【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-3)练习：第2章 2 超几何分布]

第一章§1一、选择题1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则x·y可表示成不同的值的个数是()A．1＋1＝2 B．1＋1＋1＝3C．2×3＝6 D．3×3＝9[答案] D[解析]因为按x、y在各自的取值集合中各选一个值去做积这件事，可分两步完成：第一步，x在集合{2,3,7}中任取一个值有3种方法；第二步，y在集合{－31，－24,4}中任取一个值有3种方法．根据分步乘法计数原理有3×3＝9个不同的值．故选D.2．(2014·陕西宝鸡中学高二期末)图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有()种不同的取法．()A．120 B．16C．64 D．39[答案] B[解析]由分类加法计数原理知，共有不同取法3＋5＋8＝16种．3．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种类共有()A．6种B．8种C．36种D．48种[答案] D[解析]参观路线分步完成：第一步选择三个“环形”路线中的一个，有3种方法，再按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；第二步选择余下两个“环形”路线中的一个，有2种方法，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；最后一个“环形”路线，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法．由分步计数原理知，共有3×2×2×2×2＝48(种)方法．二、填空题4．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有________种不同的取法．[答案]242[解析]任取两本不同的书，有三类：(1)取数学、语文各一本，(2)取语文、英语各一本，(3)取数学、英语各一本．然后求出每类取法，利用分类加法计数原理即可得解．取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90种不同取法；取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72种不同取法；取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80种不同取法．综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90＋72＋80＝242种不同取法．故填242.5．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成“正交线面对”的个数是________．[答案]36[解析]用分类加法计算原理：第一类，正方体的一条棱与面有两个“正交线面对”，共有24个；第二类，正方体的一条面对角线与对角面有一个“正交线面对”，共有12个．所以共有“正交线面对”的个数是24＋12＝36.三、解答题6．从1到200的这二百个自然数中，各个位数上都不含数字8的共有多少个？[分析]本题涉及分类加法计数原理与分步乘法计数原理，在分类中又包含分步，“类”、“步”交融，应注意根据所学知识认真分析，及对于一些“步”中分类的问题要学会具体对待．[解析]应分三类来解决该问题．第一类：一位数中除8以外符合要求的数有8个；第二类：二位数中，十位数除0、8以外有8种选法，而个位数除8以外有9种选法，故二位数中符合要求的数有8×9＝72(个)；第三类：三位数中①百位数为1，十位数和个位数上的数字除8以外都有9种选法，故三位数中，百位数为1的符合要求的数有9×9＝81(个)．②百位数为2的只有200这一个符合要求，∴三位数中符合要求的数有81＋1＝82(个)．由分类加法计数原理，符合要求的数字共有N＝8＋72＋82＝162(个)．[点评]考虑问题的原则是先分类而后分步，要注意在分类(或分步)时，必须做到不重不漏.一、选择题1．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程x2m2＋y2n2＝1中的m和n，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆的个数为() A．43个B．72个C．86个D．90个[答案] B[解析]由题意，m可能的取值为1,2，…，10；n可能的取值为1,2，…，8，先确定m 有10种方法，再确定n有8种方法，按分步计数原理共有80种方法，但其中包括m＝n的情况共8种，故能组成落在矩形区域内的椭圆个数为72个．故选B.2．四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是()A．4B．24C．43D．34[答案] C[解析]依分步乘法计数原理，冠军获得者可能有的种数是4×4×4＝43.故选C.3．(2014·安徽理，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对[答案] C[解析]如图，上底面的一条对角线为例共4对，这样的对角线共12条，∴共有12×4＝48对．本题也可以用排除法，C212－6－12求得．4．2014年南京青奥会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是()A.20.6C．22 D．23[答案] B[解析]由于“以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次”，并且求“最短路线的距离”，由选项判断，A中20.6在表中只有C和E之间的距离8.6是出现小数部分的，故CE是必定经过的路线，又因为A为起点，E为终点，故如果A正确，那么线路必须是：1.A－B－D－C－E或2.A－D－B－C－E，进行验证：线路1的距离和为5＋6＋9＋8.6＝28.6，故线路1不符合；线路2的距离之和为5＋6＋7＋8.6＝26.6，线路2也不符合，故排除A；再验证选项B，发现线路A－C－D－B－E的距离之和为4＋9＋6＋2＝21符合，故选B.5．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A．60条B．62条C．71条D．80条[答案] B[解析]本题考查抛物线、计数原理．由题意知a≠0，且b≠0，下面分2类：若c＝0，ay＝b2x2，不同抛物线有5×4－6＝14条，若c≠0，不同抛物线有5×4×3－12＝48，共48＋14＝62条．分类要全面，要不重不漏．二、填空题6．若一个m，n均为非负整数的有序数对(m，n)在做m＋n的加法时各位均不会进位，则称(m，n)为“简单的”有序数对，m＋n称为有序数对(m，n)的值，那么值为1942的“简单的”有序数对的个数是________．[答案]300[解析]由题意可知m＋n＝1942，当m，n中一个数确定时，另一个数也就唯一确定了，所以不妨设m＝1000x1＋100x2＋10x3＋x4，则x1有2种不同取法，x2有10种不同取法，x3有5种不同取法，x4有3种不同取法，所以所求的有序数对的个数为2×10×5×3＝300.7.如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种(用数字作答)．[答案]390[解析]给四个格子编号如答图所示，由题意①号格子有6种不同涂色方法，②号格子有5种不同的涂色方法，若③号格子与①号格子同色，则④号格子有5种不同涂色方法(可以与②号同色)，由乘法原理有6×5×5＝150(种)涂色方法；若③号格子与①号格子不同色，则③号格子有4种不同涂色方法，此时④号格子只能与①号或②号同色，因而有2种涂色方法，由乘法原理有6×5×4×2＝240(种)涂色方法，最后由加法原理共有150＋240＝390(种)不同的涂色方法，故填390.三、解答题8．甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？[分析]由题目可获取以下主要信息：①有4个人、4张贺卡；②取别人写的贺卡．解答本题可根据自己写的卡的情况，最简捷的办法是用分步乘法计数原理设计完成这件事的步骤．[解析]方法一(枚举法)：(1)甲取得乙卡，分配方案如表．此时乙有甲、丙、丁3种取法．若乙取甲的卡，则丙取丁的、丁取丙的，若乙取丙的卡，则丙取丁的，丁取丙的，故有3种分配方案．(2)甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲．(3)甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：丁甲乙丙、乙丙甲乙、丁丙乙甲．由分类加法计数原理，共有N＝3＋3＋3＝9(种)．方法二(间接法)：4人各取1张贺卡．甲先取1张贺卡有4种方法，乙再取1张贺卡有3种方法，然后丙取1张贺卡有2种方法，最后丁仅有1种方法．由分步乘法计数原理，4个人各取1张贺卡共有4×3×2×1＝24(种)．4个人都取自己写的贺卡有1种方法；2个人取自己写的贺卡，另2个人不取自己所写贺卡的方法有6种(即4个人中选出取自己写的贺卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁)；1个人取自己写的贺卡，另3个人不取自己所写贺卡方法有8种(从4个人中选出取自己写的贺卡的1个人有4种方法．而其余3个人都不取自己所写贺卡的方法有2种方法)．因此，4个人都不取自己所写贺卡的取法有N＝24－(1＋6＋8)＝9(种)．方法三(分步法)．第一步甲取1张不是自己所写的那张贺卡，有3种取法；第二步由甲取的那张贺卡的写卡人取，也有3种取法；第三步由剩余两个中任1个人取，此时只有1种取法；第四步最后1个人取，只有1种取法．由分步乘法计数原理，共有N＝3×3×1×1＝9(种)．[点评]对于有限制条件的选取、抽取问题的计数，一般地，当数目不很大时，可用枚举法，但为保证不重不漏，可用树形图、框图及表格进行枚举；当数目较大，符合条件的情况较多时，可用间接法计数；否则直接用分类或分步计数原理计数．但一般根据选(抽)取顺序分步或根据选(抽)取元素的特点分类．9．将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜色不同，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数是多少？[解析]可分两步进行，先将四棱锥一侧的三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．如图所示，由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．当S，A，B已染好时，不妨设其颜色分别为颜色1,2,3；若C颜色为2，则D可染颜色3,4,5之一，有3种染色法；若C染颜色4，则D可染颜色3或5，有2种染法；若C染颜色5，则D可染颜色3或4，也有2种染法，可见，当S，A，B已染好时，C与D还有7种染法，因此不同的染色方法共有60×7＝420种．[点评]关于涂色问题，我们一般先给涂色部位依次标上相应的序号，以便分析问题．具体涂色时，看先给哪个部位涂色较简单．本例中首先须涂顶点S，其次A→B，涂C时要分类进行，分类标准是C同A和C不同于A两类．10．如图所示的5×3方格中有多少个矩形(每个小正方形的边长为1)?[解析]标准就能做到不重不漏．(1)面积为1的矩形有15个．(2)面积为2的矩形有两类：一是横向的，有4×3＝12个；二是竖向的，有2×5＝10个，故共有12＋10＝22个．(3)面积为3的矩形有3×3＋5＝14个．(4)面积为4的矩形有：横向的有2×3＝6个；正方形的有2×4＝8个，共有6＋8＝14个．(5)面积为5的矩形有3个．(6)面积为6的矩形有3×2＋4＝10个．(7)面积为8的矩形有2×2＝4个．(8)面积为9的矩形有3个．(9)面积为10的矩形有2个．(10)面积为12的矩形有2个．(11)面积为15的矩形有1个．故共有矩形15＋22＋14＋14＋3＋10＋4＋3＋2＋2＋1＝90个．[点评]本题中，可以用直接法一一地数出这些矩形的个数，但在“数”的过程中，容易出现重复和遗漏．而在这里以“面积”的大小作为分类标准，就可以避免重复和遗漏，并且它将一个大的计数问题分解成若干个小的计数问题，从而降低了思维难度，简化了解题过程，避免了错误的发生．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2 第2课时基础巩固 北师大版选修2-2一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A.239 B.229C.329D.38[答案] A[解析] f (x )＝x －x 3，f ′(x )＝1－3x 2，令f ′(x )＝0得x ＝33(x ＝－33舍去)，计算比较得最大值为f (33)＝239. 2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 km 时燃料费是每小时6元 ，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h 航行时，能使行驶每公里的费用总和最小( )A ．20B ．30C ．40D ．60[答案] A[解析] 设船速为每小时x (x ＞0)公里，燃料费为Q 元，则Q ＝kx 3， 由已知得：6＝k ·103， ∴k ＝3500，即Q ＝3500x 3.记行驶每公里的费用总和为y 元，则y ＝(3500x 3＋96)·1x ＝3500x 2＋96xy ′＝3250x －96x 2，令y ′＝0，即3250x －96x2＝0， 解之得：x ＝20.这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32[答案] A[解析] 由f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0得，x ＝0或x ＝3， 经检验知x ＝3是函数的一个最小值点， 所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立， 所以3m －272≥－9，解得m ≥32.二、填空题4．下列结论中正确的有________．①在区间[a ，b ]上，函数的极大值就是最大值； ②在区间[a ，b ]上，函数的极小值就是最小值；③在区间[a ，b ]上，函数的最大值、最小值在x ＝a 和x ＝b 处取到； ④在区间[a ，b ]上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值． [答案] ④[解析] 由函数最值的定义知，①②③均不正确，④正确．故填④.5．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)在[1,4]上的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.[答案]103[解析] f ′(x )＝4ax 3－12ax 2(a >0，x ∈[1,4])．由f ′(x )＝0，得x ＝0(舍)，或x ＝3，可得x ＝3时，f (x )取得最小值为b －27a . 又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ， ∴f (4)为最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.三、解答题6．(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)． [解析] (1)由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×302＋10150×30－b ln3＝50.5，解得a ＝－1100，b ＝1， 则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)．(2)T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)，则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－x －x －50x ，令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍)或x ＝50，当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，因此T (x )在(10,50)上是增函数； 当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数， ∴当x ＝50时，T (x )取最大值．T (50)＝－502100＋5150×50－ln 5010＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值为24.4万元.一、选择题1．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B ．32V C ．34V D ．23V[答案] C[解析] 设底面边长为x ，侧棱长为l ，则V ＝12x 2·sin60°·l ，∴l ＝4V3x2.∴S 表＝2S 底＋3S 侧＝x 2·sin60°＋3·x ·l ＝32x 2＋43V x. ∴S 表′＝3x －43Vx2＝0∴x 3＝4V ，即x ＝34V ，又当x ∈(0，34V )时，S 表′<0；当x ∈(34V ，V )时，S 表′>0 ∴当x ＝34V 时，表面积最小．2．若函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,1)B ．[－2,1)C ．[－2，－1)D ．(－2，＋∞)[答案] B[解析] 由于f ′(x )＝－x 2＋1 ，易知函数在(－∞，－1]上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减，故若函数在(a,10－a 2)上存在最大值的条件为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ＜110－a 2＞1⇒－1≤a ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－110－a 2＞1⇒－2≤a ＜－1，ff a 综上可知a 的取值范围为[－2,1)．3．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22[答案] D[解析] 本小题考查内容为导数的应用——求函数的最小值． 令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，∴F ′(x )＝2x －1x.令F ′(x )＝0，∴x ＝22，∴F (x ) 在x ＝22处最小． 4．已知不等式kx x ≤1e对任意的正实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(－∞，1] C ．[0,2] D ．(0,2][答案] A [解析] 令y ＝kx x ，则y ′＝1－kx x 2，可以验证当y ′＝0即kx ＝e ，x ＝ek时，y max ＝ln e e k＝ke，又y ≤1e 对于x ＞0恒成立∴k e ≤1e，得k ≤1又kx ＞0，x ＞0，∴k ＞0，∴0＜k ≤1.5．(2014·江西文，10)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x＋a (a ∈R)的图像不可能．．．的是( )[答案] B[解析] 若a ＝0时，两函数分别为y ＝－x 和y ＝x ，选项D 此时合适， 若a ≠0时，设f 1(x )＝ax 2－x ＋a2，设f 2(x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋af 2′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，①若a >0，易知f 2(x )的极大值为f (13a )＝427a ＋a ，极小值为f (1a )＝a ，而f 1(x )图象此时开口向上，对称轴为x ＝12a >0且f 1(1a )＝f 1(0)＝a2，f 2(0)＝a ，A 、C 均适合． (2)若a <0，f 1(x )图象开口向下，对称轴为x ＝12a <0 ，f (1a )＝f 1(0)＝a 2<0，而f 2(1a)>a <0，比较知0>a 2>a ，也就是说当x ＝1a时函数f 2(x )图象为极大值而此时f 1(x )图象对应的点应该在(1a ，f 2(1a))上方，而B 选项中显然右下方，因而B 不可能．二、填空题6．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R)，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为__________________．[答案] 4[解析] 本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝－2xx 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减， 因此g (x ) max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0]，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4. 7．已知函数f (x )＝log ax ＋2x，当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，则a 的取值范围是____________．[答案] 1＜a ≤4 2[解析] 要使得当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，只需保证当x ∈[1,4]时，f (x )min ≥2即可，因此问题转化为先求函数f (x )＝log a x ＋2x 在区间[1,4]上的最小值，再结合不等式求得a 的取值范围．考虑到f (x )＝log ax ＋2x的导数不好求，可以先采用换元的办法，利用导数法求出真数的最值，再考虑函数f (x )的最小值，但要注意对底数a 加以讨论．令h (x )＝x ＋2x ＝4x ＋16x＋16，x ∈[1,4]．∵h ′(x )＝4－16x2＝x －x ＋x 2，x ∈[1,4]．∴当1≤x ＜2时，h ′(x )＜0，当2＜x ≤4时，h ′(x )＞0. ∴h (x )在[1,2]上是单调减函数，在[2,4]上是单调增函数， ∴h (x )min ＝h (2)＝32，∴h (x )max ＝h (1)＝h (4)＝36. ∴当0＜a ＜1时，有f (x )min ＝log a 36， 当a ＞1 时，有f (x )min ＝log a 32. ∵当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立， ∴f (x )min ≥2.∴满足条件的a 的值满足下列不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 36≥2，①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 32≥2，②不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1＜a ≤4 2.综上所述，满足条件的a 的取值范围是：1＜a ≤4 2. 三、解答题8．(2014·三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)[解析] (1)因为x ＝4时，y ＝21， 代入关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21， 解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2， 所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)[10x －2＋4(x －6)2]＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在(0，103)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(103，6)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大． 9．(2014·全国大纲，22)函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)．讨论f (x )的单调性；[解析] f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －a 2－2ax ＋x ＋a2.①当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a,0)，则f ′(x )<0，f (x )在(a 2－2a,0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)是增函数．②当a ＝2时，f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．③当a >2时，若x ∈(－1,0)，则f ′(x )>0，f (x )在(－1,0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，f (x )在(0，a 2－2a )是减函数； 若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． 10．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[分析] (1)先求f ′(x )，写出g (x )，对g (x )求导，g ′(x )>0求得增区间，g ′(x )<0求得减区间；(2)作差构造函数h (x )＝g (x )－g (1x)，对h (x )求导，判定其单调性，进一步求出最值，与0比较大小；(3)利用(1)的结论求解．[解析] (1)f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x.∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，∴(0,1)是g (x )的单调减区间 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴(1，＋∞)是g (x )的单调增区间 因此当x ＝1时g (x )取极小值，且x ＝1是唯一极值点，从而是最小值点． 所以g (x )最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x令h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x ，h ′(x )＝－x －2x2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时h ′(x )<0，h ′(1)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递减 当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)综上知，当x ∈(0,1)时，g (x )>g (1x)，当x ＝1时，g (x )＝g (1x)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<g (1x)(3)由(1)可知g (x )最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立等价于g (a )－1<1a，即ln a <1，解得0<a <e .所以a 的取值范围是(0，e )[点评] 本题考查了求导公式、导数应用、不等式恒成立等知识以及分类计论思想、转化与化归思想等．。

第二章 §4一、选择题1．设随机变量ξ服从二项分布B (6，12)，则P (ξ＝3)等于( )A.516 B.316 C.58 D.38[答案] A[解析] P (ξ＝3)＝C 36(12)3·(12)3＝516. 2．一名学生通过英语听力测试的概率为13，她模拟测试3次，至少有1次通过测试的概率为( )A.49 B.2027 C.1927 D.827[答案] C[解析] 模拟测试3次相当于做了3次独立重复试验，“测试通过”即试验成功，则模拟测试3次通过测试的次数X ～B (3，13)，故所求概率为1－P (X ＝0)＝1－C 03(13)0(1－13)3＝1927. 3．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5 [答案] B[解析] 质点P 移动五次后位于点(2,3)，即质点向上移动了2次，向右移动了3次，将质点移动5次视为做了5次独立重复试验，“向上移动”视为试验成功，设5次移动中向上移动的次数为X ，则X ～B (5，12)，所以P (X ＝2)＝C 25(12)2(12)3＝C 25(12)5. 二、填空题4．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．[答案] 0.947 7[解析] 4人服用新药相当于做了4次独立重复试验，设服用新药的4个病人中被治愈的人数为X ，则X ～B (4,0.9)，所求概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34×0.93×0.11＋C 44×0.94×0.10＝0.291 6＋0.656 1＝0.947 7.5．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (3，p )，若P (ξ≥1)＝34，则P (η≥1)＝________.[答案] 78[解析] 由P (ξ≥1)＝1－p (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝34得p ＝12，则P (η≥1)＝1－P (η＝0)＝1－(1－p )3＝78.三、解答题6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：(1)其中只在第一，三，五次3次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．[分析] 本题要注意恰有k 次和指定的某k 次发生的差异，具体说(1)是相互独立事件概率模型，其公式为p k (1－p )n －k ；(2)是恰有3次发生，其公式为C k n p k (1－p )n －k；(3)也是相互独立事件概率模型，但要考虑多种情况．[解析] (1)该射手射击了5次，其中只在第一，三，五次3次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二，四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝35×(1－35)×35×(1－35)×35＝1083 125.(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率情况不确定，根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C 35种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求概率为p ＝C 35×(35)3×(1－35)2＝216625. (3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，将3次连续击中目标看成一个整体，另外两次没有击中目标，产生3个空隙，所以共有C 13种情况，故所求概率为P ＝C 13×(35)3×(1－35)2＝3243 125.一、选择题1．在4次独立重复试验中事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13B.25C.56 D ．以上全不对[答案] A[解析] 设事件A 在1次试验中出现的概率为p .由二项分布的概率公式得1－C 04p 0(1－p )4＝6581，所以(1－p )4＝1681，解得p ＝13.2．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 依题意有C k 5×(12)k ×(12)5－k ＝C k ＋15×(12)k ＋1×(12)5－(k ＋1)，所以C k 5＝C k ＋15. 故有k ＋(k ＋1)＝5.∴k ＝2.3．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子个数为X ，则P (X ≤2)等于( ) A ．C 210(16)2×(56)8 B ．C 110(16)×(59)9＋(56)10 C ．C 110(16)×(56)9＋C 210(16)2×(56)8 D ．以上均不对 [答案] D[解析] 由题意，X ～B (10，16)，∴P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝(56)10＋C 110×16×(56)9＋C 210×(16)2×(56)8. ∴A ，B ，C 三选项均不对．4．如果X ～B (15，14)，则使P (X ＝k )最大的k 值是( )A ．3B ．4C ．4或5D ．3或4[答案] D[解析] P (X ＝k )＝C k 15(34)15－k (14)k，然后把选择项代入验证． 5．(2013·河南安阳中学高二期中)若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)等于( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28C ．0.88×0.22D ．0.82×0.28[答案] A[解析] ∵X ～B (10,0.8)，∴P (X ＝k )＝C k 100.8k (1－0.8)10－k ，∴P (X ＝8)＝C 8100.88·0.22，故选A.二、填空题6．设每门高射炮击中飞机的概率为0.6，今有一飞机来犯，则至少需要________门高射炮射击，才能以99%的概率击中它．[答案] 6[解析] 设需要n 门高射炮才可达到目的，用A 表示“命中飞机”这一事件，由题意得，没有命中飞机的概率为1－0.6＝0.4，故由对立事件的概率分式得P (A )＝1－0.4n .由题意得1－0.4n ≥0.99，∴n ≥5.02.故应取6.7．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是________．[答案]1132[解析] 依题意得所求的概率为C 46(12)6＋C 56(12)6＋C 66·(12)6＝1132. 三、解答题8．(2014·西安市质检)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列．[解析] (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝(1－13)×(1－13)×13＝427.(2)由题意，可得ξ可以取的值为0,2,4,6,8(单位：分钟)，事件“ξ＝2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”(k ＝0,1,2,3,4)， ∴P (ξ＝2k )＝C k 4(13)k (23)4－k(k ＝0,1,2,3,4)， ∴即ξ的分布列是9.(2014·则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列．[解析] 设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ，“通过复审”为事件C .(1)设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D ＝A ＋BC ， ∵P (A )＝12×12＝14，P (B )＝2×12×(1－12)＝12，P (C )＝310，∴P (D )＝P (A ＋BC )＝P (A )＋P (B )P (C )＝25.(2)根据题意，X ＝0,1,2,3,4，A i 表示“应聘的4人中恰有i 人被录用”(i ＝0,1,2,3,4)， ∵P (A 0)＝C 04×(35)4＝81625， P (A 1)＝C 14×25×(35)3＝216625， P (A 2)＝C 24×(25)2×(35)2＝216625， P (A 3)＝C 34×(25)3×35＝96625， P (A 4)＝C 44×(25)4×(35)0＝16625. ∴X 的分布列为10.5局内谁先赢3局就算胜出，并停止比赛)．(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； (2)求按比赛规则甲获胜的概率．[分析] 甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12.[解析] 记事件A 为“甲打完3局才能取胜”，记事件B 为“甲打完4局才能取胜”，记事件C 为“甲打完5局才能取胜”．(1)①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜． ∴甲打完3局取胜的概率为P (A )＝C 33(12)3＝18. ②甲打完4局取才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，∴甲打完4局才能取胜的概率为P (B )＝C 23×(12)2×12×12＝316. ③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，∴甲打完5局才能取胜的概率为P (C )＝C 24×(12)2×(12)2×12＝316. (2)设事件D 为“按比赛规则甲获胜”，则D ＝A ∪B ∪C .又∵事件A 、B 、C 彼此互斥，故P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝18＋316＋316＝12. 因此按比赛规则甲获胜的概率为12.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.1 第2课时基础巩固 北师大版选修2-2一、选择题1．下列各点是函数y ＝1＋3x －x 3的极值点的是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3[答案] B[解析] y ′＝3－3x 2，令y ′＝3－3x 2＝0，得x ＝±1，观察选项，只有B 项满足要求． 2．关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A ．导数为零的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．f (x )在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数 [答案] D[解析] 对于f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )的极值点，故A 不正确．极小值也可能大于极大值，故B 错，C 显然不对．3．(2014·西川中学高二期中)已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 二、填空题4．函数f (x )＝x －ln x 的极小值等于________． [答案] 1[解析] f ′(x )＝1－1x，令f ′(x )＝0，则x ＝1，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化如下表：∴f (x )5．(2014·河北冀州中学期中)若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．[答案] [－1,1][解析] f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时显然成立；a >0时，∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a≥cos x 恒成立，∴－1a≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.三、解答题6．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f (x )＝e x(ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解析] (1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x(x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)单调递增，在(－2，－ln2)单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2).一、选择题1．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数的图像如图所示，则函数f (x )的极小值是( )A ．a ＋b ＋cB ．8a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c[答案] D[解析] 由f ′(x )的图像可知x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f ′(x )<0；x ∈(0,2)时，f ′(x )>0∴f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上为减函数，在(0,2)上为增函数． ∴x ＝0时，f (x )取到极小值为f (0)＝c .2．已知函数f (x )＝ax 2＋3x ＋2a ，若不等式f (x )>0的解集为{x |1<x <2}，则函数y ＝xf (x )的极值点的个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不能判断[答案] B[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0－3a＝3，所以a ＝－1，即f (x )＝－x 2＋3x －2.于是y ＝xf (x )＝－x 3＋3x 2－2x ，y ′＝－3x 2＋6x －2，由Δ>0，所以y ′＝0有两个相异实根，故函数y ＝xf (x )有两个极值点．3．(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )＝e x(sin x －cos x )，x ∈(0,2013π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A.e 2π－e2012πe 2π－1 B.e π－e 2012π1－e 2πC.eπ－e 1006π1－e2πD.eπ－e1006π1－eπ[答案] B[解析] f ′(x )＝2e xsin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2013π)，∴0<(2k ＋1)π<2013π，∴0≤k <1006，k ∈Z.∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2011π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e2011π＝e π[1－2π1006]1－e2π＝e π－e 2012π1－e2π，故选B.4．下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确．．．．．的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] 对于③，f(x)在原点附近为增函数，∴f′(x)>0，而图像中当x>0时，f′(x)<0，∴③一定不正确；对于④，同理，导函数开始应在x轴上方，④一定不正确，故选B.5．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是( )A．1<a<2 B．1<a<4C．2<a<4 D．a>4或a<1[答案] A[解析] y′＝3x2－3a.当a≤ 0，f′(x)≥0；函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a>0，y′＝3x2－3a＝0⇒x＝±a，不难分析当1<a<2时，函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值．二、填空题6．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是________．[答案] ②③[解析] 本题考查了导数工具有研究函数零点方面的应用设g(x)＝x3－6x2＋9x＝0，则x1＝0，x2＝x3＝3，其图象如图：要使f(x)＝x3－6x2＋9x－abc有3个零点，须将g(x)的图象向下平移，如图所示：又f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝0时，x 1＝1，x 2＝3，即得f (1)是极大值，f (3)是极小值．∴由图象可知f (0)·f (1)<0，f (0)·f (3)>0.对于函数的零点问题要注意和对应方程的根及函数的图象联系起来，当一个函数不能直接画出图象时，要有求导的意识来探究一下函数的基本性质然后再画草图．7.已知函数y ＝xf ′(x )的图像如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性；③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值．其中正确的说法有________[答案] ①④[解析] 从图像上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0 ，所以f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上是增函数，①正确；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－1,1)上是减函数，所以②，③错误；当0<x <1时，f (x )在区间(0,1)上递减，而在(1，＋∞)上递增，故f (x )在x ＝1处取极小值，故④正确．三、解答题8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在点x 0处取得极小值－5，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(0,0)，(2,0)，(1)求a ，b 的值；(2)求x 0及函数f (x )的表达式．[解析] (1)由题设可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∵f ′(x )的图像过点(0,0)，(2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，12＋4a ＋b ＝0解之得：a ＝－3，b ＝0.(2)由f ′(x )＝3x 2－6x ＞0，得x ＞2或x ＜0；∴当在(－∞，0)上，f ′(x )＞0.在(0,2)上f ′(x )＜0，在(2，＋∞)上f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减， 因此f (x )在x ＝2处取得极小值，所以x 0＝2， 由f (2)＝－5，得c ＝－1， ∴f (x )＝x 3－3x 2－1.9．设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 10．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．[解析] (1)由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x＝x ＋x －x，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 则x ＝1是f (x )的极小值点，所以f (x )在x ＝1处取得极小值为f (1)＝12.(2)证明：设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x＝－x －x 2＋x ＋x，当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间[1，＋∞)上单调递减， 又F (1)＝－16<0，∴在区间[1，＋∞)上，F (x )<0恒成立， 即f (x )<g (x )恒成立．因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )图象的下方．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2 第1课时基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示( )A．t＝1s时的速度B．t＝1s时的加速度C．t＝1s时的位移D．t＝1s时的平均速度[答案] B[解析] v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度．2．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2(t表示时间)，则t＝2时，汽车的加速度是( )A．14 B．4C．10 D．6[答案] A[解析] 速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t.所以加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，当t＝2时，a(t)＝14，即t＝2时汽车的加速度为14.3．下列四个命题：①曲线y＝x3在原点处没有切线；②若函数f(x)＝x，则f′(0)＝0；③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；④函数y＝x5的导函数的值恒非负．其中真命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] A[解析] ①中y′＝3x2，x＝0时，y′＝0，∴y＝x3在原点处的切线为y＝0；②中f(x)在x＝0处导数不存在；③中s(t)对时间t的导数为瞬时速度；④中y′＝5x4≥0.所以命题①②③为假命题，④为真命题．二、填空题4．人体血液中药物的质量浓度c ＝f (t )(单位：mg/mL)随时间t (单位：min)变化，若f ′(2)＝0.3，则f ′(2)表示________．[答案] 服药后2分钟时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3mg/mL 的速度增加． 5．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋5%)t，其中p 0为t ＝0时的物价．假定某种商品的p 0＝1，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是________元/年(精确到0.01)．[答案] 0.08[解析] 因为p 0＝1，所以p (t )＝(1＋5%)t ＝1.05t，在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t ＝10时的函数值．因为p ′(t )＝(1.05t )′＝1.05t·ln1.05， 所以p ′(10)＝1.0510×ln1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨． 三、解答题6．某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C (元)与日产量x (件)的函数关系式为C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050.求：(1)日产量75件时的总成本和平均成本；(2)当日产量由75件提高到90件，总成本的平均改变量； (3)当日产量为75件时的边际成本．[解析] (1)当x ＝75时，C (75)＝14×752＋60×75＋2 050＝7 956.25(元)，∴C 75≈106.08(元/件)．故日产量75件时的总成本和平均成本分别为7 956.25元，106.08元/件． (2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量ΔC Δx ＝C－C 90－75＝101.25(元/件)．(3)当日产量为75件时的边际成本 ∴C ′(x )＝12x ＋60，∴C ′(75)＝97.5(元).一、选择题1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，(s 的单位是s ，t 的单位是s)，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒[答案] C[解析] s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5.2．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( ) A．6 B．18C．54 D．81[答案] B[解析] 瞬时速度v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0＋Δt2－3×32Δt＝limΔt→03(6＋Δt)＝18.3．如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是( )[答案] D[解析] 由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际．[点评] 函数变化的快慢可通过函数的导数体现出来，导数的绝对值越大，函数变化越快，函数图像就比较“陡峭”，反之，函数图像就“平缓”一些．4．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v＝v(t)＝t3＋3t，则t＝t0s时轿车的加速度为( )m/s2A．t30＋3t0B．3t20＋3C ．3t 30＋3t 0 D ．t 30＋3[答案] B[解析] ∵v ′(t )＝3t 2＋3，则当t ＝t 0s 时的速度变化率为v ′(t 0)＝3t 20＋3(m/s 2)． 即t ＝t 0s 时轿车的加速度为(3t 20＋3)m/s 2.[点评] 运动方程s ＝s (t )的导数表示的是t 时刻时的瞬时速度，速度方程v ＝v (t )的导数表示的是t 时刻时的加速度．5．(2009·湖北理)设球的半径为时间t 的函数R (t )．若球的体积以均匀速度C 增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )A ．成正比，比例系数为CB ．成正比，比例系数为2C C ．成反比，比例系数为CD ．成反比，比例系数为2C[答案] D[解析] 本题主要考查导数的有关应用． 根据题意，V ＝43πR 3(t )，S ＝4πR 2(t )，球的体积增长速度为V ′＝4πR 2(t )·R ′(t ) 球的表面积增长速度S ′＝2·4πR (t )·R ′(t )， 又∵球的体积以均匀速度C 增长，∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C . 二、填空题6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后的位移为s ＝3t 2＋t ，则速度v ＝10时的时刻t ＝________.[答案] 32[解析] s ′＝6t ＋1，则v (t )＝6t ＋1，设6t ＋1＝10， 则t ＝32.7．原油是工业的血液，它通过处理可变为各种工业原料和燃料．要从原油提取各种原料需要将原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率为________，其意义为________________________________________________________________________．[答案] 5 在第6 h 附近时，原油温度约以5 ℃/h 的速度上升 [解析] f ′(x )＝2x －7，则f ′(6)＝2×6－7＝5. 在第6 h 附近时，原油温度大约以5 ℃/h 的速度上升 三、解答题8．如图所示，为甲、乙两化工厂在某一时间段的排污量与时间的关系图示(其中W 1(t )，W 2(t )分别表示甲、乙两工厂的排污量)，试比较哪个工厂的治污效果好？[分析] 取区间[x 0，x 0＋Δx ]，则由|ΔyΔx |＝|f x 0＋Δx －f x 0Δx|来比较治污效果的好杯．[解析] 观察图形，单位时间内，W 1(t )中|Δy Δt |比较大，而W 2(t )中|ΔyΔt |比较小，工厂甲比工厂乙的平均治污染率大，从而判定工厂甲治污效果更好．[点评] 从“陡峭”的程度上也可形象说明，W 1(t )图形更加“陡峭”，因而当Δt 相同时，Δy ＝f (t 0＋Δt )－f (t 0)的值比W 2(t )更大些．9．一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降．温度T (单位：℃)与时间t (单位：min)间的关系，由函数T ＝f (t )给出．请问：(1)f ′(t )的符号是什么？为什么？(2)f ′(3)＝－4的实际意义是什么？如果f (3)＝65℃，你能画出函数在点t ＝3min 时图像的大致形状吗？[解析] (1)f ′(t )是负数．因为f ′(t )表示温度随时间的变化率，而温度是逐渐下降的，所以f ′(t )为负数．(2)f ′(3)＝－4表明在3min 附近时，温度约以4℃/min 的速度下降，如图所示． 10．当销售量为x ，总利润为L ＝L (x )时，称L ′(x )为销售量为x 时的边际利润，它近似等于销售量为x 时，再多销售一个单位产品所增加或减少的利润．某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是C (x )＝100＋2x ＋0.02x 2，R (x )＝7x ＋0.01x 2.求边际利润函数和当日产量分别是200 kg,250 kg 和300 kg 时的边际利润． [解析] (1)总利润函数为L (x )＝R (x )－C (x )＝5x －100－0.01x 2，边际利润函数为L′(x)＝5－0.02 x.(2)当日产量分别是200 kg、250 kg和300 kg时的边际利润分别是L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第三章 导数应用单元综合测试 北师大版选修2-2时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数存在极值的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝1xC ．y ＝3x －1D ．y ＝x 2[答案] D[解析] 画出图像即可知y ＝x 2存在极值f (0)＝0. 2．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 [答案] D[解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题．f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2x)＝0可得x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )递减，当x >2时f ′(x )>0，∴f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点．对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．3．(2013·天津红桥区高二段测)二次函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线，y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C．第Ⅲ象限D．第Ⅳ象限[答案] A[解析] 设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵二次函数y＝f(x)的图象过原点，∴c＝0，∴f′(x)＝2ax＋b，由y＝f′(x)的图象可知，2a<0，b>0，∴a<0，b>0，∴－b2a>0，4ac－b24a＝－b24a>0，故选A.4．若函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则f′(x0)＝0是x0为函数y＝f(x)的极值点的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数y＝x3的极值点．5．(2014·武汉实验中学高二期末)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )[答案] A[解析] f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f′(x)的图象在(－∞，0)上，f′(x)>0，在(0，＋∞)上f′(x)的符号变化规律是负→正→负，故选A.6．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A ．6B ．8C ．10D ．12[答案] B[解析] 设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V ＝x (48－2x )2(0<x <24)，V ′＝12(24－x )(8－x )．令V ′＝0，则在(0,24)内有x ＝8，故当x ＝8时，V 有最大值．7．(2014·天门市调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π4时取得极值，则函数y＝f (3π4－x )是( )A ．偶函数且图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且图象关于点(3π2，0)对称C ．奇函数且图象关于点(3π2，0)对称D ．奇函数且图象关于点(π，0)对称 [答案] D[解析] ∵f (x )的图象关于x ＝π4对称，∴f (0)＝f (π2)，∴－b ＝a ，∴f (x )＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin(x ＋π4)，∴f (3π4－x )＝2a sin(3π4－x ＋π4)＝2a sin(π－x )＝2a sin x .显然f (3π4－x )是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.8．(2013·武汉实验中学高二期末)定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] B[解析] 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>12，∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数，∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0， ∴当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1，故选B.9．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )＝f (b )D ．f (|a |)<f (b )[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋2f ′( π3)，∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)，即f ′(π3)＝－12.∴f (x )＝sin x －x . 又f ′(x )＝cos x －1≤0， 故f (x )在R 上递减． 又∵－12<log 32，∴f (－12)>f (log 32)，即f (a )>f (b )．10．(2013·华池一中高二期中)若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 令f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，显然当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当－1<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴在x ＝－1时，f (x )取极大值f (－1)＝m ＋2，在x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝m －2.∵f (x )＝0在[0,2]上有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f，f ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，2＋m ≥0，∴－2≤m ≤2.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)， 由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－，f ，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－，f ，∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.12．函数y ＝x ·e x的最小值为________． [答案] －1e[解析] y ′＝(x ＋1)e x＝0，x ＝－1. 当x <－1时，y ′<0，当x >－1时y ′>0 ∴y min ＝f (－1)＝－1e13．(2012·重庆双江中学高二月考，理15)若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞]上的最大值为33，则a 的值为________． [答案]3－1[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2x 2＋a 2＝a －x 2x 2＋a2.当x >a 时f ′(x )<0，f (x )在(a ，＋∞)上是递减的，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )在(－a ，a )上是递增的．当x ＝a 时，f (a )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1.14．一工厂生产某型号车床，年产量为N 台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C 2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量)．设每年每台的库存费为C 1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床________台，一年中库存费和生产准备费之和最小．[答案]C 2N C 1[解析] 设每批生产x 台，则一年生产Nx 批．一年中库存费和生产准备费之和y ＝C 1x ＋C 2N x(0<x <N )．y ′＝C 1－C 2Nx2.由y ′＝0及0<x <N ，解得x ＝C 2NC 1(台)．根据问题的实际意义，y 的最小值是存在的，且y ′＝0有唯一解．故x ＝C 2NC 1台是使费用最小的每批生产台数． 15．(2014·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－3，－2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在x ＝0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b 的值； (2)求实数a 的取值范围．[解析] (1)由导数公式表和求导法则得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即得b ＝0.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－23a .依题意有－23a >0.因为函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性， 所以应有2≤－23a ≤4，解得－6≤a ≤－3.17．求证：x >0时，1＋2x <e 2x.[分析] 利用函数的单调性证明不等式是常用的方法之一，而函数的单调性，可利用其导函数的符号确定．[解析] 设f (x )＝1＋2x －e 2x ， 则f ′(x )＝2－2e 2x＝2(1－e 2x )． 当x >0时，e 2x>1，f ′(x )＝2(1－e 2x)<0，所以函数f (x )＝1＋2x －e 2x在(0，＋∞)上是减函数．当x >0时，f (x )<f (0)＝0，即当x >0时，1＋2x －e 2x<0，即1＋2x <e 2x. 18．(2014·山东文，20)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性.[解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝a x ＋x ＋－x －x ＋2＝a x ＋2x ＋2∵a ＝0，∴f ′(x )＝2x ＋2，根据导数的几何意义，所求切线的斜率k ＝f ′(1)＝12，而f (1)＝0.∴所求切线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.(2)f ′(x )＝a x ＋2＋2x x x ＋2＝ax 2＋a ＋x ＋ax x ＋21°当a ＝0时，f ′(x )＝2x ＋2>0，∴f (x )在(0，＋∞)递增． 令g (x )＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋a Δ＝4(a ＋1)2－4a 2＝8a ＋42°当a >0时，Δ>0，此时g (x )＝0的两根x 1＝－a ＋－2a ＋1a，x 2＝－a ＋＋2a ＋1a∵a >0，∴x 1<0，x 2<0.∴g (x )>0，∵x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )>0 故f (x )在(0，＋∞)递增．3°当a <0时，Δ＝8a ＋4≤0，即a ≤－12时，g (x )≤0，∴f ′(x )≤0.故f (x )在(0，＋∞)递减． 当Δ>0，即－12<a <0时，x 1＝－a ＋＋2a ＋1a>0，x 2＝－a ＋－2a ＋1a>0∴令f ′(x )>0，x ∈(x 1，x 2)，f ′(x )<0，x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)∴f (x )在(x 1，x 2)递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上递减． 综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)递增． 当－12<a <0时，f (x )在(x 1，x 2)递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)递减(其中x 1＝－a ＋＋2a ＋1a，x 2＝－a ＋－2a ＋1a)．当a ≤－12时，f (x )在(0，＋∞)递减．19．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长．[分析] 如图，设出AD 的长，进而求出|AB |表示出面积S ，然后利用导数求最值．[解析] 设矩形边长为AD ＝2x ，则|AB |＝y ＝4－x 2，则矩形面积S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)， 即S ＝8x －2x 3，∴S ′＝8－6x 2， 令S ′＝0，解得x 1＝23，x 2＝－23(舍去) 当0<x <23时，S ′>0；当23<x <2时，S ′<0，∴当x ＝23时，S 取得最大值，此时，S 最大＝3239，y ＝83.即矩形的边长分别为433、83时，矩形的面积最大．[点评] 本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长．20．(2014·重庆文，19)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．[解析] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝14－a x －1x ，由导数的几何意义，且切线与y ＝12x 垂直．得f ′(1)＝14－a －1＝－2，∴a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，∴f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x2. 令f ′(x )＝0解得x ＝－1或5，－1不在定义域之内故舍去． ∴当x ∈(0,5)，f ′(x )<0，∴f (x )在(0,5)递减． 当x ∈(5，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在(5，＋∞)递增． ∴f (x )在x ＝5时取极小值f (5)＝54＋14－ln5－32＝－ln5.21．设函数f (x )＝e x－ax －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值． [分析] (1)先确定函数的定义域，然后求导函数f ′(x )，因不确定a 的正负，故应讨论，结合a 的正负分别得出在每一种情况下f ′(x )的正负，从而确立单调区间；(2)分离参数k ，将不含有参数的式子看作一个新函数g (x )，将求k 的最大值转化为求g (x )的最值问题．[解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )单调递减，在(ln a ，＋∞)单调递增． (2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x－1)＋x ＋1. 故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x－1＋x (x >0)． ①令g (x )＝x ＋1e －1＋x ，则g ′(x )＝－x e x－1x －2＋1＝exx －x －x－2. 由(1)知，函数h (x )＝e x－x －2在(0，＋∞)单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于k<g(α)，故整数k的最大值为2.[点评] 本题考查导数的应用及参数的取值范围的求法．利用导数求参数的取值范围时，经常需将参数分离出来，转化为恒成立问题，最终转化为求函数的最值问题，求得参数的取值范围．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.3 反证法基础巩固 北师大版选修2-2一、选择题1．命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( ) A ．无解 B ．两解C ．至少有两解D ．无解或至少有两解[答案] D2．设a 、b 、c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是P 、Q 、R 同时大于零的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] C[解析] 若P >0，Q >0，R >0，则必有PQR >0；反之，若PQR >0，也必有P >0，Q >0，R >0.因为当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则P 、Q 、R 中必有两个负数，一个正数，不妨设P <0，Q <0，R >0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，两式相加得b <0，这与已知b ∈R ＋矛盾，因此必有P >0，Q >0，R >0.3．若x ，y >0且x ＋y >2，则x 1＋y 或y1＋x的值满足( )A.x1＋y 和y 1＋x 中至少有一个大于12 B.x1＋y 和y 1＋x 都小于12 C.x 1＋y 和y 1＋x 都大于12 D ．不确定 [答案] A[解析] 利用反证法解决．假设x 1＋y ≤12，y 1＋x ≤12，x >0，y >0，则1＋y ≥2x,1＋x ≥2y⇒2＋x ＋y ≥2x ＋2y ⇒x ＋y ≤2，这与x ＋y >2矛盾．二、填空题4．用反证法证明命题“若p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，则关于x 的方程x 2＋p 1x ＋q 1＝0与x 2＋p 2x＋q 2＝0中，至少有一个方程有实数根”时，应假设为________．[答案] 两个方程都没有实数根5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个不小于________． [答案] 13[解析] 假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与已知条件矛盾．a 、b 、c 中至少有一个不小于13.三、解答题6．求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60°. [解析] 已知∠A 、∠B 、∠C 为△ABC 的三个内角． 求证：∠A 、∠B 、∠C 中至少有一个不小于60°.证明：假设△ABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 都小于60°， 即∠A <60°，∠B <60°，∠C <60°， 三式相加得∠A ＋∠B ＋∠C <180°. 这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A 、∠B 、∠C 都小于60°的假设不能成立． ∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.一、选择题1．“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”的否定为( ) A ．自然数a 、b 、c 都是奇数 B ．自然数a 、b 、c 都是偶数 C ．自然数a 、b 、c 中至少有两个偶数 D ．自然数a 、b 、c 都是奇数或至少有两个偶数 [答案] D[解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数． 2．若a 、b 、c 不全为零，必须且只需( ) A ．abc ≠0B ．a 、b 、c 中至少有一个为0C ．a 、b 、c 中只有一个是0D ．a 、b 、c 中至少有一个不为0[解析] a 、b 、c 不全为零，即a 、b 、c 中至少有一个不为0.3．(2014·山东理，4)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 [答案] A[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根． 反证法的假设为原命题的否定．4．设a 、b 、c 为一个三角形的三边，S ＝12(a ＋b ＋c )，若S 2＝2ab ，试证S <2a .用反证法证明该题时的假设为( )A ．S 2≠2ab B ．S >2a C ．S ≥2a D ．S ≤2a[答案] C[解析] 对“<”的否定应为“≥”，故选C.5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 [答案] D[解析] 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 1＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________________________________．[答案] 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．7．某同学准备用反证法证明如下问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么其反设应该是__________________．[答案] 如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，则|f (x 1)－f (x 2)|≥12[解析] 根据题意知，反证法解题是从假设原命题不成立开始，把结论的否定作为条件，连同其他条件一起经过推断，得出与已知条件或已有原理相矛盾，从而肯定原命题的正确性．这里进行假设时，注意把函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)剥离出来作为已知条件．三、解答题8．已知非零实数a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a 、1b 、1c不能构成等差数列．[解释] 假设1a 、1b 、1c 能构成等差数列，则由2b ＝1a ＋1c，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a 、b 、c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得，(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝c ，这与a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a 、1b 、1c不能构成等差数列．9．已知a 、b 是正有理数，a 、b 是无理数，证明：a ＋b 必为无理数． [解析] 假设a ＋b 为有理数，记p ＝a ＋b ，因为a 、b 是正有理数，所以p >0.将a ＝p －b 两边平方，得a ＝p 2＋b －2p b ，所以b ＝p 2＋b －a2p.因为a 、b 、p 均为有理数，所以b 必为有理数，这与已知条件矛盾，故假设错误．所以a ＋b 必为无理数．[点评] 数学中的有些命题，所给条件不足以从正面证明结论正确，可采用反证法，否定结论，由此推出与已知或假设矛盾，证得结论．10．已知x 、y 、z ∈R ，x ＋y ＋z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝12，求证：x 、y 、z ∈[0，23]．[分析] 本题中的条件比较复杂，而结论比较简单，不太容易入手证明，可用反证法证明．[解析] 假设x 、y 、z 中有负数，不妨设x <0，则x 2>0，则y ＋z ＝1－x ，y 2＋z 2≥y ＋z22，∴12＝x 2＋y 2＋z 2≥x 2＋y ＋z 22＝x 2＋－x22＝32x 2－x ＋12＝32x (x －23)＋12. ∵x <0，∴x －23<0.∴32x (x －23)>0.∴12≥32x (x －23)＋12>12，矛盾． ∴x ，y ，z 中没有负数．假设x ，y ，z 中有一个大于23，不妨设x >23.则12＝x 2＋y 2＋z 2≥x 2＋y ＋z22＝x 2＋－x 22＝32x 2－x ＋12＝32x (x －23)＋12. ∵x >23，∴x >0.∴32x (x －23)>0.∴12≥32x (x －23)＋12>12，矛盾． ∴x ，y ，z 中没有大于23的．综上，x ，y ，z ∈[0，23]．[点评] 像这样若直接从条件推证，解题方向不明确，过程不可推测，不易证明的题目，应考虑用反证法证明．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.3 计算导数基础巩固 北师大版选修2-2一、选择题1．函数y ＝lg x 在x ＝1处的瞬时变化率为( ) A ．0 B ．1 C ．ln10 D.1ln10[答案] D [解析] y ′＝1x ln10，∴函数在x ＝1处的瞬时变化率为11×ln10＝1ln10. 2．(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] ∵f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1. ∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D.3．(2014·三峡名校联盟联考)曲线y ＝x 2在点P (1,1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝2x ＋1 D ．y ＝－2x[答案] B[解析] y ′＝2x ，∴y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 二、填空题4．过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点的坐标为____________，切线的斜率为____________．[答案] (1，e ) e[解析] ∵(e x)′＝e x，设切点坐标为(x 0，ex 0)，则过该切点的直线的斜率为ex 0， ∴直线方程为y －ex 0＝ex 0(x －x 0)． ∴y －ex 0＝ex 0·x －x 0·ex 0.∵直线过原点，∴(0,0)符合上述方程． ∴x 0·ex 0＝ex 0.∴x 0＝1.∴切点为(1，e )，斜率为e .5．下列命题中，正确命题的个数为____________． ①若f (x )＝x ，则f ′(0)＝0； ②(log a x )′＝x ln a (a ＞0，a ≠1)； ③加速度是动点位移s (t )对时间t 的导数； ④曲线y ＝x 2在(0,0)处没有切线． [答案] 0[解析] ①因为f (x )＝x ，当x 趋于0时不存在极限，所以x ＝0处不存在导数，故错误；②(log a x )′＝1x ln a，(a ＞0，a ≠1)，故错误；③瞬时速度是位移s (t )对时间t 的导数，故错误；④曲线y ＝x 2在(0,0)处的切线为直线y ＝0，故错误．三、解答题6．求下列函数的导数 (1)y ＝1x2；(2)y ＝3x ； (3)y ＝log 2x .[解析] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3(2)y ′＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23(3)y ′＝(log 2x )′＝1x ln2一、选择题1．下列各式正确的是( ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos x D ．(x －5)′＝－15x －6[答案] C[解析] 由导数的运算法则易得，注意A 选项中的a 为常数，所以(sin a )′＝0.故选C.2．(2013·无锡模拟)曲线y ＝x 3＋ax ＋1的一条切线方程为y ＝2x ＋1，则实数a ＝( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4[答案] C[解析] 设切点为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋a ， ∴3x 20＋a ＝2①又∵切点既在曲线上，又在切线上， ∴x 30＋ax 0＋1＝2x 0＋1②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝2.3．函数y ＝x 在x ＝1处的导数是( ) A ．－12B.12 C ．1 D ．－1[答案] B[解析] 首先，对x ＝1给定自变量x 的一个改变量Δx ，得到相应函数值的改变量Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1，再计算相应的平均变化率Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1当Δx 趋于0时，可以得出导数y ′＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.4．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2或⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 [答案] B[解析] y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x2，解得－1x 2＝－4，解得x ＝±12，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，故选B. 5．(2013·嘉兴高二检测)已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为( )A.23 B ．－23C ．13D ．－13[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.二、填空题6．函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．[答案] 21[解析] 函数y ＝x 2(x >0)在点(a 1，a 21)处(a 1＝16)即点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)，令y ＝0得a 2＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(a 2，a 22)处(a 2＝8)即点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4，依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21.7．直线y ＝12x ＋b (b 是常数)是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.[答案] ln2－1[解析] 对曲线对应的函数求导得y ′＝1x ，令1x ＝12得x ＝2，故切点坐标是(2，ln2)，代入直线方程，得ln2＝12×2＋b ，所以b ＝ln2－1.三、解答题8．试比较曲线y ＝x 2与y ＝1x在它们交点处的切线的倾斜角的大小．[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，即两条曲线的交点坐标为(1,1)．对于函数y ＝x 2，y ′＝2x ，所以曲线y ＝x 2在交点(1,1)处的切线l 1的斜率k 1＝2；对于函数y ＝1x ，y ′＝－1x 2，所以曲线y ＝1x在交点(1,1)处的切线l 2的斜率k 2＝－1.由于k 1>0，k 2<0，所以切线l 1的倾斜角小于切线l 2的倾斜角．9．在曲线y ＝f (x )＝1x2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.[分析] 根据导数的几何意义先求出切点的横坐标，再代入方程求出纵坐标． [解析] 设切点坐标为P (x 0，y 0)，f ′(x 0)＝－2x －30＝tan135°＝－1，即－2x －30＝－1，∴x 0＝213.代入曲线方程得y 0＝2－23，∴点P 的坐标为(213，2－23)．10．试求过点A (3,5)且与曲线y ＝f (x )＝x 2相切的直线方程．[分析] 本题的关键在于求切线的斜率，首先判断A 是否在曲线上，若A 在曲线上，则A 可能为切点，否则A 不是切点，则需要设出切点的坐标．[解析] 点A 不在曲线y ＝x 2上，应先求切点．设所求切线的切点为P (x 0，y 0)，因为P 是曲线y ＝x 2上一点，所以y 0＝x 20.又过点P (x 0，y 0)的切线斜率为f ′(x 0)＝2x 0，而所求切线过点A (3,5)和P (x 0，y 0)两点，所以其斜率又应为y 0－5x 0－3.所以2x 0＝y 0－5x 0－3，将它与y 0＝x 20联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20，2x 0＝y 0－5x 0－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝25，即切点为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线斜率k 1＝2，相应切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1；当切点为(5,25)时，切线斜率k 2＝10，相应切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上，所求切线方程为y ＝2x －1或y ＝10x －25.。

第二章综合测试时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B. 2 C ．eD.1e [答案] A[解析] 根据导数的几何意义可得，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1.2．已知使函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为( ) A ．0B ．±3C ．0或±3D ．非以上答案 [答案] C[解析] 求出使y ′＝0的值的集合，再逐一检验．y ′＝3x 2＋2ax .令y ′＝0，得x ＝0或x ＝－23a . 由题设x ＝0时，y ＝0，故－43a ＝0，则a ＝0.且知当x ＝2，a ＝－3或x ＝－2，a ＝3时，也成立．故选C.3．设f (x )为可导函数，且满足条件lim x →0f (1)－f (1－x )2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2 [答案] B[解析] 因为f (x )为可导函数，且lim x →0f (1)－f (1－x )2x ＝－1，所以12lim x →0 f (1)－f (1－x )x＝－1，所以lim x →0f (1)－f (1－x )x ＝－2，即f ′(1)＝－2，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－2. 4．(2014·河南开封二模，12)过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条[答案] A [解析] 由题意得，f ′(x )＝3x 2－3，设切点为(x 0，x 30－3x 0)，那么切线的斜率为k ＝3x 20－3，利用点斜式方程可知切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点A (2,1)代入可得关于x 0的一元三次方程，利用导数的思想可知方程有三个解，故过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有3条，故选A.5．若函数y ＝e x x在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值( ) A ．等于0B ．等于1C ．等于12D ．不存在[答案] C[解析] y ′＝(e x )′x －e x ·(x )′x 2＝e x (x －1)x 2， 当x ＝x 0时，y ′＝e x 0(x 0－1)x 20，y ＝e x 0x 0.由题意，知y ′＋y ＝0，即e x 0(x 0－1)＋e x 0·x 0＝0， 所以x 0＝12. 6．(2014·邹城一中月考，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3 [答案] A[解析] ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，① ∴f (2－x )＝2f (x )－(2－x )2＋8(2－x )－8＝2f (x )－x 2－4x ＋4.② 将②代入①，得f (x )＝4f (x )－2x 2－8x ＋8－x 2＋8x －8.∴f (x )＝x 2，y ′＝2x .∴y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.∴函数y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.7．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2][答案] D[解析] ∵f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)， ∵θ∈[0，5π12]，∴sin(θ＋π3)∈[22，1]， ∴f ′(1)∈[2，2]．故选D.[点评] 本题考查导数的运算法则以及常用函数的导数公式，应熟练掌握常用函数的导数公式以及四则运算法则．8．若曲线xy ＝a (a ≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( )A ．2a 2B ．a 2C ．2|a |D ．|a | [答案] C[解析] 设切点的坐标为(x 0，y 0)，曲线的方程即为y ＝a x ，y ′＝－a x 2，故切线斜率为－a x 20，切线方程为y －a x 0＝－a x 20(x －x 0)．令y ＝0得x ＝2x 0，即切线与x 轴的交点坐标为(2x 0,0)；令x ＝0得y ＝2a x 0，即切线与y 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，2a x 0.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|2x 0|×⎪⎪⎪⎪2a x 0＝2|a |. 9．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图像在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2 012的值为( ) A.2 0092 010B.2 0102 011C.2 0112 012D.2 0122 013 [答案] D[解析] f ′(x )＝2x ＋b ，由f ′(1)＝2＋b ＝3，得b ＝1.则f (x )＝x 2＋x .于是1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， S 2 012＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (2 012)＝1－12＋12－13＋…＋12 012－12 013＝2 0122 013. 10．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( ) A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7 [答案] A[解析] 考查导数的应用，求曲线的切线方程问题．设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上， 则x 0＝0或x 0＝32. x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切得 a ＝－2564当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切得a ＝－1，所以选A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________．[答案] 283π [解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3， ∴Δy Δx ＝28π32－1＝283π. 12．设f (x )是偶函数，若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f (－1))处的切线的斜率为________．[答案] －1[解析] 考查偶函数性质．偶函数图像关于y 轴对称，则曲线上关于y 轴对称的两点的切线也关于y 轴对称，斜率互为相反数．∴斜率为－1.13．已知0<x <14，f (x )＝x 2，g (x )＝x ，则f ′(x )与g ′(x )的大小关系是________． [答案] f ′(x )<g ′(x )[解析] 由题意，得f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝12x. 由0<x <14，知0<f ′(x )<12，g ′(x )>1， 故f ′(x )<g ′(x )．14．函数y ＝cos x ·cos2x ·cos4x 的导数为________．[答案] y ′＝cos x sin8x sin 2x[解析] ∵y ＝cos x ·cos2x ·cos4x ＝sin x ·cos x ·cos2x ·cos4x sin x ＝18·sin8x sin x， ∴y ′＝18⎝⎛⎭⎫sin8x sin x ′＝18·8sin x ·cos8x －cos x ·sin8x sin 2x ＝cos8x sin x －cos x ·sin8x 8sin 2x. 15．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)·…·(x ＋n )，则f ′(0)＝____________.[答案] 1×2×……×n[解析] 令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)……(x ＋n )，则f (x )＝x ·g (x )．求导数得f ′(x )＝x ′g (x )＋x ·g ′(x )＝g (x )＋x ·g ′(x )．所以f ′(0)＝g (0)＋0·g ′(0)＝g (0)＝1×2×…×n三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16．路灯距地平面为8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C ，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化率．[解析] 如图，路灯距地平面的距离为DC ，人的身高为EB .设人从C 点运动到B 处路程为x m ，时间为t (单位：s)，AB 为人影长度，设为y ，则∵BE ∥CD ，∴AB AC ＝BE CD， ∴y y ＋x ＝1.68， 又84 m /min ＝1.4 m/s ，∴y ＝14x ＝720t (x ＝1.4t )． ∴y ′＝720. [点评] 人影长度的变化率即人影长度关系时间t 的导数．17．求曲线y ＝13x 3＋x 2＋4上斜率最小的切线的倾斜角及切线方程． [分析] 斜率最小即函数的导数值最小．[解析] 由于y ′＝x 2＋2x ，当x ＝－1时，(y ′)min ＝－1，即切点为(－1，143)时，切线斜率最小为－1， 此时切线倾斜角为3π4， 切线方程为y －143＝－1(x ＋1)， 即3x ＋3y －11＝0，18．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1、C 2都相切．求直线l 的方程．[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1，y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21 ①.对于C 2，y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4 ②.∵两切线重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1＝－2(x 2－2)－x 21＝x 22－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 2＝0， ∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.19．(1)求曲线y ＝f (x )＝x 3－2x 在点(1，－1)处的切线方程；(2)过曲线y ＝f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．[分析] 要注意(1)(2)中的不同之处，在点(1，－1)处的切线方程即(1，－1)为切点，而过点(1，－1)的切线方程中切点需设出后，再利用导数的几何意义(可利用斜率相等)，求出切点坐标后再求切线方程．[解析] (1)由题意f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1，∴点(1，－1)处的切线的斜率k ＝1，其方程为y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.(2)设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－2x 0，则切点处的导数值f ′(x 0)＝3x 20－2；若点(1，－1)为切点，由(1)知切线方程为x －y －2＝0；若点(1，－1)不为切点，则3x 20－2＝y 0＋1x 0－1(x 0≠1)， 即3x 20－2＝x 30－2x 0＋1x 0－1， ∴3x 30－2x 0－3x 20＋1＝x 30－2x 0.∴2x 30－3x 20＋1＝0，即(x 0－1)(2x 20－x 0－1)＝0.∴x 0＝1或x 0＝－12，其中x 0＝1舍去． 则切点坐标为(－12，78)， ∴斜率为f ′(－12)＝3×(－12)2－2＝－54. ∴切线方程为5x ＋4y －1＝0.∴过点(1，－1)的切线方程为x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.[点评] 利用导数求切线方程时要注意：求在点P (x 0，y 0)处的切线方程，与经过点P (x 0，y 0)的切线方程求法不同，后者需要先把切点设出来．20．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x 2.(1)求x <0时，f (x )的表达式；(2)令g (x )＝ln x ，问是否存在x 0，使得f (x )，g (x )在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，请求出x 0的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－2(－x )2＝－2x 2.(2)若f (x )，g (x )在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，且x 0>0，故f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0， 解得x 0＝±12. ∵x 0>0，∴x 0＝12. 21．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )，若x ∈[0,1]，f (x )图像上任意一点处切线的斜率为k ，当|k |≤1时，求a 的范围．[解析] ∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，∴k ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax .由|k |≤1知|－3x 2＋2ax |≤1(0≤x ≤1)，即|－3(x －a 3)2＋a 23|≤1在x ∈[0,1]上恒成立． 又f ′(0)＝0，①当a 3<0，即a <0时，－3＋2a ≥－1，即a ≥1.故无解； ②当0≤a 3≤1，即0≤a ≤3时，⎩⎪⎨⎪⎧a 23≤1，－3＋2a ≥－1，得1≤a ≤3；③当a 3>1，即a >3时，－3＋2a ≤1得a ≤2，此时无解． 综上知1≤a ≤3，∴a的范围为[1，3]．。

第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 与点F (3,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小2，则点M 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝－12x B ．y 2＝6x C ．y 2＝12x D ．y 2＝－6x[答案] C[解析] 由抛物线的定义知，点M 的轨迹是F 为焦点，直线x ＋3＝0为准线的抛物线，其方程为y 2＝12x .2．(2014·洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1 C.x 220＋y 25＝1 D.x 25＋y 220＝1 [答案] C[解析] 由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C.3．(2014·山东省博兴二中质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．2 3[答案] B[解析] ∵抛物线y 2＝43x 的焦点(3，0)为双曲线的右焦点，∴c ＝3， 又ba＝2，结合a 2－b 2＝c 2，得a ＝1，∴e ＝3，故选B. 4．(2014·宁夏银川一中二模)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积( )A ．5B ．10C ．20 D.15[答案] B[解析] 设P (x 0，y 0)，则由抛物线定义知x 0＋1＝5， ∴x 0＝4故y 0＝4，所以S △MPF ＝12×5×4＝10.5．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2( )A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于1[答案] C[解析] ∵lg e 1＋lg e 2＝lga 2－b 2a＋lg a 2＋b 2a＝lga 4－b 4a 2<lg a 2a2＝lg1＝0，∴lg e 1＋lg e 2<0. 6．(2014·江西文，9)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 [答案] A[解析] 如图设双曲线的右焦点F ，右顶点B ，设渐近线OA 方程为y ＝bax ，由题意知，以F 为圆心，4为半径的圆过点O ，A ， ∴|F A |＝|FO |＝r ＝4.∵AB ⊥x 轴，A 为AB 与渐近线y ＝ba x 的交点，∴可求得A 点坐标为A (a ，b )． ∴在Rt △ABO 中，|OA |2＝OB 2＋AB 2＝a 2＋b 2＝c ＝|OF |＝4，∴△OAF 为等边三角形且边长为4，B 为OF 的中点，从而解得|OB |＝a ＝2，|AB |＝b ＝23， ∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.7．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm ，灯深40cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y[答案] C[解析] 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p ×40,2p ＝452，所以抛物线的方程应为y 2＝452x ，所给选项中没有y 2＝452x ，但方程x 2＝－452y 中的“2p ”值为452，所以选项C 符合题意．8．过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 [答案] B[解析] 过P 与x 轴平行的直线y ＝1与抛物线只有一个交点；过P 与抛物线相切的直线x ＝0，y ＝14x ＋1与抛物线只有一个交点．9．(2014·山东省烟台市期末)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2相切，则此双曲线的离心率等于( )A ．2B ．3 C. 6 D ．9 [答案] B[解析] 由题意双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝ba x ，代入抛物线方程y ＝x 2＋2整理得x 2－bax ＋2＝0，因渐近线与抛物线相切，∴Δ＝(－ba )2－8＝0，即(ba)2＝8，∴此双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋(b a)2＝1＋8＝3.故选B.10．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[分析] 此题若用坐标法求解运算相当繁琐，而且一时难以理出思路．本题易借助几何图形的几何性质加以解决．[答案] A[解析]延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，如图所示．则△APF 1是等腰三角形，∴|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a .∵O 是F 1F 2的中点，Q 是AF 1的中点， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝a .∴Q 点的轨迹是以原点O 为圆心，半径为a 的圆．故选A.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．若抛物线y 2＝mx与椭圆x 29＋y 25＝1有一个共同的焦点，则m ＝________.[答案] ±8[解析] 椭圆焦点为(－2,0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m ＝±8. 12．已知双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则△ABF 1的周长为________．[答案] 26[解析] 由双曲线的定义，知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝8，|BF 1|－|BF 2|＝8， ∴|AF 1|＋|BF 1|－(|AF 2|＋|BF 2|)＝16. 又∵|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＝5， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝16＋5＝21.∴△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝21＋5＝26.13．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线l ：x ＋y ＝1交于M 、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线斜率为22，则mn＝________. [答案]22[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴mx 21＋ny 21＝1 ① mx 22＋ny 22＝1②又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，∴①－②得：m －n ·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0， ∵y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝22，∴m ＝22n ，∴m n ＝22. 14．(2014·哈三中二模)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y 2＝8x 的准线的一个交点的纵坐标为－1，则双曲线的离心率为________．[答案]52[解析] 抛物线y 2＝8x 的准线方程x ＝－2，∴交点坐标为(－2，－1)，∴双曲线的渐近线方程y ＝12x ，即b a ＝12，∴e ＝1＋b 2a 2＝52. 15．(2014·唐山市一模)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |＝________.[答案]163[解析] 设AB 所在的直线y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x 消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1x 2＝1，设A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，∵A 到准线的距离为4，∴x 1＋1＝4，∴x 1＝3，∴x 2＝13，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝3＋13＋2＝163.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16．求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线；(2)以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线．[答案] (1)x 212－y 28＝1 (2)x 28－y 22＝1[解析] (1)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a 2＝1(20－a 2>0)又点(32，2)在双曲线上，∴18a 2－420－a 2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.(2)椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)， ∴所求双曲线的焦点为(±10，0)， 设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14， ∴a 2＝8，b 2＝2，即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1.17．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18m ，拱顶离水面的距离为8m ，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若矩形的长|CD |＝9m ，那么矩形的高|DE |不能超过多少m 才能使船通过拱桥？[答案] 6m[解析] 如图，以O 点为原点，过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．则B (9，－8)，设抛物线方程为x 2＝－2py (y >0)．∵点B 在抛物线上，∴81＝－2p ·(－8)， ∴p ＝8116，∴抛物线的方程为x 2＝－818y ，∴当x ＝92时，y ＝－2，∴|DE |＝6，∴当矩形的高|DE |不超过6m 时，才能使船通过拱桥．18．已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且A (－2,0)、B (2,0)，|AD →|＝2，AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AC →，求点E 的轨迹方程．[答案] x 2＋y 2＝1(y ≠0) [解析] 如图设点E 的坐标为(x ，y )， ∵AE →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴由向量加法的平行四边形法则可知，点E 为BD 的中点，连结OE ， 又O 为AB 的中点，∴OE ＝12AD ＝1.即动点E 到定点O 的距离为定值1，由圆的定义知，点E 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)．[点评] 平面向量在解析几何中的应用，是高考考查的重要内容，本题借助于图形，将数与形有机地结合起来，找到了突破口，即点E 到定点O 的距离等于定值1这一关键，从而求出了动点E 的轨迹方程，充分体现了数形结合这一重要思想．19．(2014·云南景洪市一中期末)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |.(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值． [答案] (1)43 (2)22[解析] (1)求椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程式为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2设A (x 1，y 1)，B (x 1，y 1)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，消去y 化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2c1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1| 即43＝2|x 2－x 1|. 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 41＋b 2， 解得b ＝22. 20．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝233，过A (a,0)，B (0，－b )的直线到原点的距离是32. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋5(k ≠0)交双曲线于不同的点C ，D ，且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．[答案] (1)x 23－y 2＝1 (2)±7[解析] (1)双曲线的离心率e ＝c a ＝233.①过A ，B 的直线为x a －yb ＝1，即bx －ay －ab ＝0. ∵原点到直线AB 的距离为32， ∴|－ab |a 2＋b 2＝ab c ＝32，②由①②，得b ＝1.∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋1a 2＝43. ∴a 2＝3，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 2＝1y ＝kx ＋5，得(1－3k 2)x 2－30kx －78＝0. ∴x 1＋x 2＝30k1－3k 2.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，CD 的中点M (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝15k1－3k 2，y 0＝kx 0＋5＝51－3k 2.∴MB 的斜率k MB ＝y 0＋1x 0＝－1k .∴x 0＋ky 0＋k ＝0， 即15k 1－3k 2＋5k1－3k 2＋k ＝0. 解得k 2＝7，∴k ＝±7.21．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ (2)k 值不存在 [解析] (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①∵直线l 与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2>0， 解得k <－22或k >22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.(2)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由方程①，x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k2. ③又A (2，0)，B (0,1)，∴AB →＝(－2，1)． ∵OP →＋OQ →与AB →共线， ∴x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)，④将②③代入④式，解得k ＝22. 由(1)知k <－22或k >22，故没有符合题意的常数k . 反馈练习一、选择题1．若方程x 2a －y 2b ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是( )A.－b >aB.－b <aC.b >－aD.b <－a[答案] A[解析] 方程x 2a －y 2b ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴b <0，∴－b >a .2．“直线与双曲线有唯一的公共点”是“直线与双曲线相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 直线与双曲线有唯一的公共点⇒直线与双曲线相切或直线平行于双曲线的一条渐近线，故选B.3．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48[答案] C[解析] 设抛物线为y 2＝2px ，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线x ＝－p 2，由|AB |＝2p ＝12，知p ＝6，所以F 到准线距离为6，所以三角形面积为S ＝12×12×6＝36.4．等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2 [答案] B[解析] 由抛物线的对称性质及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得A (2p,2p )，则B (2p ，－2p )，∴|AB |＝4p ，∴S △ABO ＝12·4p ·2p ＝4p 2.5．(2014·太原模拟)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1、F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1||F 1F 2||PF 2|＝432，则曲线C 的离心率等于( )A.23或32B.23或2C.12或2D.12或32[答案] D[解析] 因为|PF 1||F 1F 2||PF 2|＝432，所以设|PF 1|＝4x ，|F 1F 2|＝3x ，|PF 2|＝2x ，x >0.因为|F 1F 2|＝3x ＝2c ，所以x ＝23c .若曲线为椭圆，则有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6x ， 即a ＝3x ，所以离心率e ＝c a ＝c 3x ＝c 3×23c ＝12.若曲线为双曲线，则有2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2x ，即a ＝x ， 所以离心率e ＝c a ＝c x ＝c 23c ＝32，所以选D.6．(2014·山西省高三四校联考)已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A ．4B ．3C ．2 D.1[答案] B[解析] 解方程2x 2－5x ＋2＝0得x ＝2或12.当e ＝2时，m <0表示焦点在x 轴上的双曲线；当e ＝12时，m >0，可表示焦点在x 轴或y 轴上的椭圆，故选B.7．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．线段B ．直线C ．圆D ．椭圆 [答案] D[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A (－3,0)和定圆的圆心B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|P A |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8.∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，故选D.8．(2014·陕西工大附中四模)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与双曲线的左、右两支．．．．．分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D.7[答案] D[解析] 如图，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∴|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝|BF 1|－|AF 1|＋|AF 2|－|BF 2|＝(|BF 1|－|BF 2|)＋(|AF 2|－|AF 1|)＝4a ，∴|BF 2|＝4a ，|BF 1|＝6a ， 在△BF 1F 2中，∠ABF 2＝60°，由余弦定理，|BF 1|2＋|BF 2|2－|F 1F 2|2＝2|BF 1|·|BF 2|·cos60°， ∴36a 2＋16a 2－4c 2＝24a 2，∴7a 2＝c 2， ∵e>1，∴e ＝ca＝7，故选D.9．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74 [答案] C[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由|AF |＋|BF |＝3得，x 1＋x 2＋12＝3，∴x 1＋x 2＝52，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x 1＋x 22＝54.10．(2014·银川九中一模)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4[答案] C[解析] 由渐近线方程为y ＝x 知，b2＝1，∴b ＝2， ∵点P (3，y 0)在双曲线上，∴y 0＝±1， y 0＝1时，P (3，1)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴PF 1→·PF 2→＝0，y 0＝－1时，P (3，－1)，PF 1→·PF 2→＝0，故选C. 二、填空题11．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M 是这条抛物线上的一个动点，P (3,1)是一个定点，则|MP |＋|MF |的最小值是____________．[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线，垂足为N ，交抛物线于M ，则|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MN |＝|PN |＝4为所求最小值．12．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________．[答案] x 216＋y 212＝1[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝42m ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16n 2＝12，∴所求椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.13．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值为________．[答案] 32[解析] 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y 2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32.当直线的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k (x －4)，得ky 2－4y －16k ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32， 综上可知y 21＋y 22≥32. ∴y 21＋y 22的最小值为32.14．(2014·天津和平区期末质检)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成53两段，则此双曲线的离心率为________．[答案]233[解析] y 2＝2bx 的焦点为(b2，0)，x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为(c,0)，由题意可知：c －b 2＝38×2c ，即c ＝2b ，而e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝c 2c 2－b 2＝4b 23b 2＝43，则e ＝233.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．[答案] [2，＋∞)[解析] 设双曲线的斜率为正的一条渐近线的斜率为k ，则k ≥3，即ba ≥ 3.所以e 2＝1＋b 2a2≥1＋(3)2＝4，所以e ≥2. 三、解答题16．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)．(1)求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；(2)设点P ，F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′，F ′1，F ′2，求以F ′1，F ′2为焦点且过点P ′的双曲线的标准方程；(3)求过(2)中的点P ′的抛物线的标准方程．[答案] (1) x 245＋y 29＝1(2)y 220－x 216＝1 (3)y 2＝252x 或x 2＝45y[解析] (1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其半焦距c ＝6.∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝112＋22＋12＋22＝65，∴a ＝35，b 2＝a 2－c 2＝45－36＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 245＋y 29＝1.(2)点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′(2,5)，F ′1(0，－6)，F ′2(0,6)，设所求双曲线的标准方程为y 2a 21－x 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)，由题意知半焦距c 1＝6.∵2a 1＝||P ′F ′1|－|P ′F ′2||＝|112＋22－12＋22|＝45，∴a 1＝25，b 21＝c 21－a 21＝36－20＝16.故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.(3)设抛物线方程为y 2＝2px 或x 2＝2p 1y ， ∵抛物线过P ′(2,5)， ∴25＝4p 或4＝10p 1， ∴p ＝254或p 1＝25.∴抛物线方程为y 2＝252x 或x 2＝45y .17．已知双曲线过点P (－32，4)，它的渐近线方程为y ＝±43x .(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝41，求∠F 1PF 2的余弦值．[答案] (1)x 29－y 216＝1 (2)941[解析] (1)由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－32的点P ′的纵坐标的绝对值为4 2.∵42>4，∴双曲线的焦点在x 轴上， 设方程为x 2a 2－y 2b2＝1.∵双曲线过点P (－32，4)， ∴18a 2－16b 2＝1 ① 又∵b a ＝43②，由①②，得a 2＝9，b 2＝16， ∴所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1·d 2＝41.又由双曲线的几何性质知|d 1－d 2|＝2a ＝6. 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－|F 1F 2|22d 1d 2＝(d 1－d 2)2＋2d 1d 2－|F 1F 2|22d 1d 2＝941.18．(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．[答案] (1)x 225＋y 216＝1 (2)(32，－65)[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x－3)代入椭圆方程得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65)．19.如右图，已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，顶点为O 点，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．[答案] y 2＝x －12[解析] 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易求y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)， ∵M 是FQ 的中点，∴x ＝1＋x 22，y ＝y 22，∴x 2＝2x －1，y 2＝2y ，又Q 是OP 的中点． ∴x 2＝x 12，y 2＝y 12，∴x 1＝2x 2，y 1＝2y 2，∴x 1＝4x －2，y 1＝4y . ∵点P 在抛物线y 2＝4x 上，∴(4y )2＝4(4x －2)，∴点M 的轨迹方程为y 2＝x －12.20．(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A 、B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程． [答案] (1)x 24＋y 23＝1 (2)x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0[解析] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >0，b >0)，∵c ＝1，c a ＝12，∴a ＝2，b ＝3，∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1.消去y得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 3＋4k2，x 1·x 2＝－83＋4k 2，由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k 2，消去x 2得(8k 3＋4k 2)2＝43＋4k 2，解得k 2＝14，∴k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.21．(2014·郑州市质检)已知平面上的动点R (x ，y )及两定点A (－2,0)，B (2,0)，直线RA 、RB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1·k 2＝－34， 设动点R 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点S (4,0)的直线与曲线C 交于M 、N 两点，过点M 作MQ ⊥x 轴，交曲线C 于点Q . 求证：直线NQ 过定点，并求出定点坐标．[答案] (1)x 24＋y 23＝1(y ≠0) (2)D (1,0)[解析] (1)由题知x ≠±2，且k 1＝y x ＋2，k 2＝y x －2，则y x ＋2·y x －2＝－34，整理得，曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)设NQ 与x 轴交于D (t,0)，则直线NQ 的方程为x ＝my ＋t (m ≠0)， 记N (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由对称性知M (x 2，－y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12x ＝my ＋t 消去x 得：(3m 2＋4)y 2＋6mty ＋3t 2－12＝0， 所以Δ＝48(3m 2＋4－t 2)>0，且y 1,2＝－6mt ±Δ2(3m 2＋4)，故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6mt3m 2＋4，y 1·y 2＝3t 2－123m 2＋4，由M 、N 、S 三点共线知k NS ＝k MS ，即y 1x 1－4＝－y 2x 2－4，所以y 1(my 2＋t －4)＋y 2(my 1＋t －4)＝0， 整理得2my 1y 2＋(t －4)(y 1＋y 2)＝0，所以2m (3t 2－12)－6mt (t －4)3m 2＋4＝0，即24m (t －1)＝0，t ＝1，所以直线NQ 过定点D (1,0)．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第3章 §1回归分析同步测试 北师大版选修2-3一、选择题1．相关系数r 的取值范围是( ) A ．[－1,1] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．(－1,1)[答案] A2．(2014·重庆理，3)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x －＝3，y －＝3.5，则由该观测数据算得线性回归方程可能为( )A.y ^＝0.4x ＋2.3 B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.4 [答案] A[解析] 本题考查了线性回归方程，将点(3,3.5)代入个方程中可知，选项A 成立，所以选A ，线性回归方程一定经过点(x ，y )．3．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2<r 1<0 B. 0<r 2<r 1 C. r 2<0<r 1 D ．r 2＝r 1 [答案] C[解析] 对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1>0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，而r 2<0，所以有r 2<0<r 1，故选C.二、填空题4．对于回归方程y ＝4.75x ＋257，当x ＝28时，y 的估计值是____________． [答案] 390[解析] ∵y ＝4.75x ＋257，当x ＝28时，y ＝4.75×28＋257＝390.5．(2010·广东)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出Y (单位：万元)的统计资料如下表所示：支出有__________线性相关关系．[答案] 13 较强的[解析] 由表中所组的数据知所求的中位数为13，画出x 与Y 的散点图知它们有较强的线性相关关系．三、解答题6．(2012·福建文，18)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解析] (1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1000 ＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定价为8.25元时，工厂可获得最大利润.一、选择题1．(2014·湖北理，4)根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[答案] B[解析] 作出散点图如下：由图象不难得出：回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0.所以a >0，b <0.解答本题的关键是画出散点图，然后根据散点图中回归直线的斜率、截距来判断系数b ，a 与0的大小．2．对四对变量y 和x 进行相关性检验，已知n 是观测值的组数，r 是相关系数，且知①n ＝3，r ＝0.9950；②n ＝7，r ＝0.9533；③n ＝15，r ＝0.3012；④n ＝17，r ＝0.4991.(已知n ＝3时，r 0.05＝0.997；n ＝7时，r 0.05＝0.754；n ＝15时，r 0.05＝0.514；n ＝17时，r 0.05＝0.482)(r 0.05为r 的临界值)则变量y 和x 具有线性相关关系的是( ) A ．①和② B ．①和③ C ．②和④ D ．③和④[答案] C[解析] 若y 与x 具有线性相关关系，则需r ＞r 0.05，对②和④都满足r ＞r 0.05. 3．(2011·山东)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元[答案] B[解析] ∵a ＝y －b x ＝49＋26＋39＋544－9.4×4＋2＋3＋54＝9.1，∴回归方程为y ＝9.4x ＋9.1.令x ＝6，得y ＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．4．(2012·新课标文，3)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1[答案] D[解析] 本题考查了相关系数及相关性的判定．样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线y ＝12x ＋1上，样本的相关系数应为1.要注意理清相关系数的大小与相关性强弱的关系．5．(2013·湖北文，4)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ [答案] D[解析] 若y 与x 负相关，则y ^＝bx ＋a 中b <0，故①不正确，②正确； 若y 与x 正相关，则y ^＝bx ＋a 中b >0，故③正确，④不正确；故选D. 二、填空题6．下列说法中错误的命题序号是________．(1)如果变量η与ξ之间存在着线性相关关系，则我们根据实验数据得到的点(x i ，y i )(i ＝1、2、…，n )将散布在某一条直线的附近(2)如果两个变量ξ与η之间不存在线性关系，那么根据它们的一组数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )不能写出一个线性方程(3)设x ，y 是具有相关关系的两个变量，且x 关于y 的线性回归方程为y ＝bx ＋a ，b 叫作回归系数(4)为使求出的线性回归方程有意义，可用统计假设检验的方法来判断变量η与ξ之间是否存在线性相关关系[答案] (2)[解析] 两个变量不具有相关关系，但据公式，我们也能求得其回归方程，只是无意义，因此要进行相关性检验．然后再求回归直线的方程．故(2)不正确，∴填(2)．7．某化工厂为预测某产品的回收率y ，研究得知它和原料有效成分含量x 之间具有线性相关关系，现取8对观测值，计算得∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1849，则y 与x 的线性回归方程是____________．(精确到小数点后两位数)[答案] y ＝11.47＋2.62x[解析] 根据给出的数据可先求x ＝18∑i ＝18x i ＝132，y ＝18∑i ＝18y i ＝572，然后代入公式b ＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x 2＝1849－8×132×572478－8×1694≈2.62，a ＝y －b x ＝11.47，进而求得回归方程y＝11.47＋2.62x .三、解答题8．某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据(单位：百万元)求线性回归方程．[解析] 求回归直线的方程，关键在于正确的求出a 和b ，由于在求a ，b 时计算量较大，计算时要仔细谨慎、分层进行，避免计算错误．作出散点图由散点图可判断出，变量间存在线性相关关系．列表：于是可得b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5， a ＝y －b x ＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的回归直线方程是y ＝17.5＋6.5x .9．(2013·重庆文，17)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x2i＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ＝y －－b x －，其中x －，y －为样本平均值．线性回归方程也可写为y ^＝b ^x ＋a ^.[解析] (1)由题意知n ＝10，x ＝－1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2.又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1nx i y i ＝n x y ＝184－10×8×2＝24.由此得b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值B 随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．10．如下表所示，某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级x 的地震次数为N ，试建立N 对x 的回归方程，并表述二者之间的关系.级的地震次数N 之间呈现出一种非线性的相关性，随着x 的减少，所考察的地震数N 近似地以指数形式增长．于是令y ＝lg N .得到的数据如下表所示．图1图2从散点图(2)中可以看出x和y之间有很强的线性相关性，因此由最小二乘法得a≈6.704，b≈－0.741，故线性回归方程为y＝－0.741x＋6.704.因此，所求的回归方程为：lg N＝－0.741x＋6.704，故N＝10－0.741x＋6.704.[点评] 在解回归分析问题时，一般先作出原始数据的散点图．依据散点图中点的分布，选择合适的函数模型进行拟合．。

第一章综合测试一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点2．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1 3．不等式a ＞b 与1a ＞1b同时成立的充要条件为( )A ．a ＞b ＞0B ．a ＞0＞b C.1b ＜1a ＜0 D.1a ＞1b ＞04．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A ．有一个解 B ．有两个解 C ．至少有三个解 D ．至少有两个解5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋146．数列{a n }中前四项分别为2，27，213，219，则a n 与a n ＋1之间的关系为( )A ．a n ＋1＝a n ＋6 B.1a n ＋1＝1a n ＋3 C ．a n ＋1＝a n 1＋3a nD ．a n ＋1＝1a n7．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 48．已知a 、b 、c 、d 为正数，S ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b ，则( )A ．0＜S ＜1B ．1＜S ＜2C ．2＜S ＜3D ．3＜S ＜49．(2014·银川模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N ＋)B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N ＋)C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N ＋)D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N ＋)10．(2014·北京理，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72.推测：当n ≥2时，有____________． 13．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．14．(2014·济南3月模拟，13)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ，且n >1)时，第一步要证的不等式是________．15．(2014·陕西文，14)已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2014(x )的表达式为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知a >0，b >0，求证：a b ＋ba ≥a ＋b .17.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，算出“黄金双曲线”的离心率．18．(2013·华池一中高二期中)在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．19．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．20．已知数列{a n }，a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．21．(山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．。

第一章 §2一、选择题1．若a ，b ∈R ，则1a 3>1b3成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0B ．b >aC ．a <b <0D ．ab (a －b )<0[答案] C[解析] 由a <b <0⇒a 3<b 3<0⇒1a 3>1b 3，但1a 3>1b3⇒/a <b <0. ∴a <b <0是1a 3>1b3成立的一个充分不必要条件． 2．若x 、y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 [答案] B[解析] 由y 2＝6x －2x 2≥0得0≤x ≤3，从而x 2＋y 2＋2x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝3时，x 2＋y 2＋2x 有最大值，最大值为15.3．设a 与b 为正数，并且满足a ＋b ＝1，a 2＋b 2≥k ，则k 的最大值为( )A ．18B ．14C ．12D ．1 [答案] C[解析] ∵a 2＋b 2≥12(a ＋b )2＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)，∴k max ＝12. 4．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C ．(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0[答案] D5．要使3a －3b <3a －b 成立，a ，b 应满足的条件是( )A ．ab <0且a >bB ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b[答案] D[解析] 3a －3b <3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b <a －b . ∴3ab 2<3a 2b .∴当ab >0时，有3b <3a ，即b <a ；当ab <0时，有3b >3a ，即b >A ．二、填空题6．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b ＋c ＋b a ＋c＝______. [答案] 1[解析] a b ＋c ＋b a ＋c ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc (b ＋c )(a ＋c )，因为∠C ＝60°，由余弦定理得cos C ＝12＝a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2＝ab ＋c 2，所以a b ＋c ＋b a ＋c ＝ab ＋c 2＋ac ＋bc ab ＋bc ＋ac ＋c 2＝1. 7．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3一定是____________(形状)三角形．[答案] 等边[解析] ∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0∴O 为△P 1P 2P 3的重心又∵|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|∴O 为△P 1P 2P 3的外心故△P 1P 2P 3的重心、外心重合∴△P 1P 2P 3为等边三角形．8．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0三、解答题 9．已知n ∈N *，且n ≥2，求证：1n >n －n －1. [证明] 要证1n >n －n －1， 即证1>n －n (n －1)， 只需证n (n －1)>n －1，∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2，只需证n >n －1，只需证0>－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．10．已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2≥13. [证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca (当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)．三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋cA ．∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2.由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13.一、选择题1．已知a 、b 、c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( )A ．ab >acB ．c (b －a )<0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0[答案] A[解析] 由c <b <a ，且ac <0得a >0，c <0.由不等式的性质不难选出答案为A ．2．(2014·四平二模)设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1； ②a ＋b ＝2； ③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2； ⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤[答案] C [解析] 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出； 若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即“a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.3．已知x ，y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y[答案] D[解析] 2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y .4．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[答案] A[解析] a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b)． 二、填空题5．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________.[答案] －12[解析] 观察已知条件中有三个角α、β、γ，而所求结论中只有两个角α、β，所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin 2γ＋cos 2γ＝1消去γ.由已知，得sin γ＝－(sin α＋sin β)，cos γ＝－(cos α＋cos β)，∴(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝sin 2γ＋cos 2γ＝1，化简并整理得cos(α－β)＝－12. 6．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，则a ·1＋b 2的最大值为____________． [答案] 324[解析] a ·1＋b 2＝2a ·12＋b 22≤22(a 2＋12＋b 22)＝324(当且仅当a 2＝12＋b 22且a 2＋b 22＝1即a ＝32，b ＝22时取“＝”) 三、解答题7．分别用分析法、综合法证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.[证明] 证法一：(分析法)要证(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，只需证a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2，即证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd ，只需证(bc －ad )2≥0.因为(bc －ad )2≥0显然成立，所以(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2成立．证法二：(综合法)因为b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd (当且仅当bc ＝ad 时取等号)，所以a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2，即(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.8．已知x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y)≥9. [分析] 观察要证明的不等式，可以由条件入手，将x ＋y ＝1代入要证明的不等式，用综合法可证；也可从基本不等式入手，用综合法证明不等式．[证明] 证法一：∵x ＋y ＝1，∴(1＋1x )(1＋1y )＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋x y)＝5＋2(y x ＋x y)． 又∵x >0，y >0，∴y x >0，x y>0. ∴y x ＋x y≥2， 当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝12时取等号． 则有(1＋1x )(1＋1y)≥5＋2×2＝9成立． 证法二：∵x >0，y >0,1＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立，∴xy ≤14.∴1xy≥4. 则有(1＋1x )(1＋1y) ＝1＋1x ＋1y ＋1xy＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy≥1＋8＝9成立． [点评] 用综合法证明不等式时，可以从条件出发，也可以从基本不等式出发，通过换元、拼凑等方法构造定值，但若连续两次或两次以上利用基本不等式，需要注意几次利用基本不等式时等号成立的条件是否相同．。

第一章§2一、选择题1．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A．240种B．360种C．480种D．720种[答案] C[解析]本题考查了排列问题的应用．由题意，甲可从4个位置选择一个，其余元素不限制，所以所有不同次序共有A14A55＝480.利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论．2．由1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n}，则a72等于()A．1543 B．2543C．3542 D．4532[答案] C[解析]容易得到千位为1时组成四位数的个数为A34＝24，则千位为2、3、4、5时均有四位数24个，由于24×3＝72，四位数由小到大排列，可知第72个数为千位为3的最大的四位数即3542，故选C.3．(2014·辽宁理，6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120C．72 D．24[答案] D[解析]采用插空法．任两人隔1椅，共有2A33＝12，有两个隔2椅，共有A22·A33＝12，共有12＋12＝24(种)方法．4．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A．36种B．42种C．48种D．54种[答案] B[解析]分两类解决：第一类：甲排在第一位，共有A44＝24种排法．第二类：甲排在第二位，共有A13·A33＝18种排法．所以节目演出顺序的编排方案共有24＋18＝42种．5．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C27[答案] A[解析]不相邻问题用插空法，8种学生先排有A88种，产生9个空，2位老师插空有A29种排法，故选A.二、填空题6．2014年南京青奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种(用数字作答)．[答案]96[解析]先安排最后一棒，有A12种方案；再安排第一棒，有A12种方案；最后安排中间四棒，有A44种方案．所以不同的传递方案共有A12·A12·A44＝96种．7．将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．[答案]96[解析]5张参观券分为4堆，有2个连号的有4种分法，每一种分法中的不同排列有A44种，因此共有不同的分法4A44＝4×24＝96种．8．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答) [答案] 2 400[解析]此为有限制条件的排列应用题．要注意排列顺序．先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20种排法，其余5人再进行排列，有A55＝120种排法，所有共有20×120＝2 400种安排方法．三、解答题9．有同一排的电影票6张，3个教师和3个学生按下述要求入座，有多少种坐法？(1)师生相间；(2)3个学生要相邻坐在一起．[解析](1)设6个座位编号为1,2,3,4,5,6，若教师坐在1,3,5位置，学生坐在2,4,6位置，坐法有A33A33种；若教师坐在2,4,6位置，学生坐在1,3,5位置，坐法有A33A33种．因此符合条件的坐法为2A33A33＝72种．(2)先排教师，有A33种排法；将3个学生看作一个整体，插入3个教师形成的4个“空”中，有A14种排法，而3个学生有A33种排法，因此符合条件的坐法有A33A14A33＝144种．10．书架上某层有6本书，新买了3本书插进去，要保持原来6本书原有顺序，问有多少种不同插法？[解析]解法一：9本书按一定顺序排在一层，考虑到其中原来的6本书保持原有顺序，原来的每一种排法都重复了A66次．所以有A99÷A66＝504(种)．解法二：把书架上的这一层欲排的9本书看作9个位置，将新买的3本书放入这9个位置中的3个，其余的6本书按着原来顺序依次放入．则A39＝504(种)．解法三将新买来的3本书逐一插进去．空档中选1个，有7种选法，第2本书可从现在的7本书的8个空档中选1个，有8种选法，最后1本可从现在的8本书9个空档中选1个有9种选法；3本书都插进去，这件事才算做完，根据乘法原理，共有7×8×9＝504(种)不同的插入方法.一、选择题1．(2014·郑州网校期中联考)从6个人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A．300种B．240种C．144种D．96种[答案] B[解析]先从除甲、乙外的4人中选取1人去巴黎，再从其余5人中选3人去伦敦、悉尼、莫斯科，共有不同选择方案，A14·A35＝240种．2．在由数字1、2、3、4、5组成的没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有()A．56个B．57个C．58个D．60个[答案] C[解析]首位为3时，有A44＝24；首位为2时，千位为3，则有A12A22＋1＝5，千位4或5时，A12A33＝12；首位为4时，千位为1或2，则A12A33＝12，千位为3，则有A12A22＋1＝5，∴共有24＋5＋12＋12＋5＝58.3．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种[答案] A[解析]本题考查了分步计数原理的应用．利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种；再填写右上角的数为2种；再填写第二行第一列的数有2种，一共有3×2×2＝12种．故选A.解题的关键是正确地利用分步计数原理合理地分步计算．4．(2014·四川理，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种[答案] B[解析]分两类：最左端排甲有A55＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有C14A44＝96种不同的排法，由加法原理可得满足条件的排法共有216种．解决排列问题，当有限制条件的问题要注意分类讨论，做到不重、不漏．二、填空题5．(2014·辽宁省协作联校三模)航空母舰“辽宁舰”在某次飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种．[答案]36种[解析]∵甲、乙相邻，∴将甲、乙看作一个整体与其他3个元素全排列，共有2A44＝48种，其中甲乙相邻，且甲丁相邻的只能是甲乙丁看作一个整体，甲中间，有A22A33＝12种，∴共有不同着舰方法48－12＝36种．6．(1)若A2n＝7A2n－4，则n＝________；(2)若A5n＋A4nA3n＝4，则n＝________.[答案](1)7(2)5[解析](1)将A2n＝7A2n－4按排列数公式展开得n(n－1)＝7(n－4)(n－5)(n≥6，n为正整数)，解得n＝7.(2)将A5n＋A4nA3n＝4改写为阶乘形式为n！(n－5)！＋n！(n－4)！n！(n－3)！＝(n－3)！(n－5)！＋(n－3)！(n－4)！＝(n－3)(n－4)＋(n－3)＝4(n≥5，n为正整数)，解得n＝5.三、解答题7．从7名运动员中选出4人参加4×100米接力，求满足下述条件的安排方法的种数：(1)甲、乙二人都不跑中间两棒；(2)甲、乙二人不都跑中间两棒．[解析](1)从甲、乙之外的5人中选2人安排在中间两棒有A25种方法，再从所有余下5人中安排首、末棒有A25种方法，故符合要求的共有A25·A25＝400(种)方法．(2)从7人中选4人安排到各接力区有A47种方法，去掉甲、乙两人都跑中间两棒的种数为A25·A22.即得甲、乙二人不都跑中间两棒的有A47－A25·A22＝800(种)方法．[反思总结]本题主要考查了体育中4×100米接力的要求和排列知识，考查了应用数学知识的能力，解决此类问题的关键在于从题目情景中提炼出“序”的实质．8.由0、1、2、3、4、5共六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万又不等于5的倍数的数有多少个？[解析]解法一：因为0和5不能排在首位或个位，先将它们排在中间4个位置上有A24种排法，再排其他4个数有A44种排法，由分步乘法计数原理，共有A24·A44＝12×24＝288个符合要求的六位数．解法二：因为首位和个位上不能排0和5，所以先从1、2、3、4中任选2个排在首位和个位，有A24种排法，再排中间4位数有A44种排法，由分步乘法计数原理，共有A24·A44＝12×24＝288个符合要求的六位数．解法三：六个数字的全排列共有A66个，其中有0排在首位或个位上的有2A55个，还有5排在首位或个位上的也有2A55个，它们都不合要求应减去，但这种情况都包含0和5分别在首位或个位上的排法2A44种，所以有A66－4A55＋2A44＝288个符合要求的六位数．。