10 ch9 有互感的电路

11
21
N1 i1 N2
当i1、u11、u21方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感 应定律和楞次定律：
dΨ dΦ11 11 u11 N1 dt dt dΨ dΦ21 21 u21 N2 dt dt
：磁链 (magnetic linkage)， =N
当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，11、22与i1成正比。
(6 j 5)(6 j 5) j5 ( 6 j 5) ( 6 j 5) 6 j5 j5 j 5 3 j 2.5 2 3 j 7.5 8.0868.2
R2
10.3

空心变压器
j M * *

I1

R1 j L1
R2

I1
I2

Z11
+ –
+ –
US
j L2
Z=R+jX
US
(ω M )2 Z 22
( R1 jω L1 )I 1 - jM I 2 U S jM I 1 ( R2 jω L2 Z ) I 2 0





原边等效电路
US I1 (ω M ) 2 Z11 Z 22
2 L2i2 Mi1
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两 端的电压均包含自感电压和互感电压：
自感电压

?
d1 di1 di2 u1 L1 M dt dt dt
d2 di2 di1 u2 L2 M dt dt dt
互感电压
二. 互感线圈的同名端:
具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电 压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。对自感 电压，当u, i 取关联参考方向，u、i与 符合右螺旋定 则，其表达式为 i1 dΨ11 dΦ11 di1 u11 N1 L1 u11 dt dt dt 上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的， 只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可 不用考虑线圈绕向。对线性电感，用u,i描述其特性，当 u,i取关联方向时，符号为正；当u,i为非关联方向时，符 号为负。
注意: 互感线圈的互感电压的的表示式及正负号。
含互感的电路，直接用节点法列写方程不方便。
例2:已知: L1 L2 10 , M 5 , R1 R2 6 , U S 6V , 求其戴维南等效电路。 M L2 Z1 I R1 L1 – U1 + + + + + R2 U US U oc U oc 2 – _ _ _
第10章 有互感的电路
10. 1 互感 10. 2 含有耦合电感电路的计算 10. 3 空心变压器 10.4 理想变压器
10. 1 互感
一、 互感和互感电压
11 21
N1 i1 N2
当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通，同时， 有部分磁通穿过邻近线圈2。当i1为时变电流时，磁通也将 随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。
R2
2. 反串
i
+ +
R1 u1 – + u2 R2 L2 * * L1 +
i R u –
u – –
M
L
u R1 i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di Ri L di dt dt R R1 R2 L L1 L2 2 M

U 13 jω L1 I 1 jω M I 2 U 23 jω L2 I 2 jωM I 1
I I1 I2




整理得
U 13 jω( L1 M ) I 1 jω M I


U 23 jω( L2 M ) I 2 jω M I
k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。
k
11 L1i1 22 L2i2
def
12 21 11 22
12 M i2 21 M i1
k
def
M L1L2
9. 2 互感线圈的串联和并联
一、互感线圈的串联 1. 顺串 i + + u – – R1 u1 * L1 + M u – L R i
U0 U0 I0 Ib , Z i 3 j 7.5 8.0868.2 3 j 7.5 I0
（2）去耦等效：
R1 L1
M
L2
R2
R1
L1 M
L2 M
M
Z i j( L2 M ) [ R1 j( L1 M )](R2 jM ) R1 j( L1 M ) R2 jM
( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
三、互感消去法 1. 去耦等效电路(两电感有公共端) (a) 同名端同侧联接



I1
j M * *
I1

I2
I2
1
2 j (L2–M) j M

1 j L1
2
j L2
j (L1–M)

3

I

3
I
u 21
+
di 1 M dt
i1 + u1 _ * L1
M * L2
i2
i1
M
i2 L2 * + u2 _
+ u2 _
+ u1 _
* L1
时域形式：
di 1 di 2 u1 L1 M dt dt
di 1 di 2 u1 L1 M dt dt
i2
di 1 di 2 u2 M L2 dt dt
同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入 ，其所
产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。
同名端表明了线圈的相互绕法关系。
确定同名端的方法：
当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电 流产生的磁场相互增强。 例. 1
i * 1'

* 2
2'
1
*
2

3 3'

1'
2'*
在正弦激励下：

I
R1
+
+

* U1

j M j L1 R2 – + U

* U2
j L2 –
–

U ( R1 R2 ) I jω( L1 L2 2M ) I
相量图：

U

jω M I
U2


jω L2 I


R2 I
jω M I

R1 I jω L1 I
U 1

注意：线圈的同名端必须两两确定。
三、由同名端及u,i参考方向确定互感线圈的特性方程
有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考 虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。(参考 前图，标出同名端得到下面结论)。 M * i1 M * + u21 –
di 1 u21 M dt
* i1
* –
u21
I I1 I2

(b) 同名端异侧联接

I1
j M * *



I2
I1
I2
1 j L1
2 j L2
1 j (L1+M)
2 j (L2+M) j (-M)


3

I

3
I

U 13 jω L1 I 1 jωM I 2 U 23 jω L2 I 2 jωM I 1
例 1、列写下图电路的方程。 M12 I 1 R1 L L2 1
R2
I2
+
_
U S1
+
_ R3
L3
U S2
I3
I1
M12 R1

L1 L3
L2

R2
I2
+
U S1
+
1 R3
2
_
I3
_
U S2
支路电流法：
R1 I1 jL1 I1 jMI 2 jL3 I 3 R3 I 3 U S1 R2 I 2 jL2 I 2 jMI1 jL3 I 3 R3 I 3 U S 2 I 3 I1 I 2

Z in
US

I1
(ω M ) 2 Z11 Z 22
Z11=R1+j L1， Z22=(R2+R)+j( L2+X)

I1

R1
j M * *
I1
R2

Z11
+ –
j L1
I2
j L2 Z=R+jX

+ –
US
US
(ω M )2 Z 22
原边等效电路
(M )2 ω2 M 2 ω2 M 2 R22 ω2 M 2 X 22 Zl 2 j 2 Rl jX l 2 2 Z 22 R22 jX 22 R22 X 22 R22 X 22
( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
2. 同名端在异侧 M i + u – i1 * L1 * i2 L2