[初中数学]2010年初三数学总复习教案 人教版21

二次根式复习课教学目标1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．教学过程设计一、复习1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化．3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：二、例题例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：分析：(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．x≥-2且x≠0．解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以例3分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．解因为1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a．(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．解注意：所以在化简过程中，例6分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，三、课堂练习1．选择题：A．a≤2 B．a≥2 C．a≠2 D．a＜2A．x+2 B．-x-2 C．-x+2 D．x-2A．2x B．2a C．-2x D．-2a2．填空题：4．计算：四、小结1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．五、作业1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？2．把下列各式化成最简二次根式：。

初三数学中考总复习教案全集完整版一、教学内容二、教学目标1. 理解并掌握函数、几何、概率与统计的基本概念、性质、定理及计算方法。

2. 能够熟练运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

三、教学难点与重点教学难点：函数的性质与应用、几何图形的计算、概率与统计的实际应用。

教学重点：函数图像的识别与运用、几何图形的判定与计算、概率计算的方法与步骤。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

学具：三角板、直尺、圆规、量角器、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示生活中常见的数学问题，引导学生复习相关知识点。

2. 例题讲解（15分钟）（1）讲解一次函数的性质与应用。

（2）讲解二次函数的图像与性质。

（3）讲解三角形、四边形的判定与计算。

（4）讲解相似与全等的性质与应用。

（5）讲解圆的性质与计算。

（6）讲解概率计算的方法与步骤。

3. 随堂练习（10分钟）学生独立完成练习题，教师进行解答与指导。

4. 课堂小结（5分钟）六、板书设计1. 函数、几何、概率与统计的主要知识点。

2. 例题的解题步骤与答案。

3. 练习题的答案。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求一次函数的图像与性质。

（2）求解二次方程，并分析图像。

（3）计算几何图形的面积与周长。

（4）计算概率问题。

2. 答案：（1）图像为直线，性质：斜率表示函数的变化率。

（2）解：x1, x2，图像为开口向上或向下的抛物线。

（3）答案：面积、周长。

（4）答案：概率值。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：针对本节课的教学内容，思考如何提高学生的实际应用能力。

2. 拓展延伸：（1）探索函数图像的变换规律。

（2）研究几何图形的相似与全等性质。

（3）深入了解概率与统计在实际生活中的应用。

通过本节课的学习，希望学生能够全面掌握初三数学知识，为中考做好充分准备。

重点和难点解析1. 教学内容的完整性；2. 教学目标的实用性；3. 教学难点与重点的区分；4. 教学过程中的例题讲解；5. 板书设计的信息量；6. 作业设计的针对性与答案的准确性；7. 课后反思及拓展延伸的实际效果。

人教版九年级数学复习教案教案目标本教案旨在帮助九年级学生复数学知识，巩固基本概念和技能，为期末考试做好准备。

教学内容1. 单元一：整式与分式- 整式的定义和性质- 分式的概念和运算法则- 整式与分式的化简与运算- 整式方程与分式方程的应用2. 单元二：二次根式与高次方根- 二次根式的概念和性质- 二次根式的加减乘除运算- 高次方根的化简与运算- 二次根式与高次方根的应用3. 单元三：一元一次方程与一元二次方程- 一元一次方程的概念和解法- 一元一次方程的应用- 一元二次方程的概念和解法- 一元二次方程的应用4. 单元四：平面向量- 平面向量的概念和表示- 平面向量的加法和减法- 平面向量的数量积和向量积- 平面向量的应用教学方法1. 结合理论和实践，通过举例和应用题，帮助学生理解和掌握数学知识。

2. 引导学生独立思考和解决问题，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

3. 设计练题和题集，供学生进行自主练和巩固知识。

教学评价1. 通过课堂参与情况、小测试和实际考试结果等方式，对学生的掌握情况进行评估。

2. 鼓励学生互相交流和合作，提高研究效果。

3. 及时反馈学生的研究进展和问题，给予个性化指导和支持。

教学资源1. 教材：人教版九年级数学教材2. 题集：人教版九年级数研究题集3. 多媒体设备：投影仪、电脑等4. 参考资料：数学网站、数学工具软件等教学计划本教案按照每个单元的教学内容和时长进行安排，具体安排如下：教学建议1. 鼓励学生主动参与课堂讨论和提问，增加他们的研究兴趣和积极性。

2. 组织小组活动和竞赛，培养学生的团队协作和竞争意识。

3. 关注学生的研究动态和心理健康，及时帮助他们解决研究和生活中的问题。

以上是本教案的内容和建议，希望能对九年级数学复习教学有所帮助。

祝您教学顺利！。

第21课直角三角形〖知识点〗直角三角形的性质和判定、逆命题和逆定理、勾股定理及逆定理、角平分线的性质、线段的中垂线及其性质〖大纲要求〗了解逆命题和逆定理的概念；掌握直角三角形中两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半及30°角所对的直角边等于斜边的一半等性质，掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们进行简单的论证和计算；掌握角平分线的性质定理及其逆定理，线段中垂线性质定理及其逆定理。

〖考查重点与常见题型〗直角三角形性质及其判定的应用，角平分线性质定理及其逆定理，线段中垂线的性质定理及其逆定理的应用，逆命题的概念，中考题中多为选择题或填空题，有时也考查中档的解答题，如：（1）在直角三角形中，已知一条直角边的长为6，斜边上的中线长为5，则另一条直角边的长为（2）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是（3）在△ABC中，如果∠A－∠B＝90°，那么△ABC是（）(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)锐角三角形或钝角三角形〖预习练习〗1．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是（）（A）45°（B）135°（C）45°或135°（D）以上答案都不对2.如图Rt△ABC，∠C＝90°，CD⊥AB，CE是AB上的中线，∠ACD：∠BCD＝3：1，若CD＝4cm，则ED是（） C（A）2cm （B）4cm （C）3cm （D）5cm3．等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm， A B 则斜边长是 cm E D4.三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是 cmA5.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120度，AD⊥AC，DC＝5，则BD＝6.AD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝5cm，BD＝3cm ，那么BC＝ cm7.如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的中垂线， A△BCE的周长为14cm, BC＝5cm，求AB的长。

一元二次方程【知识与技能】进一步加深对一元二次方程及其解的理解，能选择恰当的方法解一元二次方程，掌握用一元二次方程解决实际问题的思路方法，加强对应用问题的分析和解决能力.【过程与方法】经历分析问题和解决问题的过程，拓展对一元二次方程的认识.【情感态度】进一步提高在实际问题中运用方程思想解决问题的能力，增强数学应用的兴趣和意识，感悟解一元二次方程的策略的多样性和合理性，培养开拓创新精神.【教学重点】理解并掌握一元二次方程的解法、根与系数关系和根的判别式，加强构建一元二次方程解决应用问题的能力.【教学难点】综合运用一元二次方程定义、根的判别式及根与系数关系解决具体问题.一、知识框图，整体把握二、释疑解惑，加深理解1.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0),这里二次项系数a≠0是必要条件，而这一点往往在解题过程中易忽视，而致结论出错.思考 若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2-3m+2=0有一根为0，则常数m 的值为.（参考答案：m=2）2.一元二次方程的解法有：开平方法、配方法、公式法和因式分解法.对于具体的方程，一定要认真观察，分析方程特征，选择恰当的方法予以求解.无论选择哪种方法来解方程，降次思想是它的基本思想.3.根的判别式及根与系数的关系：（1）根的判别式Δ=b 2-4ac 与0的大小关系可直接确定方程的根的情况，当Δ=b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.当Δ=b 2-4ac ＜0时方程没有实数根.（2）根与系数的关系：若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根为x 1,x 2，则x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=c a.（3）利用根与系数的关系确定方程的待定字母系数时，千万应注意验证Δ=b 2-4ac 是否大于等于0，否则所求出的值就不合题意应舍去，这点应引起学生高度重视.4.列一元二次方程解实际应用问题是数学应用的具体体现，如解决传播类问题、增长率类问题、利润问题及几何图形的计算问题等，而解决这些实际问题的关键是弄清题意，找出其中的等量关系，恰当设未知数，建立方程并予以求解.需注意的是，应根据问题的实际意义检验结果是否合理.【教学说明】在对上述知识的回顾过程中，既可师生根据教材的主要知识点进行剖析，也可由教师设置问题，让学生思考后进行总结交流，从而整体上加强对本章知识的理解，同时，对易错点给予强调，引起学生注意.三、典例精析，复习新知例1已知关于x 的方程（m+n-1）x(m+n)2+1-(m+n)x+mn=0是一元二次方程，则m+n 的值为 .分析：由题意应有(m+n)2+1=2,故(m+n)2=1,∴m+n=±1,又因为一元二次方程的二次项系数m+n-1≠0，∴m+n ≠1,从而可知m+n=-1.例2已知a 是方程x 2-2014x+1=0的一个根，求代数式a 2-2013a+220141a +的值. 解：根据方程根的定义有a 2-2014a+1=0,从而a 2-2013a=a-1.a 2+1=2014a,故原式=a-1+1a =21a a a -+ =2014a a a - =2013.在评讲本例时，要防止少数学生利用求根公式求出a 的值再代入计算的做法，解释这种解法的弊端，并引导学生学会用整体代入思想解题的方法和技巧.例3已知关于x 的方程x 2-2（m+1）x+m 2=0有两个实数根，试求m 的最小整数值.解：由题意有Δ=［-2(m+1)］2-4×1×m 2=8m+4≥0，∴m ≥-1/2,故m 的最小整数值为0. 例4已知关于x 的方程x 2-2x-a=0.（1）若方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根为x 1,x 2，则1211x x 的值能等于23吗？如果可以，请求出a 的值；如果不能，请说明理由.例5某零售商购进一批单价为16元的玩具，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元销售时，每月可销售360件；若按每件25元销售时，每月能卖出210件，假定每月销售件数y （件）是价格x 的一次函数.（1）试求y 与x 之间的关系式；（2）当销售价定为多少时，每月获得1800元利润？（3）每月的利润能达到2000元吗？为什么？解：在（1）中，设y=kx+b ，把(20,360),(25,210)代入，可得y=-30x+960(16≤x ≤32);在（2）中，设获利为w(元)，则w=(x-16)(-30x+960),当w=1800时，有（x-16）(-30x+960)=1800，解得x 1=22,x 2=26,故销售价定为22元或26元时，每月可获得1800元利润；在（3）中，令（x-16)(-30x+960)=2000,整理，得3x 2-144x+1736=0,此时Δ=b 2-4ac=（-144）2-4×3×1736=-96＜0，原方程无解，即每月利润不可能为2000元.【教学说明】在具体教学时，教师可根据自己的设想设置例题，对所选例题的处理仍应先让学生自主探究，尝试着独立完成，让学生边回顾边思考，加深对本章知识的掌握.四、复习训练，巩固提高1.若方程(m2-2)x2-1=0有一根为1，则m的值是多少？2.若方程3x2-5x-2=0有一根为a，则6a2-10a的值是多少？3.已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0，a为何非负整数时，（1）方程只有一个实数根？（2）方程有两个相等实数根？（3）方程有两个不等实数根？4.百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，在对顾客利益最大基础上，那么每件童装应降价多少元？【教学说明】这4个小题的设置旨在帮助学生复习知识，其中第1、2题较简单，由学生自主完成，第3、4题可由师生共同完成.【答案】1.m= 2.4 3.(1)a=2;(2)a=3;(3)a=0或a=14.每件降价20元.五、师生互动，课堂小结通过这节课学习，对本章的知识你有哪些新的认识？有何体会？【教学说明】师生共同进行小结反思，让学生进一步加深对本章知识的理解和领悟，积累解题方法和经验，完善知识体系.1.布置作业：从教材“复习题21”中选取.2.完成本课的热点专题训练.1.本节课为复习课，所以首先要让学生了解本章的知识体系，该掌握哪些知识点，所以教学的展开都以问题的解决为中心，使教学过程成为在老师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中体现数学思想方法的渗透、应用，巩固知识内容.2.本章的内容，关键是在经历和体验知识的形成与应用过程中，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性作用，它在中考试题中占有一定的比例.。

人教版九年级数学上册教案：第21章章末复习章末复习一、复习导入1.导入课题：通过对一元二次方程这章的学习，你记得学习了哪些知识吗？各知识点间有什么联系呢？如何运用这些知识解决问题呢？(板书课题)2.复习目标：(1)梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识.(2)能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题.(3)列一元二次方程解决实际问题.(4)进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想(即降次)的理解与运用.3.复习重、难点：重点：(1)一元二次方程的解法；(2)列一元二次方程解决实际问题.难点：列一元二次方程解决实际问题.二、分层复习1.复习指导：②根据上述知识点，试画出本章知识结构框图：2.自主复习：学生可结合复习指导来复习.3.互助复习：(1)师助生：①明了学情：明了学生对本章知识结构框图的构建情况.②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.(2)生助生：同桌交流，小组合作，组组研讨.4.强化：本章的知识结构框图.1.复习指导：(1)复习内容：典例剖析.(2)复习时间：10分钟.(3)复习方法：观察、思考、归纳.(4)复习参考提纲：①用适当的方法解下列方程.④某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析，若以每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?解：设销售单价为x元.则月销售量为［500-10(x-50)］kg.由题意，得(x-40)［500-10(x-50)］=8000，解得x1=60,x2=80，又40［500-10(x-50)］≤10000.解得x≥75,∴x=80.答：销售单价应为80元.2.自主复习：学生可结合复习提纲进行复习.3.互助复习：(1)师助生：①明了学情：明了学生对复习提纲中四道题的答题情况.②差异指导：根据学情，个别或分类指导，解决易错点.(2)生助生：同桌交流，小组讨论.4.强化：(1)一元二次方程的解法，选用合适的方法解一元二次方程.(2)点评易混点、易错点.(3)运用一元二次方程知识解决实际问题的一般思路.(4)本章所涉及的主要数学思想：方程思想、分类思想、转化思想(即降次).三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：通过复习你弥补了以前学习中的哪些不足？有哪些新的收获和新问题？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习参与性、小组协作情况及学习效果和不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：(1)本节课为复习课，所以首先要让学生了解本章的知识体系，该掌握哪些知识点，所以教学的展开都以问题的解决为中心，使教学过程成为在老师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中体现数学思想方法的渗透、应用，巩固知识内容.(2)本章的内容，关键是在经历和体验知识的形成与应用过程中，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性作用，它在中考试题中占有一定的比例.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(70分)1.(10分)用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是(C)A. x2－2x=5B. 2x2－4x=5C. x2+4x=5D. x2+2x=52.(10分) 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有(C )A. 12人B. 18人C. 9人D. 10人3.(10分) 某超市一月份的营业额为200万元,一、二、三月份的总营业额为1000万元,设平均每月营业额的增长率为x,则由题意列方程为(D)A. 200+200×2x=1000B.200(1+x)2=1000C. 200+200×3x=1000D. 200［1+(1+x)+(1+x)2］=10004.(10分)方程(2x＋1)(x－3)＝x2+1化成一般形式为x2-5x-4=0，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，-5，-4.5.(10分)若x1，x2是方程x2-5x+3＝0的两根，则.6.(20分)解下列方程：(1)x2-4x-3＝0;(2)(x-3)2+2x(x-3)＝0.解：x2-4x+4=7，解：(x-3)(x-3+2x)=0，(x-2)2=7，3(x-3)(x-1)=0,x-2=±，x1=3，x1=2+,x2=1.x2=2-.二、综合应用(20分)7.(10分)一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，且个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数.解：设十位数字是x,则个位数字是x+3,根据题意，得(x+3)2=10x+x+3.整理，得x2-5x+6=0.解得x1=2，x2=3.当x=2时，x+3=5；当x=3时，x+3=6.∴这个两位数是25或36.8.(10分)用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由.解：设矩形的长为x cm，则矩形的宽为(20-x)cm.令x(20-x)=75，解得x1=5,x2=15.∴围成的面积为75cm2的矩形的长为15cm,宽为5cm.令x(20-x)=101.化简得(x-10)2+1=0.方程无实数根，∴不能围成面积为101cm2的矩形.三、拓展延伸(10分)9.(10分)一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽.解：设各边垂下的长度为x米.依题意(6+2x)(4+2x)=6×4×2，解得x1=1，x2= -6(舍去)，∴x=1，台布长为6+2×1=8(米)，宽为4+2×1=6(米).。

第21章一元二次方程一、复习目标1．了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．3．通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法,•导入用配方法解一元二次方程,又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．4．通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0(a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2—4ac〉0，b2—4ac=0,b2-4ac<0．5．用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．6．提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．二、课时安排2课时三、复习重难点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题．四、教学过程(一）知识梳理1、一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个求知数(一元）,并且求知数的最高次数是 2 (二次）的方程,叫做一元二次方程.2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数,bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。

3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法4、一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0）的根的判别式是△= b 2-4ac ，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿〈0时,方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。

5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理)当⊿=b 2-4ac ≥0时,一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0)的求根公式为x 一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根为x 1、x 2,则x 1＋x 2=a b -,x 1•x 2=ac 。

教学课题: 21.4 一元二次方程复习（三）----- 实际问题与一元二次方程教学目标:1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；2．通过各类实际问题，学会将应用问题转化为数学问题，运用方程思想解决问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；通过复习培养学生构建知识框架能力和建模思想，3．列一元二次方程解有关文图体会数学的应用价值。

教学重点:能根据不同的实际问题列出一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。

掌握列方程解实际间题的一般步骤教学难点:根据具体问题的数量关系并列出一元二次方程并解决问题 教学过程:一、备学检查：1.解一元二次方程的方法有哪些？（开平方法、配方法、公式法、因式分解法）2.列方程解应用题的一般步骤：（审、设、列、解、验、答）二、设学导问：练习1.能否快速解下列方程：（1）(3x ＋2)2＝25 （2） 3(x ＋1)2＝ 13（3）x （x -1）=90 （4） 12x (x －1)=36 (5) (2－x)2－9＝0 (6) x 2+3x -10＝0 （7）4(3x －1)2－9(3x ＋1)2＝0.三、互学展示：类型1 利用一元二次方程解决循环问题例1.在李老师所教的班级中，两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么你知道李老师所教班共有多少名学生吗？【思路点拨】设李老师所教班共有x 名学生，每个人都要和其他(x －1)个人握手一次，共握手x (x －1)次，但每两个人握手一次，则全班学生一共握手12x (x －1)次． 【解答】 设李老师所教班共有x 名学生，依题意有12x (x －1)＝780， 即(x －40)(x ＋39)＝0，解得x ＝40或x ＝－39(舍去)．答：李老师所教班共有40名学生．【跟踪训练】某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【方法归纳】单循环: 12x(x－1)=总场数双循环：x(x－1)=总场数类型2利用一元二次方程解决增长(降低)率问题例 2.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．(1)求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；(2)若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.4亿元？【思路点拨】(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x，则可用含x的代数式表示出2018年的利润，从而根据题意列出方程求解；(2)根据该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率来解答．【解答】(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x.根据题意，得：2(1＋x)2＝2.88.解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%.(2)如果2019年仍保持相同的年平均增长率，那么2019年该企业年利润为：2．88(1＋20%)＝3.456，3.456＞3.4.答：该企业2019年的利润能超过3.4亿元．【跟踪训练】经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是【方法归纳】平均增长(降低)率问题规律：平均增长率（下降率）是指增长（下降）数与基数的比。

一元二次方程的解法复习【教学目标】1. 能用直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等方法解简单的一元二次方程.2. 经历一元二次方程解法的复习过程，体会转化的思想方法.3. 通过对一元二次方程解法的探究，初步养成对知识的探索精神和严谨的治学态度.【重点难点】掌握一元二次方程的几种解法并能灵活运用.【教学过程】一、复习引入请学生写几个一元二次方程。

设计说明：低起点问题让不同学生都可以写出几个一元二次方程，复习了一元二次方程的定义，为后面的深入探究打下基础.一元二次方程都可以化为一般形式：ax 2 +b x +c=0(a≠0）二、解法回顾这个一般式中a≠0，那么b 和c 可以为0吗？当b =c=0时，这个方程就变成了ax 2 =0 (a≠0），请写出这个方程的解。

当b = 0时，这个方程就变成了ax 2 +c=0(a≠0），请求出下列几个方程的解。

复习一：A 组 解下列方程（1）x 2=5 （2）3x 2-31 =0 （3） 21x 2=-1 B 组 解下列方程（1）(x+1)2=3 （2） (2x -3)2-25=0复习解法：直接开平方法，渗透整体思想。

设计说明：从最特殊的情况入手，由ax 2 =0 (a≠0）拓展到a （x+h ）2=k (a≠0）的形式，都采用直接开平方法，并且在拓展形式a （x+h ）2=k (a≠0）中渗透了整体的思想。

复习二：当c=0时A组解下列方程（1）x2-x =0 （2） 3y2=5yB组解下列方程(1) (x+2)2=3(x+2) (2) x+3 -x(x+3)=0复习解法：因式分解法，进一步渗透整体思想设计说明：解决简单问题是为了解决复杂的问题，通过对问题的逐步变化，让学生的探索逐步深入.虽然方程复杂了，但解决问题的目标是一样的，学生的兴趣和信心是一样的。

随着探索的深入，目标意识得到强化、转化的思想得以渗透、提高了分析解决问题的能力、积累了探究的经验、提高了学习的兴趣.复习三：A组解下列方程（1）x2-6x+6 =0 （2）2x2－6x－1=0复习解法：配方法，公式法，转化思想对一元二次方程的一般形式ax2 +b x +c=0(a≠0）进行配方就可以得出一元二次方程的求根公式，从而得出公式法:当b2-4ac≥0时，方程有两个实数根，记为：a acbbx24 2-±-=当b2-4ac<0时, 原方程无解.设计说明：教学的过程就是探索发现的过程，学生在教师的引领下，一步一步深入并在深入的过程中交流、思考、发现、收获，一步步走向成功.只要教师在教学中为学生提供有价值的问题并给以足够的时间，学生就会收获成功、收获自信！三、巅峰对决选择合适的方法解下列方程：A组 B组（1）x2-5x+6=0 （1）x2+4x-12=0（2）(2x-1)(x+3)=4 （2）4x(x-2)=1（3）25x 2-5x +41=0 （3）4t 2-(t-1)2=0设计说明：通过前面的复习，学生对一元二次方程的几种解法已经比较熟悉了，该环节的设计就是让学生能灵活运用这几种解法解一元二次方程,以提高分析问题解决问题的能力。

x-=1 B．x≥-1 C ．下列各等式成立的是（5=8 5BACQP教学重点 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学难点 讲清如何解答应用题既是本节课的难点. 教具准备教 学 过 程主要教学过程个人修改【课堂引入】上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．【探索新知】【例题讲解】例1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值． 解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ·2x=35x 2=35 x=35所以35秒后△PBQ 的面积为35平方厘米． PQ=2222245535PB BQ x x x +=+==⨯=57答：35秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为57厘米． 例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？分析：此框架是由AB 、BC 、BD 、AC 组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．解：由勾股定理，得AB=22224220AD BD +=+==25BC=222221BD CD +=+=5 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =25+5+5+2 =35+7≈3×2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材． 【随堂练习】教材P19 练习3 【应用拓展】例3．若最简根式343a b a b -+与根式23226ab b b -+是同类二次根式，求a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式23226ab b b -+不是最简二次根式，因此把23226ab b b -+化简成|b|·26a b -+，才由同类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．解：首先把根式23226ab b b -+化为最简二次根式：23226ab b b -+=2(216)b a -+=|b|·26a b -+由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩∴a=1，b=1 【归纳小结】本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 【课后练习】一、选择题X|k |b| 1 . c|o |m。

一元二次方程单元复习教案复习目标1．知识与技能．（1）了解一元二次方程的有关概念．（2）能运用直接开平方法、配方法、公式法、•因式分解法解一元二次方程．（3）会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．（4）知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有问题．（5）能运用一元二次方程解决简单的实际问题．（6）了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．2．过程与方法．（1）经历运用知识、技能解决问题的过程．（2）发展学生的独立思考能力和创新精神．3．情感、态度与价值观．（1）初步了解数学与人类生活的密切联系．（2）培养学生对数学的好奇心与求知欲．（3）养成质疑和独立思考的学习习惯．重难点、关键1．重点：运用知识、技能解决问题．2．难点：解题分析能力的提高．3．关键：引导学生参与解题的讨论与交流．复习过程一、复习联想，温故知新基础训练．1．方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．例如：一元二次方程7x-3=2x2化成一般形式是________•其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________．2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________；（2）________；（•3）•_________；•（•4）•求根公式法，•求根公式是______________．3．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．例如：不解方程，判断下列方程根的情况：（1）x（5x+21）=20 （2）x2+9=6x （3）x2-3x=-54．设一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=_______，x1·x2=______．例如：方程x2+3x-11=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=________；x1·x2=_______．5．设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=•_______，•x1·x2=________．二、范例学习，加深理解例：解下列方程．（1）2（x+3）2=x（x+3）（2）x2-2 x+2=0（3）x2-8x=0 （4）x2+12x+32=0点拨：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法．三、合作交流，探索新知1．已知关于x的方程x2-mx-3=0的两实根为x1，x2，若x1+x2=2，求x1，x2的值．2．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．3．如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向30海里的A•处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/小时的速度向正东方向航行，随即调整方向，以75海里/•小时的速度准备在B处迎头拦截，问经过多少时间能赶上？4．某工厂一月份生产零件2万个，一季度共生产零件7．98万个，•若每月的增长率相同，求每月产量的平均增长率．5．已知x=1是一元二次方程（a-2）x2+（a2-3）x-a+1=0的一个根，求a的值．四、归纳总结，提高认识1．综述本节课的主要内容．2．谈谈本节课的收获与体会．五、布置作业，专题突破1．课本P38复习题第1．（1）、（3）、（5）、（6），2．（1），3．5．6．9．（4），10．（1）题．2．选用课时作业设计．3．预习作业：本章复习提纲．六、课后反思（略）课时作业设计1．一元二次方程3x2+x=0的根是________．2．一元二次方程（1+3x）（x-3）=2x2+1化为一般形式为：________，•二次项系数为：________，一次项系数为：________，常数项为：________．3．方程2x2=4x的解是（）A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．以上都不对4．某商品连续两次降价，每次都降20%后的价格为m元，则原价是（）A．D．0.8m2元5．解下列方程．（1）3x2-x=4 （2）（x+3）（x-4）=6（3）（x+3）2=（1-2x）2 （4）3x2+5x-2=0（5）x2+2 x-4=06．已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是_________．7．用22cm长的铁丝，折成一个面积是30cm2的矩形，求这个矩形的长和宽．又问：能否折成面积是32cm2的矩形呢？为什么？8．某科技公司研制成功一种产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为本金的8%．该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息外，还盈余72万余．若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数．。