dxdy e Dy x⎰⎰+22⎰⎰=20202ρρθρπd e d ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分20|2ρπe = ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分)1(4-=e π ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 3．利用高斯公式计算曲面积分333I x dy dz y dz dx z dx dy ∑=++⎰⎰，其中∑为球面2222a z y x =++的外侧)0(>a ， 解：记2222:a z y x ≤++Ω 由高斯公式 2223()I x y z dv Ω=++⎰⎰⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 dr r d d a420sin 3⎰⎰⎰=ππϕϕθ ┅┅┅┅┅┅┅ 6分5125a π= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分五．解答下列级数（本题共3小题，第1小题6分，第2小题10分，满分16分）1．判别级数∑∞=1!3n n nn n 的敛散性解：!3)!1(3)1(lim lim 111n n n n u u n n n n n nn n ++=++∞→+∞→ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 nn n ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→11lim 31 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分13<=e┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分该级数收敛 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分2．求幂级数∑∞=⋅12n nnn x 的收敛域及其和函数 解：nn n a a 1lim +∞→=ρnn n n n 212)1(1lim 1⋅+=+∞→ 1l i m21+=∞→n n n 21=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 故21==ρR ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 当2-=x 时，级数∑∞=-1)1(n nn 条件收敛 ┅┅┅┅┅┅┅ 4分当2=x 时，级数∑∞=11n n发散┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分幂级数的收敛域为)2,2[- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分记=)(x S ∑∞=⋅12n nnn x 22<≤-x =')(x S ∑∞=-112n n n x=11221-∞=∑⎪⎭⎫⎝⎛n n x =x -21┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分 xx dx S x S x -=-+=⎰22ln 2)0()(0 （22<≤-x ）┅ 10分六．（本题满分6分）求微分方程32(1)1y y x x '-=++的通解 解：该方程为一阶线性微分方程，由常数变易公式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰+⎰=⎰+-+C dx ex e y dx x dx x )1(23)1(2)1(┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 ┋┋┋┋┋ 装┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋┋┋装┋┋┋┋┋┋┋┋┋订┋┋┋┋┋┋线┋┋┋┋┋┋┋学院系 专业 班级学号姓名[]⎰+++=C dx x x )1()1(2┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=C x x 22)1(21)1( ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 七．（本题满分8分）一个半球形状的雪堆，其体积减少的速率与半球面 的面积成正比，比例常数0>k ，假设在融化过程中雪堆始终保持半 球形状，已知半径为1米的雪堆在开始的3小时内融化了体积的87， 问雪堆全部融化需要多少时间？ 解：设雪堆在时刻t 的体积332r V π=，侧面积22r S π=，依题意知2222r k dtdrr dt dV ππ⋅-==┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 于是得k dtdr-= 积分得 C kt r +-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分由初始条件1)0(=r ，得1=C所以kt r -=1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 又由题设，可知03|81|===t t V V 即ππ3281)31(323⋅=-k 61=k 得，从而t r 611-= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分雪堆全部融化时0=r ，令0=r 得6=t故雪堆全部融化需6小时 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分。

一、二题：选择题：ABCAC ，DACDA填空题：1、0)3()1(4)1(2=---+-z y x ；2、dy y x f dx x ⎰⎰010),(3、⎰⎰⎰3042020sin dr r d d ϕϕθππ 4、R x n x n x x x x n n n n n ∈+-=++-+-+-∑∞=++,)!12()1()!12()1(!5!30121253 5、x x e C e C y 221+=-三、四题：三、求偏导数1、22yx x x z +=∂∂……………………………………………………………….3分 2222)(2y x xy y x z +-=∂∂∂………………………………………………………3分 2、方程两边分别求x 的导数得：033=--x x z xyz yz z e ………………….2分 xye yz z z x 33-=……………………………2分 e xy e yz z z z x333,1)1,0()1,0()1,0(=-==……………………..2分 四、解：xQ y P x Q xy P ∂∂=∂∂==22故曲线积分与路径无关……………………………..3分 设A )0,2(π 选折线段，原积分=⎰⎰+ABOA …………………………………….2分 42π=………………………………………………..3分 (其他方法参考本过程给分)五、六题：五、解：n n n n nx a x n ∑∑∞=∞==+11))12( 112321−−→−++=∞→+n n n n n a a 收敛半径R=1………………………………………………..2分由于1±=x 时级数发散，故收敛区间为(-1，1)………………..2分 在区间(-1，1)上，设和函数为)(x s ，则∑∞=+=1))12()(n n x n x s∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=+=+1111122n n n n n nn n x nx x x nx ∑∑∞=∞=+'11)(2n n n nx x x ＝xx x x x -+'-=1)1(2………………………………3分 )11(,)1(31)1(2222<<---=-+-=x x x x x x x x …………………………………….3分 (其他方法参考本过程给分)六、解：设容器的底两边分别为x 、y ，高为z ，则无盖长方体容器的容积为为xyz V = 其中0,,36223>=++z y x yz xz xy …………………………….4分令 )36223(-+++=yz xz xy xyz F λ362230)22(,0)23(,0)23(=++=++==++==++=yz xz xy x y yx F z x xz F z y yz F z y x λλλ …………………………………….3分 得唯一驻点，(2，2，3)，由问题最值的存在性，知该点为最值点，即当容器的长宽高分为2、2、3米时，容器体积最大。

04-05高数（下）（A）试题及标注答案2004-2005二高等数学（下） A 卷数理系全校本、专科（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）１、函数xy e z =的全微分dz =________.2、函数)ln(2yz x u =在点（1，1，1）处沿着从点（1，1，1）到点（2，3，3）的方向的方向导数为________.3、积分21(,)ydyf x y dx -?交换积分次序为_____ ___.4、积分222(,,)I dxdyf x y z dz -=?在柱面坐标下的累次积分为________.5、设L 是从A （1，0）到B （-1，2）的线段，则曲线积分=++?Lds y x )1(________.6、积分(11)22(00)xy dx x ydy +?，， =________.7、函数的幂级数为关于)2(1)(+=x xx f ________. 8、要使级数∑∞=-13212n pn n 收敛，实数p 必须满足条件________. 9、,0,10,1)()[22<≤+<≤--=-πππππx x x x f 上的表达式为，为周期的函数在以其傅立叶级数的和函数为=)(),(πs x s 则________. 10、方程1,0011='=='+''==x x y yy y x 满足初始条件：的特解为________.课程考试试题学期学年拟题学院（系）: 适用专业:二、计算题（本题共9个小题，每小题6分，满分54分）1、设函数),(y x z z =由方程ze z y x =-+所确定，求：xz及2z x y ；2、计算积分)66(),06(),00(cos πππ，，，为以点，其中B A O D dxdy x x D为顶点的三角形区域；3、计算?++++L22dy )y x 2x (dx )x y 2y (，其中L 是上半圆周x y x 422=+从点A(4,0)至B(0,0)的一段弧；4、计算??∑+dS y x )(22，其中∑为锥面22y x z +=被平面z=1所截得的0≤z ≤1部分；5、计算积分为球面其中∑++??∑,333dxdy z dzdx y dydz x 2222a z y x =++的外侧；6、级数n n n n3)1(11∑∞=--是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？7、求级数nx nn n ∑∞=--11)1(的收敛域及和函数； 8、求方程yx x dy dx +=3的通解； 9、求方程x e y y y -=+'+''23的通解。

南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e e y(C )⎰⎰eeydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。

命题方式： 教研组命题佛山科学技术学院2004—2005学年第二学期 《高等数学》(经济类)课程期末考试试题（A 卷）专业、班级： 姓名： 学号：一、单项选择题：（每小题3分，共15分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在该题括号内） 1.下列积分⑴ ⎰50231+x dxx ， ⑵⎰11-2-1x xdx， ⑶⎰402235-)(/x xdx， ⑷⎰1ee xx dx/ln中，可直接使用牛顿——莱不尼兹公式的有 （ ）A . ⑴B . ⑴⑶C . ⑴⑷D . ⑴⑵⑶⑷2.下面叙述中⑴ 发散级数加括号后所成的级数一定发散；⑵ 发散的正项级数加括号后所成的级数一定发散； ⑶ 交换级数的项的次序不会影响级数的敛散性，正确的有 （ ） A . ⑴ B . ⑵ C . ⑶ D . ⑵⑶3.设∑∞1=n n u 为任意项级数，且∑∞1=n n u ｜｜ 发散，则 （ ）A . 原级数绝对收敛B . 原级数发散C . 原级数敛散性不定D . 原级数条件收敛 4.设 ⎰⎰2=Ddxdy I ，其中｝｜），（｛4≤+≤1=22y x y x D ，则=I （ ） A . π B . π2 C . π6 D . π15 5.曲线3=x y 与直线2=x 、0=y 所围成的图形绕y 轴旋转产生立体的体积是（ ） A . π7128 B . π596 C . π564D . π32二、填空题：（每小题3分，共12分.） 1.幂级数∑∞1=n nnnx 的收敛区间为 .2.二元函数22---4=y x y x z )(在点（ ， ）处取得极 值 .3.交换二次积分⎰⎰2-21y ydx y x f dy ),(的次序得.共6页第1页4.微分方程 0=3+'4+''y y y 满足初始条件 2=0=x y，6='0=x y 的特解为.三、解答题（每小题6分，共12分）：1.设y z z x ln =确定函数),(y x f z =，求xz∂∂.2.设 v e z u sin =，xy u =，y x v +=，求xz∂∂.四、解答题（7分）： 计算⎰∞+0-dx e x .共6页第2页五、解答题（7分）：试判断下面级数的敛散性：∑∞1=2⋅3nnnn.六、解答题（7分）：级数∑∞1=1-1 1-nnn)( 是否收敛？若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.共6页第3页七、解答题（7分）：求微分方程x y y ='-''的通解.八、解答题（7分）：求下面微分方程满足初始条件的特解：0=+1-+1dy xy dx y x，0=0=x y.共6页第4页九、解答题（7分）：将函数2--=2x x xx f )( 展成 x 的幂级数，并确定其收敛区间.十、解答题（7分）： 计算二重积分⎰⎰Dxy d xe σ，其中｝,｜），（｛1≤≤01≤≤0=y x y x D .共6页第5页十一、解答题（7分）：计算二重积分⎰⎰Dxdxdy ，其中D 是由直线 x y = 和圆 1=1-+22)(y x 所围成且在直线x y = 下方的平面区域.十二、解答题（5分）：设可微函数)(x y 满足⎰-+=xx dt t y e x y )()(，求)(x y .共6页第6页。

命题方式： 教研组命题佛山科学技术学院2004—2005学年第二学期 《高等数学》(经济类)课程期末考试试题（A 卷）专业、班级： 姓名： 学号：一、单项选择题：（每小题3分，共15分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在该题括号内） 1.下列积分⑴ ⎰50231+x dxx ， ⑵⎰11-2-1x xdx， ⑶⎰402235-)(/x xdx， ⑷⎰1ee xx dx/ln中，可直接使用牛顿——莱不尼兹公式的有 （ ）A . ⑴B . ⑴⑶C . ⑴⑷D . ⑴⑵⑶⑷2.下面叙述中⑴ 发散级数加括号后所成的级数一定发散；⑵ 发散的正项级数加括号后所成的级数一定发散； ⑶ 交换级数的项的次序不会影响级数的敛散性，正确的有 （ ） A . ⑴ B . ⑵ C . ⑶ D . ⑵⑶3.设∑∞1=n n u 为任意项级数，且∑∞1=n n u ｜｜ 发散，则 （ ）A . 原级数绝对收敛B . 原级数发散C . 原级数敛散性不定D . 原级数条件收敛 4.设 ⎰⎰2=Ddxdy I ，其中｝｜），（｛4≤+≤1=22y x y x D ，则=I （ ） A . π B . π2 C . π6 D . π15 5.曲线3=x y 与直线2=x 、0=y 所围成的图形绕y 轴旋转产生立体的体积是（ ） A . π7128 B . π596 C . π564D . π32二、填空题：（每小题3分，共12分.） 1.幂级数∑∞1=n nnnx 的收敛区间为 .2.二元函数22---4=y x y x z )(在点（ ， ）处取得极 值 .3.交换二次积分⎰⎰2-21y ydx y x f dy ),(的次序得.共6页第1页4.微分方程 0=3+'4+''y y y 满足初始条件 2=0=x y，6='0=x y 的特解为.三、解答题（每小题6分，共12分）：1.设y z z x ln =确定函数),(y x f z =，求xz∂∂.2.设 v e z u sin =，xy u =，y x v +=，求xz∂∂.四、解答题（7分）： 计算⎰∞+0-dx e x .共6页第2页五、解答题（7分）：试判断下面级数的敛散性：∑∞1=2⋅3nnnn.六、解答题（7分）：级数∑∞1=1-1 1-nnn)( 是否收敛？若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.共6页第3页七、解答题（7分）：求微分方程x y y ='-''的通解.八、解答题（7分）：求下面微分方程满足初始条件的特解：0=+1-+1dy xy dx y x，0=0=x y.共6页第4页九、解答题（7分）：将函数2--=2x x xx f )( 展成 x 的幂级数，并确定其收敛区间.十、解答题（7分）： 计算二重积分⎰⎰Dxy d xe σ，其中｝,｜），（｛1≤≤01≤≤0=y x y x D .共6页第5页十一、解答题（7分）： 计算二重积分⎰⎰Dxdxdy ，其中D 是由直线 x y = 和圆 1=1-+22)(y x所围成且在直线x y = 下方的平面区域.十二、解答题（5分）：设可微函数)(x y 满足⎰-+=xx dt t y e x y )()(，求)(x y .共6页第6页。

04-05-2高数AB 试题答案一. 填空题（每小题4分，共20分） 1．0, 一； 2．21x Cx +； 3． 1e 4-； 4． 1； 5．343。

二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1． A; ２．Ｂ 3． D; 4．C. 三. (每小题7分,共35分) 1.16 2. 42(4360)3y x x y =+-+=或3. 原式 =()()20sin cos d 3sin cos d 222x x x x x x πππππ==⎰⎰分分4.12 5. cos sin cos 2xy x x x x =-+- 四.(8分) ()()()e221ln d (1ln )d ttV t x x x x ππ=+-⎰⎰()()()()22e 1ln 2ln 2ln 2ln 2e t tx x x x xx x x x xt π⎡⎤=-+--++-⎢⎥⎣⎦()()22ln 4ln 32t t t t t π=-+-()()()22ln 10,,0V t t t V π⎛⎫'''=-==> ⎪ ⎪⎝⎭令得且,因此21e=t 是()t V 在[]e ,1上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故21e=ξ是最小值点.五.(7分) 提示：设t a b =,原不等式等价于2(1)ln ,11t t t t ->>+, 即等价于 ()(1)ln 2(1)0,1f t t t t t =+-->>。

（用函数单调性证明） 六.(7分) 由题知()10-='f ,所给方程变形为()()()()()⎰=-++'+xt t f x f x x f x 00d 11，两端对x 求导并整理得(1)()(2)()0x f x x f x '''+++=，这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得()e 1xC f x x-'=+。

高数高等数学A(下册)期末考试试题一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a、b满足a b0，a2，b2，则a b．3z2、设z xln(xy)，则．x y23、曲面x2y2z9在点(1,2,4)处的切平面方程为．4、设f(x)是周期为2的周期函数，它在[,)上的表达式为f(x)x，则f(x)的傅里叶级数在x3处收敛于，在x处收敛于．5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则(x y)ds L※以下各题在答题纸上作答并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）2222x3y z91、求曲线2在点M0(1,1,2)处的切线及法平面方程．22z3x y2、求由曲面z2x2y及z6x y所围成的立体体积．3、判定级数2222(1)nlnn1n1是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ nz2zx,4、设z f(xy,)siny，其中f具有二阶连续偏导数，求．x x yy 5、计算曲面积分dS2222,x y z a其中是球面被平面z h(0h a)截出的顶部．z三、（本题满分9分）抛物面z x2y2被平面x y z1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．第 1 页共 2 页高数（本题满分10分）计算曲线积分⎰L(exsiny-m)dx+(excosy-mx)dy，其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x2+y2=ax(a>0)．四、（本题满分10分） xn求幂级数∑n的收敛域及和函数．n=13⋅n∞五、（本题满分10分）计算曲面积分I=⎰⎰2xdydz+2ydzdx+3(z∑332-1)dxdy，其中∑为曲面z=1-x2-y2(z≥0)的上侧．六、（本题满分6分）设f(x)为连续函数，f(0)=a，F(t)=222z=Ω，其中是由曲面[z+f(x+y+z)]dvt⎰⎰⎰Ωt与z=lim+t→0F(t)． t3-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。

北京科技大学2004 — 2005学年度第二学期高等数学（A 卷） 试题 （时间120分钟）学院 考场 班级 学号 姓名一、填空 (每小题3分，共15分)1．设函数22y x z +=，则函数在点)1,1(处的梯度为 j i 22+ 2. 将三次积分)0(),sin ,cos (002022>⎰⎰⎰-a dz z r r f rdr d ar a θθθπ化为球面坐标系下的三次积分(函数),,(z y x f 在已知区域上连续)dr r r r r f d d aφφφθφθφθππsin )cos ,sin sin ,sin cos (22020⋅⎰⎰⎰3. 曲面12-=+z ye x x 在点(0,1,-1)处的切平面与xoy 平面的夹角为a r c =ψ4. 光滑曲面),(y x f z =在坐标平面xoy 的投影区域为D ，那么该曲面的面积可以用二重积分表示为d x d y Z Z Dy x ⎰⎰++2215. 设级数∑∞=+-11)(n n n a a 收敛，且和为s ，则n n a ∞→lims a -1 二、选择 (每小题3分，共15分) 1. 已知函数22),(y x y x y x f -=-+，则=∂∂+∂∂yy x f x y x f ),(),( ( C ) （A ） y x 22-； (B) y x 22+； (C) y x +； (C) y x -2. 设常数k>0, 则级数∑∞=+-12)()1(n n n n k 是 (C ) (A) 发散； (B) 绝对收敛； (C) 条件收敛； (D) 发散与收敛与k 的取值无关3. 微分方程02'=-y xy 的通解是 ( B )(A) Cx y =； (B) 2Cx y =； (C) 3Cx y =； (D) 4Cx y = 4. 二元函数33)(3y x y x z --+=的极大值点是 ( A )(A)（1，1）； (B)（1，-1）； (C)（-1，1）； (D)（-1，-1） 5. 若L 是上半椭圆⎩⎨⎧==tb y ta x sin cos ，取顺时针方向，则⎰-L xdy ydx 的值为 (C )(A) 0 ; (B) 2abπ; (C) ab π; (D) ab π-三、计算 (共70分)1．（6分）设)(x y 是04=+'+''y y y 的解，2)0(,41)0(='=y y计算dx x y AA ⎰∞→0)(lim解：特征方程21,2441002r r r -±++=⇒=< )(0)(2121+∞→→+=x e C e C x y x r x r （3分）)(0)(212211'+∞→→+=x e r C e r C x y x r x r32414)()(4)4()(lim0'00'''0=+⨯=--=--=∞+∞++∞+∞→⎰⎰x y x y dx y y dx x y AA （6分） (先求通解，定出常数，再进行积分也可以) 2．（8分）计算二次积分dy e dx x y ⎰⎰-1102解：211100110222-----===⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dx dy edxdy e dy e dx Dyy y x y3．（6分）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分dy y x dx y L )2()1(3+++⎰的值最小. 解：344]cos )sin 2()sin 1[()(333a a dx x a x a x x a a f +-=+++=⎰ππ（4分）1,044)(2'==+-=a a a f 唯一驻点，所以 ： 所求曲线x y L sin :=使38)1(-=πf 为最小。

来源于网络南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为 （c ）x e ln 1e (2积为 ((35=x(4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-113(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n来源于网络5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2来源于网络二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-来源于网络三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导2028),,(=+=x yz z y x F x λ，来源于网络028),,(=+=y xz z y x F y λ，解得：1,31,32===z y x ， (3)分，证明：yx ∂∂，所以曲线积分与路径无关….3分….5分装 订 线内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊七、(本题8分）计算⎰⎰++∑dxdy z dzdx y dydz x 333，其中?为上半球面221y x z --=的上侧。

来源于网络设,ln )(xxx f =2ln 1)(x x x f -='当e x >时单调递减，2、沿指定曲线的正向计算下列复积分⎰=-2||2)1(z zdz z z e来源于网络解：原式 =)]1),((Re )0),(([Re 2z f s z f s i +π…2分zz 解：++220)1)(1(y n y x 1)4(11++=n n π……2 分来源于网络∑∑∞=+∞=+=010)4(11n n n n nn x n x a π，,4π=R 收敛域：)4,4[-……2 分,0)0()0(='=f f 又)(x f 的二阶导数)(x f ''在]1,1[-内连续，所以K x f ≤''|)(|,!2)()0()0()(2x f x f f x f ξ''+'+= ξ在0与x 之间来源于网络|1(|n f ,22n K ≤ 所以∑∞=1n |)1(|n f 收敛，同理∑∞=1n |11(|+n f 也收敛……5 分 由于|1)11(|||||n f b b +≤|1)11(||1)1(|||n f n f b +≤|1)11(|||+≤n f b。

一、填空题（每小题3分，共18分）1.函数z y x u ++=在球面1222=++z y x 上点⎪⎪⎭⎫⎝⎛31,31,31处沿外法线方向的方向导数为2.曲面3=+-xy z e z在()0,1,2P 处的切平面方程为3.=⎰⎰-222xy dy e dx4.设()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A ，L 是以ABCD 为顶点的正方形正向，则=++⎰L y x dydx5.设()222ln y x x z +=，则=∂∂∂yx z2 6.微分方程xxey y y 365=+'-''的特解形式为=*y二、选择题（每小题3分，共18分）1.设()y x f ,在()00,y x P 点偏导数()()0000,,,y x f y x f y x 都存在，则必有（ ） A ()y x f ,在()00,y x P 点连续； B ()y x f ,在()00,y x P 点可微； B ()0,lim 0y x f x x →与()y x f y y ,lim 00→存在； D ()y x f y y x x ,lim 00→→存在.2.设D 是以a 为半径，以原点为圆心圆域，则=⎰⎰Ddxdy xy （ ）A 4a ； B 24a ； C 34a ； D 44a .3.设0>λ，且∑+∞=12n na收敛，则级数()∑∞+=+-121n n nn a λ（ ）A 条件收敛；B 绝对收敛；C 发散；D 敛散性与λ有关 4.设(){}20,20,2≤≤-≤≤=x x x y y x D ，则()⎰⎰Ddxdy y x f ,写成极坐标形式二次积分为（ ）A ()⎰⎰θπθθθcos 202sin ,cos rdr r r f d ； B()⎰⎰120sin ,cos rdr r r f d θθθπ；C()⎰⎰1sin ,cos rdr r r f d θθθπ； D()⎰⎰θπθθθcos 20sin ,cos rdr r r f d5.()022=-+dy xy x dx y 的方程类型是（ ）A 齐次方程；B 线性方程；C 可分离变量方程；D 全微分方程 6.设()0:2222>=++∑a a z y x 的外侧，则=++⎰⎰∑dxdy z dzdx y dydz x 333（ ） A 0； B 54a π ； C 5125a π； D 345a π三、计算题（每小题6分，共30分）1． 将()2312+-=x x x f 展成x 幂级数，并指出收敛域.2． 求级数()∑+∞=+-0221n nnnn 的和. 3． 设()ππ<≤-=x x x f ,是以π2为周期的函数，将()x f 展成傅立叶级数并求该级数在π5=x 时收敛的数值. 4． 求x e y y y x2cos 23=+'-''的通解. 5． 设()0:2222>=++∑a a z y x 的外侧，计算()⎰⎰∑+dxdy z z2四、综合题（每小题6分，共24分）1． 要造以容积为V 的长方体无盖水池，设底面造价是侧面造价的一半，应如何选择水池的长宽高才能使水池的造价最低.2． 求曲面22y x z +=与平面0=-z x 所围成的空间立体的体积. 3． 设幂级数为∑+∞=1!n nn x n n 1） 求幂级数的收敛半径R ； 2）讨论幂级数在收敛区间端点的敛散性4． 设()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ,222222y x y x y x xy y x f ，讨论()y x f ,1） 在()0,0点是否连续，2）在()0,0点两个偏导数是否存在， 2） 在()0,0点是否可微.五、证明题（每小题5分，共10分）1． 证明：若数列{}n na 收敛，则级数∑+∞=12n n a 收敛2． 已知()()()⎰--lxydy x f ydx e x f cos sin 与路径无关，且()00=f ，证明：()x f 为双曲函数.2004~2005高等数学A 2 A 卷一、填空题（每小题3分，共15分） 1．()321ln limyx e x y y x ++→→= .2．x z z y y x u 222++=，则其在点()1,1,1处沿{}1,2,1-=l 方向的方向导数为 . 3．交换积分次序()dx y x f dy y y⎰⎰-2210 ,= .4． 用待定系数法求微分方程x xe y y y 244-=+'+''的一个特解时，应设特解的形式为 。

x ( + y )4x x yx 2 + y 2 ♥♥♥ x 2004～2005 学年第二学期《高等数学》期末考试试题 A 卷（216 学时） 专业班级学号姓名一、填空题（每小题 4 分）1、设 f (x , y ) 在[0,π ] ⨯[0,π ] 上连续,且恒取正值，则limn →∞⎰⎰(sin x )( f (x , y )) nd x d y =0≤ x ≤π0≤ y ≤πxy yz2.设函数u = exyz+ ⎰ t sin t d t + ⎰ t 2 d t ，则rot (gradu ) =♣ x + y + b = 0 2 23.设直线 L : ♦x + ay - z - 3 = 0 ，在平面 上，而平面 与曲面 z = x + y 相切于(1,-2,5) ，则 a = b =♣ 2 4.设 f (x ) 是周期为 2 的周期函数, 它在[-1，1]上的表达式 f (x ) = ♦x 3- 1 < x ≤ 0，它 0 < x ≤ 1 的傅里叶级数的和函数为 s (x ) ，则 s (1) = 。

5.微分方程 x 2 y ' + xy = y 2 在 y (1) = 1的特解为：。

二、计算下列各题（每小题 6 分） 1．设 z = f (x , y ) 是由 z - y + xe z - y - x= 0 所确定，求d z 。

2、计算 I = ⎰1d y⎰1(1 + ex)x -1 sin x d xy3．计算 I = ⎰⎰ 2Dd x d y其中 D 是由 x 轴， y = x , += 1和 + = 2 围成的有界区域。

♣x 2+ y 2 + z 2 = 44、计算 I ＝⎰L2 y 2 + z 2 d s L : ♦x = y5. 计算三重积分： I =⎰⎰⎰v ∧∧ 为由曲面 z = 及平面 z = 1, z = 2 围成的闭区域。

6. 求密度为 的均匀球面 x2+ y 2 + z 2 = a 2 (z ≥ 0) 对于 z 轴的转动惯量。

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、填空题(每空3 分，共15 分）1。

设,则.2。

曲面在点处的切平面方程是.3.交换累次积分的次序：.4.设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成，则：使得格林公式：成立的充分条件是：。

其中L是D的取正向曲线；5.级数的收敛域是。

二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.当，时,函数的极限是A。

等于0； B. 等于；C。

等于; D. 不存在.2.函数在点处具有偏导数,是函数在该点可微分的A.充分必要条件；B。

充分但非必要条件；C。

必要但非充分条件； D. 既非充分又非必要条件。

3.设,则A。

; B。

；C.；D。

4.若级数在处收敛，则此级数在处A。

绝对收敛; B。

条件收敛；C.发散；D.收敛性不确定。

5。

微分方程的特解应设为A.;B.；C.;D.。

三。

（8分）设一平面通过点，而且通过直线,求该平面方程.解：平行该平面该平面的法向量所求的平面方程为：即：四.（8分)设，其中具有二阶连续偏导数,试求和.解：令，五.（8分）计算对弧长的曲线积分其中是圆周与直线在第一象限所围区域的边界.解：其中：：：：而故：六、（8分)计算对面积的曲面积分，其中为平面在第一卦限中的部分.解：：,七。

（8分）将函数,展开成的幂级数.解:，而,,,八。

（8分)求微分方程：的通解。

解:，原方程为：通解为：九。

幂级数:1。

试写出的和函数；（4分）2.利用第1问的结果求幂级数的和函数.（8分)解:1、于是2、令：由1知：且满足：通解：由，得:；故:十.设函数在上连续,且满足条件其中是由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面与平面(参数)所围成的空间区域。

1、将三重积分写成累次积分的形式；（3分) 2、试求函数的表达式。

（7分）解:1、旋转曲面方程为：由，得：故在面的投影区域为：：2、由1得：记：则:两边乘以：，再在上积分得：解得：故:第二学期期末高数（下)考试试卷及答案2三、填空题(每空3 分，共15 分)1.曲线，绕轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程是。

《高等数学 A 》( 下）期末试卷 A 答案及评分标准 得 一、选择题（本大题分 5 小题，每题 3 分，共 15 分分）e dxln x f ( x, y)dy 的积分序次为1、互换二次积分1（c ）e ln xf ( x, y)dxe1 (A)dy(B)e ydyf ( x, y)dx11 eln xe(C)dy e y f ( x, y)dx(D)dy1f ( x, y)dx2、锥面zx2y 2在柱面 x2y22x 内的那部分面积为（ D ）d2 cos2d2 cos 2d(A)2d2(B)222cos 2d22 cosd(C)2 d(D)2 d2 023、若级数a n ( x 2) n在 x2 处收敛，则级数n 1na n ( x 2)n 1（ B ）在 x 5n 1(A)条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不确立4、以下级数中收敛的级数为（ A ）(A)( n ) n(B)n2 3n 1 n 1 n 1 n 1(C)sin1(D)n!n 1 3 n n 1 n 15、若函数f ( z)( x 2 y 2 2 xy) i( y 2 axy x2 ) 在复平面上到处分析，则实常数 a 的值为（c ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2得 二、填空题（本大题分 5 小题，每题 4 分，共 20 分分）、曲面 z x2y21 在点 (2,1,4) 处的切平面1方程为 4x 2 y z62 、已知L : x2y2a 2(a 0) ， 则L [ x 2y2sin( xy)]ds2 a33、 是由曲面zx2y 2及平面 zR(R0) 所围成的闭地区，在柱面坐标下化三重积分f ( x2y 2)dxdydz 为2 RR2)dz三次积分为ddf (4、函数 f (x) x (0 x) 睁开成以 2 为周期的正弦级 数 为x2 ( 1) n 1 sin nx，收敛区间为n 1n0 x5、Ln( 1 i)ln 2 i(32k ), k 0, 1, 24Re s[e z,0]12得 三、 (此题 8 分）设zf ( x2y 2) g( x, xy) ，分y此中函数 f (t) 二阶可导， g(u, v) 拥有二阶连续偏导数，求 z ,2zx x y解： z 2xf1g 1yg23 分xy2z4xyfg 2xyg 221 g 1 x g 11 5 分x yy 2 y 3得x 2y 2z 21内分四、(此题 8 分）在已知的椭球面43全部内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。