第27讲曲线方程及性质的综合探究

高中数学备课教案平面曲线的方程与性质高中数学备课教案平面曲线的方程与性质一、直线的方程与性质1. 直线的标准方程直线的标准方程的一般形式为Ax + By + C = 0。

其中，A、B、C为实数，且A和B不同时为0。

2. 直线的截距式方程直线的截距式方程为x/a + y/b = 1。

其中，a和b分别为x轴和y轴上的截距，且a和b不同时为0。

3. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程为y = kx + b。

其中，k为斜率，b为y轴截距。

4. 直线的性质直线的性质包括斜率、与x轴和y轴的交点、与另一条直线的关系等。

二、二次曲线的方程与性质1. 抛物线的一般方程抛物线的一般方程为y = ax² + bx + c。

其中，a、b、c为实数，且a不等于0。

2. 抛物线的顶点坐标抛物线的顶点坐标为(-b/2a , f(-b/2a))。

其中，f(x) = ax² + bx + c。

3. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴与x轴平行，其方程为x = -b/2a。

4. 抛物线的焦点和准线抛物线的焦点坐标为(Fx, Fy)，其中Fx = -b/2a，Fy = c - (b² - 1)/(4a)。

抛物线的准线方程为y = c - (b² - 1)/(4a)。

5. 椭圆的一般方程椭圆的一般方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。

其中，(h, k)为椭圆中心的坐标，a和b分别为x轴和y轴方向上的半长轴长度。

6. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点坐标为(F₁x, F₁y)和(F₂x, F₂y)，其中F₁x = h - c，F₂x = h + c，F₁y = k，F₂y = k。

椭圆的准线方程为x = h ± a/e。

其中，e为离心率，e² = 1 - (b²/a²)。

7. 双曲线的一般方程双曲线的一般方程为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1。

曲线与方程教案一、教学目标1. 了解曲线的基本概念和性质；2. 掌握曲线的方程的求法；3. 能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容1. 曲线的基本概念和性质（1）曲线的定义曲线是指平面上的一条不断变化的线条，可以是直线、圆、椭圆等等。

（2）曲线的性质曲线有很多性质，其中比较重要的有：• 曲线的长度：曲线的长度是指曲线上所有点的连线的长度之和； • 曲线的斜率：曲线的斜率是指曲线在某一点的切线的斜率；• 曲线的凸性：曲线的凸性是指曲线在某一点的切线与曲线的交点在曲线的上方或下方。

2. 曲线的方程的求法（1）直线的方程直线的方程可以表示为 y =kx +b 的形式，其中 k 是直线的斜率，b 是直线的截距。

（2）圆的方程圆的方程可以表示为 (x −a )2+(y −b )2=r 2 的形式，其中 (a,b ) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。

（3）椭圆的方程椭圆的方程可以表示为(x−a )2a 2+(y−b )2b 2=1 的形式，其中 (a,b ) 是椭圆的中心的坐标。

3. 应用实例（1）例题一已知一条直线的斜率为 2，截距为 3，求该直线与 x 轴、y 轴的交点坐标。

解：直线与 x 轴的交点坐标为 (32,0)，与 y 轴的交点坐标为 (0,3)。

（2）例题二已知一个圆的圆心坐标为 (2,3)，半径为 4，求该圆的方程。

解：该圆的方程为 (x −2)2+(y −3)2=16。

（3）例题三已知一个椭圆的中心坐标为 (2,3)，长轴长度为 6，短轴长度为 4，求该椭圆的方程。

解：该椭圆的方程为 (x−2)29+(y−3)24=1。

三、教学方法本教案采用讲授、练习、讨论等多种教学方法，注重理论与实践相结合，注重学生的主动参与和思考。

四、教学评价本教案注重培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，能够提高学生的数学素养和综合能力，是一份优秀的教学资源。

曲线的方程教案教案标题：曲线的方程教学目标：1. 学生能够理解曲线的概念，并能够区分曲线与直线的不同之处。

2. 学生能够掌握曲线的方程表示方法。

3. 学生能够应用所学知识解决与曲线相关的问题。

教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔或白板笔、计算器、教学投影仪。

2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺、曲线图纸。

教学过程：引入（5分钟）：1. 教师通过引入问题或展示实际生活中的曲线图像，引起学生对曲线的兴趣。

2. 教师提问：你能否举出一些你在生活中见过的曲线？探究（15分钟）：1. 教师引导学生思考曲线与直线的区别，并通过黑板或白板上的图示进行解释。

2. 教师讲解曲线的方程表示方法，包括一次方程、二次方程、三次方程等，并通过示例进行说明。

3. 学生分组合作，自行设计一条曲线，并尝试用不同的方程进行表示。

讲解与演示（15分钟）：1. 教师通过投影仪或黑板上的图示，讲解一些常见曲线的方程表示方法，如直线方程、抛物线方程等。

2. 教师通过解析法和图像法，演示如何从方程中得出曲线的特征，如顶点、焦点等。

3. 教师解答学生在探究过程中遇到的问题，并给予指导。

练习与巩固（20分钟）：1. 学生独立完成课本上的相关练习题，巩固所学知识。

2. 学生分组进行小组讨论，解决与曲线相关的实际问题，如抛物线的最高点问题等。

3. 教师巡回指导学生的学习，解答他们在练习过程中遇到的问题。

拓展与应用（10分钟）：1. 学生自主探究其他类型的曲线方程表示方法，并尝试解决相关问题。

2. 学生展示自己设计的曲线方程，并解释其特点和应用场景。

3. 教师总结本节课的重点内容，并展示一些拓展资料供学生深入学习。

作业布置：1. 学生完成课后习题，巩固所学知识。

2. 学生自主选择一种曲线方程表示方法，设计一个与实际生活相关的问题，并用所选方程解决。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够了解曲线的概念、掌握曲线的方程表示方法，并能够应用所学知识解决与曲线相关的问题。

26.3实践与探索第3课时二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系教学目标1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.2.能运用二次函数的图象与性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根．教学重难点重点：理解方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点：二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程根的个数之间的关系.教学过程导入新课【问题】如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h (单位:m):h＝20t-5t2.（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要飞行多长时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要飞行多长时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多长时间？师生活动：教师引导学生将以上实际问题转化为数学问题，学生小组讨论后发现以上问题都可以转化为方程解决.通过师生共同讨论，发现知道二次函数的函数值求自变量的取值，就相当于解一个一元二次方程.问题（1）转化为解一元二次方程15＝20t-5t2.【活动】（师生互动）通过解方程，得到两个解，t1＝1，t2＝3，所以当小球飞行1s或3s时，它的飞行高度为15m.问题（2）转化为解一元二次方程20＝20t-5t2.【活动】（师生互动）通过解方程，得到两个解，t1＝t2＝2，所以当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.教师：为什么只在一个时间小球的高度为20m？学生：讨论得出，此时小球到达了最高点.问题（3）转化为解一元二次方程20.5＝20t-5t2.【活动】（师生互动）通过解方程发现此方程无解，所以小球飞行高度不可能到达20.5m.教师通过上一题的结论，进一步引导学生从实际问题的角度思考为什么方程无解，原因是小球飞行的最大高度为20m，小于20.5m.问题（4）转化为解一元二次方程0＝20t-5t2.【活动】（师生互动）通过解方程，得到两个解，t1＝0，t2＝4，0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面.所以小球从飞出到落到地面用了4s. 探究新知探究一：二次函数与一元二次方程的关系【思考】下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横教学反思教学反思坐标是多少?当x 取公共点的横坐标时，函数值是多少?由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1)y ＝x 2-x +1;(2)y ＝x 2-6x +9; (3)y ＝x 2+x -2.【活动】（师生互动）教师带领学生观察函数图象，得到函数图象与x 轴交点的纵坐标为0，反过来，要求函数图象与x 轴交点的横坐标，就是求当函数值为0时的自变量取值.学生独立完成下列表格后，小组内交流.【活动】（师生互动）通过以上探究，教师引导学生发现二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的交点横坐标就是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的解，因此二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的交点个数，由b 2-4ac 的取值情况决定.【归纳总结】通过本探究活动，引导学生建立二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的交点情况、方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根的情况、b 2-4ac 的取值三者之间的对应关系.例1 已知二次函数y ＝x 2-(a-1)x ＋a -2，其中a 是常数． (1)求证：不论a 为何值，该二次函数的图象与x 轴一定有公共点.(2)当a ＝4时，该二次函数图象的顶点为A ，与x 轴交于B ，D 两点，与y 轴交于C 点，求四边形ABCD 的面积． 【探索思路】教师提问：要证明二次函数的图象与x 轴一定有公共点，教学反思可以转化为一元二次方程根的判断，如何转化？如何求四边形ABCD 的面积？学生回答：要判断二次函数的图象与x 轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一元二次方程，然后判断方程的根的判别式的情况即可．要求四边形的面积，可利用x 轴，将一个四边形分成两个三角形后分别求面积再相加.(1) 【证明】y ＝x 2-(a -1)x ＋a -2.∵ Δ＝[-(a -1)]2-4(a -2)＝(a -3)2≥0， ∴ 方程x 2-(a -1)x ＋a -2＝0有实数根，∴ 不论a 为何值，该二次函数的图象与x 轴一定有公共点． (2) 【解】由题意可知，当a ＝4时，y ＝x 2-3x ＋2.∵ y ＝x 2-3x ＋2＝232x ⎛⎫- ⎪⎝⎭- 14，∴ A 31,24⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当y ＝0时，x 2-3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2， ∴ B (1,0)，D (2,0)．当x ＝0时，y ＝2，∴ C (0,2)．∴ S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BDC ＝18＋1＝98.【总结】将二次函数表达式化为一般式，求出Δ＝b 2-4ac 的取值，运用Δ的取值，判断函数图象与x 轴的交点个数.探究二：运用二次函数图象，求一元二次方程的近似解例2 利用函数图象求方程x 2-2x -2＝0的实数根（结果保留小数点后 一位）.【探索思路】（教师引导学生思考）根据上面的探究可以得到，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根即为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点的横坐标．反过来，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点的横坐标即为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根.因此用函数图象求一元二次方程的解，需要先画出二次函数的图象.【解】画出函数y ＝x 2-2x -2的图象，如图所示.通过观察图象发现，它与x 轴交点的横坐标大约是-0.7和2.7，所以方程x 2-2x -2＝0的实数根为x 1≈-0.7，x 2≈2.7.【总结】我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，所以由图象求得的根，一般是近似的．探究三：二次函数与一元二次不等式的关系【活动】（师生互动）教师：如上图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点坐标分别为（x 1,0）和（x 2,0）,且x 1<x 2，你能根据图象求出不等式ax 2＋bx ＋c >0和不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集吗？教学反思学生：观察图象、独立思考、小组内交流讨论：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在x 轴上方的点对应的x 的值组成不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在x 轴下方的点对应的x 的值组成不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集.例3 画出函数432--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题.（1）图象与x 轴、y 轴交点的坐标是什么？（2）当x 取何值时，y =0?这里x 的取值与方程x 2−x −34=0有什么关系？（3）当x 取什么值时，函数值y >0？当x 取什么值时，函数值y <0？ 【方法】引导学生利用数形结合的思想，观察分析，总结规律. 【分析】因为x 轴上的点的纵坐标为0，所以二次函数432--=x x y 的图象与x 轴的交点即图象上纵坐标为0的点，它的横坐标也就是方程0432=--x x 的根，也就是说，当x 取23或21-时，0=y .这里x 的值就是方程0432=--x x 的根.因为y 轴上的点横坐标为0，所以这个函数图象与y 轴的交点横坐标为0，即0=x 时，求出的y 的值就是图象与y 轴交点的纵坐标.这个函数图象在x 轴上方的点的纵坐标都为正，所以当x <−12或x >32时，y >0；同理，当−12<x <32时，y <0.【解】（1）如图所示，图象与x 轴的交点坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭、3,02⎛⎫⎪⎝⎭，与ｙ轴的交点坐标为30,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）当x ＝12-或x ＝32时，y =0, x 的取值与方程x 2− x −34=0的解相同. （3）当x <−12或x >32时，y >0；当−12<x <32时，y <0.课堂练习1.下列表格是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的自变量x 与函数y 的部分对应值.教学反思根据表格可得方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的取值范围是（ ）A.6<x <6.17B.6.17<x <6.18C.6.18<x <6.19D.6.19<x <6.202.若二次函数y ＝x 2-(m -1)x +4的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为( )A.1或-3B.5或-3C.-5或3D.以上都不对3.若二次函数y ＝-x 2+2x +k 的部分图象如图所示，且关于x 的一元二次方程-x 2+2x +k ＝0的一个解为x 1＝3，则另一个解x 2＝ .4.已知二次函数y ＝x 2-6x +8的图象如图所示，利用图象回答问题:(1)方程x 2-6x +8＝0的解是什么? (2)x 取什么值时，y ＞0?(3)x 取什么值时，y ＜0? 参考答案1.C2.B3.-14.解：(1)x 1＝2，x 2＝4；(2)x ＜2或x ＞4；(3)2<x<4. 课堂小结：(学生总结，老师点评)1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与一元二次方程之间的关系，当y 为某一确定值m 时，相应的自变量x 的值就是方程ax 2＋bx ＋c ＝m 的根．2．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点坐标为(x 0，0)，则x 0是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．4.二次函数与不等式的关系：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在x 轴上方的点对应的x 的值组成不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集.布置作业教材第28页第二个练习第1，2题，第30页习题26.3第3，4题.教学反思板书设计26.3实践与探索第3课时二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解.。

曲线的性质学情分析1. 引言曲线是数学中一个重要的概念，具有丰富的性质和应用。

深入了解曲线的性质，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还能够为实际问题的解决提供指导。

本文旨在通过对曲线的性质进行学情分析，以期能够全面了解曲线的特点和应用。

2. 曲线的基本概念在开始分析曲线的性质之前，我们需要先了解曲线的基本概念。

曲线是平面上的一种图形，由一系列点按照特定规律连接而成。

根据曲线的形状和特征，可以分为直线、抛物线、椭圆、双曲线等不同类型。

3. 曲线的性质分析3.1 曲线的形状与方程的关系不同类型的曲线具有不同的形状特征，且可以通过数学方程进行描述。

例如，二次函数方程可以描述抛物线的形状，椭圆方程可以描述椭圆的形状。

通过研究曲线的方程，我们可以推导出曲线的性质和特点。

3.2 曲线的对称性与轴线曲线可能具有对称性，可以根据曲线的方程和性质判断曲线是否具有对称轴、中心对称或轴对称。

这些对称性的存在对于曲线的研究和应用具有重要意义。

3.3 曲线的切线与斜率切线是曲线在某一点上切于曲线且与曲线只有一个公共点的直线。

通过求解曲线的导数，可以求得曲线在某一点上的斜率，也就是切线的斜率。

切线和斜率是曲线研究中常用的工具，可用于确定曲线的拐点、最大值和最小值等重要特点。

3.4 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点是曲线形状的重要特征。

通过求解曲线的二阶导数，可以确定曲线在某一点上的凹凸性。

当曲线在某点上的凹凸性发生改变时，就会出现一个拐点。

凹凸性和拐点的研究对于曲线的绘制和应用具有重要价值。

4. 曲线的应用曲线的性质和特点在实际问题的解决中具有广泛的应用。

例如，通过分析曲线的对称性和轴线，可以设计出对称的建筑结构；通过研究曲线的切线和斜率，可以优化曲线上的速度和运动轨迹；通过分析曲线的凹凸性和拐点，可以预测经济和社会发展的趋势等等。

5. 总结通过对曲线的性质进行学情分析，我们可以更好地理解曲线的特点和应用。

曲线作为数学中重要的概念和工具，在数学、物理、工程等领域都具有广泛的应用前景。

曲线与方程教案一、概述曲线与方程是高中数学中的一个重要的内容，它是研究数学对象（点、直线、圆等）的位置关系的一种方法。

在现实生活中，曲线与方程可以应用于各种问题的求解，例如物体的运动轨迹、电路的分析等。

二、教学目标1. 理解曲线与方程的基本概念和特点；2. 掌握一些常见曲线的方程；3. 能够通过方程确定曲线的位置和性质；4. 运用曲线与方程解决实际问题。

三、教学内容及教学步骤第一节曲线与方程的基本概念1. 引入：以一个物体的运动轨迹为例，由此导出曲线与方程的概念；2. 定义：介绍曲线与方程的基本概念，包括曲线、方程、坐标系等；3. 特点：讨论曲线与方程的一般特点，包括连续性、唯一性等。

第二节常见曲线与方程1. 直线的方程：介绍直线的一般方程和特殊情况的方程，如平行于坐标轴的直线等；2. 抛物线的方程：介绍抛物线的一般方程和特殊情况的方程，如开口方向、对称轴等；3. 圆的方程：介绍圆的一般方程和特殊情况的方程，如半径、圆心等；4. 椭圆的方程：介绍椭圆的一般方程和特殊情况的方程，如长轴、短轴等；5. 双曲线的方程：介绍双曲线的一般方程和特殊情况的方程，如焦点、渐近线等。

第三节方程与曲线的应用1. 方程与实际问题的转化：通过实际问题，让学生将问题转化为方程；2. 解方程求解问题：通过解方程，求解实际问题；3. 应用练习：让学生自己设计一些实际问题，并通过方程解决。

四、教学方法与手段1. 概念讲解法：通过讲解的方式介绍曲线与方程的基本概念和特点；2. 例题演示法：通过示例演示如何确定曲线的方程和解决实际问题；3. 合作学习法：让学生小组合作，共同解决实际问题，并归纳总结。

五、教学重点和难点1. 重点：直线、抛物线、圆、椭圆和双曲线的方程及其性质；2. 难点：方程与实际问题的转化。

六、教学评价与反思1. 评价方法：通过观察学生的思维、解题过程、课堂表现和小组讨论等方法进行评价；2. 反思：根据学生的反馈和评价结果，及时调整教学方法和教学内容，以提高教学效果。

曲线与方程教案曲线与方程教案教学目标：1. 理解曲线和方程之间的关系；2. 能够根据给定的方程，画出相应的曲线；3. 掌握常见曲线的方程及其特点。

教学内容：1. 曲线的定义：曲线是指在平面上由一系列点连接而成的连续图形。

2. 方程的定义：方程是指数、代数、函数或者几何等方面的等式或不等式。

3. 曲线与方程的关系：方程可以表示曲线的几何特征，曲线是方程的图形解。

教学步骤：Step 1: 引入新知识执教教师可以使用简单的例子来引入曲线与方程之间的关系，比如以一元一次方程为例，通过给定方程y = 2x + 3，可以让学生画出与之对应的曲线并分析其几何特征。

Step 2: 曲线的方程与特征讲解常见曲线的方程及其特征：- 一次函数曲线：y = kx + b，斜率k决定曲线的斜率方向和变化趋势，截距b决定曲线的位置；- 二次函数曲线：y = ax² + bx + c，二次函数曲线的开口方向和大小由二次项的系数a决定；- 平方根函数曲线：y = √x，平方根函数曲线是一条从原点开始向右上方的开口曲线；- 绝对值函数曲线：y = |x|，绝对值函数曲线以y轴为对称轴，开口形状像字母V；- 正弦函数曲线：y = sinx，正弦函数曲线是一条周期性的波浪线。

Step 3: 案例演示与讲解以具体的曲线及其方程为例讲解如何绘制这些曲线，强调方程中的各个参数对曲线的影响，如斜率对曲线的倾斜程度，二次函数曲线的开口方向等。

Step 4: 练习与巩固开展练习活动，让学生根据给定的方程，画出相应的曲线，并分析其特征，如方程y = x² - 4x + 3对应的曲线的开口方向、顶点坐标等。

Step 5: 拓展应用引导学生思考如何利用方程来解决实际问题，如使用曲线方程来分析某种现象的趋势或者预测未来的发展方向。

Step 6: 总结与评价总结曲线与方程的关系，并评价本节课的学习情况。

可以通过提问或小测验的方式进行学生知识的巩固和检测。

曲线的性质教学设计引言曲线的性质是数学中一个重要的主题，它涉及到曲线的形状、方向、斜率等方面的特征。

通过掌握曲线的性质，学生可以更好地理解和应用数学知识。

本教学设计旨在帮助学生掌握曲线的基本性质以及如何分析和解决与曲线有关的问题。

教学目标- 了解曲线的基本性质，如曲线的形状、方向、斜率等。

- 熟练应用曲线的性质解决实际问题。

- 培养学生的观察、分析和推理能力。

教学内容1. 曲线的形状：- 直线- 抛物线- 椭圆- 双曲线- 螺线等2. 曲线的方向：- 上升与下降- 左移与右移3. 曲线的斜率：- 斜率的定义与计算- 斜率的意义与应用4. 实际问题的应用：- 曲线的运动学问题- 曲线的经济学问题- 曲线的物理学问题等教学方法1. 课堂讲授：通过简洁的讲解，引导学生了解曲线的形状、方向和斜率等基本性质。

2. 观察与分析：提供一系列曲线图形，让学生观察并分析曲线的性质。

教师可以提出问题，激发学生的思考和讨论。

3. 探究与实践：组织学生进行实际问题的探究和解决。

鼓励学生运用曲线的性质和知识，进行实际问题的建模和求解。

4. 小组合作：将学生分成小组，让他们共同合作解决问题、进行讨论和分享思路。

通过小组合作，培养学生的团队合作能力和交流能力。

教学评价1. 课堂表现评价：观察学生的参与度、思维活跃度和问题解决能力等，在课堂上进行即时评价。

2. 作业评价：布置相关练和作业，评价学生对曲线性质的理解和应用能力。

3. 课堂测验：组织针对曲线性质的测验，评估学生对知识点的掌握程度和能力发展。

教学资源- 教科书：提供相关章节内容，供学生复和巩固知识。

- 曲线图形：准备一系列曲线图形，供学生观察、分析和讨论。

总结通过本教学设计，学生将能够系统地了解曲线的性质，并能够运用所学知识解决与曲线相关的实际问题。

同时，培养学生的观察、分析和推理能力，为他们今后的学习和发展打下坚实的基础。

高中数学《曲线和方程》说课稿以上是第一我为大家整理的高中数学《曲线和方程》说课稿，盼望对大家有所关心。

各位领导、专家、同仁：你们好!我是广安市乐善中学的数学老师蒋永华。

我说课的内容是"曲线和方程'。

下面我从教材分析、教学方法、学法指导、教学程序、板书设计以及评价六个方面来汇报对教材的钻研状况和本节课的教学设想。

恳请在座的专家、同仁批判指正。

一、关于教材分析1、教材的地位和作用"曲线和方程'是高中数学其次册(上)第七章《直线和圆的方程》的重点内容之一，是在介绍了"直线的方程'之后，对一般曲线(也包括直线)与二元方程的关系作进一步的讨论。

这部分内容从理论上揭示了几何中的"形'与代数中的"数'相统一的关系，为"形'与"数'的相互转化开拓了途径，同时也体现了解析几何的基本思想，为解析几何的教学奠定了一个理论基础。

2、教学内容的选择和处理本节教材主要讲解曲线的方程和方程的曲线、坐标法、解析几何等概念，争论怎样求曲线的方程以及曲线的交点等问题。

共分四课时完成，这是第一课时。

此课时的主要内容是建立"曲线的方程'和"方程的曲线'这两个概念，并对概念进行初步运用。

我在处理教材时，不拘泥于教材，敢于大胆进行调整。

主要体现在对曲线的方程和方程的曲线的定义进行归纳上，通过构造反例，引导同学进行观看、争论、分析、正反对比，逐步揭示其内涵，然后在此基础上归纳定义;再一点就是在得出定义之后，引导同学用集合观点来理解概念。

3、教学目标的确定依据教学大纲的要求以及本节教材的地位和作用，结合高二同学的认知特点，我认为，通过本节课的教学，应使同学理解曲线和方程的概念;会用定义来推断点是否在方程的曲线上、证明曲线的方程;培育同学分析、推断、归纳的规律思维力量，渗透数形结合的数学思想;并借用曲线与方程的关系进行辩证唯物主义观点的教育;通过对问题的不断探讨，培育同学勇于探究的精神。

曲线和方程教案课题：曲线和方程（1）教学目标：知识与技能目标：1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3.学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

过程与方法目标：1.通过直线方程的复引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；2.在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；3.能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

情感与态度目标：1.通过概念的复引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；2.通过本节课的研究，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；3.学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。

教材分析：本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。

由于学生已经具备了用方程表示直线，抛物线等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法来解决困惑，通过反例，揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义。

为强化其认识，又决定用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，并以此为工具来分析实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法、知其理。

教学重点：曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。

教学难点：如何利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。

借助多媒体，让学生通过直观的方式深刻理解直线方程的特点：直线上的点的坐标都是方程的解，以及以方程的解为坐标的点都在直线上。

这种对应关系说明直线和方程是等价的。

《曲线的方程和性质》专题江苏省泗阳中学 秦葆苓解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究几何图形的性质，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数方法对几何问题加以研究。

解析几何充分体现了数形结合的数学思想。

一、解读考试说明⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．⒉圆锥曲线方程（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用．二、近3年高考试题回顾及2006试题展望 1．2005年全国高考数学试题： 1、（江苏）抛物线24x y 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ B ）A ．1617B ．1615C ．87D ．02、（江苏）点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ A ）A ．33 B ．31 C ．22 D ．213、（江苏）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=。

由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质教学目标：1.初步掌握求曲线的方程的方法2.能利用方程讨论曲线的简单性质教学重点：1.初步掌握求曲线的方程的方法2.能利用方程讨论曲线的简单性质教学过程一、复习曲线的方程，方程的曲线的概念二、引入新课1、求解曲线方程的一般步骤.例1设力、8两点的坐标是（-1,-1）,（3,7）,求线段相的垂直平分线的方程. 解：设"（％y）是线段46的垂直平分线上任意一点，也就是点"属于集合P=M1=IM81}.由两点间的距离公式，点必所适合条件可表示为：J（X+1）2+3+1）2="（X-3）2+3-7）2将上式两边平方，整理得：广2y-7=0 ①我们证明方程①是线段48的垂直平分线的方程.（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解；（2）设点附的坐标（鸟/）是方程①的解，即x+2y1-7=0^ι=7-2y1点用到力、8的距离分别是MM=Ja+1)2+(必+1)2=J(8-2必产+(必+1)2=√5(y12-6y1÷13);IMM=Ja「3)2+(必-7)2=J(4-2γ)2+(乂-7)2=√5(√-6y1+13)Λ∣M1J∣=∣Λ∕,4即点M在线段45的垂直平分线上.由(1)、(2)可知方程①是线段力8的垂直平分线的方程.由上面的例子可以看出，求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点〃的坐标;(2)写出适合条件尸的点照的集合6例尸(给);(3)用坐标表示条件尸(船，列出方程f(为力=0;(4)化方程f(x,D=O为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤(2),直接列出曲线方程.2.利用方程研究曲线的性质例2.设动点M与两条互相垂直的直线的距离的积等于1求动点M的轨迹方程并利用方程研究轨迹(曲线)的性质.小结：本节课我们学习了求曲线的方程的方法以及利用方程讨论曲线的简单性质课堂练习：略课后作业：略小结：1求曲线方程的常用方法：(1)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含χ,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质【课时目标】1.使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．2.通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．3.通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．知识梳理1．求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对____(x,y)____表示曲线上任意一点M 的坐标；(2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝_____{M|P(M)}_____；(3)用____坐标____表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)＝0；(4)化方程f(x ，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．典例剖析知识点一 直接法求曲线的方程已知线段AB 的长度为10，它的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 的中点P 的轨迹方程是________．【解析】 设点P 的坐标为(x ，y)，则A 点坐标为(2x,0)，B 点坐标为(0,2y)．由两点间的距离公式可得(2x)2＋(2y)2＝10，即(2x)2＋(2y)2＝100，整理、化简得x 2＋y 2＝25.【答案】 x 2＋y 2＝25知识点二 代入法求曲线的方程已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．分析 由重心坐标公式，可知△ABC 的重心坐标可以由A 、B 、C 三点的坐标表示出来，而A 、B 是定点，且C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，故重心与C 相关联．因此，设出重心与C 点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y ＝x 2＋3即可．【解】 设G(x ，y)为所求轨迹上任一点，顶点C 的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得⎩⎨⎧ x ＝0＋6＋x′3，y ＝0＋0＋y′3∴⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x －6，y′＝3y. ∵顶点C(x′，y′)在曲线y ＝x 2＋3上，∴3y ＝(3x －6)2＋3，①整理，得y ＝3(x －2)2＋1，故所求轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1.知识点三 定义法求曲线的方程设A(1,0)，B(－1,0)，若动点M 满足k MA ·k MB ＝－1，求动点M 的轨迹方程．【解】 如图所示，设动点M 的坐标为(x ，y)．由题意知：MA ⊥MB.所以△MAB 为直角三角形，AB 为斜边．又因为原点O 是AB 的中点，所以，|MO|=12， |AB|=1，所以，动点M 在以O(0,0)为圆心，|MO|为半径的圆上． 根据圆的方程的定义知：方程为x 2+y 2=1.又因为动点M 不能与点A ，B 重合，所以，x≠±1，所以，动点M 的轨迹方程为x 2+y 2=1 (x≠±1)．知识点四 参数法求曲线的方程已知定点P(a ，b)不在坐标轴上，动直线l 过点P ，并分别交x 轴，y 轴于点A ，B ，分别过A ，B 作x 轴，y 轴的垂线交于点M ，求动点M 的轨迹方程．解 设M(x ，y)，并设l ：y －b ＝k(x －a)，由题意知k 存在，且k≠0，则得A(a －b k，0)，B(0，b －a k)，又AM ，BM 分别是x 轴，y 轴的垂线，得M(a －b k，b －a k)． 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －b k ，y ＝b －ak ，消去参数k ，得xy －ay －bx ＝0. 所以动点M 的轨迹方程是xy －ay －bx ＝0.知识点五 交轨法求曲线的方程如果两条曲线的方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P(x 0，y 0)，证明：f 1(x ，y)＋λf 2(x ，y)＝0的曲线也经过P 点(λ∈R )，并求经过两条曲线x 2＋y 2＋3x －y＝0和3x 2＋3y 2＋y ＝0的交点的直线方程．【解】 ∵P (x 0，y 0)是两曲线的交点，∴f 1(x 0，y 0)＝0，f 2(x 0，y 0)＝0，∴f 1(x 0，y 0)＋λf 2(x 0，y 0)＝0.即方程f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0的曲线经过P 点．⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3x －y ＝0， ①3x 2＋3y 2＋y ＝0， ② ①×3－②得9x －4y ＝0.即过两曲线的交点的直线方程为9x －4y ＝0.自主训练1．如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，那么下列命题中正确的是( )A ．坐标满足f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上B ．曲线C 上的点的坐标不都满足方程f (x ，y )＝0C ．坐标满足方程f (x ，y )＝0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上D ．至少有一个不在曲线C 上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0【答案】 D【解析】 对于命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”的否定是“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”，即至少有一个不在曲线C 上的点，它的坐标满足方程f (x ，y )＝0.2．△ABC 中，若B 、C 的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，中线AD 的长度是3，则A 点的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝3B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝9(y ≠0)D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)【答案】 C【解析】 易知B 、C 中点D 即为原点O ，所以|OA |＝3，所以点A 的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因△ABC 中，A 、B 、C 三点不共线，所以y ≠0.所以选C.3．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0【答案】 B【解析】 由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5.设C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.4．在下列图中方程表示图中曲线的是( )【答案】 C【解析】 对于A ，方程x 2+ y 2=1表示一个完整的圆．对于B ，x 2-y 2=(x+y)(x -y)=0，它表示两条相交直线．对于D ，由lgx+lgy=0知xy=1，x>0且y>0.5. 设过点P （x ，y ）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP =2PA ，且OQ ·AB = 1，则P 点的轨迹方程是( )A ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0) B ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0) C.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) D.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 【答案】 D【解析】 如图所示，若P (x ，y )，则A ⎝⎛⎭⎫32x ，0，B (0,3y )， AB ＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ，OQ →＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ，OQ →＝(－x ，y )，AB →＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ，OQ →＝1，∴32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)，即为点P 轨迹方程． 6．设动点P 是曲线y ＝2x 2＋1上任意一点，定点A (0，－1)，点M 分P A 所成的比为2∶1，则点M 的轨迹方程是( )A ．y ＝6x 2－13B ．y ＝3x 2＋13C ．y ＝－3x 2－1D ．x ＝6y 2－13【答案】 A【解析】 设点M 的坐标为(x 0，y 0)，因为点A (0，－1)，点M 分P A 所成的比为2∶1，所以P 点的坐标为(3x 0,3y 0＋2)，代入曲线y ＝2x 2＋1得y 0＝6x 20－13，即点M 的轨迹方程是y ＝6x 2－13. 7．点P (a ，b )是单位圆上的动点，则Q (a ＋b ，ab )的轨迹方程是________________．【答案】 x 2－2y －1＝0【解析】 设Q (x ，y )则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b ，y ＝ab .因为a 2＋b 2＝1，即(a ＋b )2－2ab ＝1.所以x 2－2y ＝1.所以点Q 的轨迹方程是x 2－2y －1＝0.8．平面上有三个点A (－2，y )，B (0，y 2)，C (x ，y ) 若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为________． 【答案】 y 2＝8x【解析】 AB ＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ，OQ →＝(0，y 2)－(－2，y )＝(2，－y 2)， BC ＝(x ，y )－(0，y 2)＝(x ，y 2)．因为AB ⊥BC ,所以AB ·BC ,所以(2，－y 2)·(x ，y 2)＝0，即y 2＝8x .所以动点C 的轨迹方程为y 2＝8x . 9．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 方法一 设点M 的坐标为(x ，y )．∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)，∴P A ⊥PB ，k P A ·k PB ＝－1.而k P A ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0， ∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)． 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,4)，∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.方法二设M 的坐标为(x ，y)，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连结PM. ∵l 1⊥l2，∴2|PM|=|AB|.而|PM|=22(2)(4)x y -+-，|AB|=22(2)(2)x y +，∴22222(2)(4)44x y x y -+-=+化简，得x+2y -5=0，为所求轨迹方程.方法三 ∵l 1⊥l 2，OA ⊥OB ，∴O 、A 、P 、B 四点共圆，且该圆的圆心为M ，∴|MP|=|MO|，∴点M 的轨迹为线段OP 的中垂线．∵kOP==0204-- = 2，OP 的中点坐标为(1,2)，∴点M 的轨迹方程是y -2= -21(x -1)，x+2y -5=0.方法四 设点M 的坐标为(x ，y)，则A(2x,0)，B(0,2y)，∵PA ⊥PB ，即PA ⊥PB ，∴ PA ·PB =0.∴（2x -2，-4）·（-2，2y -4）=0，即-2（2x -2）-4（2y -4）=0，化简得：x+2y -5=0.10. 设F （1，0），点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN =2MP ， PM ⊥PF .当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程.【解】 设 M （a,0）,P(0,b),动点N （x,y ）,则MN =（x -a,y ）,MP =(-a,b),PF →＝(1，－b )．因为MN →＝2MP →， PF →⊥PF →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ＝－2a ，y ＝2b ，且－a －b 2＝0.上述方程组消去a ，b ，得y 2＝4x .所以动点N 的轨迹方程为y 2＝4。