2021版高考文科数学人教大一轮复习练 6.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第3 讲二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题、知识梳理2•二元一次不等式（组）的解集满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成的有序数对（x,y）,叫做二元一次不等式（组）的解，所有这样的有序数对（x, y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集1 .利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax+ By+ C>0 或Ax+ By+ C<0,则有⑴当B（Ax + By+ C）＞0时，区域为直线Ax + By + C = 0的上方；（2）当B（Ax + By+ C）＜0时，区域为直线Ax + By + C = 0的下方.2.最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解. 最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.X W 2,（必修5P91练习T1改编）若x , y 满足y 》—1,则y — x 的最小值为 ________4x — 3y + 1 > 0,最大值为 ________ .答案：—31一、思考辨析判断正误（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. （ ）⑵线性目标函数的最优解可能是不唯一的.（ ）⑶线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. （）⑷在目标函数 z = ax + by （b 丰0）中，z 的几何意义是直线 距.()答案：(1)X (2) V (3) V (4) X 二、易错纠偏常见误区⑴不明确目标函数的最值与等值线截距的关系; （2）不理解目标函数的几何意义； ⑶平面区域内点满足关系不理解.1.点（一2, t ）在直线2x — 3y + 6= 0的上方，贝U t 的取值范围是 _________、习题改编ax + by — z = 0在y 轴上的截解析：因为直线2x —3y+ 6 = 0的上方区域可以用不等式2x —3y+ 6 v 0表示，所以由点2(—2, t)在直线2x—3y+ 6 = 0 的上方得—4—3t + 6 V 0,解得t>$答案：|,"y+ 2 > 0,2.设x,y满足约束条件x—2w 0, 则z= x+ y的最大值与最小值的比值为 _____________2x—y+ 1> 0.解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示x—2= 0, z= x+ y可化为y=—x+ z,当直线y=—x+ z经过A点时，z最大，联立2x—y+ 1 = 0.x= 2, y + 2 = 0,得故A(2,5)，此时z= 7;当直线y=—x+ z经过B点时,z最小，联立y= 5, 2x—y+ 1 = 0, 3x= —2 3 7得2故B —3, —2 ,此时z= —2,故最大值与最小值的比值为— 2.y=—2,答案：—2x—y+ 5> 0,y —13.已知x, y满足条件x+ y>0, 则z= 的最大值为________x十3x< 3,解析：作出可行域如图，问题转化区域上哪一点与点M(—3, 1)连线斜率最大，观察知55心1_ 2 - 1点 A -5,,使k MA 最大,Z max= k MA = = 3.2 5^—5+3答案：3.兀一次不等式（组）表示的平面区域（典例迁移）面区域的面积等于（）A 》 Ctx > 1 ,⑵设不等式组 x — y < 0,表示的平面区域为 M ,若直线y = kx —2上存在M 内的点，则x + y < 4实数k 的取值范围是（）B . (— 3 1] U [3 ,+s )（1）不等式组x> 0,x + 3y >4,所表示的平3x + y w 4A . [1, 3]D .D . ( — a, 2] U [5 , +8 )【解析】(1)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 1 8 4 1), C(0, 4),则厶ABC 的面积为2X 1 x 3 =3.故选C.x > 1 ,(2)作出不等式组x — y w 0,表示的平面区域，如图中阴影部分所示,因为直线I ： y = x + y w 4kx — 2的图象过定点 A(0, — 2),且斜率为k ,由图知，当直线I 过点B(1, 3)时，k 取最大值 3+ 22+ 2=5 ,当直线I 过点C(2 , 2)时，k 取最小值 =2,故实数k 的取值范围是[2 , 5]. 1 — 02— 0C . [2, 5] 4,A 0, 3，B (1，【答案】(1)C (2)C【迁移探究】（变问法）本例（2）中条件不变，求平面区域M的面积，结果如何?解：可知平面区域M为等腰直角三角形，可求出B（1，3）和C（2, 2），所以2, 1所以S=新2X 2= 1.二元一次不等式（组）表示的平面区域的确定方法（1）确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法是："直线定界，特殊点定域”，即先作直线,再取特殊点并代入不等式（组）.若满足不等式（组），则不等式（组）表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.（2）当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原占八、、♦1 .不等式(x —2y+ 1)(x+ y —3) < 0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )合.故选C.x — y > 0, 2x + y w 2,2.若不等式组 所表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）y > 0,x + y w a B . 0<a w 1 4D . 0<a w 1 或 a >3 x — y >0,解析：选D.不等式组 2x + y w 2，所表示的平面区域如图所示（阴影部分）.y > 0解析:选 C.(x — 2y + 1)(x + y — 3)w 0, x — 2y + 1 > 0,即或x + y — 3w 0x — 2y + 1 w 0,与选项C 符x + y — 3> 0,A 4 A . a >34 C . 1 w a w 3y = 0,得B （1, 0）.若原不等式组表示的平面区域 2x + y = 2,4是一个三角形，则直线x + y = a 中的a 的取值范围是0<a < 1或a >~.3求线性目标函数的最值（范围）（多维探究）角度一求线性目标函数的最值（范围）（2019高考全国卷II ）若变量x , y 满足2x + 3y — 6> 0,约束条件 x + y — 3< 0,贝U z = 3x — y 的最大值是 ___________ .y — 2< 0,y =x ,2 2由 得A 3，3 ；由2x + y = 2, 33【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线3x—y= 0,并平移，当直线经过点（3, 0）时，直线在y轴上的截距最小，此时z= 3x—y取得最大值，且Z max= 9・【答案】9⑴求目标函数的最值a z形如z= ax+ by(b^ 0)的目标函数，可变形为斜截式y= —£x+ £(b丰0).①若b>0,当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时z值最小；②若b<0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大.(2)求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；②将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解.角度二求非线性目标函数的最值(范围)x—y+ 1 w 0,实数x, y满足x> 0,y w 2.(1) 若z= y，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；x(2) 若z= x2+ y2,求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.x—y+ 1w 0,【解】由x>0, 作出可行域，y w 2,如图中阴影部分所示.(1)z= 丫表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，入因此y的范围为直线0B的斜率到直线OA的斜率(直线0A的斜率不存在，即Z max不存x1 2'x —y +1 = 0, 由 得 B(1 , 2),y = 2,2所以 k OB = ~= 2,即 Z min = 2 ,1 ， 所以z 的取值范围是[2 , +8) •(2)z = x 2 + y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方. 因此x 2 + y 2的最小值为0A 2,最大值为0B 2x —y +1 = 0, 由 得 A(0, 1),x = 0,所以 0A 2= ( 02+ 12)2= 1,0B 2= C .‘12 + 22)2= 5,所以z 的取值范围是[1 , 5].【迁移探究1】(变问法)本例条件不变，求目标函数z = y 一1的取值范围. x — 1y — 1解：z = 可以看作过点P(1, 1)及(x , y)两点的直线的斜率.x — 1 所以z 的取值范围是(一8 , 0].【迁移探究2](变问法)本例条件不变，求目标函数 z = x 2 + y 2— 2x — 2y + 3的最值.解：z = x 2+ y 2— 2x — 2y + 3 =(x — 1)2+ (y — 1)2+ 1,而(x — 1)2+ (y — 1)2表示点P(1, 1)与Q(x , y)的距离的平方 PQ 2 , PQ max = (0 — 1)2+ (2 — 1)2= 2 ,所以 z max = 2 + 1 = 3 , z min = ?+ 1 = ^.PQ min = |1— 1+ 1| 2'.12+(— 1) 2。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

核心考点·精准研析考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域1.(2020·佛山模拟)不等式组表示的平面区域是( )2.已知实数x,y满足不等式组则点(x,y)构成的平面区域的面积是( )A.3B.C.2D.3.已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式2x+by-1<0表示的平面区域内,则实数b的取值范围是__________. 世纪金榜导学号【解析】1.选B.x-2y+4≥0表示的区域在直线x-2y+4=0的下方及直线上,x-y+2<0表示的区域在直线x-y+2=0的上方,则对应的区域为选项B.2.选A.根据题意作出不等式组所表示的平面区域,分别求出三个点的坐标A(2,2),B(4,-2),C(1,1),求出点B到直线y=x 的距离为3,|AC|=,所以S△ABC=×|AC|×d=××3=3. 3.根据题意,设Q与P(1,-2)关于原点对称,则Q的坐标为(-1,2),若P,Q 均在不等式2x+by-1<0表示的平面区域内,则有解得:<b<,即b的取值范围为.答案:题3中,若将“均在不等式2x+by-1<0表示的平面区域内”改为“分别位于直线2x+by-1=0的两侧”,则实数b的取值范围是________.【解析】由题意(2-2b-1)(-2+2b-1)<0,即(2b-1)(2b-3)>0,解得b<或b>.答案:∪1.点与平面区域的关系及应用点在平面区域内,则点的坐标满足表示平面区域的不等式组,若点的坐标不满足不等式组中的任何一个不等式,则点不在平面区域内,这一关系可用于平面区域的判断和求参数的范围.2.求平面区域的面积首先作出平面区域,确定平面区域的形状,其次利用两点间距离公式求距离,点到直线的距离公式求高,进而求面积.【秒杀绝招】排除法解T1,根据选项图形中的特殊点排除不正确选项,如利用原点即可排除选项A.考点二简单线性规划问题中的最值命题精解考什么:(1)考查求最大值、最小值,与平面区域面积相关的问题.(2)考查数学运算、直观想象的核心素养及数形结合、分类与整合等思想方法.怎么考:考查线性目标函数的最值为主,有时也涉及非线性目标读函数的最值.学霸好方法1.求最值问题的解题思路按照作出可行域,确定并求出最优解,代入目标函数求最值的步骤解题.2.交汇问题:与基本初等函数交汇时,利用函数的图象与可行域的关系讨论,与向量交汇时借助向量的运算转化目标函数.求线性目标函数的最值【典例】已知变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+2y-1的最大值为( )A.6B.7C.8D.9【解析】选C.由约束条件作出可行域如图,联立解得A(1,4),化目标函数z=x+2y-1为y=-++,由图可知,当直线y=-++过A时,z有最大值为8.目标函数对应的直线与边界直线倾斜程度大小如何确定?提示:目标函数对应直线与边界直线斜率的大小决定倾斜程度的大小,当斜率同号时,斜率越大,倾斜角越大.求非线性目标函数的最值【典例】(2019·太原模拟)已知实数x,y满足则z=的取值范围为( )世纪金榜导学号A.(-∞,-2]∪B.(-∞,-3]∪C.D.【解析】选B.z==-1+,设k=,则k的几何意义是区域内的点与定点D(1,0)连线的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图,A(3,3),B(0,2),由图形知,AD的斜率为=,此时z=,BD的斜率为=-2,此时z=-3,则z=的取值范围为(-∞,-3]∪.分式形式的目标函数常见的几何意义是什么?提示:分式形式的目标函数可以变形为两点连线的斜率形式,即转化为斜率求范围.求参数的值或范围【典例】(2020·绍兴模拟)给出平面区域如图所示,若目标函数z=x+ay 仅在点(2,2)处取得最大值,则a的取值范围为世纪金榜导学号( )A.0<a<B.a≥C.a>D.0<a<【解析】选C.根据画出的约束条件表示的可行域为△ABC内部(包括边界),易知当a=0时,z=x的最大值不是2,不符合题意;当a>0时,由目标函数z=x+ay得y=-x+,由题意得-3=k AC<-<0,解得a>;当a<0时,目标函数为y=-x+在A点处取不到最大值;综上所述,a的取值范围是a>.本例中的参数a影响了目标函数的哪个性质?是如何进行讨论的?提示:a的不同取值影响目标函数对应直线的斜率,将已知条件转化为目标函数对应的斜率与边界斜率的大小进行讨论.1.若x,y满足不等式组则z=-4x+y的最小值为( )A.-12B.-8C.1D.22.(2020·衡阳模拟)若实数x,y满足则z=(x-2)2+y2的最大值为( )A. B.2 C.10 D.123.(2019·芜湖模拟)已知x,y满足约束条件若目标函数z=3x+y的最小值为-5,则z的最大值为 ( )A.2B.3C.4D.5【解析】1.选B.由x,y满足不等式组作出可行域如图,化目标函数z=-4x+y为y=4x+z,由图可知,当直线y=4x+z过C(3,4)时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为-12+4=-8.2.选C.实数x,y满足的可行域如图,依题意目标函数z=(x-2)2+y2为可行域内点与点D(2,0)距离的平方,如图,观察计算,|DC|=|DB|=>|DA|=2,则z=(x-2)2+y2的最大值为10.3.选D.作出不等式组满足的可行域如图:可得直线x+y+a=0与直线x-2y+4=0的交点A,使目标函数z=3x+y取得最小值-5,故由3x+y=-5和x-2y+4=0,解得 x=-2,y=1,可知A(-2,1)在直线x+y+a=0上,即-2+1+a=0,所以a=1,由x+y+1=0和2x+y-2=0可得C(3,-4),当过点C(3,-4)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为5.1.(2019·池州模拟)若实数x,y满足且2x+y-7≥c(x-3)恒成立,则c的取值范围是 ( )A. B.(-∞,2]C. D.[2,+∞)【解析】选D.作出实数x,y满足对应的平面区域如图:由可行域可知x-3<0,由2x+y-7≥c(x-3)恒成立,可得c≥=2+恒成立,令z=2+,几何意义为区域内的点和D(3,1)连线的斜率加2. 由图形,可得A(0,2),B(0,1),由图可知,直线BD的斜率为0,即斜率的最大值,所以z的最大值为2,所以c的取值范围是[2,+∞).2.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物,太极图无不跃居其上,这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用不等式组或x2+(y-1)2≤1来表示,设(x,y)是阴影中任意一点,则z=x+y的最大值为________.【解析】依题意,z=x+y,所以y=-x+z,z表示直线y=-x+z在y轴上的截距,所以当直线y=-x+z与圆x2+(y-1)2=1切于如图的点A时,z最大(z>1),因为直线y=-x+z与圆相切,所以点(0,1)到直线x+y-z=0的距离为1,即1=,因为z>1,所以=1,解得z=1+.答案:1+考点三简单线性规划的实际应用【典例】(2020·蚌埠模拟)现在全国正在严格实施垃圾分类,经测算回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸,可节约用水约100吨,节约用煤约1.2吨,回收1吨废铅蓄电池可生产再生铅约0.6吨,可节约用煤约0.8吨,节约用水约120吨,回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元,回收1吨废纸的费用约为0.2万元.现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元,在保证节约用煤不少于12吨的前提下,最多可节约用水约__________吨.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题(1)由回收废纸、废铅蓄电池,想到分别设为回收x,y吨.(2)由费用不超过18万元,想到0.2x+0.9y≤18.(3)由节约用煤不少于12吨,想到1.2x+0.8y≥12.(4)由求节约用水,想到目标函数z=100x+120y【解析】设回收废纸x吨,回收废铅蓄电池y吨,可节约用水z吨,由已知条件可得z=100x+120y,作出不等式组表示的可行域,如图所示.y=-x+,平移直线可得当直线过点A时,在y轴上的截距最大,即z最大,由图可得点A(90,0),此时z取得最大值为9 000.答案:9 000利用线性规划解决实际问题的一般步骤(1)审题:仔细阅读材料,抓住关键,准确理解题意,明确有哪些限制条件,借助表格或图形理清变量之间的关系.(2)设元:设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量,并列出相应的不等式组和目标函数.(3)作图:准确作出可行域,平移找点(最优解).(4)求解:代入目标函数求解(最大值或最小值).(5)检验:根据结果,检验反馈.(2020·清华附中模拟)A,B两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生,利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个小区每位同学往返车费及服务老人的人数如表:A小区B小区往返车费3元5元服务老人的人数5人3人根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过37元,且B小区参加献爱心活动的同学比A小区的同学至少多1人,则接受服务的老人最多有________人.【解析】设A,B两小区参加活动同学的人数分别为x,y,受到服务的老人人数为z,则z=5x+3y,且作出可行域,如图,平移直线z=5x+3y,由图可知,当直线z=5x+3y过点M(4,5)时,最大,所以当x=4,y=5时,取得最大值为35,即接受服务的老人最多有35人.答案:35关闭Word文档返回原板块莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

2021年高考数学一轮复习 第3讲 二元一次不等式（组）与简单的线性同步检测 文一、选择题1．不等式x －2y ＞0表示的平面区域是( )．解析 将点(1,0)代入x －2y 得1－2×0＝1＞0. 答案 D2．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，x ≥0，y ≥0.若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )．A ．14B ．16C ．17D ．19解析 线性区域边界上的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x ＋4y ＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x ＋4y ＝3×3＋4×2＝17，因此3x ＋4y 的最小值为16. 答案 B 3．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，5) B ．[7，＋∞)C ．[5,7)D ．(－∞，5)∪[7，＋∞)解析 画出可行域，知当直线y ＝a 在x －y ＋5＝0与y 轴的交点(0,5)和x －y ＋5＝0与x ＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a <7.答案 C4．设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )． A.256B.83C.113D ．4解析 由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b＝12，即a 3＋b 2＝1.∴2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋b 2＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256.答案 A5．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤a a >1，x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y 取得最大值4，则实数a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D.32解析 作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a ＋a ＝2a ，所以a ＝2. 答案 C6．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 ( )． A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元解析 设某公司生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，获利为z 元，则x ，y 满足的线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0且y ∈Z ，y ≥0且y ∈Z ，目标函数z ＝300x ＋400y .作出可行域，如图中四边形OABC 的边界及其内部整点．作直线l 0：3x ＋4y ＝0，平移直线l 0经可行域内点B 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，x ＋2y ＝12，得B (4,4)，满足题意，所以z max＝4×300＋4×400＝2 800. 答案 C 二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．解析 画出可行域，如图所示，将直线y ＝3x －z 移至点A (0,1)处直线在y 轴上截距最大，z min ＝3×0－1＝－1.答案 －18．若x ，y 满足约束条件⎝ ⎛x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x－y 的取值范围是________．解析 记z ＝x －y ，则y ＝x －z ，所以z 为直线y ＝x －z 在y 轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC 区域所示．结合图形可知，当直线经过点B (1,1)时，x －y 取得最大值0，当直线经过点C (0,3)时，x －y 取得最小值－3.答案 [－3,0]9．设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．解析 不等式组确定的平面区域如图阴影部分． 设y x ＝t ，则y ＝tx ，求y x的最大值，即求y ＝tx 的斜率的最大值．显然y ＝tx 过A 点时，t 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.代入y ＝tx ，得t ＝32.所以y x 的最大值为32.答案3210．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________．解析 目标函数z ＝x ＋my 可变为y ＝－1m x ＋zm，∵m >1，∴－1<－1m <0，z 与zm同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1时，取最大值，∴1m ＋1＋m 2m ＋1<2，又m >1，得1<m <1＋ 2.答案 (1,1＋2) 三、解答题11．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}． (1)求出x ，y 所满足的不等式； (2)画出点(x ，y )所在的平面区域．解 (1)已知条件即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y >0，x ＋1－x －y >y >0，y ＋1－x －y >x >0，化简即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋12<y <－x ＋1，0<y <12，0<x <12.(2)区域如下图．12．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x 、y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．14．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？项目 用量 产品工人(名)资金(万元)甲 4 20 乙85解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲－P 乙＝0.25，1－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l 0：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，此时z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.所以，当x ＝2，y ＝3时，z 取最大值为2.5.!fnr0P# 35912 8C48 豈o3GnG。

2021年高考数学一轮复习第6章不等式6.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课后作业理一、选择题1．(xx·唐山模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案 B解析 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0.即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.故选B.2．设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53 答案 C解析 图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m <－12m －1，即m <－23.故选C.3．(xx·山东日照一模)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y的最大值为( )A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．4答案 D解析 作出满足不等式组的平面区域，如图所示，令m ＝2x ＋y ，则当m 取得最大值时，z ＝(2)2x ＋y 取得最大值．由图知直线m ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，m 取得最大值，所以z max＝(2)2×1＋2＝4，故选D.4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －7≥0，x ＋3y －13≤0，x －y －1≤0，则z ＝|2x －3y ＋4|的最大值为( )C ．6D ．8答案 C解析 不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －7≥0，x ＋3y －13≤0，x －y －1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (2,1)，B (1，4)．设t ＝2x －3y ，平移直线y ＝23x ，则直线经过点B 时，t ＝2x －3y 取得最小值－10，直线经过点A 时，t ＝2x －3y 取得最大值1，所以－6≤t ＋4≤5，所以0≤z ≤6.所以z 的最大值为6，故选C.5．(xx·石家庄质检)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0，且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )A.13 B.23 C ．1 D ．2答案 D解析 若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x －2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，14，mx －y ＝0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13，当m ＝13时，经检验不符合题意，故m ＝2，选D. 6．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋6≥0，x ≤2，则z ＝(x －1)2＋y 2的最大值为( )C ．17D ．16答案 C解析 z ＝(x －1)2＋y 2表示点(x ，y )与点P (1,0)间距离的平方．画出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知P (1,0)与A (2,4)间的距离最大，因此z max ＝(2－1)2＋42＝17.故选C.7．(xx·邢台模拟)当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx －y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0 答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)，要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0，故选D.8．(xx·南昌十校一模)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0，则z ＝yx ＋1的最大值与最小值的比值为( )A ．－2B ．－12C ．－83D ．－13答案 C解析 如图所示，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域为图中的阴影部分，易知z ＝yx ＋1表示平面区域内的点与定点P (－1,0)连线的斜率．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －8＝0，2x －y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，故A (2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －8＝0，x ＋2y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故B (3，－1)，数形结合知AP的斜率最大，此时z ＝yx ＋1最大，故z max ＝23；BP 的斜率最小，z min ＝－14.故z ＝yx ＋1的最大值与最小值的比值为－83，故选C.9．(xx·江西模拟)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜6吨0.9万元0.3万元植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50答案 B解析 设种植黄瓜x 亩，种植韭菜y 亩，因此，原问题转化为在条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0下，求z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y 的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，当x ，y 取⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，1.2x ＋0.9y ＝54的交点B (30,20)时，z 取得最大值．故选B.10．(xx·石家庄质检)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( ) A ．－1 B ．－52＋17C.13 D ．－75答案 D解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r ＝2.z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，表示可行域内的点与点P (－3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝1－125＝－75，故选D.二、填空题11．(xx·银川质检)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为________． 答案 8解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0表示的可行域，如图中阴影部分所示，将z ＝2x －y 化为y ＝2x －z ，－z 是直线y ＝2x －z 的纵截距，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴B 的坐标为(5,2)，则y ＝2x －z 过点B (5,2)时，z ＝2x －y 有最大值10－2＝8. 12．(xx·广州模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y －2≤0，x ＋y －2≤0，若z ＝x －ay (a ＞0)的最大值为4，则a ＝________. 答案 3解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则A (2,0)，B (－2，－2)．显然直线z ＝x －ay 过A 时不能取得最大值4，若直线z ＝x －ay 过点B 时取得最大值4，则－2＋2a ＝4，解得a ＝3，此时，目标函数为z ＝x －3y ，作出直线x －3y ＝0，平移该直线，当直线经过点B 时，截距最小，此时，z 的最大值为4，满足条件．13．(xx·山西五校3月联考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －1≥0，x －y ＋2≥0，x ＋4y －8≤0表示的平面区域为Ω，直线x ＝a (a ＞1)将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为________．答案 9解析 如图，平面区域Ω为△ABC 及其内部，作直线x ＝a (1<a <4)交BC ，AC 分别于点E ，F .由题意可知S △EFC ＝15S △ABC ，则12(4－a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋2－1＝15×12×5×1＝12，可得a ＝2，所以目标函数z ＝ax ＋y 即为z ＝2x ＋y ，易知z ＝2x ＋y 在点C (4,1)处取得最大值，则z max ＝9.14．(xx·河北衡水中学3月模拟)已知点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1，则x ＋yx 2＋y 2的取值范围为________．答案 (－2，1]解析 解法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B (－1，－1)，C (0,1)．设A (1,1)，P (x ，y )，向量OA →，OP →的夹角为θ， ∵OA →·OP →＝x ＋y ，|OP →|＝x 2＋y 2， ∴cos θ＝OA →·OP→|OA →||OP →|＝x ＋y 2×x 2＋y 2＝22×x ＋y x 2＋y 2， 由图可知∠AOC ≤θ＜∠AOB ， 即45°≤θ＜180°， ∴－1＜cos θ≤22， 即－1＜22×x ＋y x 2＋y 2≤22， ∴－2＜x ＋yx 2＋y 2≤1.解法二：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B (－1，－1)，C (0,1)， 设P (x ，y )，θ＝∠POx ，则x x 2＋y2＝cos θ，y x 2＋y2＝sin θ.θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，5π4，∴x ＋y x 2＋y 2＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，5π4，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，3π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，22. ∴x ＋yx 2＋y 2∈(－2，1]． 三、解答题15．某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲，乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1600x ＋2400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上的截距z2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． 16．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料 肥料ABC甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，B C 乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润． 解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。

2021年高考数学一轮总复习 6.2一元二次不等式及其解法练习一、选择题1．(xx·大纲全国卷)不等式组⎩⎨⎧x x ＋2>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析 ⎩⎨⎧x x ＋2>0， ①|x |<1， ②由①得，x <－2或x >0， 由②得，－1<x <1，因此原不等式组的解集为{x |0<x <1}，故选C. 答案 C2．已知集合A ＝{x ∈R ||lg|x ||≤1}，B ＝{x ∈Z |x 2－2x －8<0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2，－110)∪(110，4)B ．(－2,0)∪(0,4)C ．{－1,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析 －1<lg|x |<1，110<|x |<10， ∴－10<x <－110或110<x <10.A ＝{x |－10<x <－110，或110<x <10} B ＝{x |－2<x <4，x ∈Z }＝{－1,0,1,2,3} A ∩B ＝{－1,1,2,3}，选C.答案 C3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系，得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)，故选A.答案 A4．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]解析 函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16a －12－12a 2＋4a －5<0.解得1<a <19.答案 C5．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中的( )A B C D解析 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－c a＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.f (－x )＝－x2＋x ＋2的图象开口向下，由－x 2＋x ＋2＝0，得两根分别为－1和2.答案 B6．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >2C ．b <－1或b >2D ．不能确定解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2.又f (x )的图象开口向下， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数．∴f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， ∴b 2－b －2>0， 解得b <－1或b >2. 答案 C 二、填空题7．如果函数f (x )＝(x ＋1)(1－|x |)的图象恒在x 轴上方，则x 的取值集合为________．解析 由题意可将问题转化为解不等式(x ＋1)(1－|x |)>0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－|x |>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，1－|x |<0，解得－1<x <1或x <－1.答案 {x |x <－1或－1<x <1}8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <2，x 2，x ≥2，则满足不等式f (x 2－4)≤f (3x )的x 的取值范围是________．解析 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x <2，x 2，x ≥2，的图象知，函数f (x )在R 上是增函数，则由f (x 2－4)≤f (3x )可得x 2－4≤3x ，解得－1≤x ≤4.答案 [－1,4]9．已知函数f (x )与g (x )的图象关于直线x ＝2对称，若f (x )＝4x －15，则不等式g xx 2－1≥0的解集是________．解析 若f (x )＝4x －15，则g (x )＝f (4－x )＝4×(4－x )－15＝1－4x ， 故不等式g x x 2－1≥0等价于1－4xx 2－1≥0， 即(x －1)(x ＋1)(4x －1)≤0(x ≠1，且x ≠－1) 解得x <－1或14≤x <1.答案 (－∞，－1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 三、解答题10．(xx·湖北黄州月考)已知函数f (x )＝lgx 2－2x9－x2的定义域为A ， (1)求A ；(2)若B ＝{x |x 2－2x ＋1－k 2≥0}，且A ∩B ≠∅，求实数k 的取值范围．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0，9－x 2>0，解得－3<x <0或2<x <3，∴A ＝(－3,0)∪(2,3)． (2)x 2－2x ＋1－k 2≥0，∴当k ≥0时，x ≥1＋k 或x ≤1－k ， 当k <0时，x ≥1－k 或x ≤1＋k ， ∵A ∩B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1－k ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋k ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，1＋k ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，1－k ≤3，∴k ∈[－4,4]．11．已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围．解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0， 即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0， 得m 2>0，所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1x 2＝11－m ，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2.得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．培 优 演 练1．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |x >2或x <－2}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}解析 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0，即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C.答案 C2．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，＋∞. 答案 A3．关于x 的不等式ax 2－|x ＋1|＋3a ≥0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意得a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫|x ＋1|x 2＋3max.令y ＝|x ＋1|x 2＋3，则当x ≥－1时，y ＝x ＋1x 2＋3. 由y ′＝－x ＋3x －1x 2＋32＝0，得x ＝1，所以当－1≤x <1时，y ′>0，y <12，当x >1时，y ′<0，y <12，因此当x ≥－1时，y max ＝12.同理，当x <－1时，y ＝－x ＋1x 2＋3.由y ′＝x ＋3x －1x 2＋32＝0，得x ＝－3，所以当－3<x <－1时，y ′<0，y <16，当x <－3时，y ′>0，y <16，因此当x <－1时，y max ＝16.综上，当x ∈R 时，y max ＝f (1)＝12，即a ≥12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 4．已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数b 的取值范围．解 问题等价于f (x )min ≥g (x )max .因为f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2，由f ′(x )>0，得x 2－4x ＋3<0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是[1,3]，单调递减区间是(0,1]和[3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x ＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f (x )min ＝f (1)＝－12.由于函数g (x )＝－x2＋2bx －4，x ∈[1,2]，当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x )max ＝g (b )＝b 2－4；当b >2时，g (x )max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b <1，－12≥2b －5，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8.解第一个不等式组，得b <1，解第二个不等式组，得1≤b ≤142，第三个不等式组无解． 综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142.30134 75B6 疶37362 91F2 釲/ 22266 56FA 固20757 5115 儕31027 7933 礳H40850 9F92 龒40403 9DD3 鷓36385 8E21 踡~) 20842 516A 兪。

2021年高考数学大一轮复习 6.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题课时作业 理一、选择题1．(xx·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：画出如图阴影部分所示的可行域，易知z ＝2x ＋y 在点(2，－1)与(－1，－1)处分别取得最大值m ＝3和最小值n ＝－3，∴m －n ＝6，选C.答案：C2．(xx·湖北卷)由不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎨⎧x＋y≤1，x＋y≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机抽取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78解析：由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P＝742＝78，选D.答案：D3．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是( ) A．－6 B．－2C．0 D．2解析：由题中条件画出封闭区域如图中阴影部分所示．结合图形知，z＝2x－y在A(－2,2)处取得最小值，且z min＝2×(－2)－2＝－6.答案：A4．(xx·安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：画出如图阴影部分所示的可行域，z ＝y －ax 表示的直线向上移动取到最大值，z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则当a >0时，z ＝y －ax 与2x －y ＋2＝0平行．所以a ＝2，而当a <0时，z ＝y －ax 与x ＋y －2＝0平行，所以a ＝－1，综上a ＝2或－1.答案：D5．(xx·福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49解析：由题意，画出可行域Ω，圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.所以圆心在直线y＝1上，求得与直线x－y＋3＝0，x＋y－7＝0的两交点坐标分别为A(－2,1)，B(6,1)，所以a∈[－2,6]．所以a2＋b2＝a2＋1∈[1,37]，所以a2＋b2的最大值为37.故选C.答案：C6．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为( )A．31 200元 B．36 000元C．36 800元 D．38 400元解析：设旅行社租A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，则z＝1 600x＋2 400y＝800(2x ＋3y)．由题中条件可得约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x，y∈N36x＋60y≥900x＋y≤21y－x≤7据此画出可行域如图中阴影部分区域内的整数点．令z′＝2x＋3y，结合图形知z′＝2x＋3y在A(5,12)处取得最小值，且最小值为2×5＋3×12＝46，∴z的最小值为800×46＝36 800.答案：C二、填空题7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y≥0，2x＋y≤6，x＋y≤a表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是________．解析：平面区域如图中的阴影部分，直线2x ＋y ＝6交x 轴于点A (3,0)，交直线x ＝1于点B (1,4)，当直线x ＋y ＝a 与直线2x ＋y ＝6的交点在线段AB (不包括线段端点)上时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形．将点A 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得3＋0＝a ，即a ＝3，将点B 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得a ＝1＋4＝5，故实数a 的取值范围是(3,5)．答案：(3,5)8．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则x ＋y 的最大值为________．解析：由题中约束条件画出可行域如图中阴影部分所示．结合图形知，z ＝x ＋y 在A (4,2)处取得最大值，且z max ＝4＋2＝6. 答案：69．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7,9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：21 三、解答题10．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，得a 的取值范围是－18<a <14. 故a 的取值范围是(－18,14)．11．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝5－(－3)＝8.∴16≤z ≤64.1．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为( )A.55 B.23C.22D ．1解析：在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图：因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55， 因此|OP →＋OQ →|min ＝55，故选A.答案：A2．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3解析：由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos〈OA →，OB →〉＝2知〈OA →，OB →〉＝π3.不妨设OA →＝(2,0)，OB →＝(1，3)，OP →＝(x ，y )， ∵OP →＝λOA →＋μOB →，∴(x ，y )＝λ(2,0)＋μ(1，3)，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝y 3，λ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1得|3x －y |＋|2y |≤2 3. 作可行域如图阴影部分所示．则所求面积S ＝2×12×4×3＝4 3.答案：D3．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：由区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，画出可行域如图阴影部分所示．经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在A (0,1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值，而集合T 表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整数点，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T 中的点共确定6条不同的直线．答案：64．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则x 2y的最小值是________． 解析：可行域如图阴影部分所示，令x 2y ＝k ，所以y ＝x 2k .当k <0时抛物线的开口向下，不合条件．当k >0时，有两种情况：当k 取最小值即抛物线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.所以x 2y 的最小值是92；当抛物线y ＝x 2k 与直线x －y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫32<x <3相切时，联立方程组消掉y 得到x 2－kx ＋k ＝0，∴Δ＝k 2－4k ＝0，∴k ＝4，此时x 2y 的最小值是4.综上可知x 2y的最小值是4.答案：430991 790F 礏37689 9339 錹40814 9F6E 齮27142 6A06 樆p28759 7057 灗[G20806 5146 兆 30183 75E7 痧26164 6634 昴>28312 6E98 溘。

[基础题组练]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≤0，x －y ＋2>0表示的平面区域是( )解析：选C.用特殊点代入，比如(0，0)，容易判断为C. 2．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2，1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A解析：选D.若(2，1)∈A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32，所以当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A ，故选D.3．(2019·高考北京卷)若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( ) A ．－7 B ．1 C ．5D ．7解析：选C.令z ＝3x ＋y ，画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤1－y ，y ≥－1，即⎩⎨⎧x ≤1－y ，x ≥0，y ≥－1或⎩⎨⎧－x ≤1－y ，x <0，y ≥－1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－3x ，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C (2，－1)时，z ＝3x ＋y 取得最大值，z max ＝3×2－1＝5.故选C.4．(2020·郑州市第二次质量预测)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋y ≥1，x －y ≤1则目标函数z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y的最大值为( ) A.⎝⎛⎭⎫1311B.⎝⎛⎭⎫133C ．3D ．4解析：选C.可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y，设u ＝3x ＋y ，欲求z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y的最大值，等价于求u ＝3x ＋y 的最小值．u ＝3x ＋y 可化为y ＝－3x ＋u ，该直线的纵截距为u ，作出直线y ＝－3x ，并平移，当直线y ＝－3x ＋u 经过点B (－1，2)时，纵截距u 取得最小值u min ＝3×(－1)＋2＝－1，所以z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y的最大值z max ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3.故选C.5．(2020·洛阳市统考)如果点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的取值范围是( )A ．[5－1，10－1]B ．[5－1，10＋1]C ．[10－1，5]D ．[5－1，5]解析：选D.作出点P 满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q 所在圆的圆心为M (0，－2)，所以|PM |取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0，2)，所以|PM |的最小值为5，最大值为4，又圆M 的半径为1，所以|PQ |的取值范围是[5－1，5]，故选D.6．(2020·安徽省考试试题)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0则z ＝2x －y 的最小值为 ．解析：法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x －y ＝0，平移该直线，由图可知当直线经过点A 时，目标函数z ＝2x －y 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x ＋y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即A (3，4)，所以z min ＝2×3－4＝2.法二：易知目标函数z ＝2x －y 的最小值在可行域的顶点处取得，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x ＋y －7＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x －3y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0x －3y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2，所以可行域的顶点坐标分别为(3，4)，(2，1)，(5，2)，代入目标函数得对应的z 的值为2，3，8，所以z 的最小值为2.答案：27．(2020·郑州市第二次质量预测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋10≤0x ＋2≥0x ＋2y －5≤0，则z ＝yx的取值范围为 ．解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝yx 表示平面区域内的点与坐标原点O 的连线的斜率．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0x －3y ＋10＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3，即A (－1，3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x －3y ＋10＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝83，即B ⎝⎛⎭⎫－2，83. 所以z max ＝k OB ＝83－2＝－43，z min ＝k OA ＝3－1＝－3，所以z ＝yx 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－3，－43. 答案：⎣⎡⎦⎤－3，－438．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＞0x ＋y ＋1＜03x ＋y ＋9＞0，记点(x ，y )对应的平面区域为P .(1)设z ＝y ＋1x ＋3，求z 的取值范围；(2)过点(－5，1)的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域P ，当反射光线所在直线l 经过区域P 内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l 的方程．解：平面区域如图中阴影部分所示，易得A ，B ，C 三点的坐标分别为A (－4，3)，B (－3，0)，C (－1，0)．(1)由z ＝y ＋1x ＋3知z 的值即是定点P (－3，－1)与区域内的点Q (x ，y )连接的直线的斜率，当直线过A (－4，3)时，z ＝－4； 当直线过C (－1，0)时，z ＝12.故z 的取值范围是(－∞，－4)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. (2)过点(－5，1)的光线被x 轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，故直线l 的方程是y －1（－1）－1＝（x ＋3）（－5）＋3，即x －y ＋4＝0.[综合题组练]1．(2020·新疆第一次适应性检测)若点M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，1≤x ≤2，0≤y ≤2，则x ＋y 的取值集合是( )A ．[1，2＋2]B ．[1，3]C ．[2＋2，4]D ．[1，4]解析：选A.x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，根据图象得到当直线过点(1，0)时目标函数取得最小值，为1，当直线和半圆相切时，取得最大值，根据点到直线的距离等于半径得到|2－z |2＝1⇒z ＝2±2，易知2－2不符合题意，故z ＝2＋2，所以x ＋y 的取值范围为[1，2＋2]．故选A.2．(应用型)(2020·浙江杭州模拟)若存在实数x ，y ，m 使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0与不等式x －2y ＋m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥0B ．m ≤3C ．m ≥1D ．m ≥3解析：选B.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A (4，2)，B (1，1)，C (3，3)．设z ＝x －2y ，将直线l ：z ＝x －2y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，可得z max ＝4－2×2＝0，当l 经过点C 时，目标函数z 达到最小值，可得z min ＝3－2×3＝－3，因此z ＝x －2y 的取值范围为[－3，0]．因为存在实数m ，使不等式x －2y ＋m ≤0成立，即存在实数m ，使x －2y ≤－m 成立，所以－m 大于或等于z 的最小值，即－3≤－m ，解得m ≤3，故选B.3．(2020·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为 千克．解析：设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，z ＝2x ＋y ，作出⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150，60)(满足x ∈N ，y ∈N )时，z 取得最大值，为360.答案：3604．(综合型)实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为 ．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：21。

x＋y≥1，
5．(2018·石家庄质检)若 x，y 满足mx－y≤0，
且
3x－2y＋2≥0，
z＝3x－y 的最大值为 2，则实数 m 的值为( )
1
2
A.3
B.3
C．1
D．2
解析 若 z＝3x－y 的最大值为 2，则此时目标函数为 y ＝3x－2，直线 y＝3x－2 与 3x－2y＋2＝0 和 x＋y＝1 分别交 于 A(2,4)，B34，14，mx－y＝0 经过其中一点，所以 m＝2 或 m＝13，当 m＝13时，经检验不符合题意，故 m＝2，选 D.
课后作业夯关
6．2 二元一次不等式(组)与 简单的线性规划问题
[基础送分 提速狂刷练] 一、选择题 1．(2018·唐山模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直 线 3x－2y－a＝0 的两侧，则 a 的取值范围为( ) A．(－24,7) B．(－7,24) C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 解析 根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0.即(a＋ 7)(a－24)<0，解得－7<a<24.故选 B.
－15≤k≤35，
所以－15≤k≤0，故选 D.
8 ． (2018·南 昌 十 校 一 模 ) 已 知 不 等 式 组
2x－y－2≥0，
3x＋y－8≤0， x＋2y－1≥0，
则 z＝x＋y 1的最大值与最小值的比值为(
)
A．－2
B．－12
C．－83
D．－13
解析
2x－y－2≥0，
如图所示，不等式组3x＋y－8≤0， x＋2y－1≥0
x＋y－2≥0，
6．若变量 x，y 满足约束条件x－2y＋6≥0， x≤2，

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

课时分层提升练三十五二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题……………………30分钟60分一、选择题(每小题5分,共25分)1.不等式组所表示的平面区域的面积等于( )A. B. C. D.【解析】选C.平面区域如图所示.解得A(1,1),易得B(0,4),C,|BC|=4-=.所以S△ABC=××1=.2.已知变量x,y满足约束条件则x+2y的最小值是( )A.2B. 3C. 4D. 5【解析】选B.由题意,作出不等式组对应的平面区域,如图所示.令z=x+2y,则y=-x+,平移直线y=-x+,由图象可知当直线y=-x+经过点B(1,1)时,直线y=-x+的截距最小,此时x+2y最小,则x+2y的最小值为1+2×1=3.3.在直角坐标平面内,不等式组所表示的平面区域的面积为,则t的值为 ( )A.-或B.-3或1C.1D.【解析】选C.不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由解得交点B(t,t+1),在y=x+1中,令x=0得y=1,即直线y=x+1与y轴的交点为C(0,1),由平面区域的面积S==,得t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3,t=-3不合题意,舍去,故t=1.4.已知变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(1,1)处取得最大值,则a的取值范围为( )A. (0,2)B.C. D.【解析】选B.约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线l:ax+y=0,过点(1,1)作l的平行线l′,要满足题意,则直线l′的斜率介于直线x+2y-3=0与直线y=1的斜率之间,因此,-<-a<0,即0<a<.5.已知实数x,y满足约束条件则目标函数z=的最小值为( ) A.- B.- C.- D.-【解析】选B.作出不等式组对应的平面区域如图:目标函数z=的几何意义为动点M(x,y)到定点D(-1,2)的斜率,当M位于A时,此时DA的斜率最小,此时z min==-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·全国卷Ⅲ)若变量x,y满足约束条件则z=x+y的最大值是________.【解析】作出可行域由图可知目标函数在直线x-2y+4=0与x=2的交点(2,3)处取得最大值3.答案:37.若x,y,满足约束条件则的最大值为________.【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A(1,3)与原点连线的斜率最大,故的最大值为3.答案:38.(2019·北京高考)若x,y满足则y-x的最小值为________,最大值为________.【解析】作出可行域如图所示,令目标函数z=y-x,即y=x+z,由得(2,3),由得(2,-1),分别代入目标函数得z=1,-3,所以y-x的最小值为-3,最大值为1.答案:-3 1三、解答题(每小题10分,共20分)9.设m为实数,若⊆{(x,y)|(x-2)2+(y-2)2≤8},求m的取值范围.【解析】由题意知,可行域应在圆内,x=4代入(x-2)2+(y-2)2=8,可得y=0或4把(4,4)代入mx-y=0,可得m=1, 因为⊆{(x,y)|(x-2)2+(y-2)2≤8},所以0<m≤1.10.某公司的仓库A存有货物12吨,仓库B存有货物8吨,现按7吨,8吨和5吨把货物分别调给甲、乙、丙三个商店,从仓库A运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为8元,6元,9元;从仓库B运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为3元,4元,5元,问应如何安排调运方案,才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少? 【解析】将实际问题的一般语言翻译成数学语言可得下表(即运费表,单位:元)设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨,y吨,则仓库A运给丙商店的货物为(12-x-y)吨;所以仓库B运给甲、乙、丙商店的货物应分别为(7-x)吨,(8-y)吨,[5-(12-x-y)]吨,即(x+y-7)吨,于是总运费为z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7)=x-2y+126.则问题转化为求总运费z=x-2y+126在约束条件即在下的最小值.作出上述不等式组所表示的平面区域,即可行域,作出直线l:x-2y=0,把直线l作平行移动,显然当直线l移动到点A(0,8)时,在可行域内,z=x-2y+126取得最小值z min=0-2×8+126=110(元).即x=0,y=8时,总运费最少.所以仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨,8吨,4吨;仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨,0吨,1吨,此时,可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少.……………………20分钟40分1.(5分)(2019·浙江高考)若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是 ( )A.-1B.1C.10D.12【解析】选C.由线性约束条件可得可行域为图中阴影部分所示:由解得所以A(2,2),所以z max=3×2+2×2=10.2.(5分)设x,y满足若z=2x+y的最大值为,则a的值为( ) A.- B.0 C.1 D.-或1【解析】选C.方法一:由z=2x+y存在最大值,可知a>-1,显然a=0不符合题意.作出不等式组,所表示的平面区域,如图(1)或图(2)中阴影部分所示,作出直线2x+y=0,平移该直线,易知,当平移到过直线x+y-2=0与直线ax-y-a=0的交点时,z取得最大值,由得把代入2x+y=,解得a=1.方法二:由z=2x+y存在最大值,可知a>-1,显然a=0不符合题意.作出不等式组,所表示的平面区域,如图(1)或图(2)中阴影部分所示,作出直线2x+y=0,平移该直线,易知,当平移到过直线x+y-2=0与直线ax-y-a=0的交点时,z取得最大值,由得把代入ax-y-a=0,解得a=1.3.(5分)某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产,已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A,B,C的数量和一周内可用资源数量如表所示:原材料甲(吨) 乙(吨) 资源数量(吨)A 1 1 50B 4 0 160C 2 5 200如果甲产品每吨的利润为300元,乙产品每吨的利润为200元,那么适当安排生产后,工厂每周可获得的最大利润为________元.【解析】设工厂一周内安排生产甲产品x吨、乙产品y吨,所获周利润为z元.依据题意,得目标函数为z=300x+200y,约束条件为画出约束条件的可行域,如图阴影部分所示.求得有关点A(40,0),B(40,10),C, D(0,40),将直线300x+200y=0向上平移,当经过可行域的B点时,函数z=300x+200y的值最大,且最大值为14 000.故工厂每周生产甲产品40吨,乙产品10吨时,工厂可获得最大的周利润为14 000元.答案:14 0004.(5分)(2019·成都模拟)若x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为________.【解析】不等式组对应的平面区域如图:由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线y=-2x+z的截距最大,此时z最大,由解得即A(2,-1),此时z max=2×2-1=3.答案:35.(10分)设x,y满足约束条件(1)画出不等式组表示的平面区域,并求该平面区域的面积.(2)若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为4,求+的最小值. 【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.联立得点C坐标为(4,6),平面区域的面积S=×2×6+×2×4=10.(2)当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点C(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值4,即4a+6b=4,即a+b=1. 所以+==2++≥4,等号当且仅当a=,b=时取到.故+的最小值为4.6.(10分)(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示:原料A B C肥料甲 4 8 3乙 5 5 10现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.【解析】(1)由已知x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分.(2)设利润为z万元,则目标函数z=2x+3y,这是斜率为-,随z变化的一组平行直线. 为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以当直线z=2x+3y经过可行域中的点M时,截距的值最大,即z的值最大.解方程组得点M的坐标为M(20,24),所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮,乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.关闭Word文档返回原板块。

2021年高考数学一轮复习 6.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题备选练习文新人教A版1．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A原料2千克、B原料4千克，生产乙产品每件需用A原料3千克、B 原料2千克．A原料每日供应量限额为60千克，B原料每日供应量限额为80千克．要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上，则合理安排生产可使每日获得的最大利润为( )A．500元B．700元C．400元D．650元解析：设每日生产甲、乙两种产品分别为x、y件，则x、y满足⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3y≤60，4x＋2y≤80，y－x≤10，x∈N，y∈N，每日获得的利润z＝30x＋20y.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示(取阴影部分中横坐标、纵坐标均为整数的点)，根据目标函数的几何意义，z在直线2x＋3y＝60和4x＋2y＝80的交点B处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3y＝604x＋2y＝80，解得B(15,10)，代入目标函数得z max＝30×15＋20×10＝650.答案：D2．已知平面区域D由以点A(1,3)， B(5,2)，C(3,1)为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D上有无穷多个点(x，y)可使目标函数z＝x＋my取得最小值，则实数m的值为( ) A．－2 B．－1C ．1D ．4解析：依题意，作出符合条件的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数变形，可得y ＝－1m x ＋zm.当m >0时，直线过点C 时，z 取得最小值，欲使最优解有无数个，则需－1m＝k AC ＝－1.∴m ＝1.当m <0时，直线过点A 时，z 取得最小值，但仅在A点时取得最小值，不满足题意．∴m ＝1.故选C.答案：C3．(xx 年西安模拟)设点A (1，－1)，B (0,1)，若直线ax ＋by ＝1与线段AB (包括端点)有公共点，则a 2＋b 2的最小值为( )A.14B.13C.12D ．1解析：由题意知，线段AB 的方程为2x ＋y ＝1(0≤x ≤1)，∵直线ax ＋by ＝1与线段AB 有公共点，∴有方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1ax ＋by ＝1，(a －2b )x ＝1－b (0≤x ≤1)有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝01－b ＝0，或0≤1－ba －2b ≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧1－b a －2b ≥0a －2b －a ＋b ＋1≤0，其表示的平面区域如阴影部分所示．而a 2＋b 2即为阴影部分的点到原点的距离的平方，容易得到，当a ＝12，b ＝12时，a 2＋b2取最小值12.答案：C \ "E31162 79BA 禺30716 77FC 矼}]29461 7315 猕32055 7D37 紷20977 51F1 凱28206 6E2E 渮37413 9225 鈥。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识体系必备知识1.二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax+By+C>0直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax+By+C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式(组)线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x,y的函数解析式,如z=2x+3y等线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1.易忽视线性规划问题中最优解不唯一的情况线性规划问题中的最优解不一定是唯一的,即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个,也可能有无数多个,也可能没有.2.形如z=ax+by的目标函数求z最值的注意点(1)当b>0时,截距取最大值时,z也取最大值;截距取最小值时,z也取最小值.(2)当b<0时,截距取最大值时,z取最小值;截距取最小值时,z取最大值.基础小题1.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的是( )A.(0,0)B.(-1,1)C.(-1,3)D.(2,-3)【解析】选C.因为当x=-1,y=3时x+y-1=1>0,所以(-1,3)不在x+y-1≤0表示的平面区域内.2.(教材改编)原点O和点P(1,1)在直线x+y-a=0的两侧,则a的取值范围是( )A.a<0或a>2B.a=0或a=2C.0<a<2D.0≤a≤2【解析】选C.因为原点O和点P(1,1)在直线x+y-a=0的两侧,所以(-a)·(1+1-a)<0,解得0<a<2.3.(教材改编)不等式组表示的平面区域是( )【解析】选B.利用原点来判断不等式所表示的区域,注意x-y+2=0用虚线.4.若实数x,y满足则目标函数z=-x+y的最小值为( )A. -3B. -2C. 1D. 2【解析】选B.依题意,画出可行域如图所示,由图可知,目标函数在点(3,1)处取得最小值为-2.5.在平面直角坐标系xOy中,不等式组所表示的平面区域的面积为( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意,可作出不等式组所表示的平面区域,如图所示,则该区域面积为S△ABC=×1×=.6.若x,y满足约束条件则z=x-y的最大值为 ( )A.-B.C.5D.6【解析】选C.变量x,y满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示:目标函数z=x-y是斜率等于1、纵截距为-z的直线,当直线经过可行域的A点时,纵截距-z取得最小值,则此时目标函数z取得最大值,由可得A(4,-1),目标函数z=x-y的最大值为5.关闭Word文档返回原板块。

2021年高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时提升作业理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(xx·石家庄模拟)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值为( )A.6B.7C.8D.23【解析】选B.作出不等式组表示的平面区域,得到如图所示的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5).将直线l:z=2x+3y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值,所以z最小值=7.2.(xx·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( )A.3B.4C.18D.40【解析】选C.如图所示,x+2=0与x-y+3=0的交点为(-2,1),x+2=0与2x+y-3=0的交点为(-2,7),x-y+3=0和2x+y-3=0与y轴的交点为(0,3).所以当动直线z=x+6y经过(0,3)时,z取到最大值.z max=0+6×3=18.3.平面区域的面积是( )A. B. C. D.【解析】选A.作出不等式组对应的平面区域如图,则区域是圆心角为的扇形,故面积是×π×2=.4.(xx·太原模拟)点(1,1)在不等式组表示的平面区域内,则m2+n2的取值范围是( )A.[1,4]B.[2,4]C.[1,3]D.[2,3]【解析】选 A.由题意可得:该不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,所以m2+n2=(m-0)2+(n-0)2,表示点(n,m)到原点(0,0)的距离的平方,所以m2+n2∈[1,4].5.(xx·武汉模拟)将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是( )A. B.C.1-D.1-【解析】选C.画出关于x,y的不等式组所构成的三角形区域,如图.△ABC的面积为S1=×3×4=6,S2=π,所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P=1-=1-.【加固训练】1.(xx·南昌模拟)若关于x,y的不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为( )A.1B.2C.3D.-1【解析】选C.当a≤0时,显然不合题意;当a>0时,不等式组所围成的区域如图所示.因为其面积为2,所以|AC|=4,所以C的坐标为(1,4),代入ax-y+1=0,解得a=3.2.变量x,y满足约束条件若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是( )A.{-3,0}B.{3,-1}C.{0,1}D.{-3,0,1}【解析】选B.作出不等式组所表示的平面区域,如图所示.易知直线z=ax+y与x-y=2或3x+y=14平行时取得最大值的最优解有无穷多个,即-a=1或-a=-3,所以a=-1或a=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(xx·日照模拟)若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为.【解析】平面区域A如图所示,所求面积为S=×2×2-××=2-=.答案:7.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.【解析】如图所示阴影部分为可行域,数形结合可知,原点O到直线x+y-2=0的垂线段长是|OM|的最小值,所以|OM|min==.答案:【加固训练】设D为不等式组所表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为.【解析】作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可知,点B(1,0)到直线2x-y=0的距离最小,d==,故最小距离为.答案:8.某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润为元.【解析】设派用甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,则目标函数z=450x+350y,画出可行域如图阴影部分的整点,当目标函数所在直线经过A(7,5)时,利润最大,为4900元.答案:4900(15分钟30分)1.(5分)(xx·郑州模拟)已知不等式组表示的平面区域S的面积为4,则z=ax+y的最大值为( )A.4B.6C.8D.12【解析】选B.由题意知a>0,如图,不等式组对应的平面区域为△OBC,其中B(a,a),C(a,-a),所以|BC|=2a,所以△OBC的面积为·a·2a=a2=4,所以a=2.由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x,由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时,直线截距最大,此时z 也最大,把B(2,2)代入z=2x+y得z=2×2+2=6.2.(5分)(xx·郑州模拟)设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则z的最小值为( )A.-3B.-6C.3D.6【解析】选B.可行域如图:由得A(k,k),目标函数z=x+y在x=k,y=k时取最大值,即直线z=x+y在y轴上的截距z最大,此时12=k+k,故k=6,所以得B(-12,6),目标函数z=x+y在x=-12,y=6时取最小值,此时,z的最小值为z=-12+6=-6,故选B.3.(5分)(xx·通化模拟)设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为.【解析】因为=1+,而表示过点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,易知a>0,所以作出可行域,如图,由题意可知的最小值是,即===,解得a=1.答案:14.(15分)铁矿石A和B的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表.a b(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,求购买铁矿石的最少费用为多少百万元?【解析】设购买铁矿石A为x万吨,购买铁矿石B为y万吨,总费用为z百万元.根据题意,得整理,得线性目标函数为z=3x+6y,画出可行域如图中阴影部分所示.当x=1,y=2时,z取得最小值.所以z min=3×1+6×2=15(百万元).故购买铁矿石的最少费用为15百万元.【加固训练】变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值.(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.【解析】由约束条件作出(x,y)的可行域如图阴影部分所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)因为z==,所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知z min=k OB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,d min=|OC|=,d max=|OB|=.故z的取值范围是[2,29].(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,d min=1-(-3)=4,d max ==8.故z的取值范围是[16,64].实用文档。

2021年高考数学一轮复习 6.2二元一次不等式（组）与简单的线性规划课时跟踪训练 文一、选择题1．若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是( )A ．m <－5或m >10B ．m ＝－5或m ＝10C ．－5<m <10D ．－5≤m ≤10解析：由题意可得(2×1＋3＋m )[2×(－4)－2＋m ]<0， 即(m ＋5)(m －10)<0，∴－5<m <10.答案：C2．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为( )A ．－5B ．3C ．5D ．7解析：直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，由图可知可行域为由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a >－1，则其面积等于12(a ＋1)＝4，解得a ＝7.故选D.3．(xx·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤80≤x ≤40≤y ≤3，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )A ．7B ．8C ．10D ．11 解析：作出可行域如图所示，结合目标函数可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z 的值最大．于是，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ＋2y ＝8得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝2，则z max ＝2x ＋y ＝10，故选C.答案：C4．(xx·黄冈模拟)当实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋2y ≤2时，恒有ax ＋y ≤2成立，则实数a 的取值集合是( )A ．(0,1]B ．(－∞，1]C ．(－1,1]D ．(1,2)解析：由约束条件画出可行域，直线ax ＋y ＝2恒过定点(0,2)，由题意可行域恒在直线ax ＋y ＝2的下方，显然当a ≤0时成立，当a >0时，直线即为x 2a＋y2＝1，其在x 轴的截距2a≥2⇒0<a ≤1，综上可得a ≤1.故选B.5．设x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x－y＋2≥0，8x－y－4≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝mx＋y的最大值为8，则m的值为( )A．4 B．3 C．2 D．－2解析：画出可行域．由z＝mx＋y，得y＝－mx＋z.结合选项，若m＝－2或m>0，则y＝－mx＋z，过A(1,4)取最大值，即m＋4＝8，m＝4.故选A.答案：A6．(xx·新课标全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥a，x－y≤－1，且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )A．－5 B．3 C．－5或3 D．5或－3解析：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝ax－y＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝a－12y＝a＋12，代入x＋ay＝7中，解得a＝3或－5，当a＝－5时，z＝x＋ay的最大值是7；当a＝3时，z＝x＋ay的最小值是7，故选B.答案：B二、填空题7．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为__________．解析：画出x ，y 的可行域如图阴影区域．由z ＝x ＋4y ，得y ＝－14x ＋z 4.先画出直线y ＝－14x ，再平移直线y ＝－14x ，当经过点B (1,1)时，z ＝x ＋4y 取得最大值为5. 答案：58．(xx·河南省十所名校高三联考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ≥1，x ＋y －3≤0对应的平面区域为D ，直线y ＝k (x ＋1)与区域D 有公共点，则k 的取值范围是________．解析：在坐标平面内准确画出线性约束条件所表示的可行域，如图阴影部分BCD ，易得D (1,2)．而直线y ＝k (x ＋1)恒过点E (－1,0)，当过D 点时斜率k 取得最大值1，过B 点时取得最小值0，故k ∈[0,1]．答案：[0,1]9．(xx·浙江卷)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是__________．解析：由不等式组可画出变量满足的可行域，求出三个交点坐标分别为(1,0)，1，32，(2,1)，代入z ＝x ＋y ，可得1≤z ≤3.答案：[1,3] 三、解答题10．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求4x －3y 的最大值和最小值．解：不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，表示的区域如图所示．可观察出4x －3y 在A 点取到最大值，在B 点取到最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－6，则A (－1，－6)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝2.则B (－3,2)，因此4x －3y 的最大值和最小值分别为14，－18.11．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．解：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)． 当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A 时，截距最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k3.∴点A 的坐标为－k3，－k3.则z 的最大值为－k 3＋3－k 3＝－43k ，令－4k3＝12，得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.12．某公司计划xx 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟的广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设该公司在甲、乙两个电视台所做广告时间分别为x 分钟、y 分钟， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y . 二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分所示． 作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝200.∴点M 的坐标为(100,200)．∴z ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)，即在甲、乙两个电视台的广告时间分别为100分钟、200分钟时，收益最大，最大为70万元．36801 8FC1 迁 39565 9A8D 骍.&C38310 95A6 閦-39926 9BF6 鯶i31974 7CE6 糦30996 7914 礔20896 51A0 冠。

2021年高考数学一轮总复习 6.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0.即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.答案 B2．已知实数对(x ，y )满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥1，x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是( )A ．6B ．3C ．(2,2)D ．(1,1)解析 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y ＝－2x ＋z ，作初始直线l 0：y ＝－2x ，作与l 0平行的直线l ，则直线经过点(1,1)时，(2x ＋y )min ＝3.答案 D3．(xx·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析 画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分的区域)．作直线l 0：y ＝－2x ，平移直线l 0，由图形可知，当l 0经过可行域内的点A (2，－1)时，z 取最大值，即m ＝2×2＋(－1)＝3；当l 0经过可行域内的点B (－1，－1)时，z 取最小值，即n ＝2×(－1)＋(－1)＝－3，故m －n ＝3－(－3)＝6.故选B.答案 B4．(xx·浙江温州十校联考)当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥m时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析 画出可行域，如图所示，目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z3，当直线过点C 时，z 取到最大值，又C (m ，m )，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4. 答案 A5．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1解析 依题意可知a <1.作出可行域如图所示，z ＝2x ＋y 在A 点和B 点处分别取得最小值和最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝x ，得A (a ，a )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝x ，得B (1，1)．∴z max ＝3，z min ＝3a .∴a ＝13.答案 B6．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为( )A.55B.23C.22D ．1解析 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图：因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55，故选A. 答案 A 二、填空题7．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m ，1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝________.解析 由题意得|4m －3－1|5＝4及2m ＋1≥3，解得m ＝6.答案 68．(xx·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．解析 如图，作出不等式组表示的平面区域(阴影部分所示)，目标函数z ＝3x ＋y 可化为y ＝－3x ＋z ，作出直线l 0：y ＝－3x 并平移．因为k AB ＝－1>－3，所以当直线过点A 时，z 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y ＝1，解得A (0,1)，所以z 的最小值为z ＝3×0＋1＝1.答案 19．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________． 解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0表示的平面区域如图中的阴影部分所示：要使平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，必须使点A 位于直线x －2y －2＝0的右下侧，即m －2(－m )－2>0，∴m >23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 三、解答题10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合．x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－2≤x ≤3，且x ∈Z .当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．培 优 演 练1．(xx·新课标全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( ) A ．－5 B ．3 C ．－5或3D ．5或－3解析 当a ＝0时显然不满足题意．当a >0时，画出可行域(如图(1)所示的阴影部分)，又z ＝x ＋ay ，所以y ＝－1a x ＋1az ，因此当直线y ＝－1a x ＋1az 经过可行域中的A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12时，z 取最小值，于是a －12＋a ·a ＋12＝7，解得a ＝3(a ＝－5舍去)； 当a <0时，画出可行域(如图(2)所示的阴影部分)，又z ＝x ＋ay ，所以y ＝－1a x ＋1a z ，显然直线y ＝－1a x ＋1az 的截距没有最大值，即z 没有最小值，不合题意．综上，a 的值为3，故选B.答案 B2．(xx·西宁联考)已知0<a <1，若log a (2x －y ＋1)<log a (3y －x ＋2)，且λ<x ＋y ，则λ的最大值为________．解析 λ<x ＋y ，只需λ<x ＋y 的最小值， ⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，3y －x ＋2>0，3x －4y －1>0，作出可行域如图所示，当(x ，y )无限逼近(－1，－1)时，x ＋y 无限逼近－2，且大于－2.从而λ≤－2，即λ有最大值－2.答案 －23．(xx·湖北黄冈月考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则x 2y的最小值是________． 解析 可行域如图所示，令x 2y ＝k ，所以y ＝x 2k .当k <0时抛物线的开口向下，不合条件．当k >0时，有两种情况：当k 取最小值即抛物线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.所以x 2y 的最小值是92；当抛物线y ＝x 2k 与直线x －y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫32<x <3相切时，联立方程组消掉y 得到x 2－kx ＋k ＝0，∴Δ＝k 2－4k ＝0，∴k ＝4，此时x 2y 的最小值是4.综上可知x 2y的最小值是4.答案 44．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －3y ≤－4，3x ＋5y ≤30.(1)求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值和最小值；(2)若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，求a 的值； (3)求z ＝y ＋5x ＋5的取值范围．解 作可行域如图所示．(1)作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取得最大值．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53. 解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B (5,3)．∴z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋53＝113.(2)一般情况下，当z 取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线z ＝ax ＋y 平行于直线3x ＋5y ＝30时，线段BC 上的任意一点均使z 取得最大值，此时满足条件的点即最优解有无数个．又k BC ＝－35，∴－a ＝－35.∴a ＝35.(3)z ＝y ＋5x ＋5＝y －－5x －－5，可看作区域内的点(x ，y )与点D (－5，－5)连线的斜率， 由图可知，k BD ≤z ≤k CD . ∵k BD ＝3－－55－－5＝45，k CD ＝275－－51－－5＝2615， ∴z ＝y ＋5x ＋5的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，2615.m30099 7593 疓J33840 8430 萰36965 9065 遥 32500 7EF4 维24910 614E 慎 t 36881 9011 逑32331 7E4B 繋31885 7C8D 粍27866 6CDA 泚。