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2.3 幂函数课时过关·能力提升根底稳固1.以下函数为幂函数的是()①y=-x2;②y=2x;③y=xπ;④y=(x-1)3;⑤y=1x2;⑥x=x2+1x.A.①③④⑤B.①②⑤⑥C.③⑤D.⑤解析:①y=-x2的系数是-1,而不是1,故不是幂函数;②y=2x是指数函数;④y=(x-1)3的底数是x-1,而不是x,故不是幂函数;⑥y=x2+1x是两个幂函数和的形式,也不是幂函数.很明显③⑤是幂函数.答案:C2.m=(a2+3)-1(a≠0),n=3-1,那么()A.m>nB.m<nC.m=nD.m与n的大小不确定解析:设f(x)=x-1,a≠0,那么a2+3>3>0,f(x)在(0,+∞)上是减函数,那么f(a2+3)<f(3),即(a2+3)-1<3-1,故m<n.答案:B3.以下幂函数在区间(-∞,0)内为减函数的是()A.y=x13B.x=x2C.x=x3D.x=x解析:函数y=x13,x=x3,x=x在区间(-∞,0)内均是增函数,y=x2在(-∞,0)内是减函数.答案:B,3},则使函数x=xx的定义域为R,且为奇函数的所有α的值为()4.设α∈{-1,1,12A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3解析:函数y=x-1的定义域是{x|x≠0},函数y=x12的定义域是[0,+∞),函数y=x和y=x3的定义域为R,且为奇函数.答案:A5.函数y=x13的图象是()解析:函数y=x13是幂函数,幂函数在第一象限内的图象恒过定点(1,1),排除A,D.当x>1时,x>x13,故幂函数y=x13图象在直线y=x的下方,排除C.答案:B6.幂函数f(x)=(m2-2m-2)x2-m(m>0),那么m= .解析:由于函数f(x)是幂函数,那么m2-2m-2=1,解得m=3或-1.又m>0,那么m=3.答案:37.假设(a+1)3<(3a-2)3,那么实数a的取值范围是.解析:构造函数y=x3,它在R上是增函数,所以a+1<3a-2,解得a>32.答案:(32,+∞)8.幂函数f(x)=x-x2+2x+3(x∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)内是增函数,那么函数f(x)的解析式为.解析:因为幂函数f(x)=x-x2+2x+3(x∈Z)为偶函数,所以-m2+2m+3为偶数.又f(x)在区间(0,+∞)内是增函数,所以-m2+2m+3>0,所以-1<m<3.又m∈Z,-m2+2m+3为偶数,所以m=1,故所求解析式为f(x)=x4.答案:f(x)=x49.假设函数f(x)是幂函数,且满足x(4)x(2)=3,则x(12)的值等于____________________________.解析:设f(x)=xα,∵x(4)x(2)=3,∴4x2x=3,∴2α=3,∴α=log23,∴f(x)=x log23,∴x(12)=(12)log23=13.答案:1310.函数f(x)=(m2-m-1)x x2+x-3是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x)的解析式.解:根据幂函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x3在区间(0,+∞)内是增函数;当m=-1时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)内是减函数,不符合要求.故f(x)=x3.能力提升1.函数f (x )=x -34+1xx x的定义域为( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.(0,1)∪(1,+∞)解析:由,得{x >0,lg x ≠0⇒{x >0,x ≠1⇒0<x<1或x>1,所以f (x )的定义域为(0,1)∪(1,+∞).答案:D2.以下函数中,对于任意的x (x ∈R ),都有f (-x )=f (x ),且在区间(0,1)内单调递增的是( )A.f (x )=-x 2+2 B.f (x )=x 12C.f (x )=x 2-1D.f (x )=x 3解析:对于任意的x (x ∈R ),都有f (-x )=f (x ),那么函数f (x )是偶函数.很明显,f (x )=x 12和f (x )=x3都不是偶函数,故排除选项B,D;结合函数图象,可知f (x )=-x 2+2在(0,1)内单调递减,函数f (x )=x 2-1在区间(0,1)内单调递增,应选C . 答案:C3.★函数:①y=2x ;②y=log 2x ;③y=x -1;④y =x 12.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是( )A .②①③④B .②③①④C .④①③②D .④③①②解析:∵y=2x 的图象过点(0,1),y=log 2x 的图象过点(1,0),y =x 12的图象过点(0,0),y=x -1的图象和坐标轴不相交.应选D .答案:D4.为了保证信息的平安传输,有一种为秘密加密的密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4〞通过加密后得到密文“2〞.假设接收方接到密文“3〞,那么解密后得到的明文是.解析:由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意得2=4α,解得α=12,则y=x12.由x12=3,得x=9.答案:95.设a=(12)34,x=(15)34,x=(12)12,则x,x,x的大小关系为_________________________.解析:构造幂函数y=x34(x∈R),由该函数在定义域内单调递增,知a>b;构造指数函数y=(12)x,由该函数在定义域内单调递减,所以a<c,故c>a>b.答案:c>a>b6.假设y=x x2-4x-9是偶函数,且在区间(0,+∞)内是减函数,则整数x的值是_________________________.解析:由题意得,a2-4a-9应为负偶数,即a2-4a-9=(a-2)2-13=-2k(k∈N*),(a-2)2=13-2k,当k=2时,a=5或-1;当k=6时,a=3或1.答案:1,3,5,-17.函数y=(a2-3a+2)x x2-5x+5(x为常数),问(1)当a为何值时,此函数为幂函数?(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?分析:根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定义求解.解:(1)由题意得a 2-3a+2=1,即a 2-3a+1=0,故a =3±√52.(2)由题意知{x 2-5x +5=1,x 2-3x +2≠0,解得a=4.(3)由题意知{x 2-5x +5=-1,x 2-3x +2≠0,解得a=3.8.★函数f (x )=x 13-x -135,x (x )=x 13+x -135.(1)计算f (4)-5f (2)g (2); (2)计算f (9)-5f (3)g (3); (3)计算f (16)-5f (4)g (4);(4)由(1)(2)(3)归纳出涉及函数f (x )和g (x )的对于所有不等于0的实数x 都成立的一个等式,并加以证明.解:(1)f (4)-5f (2)g (2)=413-4-135−5×213-2-135×213+2-135=413-4-135−(213)2-(2-13)25=0.(2)f (9)-5f (3)g (3)=913-9-135−5×313-3-135×313+3-135=913-9-135−(313)2-(3-13)25=0.(3)f (16)-5f (4)g (4)=1613-16-135−5×413-4-135×413+4-135=1613-16-135−(413)2-(4-13)25=0.(4)由于4=2×2,9=3×3,16=4×4,因此概括、猜测:对任意x ≠0,均有f (x 2)=5f (x )g (x ).证明:∵5f (x )g (x )=5·x 13-x -135·x 13+x -135=(x 2)13-(x 2)-135=x (x 2),∴对任意x ≠0,均有f (x 2)=5f (x )g (x ).。
2.3 幂函数【基础练习】1．下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝x 4＋x 2B ．y ＝10xC ．y ＝1x3D ．y ＝x ＋1【答案】C【解析】根据幂函数的定义知y ＝1x3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x，y ＝x ＋1都不是幂函数．2.下列幂函数中，定义域为R 且为偶函数的个数为( ) ①y ＝x －2；②y ＝x ；③y ＝x 13 ；④y ＝x 23 .A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】易知②③中的函数是奇函数，①中函数是偶函数，但其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；④中函数符合条件.故选A ．3.当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12 ，h (x )＝x －2的大小关系是( )A ．h (x )＜g (x )＜f (x )B ．h (x )＜f (x )＜g (x )C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x ) 【答案】D【解析】在同一坐标系中，画出当0＜x ＜1时，函数y ＝x 2，y ＝x 12 ，y ＝x －2的图象，如图所示.∴当0＜x ＜1时，有x －2＞x 12 ＞x 2，即f (x )＜g (x )＜h (x ).4.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13【答案】A【解析】由于y ＝x －1和y ＝x 13 都是奇函数，故B ，D 不合题意.又y ＝x 2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C 不合题意.y ＝x －2＝1x2是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，故A满足题意.5.幂函数f (x )的图象过点(3，3)，则f (x )的解析式是________. 【答案】f (x )＝x 12【解析】设f (x )＝x α，则有3α＝3＝312 ⇒α＝12.6.设x ∈(0,1)时，y ＝x p(p ∈R )的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________. 【答案】(－∞，1)【解析】结合幂函数的图象性质可知p <1. 7.函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m的值.【解析】根据幂函数的定义，得m 2－m －5＝1， 解得m ＝3或m ＝－2.当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求.故m ＝3.8.已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.【解析】(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2.【能力提升】9.设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．a ＜b ＜c D ．b ＞c ＞a【答案】C【解析】∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在R 上是减函数，又35＞25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2535 ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ，即a ＜B ．∵函数y＝x 25 在R 上是增函数且35＞25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3525 ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ，即c ＞B ．∴a ＜b ＜C ．10．(2019年吉林长春模拟)已知幂函数f (x )＝x n，n ∈{－2，－1,1,3}的图象关于y 轴对称，则下列选项正确的是( )A ．f (－2)＞f (1)B ．f (－2)＜f (1)C ．f (2)＝f (1)D ．f (－2)＞f (－1)【答案】B【解析】由于幂函数f (x )＝x n的图象关于y 轴对称，可知f (x )＝x n为偶函数，所以n ＝－2，即f (x )＝x －2，则有f (－2)＝f (2)＝14，f (－1)＝f (1)＝1，所以f (－2)＜f (1)．11.如图所示的函数F (x )的图象，由指数函数f (x )＝a x与幂函数g (x )＝x α“拼接”而成，则a a，a α，αa，αα按由小到大的顺序排列为________.【答案】a α＜αα＜a a＜αa【解析】依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 14 ＝12，⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝116，α＝12.所以a a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116116 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫124116 ，aα＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11612 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1232116 ，αa ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12116 ，αα＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫128116 ，由幂函数y ＝x 116 单调递增知a α＜αα＜a a ＜αA ．12.已知幂函数f (x )＝xm 2－4m (m ∈Z )的图象关于y 轴对称且在区间(0，＋∞)上为减函数. (1)求m 的值和函数f (x )的解析式；(2)解关于x 的不等式f (x ＋2)<f (1－2x ).【答案】【解析】(1)幂函数f (x )＝xm 2－4m (m ∈Z )在区间(0，＋∞)上为减函数，所以m2－4m ＜0，解得0＜m ＜4.因为m ∈Z ，所以m ＝1,2,3.m ＝1时，f (x )＝x －3，其图象不关于y 轴对称；m ＝2时，f (x )＝x －4，其图象关于y 轴对称；m ＝3时，f (x )＝x －3，其图象不关于y 轴对称.所以m ＝2，f (x )＝x －4.(2)不等式f (x ＋2)＜f (1－2x )，函数f (x )是偶函数，在区间(0，＋∞)上为减函数，所以|1－2x |＜|x ＋2|，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3.又因为1－2x ≠0，x ＋2≠0，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.。
2.3 幂函数A 级 基础巩固一、选择题1．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x3C ．y ＝22xD ．y ＝x －1解析：显然C 中y ＝22x＝4x，不是y ＝x α的形式，所以不是幂函数，而A ，B ，D 中的α分别为12，3，－1，符合幂函数的结构特征．答案：C2．下列函数中既是偶函数又在(－∞，0)上是增函数的是( )A ．y ＝x 43 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －2D ．y ＝x －14解析：对于幂函数y ＝x α，如果它是偶函数，当α<0时，它在第一象限为减函数，在第二象限为增函数，则C 选项正确．答案：C3．幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x －12在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 4，C 1，C 3，C 2 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 3解析：由于在第一象限内直线x ＝1的右侧时，幂函数y ＝x α的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图象为C 1，同理，y ＝x －1在第一象限的图象为C 4，y ＝x 13在第一象限内的图象为C 2，y ＝x －12在第一象限内的图象为C 3.答案：D4．已知幂函数y ＝f (x )的图象过(4，2)点，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A. 2B.12C.14D.22解析：设幂函数f (x )＝x α，由图象经过点(4，2)， 可得4α＝2，即22α＝2， 所以2α＝1，α＝12，即f (x )＝x 12. 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝22.答案：D5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <bD ．b <c <a解析：由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在它的定义域R 上是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535>0.由于函数y ＝x 25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，故a ，b ，c 的大小关系是b <a <c .答案：B 二、填空题6．给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为________．解析：设f (x )＝x α，则f (m ＋n )＝(m ＋n )α，f (m )＋f (n )＝m α＋n α，f (m )·f (n )＝m α·nα＝(mn )α，f (mn )＝(mn )α，所以f (mn )＝f (m )·f (n )一定成立，其他三个不一定成立，故填③.答案：③7．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 等于________．解析：因为幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，即m <53，又m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数， 当m ＝0时，f (x )＝x －5，是奇函数； 当m ＝1时，f (x )＝x －2，是偶函数． 所以m ＝1. 答案：18．若f (x )＝x α是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________． 解析：因为f （4）f （2）＝3，所以4α2α＝3，即2α＝3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2－α＝3－1＝13.答案：13三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时：(1)f (x )是幂函数？ (2)f (x )是正比例函数？ (3)f (x )是反比例函数？ (4)f (x )是二次函数？ 解：(1)因为f (x )是幂函数， 故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)若f (x )是正比例函数， 则－5m －3＝1，解得m ＝－45.此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(3)若f (x )是反比例函数， 则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.10．已知幂函数f (x )的图象过点(25，5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域． 解：(1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5， 所以α＝12，所以f (x )＝x 12.(2)因为g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ， 所以要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0， 即lg x ≤2，解得0<x ≤100. 所以g (x )的定义域为(0，100]，又2－lg x ≥0，所以g (x )的值域为[0，＋∞)．B 级 能力提升1．对于幂函数f (x )＝x 45，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f （x 1）＋f （x 2）2的大小关系是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2 C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2 D ．无法确定解析：幂函数f (x )＝x 45在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．设A (x 1，0)，C (x 2，0)，其中0<x 1<x 2，则AC 的中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)， |EF |＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.因为|EF |>12(|AB |＋|CD |)，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2.答案：A2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≤03a －x 12，x >0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，由f (x )＝a x为减函数，知0<a <1；当x >0时，由f (x )＝3a －x 12为减函数，知a ∈R ，且要满足a 0≥3a ，解得a ≤13.综上，可知实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，133．已知幂函数f (x )＝x1m 2＋m(m ∈N *)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 所以m 与m ＋1必定有一个为偶数， 所以m 2＋m 为偶数，所以函数f (x )＝x 1m 2＋m (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在其定义域上为增函数． (2)因为函数f (x )经过点(2，2)， 所以2＝21m 2＋m ，即212＝21m 3＋m ，所以m 2＋m ＝2，即m 2＋m －2＝0. 所以m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1.因为f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.故m 的值为1，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.。
§2.3幂函数课时目标 1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝12x，y＝x－1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．1．一般地，______________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝12x，y＝x－1的图象．3．结合2中图象，填空．(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．(2)若α>0时，幂函数图象过点____________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．(4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．(5)幂函数在第____象限无图象．一、选择题1．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3 C ．y ＝2x D ．y ＝x －12．幂函数f (x )的图象过点(4，12)，那么f (8)的值为( ) A.24B ．64 C ．22D.1643．下列是y ＝23x 的图象的是( )4．图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( ) A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－125．设a＝2535⎛⎫⎪⎝⎭，b＝3525⎛⎫⎪⎝⎭，c＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是()A．0B．2C．3D．4二、填空题7．给出以下结论：①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．8．函数y＝12x＋x－1的定义域是____________．9．已知函数y＝x－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．三、解答题10．比较1.121、121.4、131.1的大小，并说明理由．11．如图，幂函数y ＝x 3m －7(m ∈N )的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求此函数的解析式．能力提升12．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·21m m x +-，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．13．点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．1．幂函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数nm中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数nm中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝nm(m、n∈N*，m、n互质)时，有：§2.3 幂函数知识梳理1．函数y ＝x α 3.(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增 下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点 y 轴 (5)四 作业设计1．C [根据幂函数的定义：形如y ＝x α的函数称为幂函数，选项C 中自变量x 的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C 不是幂函数．] 2．A [设幂函数为y ＝x α，依题意，12＝4α， 即22α＝2－1，∴α＝－12.∴幂函数为y ＝12x -，∴f (8)＝128-＝18＝122＝24.] 3．B [y ＝23x ＝3x 2，∴x ∈R ，y ≥0，f (－x )＝3(－x )2＝3x 2 ＝f (x )，即y ＝23x 是偶函数，又∵23<1，∴图象上凸．]4．B [作直线x ＝t (t >1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]5．A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y ＝25x 在x >0时是增函数，所以a >c ；y ＝(25)x 在x >0时是减函数，所以c >b .] 6．B [因为x ∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x |<1. 要使f (x )＝x α>|x |，x α在(－1,0)∪(0,1)上应大于0， 所以α＝－1,1显然是不成立的．当α＝0时，f(x)＝1>|x|；当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]7．④解析当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．8．(0，＋∞)解析y＝12x的定义域是[0，＋∞)，y＝x－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．9．m<－3 2解析由幂函数的性质知－2m－3>0，故m<－3 2.10．解考查函数y＝1.1x，∵1.1>1，∴它在(0，＋∞)上是增函数．又∵12>13，∴121.1>131.1.再考查函数y＝12x，∵12>0，∴它在(0，＋∞)上是增函数．又∵1.4>1.1，∴121.4>121.1，∴121.4>121.1>131.1.11．解由题意，得3m－7<0.∴m<7 3.∵m∈N，∴m＝0,1或2，∵幂函数的图象关于y轴对称，∴3m－7为偶数．∵m ＝0时，3m －7＝－7， m ＝1时，3m －7＝－4， m ＝2时，3m －7＝－1.故当m ＝1时，y ＝x －4符合题意．即y ＝x －4. 12．解 (1)若f (x )为正比例函数， 则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数， 则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1±2.13．解 设f (x )＝x α，则由题意，得 2＝(2)α，∴α＝2，即f (x )＝x 2. 设g (x )＝x β，由题意，得14＝(－2)β，∴β＝－2，即g (x )＝x －2.在同一平面直角坐标系中作出f (x )与g (x )的图象，如图所示． 由图象可知：(1)当x >1或x <－1时， f (x )>g (x )；(2)当x ＝±1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
2.3 幂函数[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列结论正确的是( ) A ．幂函数图象一定过原点B ．当α<0时，幂函数y ＝x α是减函数 C ．当α>1时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．函数y ＝x 2既是二次函数，也是幂函数解析：函数y ＝x －1的图象不过原点，故A 不正确；y ＝x －1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B 不正确；函数y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C 不正确．答案：D2．幂函数f (x )的图象过点(3，39)，则f (8)＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2解析：设幂函数f (x )＝x α(α为常数)，由函数的图象过点(3，39)，可得39＝3α，∴α＝23，则幂函数f (x )＝x 23，∴f (8)＝823＝4. 答案：C3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，3，12，－1，则使函数y ＝x α的定义域为R 且函数y ＝x α为奇函数的所有α的值为( )A ．－1,3B ．－1,1C ．1,3D ．－1,1,3解析：y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1是常见的五个幂函数，显然y ＝x α为奇函数时，α＝－1,1,3，又函数的定义域为R ，所以α≠－1，故α＝1,3.答案：C4．在下列四个图形中，y ＝x12-的图象大致是( )解析：函数y ＝x 12-的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.答案：D5．已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b解析：因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b <a <c .答案：A二、填空题(每小题5分，共15分) 6．已知幂函数f (x )＝x21m － (m ∈Z )的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________．解析：∵函数的图象与x 轴，y 轴都无交点， ∴m 2－1<0，解得－1<m <1； ∵图象关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0，∴f (x )＝x －1. 答案：f (x )＝x －17．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________． 解析：∵0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α， ∴y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α<0. 答案：(－∞，0)8．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：则不等式f (|x |)≤2解析：由表中数据知22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12，∴|x |12≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4. 答案：{x |－4≤x ≤4}三、解答题(每小题10分，共20分) 9．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )：(1)是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数．解析：(1)∵f (x )是幂函数， 故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)若f (x )是正比例函数， 则－5m －3＝1，解得m ＝－45.此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(3)若f (x )是反比例函数， 则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1. 10．比较下列各题中两个值的大小； (1)2.334，2.434； (2)(2)32-，(3)32-；(3)(－0.31)65，0.3565.解析：(1)∵y ＝x 34为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4， ∴2.334<2.434.(2)∵y ＝x 32-为(0，＋∞)上的减函数，且2<3，∴(2)32->(3)32-.(3)∵y ＝x 65为R 上的偶函数，∴(－0.31) 65＝0.3165. 又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35， ∴0.3165<0.3565，即(－0.31) 65<0.3565.[能力提升](20分钟，40分)11．已知函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝x c的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b解析：由幂函数的图象特征知，c <0，a >0，b >0.由幂函数的性质知，当x >1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a >b .综上所述，可知c <b <a . 答案：A12．已知幂函数f (x )＝x 223m m －－＋ (m ∈Z )为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则f (2)的值为________．解析：因为幂函数f (x )＝x 223m m －－＋ (m ∈Z )为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则指数是偶数且大于0，因为－m 2－2m ＋3＝－(m ＋1)2＋4≤4，因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m 非整数， 所以m ＝－1，即f (x )＝x 4. 所以f (2)＝24＝16. 答案：1613．比较下列各组数中两个数的大小．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1878与⎝ ⎛⎭⎪⎫1978； (2)352-与3.152-；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323-与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623-； (4)0.20.6与0.30.4.解析：(1)函数y ＝x 78在(0，＋∞)上单调递增， 又18>19，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978. (2)y ＝x52-在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，∴352->3.152-.(3)函数y ＝x23-是偶函数∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323- ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π623- ∵y ＝x 23-在(0，＋∞)为减函数23>π6∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2323-<⎝ ⎛⎭⎪⎫π623- ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323-<⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623-. (4)函数取中间值0.20.4，函数y ＝0.2x 在(0，＋∞)上为减函数，所以0.20.6<0.20.4； 又函数y ＝x 0.4在(0，＋∞)为增函数，所以0.20.4<0.30.4. ∴0.20.6<0.30.4. 14．已知幂函数f (x )＝x21()m m －＋ (m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解析：∵幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝221()m m －＋，即212＝221()m m －＋.∴m 2＋m ＝2. 解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )>f (a －1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.。
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3 错误!预习课本P77~78，思考并完成以下问题(1）幂函数是如何定义的？(2）幂函数的解析式具有什么特点？（3）常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？错误!1．幂函数的概念函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量,α是常数．[点睛］幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．2．常见幂函数的图象与性质解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝错误!y＝x错误!图象定义域R R R｛x｜x≠0｝［0，＋∞）值域R［0，＋∞）R｛y|y≠0｝[0,＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝错误!y＝x错误!单调性在(－∞，＋∞）上单调递增在(－∞，0]上单调递减,在(0，＋在（－∞，＋∞）上单调递增在(－∞，0）上单调递减，在（0,在[0，＋∞)上单调递增∞)上单调递增＋∞）上单调递减定点(1，1)[点睛］幂函数在区间(0,＋∞）上，当α〉0时，y＝xα是增函数；当α<0时,y＝xα是减函数．错误!1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数． ( ）(2）幂函数的图象必过点（0，0)(1，1）． ( ）（3)幂函数的图象都不过第二、四象限．（)答案：(1)√(2)×（3）×2．下列函数中不是幂函数的是（）A．y＝x B．y＝x3C．y＝2x D．y＝x－1答案：C3．已知f（x）＝(m－1）x22m m＋是幂函数，则m＝（）A．2 B．1C．3 D．0答案：A4．已知幂函数f（x）＝xα图象过点错误!，则f（4)＝________。
第二章 2.3 幂函数1．下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)3 解析：函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数． 答案：B2．函数y ＝x 43 的图象是( )解析：y ＝x 43 为偶函数，图象关于y 轴对称，又43＞1，在第一象限内，图象为下凸递增的．答案：A3．下列命题中，不正确的是( )A ．幂函数y ＝x －1是奇函数B ．幂函数y ＝x 2是偶函数C ．幂函数y ＝x 既是奇函数又是偶函数D ．y ＝x 12 既不是奇函数，又不是偶函数解析：∵x －1＝1x ，1－x ＝－1x，∴A 正确； (－x )2＝x 2，∴B 正确；－x ＝x 不恒成立，∴C 不正确；y ＝x 12 定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴D 正确．故选C.答案：C4．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.解析：f (－1)＝－a ＋2＝4，所以a ＝－2.答案：－25．幂函数f (x )＝x α的图象过点(3,9)，那么函数f (x )的单调增区间是________．解析：由题设知f (3)＝9，即3α＝9，∴α＝2.∴f (x )＝x 2，其增区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)6．已知函数y ＝(a 2－3a ＋2)x a 2－5a ＋5(a 为常数)．问：(1)a 为何值时此函数为幂函数？(2)a 为何值时此函数为正比例函数？解：(1)根据幂函数的定义，得a 2－3a ＋2＝1，即a 2－3a ＋1＝0，解得a ＝3±52.(2)根据正比例函数的定义，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a ＋5＝1，a 2－3a ＋2≠0，解得a ＝4.。
2.3 幂函数主动成长夯基达标1.下列函数中不是幂函数的是( ) A.y=x B.y=x 3 C.y=2x D.y=x -1 思路解析:根据幂函数的定义:形如y=x α的函数称为幂函数,可知C 不是幂函数.答案:C2. 下列命题中正确的是( )A.当α=0时,函数y=x α的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0)、(1,1)两点C.若幂函数y=x α的图象关于原点对称,则y=x α在定义域内y 随x 的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限思路解析:当α=0时,函数y=x α定义域为{x|x ≠0,x ∈R},其图象为两条射线,故A 不正确;当α<0时,函数y=x α的图象不过(0,0)点,故B 不正确;幂函数y=x -1的图象关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故C 不正确;幂函数的图象都不在第四象限,故D 正确.答案:D3. 幂函数y=x 43,y=x 31,y=x-43的定义域分别是M 、N 、P,则( ) A.M ⊂N ⊂PB.N ⊂M ⊂PC.M ⊂P ⊂ND.A 、B 、C 都不对答案：D4. 幂函数y=f(x)的图象过点(4,21),则f(8)的值等于. 思路解析:本题要想求得f(8)的值,必须要先求出幂函数的解析式.求幂函数的解析式一般采用待定系数法,∴要先设出幂函数的解析式.设f(x)=x a ,则21=4a ,a=-21. ∴f(x)=x -21,f(8)=8 -21=221=42. 答案: 42 5. 下列四个命题:①y=x-4是偶函数,在(0,+∞)上是减函数;②y=x 23是奇函数,在(0,+∞)上是增函数;③y=x -21是偶函数,在(0,+∞)上是减函数;④y=x -54是偶函数,在(0,+∞)上是减函数.其中正确的是( )A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④思路解析:本题可使用排除法,因为y=x -4是偶函数显然正确,且它在第一象限是单调递减也成立,所以要从A 、D 中选择,又知y=x 32即y=x 3显然x ≥0,不是奇函数,所以A 错.应选择D. 答案:D6. 已知函数f(x)=x a +m 的图象经过点(1,3),又其反函数图象经过点(10,2),则f(x)的解析式为_________.思路解析:本题考查了反函数的相关内容,注意到原函数与反函数的定义域与值域的关系可联立得到相应的方程组,进而得解.∵f(x)=x a +m 的图象经过点(1,3),∴3=1+m,即m=2.又∵其反函数图象经过点(10,2),∴10=2a +2,可解得a=3.∴f(x)的解析式为f(x)=x 3+2.答案:f(x)=x 3+2走近高考7.函数f(x)=x 21-的定义域是……( ) A. (-∞, 0］B.［0, +∞)C. (-∞, 0)D. (-∞, +∞)思路解析:本题考查函数的定义域,指数函数的性质等知识点.由题意得1-2x ≥0,即2x ≤1.∴x ≤0,即x ∈(-∞,0］.答案:A8.函数y=(-21+x )-21的定义域是( ) A. (-∞,-1)B. (-∞,-1］C. (1, +∞)D.［1, +∞)思路解析:求函数的定义域就是求使函数有意义的自变量的取值范围,由于指数为-21,因此本题的限制条件就只有一个,即底数-21+x 必须为正数.依题意得-21+x >0⇒x+1<0⇒x<-1, ∴函数y=(-21+x )-21的定义域是(-∞,-1). 因此,选A. 答案:A9.已知实数a 、b 满足等式(21)a =(31)b ,下列五个关系式: ①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b,其中不可能成立的关系式有( )A.1个B.2个C.3个D.4个思路解析:本题涉及指数函数幂函数的若干知识.a 、b 均大于零时,要满足等式,必有a>b;a 、b 均小于零时,要满足等式,必有a<b;a=b=0时,显然等式成立.因此不可能成立的关系式为③④.答案:B10. 下列函数中是幂函数的是( )A. y=x xB. y=3x 21C. y=x 21+1D. y=x 2-思路解析:根据幂函数的基本形式为y=x n 易得到答案.答案: D11. 幂函数y=x n (n ∈Q)的图象一定经过点( )A. (0, 0)B. (1, 1)C. (-1, -1)D. (0, 1)思路解析:本题主要考查了幂函数的图象的性质.答案:B12. 已知0<a<1,则a a ,(a a ) a , a (aa)的大小关系为__________________.思路解析:为比较a a 与(a a ) a 的大小,将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f(x)=xa (0<a<1)在区间［0,+∞)上是增函数,因此只需比较底数a 与a a 的大小.由于指数函数y=a z (0<a<1)是减函数,且a<1,所以a<a a ,从而a a <(a a ) a .比较a a 与(a a ) a 的大小,也可将它们看成底数相同(都是a a )的两个幂,于是可以利用指数函数y=b x (b=a a ,0<b<1)是减函数,由a<1,得到a a <(a a ) a .由于a<a a ,函数y=a z (0<a<1)是减函数,因此a a >a (aa).答案:a (aa)<a a <(a a ) a13. T 1=(21)32,T 2=(51)32,T 3=(21)31,则下列关系式正确的是( ) A. T 1<T 2<T 3B. T 3< T 1< T 2C. T 2< T 3< T 1D. T 2< T 1<T 3思路解析:幂函数y=x 32在第一象限内为增函数,故T 2<T 1;又指数函数y=(21)x 在(0,+∞)上为减函数,故T 1<T 3. 答案: D14. 幂函数y=x m2-2m-3(m ∈Z)的图象关于y 轴对称,且与x 轴、y 轴均无交点,求此函数解析式.思路解析:由于图象关于y 轴对称,∴此函数为偶函数且与x 轴、y 轴无交点.∴是双曲线型,即幂函数y=x m2-2m-3(m ∈Z)的指数部分m 2-2m-3<0.解:由题意,得m 2-2m-3<0,∴-1<m<3.∵m ∈Z,∴m=0、1或2.∵幂函数的图象关于y 轴对称,∴m 2-2m-3为偶数.∵当m=0或2时,m 2-2m-3为-3;当m=1时,m 2-2m-3为偶数-4,∴y=x -4.15. （经典回放）对于幂函数f(x)=x 54,若0<x 1<x 2,则f(221x x +),x x f x f )()(21+的大小关系是( )A. f(221x x +)>x x f x f )()(21+ B. f(221x x +)<x x f x f )()(21+ C. f(221x x +)=x x f x f )()(21+ D.无法确定思路解析:根据幂函数f(x)=x 54,它的图象为单调缓慢递增(见下图).可知A点的纵坐标为221yy+,B点的纵坐标为f(221xx+),显然221yy+<f(221xx+).答案:B。
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数课时作业新人教A版必修12.3 幂函数选题明细表知识点、方法题号幂函数的定义3,5幂函数的图象4,10,11,13幂函数的性质1,2,6,7,8,9,12基础巩固1.(2018·北京海淀期末)若幂函数y=f(x)的图象经过点(-2,4),则在定义域内( C )(A)为增函数 (B)为减函数(C)有最小值 (D)有最大值解析:设幂函数f(x)=xα,由f(-2)=4,得(-2)α=4=(-2)2,所以α=2,即f(x)=x2,则在定义域内有最小值0,故选C.2.(2019·呼和浩特市一中高一上期中)下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的奇函数是( D )(A)y= (B)y=(C)y=x-1 (D)y=解析:函数y=不是奇函数,y=x-1不过点(0,0),而y=是偶函数,只有y=满足条件,故选D.3.(2019·宁夏银川一中高一上期中)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)x m在(0,+∞)上是增函数,则实数m等于( A )(A)2 (B)-1 (C)-1或2 (D)解析:由m2-m-1=1知m2-m-2=0.故m=2或m=-1,由于f(x)在(0,+∞)上是增函数,舍去m=-1,故选A.4.(2018·重庆綦江联考)函数y=()-3的图象是( C )解析:函数y=()-3可化为y=x3,当x=时,求得y=<,选项B,D不合题意,可排除选项B,D;当x=2时,求得y=8>1,选项A不合题意,可排除选项A,故选C.5.(2019·湖北省重点中学协作体高一上期中)已知幂函数f(x)=kxα的图象过点(,),则k+α等于( A )(A)(B)1 (C)(D)2解析:f(x)=kxα(k∈R,α∈R)是幂函数,则k=1,又图象过点(,),则由()α=知α=-,故k+α=.6.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是( D )(A)y= (B)y=(C)y= (D)y=解析:y==,定义域、值域都为R,y=的定义域、值域也为R,y==定义域与值域都为(0,+∞),D中y==定义域为R,而值域为[0,+∞),故选D.7.三个数a=(),b=(),c=()的大小顺序是( B )(A)c<a<b (B)c<b<a(C)a<b<c (D)b<a<c解析:因为-<-,所以a=()>()=b.因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,所以b=()>()=c,所以a>b>c.故选B.8.若幂函数f(x)的图象过点(4,),则f(x)的值域为.解析:由题意设f(x)=x m,由点(4,)在函数图象上得4m=,解得m=-2.所以f(x)=x-2=,故其值域为(0,+∞).答案:(0,+∞)能力提升9.有四个幂函数,①f(x)=x-1;②f(x)=x-2;③f(x)=x3;④f(x)=.某同学研究了其中的一个函数,他给出这个函数的三个性质:(1)偶函数;(2)值域是{y|y∈R,且y≠0};(3)在(-∞,0)上是增函数.如果他给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数是( B )(A)①(B)②(C)③(D)④解析:①f(x)=x-1只满足(2)值域是{y|y∈R,且y≠0},③f(x)=x3只满足(3)在(-∞,0)上是增函数,④f(x)=只满足(3)在(-∞,0)上是增函数.②f(x)=x-2是偶函数,在(-∞,0)上是增函数,但其值域是{y|y>0},满足条件,故选B.10.在同一坐标系内,函数y=x a(a≠0)和y=ax-的图象可能是( C )解析:当a<0时,函数y=ax-在R上是减函数,与y轴相交于点(0,-),此点在y轴的正半轴上,只有选项B适合;但此时函数y=x a在(0,+∞)上是减函数,所以选项B不适合.当a>0时,函数y=ax-在R上是增函数,与y轴相交于点(0,-),此点在y轴的负半轴上,只有选项A,C适合,此时函数y=x a在(0,+∞)上是增函数,进一步判断只有选项C适合.故选C.11.如图,幂函数y=x3m-7(m∈N)的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点,则此函数的解析式为.解析:由题意,得3m-7<0,所以m<.因为m∈N,所以m=0,1或2,因为幂函数的图象关于y轴对称,所以3m-7为偶数,因为m=0时,3m-7=-7,m=1时,3m-7=-4,m=2时,3m-7=-1,所以当m=1时,y=x-4符合题意,故y=x-4.答案:y=x-412.已知幂函数f(x)=(m∈N*).(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若该函数还经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.解:(1)m2+m=m(m+1),m∈N*,而m与m+1中必有一个为偶数,所以m(m+1)为偶数.所以函数f(x)=(m∈N*)的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.(2)因为函数f(x)经过点(2,),所以=,即=,所以m2+m=2.解得m=1或m=-2.又因为m∈N*,所以m=1.由f(2-a)>f(a-1)得解得1≤a<.所以实数a的取值范围为[1,).探究创新13.给出幂函数①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=;⑤f(x)=.其中满足条件f()>(x1>x2>0)的函数的个数是( A )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:由题意可知,当x>0时,f(x)的图象是凸形曲线.①函数f(x)=x的图象是一条直线,故当x1>x2>0时,f()=;②函数f(x)=x2的图象是凹形曲线,故当x1>x2>0时,f()<;③在第一象限,函数f(x)=x3的图象是凹形曲线,故当x1>x2>0时,f()<;④函数f(x)=的图象是凸形曲线,故当x1>x2>0时,f()>;⑤在第一象限,函数f(x)=的图象是一条凹形曲线,故当x1>x2>0时,f()<.故仅有④满足条件,选A.。
2.3 幂函数A 级 根底稳固一、选择题1．以下函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x3C ．y ＝22xD ．y ＝x －1解析：显然C 中y ＝22x＝4x，不是y ＝x α的形式，所以不是幂函数，而A ，B ，D 中的α分别为12，3，－1，符合幂函数的构造特征．答案：C2．以下函数中既是偶函数又在(－∞，0)上是增函数的是( )A ．y ＝x 43 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －2D ．y ＝x －14解析：对于幂函数y ＝x α，如果它是偶函数，当α<0时，它在第一象限为减函数，在第二象限为增函数，那么C 选项正确．答案：C3．幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x －12在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 4，C 1，C 3，C 2 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 3解析：由于在第一象限内直线x ＝1的右侧时，幂函数y ＝x α的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图象为C 1，同理，y ＝x －1在第一象限的图象为C 4，y ＝x 13在第一象限内的图象为C 2，y ＝x －12在第一象限内的图象为C 3.答案：D4．幂函数y ＝f (x )的图象过(4，2)点，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A. 2B.12C.14D.22解析：设幂函数f (x )＝x α，由图象经过点(4，2)， 可得4α＝2，即22α＝2， 所以2α＝1，α＝12，即f (x )＝x 12. 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝22.答案：D5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，那么a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <bD ．b <c <a解析：由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在它的定义域R 上是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535>0.由于函数y ＝x 25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，故a ，b ，c 的大小关系是b <a <c .答案：B 二、填空题6．给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为________．解析：设f (x )＝x α，那么f (m ＋n )＝(m ＋n )α，f (m )＋f (n )＝m α＋n α，f (m )·f (n )＝m α·nα＝(mn )α，f (mn )＝(mn )α，所以f (mn )＝f (m )·f (n )一定成立，其他三个不一定成立，故填③.答案：③ 7．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，那么m 等于________．解析：因为幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，即m <53，又m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数， 当m ＝0时，f (x )＝x －5，是奇函数； 当m ＝1时，f (x )＝x －2，是偶函数． 所以m ＝1. 答案：18．假设f (x )＝x α是幂函数，且满足f 〔4〕f 〔2〕＝3，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________． 解析：因为f 〔4〕f 〔2〕＝3，所以4α2α＝3，即2α＝3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2－α＝3－1＝13.答案：13三、解答题9．函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时：(1)f (x )是幂函数？ (2)f (x )是正比例函数？ (3)f (x )是反比例函数？ (4)f (x )是二次函数？ 解：(1)因为f (x )是幂函数， 故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)假设f (x )是正比例函数， 那么－5m －3＝1，解得m ＝－45.此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(3)假设f (x )是反比例函数， 那么－5m －3＝－1，那么m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(4)假设f (x )是二次函数，那么－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.10．幂函数f (x )的图象过点(25，5)． (1)求f (x )的解析式；(2)假设函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域． 解：(1)设f (x )＝x α，那么由题意可知25α＝5， 所以α＝12，所以f (x )＝x 12.(2)因为g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ， 所以要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0， 即lg x ≤2，解得0<x ≤100. 所以g (x )的定义域为(0，100]，又2－lg x ≥0，所以g (x )的值域为[0，＋∞)．B 级 能力提升1．对于幂函数f (x )＝x 45，假设0<x 1<x 2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f 〔x 1〕＋f 〔x 2〕2的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f 〔x 1〕＋f 〔x 2〕2B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f 〔x 1〕＋f 〔x 2〕2 C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f 〔x 1〕＋f 〔x 2〕2 D ．无法确定解析：幂函数f (x )＝x 45在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如下图．设A (x 1，0)，C (x 2，0)，其中0<x 1<x 2，那么AC 的中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)， |EF |＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.因为|EF |>12(|AB |＋|CD |)，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f 〔x 1〕＋f 〔x 2〕2.答案：A2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≤03a －x 12，x >0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，那么实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，由f (x )＝a x为减函数，知0<a <1；当x >0时，由f (x )＝3a －x 12为减函数，知a ∈R ，且要满足a 0≥3a ，解得a ≤13.综上，可知实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，133．幂函数f (x )＝x1m 2＋m(m ∈N *)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)假设该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 所以m 与m ＋1必定有一个为偶数， 所以m 2＋m 为偶数，所以函数f (x )＝x 1m 2＋m (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在其定义域上为增函数． (2)因为函数f (x )经过点(2，2)， 所以2＝21m 2＋m ，即212＝21m 3＋m ，所以m 2＋m ＝2，即m 2＋m －2＝0. 所以m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1.因为f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.故m 的值为1，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.。
第二章 2.3 幂函数1．下列函数是幂函数的是( )A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)3 解析：函数y ＝5x 是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数． 答案：B2．函数y ＝x 43 的图象是( )解析：y ＝x 43 为偶函数，图象关于y 轴对称，又43＞1，在第一象限内，图象为下凸递增的．答案：A3．下列命题中，不正确的是( )A ．幂函数y ＝x －1是奇函数B ．幂函数y ＝x 2是偶函数C ．幂函数y ＝x 既是奇函数又是偶函数D ．y ＝x 12 既不是奇函数，又不是偶函数解析：∵x －1＝1x ，1－x ＝－1x，∴A 正确； (－x )2＝x 2，∴B 正确；－x ＝x 不恒成立，∴C 不正确；y ＝x 12 定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴D 正确．故选C.答案：C4．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.解析：f (－1)＝－a ＋2＝4，所以a ＝－2.答案：－25．幂函数f (x )＝x α的图象过点(3,9)，那么函数f (x )的单调增区间是________．解析：由题设知f (3)＝9，即3α＝9，∴α＝2.∴f (x )＝x 2，其增区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)6．已知函数y ＝(a 2－3a ＋2)x a 2－5a ＋5(a 为常数)．问：(1)a 为何值时此函数为幂函数？(2)a 为何值时此函数为正比例函数？解：(1)根据幂函数的定义，得a 2－3a ＋2＝1，即a 2－3a ＋1＝0，解得a ＝3±52.(2)根据正比例函数的定义，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a ＋5＝1，a 2－3a ＋2≠0，解得a ＝4.。
幂函数(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2017·成都高一检测)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则f(log216)= ( )A.2B.C.D.【解析】选A.因为f(2)=,所以2α=,即α=,所以f(log216)=f(4)==2.2.(2017·临沂高一检测)函数y=的图象大致是( )【解析】选D.因为y==,所以定义域为(0,+∞),故D正确.3.下列说法:①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0);②幂函数的图象不可能在第四象限;③n=0,函数y=x n的图象是一条直线;④幂函数y=x n当n>0时,是增函数;⑤幂函数y=x n当n<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小.正确的为( )A.①④B.④⑤C.②③D.②⑤【解析】选D.y=x-1不过(0,0)点,所以①错误,排除A;当n=0时,y=x n的图象为除去一点的直线,③错误,排除C;y=x2不是增函数,④错误,排除B;因此答案选D.4.(2017·兰州高一检测)幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m 等于( )A.0B.1C.2D.0或1【解析】选B.因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以3m-5<0,即m<,又m∈N,所以m=0,1,又因为f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数,故m=1.5.下列幂函数为偶函数的是( )A.y=B.y=C.y=x2D.y=x-1【解析】选C.y==为非奇非偶函数,y=与y=x-1是奇函数,y=x2是偶函数.6.设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3【解析】选A.因为函数y=xα的定义域为R,且为奇函数,所以α>0且为奇数.7.(2017·郑州高一检测)已知f(x)=,若0<a<b<1,则下列各式中正确的是( )A.f(a)<f(b)<f<fB.f<f<f(b)<f(a)C.f(a)<f(b)<f<f。
2.3 幂函数一、A组1.幂函数y=x m与y=x n在第一象限内的图象如图所示,则()A.n>0,0<m<1B.n<0,0<m<1C.n>0,m>1D.n<0,m>1答案:B2.函数y=3xα-2的图象过定点()A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)答案:A3.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数的是()A.f(x)=x-1B.f(x)=x-2C.f(x)=x3D.f(x)=答案:C4.已知a=1.,b=0.,c=,则()A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b解析:b=0.,c==1.,∵>0,且1.2>>1.1,∴1.>1.,即a>b>c.答案:A5.已知当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是()A.0<α<1B.α<0C.α<1D.α>1解析:由幂函数的图象特征知α<1.答案:C6.函数y=x-2在区间上的最大值为.解析:∵函数y=x-2在区间上是减函数,故该函数在区间上的最大值为=4.7.已知函数y=(m2-9m+19)x2m-9是幂函数,且图象不过原点,则m=.解析:令m2-9m+19=1,得m=3或m=6.当m=6时,原函数为y=x3过原点,不合题意,舍去.故m=3.答案:38.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是.解析:由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9,即明文是9.答案:99.已知函数y=(a2-3a+2)(a为常数),问:(1)当a为何值时,此函数为幂函数?(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?分析:根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定义求解.解:(1)由题意知a2-3a+2=1,即a2-3a+1=0,解得a=.(2)由题意知解得a=4.(3)由题意知解得a=3.10)已知函数h(x)=(m2-5m+1)x m+1为幂函数,且为奇函数.(1)求m的值;(2)求函数g(x)=h(x)+在区间上的值域.解:(1)∵函数h(x)=(m2-5m+1)x m+1为幂函数,∴m2-5m+1=1,解得m=0或m=5.∵h(x)为奇函数,∴m=0.(2)由(1)可知,g(x)=x+,令=t,则x=.∵x∈,∴t∈[0,1].∴g(t)=-t2+t+=-(t-1)2+1,易知其值域为.二、B组1.(2016·浙江杭州高一期末)已知幂函数f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的图象经过点,则k+α=()A. B.1 C. D.2解析:∵幂函数f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的图象经过点,∴k=1,,∴α=-.∴k+α=1-.故选A.2.已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则m的值可能为()A.0,1,2B.0,2C.1,2D.1解析:当m=0或m=2时,f(x)=x-3为奇函数,排除A,B,C选项.故选D.答案:D3.下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是()A.f(x)=B.f(x)=x2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-x解析:由偶函数的定义知,A,B为偶函数,易知f(x)=在区间(-∞,0)上单调递增,f(x)=x2+1在区间(-∞,0)上单调递减,故选A.答案:A4.已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上,则当x=时,有f(x)>g(x).解析:设f(x)=xα,g(x)=xβ,由题意,得2=()α,即α=2;-=(-2)β,即β=-1.作出f(x)与g(x)的图象如图所示.从图中可看出当x<0或x>1时,f(x)>g(x).答案:(-∞,0)∪(1,+∞)5.若(a+1<(2a-2,则实数a的取值范围是.解析:∵幂函数y=在R上为增函数,(a+1,∴a+1<2a-2,∴a>3.答案:(3,+∞)6.若函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在区间[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在区间[0,+∞)上是增函数,则a=.解析:当a>1时,有a2=4,a-1=m,此时a=2,m=,此时g(x)=-在区间[0,+∞)上为减函数,不合题意;若0<a<1,则a-1=4,a2=m,故a=,m=,检验知符合题意.答案:7.导学号29900111已知f(x)=,g(x)=(其中a>0,且a≠1).(1)由5=2+3,请你探究g(5)能否用f(2),g(2),f(3),g(3)来表示;(2)如果你在(1)中获得了一个结论,请探究能否将其推广.解:(1)∵g(5)=,而f(2)g(3)+g(2)f(3)==(a5+a-a-1-a-5+a5-a+a-1-a-5)=(a5-a-5),∴g(5)=f(2)g(3)+g(2)f(3).(2)由(1)可得g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).证明:f(x)g(y)+g(x)f(y)==(a x+y+a y-x-a x-y-a-y-x+a x+y-a y-x+a x-y-a-x-y)=(a x+y-a-x-y)=g(x+y).8)已知幂函数f(x)=(k∈N*)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上是减函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若a>k,比较(ln a)0.7与(ln a)0.6的大小.解:(1)因为幂函数f(x)=(k∈N*)在区间(0,+∞)上是减函数,所以k2-2k-3<0,解得-1<k<3.因为k∈N*,所以k=1,2.又因为幂函数f(x)=(k∈N*)的图象关于y轴对称,所以k=1,函数的解析式为f(x)=x-4.(2)由(1)知,a>1.当1<a<e时,0<ln a<1,(ln a)0.7<(ln a)0.6;当a=e时,ln a=1,(ln a)0.7=(ln a)0.6;当a>e时,ln a>1,(ln a)0.7>(ln a)0.6.故当1<a<e时,(ln a)0.7<(ln a)0.6;当a=e时,(ln a)0.7=(ln a)0.6;当a>e时,(ln a)0.7>(ln a)0.6.。
1 /312018-2019学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数练习 新人教A 版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数练习 新人教A 版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二章2。
3 幂函数1．下列函数是幂函数的是（）A．y＝5x B．y＝x5C．y＝5x D．y＝（x＋1)3解析：函数y＝5x是指数函数，不是幂函数;函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝（x＋1）3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．答案：B2．函数y＝x错误!的图象是（)解析：y＝x错误!为偶函数，图象关于y轴对称，又错误!＞1,在第一象限内，图象为下凸递增的．答案:A3．下列命题中，不正确的是( ）A．幂函数y＝x－1是奇函数B．幂函数y＝x2是偶函数C．幂函数y＝x既是奇函数又是偶函数D．y＝x错误!既不是奇函数，又不是偶函数解析：∵x－1＝错误!，错误!＝－错误!，∴A正确；(－x)2＝x2,∴B正确;－x＝x不恒成立,∴C不正确；y＝x错误!定义域为［0,＋∞），不关于原点对称,∴D正确．故选C.答案:C4．已知函数f（x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4），则a＝________。
解析:f(－1)＝－a＋2＝4,所以a＝－2。
答案：－25．幂函数f(x)＝xα的图象过点(3，9)，那么函数f(x）的单调增区间是________．2 / 32解析：由题设知f（3)＝9，即3α＝9，∴α＝2.∴f(x）＝x2，其增区间为[0，＋∞)．答案：[0,＋∞)6．已知函数y＝(a2－3a＋2）x a2－5a＋5（a为常数)．问：（1）a为何值时此函数为幂函数?(2）a为何值时此函数为正比例函数?解：(1）根据幂函数的定义,得a2－3a＋2＝1，即a2－3a＋1＝0，解得a＝错误!.（2)根据正比例函数的定义，得错误!解得a＝4。
