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人教版数学九年级上册旋转问题的题型与解法探析一、联系生活欣赏扑克牌中的旋转例1现有如图1所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180后得到图2，则旋转的牌是（）分析：解这类问题时，同学们不妨采用“局部透视整体法”即通过观察整体中某一个部分，按照题目的要求进行相应的变化后，所遵循的规律，或者说所引起的变化，则图形的整体变化也遵循同样的规律．梅花5的图形“梅花”是个轴对称图形，所以旋转180º后得到的图形要发生变化，原来向下的梅花的小尾巴，要变成向上；原来向上梅花顶要变成向下．这是第一张牌的特点；红桃5的图形“红桃”是个轴对称图形，所以旋转180º后得到的图形要发生变化，原来向上的红桃的尖，要变成向下．这是第二张牌的特点；黑桃5的图形“黑桃”是个轴对称图形，所以旋转180º后得到的图形要发生变化，原来向下的黑桃的尖，要变成向上．这是第三张牌德特点；方块5中的图形“方块”是菱形，而菱形是中心对称图形，所以旋转180º后得到的图形还是菱形，也就是说在变化前后，图形的方向、位置、形状都不会发生变化．而图2中的变化特点是：第一张牌发生变化，第二张牌没有变化，第三张牌没有变化，第四张牌没有变化，因此我们选B．解：选B．二、坐标系中以原点为中心旋转180º后求坐标例2如图3，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形.如果△ABC中任意一点M的坐标为（a，b），那么它的对应点N的坐标为.分析：仔细观察图形中每一对对应点的坐标变化规律，确定其中的变化规律．因为点A 的坐标为（4,3），变化后点P 的坐标为（-4，-3），所以这个变化是旋转变化，且旋转角为180º，所以这是一个中心对称图形．因为点M 的坐标为（a ，b ），所以它的对应点N 的坐标为（-a ，-b ）．解：应该填（-a ，-b ）．三、坐标系中旋转90º后求坐标例3正方形ABCD 在坐标系中的位置如图4所示，将正方形ABCD绕D 点顺时针方向旋转90º后，B 点的坐标为（ ）A ．（-2,2）B ．（4,1）C ．（3,1）D ．（4,0）分析：在坐标系中，经常遇到多边形旋转一定角度后求某一点的坐标问题．在解答这类问题时，如果把问题的焦点聚焦到这个点身上，思路往往打不开，但是当我们换一个角度，把点的旋转问题转化成某一个三角形的旋转问题，思路就会豁然开朗了．如图5将蓝色的三角形按照要求旋转后落到了红色三角形的位置上，这样就比较容易确定点B 的坐标了，仔细观察不难发现旋转后点B 的对应点的坐标为（4，0）．解：选择D ．四、坐标系中绕某一定点旋转180º后求坐标例4）如图6，将△ABC 绕点C （0，-1）旋转180°得到△B A ''C ，设点A 的坐标为),(b a 则点A '的坐标为（ ）（A ）),(b a -- （B ）)1.(---b a （C ）)1,(+--b a （D ）)2,(---b a分析：为了完成问题的解答，我们可以平移x 轴的办法．如图7所示，因为旋转的中心在点C （0，-1），我们不容易求解，所以我们可以将x 轴向下平移一个单位，把问题转化成以点C 位旋转中的旋转问题，但是向下平移时是要加上的，这样在新的坐标系中，点A 的坐标变成了（a ，b+1），所以此时A '的坐标为（-a ，-b-1），分别将A 和A '的坐标向上平移一个单位就回到了原来的坐标系，但是向上时时要减去的，所以点A '的坐标为（-a ，-b-2）． 解：选D ．五 正方形背景下选定旋转中心旋转90º后求线段长例5）如图8，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点， DE=1．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90º，得△AB E '，连接E E '，则E E '的长等于 ．分析：旋转前后两个图形是全等的，这是旋转的一个非常重要的性质．同学们必须牢牢记住． 所以△ADE ≌△AB E '，所以B E '=DE ，所以EC=CD=DE=3-1=2，E 'C=B E '+BC=1+3=4, 在直角三角形E E 'C 中，E E '=204222=+=+'CE C E =52．解：填52．六 正方形背景下探求旋转后对应点到某一定点的距离例6 （上海）已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1，如图9所示 ，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为_____.分析：题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，所以需要分类求解．说的是“直线BC 上的点”，没有说明是在线段BC 上，还是在BC 的延长线上，所以也需要分类求解，所以有两种情况如图10所示：顺时针旋转得到2F 点，则2F B=DE=2，2F C=2F B+BC=2+3=5; 逆时针旋转得到1F 点，则1F C=1．解：应该填1或5．七、坐标系中线平移后旋转90º求点的坐标例7 （莱芜）在平面直角坐标系中，以点A(4,3)，B(0，0)，C(8,0)为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△1A 1B 1C （点1A ,1B ,1C 分别为点A,B,C 的对应点），然后以点1C 为中心将△1A 1B 1C 顺时针旋转90º，得到△2A 2B 1C （点2A ,2B 分别是点1A ，1B 的对应点），则点2A 的坐标是 ．分析：在坐标系中，正确的利用数形结合的思想，准确做出变化前后的图形，是解题的关键． 如图11所示，仔细做出符合题意的图形，不难发现2A 的坐标是（11,7）．八 在作图中探求线段的大小，并求角的度数例8如图12在△ABC 和△CDE 中，AB=AC=CE ，BC=DC=DE ，AB>BC ，∠BAC=∠DCE=∠α，点B 、C 、D 在直线l 上，按下列要求画图（保留画图痕迹）；（1）画出点E 关于直线l 的对称点E '，连接C E ' 、D E '；（2）以点C 为旋转中心，将（1）中所得△CD E ' 按逆时针方向旋转，使得C E '与CA 重合，得到△C D 'E ''（a ）.画出△C D 'E ''（b ）解决下面问题：①线段AB 和线段C D '的位置关系是 .理由是：②求∠α的度数.分析：使得C E'与CA重合，是旋转作图的关键要素．它提示了你图形要旋转的角度．解：（1）如图13,所示；（2）E''实际上就是点A；（a）线段AB和线段C D'的位置关系是平行；因为∠DCE=∠DC E'=∠D'CA=∠α，因为∠BAC=∠DCE=∠α，所以∠BAC=∠D'CA，所以AB∥C D'；（b）因为四边形ABC D'是等腰梯形，所以∠ABC=∠D'AB=2∠α，因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=2∠α．在三角形ABC中，因为∠ABC+∠ACB+∠BAC =180º，所以2∠α+2∠α+∠α=180º，解得∠α=36º．九、探求符合一定条件的最小旋转角例9 已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图14放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C=∠EFB=90º，∠E=∠ABC=30º，AB=DE=4．（1）求证：△EGB是等腰三角形；（2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小_____度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形如图15，求此梯形的高．分析：最小的旋转角从何处入手求解呢？对，从梯形的入手，AC，DE变成了梯形的底，所以二者一定是平行的，所以同旁内角一定是互补的，而∠C=90º，∠EDF=60º，其和为150º，所以还差30º就满足互补的条件了．因此这就是所求得最小角．解：略同学们自己来完成余下步骤的补充吧．。
2022-2023学年九年级上数学：旋转
一．选择题（共5小题）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列所说的图形中，不是中心对称图形的是（）
A．菱形B．等边三角形C．矩形D．正方形
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（）
A．2B．2C．3D ．
4．由圆和正五边形所组成的图形如图所示，那么这个图形（）
A．是轴对称图形但不是中心对称图形
B．是中心对称图形但不是轴对称图形
C．既是中心对称图形又是轴对称图形
D．既不是中心对称图形也不是轴对称图形
5．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α，得到△ADE，若点D恰好在CB的延长线上，则∠CDE等于（）
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九年级上册数学旋转必做大题附答案详解九年级上册数学旋转必做大题附答案1、已知：P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB大小。
2、在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG=CG 且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．3、如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′.（1）求点O与O′的距离；（2）证明：∠AOB=150°；（3）求四边形′的面积．（4）直接写出△AOC与△AOB的面积和4、（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．5、正方形ABCD中，E是CD边上一点，（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示．观察可知：与DE相等的线段是，∠AFB=∠（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ（3）在（2）题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2．6、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F 分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．7、如图，P是等边△ABC内的一点，且PA = 5，PB =12，PC = 13，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为 .8、已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（6分）（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（2分）（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F 分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（2分）新课标第一网②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．（5分）9、（1）问题发现如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；（2）类比引申如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF；（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC 上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程．参考答案一、简答题1、135°(用旋转三角形解决绕点B顺时针旋转三角形BAP得到三角形BCE，连接PE)2、解：（1） EG=CG，EG⊥CG．（2分）（2）EG=CG，EG⊥CG．（2分）证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE=CM，∠EMC=90°，又∵BE=EF，∴EF=CM．∵∠EMC=90°，FG=DG，∴MG=FD=FG．∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD．∵EF=CM，∴FM=DM，∴∠F=45°．又FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC．∴△GFE≌△GMC．∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．（2分）∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD，∴∠FGE+∠EGM=90°，∴∠MGC+∠EGM=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．（2分）3、解：（1）∵等边△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。
九年级数学图形的旋转专题讲解+六大题型解析+专题训练，收藏学习九年级数学图形的旋转专题讲解+六大题型解析+专题训练，收藏学习 -九年级数学图形的旋转专题讲解+六大题型解析+专题训练，收藏学习图形的旋转这一章节是初中几何内容中非常重要的一个章节，对于图形的运动的形式和规律以及旋转的性质都是我们在对几何的初步认识当中的一个过程，掌握其重要的性质之后，对于几何综合题型当中辅助线的运用起到了非常重要的作用。
并且图形的旋转加上已经学习过的平移和轴对称。
对几何图形的变化有充分地了解，建立几何空间思维的正确认识,对于几何空间能力的提升起到了非常重要的促进作用。
首先，在学习图形的旋转这一章节我们主要围绕以下两个重要的内容来展开:第一，掌握图形的旋转和中心对称的概念；第二，掌握旋转的本质。
这也是我们学习过程中的重点和难点内容。
因为在旋转前后的两个图形中，对应点与旋转中心之间的距离总是相同的，所以对应点必然分别在以旋转中心为圆心，以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上，对应点与旋转中心连线所成的角等于且等于旋转角。
唐老师提醒大家，旋转过程中保持静止的点就是旋转的中心，不变的量就是对应的元素。
其次，旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向.第三，旋转的性质：（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的连线所成的角度；—整体角度（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应线段相等，对应角相等；——局部角度（4）图形的形状和大小都没有发生变化，即旋转不改变图形的形状和大小.—变换结果.第四，简单图形的旋转作图：（1）确定旋转中心；（2）确定图形中的关键点；（3）将关键点沿指定的方向旋转指定的角度；(4)连接这些点，得到原始图形的旋转图形。
(以上四个步骤是我们在制作简单旋转图的过程中应该遵循的步骤。
按照以上步骤画图，可以提高大家的学习效率，保证其在画图过程中的正确率。
)第五，旋转对称图形：平面图形绕某点旋转一定角度(小于圆角)后，可以与自身重叠。
图形的旋转一、知识点1、旋转把一个平面图形绕着平面内的一点O 转动一个角度。
（旋转中心：O 点,旋转角：转动的角度）2、性质①对应点到旋转中心的距离相等②对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角③旋转前后的图形全等二、标准例题：例1：如图,ABC ∆逆时针旋转一定角度后与ADE ∆重合,且点C 在AD 上.（1）指出旋转中心；（2）若21B ︒∠=,26ACB ︒∠=,求出旋转的度数；（3）若5AB =,3CD =,则AE 的长是多少？为什么？【答案】（1）A;（2）133︒；（3）2【解析】解：（1）中心为点A（2）∵21B ︒∠=,26ACB ︒∠=1802126133BAC ︒︒︒︒∠=--=∴旋转的度数为133︒（3）由旋转性质知：AE AC =,AD AB =∴2AE AB CD -==总结：本题考查旋转,熟练掌握旋转的性质是解题关键.例2：在平面直角坐标系中,O为坐标原点．(1)已知点A(3,1),连接OA,作如下探究：探究一：平移线段OA,使点O落在点B,设点A落在点C,若点B的坐标为（1,2）,请在图①中作出BC,点C 的坐标是__________．探究二：将线段OA绕点O逆时针旋转90°,设点A落在点D,则点D的坐标是__________；连接AD,则AD ＝________(图②为备用图)．(2)已知四点O(0,0),A(a,b),C,B(c,d),顺次连接O,A,C,B,O,若所得到的四边形为平行四边形,则点C的坐标是____________．【答案】(1)探究一图见解析；(4,3)；探究二(－1,3)；(2)(a＋c,b＋d)【解析】解：(1)探究一：∵点A（3,1）,连接OA,平移线段OA,使点O落在点B．设点A落在点C,若点B的坐标为（1,2）,则C的坐标为（4,3）, 作图如图①所示.探究二：∵将线段OA绕点O逆时针旋转90度,设点A落在点D．则点D的坐标是（-1,3）,如图②所示,由勾股定理得：OD2=0A2=12+32=10,AD(2)(a ＋c,b ＋d)∵四点O(0,0),A(a,b),C,B(c,d),顺次连接O,A,C,B,O,所得到的四边形为平行四边形,∴OA 綊BC.∴可以看成是把OA 平移到BC 的位置．∴点C 的坐标为(a ＋c,b ＋d)．总结：本题考查坐标与图形的变换、平行四边形的性质等知识,综合性比较强,要求学生熟练掌握相关的基础知识才能很好解决这类问题．例3：如图,点O 是等边ABC ∆内一点,110AOB ∠=︒,BOC α∠=,将CO 绕点C 顺时针方向旋转60︒得到CD ,连接AD ,OD .（1）当150α=︒时,判断AOD ∆的形状,并说明理由；（2）求DAO ∠的度数；（3）请你探究：当α为多少度时,AOD ∆是等腰三角形？【答案】（1）AOD ∆为直角三角形,理由见解析；（2）50DAO ∠=︒；（3）当α为125︒或110︒或140︒时,AOD ∆为等腰三角形.【解析】解：（1）AOD ∆为直角三角形,理由如下： CO 绕C 顺时针旋转60︒得到CD ,OCD ∴∆和ABC ∆均为等边三角形,BC AC =,OC CD =,60BCO ACO ∠+∠=︒,60ACD ACO ∠+∠=︒BCO ACD ∴∠=∠BOC ADC ∴∆≅∆150ADC BOC ∴∠=∠=︒,90ADO ADC ODC ∴∠=∠-∠=︒AOD ∴∆为直角三角形；（2）由（1）知：BOC ADC ∆≅∆,DAC CBO ∴∠=∠,60CBO ABO ∠=︒-∠,60CAO BAO ∠=︒-∠DAO DAC CAO CBO CAO ∴∠=∠+∠=∠+∠=()(6060)ABO BAO ︒-∠+︒-∠=(20)1ABO BAO ︒-∠+∠18011070ABO BAO ∠+∠=︒-︒=︒,1207050DAO ∴∠=︒-︒=︒；（3）∵∠AOB=110°,∠BOC=α∴∠AOC=250°-a ．∵△OCD 是等边三角形,∴∠DOC=∠ODC=60°,∴∠ADO=a -60°,∠AOD=190°-a,当∠DAO=∠DOA 时,2（190°-a ）+a-60°=180°,解得：a=140°当∠AOD=ADO 时,190°-a=a-60°,解得：a=125°,当∠OAD=∠ODA 时,190°-a+2（a-60°）=180°,解得：a=110°∴α=110°,α=140°,α=125°．总结：本题考查了等边三角形的判定与性质的运用,旋转的性质的运用,直角三角形的判定,全等三角形的判定及性质的运用,等腰三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键．三、练习1．综合性学习小组设计了如图1所示四种车轮,车轮中心的初始位置在同一高度,现将每种车轮在水平面上进行无滑动．．．滚动,若某个车轮中心的运动轨迹如图2所示,请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断,该轨迹对应的车轮是（ )【答案】B【解析】解：圆的中心在运动过程中位置始终不变,正方形中心的变化每90︒循环一次,五边形中心的变化每108︒循环一次,六边形中心的变化每120︒循环一次,用量角器量得图2中一个弧所对的圆心角为90︒,故该轨迹对应的车轮为正方形的.故答案为B∆按顺时针方向转动一个角度后2．如图所示,正方形ABCD中,E在BC上,F在AB上,且45FDE︒∠=.DEC∆.成为DGA问：（1）图中哪一个点是旋转中心？（2）DGA ∆是由DEC ∆旋转了多少度形成的？（3）指出图中的对应点、对应线段和对应角.（4）求GDF ∠的度数.【答案】(1)点D ； (2)90°； (3)详见解析； (4)45°．【解析】（1）D 点是旋转中心；（2）旋转了90°；（3）对应点：D 对D,G 对E,A 对C ；对应线段：DG 对DE,DA 对DC,AG 对CE ；对应角：∠CDE 对∠ADG ,∠CED 对∠AGE ,∠C 对∠DAG；（4）∵△DGA 是△DEC 绕点D 旋转得来的,且旋转角为90°,∴∠GDE=90°,又∵∠FDE=45°,∴∠GDF=45°．3．如图,在等边∆ABC 中,D 是边AC 上一点,连接BD ．将∆ BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到∆ BAE,连接ED ．若BC=10,BD=9,求∆ AED 的周长。
解题技巧专题：巧用旋转进行计算——体会旋转中常见解题技巧◆类型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′)，连接CC′.若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°第1题图第2题图2．(2016·株洲中考)如图，在三角形ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，将这个梯形绕点D按顺时针方向旋转，使点C落在边AD上的点C′处，点B落在点B′处，如果直线B′C′经过点C，那么旋转角等于__________度．◆类型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度4．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△AB′C′，过点B′作B′D⊥CA，交CA的延长线于点D.若AC＝6，则AD的长为【方法13】（）A．2 B．3 C．2 3 D．3 2第4题图第5题图5．(2016·黔西南州中考)如图，矩形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到矩形A1BC1D1，C1D1与AD交于点M，延长DA 交A1D1于点F.若AB＝1，BC＝3，则AF 的长度为（）A．2－ 3 B.3－13C.3－33 D.3－16．(2016·巴彦淖尔中考)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，求AE的长．◆类型三利用旋转计算面积7．如图，将正方形纸片ABCD绕着点A按逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′.若AB＝23cm，则图中阴影部分的面积为【方法13】（）A．6cm2B．(12－63)cm2C．33cm2D．43cm2第7题图第8题图8．如图，在△ACB中，∠BAC＝90°，AC＝2，AB＝3，现将△ACB绕点A逆时针旋转90°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为________．答案：数学选择题解题技巧1、排除法。
人教版九年级上学期数学图形的旋转知识点，典型例题讲解！人教版九年级上学期数学图形的旋转知识点1：图形旋转的有关概念在平面内,把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角,如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点.归纳整理:(1)本章学的旋转是在平面内旋转,否则有可能旋转为立体图形;(2)旋转中心是旋转过程中始终保持不动的那个定点,可以是平面内的任意一点,可在图形外部、内部或图形上;(3)旋转角实际上就是任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角.注意:日常生活中的旋转,如开门、关门,是绕轴旋转一定角度,此类问题不属于我们要研究的绕点旋转.知识点2：图形旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前后的两个图形全等.归纳整理:(1)经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动相同的角度,即旋转角.任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都相等,都等于旋转角;(2)旋转只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,故旋转前后的图形全等,也就是说,两个图形可以完全重合,因此它们的对应边、对应角相等.知识点3：旋转作图1. 旋转作图的一般步骤是:(1)明确旋转的三要素:旋转中心、旋转方向、旋转角度;(2)确定关键点,分别作出这几个关键点绕旋转中心旋转后的位置;(3)按原来位置依次连接各点即得要求的旋转后的图形.2. 旋转作图形式主要有四种:一是已知原图、旋转中心和一对对应点,求作旋转后的图形;二是已知原图、旋转中心和一对对应线段,求作旋转后的图形;三是已知原图、旋转中心和旋转角,求作旋转后的图形;四是已知旋转前后的图形,确定旋转中心.这些都是根据旋转定义和性质进行作图.特别地,对于给出原图和一对对应边的作图问题,除可按一般的方法作图外,如果求作的是三角形,还可以用三角形全等的方法作出旋转图形.知识点4：图形旋转的效果及设计把一个图形绕着一个点作旋转变换,改变旋转中心或旋转角会获得不同的旋转效果.图形在旋转过程中分两种情况:(1)旋转中心不变,改变旋转角;(2)旋转角不变,改变旋转中心.在设计旋转图案时需要考虑旋转角与旋转中心这两个方面的因素.归纳整理:(1)分析图形的旋转关系的关键是认识到旋转是由旋转中心和旋转角决定的这一特性.另外,还需要我们仔细观察、认真分析,充分发挥空间想象力,找出图形旋转的基本图案.一般步骤是:首先分析旋转的基本图案,其次确定旋转中心和旋转角,最后确定旋转的方向和旋转的次数.(2)利用旋转进行图案设计的一般步骤是:首先构思图案由哪几部分构成,其次构思如何运用旋转来实现由基本图案到各部分图案的组合,并作出草图,最后根据草图,作出图案.。
23.1图形的旋转典型例题 例1 如图，将△ABC 绕点A 旋转得到△AEF ，指出图中的旋转中心、旋转角度及对应线段、对应角。
分析 旋转角是连结对应点与旋转中心所形成的角，而对应线段是对应点所在的线段，对应角则由对应点所形成的角，因此关键是要分清楚是谁的对应点。
解 旋转中心是点A ；旋转角是∠BA E 或∠CAF ；对应线段是：AB 与AE 、B C 与EF 、AC 与AF ； 对应角是：∠BAC 与∠EAF 、∠B 与∠E 、∠C 与∠F 。
点评 要记清旋转（对称）的如下特征： 旋转后的图形的对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应相等，图形的形状与大小都没有发生变化。
例2 如图，已知R ｔ△ABC 的周长为12，∠B ＝90°，∠CAB ＝30°，△ABC 的边AC 在直线l 上，按顺时针方向在直线l 上转动两次，使它转到△ 222C B A 位置，则=2AA ,∠=B C A 11分析 由旋转后对应角相等，∠=111B C A ∠AC B=60°可知第一次旋转的角度∠2ACA ＝ 120°，第二次旋转了90°后至△222C B A 的位置，所以∠=B C A 11180°－120°＝60°，又由旋转后对应线段相等，11C B BC =，AB B A =22，故1222112=++=++=AB BC AC A B C B AC AA 。
解 122=AA ；∠=B C A 1160°例3 圆心角（圆心为顶点，两半径所夹的角）都是90°的扇形OAB与扇形OCD 按如图所示那样叠放在一起，连结AC 、BD 。
说明△BOD 是由△AOC 旋转得到的；若OA ＝3㎝，OC ＝1㎝，求图中阴影部分的面积。
分析 由条件可知，图中OA=OB,OC=OD 且∠COD=∠AOB,可得△BOD 与△AOC 是旋转关系，从而阴影部分面积恰好就是两个扇形面积之差。
第02讲旋转问题专题一、旋转的理解1. 将图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，如图所示；2. 旋转前后的两个图形全等，即旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小与形；状如△AOB≌△A1OB1；3. 图形的旋转，本质上是图形上的点在同心圆上作同步运动；4. 以每组对应点和旋转中心为顶点的三角形相似，且都是等腰三角形，如等腰△AOA1∽等腰△BOB'1；5. 当旋转角为特殊角时，如60°、90°等，会出现特殊等腰三角形，如等边三角形、等腰直角三角形等；6. 当旋转角不大于90°时，对应线段所在直线的夹角等于旋转角，如AB与A1B1所在直线的夹角等于∠AOA1；7. 当旋转角不大于90时，两组对应点连线所在直线（如AA1与BB1)的夹角等于∠AOB。
图1 图2二、位似的理解1. 如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于同一点，对应边互相平行或在同一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫位似中心，这时的相似比又称为位似比，如图2所示；2. 位似前后的两个图形相似，即位似不改变图形的形状，它可以将一个图形进行放大或缩小；3. 图形的位似，本质上是图形上的点在共顶点的直线上的同步运动。
旋转运用<1>：共顶点模型的旋转全等1. 如图1-1，△ABC绕点A旋转到△AB1C1，则有△ABB1≌△ACC1（SAS）；2. 如图1-2，若△ABC与△AED式等边三角形，则△ABE≌△ACD（SAS）；3. 如图1-3，若△ABC与△AED式等腰直角三角形，则△ABD≌△ACE（SAS）；图1-1 图1-2 图1-3旋转运用<2>：角含半角旋转模型1. 如图2-1，在正方形ABCD中，若∠EBF=45°，将△BAE绕点B旋转至△BCG，则有①EF=AE+CF；②BE平分∠AEF；③BF平分教EFC.2. 如图2-2，在四边形ABCD中，若BA=BC，∠ABC+∠D=180°，且∠EBF=12∠ABC，图2-1则有①EF=AE+CF；②BE平分∠AEF；③BF平分教EFC.3. 如图2-3，在等腰Rt△ABC中，若交DAE=45°，可将△ABD绕点A旋转至△ACF，则有DE2=BD2+CE2；4. 如图2-4，在等腰Rt△ABC中，若交DAE=45°，可将△ABD绕点A旋转至△ACF，仍有DE2=BD2+CE2；5. 如图2-5，在等腰Rt△ABC中，若交DAE=135°，图2-2 可将△ABD绕点A旋转至△ACF，则有DE2=BD2+CE2；图2-3 图2-4 图2-51. 如图3-1，已知四边形ABCD中，∠BDC=∠BAC=90°，且DB=DC，则有AB+AC=2AD；2. 如图3-2，已知四边形ABCD中，∠BDC=∠BAC=90°，且DB=DC，则有AB-AC=2AD；图3-1 图3-23. 如图3-3，已知等边△ABC，且∠BPC=120°，则有PA=PB+PC；4. 如图3-4，已知等边△ABC，且∠BPC=30°，则有PA2=PB2+PC2；图3-3 图3-45. 如图3-5，已知等腰△ABC，且∠BAC=120°，且∠BPC=60°，则有PB+PC=3PA；6. 如图3-6，已知等腰△ABC，且∠BAC=120°，且∠BPC=120°，则有PC-PB=3PA；图3-5 图3-61. 如图4-1，已知等腰△ABC，AB=AC，将△ABD旋转至△ACE，则有△ADE∽△ABC；2. 如图4-2，若△ADE∽△ABC，则有△ADE∽△ABC；图4-1 图4-2旋转运用<5>：费马旋转模型1. 如图5-1，在△ABC中找一点P，使得AP+BP+CP的值最小，将△APC绕点A逆时针旋转60°至△AQE，则有AP+BP+CP=PQ+BP+QE≥BE，当且仅当B、P、Q、E四点共线时取得最小值为BE，且此时有∠APB=∠BPC=∠APC=120°.图5-12. 如图5-2，等腰△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内部一点，且AP=1，CP=3，∠APC=120°，求BP的长。
九年级上册数学旋转必做大题附答案1、已知：P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB大小。
2、在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG 且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．3、如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO′.（1）求点O与O′的距离；（2）证明：∠AOB=150°；（3）求四边形′的面积．（4）直接写出△AOC与△AOB的面积和4、（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．5、正方形ABCD中，E是CD边上一点，（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示．观察可知：与DE相等的线段是，∠AFB=∠（2）如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ（3）在（2）题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2．6、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．7、如图，P是等边△ABC内的一点，且PA = 5，PB =12，PC = 13，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为 .8、已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（6分）（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（2分）（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（2分）新课标第一网②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．（5分）9、（1）问题发现如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；（2）类比引申如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF；（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程．参考答案一、简答题1、135°(用旋转三角形解决绕点B顺时针旋转三角形BAP得到三角形BCE，连接PE)2、解：（1） EG=CG，EG⊥CG．（2分）（2）EG=CG，EG⊥CG．（2分）证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE=CM，∠EMC=90°，又∵BE=EF，∴EF=CM．∵∠EMC=90°，FG=DG，∴MG=FD=FG．∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD．∵EF=CM，∴FM=DM，∴∠F=45°．又FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC．∴△GFE≌△GMC．∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．（2分）∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD，∴∠FGE+∠EGM=90°，∴∠MGC+∠EGM=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．（2分）3、解：（1）∵等边△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。
