2017-2018学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷(文科)

2017-2018 学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5 分）若会合A={ x| 0＜x＜3} ， B={ x| ﹣ 1＜x＜2} ，则 A∪B=（）A．{ x| ﹣ 1＜ x＜3} B． { x| ﹣1＜x＜ 0} C．{ x| 0＜x＜2} D． { x| 2＜x＜3} 2．（5 分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（﹣ 1，﹣ 1）D．（1，﹣ 1）3．（5 分）以下函数中，在区间（ 0， +∞）上单一递加的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（ x﹣ 1）2 C．y=sinx D．4．（5 分）履行以下图的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．2705．（5 分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a6．（5 分）一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，节余几何体的三视图以下图，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱7．（5 分）函数 f（ x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0） =f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件8．（ 5 分）已知 A，B 是函数 y=2x的图象上的相异两点．若点A，B 到直线的距离相等，则点A， B 的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ 1）B．（﹣∞，﹣ 2）C．（﹣∞，﹣ 3）D．（﹣∞，﹣ 4）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（5 分）若函数 f（ x）=x（x+b）是偶函数，则实数 b=．10．（5 分）已知双曲线的一个焦点是（F2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是．11．（ 5 分）向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为 1，那么=．12．（5 分）在△ ABC中，a=3，，△ABC的面积为，则b=；c=．13．（5 分）已知点 M（x，y）的坐标知足条件，设O为原点，则| OM|的最小值是．14．（ 5 分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是；若 f （x）的值域是，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（ 13 分）已知函数．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．16．（ 13 分）已知数列 { a n} 是公比为的等比数列，且a2+6 是 a1和 a3的等差中项．（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列 { a n} 的前 n 项之积为 T n，求 T n的最大值．17．（ 13 分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A， B 两类（评定标准见表）．依据男女学生比率，使用分层抽样的方法随机抽取了10000 名学生的得分数据，此中等级为 A1的学生中有 40%是男生，等级为 A2的学生中有一半是女生．等级为 A1和 A2的学生统称为 A 类学生，等级为 B1和 B2的学生统称为 B 类学生．整理这 10000 名学生的得分数据，获得以下图的频次散布直方图．类型得分（ x）B B180≤x≤90B270≤x＜80A A150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知该市高中学生共20 万人，试预计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；（Ⅱ）某 5 人得分分别为 45，50，55，75， 85．从这 5 人中随机选用 2 人构成甲组，此外 3 人组成乙组，求“甲、乙两组各有1 名 B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这 10000 名学生中，男生占总数的比率为 51%，B 类女生占女生总数的比率为k1，B 类男生占男生总数的比率为k2．判断k1与k2的大小．（只要写出结论）18．（ 14 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1 B1C1中， AB⊥平面 AA1 C1C，AA1=AC．过 AA1的平面交 B1C1于点 E，交 BC于点 F．（Ⅰ）求证： A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证： A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥 B1﹣ AA1EF的体积为 V1，三棱柱 ABC﹣A1B1C1的体积为 V．若，求的值．19．（ 14 分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点 Q 在椭圆 C 上．试问直线 x+y﹣4=0 上能否存在点 P，使得四边形 PAQB 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．20．（ 13 分）已知函数 f （x）=x2lnx﹣ 2x．（Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（ 1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在独一的x0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f（ x）在点（ x0， f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣ f（1）（Ⅲ）比较 f（）与﹣ 2.01 的大小，并加以证明．2017-2018 学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．（5 分）若会合 A={ x| 0＜x＜3} ， B={ x| ﹣ 1＜x＜2} ，则 A∪B=（）A．{ x| ﹣ 1＜ x＜3} B． { x| ﹣1＜x＜ 0}C．{ x| 0＜x＜2} D． { x| 2＜x＜3} 【剖析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵会合 A={ x| 0＜ x＜ 3} ，B={ x| ﹣ 1＜ x＜ 2} ，∴A∪ B={ x| ﹣1＜x＜3} ．应选： A．【评论】此题考察并集的求法，考察并集定义等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，属于基础题．2．（5 分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣ 1）D．（1，﹣ 1）【剖析】依据复数的几何意义，将复数进行化简即可．【解答】解：===﹣ 1+i，对应点的坐标为（﹣ 1，1），应选： B【评论】此题主要考察复数的几何意义，利用复数的运算法例进行化简是解决此题的重点．3．（5 分）以下函数中，在区间（ 0， +∞）上单一递加的是（）A．y=﹣x+1 B．y=（ x﹣ 1）2 C．y=sinx D．【剖析】依据常有函数的单一性分别判断即可．【解答】解：对于 A，函数在 R 递减，对于 B，函数在（ 0，1）递减，对于 C，函数在（ 0，+∞）无单一性，对于 D，函数在（ 0， +∞）递加，应选： D．【评论】此题考察了常有函数的单一性问题，是一道基础题．4．（5 分）履行以下图的程序框图，输出的S值为（）A．2B．6C．30D．270【剖析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运转过程，剖析循环中各变量值的变化状况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运转，可得S=1， k=2知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=2，k=3知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=6，k=5知足条件 k≤ 5，履行循环体， S=30， k=9不知足条件 k≤5，退出循环，输出S 的值为 30．应选： C．【评论】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运转过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．（5 分）若，则有（）A．a=2b B．b=2a C．a=4b D．b=4a【剖析】直接由对数的运算性质计算得答案．【解答】解：，得，即 a=4b．应选： C．【评论】此题考察了对数的运算性质，是基础题．6．（5 分）一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，节余几何体的三视图以下图，则截去的几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【剖析】由三视图复原原几何体，可知原几何体为直四棱柱，进而可知，截去的部分为三棱柱．【解答】解：由三视图复原原几何体如图：该几何体为直四棱柱ABEA1﹣DCFD1，截去的部分为三棱柱BB1E﹣CC1F．【评论】此题考察由三视图求面积、体积，重点是由三视图复原原几何体，是中档题．7．（5 分）函数 f（ x）=sin（x+φ）的图象记为曲线C．则“f（0） =f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【剖析】依据充足条件和必需条件的定义，联合三角函数对称性的性质进行判断即可．【解答】解：若 f（ 0） =f（π），则 sin φ=sin（π+φ） =﹣sin φ，则 sin φ=0，则φ=kπ，此时 f（ x）=sin（x+φ）=sin（ x+kπ） =± sinx，曲线 C 对于直线对称，反之若曲线 C 对于直线对称，则f（0）=f（π），即“f（0）=f（π）”是“曲线 C 对于直线对称”的充要条件，应选： C【评论】此题主要考察充足条件和必需条件的判断，联合三角函数的性质是解决此题的重点．．（分）已知x 的图象上的相异两点．若点A，B 到直线的8 5 A，B 是函数 y=2距离相等，则点 A， B 的横坐标之和的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣ 1）B．（﹣∞，﹣ 2）C．（﹣∞，﹣ 3）D．（﹣∞，﹣ 4）【剖析】依题意可得? ，利用均值不等式即可求解，【解答】解：不如设 A（ x1， y1），B（ x2，y2），（x1＞x2），可得? ，利用均值不等式 1 ? 2∴x1+x2＜﹣ 2，【评论】此题考察了指数运算，均值不等式，属于中档题．二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（5 分）若函数 f（ x）=x（x+b）是偶函数，则实数 b= 0．【剖析】依据函数是偶函数，成立方程进行求解即可．【解答】解：∵ f（x）是偶函数，∴ f（﹣ x） =f（x），即﹣ x（﹣ x+b）=x（x+b），得 x﹣b=x+b，则﹣ b=b，得 b=0，故答案为： 0．【评论】此题主要考察函数奇偶性的应用，依据偶函数的定义成立方程是解决此题的重点．10．（5 分）已知双曲线的一个焦点是（F2，0），其渐近线方程为，该双曲线的方程是x2﹣=1．【剖析】依据双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，可得 c=2，可得 a，b 是方程，求出 a，b 的值，即可得出双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（2，0），且双曲线的渐近线方程为，∴ c=2，，∵ c=，∴a=1，b2=3，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故答案为： x2﹣=1．【评论】此题考察双曲线的标准方程，考察双曲线的几何性质，考察学生的计算能力，正确运用双曲线的几何性质是重点．11．（ 5 分）向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为1，那么= 4．【剖析】求出向量，向量的坐标，而后求解数目积即可．【解答】解：向量，在正方形网格中的地点以下图．假如小正方形网格的边长为 1，=（2，0）． =（2，﹣ 1）．那么=2×2+0×（﹣ 1）=4．故答案为： 4．【评论】此题考察向量的数目积的应用，考察计算能力．12．（ 5 分）在△ ABC中， a=3，，△ ABC的面积为，则 b= 1 ；c= ．【剖析】依据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出 b 和 c 的值．【解答】解：△ ABC中， a=3，，∴△ ABC的面积为absinC= ×3×sin = ，解得 b=1；2 2 2 2 2∴ c =a +b ﹣2abcosC=3+1 ﹣ 2× 3× 1× cos=13，c=．故答案为： 1；．【评论】此题考察了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．13．（5 分）已知点 M（x，y）的坐标知足条件，设O为原点，则| OM| 的最小值是．【剖析】先依据拘束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=| MO| 表示（ 0，0）到可行域的距离，只要求出（0，0）到可行域的距离的最小值即可．【解答】解：画出知足条件的可行域，以下图：故 | OM| 的最小值为原点到直线x+y﹣1=0 的距离：=．故答案为：．【评论】此题主要考察了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．（ 5 分）已知函数，若c=0，则f（x）的值域是[ ﹣，+∞）；若（fx）的值域是，则实数c的取值范围是[，1]．【剖析】若 c=0，分别求得 f（x）在 [ ﹣2，0] 的最值，以及在（ 0，3] 的范围，求并集即可获得所求值域；议论 f（ x）在[ ﹣ 2，1] 的值域，以及在（c，3] 的值域，注意 c＞0，运用单一性，即可获得所求 c 的范围．【解答】解： c=0 时， f（ x） =x2+x=（x+）2﹣，f（x）在 [ ﹣2，﹣）递减，在（﹣，0]递加，可得 f （﹣ 2）获得最大值，且为2，最小值为﹣；当 0＜x≤ 3 时， f（x）= 递减，可得 f（3）= ，则 f（ x）∈ [ ，+∞），综上可得 f（ x）的值域为 [ ﹣，+∞）；∵函数 y=x2+x 在区间 [ ﹣2，﹣）上是减函数，在区间（﹣，1] 上是增函数，∴当 x∈[ ﹣2，0）时，函数 f（x）最小值为 f（﹣）=﹣，最大值是 f（﹣ 2）=2；由题意可得 c＞0，∵当 c＜x≤3 时， f（x）=是减函数且值域为[，），当 f（ x）的值域是 [ ﹣，2]，可得≤c≤1．故答案为：；．【评论】此题给出特别分段函数，求函数的值域，并在已知值域的状况下求参数的取值范围，侧重考察了函数的值域和二次函数的单一性和最值等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（ 13 分）已知函数．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．【剖析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简函数的分析式，而后求解函数 f （x）的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的最值，证明不等式即可．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由于= [ （4 分）]= [ （5 分）]= ，[ （7 分）]因此 f （x）的最小正周期．[ （8 分）]（Ⅱ）由于，因此．[ （10 分） ]因此，[ （12 分） ]因此．[ （13 分）]【评论】此题考察两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考察计算能力．16．（ 13 分）已知数列 { a n} 是公比为的等比数列，且a2+6 是 a1和 a3的等差中项．（Ⅰ）求 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列 { a n} 的前 n 项之积为 T n，求 T n的最大值．【剖析】（Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的通项公式求出数列的首项，而后求解数列的通项公式．（Ⅱ）求出 a n≥ 1， n≤ 4 判断数列的特点，而后求解T n获得最大值时， n=3，求解即可．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由于 a2+6 是 a1和 a3的等差中项，因此 2（a2+6）=a1+a3．[ （ 2 分） ]由于数列 { a n} 是公比为的等比数列，因此，[ （4 分）]解得 a1=27． [ （ 6 分） ]因此 a n=a1?q n﹣1=（）n﹣4．[[（8分）]（Ⅱ）令 a n≥1，即（）n﹣4≥1，得n≤ 4，[（10分）]故正项数列 { a n} 的前 3 项大于 1，第 4 项等于 1，此后各项均小于 1．[ （11 分）]因此当 n=3，或 n=4 时， T n获得最大值， [ （ 12 分） ] T n的最大值为T3=T4=a1?a2?a3=729．[ （13 分） ]【评论】此题考察等差数列以及等比数列的通项公式的求法，数列与函数的综合应用，考察转变首项以及计算能力．17．（ 13 分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A， B 两类（评定标准见表）．依据男女学生比率，使用分层抽样的方法随机抽取了10000 名学生的得分数据，此中等级为 A1的学生中有 40%是男生，等级为 A2的学生中有一半是女生．等级为 A1和 A2的学生统称为 A 类学生，等级为 B1和 B2的学生统称为 B 类学生．整理这 10000 名学生的得分数据，获得以下图的频次散布直方图．类型得分（ x）B B180≤x≤90B2 70≤x＜80A A150≤x＜70A220≤x＜50（Ⅰ）已知该市高中学生共20 万人，试预计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；（Ⅱ）某 5 人得分分别为 45，50，55，75， 85．从这 5 人中随机选用 2 人构成甲组，此外 3 人组成乙组，求“甲、乙两组各有1 名 B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这 10000 名学生中，男生占总数的比率为 51%，B 类女生占女生总数的比率为k1，B 类男生占男生总数的比率为k2．判断k1与k2的大小．（只要写出结论）【剖析】（Ⅰ）样本中 B 类学生所占比率为 60%，进而 A 类学生所占比率为40%．由此能求出在该项测评中被评为 A 类学生的人数．（Ⅱ）在 5 人（记为 a，b，c，d，e）中，B 类学生有 2 人（不如设为 b，d）．将他们按要求分红两组，利用列举法能求出“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率．（Ⅲ）由题意获得 k1＜k2．【解答】（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中 B 类学生所占比率为（）× 10=60%，（ 2 分）因此 A 类学生所占比率为40%．（3 分）由于全市高中学生共20 万人，因此在该项测评中被评为 A 类学生的人数约为8 万人．（ 4 分）（Ⅱ）由表 1 得，在 5 人（记为 a，b，c，d，e）中， B 类学生有 2 人（不如设为b，d）．将他们按要求分红两组，分组的方法数为10 种．（6 分）挨次为：（ab，cde），（ac，bde），（ad，bce），（ ae，bcd），（ bc，ade），（bd，ace），（ be，acd），（cd，abe），（ce， abd），（de，abc）．（8 分）因此“甲、乙两组各有一名 B 类学生”的概率为．（10 分）（Ⅲ） k1＜ k2．（ 13 分）【评论】此题考察频次散布直方图的应用，考察概率的求法，考察频次散布直方图、古典概型等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是基础题．第 16 页（共 20 页）18．（ 14 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1 B1C1中， AB⊥平面 AA1 C1C，AA1=AC．过 AA1的平面交 B1C1于点 E，交 BC于点 F．（Ⅰ）求证： A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证： A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥 B1﹣ AA1EF的体积为 V1，三棱柱 ABC﹣A1B1C1的体积为 V．若，求的值．【剖析】（Ⅰ）证明 A1C⊥AB，说明四边形 AA1C1C 为菱形，推出 A1C⊥AC1．即可证明 A1C⊥平面 ABC1．（Ⅱ）证明 A1A∥平面 BB1C1C，而后证明 A1A∥EF．（Ⅲ）记三棱锥B1﹣ABF的体积为 V2，三棱柱 ABF﹣A1B1E 的体积为 V3．三棱锥1﹣ABF与三棱柱ABF﹣A1 1 同底等高，，转变求解．B B E【解答】（本小题满分 14 分）（Ⅰ）证明：由于AB⊥平面 AA1C1C，因此 A1C⊥AB．[ （2 分） ]在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，由于 AA1=AC，因此四边形 AA1C1C 为菱形，因此 A1C⊥AC1．[ （3 分） ]因此 A1C⊥平面 ABC1．[ （5 分） ]（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于 A1A∥ B1B， A1A?平面 BB1C1C，[ （6 分） ]因此 A1A∥平面 BB1C1C． [ （8 分） ]由于平面 AA1EF∩平面 BB1C1C=EF，因此 A1A∥EF．[ （10 分）]（Ⅲ）解：记三棱锥B1﹣ABF的体积为 V2，三棱柱 ABF﹣A1B1E 的体积为 V3．由于三棱锥 B1﹣ ABF与三棱柱 ABF﹣A1B1E 同底等高，因此，[ （11 分） ]因此．由于，因此．[ （12 分）]由于三棱柱 ABF﹣ A 与三棱柱﹣等高，1B1E ABC A1B1C1因此△ ABF与△ ABC的面积之比为，[ （13 分）]因此．[ （14 分） ]【评论】此题考察直线与平面垂直的判断定理以及直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考察空间想象能力以及计算能力．19．（ 14 分）已知椭圆过A（2，0），B（0，1）两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点 Q 在椭圆 C 上．试问直线 x+y﹣4=0 上能否存在点 P，使得四边形 PAQB 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．【剖析】（Ⅰ）求出椭圆 C 的方程为，而后求解椭圆的离心率即可．（Ⅱ）设 P（t， 4﹣t ），Q（x0， y0），推出，解得x0=2﹣t，y0=t﹣3，代入，转变求解 t ，判断能否存在点P．【解答】（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由题意得， a=2，b=1．[ （2 分） ]因此椭圆 C的方程为．[（3分）]设椭圆 C 的半焦距为 c，则，[（4分）]因此椭圆 C的离心率．[（5分）]（Ⅱ）由已知，设P（t ，4﹣t），Q（x0， y0）． [ （ 6 分） ]若 PAQB 是平行四边形，则，[ （8 分）]因此（ 2﹣t ，t ﹣ 4） +（﹣ t ， t ﹣3）=（x 0﹣ t ，y 0﹣ 4+t ），整理得 x 0=2﹣t ，y 0=t ﹣3．[ （10 分） ]将上式代入，得（ 2﹣t ） 2+4（ t ﹣3）2， （ 11 分） ]=4 [整理得 5t 2﹣28t+36=0，解得 ，或 t=2．[ （13 分） ]此时 ，或 P （2，2）．经查验，切合四边形 PAQB 是平行四边形，因此存在，或 P （2，2）知足题意． [ （ 14 分） ]【评论】此题考察椭圆方程的求法， 直线与椭圆的地点关系的综合应用， 存在性问题的办理方法，考察转变思想以及计算能力．20．（ 13 分）已知函数 f （x ）=x 2lnx ﹣ 2x ．（Ⅰ）求曲线 y=f （x ）在点（ 1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在独一的 x 0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f （ x ）在点（ x 0， f （x 0））处的切线的斜率为 f （2）﹣ f （1）（Ⅲ）比较 f （）与﹣ 2.01 的大小，并加以证明．【剖析】（Ⅰ）求得 f （ x ）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可获得所求切线的方程；（Ⅱ）求得 f （2）﹣ f （1），只要证明方程 2xlnx+x ﹣2=4ln2﹣2 在区间（ 1， 2）有独一解．设函数 g （x ）=2xlnx+x ﹣4ln2，求得导数，判断单一性，联合函数零点存在定理，即可得证；（Ⅲ） f （）＞﹣，设 h （x ） =f （x ）﹣（﹣ x ﹣1）=x 2lnx ﹣x+1，求得导数，单一区间，运用单一性可得 f （ x ）＞﹣ x ﹣1（x ＞1）．【解答】 解：（Ⅰ）函数 f （x ）=x 2lnx ﹣2x 的定义域是（ 0，+∞），导函数为 f' （x ） =2xlnx+x ﹣ 2，因此 f' （1）=﹣1，又 f （ 1）=﹣2，因此曲线 y=f （x ）在点（ 1， f （1））处的切线方程为 y=﹣x ﹣1；（Ⅱ）证明：由已知 f （2）﹣ f（1）=4ln2﹣2，因此只要证明方程2xlnx+x﹣2=4ln2﹣2 在区间（ 1， 2）有独一解．即方程 2xlnx+x﹣4ln2=0 在区间（ 1，2）有独一解．设函数 g（x）=2xlnx+x﹣4ln2，则 g'（x）=2lnx+3．当 x∈（ 1，2）时， g'（x）＞ 0，故 g（ x）在区间（ 1， 2）单一递加．又 g（1）=1﹣4ln2＜0，g（2）=2＞ 0，因此存在独一的 x0∈（ 1，2），使得 g（x0）=0．综上，存在独一的 x0∈（ 1， 2），使得曲线 y=f（x）在点（ x0，f（ x0））处的切线的斜率为 f （2）﹣ f（ 1）；（Ⅲ） f（）＞﹣．证明以下：第一证明：当 x＞1 时， f（ x）＞﹣ x﹣1．设 h（x） =f（x）﹣（﹣ x﹣1）=x2lnx﹣x+1，则 h'（x）=x+2xlnx﹣1．当 x＞1 时， x﹣1＞0，2xlnx＞0，因此 h'（ x）＞ 0，故 h（x）在（ 1， +∞）单一递加，因此 x＞1 时，有 h（ x）＞ h（ 1） =0，即当 x＞1 时，有 f （x）＞﹣ x﹣1．因此 f （）＞﹣﹣1=﹣．【评论】此题考察导数的运用：求切线的方程和单一性，考察转变思想和函数零点存在定理的运用，考察结构函数法和化简整理的运算能力，属于中档题．。

北京市西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷高二数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意，求得，利用集合的交集的运算，即可得到答案.详解：由题意可得，，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合和准确把握集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 下列函数中，定义域为的单调递减函数是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据基本初等函数的性质，逐一判定即可得到答案.详解：由题意，函数在上不是单调函数，所以A不正确；函数在是单调递减函数，在上不是单调函数，所以B不正确；函数在上是单调递减函数，所以C正确；函数的定义域为，所以D不正确，综合可知，只有函数在上是单调递减函数，故选C.点睛：本题主要考查了函数的单调性的判定，其中熟记基本初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3. 在复平面内，复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】分析：利用复数的运算法则，求解，再根据复数的表示，即可得到答案.详解：由题意，复数，所以在复平面内对应点的坐标为，所以复数对应的点位于第三象限，故选C.点睛：本题主要考查了复数的运算与复数的表示，其中熟记复数的四则运算法则和复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4. 如果，那么下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据幂函数的单调性，即可判定得到答案.详解：当时，此时，但，且，所以A、C不正确；由函数为单调递增函数，当时，，所以D不正确，由函数是上的单调递增函数，所以当时，成立，所以B是正确的，故选B.点睛：本题主要考查了不等式的比较大小问题，其中熟记幂函数的单调及其应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.5. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的属于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据题意，执行循环结构的程序框图，根据二次函数的性质，求解函数的值域，即可得到结果.详解：由题意，根据给定的程序框图可知：输入，不满足判断条件，计算，满足条件，计算的值域，输出，故选D.点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．6. 已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因函数的定义域是,故,是充分条件；反之,若,则函数不一定是奇函数,不是必要条件,如函数,应选A.考点：充分必要条件.7. 若，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据对数及其对数的运算的性质，利用作差比较法，即可得到的大小关系.详解：由题意，，则，所以，又由，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查了对数式的比较大小问题，其中熟记对数的运算及对数函数的图象与性质，合理采用作差比较法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想方法的应用.8. 某电影院共有个座位.某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人， 1010人，2019人(同一所学校的学生有的看上午场，也有的看下午场，但每人只能看一-场).已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么的可能取值有( )A. 12个B. 11个C. 10个D. 前三个答案都不对【答案】A【解析】分析：由题意要保证三所学校的学生都看一场电影，则，依次验证即可得到答案.详解：由题意要保证三所学校的学生都看一场电影，则，当时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有12人在同一座位上；当时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有11人在同一座位上；当时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有1人在同一座位上；当时，则甲乙丙中学的学生可以没有人在同一座位上；所以当有取法，即有12个取值，故选A.点睛：本题主要考查了适应应用问题，其中解答中正确理解题意，合理选择方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知命题，则__________.【答案】.【解析】分析：根据全称命题和存在性命题的关系，即可作出命题的否定.详解：由题意，根据全称命题与存在性命题的关系可知：命题：“”的否定：“”.点睛：本题主要考查了命题的否定，其中熟记全称命题存在性命题的关系是正确作出改写的关键，着重考查了推理与论证能力.10. 曲线在处切线的斜率为__________.【答案】.【解析】因为，且，即函数在处的切线的斜率为.11. 当时，函数的最小值为__________.【答案】3.【解析】分析：由题意，函数化为，利用基本不等式的求解，即可得到答案.详解：由题意，函数，当且仅当，即取得等号，所以函数的最小值为.点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最小值，其中解答中熟记基本不等式的使用条件和合理对函数作出化简，构成基本不等式的使用条件是解答的关键，利用着重考查了转化思想方法，以及推理与运算能力.12. 已知实数满足，则__________.【答案】4.【解析】分析：由题意得出，再利用对数的运算公式化简，即可得到结果.详解：由题意满足，则，则.点睛：本题主要考查了实数指数幂的运算和对数的运算的综合应用，其中熟记实数指数幂的运算公式和对数的运算公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.13. 若函数则__________；使得方程有且仅有两解的实数的取值范围为__________．【答案】(1). 0.(2). .【解析】分析：要使得方程有且仅有两解，则只需使得和的图象有两个不同的交点，作出函数的图象，结合图象，即可求解.详解：由题意，函数，则，要使得方程有且仅有两解，则只需使得和的图象有两个不同的交点，作出函数的图象，如图所示，结合图象可知，要使的方程有且仅有两解，只需，即实数的取值范围是.点睛：本题考查了分段的求值和分段函数的图象的应用，其中解答中把使得方程有且仅有两解，则只需使得和的图象有两个不同的交点，作出函数的图象，是解答的关键，着重考查了数形结合思想和转化思想方法的应用.14. 某个产品有若千零部件构成，加工时需要经过6道工序，分别记为.其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工;有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系.若加工工序必须要在工序完成后才能开工，则称为的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间(单位:小时)列表如下：现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是__________小时.（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断）.【答案】8.【解析】分析：由题意，根据题意两台性能相同的生产机器同时加工该产品，确定好加工顺序，即可得到答案.详解：由题意，可确定如图所示的加工顺序，如图所示，可得用两台性能相同的生产机器同时加工该产品，要完成该产品的最短加工时间为8小时.点睛：本题主要考查了实际应用问题，其中解答中正确理解题意，分析工艺的流程，确定好加工的顺序，得出加工顺序的图形是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数，且.(Ⅰ)求的值.(Ⅱ)写出能够说明“任给，”是假命题的一组的值.【答案】(1)-1.(2) 答案不唯一，如.【解析】分析：（Ⅰ）解：由题意，解得，确定函数的解析式，即可求解；(Ⅱ)根据对数函数的图象与性质和一次函数的图象与性质，即可得出其中一组解.详解：（Ⅰ）解：由题意，所以，即.则.(Ⅱ)解：答案不唯一，如.点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质以及对数的基本运算，其中熟记对数的运算公式和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16. 已知函数，其中.(Ⅰ)若，解不等式；(Ⅱ)记不等式的解集为，若，求的取值范围.【答案】(1) ，或.(2) .【解析】分析：（Ⅰ）解：由题意，当时，得不等式，根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集；(Ⅱ) 由不等式的解集为，且，得，即，分类讨论，即可求解实数的取值范围.详解：（Ⅰ）解：由题意，得不等式，解得，或.所以不等式的解集为，或.(Ⅱ)解：因为不等式的解集为，且，所以，即当时，不等式不成立；当时，不等式等价于，解得.综上，的取值范围是.点睛：本题主要考查了一元二次不等式的解法以及一元二次函数的应用，其中熟记一元二次不等式的解法和一元二次函数的图像与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力和转化思想方法的应用.17. 设，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（Ⅰ）求满足的关系；（Ⅱ）求证:.【答案】(1) .(2)证明见解析.【解析】分析：(Ⅰ)求导，得，由题意可得，即可得到答案；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，可得函数，求得，分类讨论得出函数的单调性，即可证得结论.详解：(Ⅰ)解：求导，得.因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以.即(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，得，即.所以，.当时，得当时，，此时，函数在上单调递增，这与题意不符.当时，随着的变化，与的变化情况如下表：所以函数在，上单调递增，在上单调递减.因为函数在区间上点掉递增，在区间上单调递减，所以时符合题意.综上，.点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中熟记导函数与原函数的关系，准确运算是解答此类问题的关键，同时注意转化思想方法和数形结合思想的应用.18. 现行的个税法修正案规定：个税免征额由原来的2000元提高到3500元，并给出了新的个人所得税税率表：例如某人的月工资收入为5000元，那么他应纳个人所得税为：（元）.（Ⅰ）若甲的月工资收入为6000元，求甲应纳的个人收的税；（Ⅱ）设乙的月工资收入为元，应纳个人所得税为元，求关于的函数；（Ⅲ）若丙某月应纳的个人所得税为1000元，给出丙的月工资收入.（结论不要求证明）【答案】(1) （元）.(2) .(3) 丙的月工资收入为11275元.【解析】分析：(Ⅰ)根据题意，利用表格中的要求，即可计算甲的月工资收入为6000元，其应纳的个人所得税；(Ⅱ)根据题意，借助表格总的要求，分别计算收入在不同的范围内的应用的函数解析式，最后利用分段函数表示应纳个人所得税与的函数关系式；（Ⅲ）由（2）中的函数的解析式，即可得到丙的月工资收入.详解：(Ⅰ)解：甲的月工资收入为6000元，其应纳的个人所得税为（元）.(Ⅱ)解：当时，乙应纳个人所得税元.当时，乙应纳个人所得税元.当时，乙应纳个人所得税元.当时，乙应纳个人所得税元.所以（Ⅲ）丙的月工资收入为11275元.点睛：本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，正确理解题意，根据题设的要求，找出合适的等量关系，建立函数解析式是解答的挂念，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19. 设函数，其中.（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，证明：函数不可能存在两个零点.【答案】(1) 存在极小值，不存在极大值.(2)证明见解析.【解析】分析：(Ⅰ)由题意得，因为，所以，进而得出函数的单调性，求解函数的极值；(Ⅱ)由方程，得，由，得，得出函数的单调性与极值，即可判定函数至多在区间存在一个零点，得出结论.详解：(Ⅰ)解：求导，得，因为，所以，所以当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数.故当时，存在极小值，不存在极大值.(Ⅱ)证明：解方程，得.由，得.随着的变化，与的变化情况如下表：所以函数在，上单调递增，在上单调递减.又因为，所以函数至多在区间存在一个零点；所以，当时函数不可能存在两个零点.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.20. 已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，其中.证明：的图象在图象的下方.【答案】(1) .(2) .(3)证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算和的值，点斜式求出切线方程即可.（Ⅱ）设，并求导.将问题转化为在区间上，恒成立，或者恒成立，通过特殊值，且，确定恒成立，通过参数分离，求得实数的取值范围；(Ⅲ）设，将问题转化为证明，利用函数的导数确定函数最小值在区间，并证明. 即的图象在图象的下方.详解：解：（Ⅰ）求导，得，又因为所以曲线在点处的切线方程为（Ⅱ）设函数，求导，得，因为函数在区间上为单调函数，所以在区间上，恒成立，或者恒成立，又因为，且，所以在区间，只能是恒成立，即恒成立.又因为函数在在区间上单调递减，，所以.(Ⅲ）证明：设.求导，得.设，则（其中）.所以当时，（即）为增函数.又因为，所以，存在唯一的，使得且与在区间上的情况如下：所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以.又因为，，所以，所以，即的图象在图象的下方.点睛：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，函数的单调性与导数的关系，考查了恒成立问题的参数分离方法. 将的图象在图象的下方，通过构造新函数，转化恒成立是解题关键.。

2017西城区高二（上）期末数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0） D．（0，2）2．（5分）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．2 B． C．D．3．（5分）给出下列判断，其中正确的是（）A．三点唯一确定一个平面B．一条直线和一个点唯一确定一个平面C．两条平行线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D．空间两两相交的三条直线在同一平面内4．（5分）“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜06．（5分）下列直线中，与直线2x+y+1=0平行且与圆x2+y2=5相切的是（）A．2x+y+5=0 B．x﹣2y+5=0 C．D．7．（5分）F是抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则点P的纵坐标为（）A．±3 B． C．±2 D．±18．（5分）如图，E为正四棱锥P﹣ABCD侧棱PD上异于P，D的一点，给出下列结论：①侧面PBC可以是正三角形；②侧面PBC可以是直角三角形；③侧面PAB上存在直线与CE平行；④侧面PAB上存在直线与CE垂直．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③④C．②④D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．10．（5分）如果直线ax+2y﹣3=0与2x﹣y=0垂直，那么a等于．11．（5分）双曲线x2﹣=1的离心率是，渐近线方程是．12．（5分）一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD=DC=CB=1，，对角线．将△ACD沿AC所在直线翻折，当AD⊥BC时，线段BD的长度为．14．（5分）学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）证明：BD⊥CE．16．（13分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．17．（13分）如图，在平面ABCD中，AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，△ADE是等边三角形，AD=DC=2AB=2，F，G分别为AD，DE的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积；（Ⅲ）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．18．（13分）过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于两点C，D，与直线x=2交于点E．（Ⅰ）若直线l的斜率为2，求|CD|；（Ⅱ）设O为坐标原点，若S△ODE ：S△OCE=1：3，求直线l的方程．19．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，．M，N分别为BC和AA1的中点，P为侧棱BB1上的动点．（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若P为线段BB1的中点，求证：CN∥平面AMP；（Ⅲ）试判断直线BC1与PA能否垂直．若能垂直，求出PB的值；若不能垂直，请说明理由．20．（14分）已知抛物线y2=2x，两点M（1，0），N（3，0）．（Ⅰ）求点M到抛物线准线的距离；（Ⅱ）过点M的直线l交抛物线于两点A，B，若抛物线上存在一点R，使得A，B，N，R四点构成平行四边形，求直线l的斜率．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．【解答】由双曲线得a2=3，b2=1，则c2=a2+b2=4，则c=2，故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），故选：C2．【解答】由题意可知：椭圆的长轴长是焦距的2倍，即2a=2×2c，即a=2c，由椭圆的离心率e==，∴椭圆的离心率e=，故选D．3．【解答】在A中，不共线的三点唯一确定一个平面，故A错误；在B中，一条直线和直线外一个点唯一确定一个平面，故B错误；在C中，两条平行线与同一条直线相交，由由公理三及推论得三条直线在同一平面内，故C正确；在D中，空间两两相交的三条直线在同一平面内或在三个不同的平面内，故D错误．故选：C．4．【解答】若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为+=1，若“mn＜0”，、异号，方程+=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为+=1，此时有、异号，则必有mn＜0，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得：“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件；故选C．5．【解答】命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m没有实根，则m＜0”，故选：D6．【解答】设直线方程为2x+y+c=0，圆心到直线的距离d==，∴c=±5，故选A．7．【解答】抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l为x=﹣1，设抛物线的点P（m，n），则由抛物线的定义，可得|PF|=d（d为P到准线的距离），即有m+1=3，解得，m=2，∴n2=8，解得n=±2故选：B8．【解答】由E为正四棱锥P﹣ABCD侧棱PD上异于P，D的一点，知：在①中，当侧棱PB与底面边长相等时，侧面PBC是正三角形，故①正确；在②中，∵正四棱锥P﹣ABCD中PB=PC=PA=PD，∴当侧面PBC是直角三角形时，∠BPC=∠CPD=∠DPA=∠APB=90°，∵∠BPC=∠CPD=∠DPA=∠APB=90°不成立，故侧面PBC不可以是直角三角形，故②错误；在③中，若侧面PAB上存在直线与CE平行，则E与D点一定重合，与已知为正四棱锥P﹣ABCD侧棱PD上异于P，D的一点矛盾，故侧面PAB上不存在直线与CE平行，故③错误；在④中，侧面PAB上一定存在直线与CE垂直，故④正确．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．【解答】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．10．【解答】∵直线ax+2y﹣3=0与2x﹣y=0垂直，∴2a+2×（﹣1）=0，解得a=1．故答案为：1．11．【解答】双曲线x2﹣=1中，a=1，b=，c=2，∴e==2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2，y=．12．【解答】由三视图可得：该几何体的两个侧面都为边长为2的正方形，底面是等腰直角三角形，直三棱柱的高为2．∴该三棱柱的体积==4．故答案为：4．13．【解答】∵AD⊥BC，又∵在△ABC中，AC=，BC=1，AB=，∴AC2+BC2=AB2，可得：AC⊥BC，AD∩AC=A，∴BC⊥平面ADC，又∵BD⊂平面BCD，∴BC⊥CD，∵CD=BC=1，∴BD===．故答案为：．14．【解答】碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p＞0），则将点（a，m），（a+h，n）代入抛物线方程可得m2=2pa，n2=2p（a+h），可得2p=，∴抛物线方程为y2=x．故答案为碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；y2=x．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…（3分）因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．…（8分）因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．…（10分）又因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…（12分）又CE⊂平面PAC，所以BD⊥CE．…（13分）16．【解答】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有，即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，（2分）所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，（4分）所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（5分）（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=2符合题意．（6分）设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，则，解得，所以直线l的方程为，即4x+3y﹣2=0．（9分）综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0．（10分）17．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为F为等边△ADE的边AD的中点，所以EF⊥AD．…（2分）因为AB⊥平面ADE，AB⊂平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD．…（4分）所以EF⊥平面ABCD．…（5分）解：（Ⅱ）因为AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，所以AB∥CD，∠ADC=90°，四边形ABCD是直角梯形，…（7分）又AD=DC=2AB=2，所以，…（8分）又．所以．…（9分）（Ⅲ）结论：直线AG∥平面BCE．证明：取CE的中点H，连结GH，BH，因为G是DE的中点，所以GH∥DC，且GH=．…（11分）所以GH∥AB，且GH=AB=1，所以四边形ABHG为平行四边形，AG∥BH，…（12分）又AG⊄平面BCE，BH⊂平面BCE．所以AG∥平面BCE．…（13分）18．【解答】（Ⅰ）由已知，c=1，F（1，0），直线l的方程为y=2x﹣2．…（1分）设C（x1，y1），D（x2，y2），联立，消y得9x2﹣16x+6=0，…（3分）由韦达定理可知：，，…（4分）∴…（5分）=．∴|CD|=；…（6分）（Ⅱ）依题意，设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l的方程为y=k（x﹣1），联立，消y得（1+2k2）x2﹣4k2x+（2k2﹣2）=0，…（7分）由韦达定理可知：…①，…②…（8分）∵S△ODE ：S△OCE=1：3，∴|DE|：|CE|=1：3，，∴2﹣x1=3（2﹣x2），整理得3x2﹣x1=4…③…（10分）由①③得，，…（11分）代入②，解得k=±1，…（12分）∴直线l的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．…（13分）19．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB=AC，所以AM⊥BC．…（1分）又因为BB1∥AA1，且AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC．所以BB1⊥AM，…（3分）所以AM⊥平面BB1C1C．所以平面AMP⊥平面BB1C1C．…（5分）（Ⅱ）连结BN，交AP于Q，连结MQ，NP．因为N，P分别为AA1，BB1中点，所以AN∥BP，且AN=BP．所以四边形ANPB为平行四边形，…（7分）Q为BN中点，所以MQ为△CBN的中位线，所以CN∥MQ．…（8分）又CN⊄平面AMP，MQ⊂平面AMP，所以CN∥平面AMP．…（9分）解：（Ⅲ）假设直线BC1与直线PA能够垂直，又因为AM⊥BC1，所以BC1⊥平面APM，所以BC1⊥PM．…（10分）设PB=x，．当BC1⊥PM时，∠BPM=∠B1C1B，所以Rt△PBM∽Rt△B1C1B，所以．…（12分）因为，所以，解得．…（13分）因此直线BC1与直线PA不可能垂直．…（14分）20．【解答】（Ⅰ）由已知，抛物线y2=2x的准线方程为．所以，点M到抛物线准线的距离为．（Ⅱ）设直线l：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），由得k2x2﹣（2k2+2）x+k2=0，所以，x1x2=1．①N，R在直线AB异侧，A，B，N，R四点构成平行四边形，则AB，NR互相平分．所以，x1+x2=x R+x N，y1+y2=y R+y N，所以，，.．将（x R，y R）代入抛物线方程，得，即，解得k=0，不符合题意．②若N，R在直线AB同侧，A，B，N，R四点构成平行四边形，则AR，BN互相平分．所以，x1+x R=x2+x N，y1+y R=y2+y N，所以，x R=x2﹣x1+3，y R=y2﹣y1．代入抛物线方程，得，又，，所以，注意到，解得，y1=±1．当y1=1时，，k=﹣2；当y1=﹣1时，，k=2．所以k=±2．。

北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1 B．若a≤0，则a＞1 C．若a＞0，则a≤1D．若a≤0，则a≤12．复数z=1+2i的虚部是（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．23．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④4．抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．45．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．A1A2+B1B2=0 D．A1A2﹣B1B2=06．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是（）A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C7．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c（c＞0）．若点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=2，P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A．3 B．4 C． D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是．10．已知球O的大圆面积为S1，表面积为S2，则S1：S2= ．11．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则= ．12．已知双曲线的一个焦点是（2，0），则b= ；双曲线渐近线的方程为．13．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是．14．已知曲线C的方程是x4+y2=1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．16．如图，已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，求m的值．17．如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．19．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．20．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1 B．若a≤0，则a＞1 C．若a＞0，则a≤1D．若a≤0，则a≤1【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】把原命题“若a＞1，则a＞0”的题设和结论互换，就得到原命题的逆命题．【解答】解：互换原命题“若a＞1，则a＞0”的题设和结论，得到它的逆命题是“若a＞0，则a＞1”，故选：A．【点评】本题考查四种命题，解题的关键是熟练掌握四种命题的相互转换和它们之间的相互关系．属基础题．2．复数z=1+2i的虚部是（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2【考点】复数的基本概念．【专题】阅读型；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数的概念得答案．【解答】解：由复数概念知，复数z=1+2i的虚部是2．故选：D．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础的会考题型．3．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；运动思想；综合法；简易逻辑．【分析】由空间中点、线、面的位置关系逐一核对四个命题得答案．【解答】解：①平行于同一个平面的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故①错误；②垂直于同一个平面的两个平面有两种可能的位置关系：平行、相交，故②错误；③由平行公理可知：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故③正确；④垂直于同一条直线的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故④错误．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中点、线、面的位置关系，是基础题．4．抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的简单性质求解即可．【解答】解：抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是：p=1．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．5．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．A1A2+B1B2=0 D．A1A2﹣B1B2=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】结合直线垂直的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直⇔A1A2+B1B2=0，故两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是A1A2+B1B2=0，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线垂直的条件是解决本题的关键．6．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是（）A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可证AC⊥平面BDD1，利用线面垂直的性质即可证明AC⊥BD1．【解答】解：∵如图，连接BD，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC，∴AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．故选：C．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．7．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c（c＞0）．若点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；作图题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作椭圆，从而可得|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，从而可得|PF1|•|PF2|=2b2，再由三角形的面积公式求得．【解答】解：由题意作图如右，∵|PF1|+|PF2|=2a，又∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴|PF1|•|PF2|===2b2，设点P到x轴的距离为d，则|PF1|•|PF2|=|F1F2|•d，故2b2=2cd，故d=，故选：B．【点评】本题考查了椭圆的定义的应用及数形结合的思想应用，同时考查了等面积的应用．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=2，P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A．3 B．4 C． D．5【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【专题】计算题；运动思想；分割补形法；立体几何．【分析】由题意画出图形，把问题转化为从小长方体PMNG﹣A1HQD1的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．分类剪展求出最小值，求最小值中的最小者得答案．【解答】解：如图，∵P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，∴问题可转化为从小长方体PMNG﹣A1HQD1的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．共有三种剪展方法：沿QH剪开再展开，此时最短距离为l=；沿QN剪开再展开，此时最短距离为l=；沿QD1剪开再展开，此时最短距离为l=．∴从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为．故选：B．【点评】本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查分类讨论和数形结合的解题思想方法，想到剪展的所有情况是解题的关键，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是∃x∈R，x2﹣1≤0．【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；对应思想；转化法；简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是：∃x∈R，x2﹣1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣1≤0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．10．已知球O的大圆面积为S1，表面积为S2，则S1：S2= 1：4 ．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】利用球的面积公式，直接求解即可．【解答】解：设球的半径为r，所以大圆面积S1=πr2，表面积S2=4πr2，所以S1：S2=1：4故答案为：1：4．【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．11．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则= ﹣1+2i ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；图表型；方程思想；数系的扩充和复数．【分析】由图形得到复数z1=﹣2﹣i，z2=i，代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由图可知，z1=﹣2﹣i，z2=i，∴=．故答案为：﹣1+2i．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．12．已知双曲线的一个焦点是（2，0），则b= ；双曲线渐近线的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的一个焦点是（2，0），求出b，即可求出双曲线渐近线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点是（2，0），∴1+b2=4，∵b＞0，∴b=，又a=1，∴双曲线渐近线的方程为故答案为：，【点评】本题考查双曲线渐近线的方程，考查学生的计算能力，正确求出b是关键．13．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是4．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】应用题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，故左视图是长方形，长为2，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，∴左视图是长方形，长为=2，宽为2，∴左视图的面积是2×2=4，故答案为：【点评】本题考查空间图形的三视图，是一个基础题，考查的内容比较简单，解题时要认真审题，仔细解答14．已知曲线C的方程是x4+y2=1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是①③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；对应思想；简易逻辑；推理和证明．【分析】分析关于原点对称的两个点（x，y）点（﹣x，﹣y），是否都在曲线上，可判断①；分析关于直线y=x对称的两个点（x，y）点（y，x），是否都在曲线上，可判断②；求出曲线C所围成的区域面积，可判断③．【解答】解：将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4+x2=1与原方程不同，故②错误；在曲线C上任取一点M（x0，y0），x04+y02=1，∵|x0|≤1，∴x04≤x02，∴x02+y02≥x04+y02=1，即点M在圆x2+y2=1外，故③正确；故正确的结论的序号是：①③，故答案为：①③【点评】本题考查的知识点是曲线Cx4+y2=1的图象和性质，对称性的判断，面积的求解，难度中档．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】规律型；数形结合；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连结BD．证明PD⊥BD，在直角三角形PDB中，求解PB即可．（Ⅱ）说明△PDA，△PDC为全等的直角三角形，利用四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2S△PDA+2S△PAB+S正方形ABCD求解即可．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：连结BD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BD．因为底面ABCD是正方形，AB=2，所以．在直角三角形PDB中，．（Ⅱ）解：因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，从而△PDA，△PDC为全等的直角三角形，所以．由（Ⅰ）知，所以 AB2+PA2=PB2=BC2+PC2，从而△PAB，△PCB为全等的直角三角形．所以，四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2S△PDA+2S△PAB+S正方形ABCD==．【点评】本题考查几何体的表面积，点、线、面距离的求法，考查计算能力．16．如图，已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，求m的值．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）由两点间距离公式求出圆C的半径，由此能求出圆C的方程．（Ⅱ）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，从在则，由勾股定理求出CD，由点到直线的距离公式求出CD，由此能求出m．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：∵圆心为C（4，3）的圆经过原点O，∴圆C的半径，∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=25．（Ⅱ）解：∵直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，∴．在直角三角形ADC中，．由点到直线的距离公式，得，∴，解得m=±15．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．17．如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】规律型；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O，连接EO．证明EO∥QB，即可证明QB∥平面AEC．（Ⅱ）证明CD⊥AE，AE⊥QD．推出AE⊥平面QDC，然后证明平面QDC⊥平面AEC．（Ⅲ）通过多面体ABCEQ为四棱锥Q﹣ABCD截去三棱锥E﹣ACD所得，计算求解即可．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接EO．因为 E，O分别为QD和BD的中点，则EO∥QB．又 EO⊂平面AEC，QB⊄平面AEC，所以QB∥平面AEC．（Ⅱ）证明：因为矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，所以CD⊥平面ADPQ．又AE⊂平面ADPQ，所以CD⊥AE．．因为AD=AQ，E是QD的中点，所以AE⊥QD．所以AE⊥平面QDC．所以平面QDC⊥平面AEC．（Ⅲ）解：多面体ABCEQ为四棱锥Q﹣ABCD截去三棱锥E﹣ACD所得，所以．【点评】本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查计算能力．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，所以，解得p=1，所以抛物线的方程为y2=2x．（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=k（x﹣2）代入y2=2x，消去y整理得 k2x2﹣2（2k2+1）x+4k2=0．所以 x1x2=4．由，，两式相乘，得，注意到y1，y2异号，所以 y1y2=﹣4．所以直线OM与直线ON的斜率之积为，即OM⊥ON．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，韦达定理的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．19．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取FC中点N，推导出DN∥EF，MN∥A1F，由此能证明DM∥平面A1EF．（Ⅱ）推导出EF⊥平面A1BD，从而A1B⊥EF，假设A1B⊥CD，则A1B⊥平面BCD，A1E⊥平面BCD，与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，从而直线A1B与直线CD不能垂直．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）取FC中点N．在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，所以DN∥EF．在图2中，由M，N分别为A1C，FC中点，所以MN∥A1F，所以平面DMN∥平面A1EF，所以DM∥平面A1EF．解：（Ⅱ）直线A1B与直线CD不可能垂直．因为平面A1BD⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，所以A1B⊥EF．假设有A1B⊥CD，注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，则有A1B⊥平面BCD．（1）又因为平面A1BD⊥平面BCD，A1E⊂平面A1BD，A1E⊥BD，所以A1E⊥平面BCD．（2）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，所以直线A1B与直线CD不可能垂直．【点评】本题考查线面平行的证明，考查两直线是否垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程．（Ⅱ）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，消去y，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，通过BP⊥BQ，化简求出5m2﹣2m﹣3=0，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1，将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，解得x，设 P（x1，y1），转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c．依题意，得b=1，且，解得 a2=4．所以，椭圆C的方程是．（Ⅱ）证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．①因为BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，所以，整理得 x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1=0．②因为 y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以 y1+y2=k（x1+x2）+2m，．③将③代入②，整理得．④将①代入④，整理得 5m2﹣2m﹣3=0．解得，或m=1（舍去）．所以，直线PQ恒过定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1．将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，得（1+4k2）x2+8kx=0．解得 x=0，或．设 P（x1，y1），所以，，所以．以替换点P坐标中的k，可得．从而，直线PQ的方程是．依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．在上述方程中，令x=0，解得．所以，直线PQ恒过定点．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，难度比较大，是压轴题．。

2017-2018年北京市西城区高二数学第一学期期末考试模拟卷2018.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.下列命题中的真命题是（ ）A ．10x x ∀∈+>R ，B ．21x x ∀∈-R ，≥0C ．||10x x ∃∈+<R ，D ．2x x ∃∈R ，≤02. 设抛物线的焦点为(2,0)F -，则抛物线的标准方程是（ ）A ．28y x =-B ．28x y =-C ．24y x =-D ．24x y =-3. 已知向量(1,,2)m =a ，(2,1,2)=--b ，且1cos ,3〈〉=a b ，那么实数m =（ ）A ．4-B ．4C ．14D ．14-4. “0mn <”是“方程表示双曲线”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5. 若椭圆221y x k+=的离心率是12，则实数k 的值是（ ）A ．3或13B ．43或34C ．2或12D ．23或326. 在长方体1111ABCD A BC D -中，AB =11AA =，那么11A B CC ⋅=（ ）A ．1BC ．1-D．7. 已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且AB AC ==2BC =，则二面角A BC D --的大小是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒221mx ny +=8.已知命题“()()p q ⌝∨⌝”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p q ∧”是真命题；②命题“p q ∧”是假命题； ③命题“p q ∨”是真命题；④命题“p q ∨”是假命题. 其中正确的结论为（ ） A ．①、③B ．②、③C ．①、④D ．②、④9.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,0,2)A ，(0,2,1)B .点C ，D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD的最小值是（ ）A B C D 10.设椭圆22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆上，且121PF PF ⋅= ，那么点P 到椭圆中心的距离是（ ）A ．32B C D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11．命题“x ∃∈R ，210x x -->”的否定是：__________________． 12．已知向量(3,4,5)=a ，(0,0,1)=b ，那么,〈〉=a b _______.13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为___________．14．已知椭圆2212y x +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆上，且112P F FF ⊥，则2PF =______.15．已知平面α的一个法向量是(1,1,1)=-n ，且平面α经过点(1,2,0)A .若(,,)P x y z 是平面α上任意一点，则点P 的坐标满足的方程是________________.16．已知两点(10)A ，，(0)B b ，．如果抛物线24y x =上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，那么实数b =________．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程是12x =-，直线20x y --=与抛物线相交于M ，N 两点.（1）求抛物线的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OM ON ⊥.18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===.（1）求直线1AC 和11A B 所成角的大小； （2）求直线1AC 和平面11ABB A 所成角的大小.19．（本小题满分12分）已知两点1(2,0)F -，2(2,0)F ，曲线1C 上的动点P 满足1212PF PF F +=.（1）求曲线1C 的方程；（2）设曲线2C 的方程为(0)x y m m +=>，当1C 和2C 有四个不同的交点时，求实数m 的取值范围.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上． 1．若直线250x y --=与直线30x ay ++=相互垂直，则实数a =____________.2．大圆周长为4π的球的表面积为____________．3．圆 224x y +=在点处的切线方程为________________. 4．如图，一个四面体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，且等腰直角三角形的直角边长为1，则该四面体四个面的面积中，最大的是______________．5. 如图，设点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1（不含各棱）的表面上，如果点P 到棱1CC 与11A B 的距离相等，则称点P 为“Γ点”. 给出下列四个结论：○1 在四边形11BCC B 内存在有限．．个“Γ点”；○2 在四边形11BCC B 内存在无穷．．多．个“Γ点”； ○3 在四边形1111A B C D 内存在无穷．．多．个“Γ点”； ○4在四边形11CDDC 内不存在．．．“Γ点”. 其中，所有正确的结论序号是_____________.二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 6．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 内有三个定点(2, 2),(1, 3),(1, 1)A B C ，记ABC ∆的外接圆为E .（Ⅰ）求圆E 的方程；（Ⅱ）若过原点O 的直线l 与圆El 的方程.俯视图正(主)视图侧(左)视图7. （本小题满分10分）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABM ；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小.8．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 内有两个定点(,0)6,0)M N ，动点P 满足||||2P M P N +=记点P 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）判断是否存在点P ，使得||,||,||PM MN PN 成等比数列？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设点A ，B 是曲线C 上的两点，且8||=3AB ，求∆AOB 面积的取值范围.BCD ∆MCD ∆MCD ⊥BCD AB ⊥BCD AB =AM BCD B DCMA高二数学（理科）参考答案及评分标准2018.1A 卷 [选修模块2-1]一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．D ； 2．A ； 3．D ； 4．C ； 5．B ； 6．C ； 7．C ； 8．A ； 9．B ； 10．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．x ∀∈R ，21x x --≤0； 12．45︒； 13．(4,0)±，y =；14．2；15．30x y z +--=； 16．5或13-．注：13题每空2分；16题少解给2分，有错解不给分．三、解答题：本大题共3小题，共36分．（如有其它方法，仿此给分） 17．（本小题满分12分）（1）解：因为抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-，所以1p =，所以抛物线的方程为22y x =.………………5分 （2）证明：将2x y =+代入22y x =，消去x 整理得2240y y --=. ………………7分设11(,)M x y ，22(,)N x y .因为点M ，N 的纵坐标1y 与2y 是上述方程的两个根，所以124y y =-.由2112y x =，2222y x =，两式相乘，得2212124y y x x =，所以21212()44y y x x ==. ………………10分 因为12120OM ON x x y y ⋅=+=， 所以OM ON ⊥ ，即OM ON ⊥.………………12分 18．（本小题满分12分）解：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ，又AC BC ⊥，故CA ，CB ，1CC 两两垂直.如图，以C 为原点，CA ，CB ，1CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系. …………1分 则(2,0,0)A ，1(2,0,2)A ，1(0,0,2)C ，1(0,2,2)B .所以1(2,0,2)AC =- ，11(2,2,0)AB =- . …………3分 因为 1111111111cos ,2AC A B AC A B AC A B ⋅〈〉==， ………………5分所以直线1AC 和11A B 所成角的大小是60︒. ………………6分（2）设平面11ABB A 的一个法向量是(,,)a b c =n ，则110AB ⋅= n ，10AA ⋅=n ，即220,20,a b c -+=⎧⎨=⎩取1a =，得(1,1,0)=n .……………8分设直线1AC 与平面11ABB A 所成的角为θ，其中0θ︒<≤90︒. 因为 111||1sin cos 2||||AC AC AC θ⋅=〈〉==，n n n ，………………11分 所以 30θ=，即直线1AC 与平面11ABB A 所成角的大小是30. ………………12分19．（本小题满分12分）解：（1）依题意12PF PF +=124FF =，且12F F < 所以曲线1C 是以1(2,0)F -，2(2,0)F为焦点，长轴长为.………………2分设椭圆1C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其半焦距为(0)c c >.因为2a =，24c =，2224b a c =-=，所以曲线1C 的方程为22184x y +=.………………5分 （2）因为曲线2C 的方程为(0)x y m m +=>，所以当0,x y >≥0时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m +=>；当x ≤0,0y >时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m -+=>； 当0,x y <≤0时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m --=>； 当x ≥0,0y <时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m -=>.所以曲线2C 是以(,0)m ，(0,)m ，(,0)m -，(0,)m -四个点为顶点的正方形.…… 7分 因为 曲线1C 和2C 有四个不同的交点，且曲线1C 、2C 均是关于x 轴、y 轴对称的曲线， 所以曲线(0)x y m x m +=<≤与1C 有且仅有一个交点.所以方程组22(0),184x y m x m x y +=<≤⎧⎪⎨+=⎪⎩有且仅有一组解，即关于x 的方程2234280x mx m -+-=在区间(0,]m 内有且仅有一个实数根0x .9分设22()3428f x x mx m =-+-.情形①22012(28)0,0,m m x m ∆⎧=16--=⎨<≤⎩解得m =………………10分情形②0,(0)0,()0,m f f m >⎧⎪>⎨⎪<⎩解得2m <<………………11分所以 实数m的取值范围是m =2m <<………………12分 注：如果学生通过数形结合，画图得出正确结果，请相应给分.。

北京市西城区2017—2018学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）2018．1试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．直线0x y -的倾斜角为（ ）． A ．30︒【答案】B【解析】斜率为1，则直线的倾斜角为45︒．B ．45︒C ．60︒D ．135︒2．命题“对任意3x >，都有ln 1x >”的否定是（ ）．A ．存在3x >，使得ln 1x >B ．对任意3x >，都有ln 1x ≤C ．存在3x >，使得ln 1x ≤D ．对任意3x ≤，都有ln 1x >【答案】C【解析】“对任意3x >，都有ln 1x >”全称的否定是存在3x >，使得ln 1x ≤．3．双曲线221x y -=的焦点到其渐近线的距离为（ ）．A ．1BC ．2D 【答案】A【解析】 双曲线的焦点坐标为()，渐近线方程为0x y ±=，则焦点到其渐近线的距离1d =．4．设α，β是两个不同的平面，a ，b ，c 是三条不同的直线，（ ）．A ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ∥B ．若a α∥，b α∥，则a b ∥C ．若a b ⊥，a α⊥，则b α∥D ．若a α⊥，a β⊥，则αβ∥【答案】D【解析】 对于A ，a 和c 可能平行或者垂直或者异面或者相交，错误； 对于B ，a 与b 可能平行或相交或垂直，错误； 对于C ，b 可能在平面α内，错误．5．“方程221x y m n+=表示的曲线为椭圆”是“0m n >>”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“方程221x y m n+=表示的曲线为椭圆”仅能得出0m >，0n >，充分性不成立；反之若“0m n >>”，显然“方程221x y m n+=表示的曲线为椭圆”成立，必要性成立．6．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，若l α∥，l β∥，m αβ=，则（ ）．A ．l 与m 平行B ．l 与m 相交C ．l 与m 异面D ．l 与m 垂直【答案】A【解析】若直线平行分别平行于两个平面，则直线与这两个平面的交线平行．7．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线3:=2l x -，若过焦点F 的直线与抛物线C 相交于,A B 两点，则以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系为（ ）． A ．相交 C ．相离 B ．相切D ．以上三个答案均有可能【答案】C【解析】易知焦点坐标()1,0F ，当直线斜率不存在时，根据抛物线的定义可知4AB =，522r =<，此时位置关系为相离，直线斜率存在时设过直线的方程()1y k x =-，联立抛物线和直线的方程：24y kx ky x =-⎧⎨=⎩，消去y 可得：()2222240k x k x k -++=，显然0k ≠，0∆>显然成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224k x x k ++=，21221k x x k==，()121242y y k x x k +=+-=，则圆心为AB 中点2222,k G kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，G 到直线l的距离222235222k d k k+=+=+，AB222441k k k +===+， ∵21222AB r d k ==+<， ∴综上所述直线与圆相离．8．设a 为空间中的一条直线，记直线a 与正方体1111ABCD A B C D -的六个面所在的平面相交的平面个数为m ，则m 的所有可能取值构成的集合为（ ）． A ．{2,4} B ．{2,6}C ．{4,6}D ．{2,4,6}【答案】D【解析】如图所示在一个正方体中：穿过正方体且平行于底面和侧面的直线a 与两个面相交， 任意面对角线例如b 与四个面相交，正方体体对角线例如c 与正方体有六个面相交，则集合为{}2,4,6．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．命题“若220a b -=，则a b =”的逆否命题为__________．【答案】若a b ≠，则220a b -≠【解析】“若220a b -=，则a b =”的逆命题为“若a b =，则220a b -=”， “若a b =，则220a b -=”的否命题为“若a b ≠，则220a b -≠”． 10．经过点(2,1)M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为__________． 【答案】350x y +-=【解析】与直线380x y -+=垂直的直线方程为30x y a ++=，(2,1)M 在直线上， ∴230a ++=，解得5a =-，故直线方程为350x y +-=．11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的体积为__________．侧视图正视图俯视图【答案】1【解析】易知底面为俯视图面积，高为2，故体积为()111212123+⨯⨯⨯⨯=．12．在ABC △中，3AB =，4BC =，AB BC ⊥．以BC 所在的直线为轴将ABC △旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为__________． 【答案】15π【解析】易知旋转成的圆锥底面半径为3，斜高为5，根据计算公式可知侧面积为ππ3515πS rl ==⨯⨯=．13．若双曲线C 的一个焦点在直线:43+200l x y -=上，一条渐近线与l 平行，且双曲线C 的焦点在x 轴上，则双曲线C 的标准方程为__________；离心率为__________．【答案】221916x y -=，53【解析】双曲线C 的一个焦点在直线:43+200l x y -=上且焦点在x 轴上， 则有4200F x +=，可知其中一焦点坐标()5,0F -，故5c =， 又其中一条渐近线方程为43b y x x a ==，又222a b c +=， 解得3a =，4b =，∴双曲线方程为221916x y -=，53c e a ==．14．在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点(1,0)A 和点(1,0)B -的距离之积等于2的所有点组成的．对于曲线C ，有下列四个结论：○1曲线C 是轴对称图形； ○2曲线C 是中心对称图形； ○3曲线C 上所有的点都在单位圆221x y +=内；○4曲线C 上所有的点的纵坐标11,22y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． 其中，所有正确结论的序号是_____．【答案】○1○2【解析】根据题意设曲线上任一点(),C x y 20=，即为曲线C 的方程，记曲线方程为(),F x y ， 易知()()()(),,,,F x y F x y F x y F x y -=-=--=，即曲线方程关于0x =，0y =，()0,0对称·，则①②均正确；对于③，若0y =2=，则212x -=，即23x =，此时22301x y +=+>，显然在单位圆221x y +=外，错误；对于④，当0x =时，2=，解得1y =±，显然不在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦区间内，错误．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点．DC 1B 1A 1CBA（1）求证：CD ⊥平面11ABB A ． （2）求证：1BC ∥平面1A CD ．解：（1）证明：因为正三棱柱111ABC A B C -，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥，1AA ⊥底面ABC ．…………………1分 又因为CD ⊂底面ABC ，所以1AA CD ⊥．…………………3分 又因为1AA AB A =，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A ．…………………6分 （2）证明：连接1AC ，设11AC AC O =，连接OD ，…………………7分O ABCA 1B 1C 1D由正三棱柱111ABC A B C -，得1AO OC =， 又因为在1ABC △中，AD DB =， 所以1OD BC ∥，…………………10分 又因为1BC ⊄平面1A CD ，OD ⊂平面1A CD ， 所以1BC ∥平面1A CD ．…………………13分16．（本小题满分13分） 已知圆22:680C x y x y m +--+=，其中m ∈R ．（1）如果圆C 与圆221x y +=相外切，求m 的值．（2）如果直线30x y +-=与圆C相交所得的弦长为m 的值．解：（1）解：将圆C 的方程配方，得22(3)(4)25x y m -+-=-，…………………1分 所以圆C 的圆心为(3,4)，半径(25)r m =<．…………………3分因为圆C 与圆221x y +=相外切，1=………5分 解得9m =．…………………7分（2）解：圆C 的圆心到直线30x y +-=的距离d ==．………………9分因为直线30x y +-=与圆C相交所得的弦长为所以由垂径定理，可得22225r m =-=+，…………………11分 解得10m =．…………………13分17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为1AA 的中点．C 1B 1BCEA A 1D 1D（1）求四棱锥1C AEB B -的体积．（2）求证：1BC C E ⊥．（3）判断线段1B C 上是否存在一点M （与点C 不重合），使得C ，D ，E ，M 四点共面？（结论不要求证明）解（1）解：因为1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以1AA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥，1AA AB A =，所以AD ⊥平面11ABB A ．…………………1分 因为//AB CD ，所以四棱锥1C AEB B -的体积：1113C AEB B AEB B V S AD -=⋅⋅…………………2分11(12)21132⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦．……………4分【注意有文字】 （2）证明：在底面ABCD 中，因为AB CD ∥，AB AD ⊥，1AD CD ==，2AB =，所以AC =BC =所以222AB AC BC =+，即BC AC ⊥．…………………6分因为在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ， 所以1CC BC ⊥， 又因为1CC AC C =，所以BC ⊥平面1CAEC ，…………………8分 又因为1C E ⊂平面1CAEC ，所以1BC C E ⊥．…………………10分（3）答：对于线段1B C 上任意一点M （与点C 不重合），C ，D ，E ，M 四点都不共面．…………………13分18．（本小题满分13分）设F 为抛物线2:2C y x =的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两个动点． （1）若直线AB 经过焦点F ，且斜率为2，求||AB ．（2）若直线:40l x y -+=，求点A 到直线l 的距离的最小值．（1）解：由题意，得1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为122y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-．…………………2分由22122y x y x ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩=-=消去y ，得24610x x -+=．…………………3分 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0∆>，且1232x x +=，1214x x =，…………………5分所以125|||2AB x x =-==．…………………7分（2）解：设00(,)A x y ， 则点A 到直线l距离d =．…………………8分由A 是抛物线C 上的动点，得202y x =，…………………9分所以2200041)7d y y y -+=-+，…………………11分 所以当01y =时，min d =即点A 到直线l的距离的最小值4．…………………13分19．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ．FEDCBA（1）求证：平面ACF⊥平面BDEF．（2）若过直线BD的一个平面与线段AE和AF分别相交于点G和H（点G与点A，E 均不重合），求证：EF GH∥．（3）判断线段CE上是否存在一点M，使得平面BDM∥平面AEF？若存在，求EM EC的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AC BD⊥．………………1分又因为平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF平面ABCD BD=，且AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF．………………3分又因为AC⊂平面ACF，所以平面ACF⊥平面BDEF．………………5分（2）证明：HGABCDEF由题意，EF BD∥，EF⊄平面BDGH，BD⊂平面BDGH，所以EF∥平面BDGH，………………7分又因为EF ⊂平面AEF ，平面AEF 平面BDGH GH =，所以EF GH ∥．………………9分（3）答：线段CE 上存在一点M ，使得平面BDM ∥平面AEF ，此时12EM EC =．……10分 以下给出证明过程．证明：设CE 的中点为M ，连接DM ，BM ，设AC BD O =，连接OM ，OMACD EF因为BD EF ∥，BD ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BD ∥平面AEF ．………………11分 在ACE △中，因为OA OC =，EM MC =， 所以//OM AE ，又因为OM ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， 所以OM ∥平面AEF ．………………13分 又因为OMBD O =，,OM BD ⊂平面BDM ，所以平面BDM ∥平面AEF ．………………14分20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1 (0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为0)3．点P 为圆22: 13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切． （1）解：由题意，知c =，3c a=…………………1分所以3a =，2b ==，…………………3分所以椭圆C 的标准方程为22 1 94x y +=．…………………4分（2）证明：由题意，点B 在圆M 上，且线段AB 为圆M 的直径，所以PA PB ⊥．…………………5分当直线PA x ⊥轴时，易得直线PA 的方程为3x =±， 由题意，得直线PB 的方程为2y =±， 显然直线PB 与椭圆C 相切．同理当直线PA x ∥轴时，直线PB 也与椭圆C 相切．…………………7分 当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时，设点00(),P x y ，直线PA 的斜率为k ，则0k ≠，直线PB 的斜率1k-，所以直线PA ：00()y y k x x -=-，直线PB ：00()1y y x x k-=--，…………9分 由0022()194y y k x x x y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩消去y ， 得2220000(94)18()9()360k x y kx kx y kx ++-+--=．…………………11分因为直线PA 与椭圆C 相切，所以22210000[18()]4(94)[9()36]0y kx k k y kx ∆=--+--=，整理，得22210000144[(9)24]0x k x y k y ∆=---+-=．①……………12分 同理，由直线PB 与椭圆C 的方程联立，得2220000211144(9)24x x y y k k ⎡⎤∆=--++-⎢⎥⎣⎦．②因为点P 为圆22: 13M x y +=上任意一点，所以220013x y +=，即220013y x =-．代入①式，得2220000(9)2(9)0x k x y k x --+-=，代入②式，得222200002144[(9)2(4)]x x y k y k k∆=--++- 22200002144[(9)2(9)]x x y k x k k =--++- 22200002144[(9)2(9)]x k x y k x k =--+- 0=．所以此时直线PB 与椭圆C 相切．综上，直线PB 与椭圆C 相切．…………………14分北京市西城区2017—2018学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2018．1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．B2．C3．A4．D5．B6．A7．C8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若a b ≠，则220a b -≠ 10．350x y +-=11．1 12．15π13．221916x y -=，5314．○1○2注：第13题第一空3分，第二空2分；第14题多选、少选或错选均不得分． 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分13分）（1）证明：因为正三棱柱111ABC A B C -，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥，1AA ⊥底面ABC ．…………………1分 又因为CD ⊂底面ABC ，所以1AA CD ⊥．…………………3分又因为1AA AB A =，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A ．…………………6分 （2）证明：连接1AC ，设11AC AC O =，连接OD ，…………………7分由正三棱柱111ABC A B C -，得1AO OC =， 又因为在1ABC △中，AD DB =， 所以1OD BC ∥，…………………10分 又因为1BC ⊄平面1A CD ，OD ⊂平面1A CD ， 所以1BC ∥平面1A CD ．…………………13分16．（本小题满分13分）（1）解：将圆C 的方程配方，得22(3)(4)25x y m -+-=-，…………………1分 所以圆C 的圆心为(3,4)，半径(25)rm =<．…………………3分因为圆C 与圆221x y +=相外切，1=………5分 解得9m =．…………………7分（2）解：圆C 的圆心到直线30x y +-=的距离d ==．………………9分因为直线30x y +-=与圆C 相交所得的弦长为所以由垂径定理，可得22225r m =-=+，…………………11分 解得10m =．…………………13分17．（本小题满分13分）（1）解：因为1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以1AA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥，1AA AB A =，所以AD ⊥平面11ABB A ．…………………1分 因为//AB CD ，所以四棱锥1C AEB B -的体积：1113C AEB B AEB B V S AD -=⋅⋅四边形…………………2分11[(12)2]1132=⨯⨯+⨯⨯=．……………4分【注意有文字】 （2）证明：在底面ABCD 中，因为AB CD ∥，AB AD ⊥，1AD CD ==，2AB =，所以AC =BC =所以222AB AC BC =+，即BC AC ⊥．…………………6分因为在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ， 所以1CC BC ⊥， 又因为1CC AC C =，所以BC ⊥平面1CAEC ，…………………8分 又因为1C E ⊂平面1CAEC ，所以1BC C E ⊥．…………………10分（3）答：对于线段1B C 上任意一点M （与点C 不重合），,,,C D E M 四点都不共面．…………………13分18．（本小题满分13分）（1）解：由题意，得1(,0)2F ，则直线AB 的方程为12()2y x =-．…………………2分由2212(),2,y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩=-=消去y ，得24610x x -+=．…………………3分 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0∆>，且1232x x +=，1214x x =，…………………5分所以125|||2AB x x =-==．…………………7分（2）解：设00(,)A x y ， 则点A 到直线l距离d =．…………………8分由A 是抛物线C 上的动点，得202y x =，…………………9分所以2200014||(1)7|2d y y y -+=-+，…………………11分 所以当01y =时，min d =即点A 到直线l…………………13分19．（本小题满分14分）（1）证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥．………………1分又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =，且AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面BDEF ．………………3分 又因为AC ⊂平面ACF ，所以平面ACF ⊥平面BDEF ．………………5分（2）证明：由题意，EF BD ∥，EF ⊄平面BDGH ，BD ⊂平面BDGH ， 所以EF ∥平面BDGH ，………………7分又因为EF ⊂平面AEF ，平面AEF 平面BDGH GH =，所以EF GH ∥．………………9分（3）答：线段CE 上存在一点M ，使得平面BDM ∥平面AEF ，此时12EM EC =．……10分 以下给出证明过程．证明：设CE 的中点为M ，连接DM ，BM ， 因为BD EF ∥，BD ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BD ∥平面AEF ．………………11分 设ACBD O =，连接OM ，在ACE ∆中，因为OA OC =，EM MC =， 所以//OM AE ，又因为OM ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， 所以OM ∥平面AEF ．………………13分 又因为OMBD O =，,OM BD ⊂平面BDM ，所以平面BDM ∥平面AEF ．………………14分20．（本小题满分14分） （1）解：由题意，知c =，3c a=，…………………1分所以3a =，2b ==，…………………3分F BC M EAHD OG所以椭圆C 的标准方程为22 1 94x y +=．…………………4分（2）证明：由题意，点B 在圆M 上，且线段AB 为圆M 的直径，所以PA PB ⊥．…………………5分当直线PA x ⊥轴时，易得直线PA 的方程为3x =±， 由题意，得直线PB 的方程为2y =±， 显然直线PB 与椭圆C 相切．同理当直线PA x ∥轴时，直线PB 也与椭圆C 相切．…………………7分 当直线PA 与x 轴既不平行也不垂直时，设点00(),P x y ，直线PA 的斜率为k ，则0k ≠，直线PB 的斜率1k-，所以直线PA ：00()y y k x x -=-，直线PB ：00()1y y x x k-=--，…………9分 由0022(),1,94y y k x x x y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩消去y ，得2220000(94)18()9()360k x y kx kx y kx ++-+--=．…………………11分因为直线PA 与椭圆C 相切，所以22210000[18()]4(94)[9()36]0y kx k k y kx ∆=--+--=，整理，得22210000144[(9)24]0x k x y k y ∆=---+-=．①……………12分 同理，由直线PB 与椭圆C 的方程联立，得2220000211144[(9)24]x x y y k k∆=--++-．②因为点P 为圆22: 13M x y +=上任意一点，所以220013x y +=，即220013y x =-．代入①式，得2220000(9)2(9)0x k x y k x --+-=，代入②式，得222200002144[(9)2(4)]x x y k y k k∆=--++- 22200002144[(9)2(9)]x x y k x k k =--++- 22200002144[(9)2(9)]x k x y k x k =--+- 0=．所以此时直线PB 与椭圆C 相切．综上，直线PB与椭圆C相切．…………………14分。

北京市西城区（南片）普通中学2017-2018学年度第二学期高二数学（文科）期末综合测试题满分：150分 时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．设集合{,}A a b =，则满足{,,}A B a b c =的不同集合B 共有（ ）（A ）1 个 （B ）2个（C ）3个（D ）4个2．“0a b >>”是“11a b<”的（ ） （A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不是充分条件也不是必要条件3．已知函数10x y =的反函数为()y f x =，那么1()100f =（ ） （A ）2 （B ）2-（C ）1（D ）1-4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且50S >，那么下列结论中一定正确的是（ ） （A ）30a < （B ）30S < （C ）30a > （D ）30S >5．设c ∈R ，函数2()2f x x x c =-+．关于函数()f x 的下述四个中，真为（ ） （A ）(0)(2)f f > （B ）(0)(2)f f <（C ）()1f x c ≥- （D ）()1f x c ≤-6．已知数列{}n a 的前n 项和3(2)2n n S a =-，1,2,3,n =，那么n a =（ ）（A ）33n- （B ）23n⋅ （C ）123n -⋅（D ）133n +-7．函数21()log f x x x =-+的零点所在的区间是（ ） （A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2 （C ）3(1,)2（D ）3(,2)28．设集合A ⊆R ，如果实数0x 满足：对0r ∀>，总x A ∃∈，使得00||x x r <-<，则称0x 为集合A 的聚点．给定下列四个集合： ① Z ； ② {|0}x x ∈≠R ； ③ {|1n n n ∈+Z ，0}n ≥； ④ 1{|n n∈Z ，0}n ≠． 上述四个集合中，以0为聚点的集合是（ ） （A ）①、③（B ）②、③（C ）①、④（D ）②、④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.9．已知函数21,0,()2,0,x x f x x x -<⎧=⎨->⎩那么(1)(1)f f -+=_________.10．若幂函数y x α=的图象经过点1(2,)4，则α=_________.11．已知等差数列{}n a 的公差是2，其前4项和是20-，则2a =_________.12．已知()f x 是周期为2的偶函数．当01x ≤≤时，()f x 的图象是右图中的线段AB ，那么4()3f =_________.13．当[1,1]x ∈-时，函数2()ex x f x =的值域是_________.14．在数列{}n a 中，121a a ==，11(1)(1)n n n a n a n a +-+-=+，2,3,4,n =. 关于数列{}n a 给出下列四个结论：① 数列1{}n n a na +-是常数列； ② 对于任意正整数n ，有1n n a a +≤成立；③ 数列{}n a 中的任意连续3项都不会成等比数列； ④ 121nk k k a na n =+=+∑． 其中全部正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分13分）已知全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，{|26}Q x a x a =<<+. （Ⅰ）求集合U P ð；（Ⅱ）若U P Q ⊆ð，求实数a 的取值范围.16．（本小题满分13分）已知函数32()6f x x ax =-，其中0a ≥.（Ⅰ）当1a =时，求曲线)(x f y =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．17．（本小题满分13分）已知等比数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．12a =，314S =． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分13分）如图，设计建造一个面积为24840m 的矩形蔬菜温室，其长与宽的比为(1)λλ>．沿温室的左、右两侧各留8m 宽的空道，上、下两侧各留5m 宽的空道．试确定温室的长和宽，使其占地（包括蔬菜温室及空道）面积最小．19．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x x a x =-+不是单调函数，且无最小值． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设0x 是函数()f x 的极值点，证明：0()0f x <.20．（本小题满分14分）已知n 次多项式()(12)(14)(18)(12)n n S x x x x x =++++，其中n 是正整数.记()n S x 的展开式中x 的系数是n a ，2x 的系数是n b .（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）证明：12142n n n n b b +++-=-；（Ⅲ）是否存在等比数列{}n c 和正数c ，使得1()()n n n b c c c c +=--对任意正整数n 成立？若存在，求出通项n c 和正数c ；若不存在，说明理由.参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. D ；2. A ；3. B ；4. C ；5. C ；6. B ；7. D ；8. D .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 4-； 10. 2-； 11. 6-； 12.53； 13. [0,e]； 14. ①、②、③、④. 注：14题少解不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.（如有其他方法，仿此给分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，所以 {|(2)0}U P x x x =-<ð，………………………… 4分即集合{|02}U P x x =<<ð. …………………………6分（Ⅱ）因为 U P Q ⊆ð，所以0,262,a a ≤⎧⎨+≥⎩………………………… 10分 解得 0,2.a a ≤⎧⎨≥-⎩所以[2,0]a ∈-. …………………………13分注：第（Ⅱ）小问没有等号扣2分. 16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，32()6f x x x =-，2()312f x x x '=-． …………………………2分所以 曲线)(x f y =在点(1,(1))f 处的切线斜率是(1)9f '=-． ………………………… 3分因为 (1)5f =-，所以 曲线)(x f y =在点(1,(1))f 处的切线方程是59(1)y x +=--，即940x y +-=. ………… 5分（Ⅱ）令2()3123(4)0f x x ax x x a '=-=-=，得10x =，24x a =. ………………………… 7分① 当0a =时，2()30f x x '=≥，故()f x 在R 上为增函数. ………………………… 9分② 当40a >，即0a >时，列表分析如下：所以函数()f x 在(,0)-∞和(4,)a +∞内单调递增，在(0,4)a 内单调递减．……………………13分综上，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(,0)-∞和(4,)a +∞内单调递增，在(0,4)a 内单调递减.17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列}{n a 的公比是q ，依题意 0q >． …………………………1分由314S =，得 21(1)14a q q ++=，整理得 260q q +-=． …………………………3分解得 2q =，舍去3q =-． ………………………5分所以数列}{n a 的通项公式为112n n n a a q -=⋅=． ………………………… 6分（Ⅱ）由2n n n b n a n =⋅=⋅， …………………………7分得 231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，所以 234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅． …………………………10分两式相减，得 231(2222)2n n n T n +=-+++++⋅，………………………… 12分所以 1(1)22n n T n +=-+． …………………………13分18.（本小题满分13分）解：设矩形温室宽为m x ，则长为m x λ，依题意有24840x λ=． ………………………2分记矩形温室的占地面积为S ，则2(16)(10)(1016)160S x x x x λλλ=++=+++． …………………………5分将24840x λ=代入上式， 整理得3025500016()S x x=++． ………………………… 8分根据均值定理，当3025x x =时，即55x =（此时815λ=>）时，S 取得最小值． ………… 11分此时，温室的长为85588m 5x λ=⨯=． ………………………… 12分答：矩形温室的长为88m ，宽为55m 时，温室的占地面积最小． (13)分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0}x x >. …………………………1分对()f x 求导数，得222()22a x x a f x x x x-+'=-+=. …………………………3分显然，方程2()0220f x x x a '=⇔-+= (0)x >.若()f x 不是单调函数，且无最小值，则方程2220x x a -+=必有2个不相等的正根. ………5分所以 480,0,2a a ∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩ 解得102a <<. ………………………… 7分 （Ⅱ）设方程2220x x a -+=的2个不相等的正根是1x ，2x ，其中12x x <.所以2122()()22()x x x x x x a f x x x---+'==. (9)分所以，1x 是极大值点，2x 是极小值点，12()()f x f x >.故只需证明1()0f x <. ………………………… 11分由 120x x <<，且121x x +=，得1102x <<. ………………………… 12分因为 102a <<，1102x <<， 所以 1111()(2)ln 0f x x x a x =-+<.从而0()0f x <. …………………………14分20.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由 242n n a =+++， …………………………2分得12(12)2212n n n a +-==--. (3)分（Ⅱ）由()(12)(14)(12)n n S x x x x =+++，得11()(12)()n n n S x x S x ++=+⋅. (6)分所以 12122(21)n n n n n n n b b a b +++=+⋅=+-，即 21212(21)42n n n n n n b b ++++-=-=-.………………………… 8分（Ⅲ）由1()12S x x =+，得10b =. …………………………9分当2n ≥时， 由 2211122222222()2(21)4[]4(22)(1)14123n n n nnk k nn kk k k b bb +--==--+=-=-=-=----∑∑，得 18(21)(21)3n n n b -=--. 当1n =时，10b =也适合上式，故18(21)(21)3n nn b -=--，*n ∈N . ……………………… 12分因此，存在正数c ==122n n n c c -=⋅=，使得1()()n n n b c c c c +=--对于任意正整数n 成立. …………………………14分。