14.1三角形的边角关系同步练习

三角形边角关系专项练习三角形是数学中的基础概念之一，而三角形的边角关系则是数学中的重要知识点。

在本篇文章中，我们将重点讨论三角形边角关系的专项练习。

通过这些练习，我们可以更好地理解和掌握三角形的边角关系，提高解题的能力。

一、边角关系基础知识回顾在开始专项练习之前，让我们简要回顾一下三角形的边角关系的基础知识。

1. 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180度。

即∠A +∠B + ∠C = 180°，其中∠A、∠B、∠C分别为三角形ABC的三个内角。

2. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360度。

即∠A' +∠B' + ∠C' = 360°，其中∠A'、∠B'、∠C'分别为三角形ABC的三个外角。

3. 三角形的内外角关系：三角形的内角和与其对应的外角和相等。

即∠A + ∠A' = 180°，∠B + ∠B' = 180°，∠C + ∠C' = 180°。

二、专项练习接下来，我们将通过一些具体的练习题来加深对三角形边角关系的理解。

1. 练习题一：已知三角形ABC的内角A为35度，外角B'为120度，求三角形的内角B和外角C'的度数。

解析：根据三角形内外角关系的定理，我们知道∠A + ∠A' = 180°，即35° + ∠A' = 180°。

由此可得∠A' = 180° - 35°，即∠A' = 145°。

又因为∠A' + ∠B' + ∠C' = 360°，即145° + 120° + ∠C' = 360°。

由此可得∠C' = 360° - 145° - 120°，即∠C' = 95°。

14.1.1三角形的边角关系（1）【课标解读】了解三角形的概念，掌握分类思想，经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。

一、选择题（每小题分，共25分）1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（）．A．2，3，6 B．4，5，9 C．3，5，6 D．1，2，32. 如图所示，三角形的个数为（）．A．4个B．5个C．6个D．7个3. 现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取( )A.10cm的木棒B.20cm的木棒;C.50cm的木棒D.60cm的木棒4. 在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类，其中搭配错误的是（）A.①---------不等边三角形B.②③--------等腰三角形C.③---------等边三角形D.②③--------等边三角形5. 三角形两边长分别是3和5，则周长L的取值范围是（）．A．6<L<15 B．6<L<16 C．11<L<15 D．10<L<16二、填空题（每小题5分，共25分）6．如图所示，∠B是△ABE中_____边的对角；∠ADE是_____的外角，又是______的内角；AD是△ABD的边，也是______的边，也是______的边．7．一个三角形的两边长分别为10cm和7cm，那么它的第三边长c的取值范围是_____．8．在一个三角形中，•有两条边相等，•其一边为2cm，•一边为6cm，•则它的周长为_____cm．9. 三角形两条边分别是2cm，7cm，则第三边a的取值范围是_____，•当周长为偶数时，第三边长是______．10. 若五条线段的长分别是1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,则以其中三条线段为边可构成______个三角形.三、解答题（50分）11. （12分）如图所示，在△ABC中，D，E是BC，AC上的两点，连结BE，AD交于F，问：（1）图中有几个三角形？并表示出来;（2）△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？（3）AB边是哪些三角形的边？（4）F点是哪些三角形的顶点？12. （12分）已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b-2）2+│c-3│=0，且a为方程│x-4│=2的解，求△ABC的周长，判断△ABC的形状.13. （12分）如图所示,已知P是△ABC内一点,试说明PA+PB+PC>12(AB+BC+AC).PCA14. （14分）已知一个等腰三角形的周长为20cm．（1）若其中一边长为6cm，求另外两边的长;（2）若其中一边长为4cm，求另外两边的长四、探究题（不计入总分）15. 设△ABC的三边a,b,c的长度都是自然数,且a≤b≤c,a+b+c=13,则以a,b,c 为边的三角形共有几个?参考答案1.C2. B3. B4. D5. C6. AE △ABD △ADE和△ADC △ADE △ADC7.3 cm <c<17 cm 8.10 cm 9.5 cm <L<9 cm,7 cm 10. 311. （1）图中共有7个三角形，分别是△BDF，△BDA，△BFA，△AEF，△AEB，△ADC， △ABC．（2）△BDF的三个顶点是B，D，F，三条边是BD，DF，BF．（3）AB边是△ABF，△ABD，△ABE，△ABC的边．（4）F点是△BDF，△ABF，△AEF的顶点．12.解：∵（b-2）2≥0，│c-3│≥0，且（b-2）2+│c-3│=0，∴b-2=0，c-3=0．即b=2，c=3．∵a为方程│x-4│=2的解，∴a=2或6．经检验，当a=6时，不满足三角形三边关系定理，故舍去．∴a=2，b=2，c=3．∴△ABC的周长为7，△ABC为等腰三角形．13.解:在△APB中,AP+BP>AB,同理BP+PC>BC,PC+AP>AC,三式相加得2(AP+BP+PC)>AB+AC+BC,∴AP+BP+CP>12(AB+AC+BC).14.解：（1）分两种情况：①当6cm为腰长时，设底边为x（cm），则6×2+x=20，x=8，此时，另外两边分别为6cm，8cm．②当6cm为底时，设腰长为y（cm），则2y+6=20，y=7，此时，另外两边为7cm，7cm．（2）分两种情况：①当4cm为腰长时，设底为x（cm），则4×2+x=20，x=12，∵4+4<12，∴4，4，12不能组成三角形．②当4cm为底时，设腰长为y（cm），则4+2y=20，y=8．故此时另两边为8cm，8cm．15. 5个，提示：利用分类思想讨论所有符合条件的三角形，共有以下五种情况：1，6，6；2，5，6；3，4，6；3，5，5；4，4，5。

边角关系测试题及答案一、选择题1. 在三角形ABC中，如果∠A = 50°，∠B = 70°，那么∠C的度数是多少？A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°2. 如果一个三角形的内角和为180°，那么在三角形ABC中，如果∠A = 90°，∠B = 45°，∠C的度数是多少？A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°3. 在一个直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么另一个锐角的度数是多少？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题4. 如果三角形的一个角是直角，那么这个三角形的另外两个角的和是______。

5. 在一个三角形中，如果两个内角的度数之和为90°，那么这个三角形被称为______三角形。

三、简答题6. 解释什么是补角，并给出一个补角的例子。

7. 解释什么是邻补角，并给出一个邻补角的例子。

四、计算题8. 在一个三角形中，已知∠A = 120°，求∠B和∠C的度数。

9. 如果一个三角形的三个内角的度数之和为180°，且已知∠A = 60°，∠B = 50°，求∠C的度数。

五、解答题10. 证明在一个三角形中，任意两个内角的和小于180°。

答案：一、选择题1. C2. A3. C二、填空题4. 90°5. 直角三、简答题6. 补角是指两个角的度数之和等于90°，例如，如果一个角是60°，那么它的补角是30°。

7. 邻补角是指两个角共享一条边，且它们的另一条边互为反向延长线，例如，在一个直角三角形中，两个锐角互为邻补角。

四、计算题8. ∠B = ∠C = (180° - 120°) / 2 =30°9. ∠C = 180° - 60° - 50° = 70°五、解答题10. 证明：设三角形ABC中，∠A和∠B为任意两个内角。

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin BAC ∠=（ ）．A ．15B ．13 C D2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =BC ＝1，以下正确的是（ ）A ．1cos 2A =B ．sin A =C ．tan A =D ．cos B =3、如图要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，点P 位于点A 正北方向，点C 位于点A 的北偏西46°，若测得PC ＝50米，则小河宽PA 为（ ）A ．50sin44°米B ．50cos44°C ．50tan44°米D ．50tan46°米4、在ABC 中, 30AB BAC ∠==. 下列线段BC 的长度不能使ABC 的形状和大小都确定的是（ ）A ．2B ．4CD ．5、图①是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC ．若1AB BC ==，AOB α∠=，则tan BOC ∠的值为（ ）A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．1sin α6、学习了三角函数的相关知识后，小丽测量了斜坡上一棵垂直于地面的大树的高度．如图，小丽先在坡角为30的斜坡AB 上的点A 处，测得树尖E 的仰角为15︒，然后沿斜坡走了10米到达坡脚B 处，又在水平路面上行走20米到达大树所在的斜坡坡脚C 处，大树所在斜坡的坡度i 3:4=，且大树与坡脚的距离CD 为15米，则大树ED 的高度约为（ ）（参考数据：sin150.26,cos150.97,tan15 1.73≈≈≈︒︒︒结果精确到0.1）A ．10.9米B ．11.0米C ．6.9米D ．7.0米7、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则sin A 的值是（ ）A B ．35 C ．34 D 8、在Rt ABC 中，90,5,2C AB AC ∠=︒==，则cos A 的值是（ ）A B ．25 C D ．529、如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为α的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为8 m ，那么这两棵树在坡面上的距离AB 为（ ）A ．8cos αmB ．8cos α mC ．8sina mD ．8sin αm 10、如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（ ）米．A ．100cos20︒B ．100cos20°C ．100sin 20︒D ．100sin20°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、△ABC中，∠B为锐角，cos B，AB AC＝2，则∠ACB的度数为________．2、如图，已知Rt ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cos B45，则AC＝_____．3、如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37°，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），塔顶D的仰角为53°，则观光塔CD的高度约为 _____.（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈34，tan53°≈43）4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD＝sin∠DEB的值为 ___．5、第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区，登陆时强度为台风级，中心最大风速38米/秒．此时一艘船以27nmile/h的速度向正北航行，在A处看烟花S在船的北偏东15°方向，航行40分钟后到达B处，在B处看烟花S在船的北偏东45°方向．（1）此时A到B的距离是 _____；（2）该船航行过程中距离烟花S 中心的最近距离为 _____．（提示：sin15°=．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）计算：2sin60tan60︒+︒（2）解方程：()2190x --=2)(0604cos 451π︒-︒--3、计算：020*******( 3.14)60(2)()2π︒---⋅4、计算：2sin30°﹣3tan45°•sin 245°+cos60°．5、如图1所示的是一辆混凝土布料机的实物图，图2是其工作时部分示意图，AC 是可以伸缩的布料臂，其转动点A 离地面BD 的高度AH 为3.2米．当布料臂AC 长度为8米，张角HAC ∠为118︒时，求布料口C 离地面的高度．（结果保留一位小数；参考数据：sin 280.47︒≈，cos280.88︒≈，tan 280.53︒≈）-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据题意和图形，可以得到AC 、BC 和AB 的长，然后根据等面积法可以求得CD 的长，从而可以得到sin BAC ∠的值．【详解】解：作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，由图可得，AC=BC ＝2，AB 22442， ∵242AB CD BC =⨯⨯，422=⨯，解得，CD ，∴sin ∠BAC ＝CD AC ==， 故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2、C【分析】根据勾股定理求出AB ，三角函数的定义求相应锐角三角函数值即可判断．【详解】解：∵在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC =BC ＝1，根据勾股定理AB 2==，∴cos A =AC AB =A 不正确； sin A ＝12BC AB =，选项B 不正确；tan A ＝BC AC =C 正确； cos B ＝12BC AB =，选项D 不正确． 故选：C ．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数定义是解题的关键．3、C【分析】先根据AP ⊥PC ，可求∠PCA =90°-46°=44°，在Rt△PCA 中，利用三角函数AP =tan 4450tan 44PC ︒⨯=︒米即可．【详解】解：∵AP ⊥PC ，∴∠PCA +∠A =90°，∵∠A =46°，∴∠PCA =90°-46°=44°，在Rt△PCA 中，tan∠PCA =AP CP，PC =50米， ∴AP =tan 4450tan 44PC ︒⨯=︒米．故选C ．【点睛】本题考查测量问题，掌握测量问题经常利用三角函数求边，熟悉锐角三角函数定义是解题关键．4、A【分析】画出图形，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则可求得BD BC 的长度与BD 比较即可作出判断．【详解】如图（1），过点B 作BD ⊥AC 于点D则1sin 302BD AB =︒=⨯故当BC D 与点C 重合时，△ABC 的形状和大小唯一确定，即C 选项不符合题意； 当BC =2时，如图（2），则BC 1=BC 2=2，此时△ABC 1与△ABC 2的形状和大小不相同，即选项A 符合题意；当BC=ABC 是等腰三角形，如图（3），此时△ABC 的形状与大小确定，故选项D 不符合题意；当BC =4时，如图（4），△ABC 是钝角三角形，形状与大小确定，故选项B 不符合题意； 故选：A【点睛】本题考查了锐角三角函数及三角形形状的确定，关键是作BD ⊥AC ，把BC 与BD 进行比较．5、A【分析】在Rt OAB 中，sin AB OB α=，可得OB 的长度，在Rt OBC 中，tan BC BOC OB ∠=，代入即可得出答案． 【详解】解：∵1AB BC ==，在Rt OAB 中，sin AB OB α=， ∴1sin OB α=， 在Rt OBC 中，1tan sin 1sin BC BOC OB αα∠===.故选：A ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键.6、D【分析】过点A 作AG ⊥ED 交ED 延长线于点G ，过点A 作AF ⊥CB ，交CB 的延长线于点F ，延长BC 交ED 的延长线于点H ，可知四边形AFHG 为矩形，解直角三角形ABF 得AF =5，BF =，解直角三角形CDH 得DH =9，CH =12，从而得到AG ，再通过解直角三角形AGE 求得EG 的长，进一步得出结论．【详解】解：过点A 作AG ⊥ED 交ED 延长线于点G ，过点A 作AF ⊥CB ，交CB 的延长线于点F ，延长BC 交ED 的延长线于点H ，如图，则四边形AFHG 为矩形，∴AG =FH ，GH =AF在Rt △ABF 中，1030AB ABF =∠=︒， ∴11105m=22AF AB GH ==⨯=∴8.65m BF =≈在Rt △CHD 中，34DH CH =，15m CD = ∴可设=3m DH x ，4m CH x =由勾股定理得，222CH DH CD +=∴222(3)(41)5x x +=解得，3x =∴9m 12m DH CH ==，∴954m DG DH GH =-=-=∴8.65201240.65m AG FH ==++=在Rt △AGE 中，tan15EG AG︒= ∴tan1540.650.2710.98m EG AG =︒=⨯≈∴10.984 6.987.0m ED EG DG =-=-=≈故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7、A【分析】先根据银河股定理求出AB ，根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：如图，∵∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，∴AB ==∴sinBC A AB ===故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键．8、B【分析】根据题意，画出图形，结合余弦函数的定义即可求解．【详解】解：由题意，可得图形如下：根据余弦函数的定义可得2 cos5ACAAB==，故选：B【点睛】此题考查了余弦函数的定义，解题的关键是根据题意画出图形，并掌握余弦函数的定义．9、B【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离AB．【详解】解：∵坡角为α，相邻两树之间的水平距离为8米， ∴两树在坡面上的距离8cos AB α=（米）． 故选：B ．【点睛】此题主要考查解直角三角形中的坡度坡角问题及学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．10、B【分析】首先根据坡角的概念得到20C ∠=︒，然后由C ∠的余弦值可得cos BC C AC ∠=，代入AC 的值求解即可． 【详解】解：∵滑道坡角为20°，∴20C ∠=︒，∵AC 为100米，90B ∠=︒， ∴cos BC C AC ∠=， ∴cos 100cos20BC AC C =∠=︒．故选：B ．【点睛】此题考查了解三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的表示方法．二、填空题1、60°或120°【分析】根据题意，由于BC 的长没有确定，故分类讨论，分ACB ∠是锐角和钝角两种情况画出图形，解直角三角形即可【详解】解：①如图，当ACB ∠是锐角时，过点A 作AD BC ⊥于点D ，cos B AB ，AC ＝2，cos BD B AB ∴==7AB =2BD ∴==AD ∴=2AC =sin AD ACB AC ∴∠==60ACB ∠=︒∴①如图，当ACB ∠是钝角时，过点A 作AD BC ⊥的延长线于点D ，cos B AB ，AC ＝2，cos BE B AB ∴==2BE ∴=AE ∴2AC =sin AE ACE AC ∴∠==60ACE ∴∠=︒120ACB ∴∠=︒ 故答案为：60︒或120︒【点睛】本题考查了解斜三角形，构造直角三角形并分类讨论是解题的关键．2、5【分析】根据题意DAC B ∠=∠，则cos cos DAC B ∠=，即可求得AC 【详解】 解： Rt ABC 中，AD BC ⊥BAD B BAD DAC ∴∠+∠=∠+∠90=︒B DAC ∴∠=∠4cos 5B = 4cos 5AD DAC AC ∴∠== 4AD =故答案为：5【点睛】本题考查了同角的余角互余，余弦的定义，求得DAC B ∠=∠是解题的关键．3、8.6米【分析】根据题意，利用锐角三角函数解直角三角形即可．【详解】解：由题意知，∠A =37°，∠DBC =53°，∠D =90°，AB =5，在Rt△CBD 中，tan∠DBC =CD BC ， ∴BC =tan 53CD ≈34CD ， 在Rt△CAD 中，tan∠A =CD AC ，即354CD CD +=tan37°≈34 ∴解得：CD =607≈8.6， 答：观光塔CD 的高度约为8.6米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形的方法是解答的关键． 4、35【分析】由题意可得∥DE BC ，DEB EBC ∠=∠，求得CE 、BE 的边即可求解．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ，∴∥DE BC ，90DEC ∠=︒∴DEB EBC ∠=∠，DE AD BC AB=， 又∵D 是斜边AB 的中点，∴2AB AD =， ∴12DE AD BC AB ==，即24BC DE ==，在Rt CDE △中，CD =2DE =，∴3CE ，在Rt BCE 中，5BE ， ∴3sin sin 5CE DEB EBC BE ∠=∠==， 故答案为：35． 【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，涉及了平行线分线段成比例的性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活利用相关性质进行求解．5、18 nmile 9nmile993 nmile 【分析】如图，过S 作SD AB ⊥于,D 先由路程等于速度乘以时间求解,AB 再利用sin15°=tan1523, 再设,SD m 而,45,SD AB DBS ,18,BD m AD m 再利用tan1523,建立方程，再解方程，从而可得答案.【详解】解：如图，过S 作SD AB ⊥于,D由题意可得：40622718,15,45,sin15,604AB BAS DBS 62,4DS AS设62,DS k 则4,AS k 2284362,AD AS DS k k2tan15=23,62kDS AD k设,SD m 而,45,SD AB DBS,18,BD m AD m23,18mm311823,m 解得：939,m 经检验符合题意；所以：该船航行过程中距离烟花S 中心的最近距离为：9 nmile.故答案为：18 nmile ，9 nmile.【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用sin15︒的值求解tan15︒是解本题的关键.三、解答题1、（1）（2）14x =，22x =-【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别进行计算，再把所得的结果合并即可；（2）运用直接开平方法即可得出答案．【详解】解：（1）2sin60tan60︒+︒2==（2）()2190x --= ()219x -=()13x -=±∴14x =，22x =-【点睛】此题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值，灵活运用解方程的方法是解答本题的关键． 2、2【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后利用二次根式的运算法则计算即可得．【详解】()0604cos 451π︒-︒--41=-+31=-+2=．【点睛】题目主要考查特殊角的三角函数值的计算，二次根式的混合运算，0次幂的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．3、7【分析】根据01(0a a =≠），立方根的求法，特殊三角函数的值，积的乘方，计算即可得答案．【详解】解：020*******-3.14tan 60(2)()2π︒--（）=()2020112222⎡⎤+-+-⨯⨯-⎢⎥⎣⎦（）（）=1-2+6-（-2）=7【点睛】本题考查了二次根式、零指数幂、特殊三角函数的值、积的乘方的相关计算，做题的关键是掌握相关法则，特别积的乘方的逆运算，认真计算．4、0【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．【详解】解：22sin303tan45sin 45cos60︒-︒⋅︒+︒21123122=⨯-⨯⨯+⎝⎭ 111322=-⨯+ 0=．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．5、高度为7.0米【分析】过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作AF CE ⊥于点F ，根据矩形的判定定理可得四边形AHEF 为矩形，由图中角的关系可得28CAF ∠=︒，在Rt ACF 中，利用正弦三角函数可得 3.76=CF ，根据图形中CE CF EF =+即可得．【详解】解：如图，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作AF CE ⊥于点F ，∵90AHE HEF AFE ∠=∠=∠=︒，∴四边形AHEF 为矩形，3.2EF AH ∴==，90HAF ∠=︒，1189028 CAF CAH HAF∴∠=∠-∠=︒-︒=︒.在Rt ACF中，sinCF CAFAC∠=，8sin2880.47 3.76CF∴=⨯︒≈⨯=，3.76 3.27.0CE CF EF∴=+=+≈，答：布料口C离地面的高度为7.0米．【点睛】题目主要考查矩形的判定和性质，锐角三角函数解三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．。

三角形的边角关系练习题回顾：1、三角形的概念定义：由_______直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类按角分:⎧⎪⎨⎪⎩锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形3、三角形的重要线段在三角形中，最重要的三种线段是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高。

说明:（1）三角形的三条中线的交点在三角形的____部。

（2）三角形的三条角平分线的交点在三角形的______部。

（3）_______三角形的三条高的交点在三角形的内部；______三角形的三条高的交点是直角顶点;_____三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部。

4、三角形三边的关系定理:三角形任意两边的和____第三边；推论：三角形任意两边的差____第三边；说明：运用“三角形中任意两边的和大于第三边"可以判断三条线段能否组成三角形，也可以检验较小的两边的和是否大于第三边。

5、三角形各角的关系定理:三角形的内角和是______度；推论：（1)当有一个角是90°时，其余的两个角的和为90°；(2）三角形的任意一个外角______和它不相邻的两个内角的和。

（3）三角形的任意一个外角______任意一个和它不相邻的内角。

说明:任一三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角。

三角形的计数例1 如图，平面上有A、B、C、D、E五个点，其中B、C、D及A、E、C分别在同一条直线上，那么以这五个点中的三个点为顶点的三角形有( )A、4个B、6个C、8个D、10个解析：连接AB、AD、BE、DE。

课件出示答案： C。

小结:分类讨论是三角形的计数中常见的思路方法.举一反三:1、已知△ABC是直角三角形，且∠BAC=30°，直线EF与△ABC的两边AC，AB分别交于点M，N，那么∠CME+∠BNF=（）A、150°B、180°C、135°D、不能确定解析：因为∠A=30°，所以∠NMA+∠MNA=180°—30°=150°，所以∠CME+∠BNF=∠NMA+∠MNA=150°。

中考数学直角三角形的边角关系综合练习题含答案解析一、直角三角形的边角关系1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22EF FK-＝26（分米），∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝2263-（2）＝26，∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=814．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM （P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=95S△QCN时，求t的值；（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【答案】（1）coaA=45；（2）当t=35时，满足S△PQM=95S△QCN；（3）当2733-或2733+时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【解析】分析：（1）如图1中，作BE ⊥AC 于E ．利用三角形的面积公式求出BE ，利用勾股定理求出AE 即可解决问题；（2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．利用S △PQM =95S △QCN 构建方程即可解决问题； （3）分两种情形①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．②如图4中，当点M 在CQ 上时，作PH ⊥AC 于H ．分别构建方程求解即可； 详解：（1）如图1中，作BE ⊥AC 于E ．∵S △ABC =12•AC•BE=814，∴BE=92， 在Rt △ABE 中，AE=22=6AB BE -，∴coaA=647.55AE AB ==． （2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．∵PA=5t ，PH=3t ，AH=4t ，HQ=AC-AH-CQ=9-9t ， ∴PQ 2=PH 2+HQ 2=9t 2+（9-9t ）2， ∵S △PQM =95S △QCN ， ∴34•PQ 2=9354⨯•CQ 2，∴9t2+（9-9t）2=95×（5t）2，整理得：5t2-18t+9=0，解得t=3（舍弃）或35．∴当t=35时，满足S△PQM=95S△QCN．（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．易知：PM∥AC，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴PH=3HQ，∴3t=3（9-9t），∴t=2733-．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．同法可得3，∴39t-9），∴27+33综上所述，当2733-s27+33时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN 的边上．点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）．【答案】32．4米．【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABEC为矩形，∴CE=AB=12m，在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE，∴BE=CE•cot30°=12×3=123，在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得DE=BE=123．∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.4．答：楼房CD的高度约为32.4m．考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．4．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．5．如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为【解析】试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.与交于点O,且关于对称四边形是菱形.（2）①连接,直线分别交于点,交于点关于的对称图形为在矩形中，为的中点，且O为AC的中点为的中位线同理可得：为的中点，②过点P作交于点由运动到所需的时间为3s由①可得，点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A即：由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.在中，设解得：和走完全程所需时间为考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置6．已知：如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，连接BC交圆于点D，过点D作⊙O的切线交AC于E．（1）求证：AE＝CE（2）如图，在弧BD上任取一点F连接AF，弦GF与AB交于H，与BC交于M，求证：∠FAB+∠FBM＝∠EDC．（3）如图，在（2）的条件下，当GH＝FH，HM＝MF时，tan∠ABC＝34，DE＝394时，N为圆上一点，连接FN交AB于L，满足∠NFH+∠CAF＝∠AHG，求LN的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）401313 NL【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADC＝90°，由切线长定理得EA＝ED，再由等角的余角相等，得到∠C＝∠EDC，进而得证结论.（2）由同角的余角相等，得到∠BAD＝∠C，再通过等量代换，角的加减进而得证结论.（3）先由条件得到AB＝26，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝43a，再由相交弦定理得到GH•HF＝BH•AH，从而求出FH，BH，AH，再由角的关系得到△HFL∽△HAF，从而求出HL，AL，BL，FL，再由相交弦定理得到LN•LF＝AL•BL，进而求出LN的长.【详解】解：（1）证明：如图1中，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵EA、ED是⊙O的切线，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∵∠C+∠EAD＝90°，∠EDC+∠EDA＝90°，∴∠C＝∠EDC，∴ED＝EC，∴AE＝EC．（2）证明：如图2中，连接AD．∵AC是切线，AB是直径，∴∠BAC＝∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∴∠BAD＝∠C，∵∠EDC＝∠C，∴∠BAD＝∠EDC，∵∠DBF＝∠DAF，∴∠FBM+∠FAB＝∠FBM+∠DAF＝∠BAD，∴∠FAB+∠FBM＝∠EDC．（3）解：如图3中，由（1）可知，DE＝AE＝EC，∵DE＝394，∴AC＝392，∵tan∠ABC＝34＝ACAB，∴39 32 4AB ,∴AB＝26，∵GH＝FH，HM＝FN，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝43a，∵GH•HF＝BH•AH，∴4a2＝43a（26﹣43a），∴a＝6，∴FH＝12，BH＝8，AH＝18，∵GH＝HF，∴AB⊥GF，∴∠AHG＝90°，∵∠NFH+∠CAF＝∠AHG，∴∠NFH+∠CAF＝90°，∵∠NFH+∠HLF＝90°，∴∠HLF＝∠CAF，∵AC∥FG，∴∠CAF＝∠AFH，∴∠HLF＝∠AFH，∵∠FHL＝∠AHF，∴△HFL∽△HAF，∴FH2＝HL•HA，∴122＝HL•18，∴HL＝8，∴AL＝10，BL＝16，FL＝22FH HL+＝413，∵LN•LF＝AL•BL，∴413•LN＝10•16，∴LN＝401313.【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识有：切线的性质；切线长定理；圆周角定理；相交弦定理；相似三角形性质与判定等，熟练掌握圆的相关性质是解题关键.7．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．（1）如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝度（直接填空）；（2）如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝12 EC；（3）当AB＝22，且点E到AC的距离等于3﹣1时，直接写出tan∠CAE的值．【答案】（1）90；（2）详见解析；（3）633 tan11EAC-∠=【解析】【分析】（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题；（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．只要证明△BAD≌△PAE（SAS），提出BD=PE，再证明EC=2PE即可；（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，可得EP3，EH＝2PH＝2x，由此FH＝31，CF＝33，由△BAD≌△PAE，得BD＝EP3x，AE＝AD，在Rt△ABG中， AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，故AE2＝AD2＝AF2+EF2，由勾股定理得AF＝3tan∠EAF＝23tan∠EAC＝6-33【详解】（1）如图1中，∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠B＝∠BED＝45°，∴∠EDC＝90°，故答案为90；（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．∵∠DAE＝∠BAP＝90°，∴∠BAD＝∠PAE，∵∠B＝45°，∴∠B＝∠APB＝45°，∴AB＝AP，∵AD＝AE，∴△BAD≌△PAE（SAS），∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°，∴∠EPD＝∠EPC＝90°，∵∠C＝30°，∴EC＝2PE＝2BD；（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，∵∠EPH＝90°，∠EHP＝60°，∴EP3，EH＝2PH＝2x，∴FH＝31，CF3FH＝33∵△BAD≌△PAE，∴BD＝EP3，AE＝AD，在Rt△ABG中，∵AB＝2∴AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，∵AE2＝AD2＝AF2+EF2，∴22+（23）231）2+（4﹣3﹣32，整理得：9x2﹣12x＝0，解得x＝43（舍弃）或0∴PH＝0，此时E，P，H共点，∴AF＝3∴tan∠EAF＝EFAF 331+＝23根据对称性可知当点E在AC的上方时，同法可得tan∠EAC 6-33．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5︒方向上，距离5千米处是村庄M，在点A北偏东53.5︒方向上，距离10千米处是村庄N；要在公路AB旁修建一个土特产收购站P(取点P在AB上)，使得M，N两村庄到P站的距离之和最短，请在图中作出P的位置（不写作法）并计算：（1）M，N两村庄之间的距离；（2）P到M、N距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75计算结果保留根号.）【答案】(1) M，N两村庄之间的距离为29千米;(2) 村庄M、N到P站的最短距离和是55千米．【解析】【分析】（1）作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．求出DN，DM，利用勾股定理即可解决问题．（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．【详解】解：作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．（1）在Rt△ANE中，AN=10，∠NAB=36.5°∴NE=AN•sin∠NAB=10•sin36.5°=6，AE=AN•cos∠NAB=10•cos36.5°=8，过M作MC⊥AB于点C，在Rt△MAC中，AM=5，∠MAB=53.5°∴AC=MA•sin∠AMB=MA•sin36.5°=3，MC=MA•cos∠AMC=MA•cos36.5°=4，过点M作MD⊥NE于点D，在Rt△MND中，MD=AE-AC=5，ND=NE-MC=2，∴MN222952即M，N29（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．DN ′=10，MD =5，在Rt △MDN ′中，由勾股定理，得 MN ′=22510+=55（千米）∴村庄M 、N 到P 站的最短距离和是55千米． 【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 与直线y ＝12x ﹣3分别交x 轴、y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，连接CD 交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标； （2）求∠DCB 的正切值；（3）如果点F 在y 轴上，且∠FBC ＝∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标．【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）13；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）． 【解析】 【分析】 （1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx+c ，即可求解； （2）求出则点E （3，0），EH ＝EB•sin ∠OBC 5CE ＝2，则CH 5解；（3）分点F 在y 轴负半轴和在y 轴正半轴两种情况，分别求解即可． 【详解】 （1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3， 则点B 、C 的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c ＝﹣3， 将点B 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx ﹣3得：0＝﹣14×36+6b ﹣3，解得：b ＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣14x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝6或2，即点A（2，0），则点D（4，1）；（2）过点E作EH⊥BC交于点H，C、D的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1），直线CD的表达式为：y＝x﹣3，则点E（3，0），tan∠OBC＝3162OCOB==，则sin∠OBC5，则EH＝EB•sin∠OBC5CE＝2CH5则tan∠DCB＝13 EHCH=；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），则BC＝5∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，tan∠DBE＝164-＝12，故：∠DBE＝∠OBC，则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，①当点F在y轴负半轴时，过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，则∠GFC＝∠OBC＝α，设：GF＝2m，则CG＝GFtanα＝m，∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，即：5＝2m，解得：m＝5CF22GF CG5＝15，故点F（0，﹣18）；②当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F（0，1）；故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，是本题的突破口．10．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．（1）如图1，求证：KE＝GE；（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝12∠ACH，求证：CA∥FE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sin E＝35，AK10CN的长．【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD 是等腰三角形．证明见解析；（3）201013. 【解析】 试题分析：（1）连接OG ，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA 可得∠AGO=∠OAG ，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG ，这样即可得到KE=GE ；（2）设∠FGB=α，由AB 是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE 可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE 中可得∠E=2α，由∠FGB=12∠ACH 可得∠ACH=2α，这样可得∠E=∠ACH ，由此即可得到CA ∥EF ； （3）如下图2，作NP ⊥AC 于P ，由（2）可知∠ACH=∠E ，由此可得sinE=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，可得AC=5a ，CH=4a ，则tan ∠CAH=43CH AH =，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ，从而可得CK=AC=5a ，由此可得HK=a ，tan ∠AKH=3AHHK=，AK=10a ，结合AK=10可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH 中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH ， 在Rt △APN 中，由tan ∠CAH=43PN AP=，可设PN=12b ，AP=9b ，由tan ∠ACG=PN CP =tan ∠AKH=3可得CP=4b ，由此可得AC=AP+CP=13b =5，则可得b=513，由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长. 试题解析：（1）如图1，连接OG ．∵EF 切⊙O 于G ，∴OG ⊥EF ，∴∠AGO+∠AGE=90°， ∵CD ⊥AB 于H ， ∴∠AHD=90°， ∴∠OAG=∠AKH=90°， ∵OA=OG ， ∴∠AGO=∠OAG ， ∴∠AGE=∠AKH ， ∵∠EKG=∠AKH ， ∴∠EKG=∠AGE ， ∴KE=GE ． （2）设∠FGB=α， ∵AB 是直径， ∴∠AGB=90°，∴∠AGE =∠EKG=90°﹣α， ∴∠E=180°﹣∠AGE ﹣∠EKG=2α，∵∠FGB=12∠ACH ， ∴∠ACH=2α， ∴∠ACH=∠E ， ∴CA ∥FE ．（3）作NP ⊥AC 于P ． ∵∠ACH=∠E ， ∴sin ∠E=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，AC=5a ， 则224AC CH a -=，tan ∠CAH=43CH AH =， ∵CA ∥FE ， ∴∠CAK=∠AGE ， ∵∠AGE=∠AKH ， ∴∠CAK=∠AKH ，∴AC=CK=5a ，HK=CK ﹣CH=4a ，tan ∠AKH=AHHK=3，2210AH HK a +=， ∵10 ∴1010a =∴a=1．AC=5， ∵∠BHD=∠AGB=90°， ∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG，∵∠ACN=∠ABG，∴∠AKH=∠ACN，∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt△APN中，tan∠CAH=43PNAP=，设PN=12b，则AP=9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN=PNCP=3，∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b=513，∴CN=22PN CP+=410b⋅=2010 13．11．如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C 处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据：3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）【答案】20.9km【解析】分析：根据题意，构造直角三角和相似三角形的数学模型，利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解：如图，在Rt △BDF 中，∵∠DBF=60°，BD=4km ，∴BF=cos 60BD o=8km ， ∵AB=20km ，∴AF=12km ， ∵∠AEB=∠BDF ，∠AFE=∠BFD ，∴△AEF ∽△BDF ，∴AE BD AF BF=， ∴AE=6km ， 在Rt △AEF 中，CE=AE•tan74°≈20.9km ．故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km ．点睛：本题考查相似三角形，掌握相似三角形的概念，会根据条件判断两个三角形相似.12．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，点D 从B 点出发沿B→A 方向在线段BA 上以a cm/s 速度运动，与此同时，点E 从线段BC 的某个端点出发，以b cm/s 速度在线段BC 上运动，当D 到达A 点后，D 、E 运动停止，运动时间为t （秒）．（1）如图1，若a=b=1，点E 从C 出发沿C→B 方向运动，连AE 、CD ，AE 、CD 交于F ，连BF ．当0＜t ＜6时：①求∠AFC 的度数；②求222AF FC BF AF FC+-⋅的值； （2）如图2，若a=1，b=2，点E 从B 点出发沿B→C 方向运动，E 点到达C 点后再沿C→B 方向运动．当t≥3时，连DE ，以DE 为边作等边△DEM ，使M 、B 在DE 两侧，求M 点所经历的路径长．【答案】（1）①120°；②1；（2）当3≤t≤6时，M 点所经历的路径长为3．【解析】【分析】（1）①如图1，由题可得BD=CE=t，易证△BDC≌△CEA，则有∠BCD=∠CAE，根据三角形外角的性质可求得∠EFC=60°，即可得到∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2，易证△FAG 是等边三角形，结合△ABC是等边三角形可证到△AGB≌△AFC，则有GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，从而可得∠BGF=60°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中运用直角三角形的性质可得BH=2y，GH=12y，从而有FH=x﹣12y．在Rt△BHF中根据勾股定理可得BF2=x2﹣xy+y2，代入所求代数式就可解决问题；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得∠BEN=30°，BD=t，CE=2t﹣6，从而有BE=12﹣2t，BN=6﹣t，进而可得DN=EC．由△DEM是等边三角形可得DE=EM，∠DEM=60°，从而可得∠NDE=∠MEC，进而可证到△DNE≌△ECM，则有∠DNE=∠ECM=90°，故M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．然后只需确定点M的始点和终点位置，就可解决问题．【详解】（1）如图1，由题可得BD=CE=t．∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ECA=60°．在△BDC和△CEA中，BD CEB ECABC AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDC≌△CEA，∴∠BCD=∠CAE，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，∴∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2．∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA，∴△FAG是等边三角形，∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAB=∠FAC．在△AGB和△AFC中，AG AFGAB FACAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGB≌△AFC，∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，∴∠BGF=60°，∴∠GBH=30°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中，GH=12y，BH=y，∴FH=FG﹣GH=x﹣12y．在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2=y）2+（x﹣12y）2=x2﹣xy+y2，∴222AF FC BFAF FC+-⋅=2222x y x xy yxy+--+（）=1；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6，∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=1 2BE=6﹣t，∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6，∴DN=EC．∵△DEM是等边三角形，∴DE=EM，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴∠NDE=∠MEC．在△DNE和△ECM中，∵DN ECNDE CEMDE EM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNE≌△ECM，∴∠DNE=∠ECM=90°，∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．当t=3时，E在点B，D在AB的中点，此时CM=EN=CD=BC•sin B=6×3=33；当t=6时，E在点C，D在点A，此时点M在点C；∴当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为33．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、三角形外角的性质等知识，综合性比较强，有一定的难度；构造旋转型全等三角形（由共顶点的两个等边三角形组成）是解决第1（2）小题的关键，证到∠ECM=90°是解决第（2）小题的关键．。

第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）四、随堂练习：1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习：1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB 的值.5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.6、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=125, 求菱形的边长和四边形AECD的周长. 7、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα=34,现有一小球从坡底A处以20cm/s 的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高?§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）四、随堂练习：1、在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.2、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝54，BC=20，求△ABC的周长和面积.EDBACBADB ACBA C3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，则sinA= .4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)五、课后练习：1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______.3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____.4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )A.sinA=34B.cosA=35C.tanA=34D.cosB=355、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BCAC等于( )A.34B.43C.35D.456、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那么tanA 等( )A.43B.34C.45D.547、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是A ．135B ．1312C ．125D ．5128、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )A.tan α<tan βB.sin α<sin β;C.cos α<cos βD.cos α>cos β9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A.CD AC B.DB CB C.CB AB D.CDCB10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )mA.100sin βB.100sin βC.100cos βD. 100cos β11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos ∠ABD=45.求：s △ABD ：s △BCDBDAC§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值三、随堂练习 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；(3)22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷13230sin 1+-︒；⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1；⑺sin60°+︒-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少? 3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)四、课后练习：1、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ；2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ）600（B ）900（C ）1200（D ）1505、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）cm 41 （B ）cm 21（C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）33 （C ）23 （D ）217、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．（A ）21 （B ）22（C ）23 （D ）18、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元9、计算：⑴、︒+︒60cos 60sin 22 ⑵、︒︒-︒30cos 30sin 260sin⑶、︒-︒45cos 30sin 2⑷、3245cos 2-+︒⑸、045cos 360sin 2+ ⑹、 130sin 560cos 30-⑺、︒30sin 22·︒+︒60cos 30tan tan60° ⑻、︒-︒30tan 45sin 22︒15020米30米10、请设计一种方案计算tan15°的值。

14.1 全等三角形一、填空题（每题3分，共30分）1．如图1所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，•则x=_______．(1) (2)2．如图2所示，在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，要使△ABC≌△DEF，•需要补充的一个条件是____________．3．把“两个邻角的角平分线互相垂直”写成“如果……，那么……”的形式为_______________．4．在△ABC和△A′B′C中，∠A=∠A′，CD与C′D′分别为AB边和A′B•′边上的中线，再从以下三个条件：①AB=A′B′；②AC=A′C′；③CD=C′D•′中任取两个为题设，另一个作为结论，请写出一个正确的命题：________（用题序号写）．5．如图3所示，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=•5cm，则D点到直线AB的距离是______cm．(3) (4)6．如图4所示，将一副七巧板拼成一只小动物，则∠AOB=•_______．7．如图5所示，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=•AP=AQ，则∠BAC的大小等于__________．(5) (6) (7)8．已知等腰△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，连结AD，若△ACD•和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是________．9．如图6所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AB=AD，•连结BD，过A点作BD的垂线，交BC于E，如果EC=3cm，CD=4cm，则梯形ABCD•的面积是_______cm．10．如图7所示，△ABC、△ADE与△EFG都是等边三角形，D•和G分别为AC和AE的中点，若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是________．二、选择题（每题3分，共30分）11．如图8所示，在∠AOB的两边截取AO=BO，CO=DO，连结AD、BC交于点P，考察下列结论，其中正确的是（）①△AOD≌△BOC ②△APC≌△BPD ③点P在∠AOB的平分线上A．只有① B．只有②C．只有①② D．①②③12．下列判断正确的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等且有一角为30°的两个等腰三角形全等 (8)C．有一角和一边相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等13．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是（）A．相等 B．互余 C．互补或相等 D．不相等14．如图9所示，在下面图形中，每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分面积最大的是（）(9)15．将五边形纸片ABCDE按如图10所示方式折叠，折痕为AF，点E、D分别落在E′，D′，已知∠AFC=76°，则∠CFD′等于（）A．31° B．28° C．24° D．22°(10) (11) (12)16．如图11所示，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是（）A．4 B．8 C．12 D．1617．如图12所示，在锐角△ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA=DE，那么下列结论错误的是（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠B=∠C D．∠3=∠B18．如图13所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A．2．1+22C．22(13) (14) (15)19．如图14所示中的4×4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+•∠7=（）A．245° B．300° C．315° D．330°20．已知：如图15所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD•相交于点O，∠1=∠2，图中全等的三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对三、解答题（共60分）21．（9分）如图所示，有一池塘，要测量池塘两端A、B的距离，请用构造全等三角形的方法，设计一个测量方案（画出图形），并说明测量步骤和依据．22．（9分）如图所示，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：AC=BD．23．（9分）如图所示，D、E分别为△ABC的边AB、AC上点，•BE与CD相交于点O．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．（1）请你选出两个条件作为题设，余下作结论，写一个正确的命题：命题的条件是_______和_______，命题的结论是_______和________（均填序号）（2）证明你写的命题．24．（10分）如图所示，△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，•使DE=BD.求证：CE=12 BC．25．（11分）如图①所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，将重合部分△BFD剪去，得到△ABF和△EDF．①（1）判断△ABF与△EDF是否全等？并加以证明；（2）把△ABF与△EDF不重合地拼在一起，可拼成特殊三角形和特殊四边形，将下列拼图（图②）按要求补充完整．②26．（12分））如图（1）所示，OP是∠MON的平分线，•请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形方法，解答下列问题：（1）如图（2），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AC、CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线交于F，试判断FE与FD之间的数量关系．（2）如图（3），在△ABC中，若∠ACB≠90°，而（1）中其他条件不变，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．1．60° 2．BC=EF或∠D=∠A或∠C=∠F3．如果作两个邻补角的角平分线，那么这两条角平分线互相垂直4．如果①②，那么③ 5．36．135° 7．120° 8．36°或45°9．26 10．15 11．D 12．D 13．C 14．D15．B 16．D 17．D 18．B 19．C 20．D21．在平地任找一点O，连OA、OB，延长AO至C使CO=AO，延BO至D，使DO=•BO，•则CD=AB，依据是△AOB≌△COD（SAS），图形略．22．证△ACB≌△BDA即可．23．（1）条件①、③结论②、④，（2）证明略24．略25．（1）△ABF≌△EDF，证明略（2）如图:26．（1）FE=FD（2）（1）中的结论FE=FD仍然成立．在AC上截取AG=AE，连结FG．证△AEF≌△AGF得∠AFE=∠AFG，FE=FG．由∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线得∠DAC+∠ECA=60°．所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，所以∠CFG=60°．由∠BCE=∠ACE及FC为公共边．可证△CFG≌△CFD，所以FG=FD，所以FE=FD．13-3 全等三角形的判定一、单选题1．如图所示，在下列条件中，不能判断△ABD ≌△BAC 的条件是（ ）A ．∠D ＝∠C ，∠BAD ＝∠ABCB ．∠BAD ＝∠ABC ，∠ABD ＝∠BAC C ．BD ＝AC ，∠BAD ＝∠ABCD ．AD ＝BC ，BD ＝AC2．如图，已知△ABC ，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC 全等的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，且90B E ∠=∠=︒，添加下列条件后，仍不能．．判定ABC 与DEF 全等的是（ ）A ．AB DE =，BC EF = B ．A EDF ∠=∠，BCA F ∠=∠ C ．AC DF =，BC EF =D ．AC DF =，BCA F ∠=∠4．若图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°5．如图，在五边形ABCDE 中，对角线AC=AD ，AB=DE ，BC=EA ，∠CAD=65°，∠B=110°，则∠BAE 的大小是（ ）A ．135°B ．125°C ．115°D ．105°6．如图，已知ABE ACD ∆≅∆，若50B ∠=，120AEC ∠=，则DAC ∠的度数为（ ）A ．120B ．70C ．60D ．507．如图，AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∠1=∠2，AD=AB ，则（ ）A ．∠1=∠EFDB ．BE=EC C ．BF=DF=CD D ．FD ∥BC8．如图，ABC ∆中，45ABC ∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论正确的有（ ）个①BF AC =；②12AE BF =；③67.5A ∠=；④DGF ∆是等腰三角形；⑤ADGE GHCE S S =四边形四边形.A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题9．如图，将Rt ABC ∆沿BC 方向平移得到DEF ∆，如果8AB cm =,4BE cm =,3DH cm =，那么图中阴影部分的面积为___________2cm10．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件_____．（只需写出符合条件一种情况）11．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形?应该带______．依据______12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，A ，E 三点都在直线m 上，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，BD ＝3，CE ＝6，则DE 的长为______.13．如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，点D 在线段BE 上，若125∠=︒，230∠=︒，则3∠= ______ .14．已知：如图，△ABC 和△DEC 都是等边三角形，D 是BC 延长线上一点，AD 与BE 相交于点P ，AC 、BE 相交于点M ，AD ，CE 相交于点N ，则下列五个结论：①AD ＝BE ；②AP ＝BM ；③∠APM ＝60°；④△CMN 是等边三角形；⑤连接CP ，则CP 平分∠BPD ，其中，正确的是_____．（填写序号）三、解答题15．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 在BC 边上，AD AE =．求证：BD CE =．16．如图，点C 是线段AB 上除AB 、外任意一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同旁作等边ACD ∆和等边BCE ∆，连接AE 交DC 于M ，连接BD 交CE 于N ，连接MN .（1）求证：AE BD =； （2）求证：MNAB .参考答案1-5.CBBBA 6-8.BDB 9.2610.AC=BD （答案不唯一，或BC=AD 或∠DAB=∠CBA 或∠CAB=∠DBA ） 11.2 角边角 12.9 13.55° 14.①③④⑤． 15.证明：∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∵AD=CE,∴∠ADE=∠AED,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD ,∴BD=CE,16.证明：(1)∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，∵AC DCACE DCB CE CB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴AE=BD；(2)△MNC是等边三角形．理由如下：∵由（1）得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠CDN，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN=60°，在△ACM与△DCN中，∵CAM NDC AC DCACM DCN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ACM≌△DCN(ASA)，∴MC=NC，∵∠MCN=60°，∴△MCN为等边三角形．∴∠MCA=∠CMN=60°，∴MN∥AB.《分式》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！我是____号考生，今天我说课的内容是《分式》。

D AB CEA BDFC 图13DIE ACB三角形的边角关系专题例1.为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条,这样做的道理是 ． 例2.下列说法中错误的是( )A.三角形的一个外角大于任何一个内角B.有一个内角是直角的三角形是直角三角形C.任意三角形的外角和都是360oD.三角形的中线、角平分线，高线都是线段例3.如图,∠A=65o,∠B=75o,将纸片的一角折叠,使点C•落在△ABC 内,若∠1=20o,则∠2的度数为______.例4.如图,在△ABC 中,∠ACB=90o,CD 是AB 边上的高,且AB=13cm ,BC=12cm ,AC=5cm ,求:(1)△ABC 的面积;(2)CD 的长.例5.如图,在ΔABC 中,AD 是角平分线,∠B=70o,∠C=40o,求∠BAD 和∠ADC 的度数. 例6.如图,DF ⊥AB,∠A=43o,∠D=42o,求∠ACB 的度数.例7.一个等腰三角形的两边长分别是4 cm 和6 cm,则它的周长是________cm. 例8.如果∠α的补角加上30o后,等于它的余角的4倍,则这个角是_________.例9.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,点E 在线段BD 上,且AE 平分∠BAC,若∠B=40o,∠C=78o,则∠EAD=______o.例10.在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=3:2:1,求它们的度数. 例11.在△ABC 中,∠A=12∠B=13∠C,求△ABC 各内角的度数.例12.在具备下列条件的△ABC 中,不是直角三角形的是( )A.∠A-∠B=∠C; B.∠A=3∠C,∠B=2∠C; C.∠A=∠B=2∠C; D.∠A=∠B=12∠C例13.已知三角形的两边分别为5cm 和7cm,第三边的长为整厘米数,那么这样的三角形共有几个?例14.如图,在ΔABC,角平分线BD 、CE 相交与I,则∠BIC 与∠A 有什么关系?如果设∠A 为求∠BIC(用α表示).利用上述关系,计算:(1)当∠A=50o时,求∠BIC;(2)当∠BIC=130o时,求∠A.例15.在下列图中,分别画出三角形的三条高:EB DACEB ACCABCABCABEEE BA CDE 练习1.如图,AD 是∠CAE 的平分线,∠B=30o,∠DAE=55o,则∠ACD 等于( )A.80oB.85oC.100oD.110o2.一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上,BC 与DE 交于点M. 如果∠ADF=100o,那么∠BMD 为( )A.95oB.85oC.90oD.100o3.若等腰三角形的周长为26cm,一边长为11 cm,则腰长为 .4.一个角的余角与补角的和等于这个角的4倍,则这个角是多少度?5.已知:如图,在△ABC 中,∠BAC=80o,AD ⊥BC 于D,AE 平分∠DAC,∠B=60o;求∠AEC 的度数.6.若△ABC 中,∠A:∠B:∠C=1:2:4,则△ABC 一定是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.任意三角形7.在下列条件中:①∠A +∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③∠A=90o-∠B;④∠A=∠B=12∠C 中,能确定△ABC 是直角三角形的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.(1)已知∠A=2∠B=3∠C,则∠A= ° (2)若△ABC 中,∠B=∠C=2∠A,则∠A= .9.两根木棒的长分别是7cm 和10cm,要选择第三根木棒,将它们钉成三角形,第三根木棒长的范围应是_________. 10.在△ABC 中,∠A=80o,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O,则∠BOC=________度. 11.在下图中, 正确画出AC 边上高的是 ( ).A B C D12.已知a,b,c 是△ABC 的三边长,化简|a-b+c|+|c-a-b|= .13.如图,将一副三角尺的直角顶点重合在一起,(1)若∠DOB 与∠DOA 的度数比是2:11,求∠BOC 的度数;(2)若叠合所成的∠BOC=n o(0<n<90),则∠AOD 的补角的度数与∠BOC 的度数之比是多少?14.三角形有一个角的度数是46o角的余角，另一个角是144o角的补角，那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形15.如果三角形三个内角之比为3:4:5,那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.上述三角形都可能 16.三角形的三边长为3,a,7,则a 的取值范围是 ;如果这个三角形中有两条边相等,那么它的周长是 ; 17.如图,在△ABC 中,∠A=96o,延长BC 到点D ，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线相交于点A 1,∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线 相交于点A 2,依此类推,∠A 4BC 的平分线与∠A 4CD 的平分线相交于点A 5,则∠A 5的度数为( )A.3oB.6oC.8oD.12o18.已知:△ABC 中,AB=AC,BD 为∠ABC 的平分线,∠BDC=75o,则∠A 的度数为( ) A.25oB.30oC.40oD.20o19.如图,△ABC 中,∠C=90o,AC=BC,AD 平分∠CAB 交BC 于点D,DE ⊥AB,垂足为E,且AB=6cm,则△DEB 的周长为( )A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 20.下列图形中有稳定性的是( ) A.正方形 B.长方形 C.直角三角形 D.平行四边形。

九年级数学下 直角三角形的边角关系第1节 从梯子的倾斜程度谈起 1、正切的定义例1 如图1，△ABC 是等腰直角三角形，求tanC.例2 如图2， 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。

2、坡度的定义及表示拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD•的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i ＝1：2变成i ′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．•求加高后的坝底HD 的长为多少？CBA3、正弦、余弦的定义例4在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA 、sinB 、cosA 、cosB 的值。

通过计算你有什么发现？请加以证明。

4、三角函数的定义例5 右图，方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm ，CD=6cm 斜立在墙上，其中BE=6cm ，DE=2cm ，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。

本节作业：1、如上图，∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，求CD 的长。

2、P 是∠POM （即∠a ）的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。

3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=31，求tanA 的值。

4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为30，求△ABC 的面积。

5、在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？第2节 30°，45°，60°角的三角函数值 1、30°，45°，60°角的三角函数值例1 求下列各式的值。

（1）︒︒-︒60tan 30sin 60sin ； （2）︒-+︒-︒45sin 22460tan 460tan 2。

直角三角形的边角关系（习题）➢要点回顾1.默写特殊角的三角函数值：2.三角函数值的大小只与角度的有关，跟所在的三角形放缩（大小）没有关系．3.计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在中研究，常利用或两种方式进行处理．➢例题示范例：如图，在△ABC 中，∠B=37°，∠C=67.5°，AB=10，求BC 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan67.5°≈2.41）如图，过点A 作AD⊥BC 于点D，由题意AB=10，∠B=37°，∠C=67.5°在Rt△ABD 中，AB=10，∠B=37°，sin B =AD，cos B =BD AB AB∴AD=6，BD=8在Rt△ADC 中，AD=6，∠C=67.5°，tan C =ADCD∴CD=2.49∴BC=BD+CD=8+2.49=10.49≈10.5即BC 的长约为10.5．从下面书写板块的名称中选取合适的内容，写到对应的横线上．①得出结论；②解直角三角形；③准备条件．12➢巩固练习1.在Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2 倍，那么锐角A 的正弦值（）A．扩大2 倍B．缩小2 倍C．没有变化D．不确定2.在Rt△ABC 中，若∠C=90°，AC=3，BC=5，则sin A 的值为（）A.35B.45C．5 3434D．3 34343.在△ABC 中，∠A，∠B 均为锐角，且⎛1 ⎫2sin A - + - cos B ⎪⎝⎭= 0 ，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4.若∠A 为锐角，且cos A 的值大于1，则∠A（）2A．大于30°B．小于30°C．大于60°D．小于60°5.已知β为锐角，且3A．30︒≤β≤60︒C．30︒≤β< 60︒≤tan β< ，则β的取值范围是（）B．30︒<β≤60︒D．β< 30︒6.如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC，垂足为E，设∠ADE=α，若cosα=3，AB=4，则AD 的长为（）5A．3 B．163C．203D．165第6 题图第7 题图7.如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB，若cos A =3，BE=2，则5tan∠DBE= ．232338.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若AB=6，BC=2，则cos A=．9. 在△ABC 中，∠A=120°，若AB=4，AC=2，则sin B= ．10.如图，在△ABC 中，AB=A C，∠A=45°，AC 的垂直平分线分别交AB，AC 于D，E 两点，连接CD．如果AD=1，那么tan∠BCD= ．第10 题图第11 题图11.如图，在△ABC 中，若∠C=90°，sin B =3，AD 平分∠CAB，5则sin∠CAD= ．12. 如图，在△ABC 中，∠C=75°，∠BAC=60°，AC=2，AD 是BC 边上的高，则△ABC 的面积为，AD 的长为．第12 题图第13 题图13.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（）A．1214.计算：B. 5C. 0 10D. 255（1）6 tan2 30︒- 3 sin 60︒+ 2 tan 45︒；（2 cos 30︒- sin 45︒；）sin 60︒- cos 45︒312 sin 60︒ 1- 2 tan 60︒+ tan2 60︒ ⎪ ⎛1 ⎫（3）(-2 -1)0 -+；tan 45︒⎝3 ⎭（4）- tan 60︒．15.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan B=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD；（2）若sin C =12，BC=12，求AD 的长．1316. 如图，在△ABC 中，∠A=26.6°，∠B=45°，AC= 2的长．（参考数据：tan26.6°≈0.50）5 ，求AB434 + 2 3 ( 3 +1) 2 ➢ 思考小结1. 30°，45°，60°，120°，135°，150°都属于我们常用的特殊角，在解直角三角形中经常用到．120°，135°，150°经常使用它们的补角构造直角三角形，如右图 1．2. 解直角三角形的常考形式直角三角形：“一角一边”求其余元素非直角三角形：“两角一边”求其余元素，往往通过构造直角三角形，把已知角度信息放到直角三角形求解，如右图 2 （α，β，m 已知）．3. 我们已经知道 30°，45°所在的直角三角形的三边关系之比，借助这个内容，可以推导 15°和 22.5°所在的直角三角形的三边关系之比，如何推导呢？如图 1，通过延长 CB 到 D ，使得 BD =AB ，可以构造 15°角， 根据三边关系填空．（已知 = = 3 +1 ）类比上述内容，请你画出研究 22.5°角所在的直角三角形所需图形并填空．tan22.5°= ；tan67.5°= ．（可跟随堂测试题目 3 的方法进行对比）54.探索思考下面的结论，尝试在下面两个图形中证明结论：若tanα=1，tanβ=1，则α+β=45︒．（标注信息，简要写2 3出思路）6【参考答案】➢要点回顾1.α30°45°60°正弦sin α122232余弦cos α322212正切tan α331 32.大小3.直角三角形，转移、构造➢巩固练习1. C2. C3. D4. D5. C6. B7. 28. 2 2 39.21 1410. 2 -111.5 512. 3 +23，2 + 6213. B14. （1）52；（2）1；（3）7；（4）-115. （1）证明略；（2）816. 673 3 2 ➢ 思考小结3. 2 - ， 2 + ， 6 - 2 ； 4-1， +14. 证明略8 2。

第一章回顾与思考1、等腰三角形的一腰长为cm 6，底边长为cm 36，则其底角为（ ） A 030 B 060 C 090 D 01202、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则两个坡角的和为 （ ）A 090 B 060 C 075 D01053、如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53c o s =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）．（A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）5164、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为4502cm ，则对角线所用的竹条至少需（ ）． （A ）cm 230 （B ）30cm （C ）60cm （D ）cm 260 5、如果α是锐角，且135cos sin 22=︒+α，那么=α º． 6、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米． 7、如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =______.8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的有为 米（用含α的三角比表示）．9、在Rt ABC ∆中∠A＜∠B，CM 是斜边AB 上的中线，将ACM ∆沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于 度．10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为︒55，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.11、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到，A ︒=∠30AC = 40米，αPoyx34ABCDE︒555.8m10mBC = 25米，请你求出这块花圃的面积.12、如图，在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为︒30的方向飞行，半小时后到达C 处，这时气球上的人发现，在A 处的正西方向有一处着火点B ，5分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角是︒15，求热气球升空点A 与着火点B 的距离．13、如图，一勘测人员从B 点出发，沿坡角为︒15的坡面以5千米/时的速度行至D 点，用了12分钟，然后沿坡角为︒20的坡面以3千米/时的速度到达山顶A 点，用了10分钟.求山高（即AC 的长度）及A 、B 两点的水平距离（即BC 的长度）（精确到0.01千米）.14、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（）A．12B．43C．35D．452、在ABC中，∠C=90°，若BC=4，2sin3A ，则AB的长为（）A．6 B．C．D．3、如图要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，点P位于点A正北方向，点C位于点A的北偏西46°，若测得PC＝50米，则小河宽PA为（）A ．50sin44°米B ．50cos44°C ．50tan44°米D ．50tan46°米4、如图，在33⨯的网格中，A ，B 均为格点，以点A 为圆心，AB 的长为半径作弧，图中的点C 是该弧与格线的交点，则tan BAC ∠的值是（ ）A ．12B ．255C ．53D ．235、如图，建筑工地划出了三角形安全区ABC ，一人从A 点出发，沿北偏东53°方向走50m 到达C 点，另一人从B 点出发沿北偏西53°方向走100m 到达C 点，则点A 与点B 相距（ ）4tan 533≈︒⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．130m6、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 边的中点，连接CD ，若4BC =，3CD =，则sin DCB ∠的值为（ ）A ．23 B C D 7、在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠BAC 的位置如图所示，则sin∠BAC 的值为（ ）A ．12BCD 8、如图，若要测量小河两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在小河边取AB 的垂线BP 上的一点C ，测得BC ＝50米，∠ACB ＝46°，则小河宽AB 为多少米（ ）A ．50sin46°B ．50cos46°C ．50tan46°D ．50tan44°9、tan 45︒的值为（ ）A ．1B ．2CD ．10、如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为13BC =m ，则AB 的长度为（ ）A ．6mB ．C ．9mD ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，将ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处．如果:3:5AB AD =，那么tan EFC ∠的值是__________2、如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3，点E 在AB 边上，AE ＝4，BE ＝2，点F 是AC 上的一个动点．连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°并延长至其2倍，得到线段EG ，当1tan 5GEA ∠=时，点G 到CD 的距离是 _______．3、在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果cos A =13，AC =2，那么AB 的长为________．4、在正方形ABCD 中，AB ＝2，点E 是BC 边的中点，连接DE ，延长EC 至点F ，使得EF ＝DE ，过点F 作FG ⊥DE ，分别交CD 、AB 于N 、G 两点，连接CM 、EG 、EN ，下列正确的是______．①tan∠GFB ＝12．②MN ＝NC ；③12CM EG =．④S 四边形GBEM ．5、如图①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长度相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿AB 的长应设计为 ___cm ．（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin 50°＝cos 40°≈0.77，sin 40°＝cos 50°≈0.64，tan 40°≈0.84，tan 50°≈1.19）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：sin30°•tan45°+sin 260°﹣2cos60°．2、计算、解方程：（1）267x x =+（2）24(3)(3)x x x -=-（3）112tan 454sin 602-⎛⎫-︒+︒- ⎪⎝⎭3、如图，在ABC 中，10AB AC ==，3tan 4B =，D 是BC 边上的一个动点（不与点B 、C 重合），以点D 为顶点作ADE B ∠=∠，射线DE 交AC 于点E ，过点A 作AF AD ⊥交射线DE 于F ，连接CF ．（1）求证：ABD DCE ∽△△； （2）当DE AB ∥时（如图2），求AE 的长；（3）当FC FD 时，直接写出BD 的长．4、如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，与BD 交O 一点，直线EF 过点O 分别交直线AB ，CD ，BC 于E ，F ，H ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）若OC 2＝HC •BC ，OC ：BH ＝sin∠BAC ；（3）在△AOF 中，若AF ＝8，AO ＝OF ＝ABCD 的面积．5、居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD （结果精确到0.1m ，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边进行求解即可．【详解】解：如图所示，在直角三角形ABC中∠ACB=90°，AC=2，BC=4，∴tanα=αααα=24=12，故选A．【点睛】本题主要考查了求正切值，解题的关键在于能够熟练掌握正切的定义．2、A【分析】由题意直接根据三角函数定义进行分析计算即可得出答案．【详解】解：∵∠C=90°，BC=4，2 sin3A=，∴42 sin3BCAAB AB===,∴6AB=.故选：A.【点睛】本题考查解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握直角三角形边角之间的关系是解题的关键．3、C【分析】先根据AP⊥PC，可求∠PCA=90°-46°=44°，在Rt△PCA中，利用三角函数AP=tan4450tan44PC︒⨯=︒米即可．【详解】解：∵AP ⊥PC ，∴∠PCA +∠A =90°，∵∠A =46°，∴∠PCA =90°-46°=44°，在Rt△PCA 中，tan∠PCA =AP CP，PC =50米， ∴AP =tan 4450tan 44PC ︒⨯=︒米．故选C ．【点睛】本题考查测量问题，掌握测量问题经常利用三角函数求边，熟悉锐角三角函数定义是解题关键．4、B【分析】利用CD AB ∥，得到∠BAC =∠DCA ，根据同圆的半径相等，AC =AB =3，再利用勾股定理求解,CD 可得tan ∠ACD =AD CD =. 【详解】解：如图， ∵CD AB ∥，∴∠BAC =∠DCA ．∵同圆的半径相等， ∴AC =AB =3，而2,AD =225,CD AC AD在Rt △ACD 中，tan ∠ACD =AD CD∴tan ∠BAC =tan ∠ACD ． 故选B ．【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键．5、B【分析】设经过A 点的东西方向线与经过B 点的南北方向线相交于点D ，过C 作CF ⊥AD ，CE ∥AD ，BE ∥AG ，则∠GAC ＝∠ACF ＝∠EBC ＝∠BCF ＝53°，在Rt△ACF 和Rt△BCE 中，根据正切三角函数的定义得到AF FC ＝CE EB ＝43，结合勾股定理可求得AF ＝40，CF ＝DE ＝30，FD ＝CE ＝80，BE ＝60，在Rt△ABD 中，根据勾股定理即可求得AB ．【详解】解：如图，设经过A 点的东西方向线与经过B 点的南北方向线相交于点D ，过C 作CF ⊥AD ，CE ∥AD ，BE ∥AG ，∴∠CEB ＝90°，∠GAC ＝∠ACF ＝∠EBC ＝∠BCF ＝53°，AC ＝50，BC ＝100，四边形CEDF 是矩形， ∴DE ＝CF ，DF ＝CE ， 在Rt△ACF 中，tan∠ACF ＝AF FC＝tan53°， 在Rt△BCE 中，tan∠EBC ＝CE BE ＝tan53°， ∵tan53°≈43，∴AFFC＝CEEB＝43，∴AF＝43CF，CE＝43BE，在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2，∴CF2+（43CF）2＝502，解得CF＝DE＝30，AF＝43×30＝40，在Rt△BCE中，BE2+CE2＝BC2，∴BE2+（43BE）2＝1002，解得BE＝60，CE＝DF＝43×60＝80，∴AD＝AF+DF＝120，BD＝BE﹣DE＝30，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴AB故选：B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．6、D【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB ，再根据三角函数的意义，可求出答案．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边的中点，∴AD ＝BD ＝CD ＝12AB ，∴DCB B ∠=∠,又∵CD ＝3，∴AB ＝6，AC =∴sin DCB ∠＝sin B ＝AC AB == 故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提．7、D【分析】先求出△ABC 的面积，以及利用勾股定理求出AC =AB =BD =进而求解即可．【详解】解：如图所示，过点B 作BD ⊥AC 于D ，由题意得：11=42=4=22ABC S AC BD ⨯⨯⋅△，AC =AB∴BD =∴sin =BD BAC AB ∠ 故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和求正弦值，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造直角三角形．8、C【分析】根据三角函数的定义求解即可．【详解】解：在Rt ACB 中，46ACB ∠=︒，tan tan 46AB ACB BC∠=︒=，tan 4650tan 46AB BC =⋅︒=︒米， 故选：C ，【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义．9、A【分析】直接求解即可．解：tan 45︒=1，故选：A ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．10、A【分析】根据迎水坡AB 的坡比为1BC AC =AC 的长度，运用勾股定理可得结果． 【详解】解：迎水坡AB 的坡比为1BC AC ∴=，即3AC = 解得，AC =由勾股定理得，()6AB m ==，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，熟知坡比的意义是解本题的关键．二、填空题1、43## 【分析】利用“一线三垂直”模型，可知=EFC BAF ∠∠，由折叠可知，AE =AD ，利用勾股定理表示出BF ，即可求出tan EFC ∠的值．解：由题意得，∵=90D AFE ∠∠=︒,∴==90B C AFE ∠∠∠=︒，即：90EFC BFA BFA BAF ∠+∠=∠+∠=︒，∴=EFC BAF ∠∠．设：AB 为3x ，则AD 为5x ，∵AE =AD =5x ，∴在t R ABF 中，有勾股定理得：4BF x =， ∴44tan =33BF x BAF AB x ∠==， ∴4tan =3EFC ∠． 故答案为：43． 【点睛】本题是图形与三角函数的综合运用，利用图形的变换，表示出所求的教角的函数值是本题的关键．2、4111或199【分析】分两种情况如图1和图2所示，利用相似三角形的性质与判定分类讨论求解即可．【详解】解：如图1所示，过点G 作NH ∥AD 分别交BA ，CD 延长线于 H ，N ，过点F 作FM ∥BC ，交AB 于M ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠BAD =∠HAD =∠ADC =∠AND =90°，∴∠H =∠N =∠AMF =90°，∴四边形HADH 是矩形，1tan ==5GH GEA EH ∠，即5HE GH =， ∴HN =AD ，由旋转的性质可知∠GEF =90°，∴∠HEG +∠NEF =90°，又∵MEF +∠MFE =90°，∴∠HEG =∠MFE ，∴△HEG ∽△MFE ， ∴2HE HG EG MF ME FE ===， ∴12EM GH =，52MF GH =， ∵MF ∥BC ，∴△AMF ∽△ABC ， ∴AM MF AB BC =，15422GH GH AE BE BC+=+， ∴1542263GH GH +=， ∴89GH =， ∴199GN HN GH =-=，即点G 到CD 的距离为199；如图2所示，过点G作NH∥AD分别交直线BA，直线CD于H，N，过点F作FM∥BC，交AB于M，同理可求出12ME GH=，2GMF GH=，12ME GH=同理可证△AMF∽△ABC，∴AM MFAB BC=，15422GH GHAE BE BC-=+，∴1542263GH GH-=，∴811 GH=，∴4111GN HN GH=+=，即点G到CD的距离为4111；综上所述，点G到CD的距离为4111或199．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，三角函数，点到直线的距离，旋转的性质，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造相似三角形求解．3、6【分析】 根据余弦的定义可得1cos 3AC A AB ==，代入AC =2即可求得AB 【详解】解：如图，1cos ,23AC A AC AB === 6AB ∴=故答案为：6【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键，在Rt 中，cos αα=的邻边斜边．4、①②④【分析】①证明DCE FME ∆≅∆，由tan tan GFB CDE ∠=∠可得；②结合①EM CE =，证明MEN CEN ∆≅∆；③证明//CM GE ，得12CM CF EG EF =≠； ④求出FBG ∆和FME ∆的面积，进而由它们的差可得．【详解】解：90DCE FME ∠=∠=︒，DEC MEF ∠=∠，DE EF =，()DCE FME AAS ∴∆≅∆，GFB CDE ∴∠=∠，1tan tan 2CE GBF CDE CD ∴∠=∠==， 故①正确，由①可得：CE EM =，EN EN =，90EMN ECN ∠=∠=︒，()Rt EMN Rt ECN HL ∴≌，MN NC ∴=，故②正确，EM EC =，EMC ECM ∴∠=∠，EM CE BE ==，GE GE =，90B GME ∠=∠=︒，()Rt GBE Rt GME HL ∴≌，BEG GEM ∴∠=∠，BEM EMC ECM ∠=∠+∠，22GEM EMC ∴∠=∠，GEM EMC ∴∠=∠，//CM GE ∴，FCM FEG ∴∆∆∽， ∴12CM CF EG EF =≠， 故③不正确，1CE =，2CD =，ΔΔ11212EMF CDE S S ∴==⨯⨯=， F F ∠=∠，90FME B ∠=∠=︒，FME FBG ∴∆∆∽，∴22()FBG FME S BF S FM ∆∆==，FBG S ∆∴1GBEM S ∴==四边形， 故④正确，故答案是：①②④．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解题的关键是层层递进，下一问要有意识应用前面解析．5、41.6【分析】连接BD ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，从而得到OB =OD ，进而得到∠BOH =50°，在Rt BOH 中，可求出OB ，即可求解．【详解】解：如图，连接BD ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，∵AB =CD ，点O 是AB 、CD 的中点，∴OB =OD ，∵∠DOB ＝100°，∴∠BOH =50°，113216cm 22BH BD ==⨯= ， 在Rt BOH 中，1620.8cm sin 0.77BH OB BOH =≈≈∠ ， ∴241.6cm AB OB == ．故答案为：41.6【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．三、解答题1、14【分析】将特殊角的三角形函数值代入计算即可【详解】原式2111222=⨯+-⨯⎝⎭ 13124=+- 14=【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解答的关键．2、（1）127,1x x ==-；（2）123,4x x ==；（3）-【分析】（1）利用配方法求出方程的解；（2）利用因式分解法求出方程的解；（3）利用负指数幂法则，特殊角的三角函数值计算，化简二次根式后计算出最后的结果．【详解】（1）解：x 2=6x +7方程可化为26916x x -+=即2(3)16x -=∴34x -=±∴127,1x x ==-；（2）解：4(x −3)2=x (x −3)方程可化为：24(3)(3)0x x x ---=∴(3)(312)0x x --=∴30x -=或3120x -=∴123,4x x ==．（3））11()2-−2tan45°+4sin60°−＝2＝2﹣2+＝﹣【点睛】本题考查了实数的运算、解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3、（1）见解析；（2）12532【分析】（1）先由AB AC =，得到B ACB ∠=∠， 再由三角形外角的性质可得BAD CDE ∠=∠，由此即可证明ABD DCE ∽△△； （2）先解直角三角形ABM 得到8BM =，再由三线合一定理得到216BC BM ==，然后证明C ABD BA ∽△△，得到AB BD CB AB =，求得254BD =，再由平行线分线段成比例得到 BD AE CB AC =，即可求解12532AE =； （3）过点F 作FH ⊥BC 于点H ，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，AN ⊥FH 于点N ，则∠NHA ＝∠AMH ＝∠ANH ＝90°，则四边形AMHN 为矩形，得到∠MAN ＝90°，MH ＝AN ，然后证明△AFN ∽△ADM ，得到=AN AF AM AD ，由3tan =tan =4AF ADF B AD =∠，可求出AN ＝34AM ＝92，即可得到CH ＝CM －MH ＝CM －AN ＝72由此求解即可．【详解】（1）证明：∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠，∵=ADC ADE CDE B BAD ∠+∠=∠+∠∠，ADE B ∠=∠，∴BAD CDE ∠=∠，∴ABD DCE ∽△△； （2）如图中，过点A 作AM BC ⊥于M ，∵在Rt ABM 中，3tan 4AM B BM ==， ∴34AM BM =，∴54AB BM ==， ∵10AB =，∴8BM =，∵AB =AC ，AM ⊥BC ，∴216BC BM ==，∵DE AB ∥，∴BAD ADE ∠=∠，∵ADE B∠=∠，B ACB∠=∠，∴BAD ACB∠=∠，∵ABD CBA∠=∠，∴CABD BA∽△△，∴AB BDCB AB=即101610BD=，∴254 BD=，∵DE AB∥，∴BD AE CB AC=，∴2541610AE=，∴12532 AE=；（3）过点F作FH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥FH于点N，则∠NHA＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形．∴∠MAN＝90°，MH＝AN，由（2）得BM＝CM＝12BC＝8，3=64AM BM=，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF ＝90°＝∠AMD ．∵∠DAF ＝90°＝∠MAN ，∴∠MAD +∠NAD =∠NAF +∠NAD ，即∠NAF ＝∠MAD ，∴△AFN ∽△ADM ， ∴=AN AF AM AD， ∵3tan =tan =4AF ADF B AD =∠， ∴3==4AN AF AM AD ， ∴AN ＝34AM ＝92， ∴CH ＝CM －MH ＝CM －AN ＝72．又∵FH ⊥DC ，FD =FC ，∴CD ＝2CH ＝7，∴BD ＝BC －CD ＝16－7＝9．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的性质与判定等等，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．4、（1）证明见解析；（2（3）80． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得,OB OD AB CD =，再根据平行线的性质可得,OBE ODF OEB OFD ∠=∠∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据菱形的判定证出平行四边形ABCD 是菱形，再根据菱形的性质可得,AC BD AB BC ⊥=，然后设(0),(0)BH x x CH y y =>=>，从而可得,OC AB BC x y ===+，代入2OC HC BC =⋅解一元二次方程可得9y x =，由此可得10,AB x OB ==，最后在Rt AOB 中，利用正弦三角函数的定义即可得；（3）先根据平行四边形的判定证出四边形AECF 是平行四边形，再根据矩形的判定证出平行四边形AECF 是矩形，根据矩形的性质可得90AFC ∠=︒，然后利用勾股定理可得16CF =，设(0)AD CD a a ==>，从而可得16DF a =-，在Rt ADF 中，利用勾股定理可得10a =，最后利用平行四边形的面积公式即可得．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，,,AB CD OB OD AB CD ∴==，,OBE ODF OEB OFD ∴∠=∠∠=∠，在BOE △和DOF △中，OBE ODF OEB OFD OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BOE DOF AAS ∴≅；（2）AB CD ∥，BAC ACD ∴∠=∠， AC 平分BAD ∠，BAC DAC ∴∠=∠，ACD DAC ∴∠=∠，AD CD ∴=，∴平行四边形ABCD 是菱形，,AC BD AB BC ∴⊥=，:OC BH =∴设(0),(0)BH x x CH y y =>=>可得,OC AB BC x y ===+，由2OC HC BC =⋅得：2)()y x y =+，解得9y x =或100y x =-<（不符题意，舍去），10,AB x OB ∴==，在Rt AOB 中，sin OB BAC AB ∠== （3）由（1）已证：BOE DOF ≅△△，,BE DF OE OF ∴==，AB CD =，AB BE CD DF ∴+=+，即AE CF =，又AB CD ∥，即AE CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，AO OF ==AO OF OE OC ∴====AC EF ∴==∴平行四边形AECF 是矩形，90AFC ∴∠=︒，16CF ∴=，设(0)AD CD a a ==>，则16DF a =-，在Rt ADF 中，222AF DF AD +=，即2228(16)a a +-=，解得10a =，即10CD =，则平行四边形ABCD 的面积为10880CD AF ⋅=⨯=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、一元二次方程的应用、正弦三角函数等知识点，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．5、城楼顶端距地面约为31.9m【分析】根据题意，设AE 为x m ，在Rt △ACE 中，tan∠ABE =AE BE，进而列出方程0.7(13)x x +=，求得AE ,根据 AD =AE +ED 即可求解【详解】解：根据题意，得BM =ED =16m ，∠AEC =90°设AE 为x m ，在Rt △ACE 中，∵∠ACE =45°，∴∠CAE =45°，∴AE =CE在Rt △ABE 中，∵tan∠ABE =AE BE ， 又∵∠ABE =35°， ∴tan35°=13x x + 即0.7(13)x x +=解得x ≈30.3∴AD=AE+ED≈30.3+16≈31.9（m）答：城楼顶端距地面约为31.9m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．。

《三角形中的边角关系》测试卷（满分：100分时间：60分钟）姓名得分一、选择题（每小题3分，共30分）1、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．1，1，2 B．3，7，11 C．6，8，9 D．3，3，62、下列语句中，不是命题的是（）A．两点之间线段最短 B．对顶角相等C．不是对顶角不相等 D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线3、下列命题中，假命题是（）A．如果|a|=a，则a≥0 B．如果，那么a=b或a=-bC．如果ab>0，则a>0，b>0 D．若，则a是一个负数4、若△ABC的三个内角满足关系式∠B＋∠C=3∠A，则这个三角形（）A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形5、三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定6、下列命题中正确的是（）A．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形B．等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角C．三角形外角一定是钝角D．△ABC中，如果∠A>∠B>∠C，那么∠A>60°，∠C<60°7、若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（）A．3：2：1 B．5：4：3 C．3：4：5 D．1：2：38、设三角形三边之长分别为3，8，1－2a，则a的取值范围为（）A．－6<a<－3 B．－5<a<－2 C．－2<a<5 D．a<－5或a>29、如图9,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S△ABC=4cm2,则S阴影等于（） A.2cm2 B.1cm2 C.12cm2 D.14cm2图9 图1010、已知：如图10，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边的高，则∠DBC=（）A．10° B．18° C．20° D．30°二、填空题（每小题4分，共20分）11、已知三角形的周长为15cm，其中的两边长都等于第三边长的2倍，则这个三角形的最短边长是．12、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为．13、如图13，∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝20°，则∠BOC= ．图13 图14 图1514、如图14，AF、AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAF= ．15、如图15，D是△ABC的BC边上的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，则∠DAC= ．三、解答题（第16题6分，第17题8分，第18-21题每题9分，共50分）16、写出下列命题的逆命题，并判断是真命题，还是假命题．（1）如果a＋b=0，那么a=0，b=0．（2）等角的余角相等．（3）如果一个数的平方是9，那么这个数是3．17、完成以下证明，并在括号内填写理由：已知：如图所示，∠1=∠2，∠A=∠3.求证：AC∥DE.证明：因为∠1=∠2（），所以AB∥___（）.所以∠A=∠4（）.又因为∠A=∠3（），所以∠3=_ _（）.所以AC∥DE（）.18、如图，在△ABC中，AB=AC，AC上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形各边的长．19、如图，已知∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，求证AB∥OE∥CD.20、如图，已知DE∥BC，FG∥CD，求证：∠CDE＝∠BGF．21、已知△ABC，如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，求证∠P=90°＋∠A；《三角形中的边角关系》测试卷答案一、选择题1.C2.D3.C4.A5.D6.D7. B8.B9.B 10.B二、填空题11．3cm； 12．20°或120°； 13. 120°； 14. 20°； 15．24°；三、解答题16、（1）逆命题：如果a=0，b=0，那么a＋b=0；真命题（2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是等角的余角；假命题（3）如果一个数是3，那么这个数的平方是9.真命题17、已知；EC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；∠4；等量代换；内错角相等，两直线平行18、因为BD是中线，所以AD=DC，造成所分两部分不等的原因就在于腰与底的不等，故应分情况讨论．解：设AB=AC=2x，则AD=CD=x，（1）当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2x＋x=30，∴x=10，2x=20，BC=24－10=14，三边分别为：20cm，20cm，14cm．（2）当AB＋AD=24，BC＋CD=30，有2x＋x=24∴x=8，BC=30－8=22，三边分别为：16cm，16cm，22cm．19、证明一：∵∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠2（等式性质）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．又∵∠1＋∠3＝180°（已知），∴OE∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴AB∥OE（平行于同一直线的两直线平行），∴AB∥OE∥CD．证明二：∵∠1＋∠3＝180°（已知），∴CD∥OE（同旁内角互补，两直线平行）．又∵∠2＋∠3＝180°（已知），而∠BOE＋∠3＝180°（邻补角定义），∴∠2＝∠BOE（等式性质）．∴AB∥OE（内错角相等，两直线平行）．∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线平行）．∴AB∥OE∥CD．20、证明：∵DE∥BC（已知），∴∠EDC＝∠DCG（两直线平行，内错角相等）．又∵FG∥CD（已知），∴∠DCG＝∠FGB（两直线平行，同位角相等）．∴∠CDE＝∠BGF（等量代换）．。

直角三角形边角关系复习题直角三角形是初中数学中的重要概念，它是指一个角为90度的三角形。

在直角三角形中，边角关系是一个基本的知识点，它涉及到三边的关系以及角度的计算。

本文将通过复习题的形式，帮助读者巩固和加深对直角三角形边角关系的理解。

1. 已知一直角三角形的斜边长为5cm，其中一个直角边长为3cm，求另一个直角边的长。

解析：根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和。

设另一个直角边长为x，则有3^2 + x^2 = 5^2。

解方程得到x=4，因此另一个直角边的长为4cm。

2. 已知一个直角三角形的两个直角边分别为6cm和8cm，求斜边的长。

解析：同样利用勾股定理，设斜边长为y，则有6^2 + 8^2 = y^2。

解方程得到y=10，因此斜边的长为10cm。

3. 已知一个直角三角形的斜边长为13cm，其中一个直角边长为5cm，求另一个直角边的长。

解析：同样利用勾股定理，设另一个直角边长为z，则有5^2 + z^2 = 13^2。

解方程得到z=12，因此另一个直角边的长为12cm。

通过以上三道题目，我们可以看到直角三角形的边角关系是通过勾股定理来求解的。

勾股定理是数学中的基本定理之一，它描述了直角三角形的边长之间的关系。

在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

这个定理的应用非常广泛，不仅在数学中有重要作用，在物理、工程等领域也有广泛应用。

除了边长之间的关系，直角三角形还涉及到角度的计算。

在直角三角形中，直角的角度是90度，而其他两个角的度数之和为90度。

因此，如果已知一个角的度数，就可以通过计算得到另一个角的度数。

这种关系在解三角形的问题中经常出现。

在解题过程中，我们还可以利用三角函数来计算直角三角形的边长和角度。

例如，正弦函数、余弦函数和正切函数等都可以用来计算直角三角形中的边长和角度。

这些函数是三角学中的重要概念，通过它们可以更方便地解决一些复杂的三角形问题。

总结起来，直角三角形的边角关系是初中数学中的基础知识，它涉及到勾股定理、角度计算和三角函数等概念。

中考数学直角三角形的边角关系综合练习题含答案一、直角三角形的边角关系1．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF∴AB=BE AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF为菱形（2）作PH⊥AD于H由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5∴tan∠ADP=考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：BFPE=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE的值．（用含α的式子表示）【答案】（1）证明见解析（2）12BFPE=（3）1tan2BFPEα=【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．（2）BF1PE2=．证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB =450， ∴∠NBP=∠NPB ． ∴NB=NP ．∵∠MBN=900—∠BMN ， ∠NPE=900—∠BMN ，∴∠MBN=∠NPE ． ∴△BMN ≌△PEN （ASA ）．∴BM=PE ．∵∠BPE=12∠ACB ，∠BPN=∠ACB ，∴∠BPF=∠MPF ． ∵PF ⊥BM ，∴∠BFP=∠MFP=900．又∵PF=PF ， ∴△BPF ≌△MPF （ASA ）．∴BF="MF" ，即BF=12BM ． ∴BF=12PE ， 即BF 1PE 2=． （3）如图，过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．由（2）同理可得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．∴BM BNPE PN=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴BM =tan PE α，即2BF=tan PEα． ∴BF 1=tan PE 2α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出BF 1PE 2=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BNtan =PNα即可求得BF 1=tan PE 2α．3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为；（2）如图2，若k=3，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．（3）如图3，若k=3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析.【解析】分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；详解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD．∵AC=BD，CD=AE，∴AF=AC．∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE≌△ACD，∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC．∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD ． ∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°． ∵EF=BF ， ∴∠FBE=45°， ∴∠APE=45°．（2）（1）中结论不成立，理由如下：如图2，过点A 作AF ∥CB ，过点B 作BF ∥AD 相交于F ，连接EF ，∴∠FBE=∠APE ，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF 是平行四边形， ∴BD=AF ，BF=AD ． ∵3BD ，3AE ，∴3AC CDBD AE ==． ∵BD=AF ，∴3AC CDAF AE==． ∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE ∽△ACD ，∴3AC AD BFAF EF EF ===，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD ． ∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°．在Rt △EFB 中，tan ∠FBE=33EF BF =， ∴∠FBE=30°， ∴∠APE=30°，（3）（2）中结论成立，如图3，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，EH ，DH 相交于H ，连接AH ，∴∠APE=∠ADH ，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH 是平行四边形， ∴BE=DH ，EH=BD ． ∵3BD ，3AE ，∴3AC CDBD AE==． ∵∠HEA=∠C=90°， ∴△ACD ∽△HEA ，∴3AD ACAH EH==∠ADC=∠HAE ． ∵∠CAD+∠ADC=90°， ∴∠HAE+∠CAD=90°， ∴∠HAD=90°．在Rt △DAH 中，tan ∠ADH=3AHAD= ∴∠ADH=30°， ∴∠APE=30°．点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．4．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究：把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记ACBC＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 为33时，CPE V 总是等边三角形 【解析】 【分析】（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有EM FPMC PB=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，ACBC=tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可． 【详解】解：（1）PC=PE 成立，理由如下：如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴EM FPMC PB=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；（2）PC=PE 成立，理由如下：如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ， ∴△DAF ≌△EAF （AAS ）， ∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中， ∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ， ∴△DAP ≌△EAP （SAS ）， ∴PD=PE ，∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ， ∴FD ∥BC ∥PM ， ∴DM FPMC PB=， ∵点P 是BF 的中点， ∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ， ∴PC=PD ，又∵PD=PE ， ∴PC=PE ；（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形， ∴∠CEP=60°， ∴∠CAB=60°， ∵∠ACB=90°，∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵AC k BC =，ACBC=tan30°， ∴k=tan30°=3∴当k 为33时，△CPE 总是等边三角形．【点睛】考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．5．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．（1）AE的长为 cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．试题解析：解：（1）．（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．∴点E，D′关于直线AC对称．如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值为12cm．（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．设D′G长为xcm，则CG长为cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）．∴点D′到BC边的距离为cm．考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．6．兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是31°，拉索AB 的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD 的长），试求出主塔BD 的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan 31°≈0.60）【答案】主塔BD 的高约为86.9米． 【解析】 【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC 相应长度，再由BD=BC+CD 可得出. 【详解】在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin BCA AB=． ∴sin 152sin311520.5279.04BC AB A ︒=⨯=⨯=⨯=．79.047.986.9486.9BD BC CD =+=+=≈（米） 答：主塔BD 的高约为86.9米． 【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.7．如图，AB 为O e 的直径，C 、D 为O e 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒. （2）若2ABD BDC ∠=∠. ①求证：CF 是O e 的切线. ②当6BD =，3tan 4F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =.【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =34，即可求出CF ． 【详解】解：（1）AB 是O e 的直径，且D 为O e 上一点，90ADB ∴∠=︒， CE DB ⊥Q ， 90DEC ∴∠=︒， //CF AD ∴，180DAC ACF ∴∠+∠=︒. （2）①如图，连接OC . OA OC =Q ，12∴∠=∠. 312∠=∠+∠Q ， 321∴∠=∠.42BDC Q ∠=∠，1BDC ∠=∠， 421∴∠=∠， 43∴∠=∠， //OC DB ∴. CE DB ⊥Q ， OC CF ∴⊥.又OC Q 为O e 的半径， CF ∴为O e 的切线.②由（1）知//CF AD ，BAD F ∴∠=∠， 3tan tan 4BAD F ∴∠==， 34BD AD ∴=. 6BD =Q483AD BD ∴==， 226810AB ∴=+=，5OB OC ==.OC CF Q ⊥， 90OCF ∴∠=︒，3tan 4OC F CF ∴==，解得203CF =. 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．8．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=7，AC=2，过点B 作直线m ∥AC ，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C(点A ，B 的对应点分别为A'，B′)，射线CA′，CB′分別交直线m 于点P ，Q ．(1)如图1，当P 与A′重合时，求∠ACA′的度数；(2)如图2，设A′B′与BC 的交点为M ，当M 为A′B′的中点时，求线段PQ 的长； (3)在旋转过程中，当点P ，Q 分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q 的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q 的最小面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）60°；（2）PQ ＝72；（3）存在，S 四边形PA 'B ′Q ＝33【解析】 【分析】（1）由旋转可得：AC =A 'C =2，进而得到BC 3=∠A 'BC =90°，可得cos ∠A 'CB 3'BC A C ==∠A 'CB =30°，∠ACA '=60°；（2）根据M 为A 'B '的中点，即可得出∠A =∠A 'CM ，进而得到PB 32=BC 32=，依据tan ∠Q =tan ∠A 3=，即可得到BQ =BC 3⨯=2，进而得出PQ =PB +BQ 72=； （3）依据S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，即可得到S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，而S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ，利用几何法即可得到S △PCQ 的最小值=3，即可得到结论． 【详解】（1）由旋转可得：AC =A 'C =2． ∵∠ACB =90°，AB 7=，AC =2，∴BC 3=．∵∠ACB =90°，m ∥AC ，∴∠A 'BC =90°，∴cos ∠A 'CB 3'BC A C ==，∴∠A 'CB =30°，∴∠ACA '=60°；（2）∵M 为A 'B '的中点，∴∠A 'CM =∠MA 'C ，由旋转可得：∠MA 'C =∠A ，∴∠A =∠A 'CM ，∴tan ∠PCB =tan ∠A 32=，∴PB 32=BC 32=． ∵∠BQC =∠BCP =∠A ，∴tan ∠BQC =tan ∠A 3=，∴BQ =BC 3⨯=2，∴PQ =PB +BQ 72=； （3）∵S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，∴S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，∴S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ， 取PQ 的中点G ． ∵∠PCQ =90°，∴CG 12=PQ ，即PQ =2CG ，当CG 最小时，PQ 最小，∴CG ⊥PQ ，即CG 与CB 重合时，CG 最小，∴CG min 3=，PQ min =23，∴S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA 'B 'Q =33-；【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．9．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度.（参考数据：,，）【答案】旗杆的高度约为.【解析】【分析】在Rt△BDC中，根据tan∠BDC=求出BC，接着在Rt△ADC中，根据tan∠ADC==即可求出AB的长度【详解】解：∵在Rt△BDC中，tan∠BDC==1，∴BC=CD= 40m在Rt△ADC中，tan∠ADC==∴tan50°= =1.19∴AB7.6m答：旗杆AB的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用10．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，CG⊥AB，垂足为D(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求证：PA AD PC CD；(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若sin∠P＝35，CF＝5，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）BE=12．【解析】【分析】（1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG，于是得到∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到CF=AF，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，根据勾股定理得到方程r2=（r-4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在R t△ABE中，由sin∠EAD=35，得到BEAB＝35，于是求得结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∴∠PCA+∠OCA=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠OAC=90°，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠PCA=∠ABC；（2）解：∵AE∥PC，∴∠PCA=∠CAF，∵AB⊥CG，∴弧AC=弧AG，∴∠ACF=∠ABC，∵∠PCA=∠ABC，∴∠ACF=∠CAF，∴CF=AF，∵CF=5，∴AF=5，∵AE∥PC，∴∠FAD=∠P，∵sin∠P=35，∴sin∠FAD=35，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，∴FD=3，AD=4，∴CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，∴r2=（r﹣4）2+82，∴r=10，∴AB=2r=20，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，在R t△ABE中，∵sin∠EAD=35，∴35BEAB=，∵AB=20，∴BE=12．【点睛】本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形．11．已知Rt△ABC,∠A=90°,BC=10,以BC为边向下作矩形BCDE,连AE交BC于F.(1)如图1,当AB=AC,且sin∠BEF=35时，求BFCF的值；(2)如图2,当tan∠ABC=12时,过D作DH⊥AE于H,求EH EA⋅的值；(3)如图3,连AD交BC于G,当2FG BF CG=⋅时,求矩形BCDE的面积【答案】(1)17；（2）80；（3）100. 【解析】 【分析】(1)过A 作AK ⊥BC 于K ,根据sin ∠BEF=35得出35FK AK =,设FK =3a ,AK =5a ，可求得BF =a ,故17BF CF =；（2）过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ，得△EGA ∽△EHD ，利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,根据相似三角形的性质可求出BE =ED ，故可求出矩形的面积. 【详解】解：(1)过A 作AK ⊥BC 于K , ∵sin ∠BEF ＝35,sin ∠FAK ＝35, ∴35FK AK =, 设FK =3a ,AK =5a , ∴AK =4a ,∵AB =AC ,∠BAC =90°, ∴BK =CK =4a , ∴BF =a , 又∵CF =7a , ∴17BF CF = (2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ， ∵∠AGE =∠DHE =90°, ∴△EGA ∽△EHD , ∴EH EDEG EA=， ∴·EH EA EG ED ⋅=,其中EG =BK , ∵BC =10,tan ∠ABC ＝12，cos ∠ABC ＝5， ∴BA ＝BC · cos ∠ABC ＝5， BK= BA·cos ∠ABC ＝855⨯= ∴EG =8,另一方面：ED =BC =10, ∴EH ·EA =80(3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T , ∵BC ∥KT , BF AF FG KE AE ED==， ∴BF KE FG DE =，同理：FG EDCG DT= ∵FG 2= BF ·CG ∴BF FGFG CG=， ∴ED 2= KE ·DT ∴KE EDDE DT= ， 又∵△KEB ∽△CDT ,∴KE CDBE DT=， ∴KE ·DT ＝BE 2， ∴BE 2＝ED 2 ∴ BE =ED∴1010100BCDE S =⨯=矩形【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.12．如图，在自动向西的公路l 上有一检查站A ，在观测点B 的南偏西53°方向，检查站一工作人员家住在与观测点B 的距离为7132km ，位于点B 南偏西76°方向的点C 处，求工作人员家到检查站的距离AC ．（参考数据：sin76°≈2425，cos76°≈625，tan 76°≈4，sin53°≈35，tan53°≈43）【答案】工作人员家到检查站的距离AC的长约为92 km．【解析】分析：过点B作BH⊥l交l于点H，解Rt△BCH，得出CH=BC•sin∠CBH=274，BH=BC•cos∠CBH=2716．再解Rt△BAH中，求出AH=BH•tan∠ABH=94，那么根据AC=CH-AH计算即可.详解：如图，过点B作BH⊥l交l于点H，∵在Rt△BCH中，∠BHC=90°，∠CBH=76°，BC=7132km，∴CH=BC•sin∠CBH≈225242732254⨯=，BH=BC•cos∠CBH≈225627 322516⨯=．∵在Rt△BAH中，∠BHA=90°，∠ABH=53°，BH=2716，∴AH=BH•tan∠ABH≈27491634⨯=，∴AC=CH﹣AH=2799442-=（km）．答：工作人员家到检查站的距离AC的长约为92 km．点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．。

北师大版数学九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》同步练习一、选择题1.在Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值( )A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定 2.已知α是锐角，且cos α=54，则sin α=( ) A.259 B.54 C.53 D.25163．如图1—125所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝15，则AD 的长为 ( )A B ．2 C ．1 D ．4．如图1—126所示，已知AD 为等腰三角形ABC 底边上的高，且tan B ＝43，AC 边上有一点E 满足AE ：EC ＝2：3，那么tan ∠ADE 的值是 ( )A.25 B ．23 C. 12D ．135．如图l —127所示，在平面直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在A 1处，已知AO AB ＝1，则点A 1的坐标是 ( )A ．32)B ．2)C ．(32)D ．(126．如图1—128所示．在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，，AB ＝，设∠BCD ＝a ，则cos a 的值为 ( )A ．2 B C. 2 D ．37.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sin α的值是( )A.43 B.34 C.53 D.54图28.1－15 图28.1－17 图28.1－168.如图28.1－17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径23=r ，AC=2，则cosB 的值是( ) A.23 B.35 C.25 D.329.在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC=( ) A.45 B.5 C.51 D.45110.如图28.3－16，CD 是Rt△ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=( )A.53B.43C.34D.54二、填空题11．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，a ：b ＝1:2，则sinA ＝ .12．12sin 60°·2cos45°= .13．某市东坡中学升国旗时，余露同学站在距旗杆底部12 m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为45°．若她的双眼距地面1.3 m ，则旗杆的高度为 m ．14．已知矩形两邻边的长分别为1则该矩形的两条对角线所夹的锐角的度数是 ． 15．如图1—130所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN ，EM ．若AB ＝13 cm ，BC ＝10 cm ，DE ＝5 cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．16．在菱形ABCD 中，已知对角线AC=10，BD=6，那么sin 2BAD∠＝ ．171tan 60+-= ．18．已知B 为锐角，tan(90°－β)β＝ .19．在△ABC 中，若∠A 和∠B 均为锐角，且满足等式┃ 2sinA ┃＋(tanB －1)2=0，则∠C 的度数是 ．20．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且∠C ＝90°，∠A=60°a ＋b ＝3c= ． 三、解答题21.计算：2－1－tan60°+(5－1)0+|3|；22..已知：如图28.1－19，△ABC 内接于⊙O，点D 在OC 的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°. (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若OD⊥AB ，BC=5，求AD 的长.23．如图1—131所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，BD ＝4，AD ＝BC ，cos ∠ADC=35. (1)求CD 的长；(2)求sin B 的值．24．如图1—132所示的示意图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高与楼高．(精确到0.01米，参考数据：≈1.414 1.732)25．如图1—133所示，某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处，望见灯塔C在北偏西30°方向，又航行了半小时到达D处，望见灯塔C恰好在西北方向，若船速为每小时20海里，求A，D两点间的距离．(结果不取近似值)26．在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度和占地面积，如图1—136(1)所示，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为锐角θ，一般情况下，锐角θ愈小，楼梯的安全程度愈高，但占地面积较多，如图l—136(2)所示，为提高安全程度，把倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4 m，θ1＝40°，θ2＝36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少．(精确到0.01 m，参考数据：sin 36°≈0.5878，cos 36°≈0.8090，tan 36°≈0.7265，sin 40°≈0.6428，cos 40°≈0.7660，tan 40°≈0.8391)27．在旧城改造中，要拆除一烟囱AB ，如图1—137所示，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形区域为危险区，现在从与B 地水平距离相距(BD ＝21米)21米远的建筑物CD 的顶端C 点测得A 点的仰角为45°，B 点的俯角为30°，现在离B 点25米远的地方有一受保护的文物，则该文物是否在危险区内?试说明理由．≈1.732，精确到0.01米)参考答案1．A 2．C 3．B 4．C5．A[提示：过点A 1作A 1D ⊥OA 于D ，由已知OA AB ＝1，根据特殊三角函数值可得∠BOA ＝30°，由折叠知识得∠A l OB ＝30°，OA 1，则∠A 1OA ＝60°，在Rt △A 1DO 中，OD＝A 1Ocos 60A 1D ＝OA 1 sin 60°＝32，则点32)．故选A ．]6．D 7．c 8．d 9．b 10．．13．314．60° 15． 18.30°19．75°[提示：根据非负数的性质．因为，┃2sinA 0，(tanB －1)2≥0，又┃2sinA(tanB －1)2=0，所以2sinA ＝0，tanB －1＝0，即sinA tanB ＝l ，则∠A ＝60°，∠B ＝45°．根据三角形内角和定理，得∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－60°－45°＝75°．]20． [提示：在Rt △ABC 中，tanA=a b ，即 ab=tan 60 故。