中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习附答案
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中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题附详细答案中考数学压轴题专题:圆的综合一、圆的综合1.如图,⊙O的半径为6cm,经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B,作∠ACO的平分线交⊙O于点D,交OA于点F,延长DA交BC于点E。
1) 求证:AC∥OD;2) 如果DE⊥BC,求AC的长度。
答案】(1) 证明见解析;(2) 2π。
解析】试题分析:(1) 由OC=OD,CD平分∠ACO,易证得∠ACD=∠ODC,即可证得AC∥OD;(2) BC切⊙O于点C,DE⊥BC,易证得平行四边形ADOC是菱形,继而可证得△AOC是等边三角形,则可得:∠AOC=60°,继而求得弧AC的长度。
试题解析:1) 证明:因为OC=OD,所以∠OCD=∠XXX。
因为CD平分∠ACO,所以∠XXX∠ACD。
因此,∠ACD=∠ODC,即可证得AC∥OD。
2) 因为BC切⊙XXXC,所以XXX。
因为DE⊥BC,所以OC∥DE。
因为AC∥OD,所以四边形ADOC是平行四边形。
因为OC=OD,所以平行四边形ADOC是菱形,所以OC=AC=OA。
因为△AOC是等边三角形,所以∠AOC=60°,因此弧AC的长度为2π。
点睛:本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式。
此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用。
2.(类比概念) 三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心,以这点到三边的距离为半径的圆,则三角形可以称为圆的外切三角形,可以得出三角形的三边与该圆相切。
以此类推,如图1,各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形。
性质探究) 如图1,试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB,CD与BC,AD之间的数量关系。
猜想结论:(要求用文字语言叙述)写出证明过程(利用图1,写出已知、求证、证明)性质应用)①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形(填序号):A:平行四边形;B:菱形;C:矩形;D:正方形。
2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴题》解答题专题训练(附答案)1.如图.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边的中点,连接CD.以CD为直径作⊙O,分别与AC,BC相交于点M,N.过点N作⊙O的切线交AB于点E.(1)求证:∠BEN=90°.(2)若AB=10,请填空:①迮接OE,ON,当NE=时,四边形OEBN是平行四边形;②连接DM,DN,当AC=时,四边形CMDN为正方形.2.如图,以AB为直径的半圆中,点O为圆心,点C在圆上,过点C作CD∥AB,且CD =OB.连接AD,分别交OC,BC于点E,F,与⊙O交于点G,若∠ABC=45°.(1)求证:①△ABF∽△DCF;②CD是⊙O的切线.(2)求的值.3.如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,点D为半径OA上一点,过点D作AB的垂线交AC于点E,交BC的延长线于点P,点F在线段PE上,且PF=CF.(1)求证:CF是⊙O的切线;(2)连接AP与⊙O相交于点G,若∠ABC=2∠P AC,求证:AB=BP;(3)在(2)的条件下,若AC=4,BC=3,求CF的长.4.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,⊙O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由;(2)若⊙O的半径为6,AF=2,求AC的长;(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.5.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作EF⊥AC于点E,交AB的延长线于点F,连接AD.(1)求证:EF是⊙O的切线.(2)求证:△FBD∽△FDA.(3)若DF=4,BF=2,求⊙O的半径长.6.如图1,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,过O点作OF⊥AB交⊙O于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点F,点G是EF的中点,连接CG.(1)判断CG与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)求证:2OB2=BC•BF;(3)如图2,当∠DCE=2∠F,DG=2.5时,求DE的长.7.已知:△ABC内接于⊙O,连接AO并延长交BC于点D,且AD⊥BC于点D.(1)如图1,求证:∠B=∠C;(2)如图2,点E在上,连接AE,CE,∠ACE=∠ACB,求证:∠CAE=2∠ACE;(3)如图3,在(2)的条件下,过点A作AF⊥CE交CE的延长线于点F,若AE=5,AB=13,求AF的长.8.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,∠B=30°,点M是AB上的动点,以M为圆心,MB为半径作圆交BC于点D,(1)若圆M与AC相切,如图1,求圆的半径;(2)若AM=2MB,连接AD,如图2.①求证:AD与圆M相切;②求阴影部分的面积.9.如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,D是AB上的一点,DE⊥AB于D,DE交BC于F,且EF=EC.(1)求证:EC是⊙O的切线;(2)求证:△OAC∽△ECF;(3)若BD=4,BC=8,圆的半径OB=5,求EC的长.10.如图,已知以BC为斜边的Rt△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E,连接DB,DC.(1)求证:ED为⊙O的切线;(2)求证:BC2=2ED•FC;(3)若tan∠ABC=2,AD=,求BC的长.11.已知△ABC内接于⊙O,D是弧AC上一点,连接BD、AD,BD交AC于点M,∠BMC =∠BAD.(1)如图1,求证:BD平分∠ABC;(2)如图2,过点D作⊙O的切线,交BA的延长线于点F,求证:DF∥AC;(3)如图3,在(2)的条件下,BC是⊙O的直径,连接DC,AM=1,DC=,求四边形BFDC的面积.12.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,P为弧AD上一点.(1)如图1,连接AC、PC、P A,求证:∠APC=∠ACD;(2)如图2,连接PB,PB交CD于E,过点P作⊙O的切线交CD的延长线于点F,求证:FE=PF;(3)如图3,在(2)的条件下,连接AE,且∠P AE=∠F,过点A作AG⊥PF,垂足为G,若PG=6,,求BH的长.13.如图,⊙O的半径为1,点A是⊙O的直径BD延长线上的一点,C为⊙O上的一点,AD=CD,∠A=30°.(1)求证:直线AC是⊙O的切线;(2)求△ABC的面积;(3)点E在上运动(不与B、D重合),过点C作CE的垂线,与EB的延长线交于点F.①当点E运动到与点C关于直径BD对称时,求CF的长;②当点E运动到什么位置时,CF取到最大值,并求出此时CF的长.14.如图所示,AB是⊙O的直径,点E为线段OB上一点(不与O,B重合),作CE⊥OB,交⊙O于点C,垂足为点E,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AF ⊥PC于点F,连接CB.(1)求证:AC平分∠F AB.(2)求证:BC2=CE•CP.(3)当AB=4时,求劣弧BC长度(结果保留π).15.已知:如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,OF⊥BC于点F,交⊙O于点E,AE与BC交于点H,连接CE,BD是⊙O的切线与OE的延长线相交于点D.(1)求证:∠D=∠AEC;(2)求证:CE2=EH•EA;(3)若⊙O的半径为5,,求FH的长.16.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,8),点B是x轴正半轴上一点,连接AB,过点A作AC⊥AB,交x轴于点C,点D是点C关于点A的对称点,连接BD,以AD为直径作⊙Q交BD于点E,连接并延长AE交x轴于点F,连接DF.(1)求线段AE的长;(2)若∠ABE=∠FDE,求EF的值.(3)若AB﹣BO=4,求tan∠AFC的值.17.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AE平分∠BAC,交BC于点E,点D在AC上,以AD为直径的⊙O经过点E,点F在⊙O上,且EF平分∠AED,交AC于点G,连接DF.(1)求证:△DEF∽GDF;(2)求证:BC是⊙O的切线;(3)若cos∠CAE=,DF=10,求线段GF的长.18.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是⊙O的直径,过圆心O的直线PF⊥AB于D,交⊙O于E,F,PB是⊙O的切线,B为切点,连接AP,AF.(1)求证:直线P A为⊙O的切线;(2)求证:AC2=4OD•OP;(3)若BC=6,,求AC的长.19.如图,AB是半圆O的直径,AB=10.C是弧AB上一点,连接AC,BC,∠ACB的平分线交AB于点P,过点P分别作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别为E、F.(1)求证:四边形CEPF是正方形;(2)当sin A=时,求CP的长;(3)设AP的长为x,图中阴影部分的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出y 的最大值.20.问题提出(1)如图①,△ABC为等边三角形,若AB=2,则△ABC的面积为.问题探究(2)如图②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=3,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE⊥BD交BC边于点E.若AD=1,求图中阴影部分的面积.问题解决(3)如图③,是某公园的一个圆形施工区示意图,其中⊙O的半径是4米,公园开发部门计划在该施工区内设计一个四边形绿化区域ABCD,连接AC、BD,现准备在△ADC 区域种植花卉供游人欣赏.按设计要求,A、B、C、D四个点都在圆上,∠ADB=∠BDC =60°.设BD的长为x米,△ADC的面积为y平方米.①求y与x之间的函数关系式;②按照设计要求,为让游人有更好的观赏体验,△ADC花卉区域的面积越大越好,那么请求出花卉区域△ADC面积的最大值.参考答案1.(1)证明:如图,连接ON,DN,∵CD是⊙O的直径,∴∠CND=∠DNB=90°,∵NE是⊙O的切线,∴∠ONE=90°,∴∠BNE=∠OND,∵ON=OD,∴∠ODN=∠OND,∴∠ODN=∠BNE,∵D是斜边AB的中点,∴CD=AD=BD,∴∠B=∠BCD,∵∠BCD+∠ODN=90°,∴∠B+∠BNE=90°,∴∠NEB=90°;(2)解:①∵四边形OEBN是平行四边形,∴BE=ON=,∵E为BD的中点,∴N为BC的中点,∴NE为△BCD的中位线,∴NE∥CD,且NE=CD=.故答案为:;②∵四边形CMDN为正方形,∴∠MCD=∠MDC=45°,∠CMD=90°,∴MC=MD=CD,∵AD=DC,∴M是AC的中点,AC=2MC=CD,∴CD=AB=5,∴AC=5.故答案为:5.2.(1)证明:①∵CD∥AB,∴∠F AB=∠D,∵∠AFB=∠DFC,∴△ABF∽△DCF;②∵∠ABC=45°,∴∠AOC=2∠ABC=90°,∵CD∥AB,∴∠DCO=∠AOC=90°,∵OC是半圆的半径,∴CD是⊙O的切线;(2)解:过点F作FH∥AB交OC于H,设圆的半径为2a,∵CD=OB=OA,CD∥AB,∴CE=OE=a,AE=DE,由勾股定理得:AE==a,∴AD=2a,∵△ABF∽△DCF,∴==,∵FH∥AB,∴==,∵FH∥AB,∴==,∴EF=,∵CD是⊙O的切线,∴DC2=DG•DA,即(2a)2=DG•2a,解得:DG=,∴FG=a﹣﹣=,∴==.3.(1)证明:连接OC,∵PF=FC,OC=OB,∴∠PCF=∠CPF,∠OCB=∠OBC,∵PD⊥AB,∴∠PDB=90°,∴∠CPF+∠OBC=90°,∴∠PCF+∠OCB=90°,∴∠FCO=90°,∴OC⊥CF,∴CF是⊙O的切线.(2)证明:连接BG,∵,∴∠P AC=∠PBG,∵∠PBA=2∠P AC,∴∠PBA=2∠PBG,∵AB为⊙O的直径,∴∠AGB=∠PGB=90°,∴∠APB=∠P AB,∴AB=BP;(3)解:∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵AC=4,BC=3,∴AB===5,∴AB=BP=5,∴PC=2,∵∠PDA=∠PCA=90°,P A=P A,∠APB=∠P AB,∴△APC≌△APD(AAS),∴AD=PC=2,PD=AC=4,∠P AC=∠APD,∴AE=PE,设DE=x,AE=PE=4﹣x,在Rt△AED中,AD2+DE2=AE2,即22+x2=(4﹣x)2,解得x=,∴EP=4﹣x=,∵∠PEC=90°﹣∠EPC,∠FCE=90°﹣∠PCF,即∠PEC=∠FCE,∴EF=CF=PF,∴CF=.4.解:(1)直线AF与⊙O相切.理由如下:连接OC,∵PC为圆O切线,∴CP⊥OC,∴∠OCP=90°,∵OF∥BC,∴∠AOF=∠B,∠COF=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OCB=∠B,∴∠AOF=∠COF,∵在△AOF和△COF中,,∴△AOF≌△COF(SAS),∴∠OAF=∠OCF=90°,∴AF⊥OA,又∵OA为圆O的半径,∴AF为圆O的切线;(2)∵∠AOF=∠COF,OA=OC,∴E为AC中点,即AE=CE=AC,OE⊥AC,∵∠OAF=90°,OA=6,AF=2,∴tan∠AOF=,∴∠AOF=30°,∴AE=OA=3,∴AC=2AE=6;(3)∵AC=OA=6,OC=OA,∴△AOC是等边三角形,∴∠AOC=60°,OC=6,∵∠OCP=90°,∴CP=OC=6,∴S△OCP=OC•CP==18,S扇形AOC==6π,∴阴影部分的面积为S△OCP﹣S扇形AOC=18﹣6π.5.(1)证明:连接OD,如图所示:∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴CD=BD=BC.∵OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC.∵EF⊥AC,∴EF⊥OD.∵OD是半径,∴EF与⊙O相切.(2)证明:∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴∠BAD+∠ABD=90°,∵OD⊥DE,∴∠FDB+∠ODB=90°,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∴∠BAD=∠FDB,∵∠F=∠F,∴△FBD∽△FDA;(3)解:设⊙O的半径为r,则AB=2r,∵△FBD∽△FDA,∴,∵DF=4,BF=2,∴,∴r=3.6.解:(1)CG与⊙O相切,理由如下:如图1,连接CO,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ACF=90°,∵点G是EF的中点,∴GF=GE=GC,∴∠AEO=∠GEC=∠GCE,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∵OF⊥AB,∴∠OAC+∠AEO=90°,∴∠OCA+∠GCE=90°,即OC⊥GC,∵OC是圆的半径,∴CG与⊙O相切;(2)证明:∵∠AOE=∠FCE=90°,∠AEO=∠FEC,∴∠OAE=∠F,又∵∠B=∠B,∴△ABC∽△FBO,∴,即BO•AB=BC•BF,∵AB=2BO,∴2OB2=BC•BF;(3)由(1)知GC=GE=GF,∴∠F=∠GCF,∴∠EGC=2∠F,又∵∠DCE=2∠F,∴∠EGC=∠DCE,∵∠DCE=∠AOD=45°,∴∠EGC=45°,又∵∠OCG=90°,∴△OCG为等腰直角三角形,∴GC=OC,OG=OC,∴OD+DG=OC,即OC+2.5=OC,解得OC=,∵GF=GE=GC=OC,∴DE=GE﹣DG=OC﹣DG=.7.(1)证明:∵AD⊥BC,AD过圆心O,∴BD=CD,且AD⊥BC,∴AB=AC,∴∠B=∠C;(2)证明:连接BE,设∠ACE=α,则∠ACB=3α,∴∠ABC=∠ACB=3α,∵∠ABE=∠ACE=α,∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=3α﹣α=2α,∴∠CAE=∠CBE=2α=2∠ACE;(3)解:过点E作EG⊥AC于点G,在CG上截取GH=AG,连接EH,∴EH=AE=5,∴∠AHE=∠EAH=2α,∴∠CEH=∠AHE﹣∠ECH=2α﹣α=α=∠ECH,∴CH=EH=5,∵AC=AB=13,∴AH=AC﹣CH=13﹣5=8,∴AG=GH=4,∴CG=4+5=9,在Rt△AEG中,EG===3,在Rt△CEG中,CE===3,∵,∴,∴.8.解:(1)过点M作MN⊥AC于点N,∵圆M与AC相切,∴MN=MB,∵∠ACB=90°,AC=6,∠B=30°,∴AB=12,设MN=MB=R.∴AM=12﹣R,∵∠ACB=90°,MN⊥AC,∴MN∥BC,∴∠B=∠AMB=30°,∴,∴,解得R=24﹣36.(2)①连接DM,由题意可知MB=MD,∴∠B=∠MDB=30°,∴∠AMD=60°,∵AM=2MB,∴AM=2MD,∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴AB=2AC,∠BAC=60°,∴△AMD∽△ABC,∴∠ADM=∠ACB=90°,∴AD与圆M相切;②∵AB=12,AM=2MB,∴BM=4,AM=8,∵∠ADM=90°,∴AD==4,∴S阴影部分=4.9.(1)证明:∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∵DE⊥AB,∴∠OBC+∠DFB=90°,∵EF=EC,∴∠ECF=∠EFC=∠DFB,∴∠OCB+∠ECF=90°,∴OC⊥CE,∴EC是⊙O的切线;(2)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC+∠A=90°,∠ABC+∠BFD=90°,∴∠BFD=∠A,∴∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC,∵OA=OC,∴∠OCA=∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC,∴△OAC∽△ECF;(3)解:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵OB=5,∴AB=10,∴AC===6,∵cos∠ABC=,∴,∴BF=5,∴CF=BC﹣BF=3,∵△OAC∽△ECF,∴,∴EC==.10.(1)证明:如图1,连接OD.∵BC为⊙O的直径,∴∠BAC=90°.∵AD平分∠BAC,∴.∴OD⊥BC,∵DE∥BC,∴OD⊥ED,又∵OD为半径,∴ED为⊙O的切线;(2)证明:由(1)可得△BCD为等腰直角三角形.∵DE∥BC,∴∠E=∠ABC=∠ADC,∠BDE=∠DBC=∠DCB=45°.∴△BED∽△FDC,∴,即BD2=DE•FC,又,∴BC2=2ED•FC;(3)解:如图2,过点D作DG⊥AD,交AC的延长线于点G.∴∠CDG+∠ADC=90°,∠DGC=∠DAG=45°.又∵∠ADB+∠ADC=90°,∴∠ADB=∠GDC,∵DB=DC,∠BAD=∠DGC=45°,∴△ABD≌△GCD(AAS),∴AB=CG.∵∠DAG=45°,∠ADG=90°,∴△ADG为等腰直角三角形,∴AB+AC=AG=AD==3,∵tan∠ABC=2,∴设AB=x,则AC=2x.∴3x=3,∴x=1.即AB=1,AC=2.∴BC===.11.(1)证明:∵∠BMC=∠BAD,又∵∠BMC=∠BAC+∠ABD,∠BAD=∠BAC+∠DAM,∴∠ABD=∠DAC,又∵弧DC=弧DC,∴∠DAC=∠DBC,∴∠ABD=∠CBD,∴BD平分∠ABC;(2)证明:连接OA、OB、OD,OD交AC于点N,∵FD是⊙O的切线,D为切点,OD是⊙O的半径,∴OD⊥FD,∴∠FDO=90°,又∵∠AOD=2∠ABD,∠DOC=2∠DBC,∠ABD=∠CBD,∴∠AOD=∠COD,又∵AO=CO,∴ON⊥AC,∴∠ANO=90°,∴∠ANO=∠FDO,∴AC∥FD;(3)解:连接OD,交AC于N,∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=∠BDC=90°,∴∠F AC=180°﹣∠BAC=90°,又∵∠ANO=∠FDN=90°,∴四边形ANDF是矩形,∴AF=DN,∠F=90°,又∵ON⊥AC,∴AN=CN,∴设MN=a,则AN=CN=MN+AM=a+1,∴CM=MN+CN=2a+1,在Rt△MDC中,cos∠ACD=,在Rt△NDC中,cos∠ACD=,∴,解得a1=﹣(舍去),a2=1,∴MN=1,CN=a+1=2,∴DN=AF==,又∵MN=AM=1,∠AMB=∠NMD,∠BAM=∠MND=90°,∴△BAM≌△DNM(AAS),∴BA=ND=,∴BF=AB+AF=2,∴AN=FD=a+1=2,∴BD==2,∴S△BFD=,S△DBC=BD•CD==3,∴S四边形BFDC=S△BFD+S△BDC=2.12.(1)证明:连接AD,∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∴,∴∠ACD=∠DC,∵,∴∠APC=∠ADC,∴∠APC=∠ACD;(2)证明:连接OP,∵PF是⊙O的切线,∴OP⊥PF,即∠EPF+∠OPE=90°,∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP,∵CD⊥AB,∴∠HEB+∠HBE=90°,∵∠PEF=∠HEB,∴∠PEF=∠FPE,∴FE=PF;(3)解:过E作EM⊥PF,垂足为M,∵AG⊥PF,∴∠GAP+∠GP A=90°,∵∠APE=90°,∴∠GP A+∠EPM=90°,∵∠AGP=∠EMP=90°,∴△GP A∽△MEP,∴,∵∠P AE=∠F,∴tan∠P AE=tan∠F,则,∵,∴,∴MF=PG=6,设PM=x,∵PE2﹣PM2=EF2﹣FM2,∴,解得:x1=﹣10,x2=4,即PM=4,∴EM==8,∵,即,∴P A=3,∵CD⊥AB,AB是直径,∴∠BHE=∠APB=90°,∴∠HEB=∠BAP,∵∠MPE=∠HEB,∴tan∠P AB=,即,∴PB=6,∴BE=PB﹣PE=2,∵sin∠HEB=,即,∴BH=4.13.(1)证明:连接OC,如图1,∵AD=CD,∠A=30°,∴∠ACD=30°,∴∠CDB=60°,∵OD=OC,∴∠OCD=60°,∴∠ACO=∠ACD+∠OCD=90°,∵OC是半径,∴直线AC是⊙O的切线;(2)解:∵∠OCD=60°,OC=OD,∴△DCO是等边三角形,∴CD=AD=OD=1,作CH⊥BD于点H,则DH=,如图2,∴CH===,∵AB=AD+BD=3,∴S△ABC==.(3)①当点E运动到与点C关于直径AB对称时,CE⊥AB于点K,如图3,∵BD为⊙O的直径,CK=,∴CE=2CK=,∵CF⊥CE,∴∠ECF=90°,∵∠CDB=∠CEB=60°,∴CF=CE•tan60°==3,②∵点E在上运动过程中,∠CDB=∠CEB=60°,在Rt△ECF中,tan60°=,∴CF=CE,∴当CE最大时,CF取得最大值,∴当CE为直径,即CE=2时,CF最大,最大值为2.14.(1)证明:连接AC,BC,∵OC=OA,∴∠OCA=∠OAC,∵PF是⊙O的切线,CE⊥AB,∴∠OCP=∠F=90°,∴AF∥OC,∴∠F AC=∠OCA,∴∠F AC=∠OAC,∴CA平分∠F AB.(2)证明:∵CD是直径,∴∠CBD=90°,∴∠CBP=90°,∵CE⊥OB,∴∠CEB=∠CBP=90°,∵PC切⊙O于点C,∴∠PCB=∠CAB,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC+∠CAB=90°,∠BCE+∠ABC=90°,∵∠CAB=∠BCE,∴∠PCB=∠BCE,∴△BCE∽△PCB,∴,∴BC2=CE•CP;(3)解:,设CF=3a,CP=4a,∵BC2=CE•CP=3a•4a=12a2,∴BC=2a,在Rt△BCE中,sin∠CBE=,∴∠CBE=60°,∴∠BCE=30°,∴△COB是等边三角形,∵AB=4,∴OB=BC=2,∴劣弧BC的长==π.15.(1)证明:∵BD是⊙O的切线,∴∠OBD=90°,∠ABC+∠DBC=90°,∵BC⊥OD,∴∠D+∠DBC=90°,∴∠ABC=∠D,∵∠AEC=∠ABC,∴∠D=∠AEC;(2)证明:连接AC,如图所示:∵OF⊥BC,∴,∴∠CAE=∠ECB,∵∠CEA=∠HEC,∴△CEH∽△AEC,∴,∴CE2=EH•EA;(3)解:连接BE,过O作OG⊥BE于G,如图所示:∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∵⊙O的半径为5,∴AB=10,∵cos∠BCE=,∴cos∠BAE==,∴AE=8,∴BE===6,∵,∴BE=CE=6,∵CE2=EH•EA,∴EH=,在Rt△BEH中,BH=.∵OG⊥BE,OB=OE,∴BG=3,∴OG===4,∴BF•OE,∴BF=,∴HF=BH﹣BF=.16.解:(1)∵点A(0,8),∴AO=8,∵AD是⊙Q的直径,∴∠AEB=∠AED=90°,∴∠AEB=∠AOB=90°,∵BA垂直平分CD,∴BC=BD,∴∠ABO=∠ABE在△ABE和△ABO中,,∴△ABE≌△ABO(AAS),∴AE=AO=8;(2)∵∠ABE=∠FDE,∴AB∥DF,∴△CAB∽△CDF,∴,又∵∠ABE=∠FDE,∠AEB=∠FED∴△DEF∽△BEA,∴,∴EF=2AE=16;(3)设BO=x,则AB=x+4,在Rt△ABO中,由AO2+OB2=AB2得:82+x2=(x+4)2,解得:x=6,∴OB=BE=6,AB=10,∵∠EAB+∠ABE=90°,∠ACB+∠ABC=90°,∴∠EAB=∠ACB,∵∠BF A=∠AFC,∴△BF A∽△AFC,∴;设EF=m,则AF=8+m,BF=(8+m),∵在Rt△BEF中,BE2+EF2=BF2,∴62+m2=[(8+m)]2,解得:m=,即EF=,∴tan∠AFC=.17.(1)证明:如图1,∵EF平分∠AED,∴∠AEF=∠FED,∵∠AEF=∠ADF,∴∠FED=∠ADF,∵∠GFD=∠DFE,∴△GFD∽△DFE;(2)证明:如图2,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠EAO,∵OA=OE,∴∠EAO=∠OEA,∴∠BAE=∠OEA,∴AB∥OE,∴∠OEC=∠B,∵∠B=90°,∴∠OEC=90°,∵OE为半径,∴BC是⊙O的切线;(3)解:如图3,连接OF、AF,∵AD为直径,∴∠AFD=∠AED=90°,∵EF平分∠AED,∴∠AEF=∠FED=45°,∴∠AFD=∠AEF=45°,∴△AFD为等腰直角三角形,∵DF=10,OA=OD∴AD=DF=×10=20,OF⊥AD,OA=OD=OF=10,∵cos∠CAE=,∴AE=AD•cos∠CAE=20×=10,∵∠AEF=∠ADF,∠AGE=∠FGD,∴△AGE∽△FGD,∴,∴AG=GF,∵AG=AO+OG=10+OG,∴10+OG=GF,∴OG=GF﹣10,在Rt△FOG中,GF2=OF2+OG2,∴GF2=102+(GF﹣10)2,解得:GF=或(不符合题意,舍去),∴线段GF的长为.18.(1)证明:连接OB,∵PB是⊙O的切线,∴∠PBO=90°,∵OA=OB,BA⊥PO于D,∴AD=BD,∠POA=∠POB,又∵PO=PO,∴△P AO≌△PBO(SAS),∴∠P AO=∠PBO=90°,∵OA为圆的半径,∴直线P A为⊙O的切线;(2)证明:∵∠P AO=∠PDA=90°,∴∠OAD+∠AOD=90°,∠OP A+∠AOP=90°,∴∠OAD=∠OP A,∴△OAD∽△OP A,∴,∴OA2=OD•OP,又∵AC=2OA,∴AC2=4OD•OP;(3)解:∵OA=OC,AD=BD,BC=6,∴OD=BC=3,设AD=x,∵tan∠F=,∴FD=2x,OA=OF=2x﹣3,在Rt△AOD中,由勾股定理,得,(2x﹣3)2=x2+32,解之得,x1=4,x2=0(不合题意,舍去),∴AD=4,OA=2x﹣3=5,∵AC是⊙O的直径,∴AC=2OA=10.∴AC的长为10.19.(1)证明:∵∠ACB=90°,PE⊥AC,PF⊥BC,∴四边形PECF是矩形,∵CP平分∠ACB,PE⊥AC,PF⊥BC,∴PE=PF,∴四边形CEPF是正方形;(2)解:∵sin A=,AB=10,∴,∴BC=8,∴AC===6,∴tan A=,设PE=CE=m,则AE=6﹣m,∴tan A=,∴m=,∴PC=PE=;(3)解:∵四边形CEPF是正方形,∴PE=PF,∠APE+∠BPF=90°,∠PEA=∠PFB=90°,∴将△APE绕点P顺时针旋转90°,得到△A′PF,P A′=P A,如图所示:则A′、F、B三点共线,∠APE=∠A′PF,∴∠A′PF+∠BPF=90°,即∠A′PB=90°,∴S△P AE+S△PBF=S△P A′B=P A′•PB=x(10﹣x),∴y与x之间的函数关系式为y=﹣+5x,∵y=﹣+5x=﹣,∴x=5时,y有最大值为.20.解:(1)如图①,AD⊥BC,∵△ABC为等边三角形,AB=2,∴∠B=60°,BC=AB=2,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,在Rt△ABD中,=sin B=sin60°,∴=,∴AD=,∴△ABC的面积=AB•AD=×2×=,故答案为:;(2)如图②,过点D作DH⊥BC于点H,∵∠ABC=90°,BD是△ABC的角平分线,∴∠DBC=∠ABD=45°,∵DE⊥BD,∴∠BDE=90°,∴∠DEB+∠DBE=90°,∴∠DEB=90°﹣∠DBE=90°﹣45°=45°,∴BD=ED,∵DH⊥BC,∴BH=EH,∴DH=BE=BH=EH,设DH=BH=EH=a,∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC,∵DH⊥BC,∴AB∥DH,∴△CDH∽△CAB,∴==,∵AD=1,AC=3,∴CD=3﹣1=2,∴==,∴AB=a,CE=a,∴BC=CE+BE=a+2a=3a,∵AB2+BC2=AC2,∴a2+9a2=9,∴a2=1,∴S阴影=S△ABC﹣S△BDE=AB•BC﹣BE•DH=×a•3a﹣×2a•a=a2﹣a2=a2=1;(3)①设AC与BD相交于点E,连接OB,OA,OC,过点O作OH⊥AB于点H,∵∠ADB=∠BDC=60°,∴AB=BC,∠BAC=∠BDC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,AB=AC=BC,在△ABO和△ACO中,,∴△ABO≌△ACO(SSS),同理△ABO≌△CBO(SSS),∴S△ABO=S△ACO=S△CBO,∴S△ABC=3S△ABO,∵∠AOB=2∠ACB,∴∠AOB=120°,在Rt△OAH和Rt△OBH中,,∴Rt△OAH≌Rt△OBH(HL),∴∠AOH=∠BOH,AH=BH,在Rt△OAH中,OA=4,∠AOH=∠AOB=60°,∴cos∠AOH=cos60°==,sin∠AOH=sin60°==,∴OH=OA=2,AH=OA=2,∴AB=2AH=4,∴S△ABC=3S△ABO=3××4×2=12,∵∠ABE=∠DBA,∠BAE=∠BDA=60°,∴△ABE∽△DBA,∴===,即S△DBA=S△ABE,∵∠CBE=∠DBC,∠BCE=∠BDC=60°,∴△CBE∽△DBC,∴===,即S△DBC=S△CBE,∴S四边形ABCD=S△DBA+S△DBC=S△ABE+S△CBE,=(S△ABE+S△CBE)=S△ABC=×12=x2,∴S△ADC=S四边形ABCD﹣S△ABC=x2﹣12,即y=x2﹣12;∵BD的长度大于AB,小于等于直径,∴4<x≤8,∴y与x之间的函数关系式为y=x2﹣12(4<x≤8);②由①知,y与x之间的函数关系式为y=x2﹣12,则对称轴为y轴,∵>0,∴x>0时,y随x的增大而增大,∵4<x<8,∴当x=8时,y有最大值,即当BD为⊙O的直径时,y取最大值,即y=×82﹣12=4,∴花卉区域△ADC面积的最大值是4.。
圆的综合压轴题命题趋势中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类:一、圆中弧长和面积的综合题二、圆与全等三角形的综合题三、圆的综合证明问题四、圆与等腰三角形的综合题五、圆的阅读理解与新定义问题六、圆与特殊四边形的综合题圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类,也是难度较大的一类,所以,对应的训练很有必要。
热考题型解读考向一:圆中弧长与面积的综合题考向二:圆与全等三角形综合题考向三:圆的综合证明问题考向四:圆与等腰三角形的综合考向五:圆的阅读理解与新定义问题考向六:圆与特殊四边形综合考向一:圆中弧长与面积的综合题1(2023•河北)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB 为直径的半圆O ,AB =50cm ,如图1和图2所示,MN 为水面截线,GH 为台面截线,MN ∥GH .计算:在图1中,已知MN =48cm ,作OC ⊥MN 于点C .(1)求OC 的长.操作:将图1中的水槽沿GH 向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当∠ANM =30°时停止滚动.如图2.其中,半圆的中点为Q ,GH 与半圆的切点为E ,连接OE 交MN 于点D .探究:在图2中.(2)操作后水面高度下降了多少?(3)连接OQ 并延长交GH 于点F ,求线段EF 与EQ的长度,并比较大小.【分析】(1)连接OM ,利用垂径定理得出MC =12MN =24cm ,由勾股定理计算即可得出答案;(2)由切线的性质证明OE ⊥GH ,进而得到OE ⊥MN ,利用锐角三角函数的定义求出OD ,再与(1)中OC 相减即可得出答案;(3)由半圆的中点为Q 得到∠QOB =90°,得到∠QOE =30°,分别求出线段EF 与EQ的长度,再相减比较即可.【解答】解:(1)连接OM ,∵O 为圆心,OC ⊥MN 于点C ,MN =48cm ,∴MC =圆的综合压轴题(解析版)MN =24cm ,∵AB =50cm ,∴OM =圆的综合压轴题(解析版)AB =25cm ,在Rt △OMC 中,OC =OM 2-MC 2=252-242=7(cm );(2)∵GH 与半圆的切点为E ,∴OE ⊥GH ,∵MN ∥GH ,∴OE ⊥MN 于点D ,∵∠ANM =30°,ON =25cm ,∴OD =12ON =252cπ,∴操作后水面高度下降高度为:252-7=112cπ;(3)∵OE ⊥MN 于点D ,∠ANM =30°,∴∠DOB =60°,∵半圆的中点为Q ,∴AQ =QB,∴∠QOB =90°,∴∠QOE =30°,∴EF =tan ∠QOE •OE =2533(cm ),EQ 的长为30×π×25180=25π6(cm ),∵2533-256π=503-25π6=2523-π 6>0,∴EF >EQ .2(2023•乐山)在学习完《图形的旋转》后,刘老师带领学生开展了一次数学探究活动.【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容:如图1,将一个三角形纸板△ABC 绕点A 逆时针旋转θ到达的位置△AB ′C ′的位置,那么可以得到:AB =AB ′,AC =AC ′,BC =B ′C ′;∠BAC =∠B ′AC ′,∠ABC =∠AB ′C ′,∠ACB =∠AC ′B ′.()刘老师进一步谈到:图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中,即“变”中蕴含着“不变”,这是我们解决图形旋转的关键.故数学就是一门哲学.【问题解决】(1)上述问题情境中“()”处应填理由: 旋转前后的图形对应线段相等,对应角相等 ;(2)如图2,小王将一个半径为4cm ,圆心角为60°的扇形纸板ABC 绕点O 逆时针旋转90°到达扇形纸板A ′B ′C ′的位置.①请在图中作出点O ;②如果BB ′=6cm ,则在旋转过程中,点B 经过的路径长为 32π2cm ;【问题拓展】小李突发奇想,将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠,一个固定在墙上,使得一边位于水平位置.另一个在弧的中点处固定,然后放开纸板,使其摆动到竖直位置时静止.此时,两个纸板重叠部分的面积是多少呢?如图3所示,请你帮助小李解决这个问题.【分析】【问题解决】(1)由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等,对应角相等;(2)①作线段BB ',AA '的垂直平分线,两垂直平分线交于O ,点O 为所求;②由∠BOB '=90°,OB =OB ',可得OB =62=32,再用弧长公式可得答案;【问题拓展】连接PA ',交AC 于M ,连接PA ,PD ,AA ',PB ',PC ,求出A 'D =A M ∠PA B cos =230o cos =433,DM =12A 'D =233,可得S △A 'DP =12×233×4=433;S 扇形PA 'B '=30π×42360=4π3,证明△PB ′D ≌△PCD (SSS )可知阴影部分关于PD 对称,故重叠部分面积为2(4π3-433)=8π-833(cm 2).【解答】解:【问题解决】(1)根据题意,AB =AB ′,AC =AC ′,BC =B ′C ′;∠BAC =∠B ′AC ′,∠ABC =∠AB ′C ′,∠ACB =∠AC ′B ′的理由是:旋转前后的图形对应线段相等,对应角相等,故答案为:旋转前后的图形对应线段相等,对应角相等;(2)①如图:作线段BB ',AA '的垂直平分线,两垂直平分线交于O ,点O 为所求;②∵∠BOB '=90°,OB =OB ',∴△BOB '是等腰直角三角形,∵BB '=6,∴OB =62=32,∵90π×32180=32π2(cm ),∴点B 经过的路径长为32π2cm ,故答案为:32π2cm ;【问题拓展】连接PA ',交AC 于M ,连接PA ,PD ,AA ',PB ',PC ,如图:∵点P 为BC中点,∴∠PAB =∠PAC =12∠BAC =30o ,由旋转得∠PA 'B '=30°,PA =PA ′=4,在Rt △PAM 中,PM =PA •sin ∠PAM =4×sin30°=2,∴A 'M =PA '-PM =4-2=2,在Rt △A ′DM 中,A 'D =A M ∠PAB cos =230ocos =433,DM =12A 'D =233,∴S △A 'DP =12×233×4=433;S 扇形PA 'B '=30π×42360=4π3,下面证明阴影部分关于PD 对称:∵∠PAC =∠PA 'B '=30°,∠ADN =∠A 'DM ,∴∠AND =∠A 'MD =90°,∴∠PNA '=90°,∴PN =12PA '=2,∴AN =PA -PN =2,∴AN =A ′M ,∴△AND ≌△A 'MD (AAS ),∴AD =A ′D ,∴CD =B 'D ,∵PD =PD ,PB '=PC ,∴△PB ′D ≌△PCD (SSS ),∴阴影部分面积被PD 等分,∴S 阴影=2(S 扇形PA 'B '-S △A 'DP )=2(4π3-433)=8π-833(cm 2).∴两个纸板重叠部分的面积是8π-833cm 2.考向二:圆与全等三角形综合题3(2023•济宁)如图,已知AB 是⊙O 的直径,CD =CB ,BE 切⊙O 于点B ,过点C 作CF ⊥OE 交BE 于点F ,EF =2BF .(1)如图1,连接BD ,求证:△ADB ≌△OBE ;(2)如图2,N 是AD 上一点,在AB 上取一点M ,使∠MCN =60°,连接MN .请问:三条线段MN ,BM ,DN 有怎样的数量关系?并证明你的结论.【分析】(1)根据CF ⊥OE ,OC 是半径,可得CF 是圆O 的切线,根据BE 是圆O 的切线,由切线长定理可得BF =CF ,进而根据sin E =CF EF =12,得出∠E =30°,∠EOB =60°,根据CD =CB 得出CD =CB ,根据垂径定理的推论得出OC ⊥BD ,进而得出∠ADB =90°=∠EBO ,根据含30度角的直角三角形的性质,得出AD =BO =12AB ,即可证明△ABD ≌△OEB (AAS );(2)延长ND 至H 使得DH =BM ,连接CH ,BD ,根据圆内接四边形对角互补得出∠HDC =∠MBC ,证明△HDC ≌△MBC (SAS ),结合已知条件证明△CNH ≌△CNM (SAS ),得出NH =MN ,即可得出结论.【解答】(1)证明:∵CF ⊥OE ,OC 是半径,∴CF 是圆O 的切线,∵BE 是圆O 的切线,∴BF =CF ,∵EF =2BF ,∴EF =2CF ,sin E =CF EF =12,∴∠E =30°,∠EOB =60°,∵CD =CB ,∴CD =CB,∴OC ⊥BD ,∵AB 是直径,∴∠ADB =90°=∠EBO ,∵∠E +∠EBD =90°,∠ABD +∠EBD =90°,∴∠E =∠ABD =30°,∴AD =BO =12AB ,∴△ABD ≌△OEB (AAS );(2)解:MN =BM +DN ,理由如下:延长ND 至H 使得DH =BM ,连接CH ,BD ,如图2所示,∵∠CBM +∠NDC =180°,∠HDC +∠NDC =180°,∴∠HDC =∠MBC ,∵CD =CB ,DH =BM ,∴△HDC ≌△MBC (SAS ),∴∠BCM =∠DCH ,CM =CH ,由(1)可得∠ABD =30°,∵AB 是直径,∴∠ADB =90°,∴∠A =60°,∴∠DCB =180°-∠A =120°,∵∠MCN =60°,∴∠BCM +∠NCD =120°-∠NCM =120°-60°=60°,∴∠DCH +∠NCD =∠NCH =60°,∴∠NCH =∠NCM ,∵NC =NC ,∴△CNH ≌△CNM (SAS ),∴NH =MN ,∴MN =DN +DH =DN +BM ,∴MN =BM +DN .4(2023•哈尔滨)已知△ABC 内接于⊙O ,AB 为⊙O 的直径,N 为AC的中点,连接ON 交AC 于点H .(1)如图①,求证:BC =2OH ;(2)如图②,点D 在⊙O 上,连接DB ,DO ,DC ,DC 交OH 于点E ,若DB =DC ,求证OD ∥AC ;(3)如图③,在(2)的条件下,点F 在BD 上,过点F 作FG ⊥DO ,交DO 于点G ,DG =CH ,过点F 作FR ⊥DE ,垂足为R ,连接EF ,EA ,EF :DF =3:2,点T 在BC 的延长线上,连接AT ,过点T 作TM ⊥DC ,交DC 的延长线于点M ,若FR =CM ,AT =42,求AB 的长.【分析】(1)连接OC ,证明OH 是△ABC 的中位线,即可得到BC =2OH ;(2)设∠BDC =2α,证明△DOB ≌△DOC (SSS ),可得∠BDO =∠CDO =12∠BDC =α,再推导出∠CDO =∠ACD ,即可证明DO ∥AC ;(3)连接AD ,延长AE 与BC 交于W 点,延长AC 、TM 交于L 点,先证明△DGF ≌△CHE (AAS ),得到DF =CE ,再证明△DFG ≌△AFH (ASA ),得到AE =DF ,从而判断出四边形ADFE 是矩形,得到EF ⊥BD ,求出tan ∠EDF =32,通过证明△FRK ≌△CML (AAS ),推导出CL =FK =2FG =CW ,再证明△AWC ≌△TLC (AAS ),则AC =TC ,在Rt △ACT 中,由AT =42,求出AC =CT =4,在Rt △ABC中,tan ∠BAC =32=BC AC,求出BC =6,在Rt △ABC 中,利用勾股定理求出AB =AC 2+BC 2=213.【解答】(1)证明:如图①,连接OC ,∵N 是AC 的中点,∴AN =CN ,∴∠AON =∠CON ,∵OA=OC,∴AH=HC,∵OA=OB,∴OH是△ABC的中位线,∴BC=2OH;(2)证明:如图②,设∠BDC=2α,∵BD=CD,DO=DO,BO=OC,∴△DOB≌△DOC(SSS),∠BDC=α,∴∠BDO=∠CDO=12∵OB=OD,∴∠DBO=∠BDO=α,∵∠ACD=∠ABD=α,∴∠CDO=∠ACD,∴DO∥AC;(3)解:如图③,连接AD,延长AE与BC交于W点,延长AC、TM交于L点,∵FG⊥OD,∴∠DGF=90°,∵∠CHE=90°,∴∠DGF=∠CHE,∵∠FDG=∠ECH,DG=CH,∴△DGF≌△CHE(AAS),∴DF=CE,∵AH=CH,∴OH⊥AC,∴∠EHC=∠DGF,∵AH=HC,∴△AEC是等腰三角形,∴AE=EC,∠EAC=∠ECA,∵∠BDO=∠ODE=∠ECA,∴∠EAH=∠FDG,∵DG=CH,∴DG=AH,∴△DFG≌△AFH(ASA),∴AE=DF,∵∠DEA=2∠ECA,∠FDE=2∠ODE,∴∠FDE=∠DEA,∴DF∥AE,∴四边形AEFD是平行四边形,∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°,∴四边形ADFE是矩形,∴EF⊥BD,∵EF:DF=3:2,∴tan∠EDF=32,∵FR⊥CD,FG⊥DO,∴∠ODE=∠RFK=90°,∵∠ECA=∠MCL,∴∠RFK=∠LCM,∵CM⊥MT,∴∠CML=90°,∵FR=CM,∴△FRK≌△CML(AAS),∴CL=FK=2FG,∵BC=2OH,EH=OH,∴EH是△AWC的中位线,∴CW=2EH,∵EH=FG,∴CL=FK=2FG=CW,∵∠TCL=∠CMT=90°,∴∠MCL=∠CTM,∵∠ACE=∠ECA=∠LCM,∴∠CTM=∠WAC,∴△AWC≌△TLC(AAS),∴AC=TC,在Rt△ACT中,AT=42,∴AC=CT=4,∵AW∥BD,∴∠BAW=∠DBC,∵∠DBO=∠BDO,∠EAC=∠BDO=∠ODE,∴∠BAC=∠BDE,在Rt△ABC中,tan∠BAC=32=BCAC,∴BC=6,在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=213.5(2023•长春)【感知】如图①,点A、B、P均在⊙O上,∠AOB=90°,则锐角∠APB的大小为45度.【探究】小明遇到这样一个问题:如图②,⊙O是等边三角形ABC的外接圆,点P在弧AC上(点P不与点A、C重合),连接PA、PB、PC.求证:PB=PA+PC.小明发现,延长PA至点E,使AE=PC,连接BE,通过证明△PBC≌△EBA.可推得△PBE是等边三角形,进而得证.下面是小明的部分证明过程:证明:延长PA至点E,使AE=PC,连接BE.∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形,∴∠BAP+∠BCP=180°,∵∠BAP+∠BAE=180°,∴∠BCP=∠BAE,∵△ABC是等边三角形,∴BA=BC,∴△PBC≌△EBA(SAS).请你补全余下的证明过程.【应用】如图③,⊙O是△ABC的外接圆,∠ABC=90°,AB=BC,点P在⊙O上,且点P与点B在AC的两侧,连接PA、PB、PC,若PB=22PA,则PBPC的值为 223 .【分析】【感知】根据圆周角定理即可得出答案;【探究】先构造出△PBC≌△EBA(SAS),得出PB=EB,进而得出△PBE是等边三角形,即可得出结论;【应用】先构造出△PBC≌△GBA(SAS),进而判断出∠PBG=90°,进而得出△PBG是等腰直角三角形,即可得出结论;【解答】【感知】解:∵∠AOB=90°,∴∠APB=12∠AOB=45°(在同圆中,同弧所对的圆周角是圆心角的一半),故答案为:45;【探究】证明:延长PA至点E,使AE=PC,连接BE.∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形,∴∠BAP+∠BCP=180°,∵∠BAP+∠BAE=180°,∴∠BCP=∠BAE,∵△ABC是等边三角形,∴BA=BC,∴△PBC≌△EBA(SAS),∴PB=EB,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠APB=60°,∴△PBE为等边三角形,∴PB=PE=AE+AP=PC+AP;【应用】解:如图③,延长PA至点G,使AG=PC,连接BE.∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形,∴∠BAP+∠BCP=180°,∵∠BAP+∠BAG=180°,∴∠BCP =∠BAG ,∵BA =BC ,∴△PBC ≌△GBA (SAS ),∴PB =GB ,∠PBC =∠GBA ,∵∠ABC =90°,∴∠PBG =∠GBA +∠ABP =∠PBC +∠ABP =∠ABC =90°,∴PG =2BP ,∵PG =PA +AG =PA +PC ,∴PC =PG -PA =2×22PA -PA =3PA ,∴PB PC =22PA 3PA=223,故答案为:223考向三:圆的综合证明问题6(2023•黄石)如图,AB 为⊙O 的直径,DA 和⊙O 相交于点F ,AC 平分∠DAB ,点C 在⊙O 上,且CD ⊥DA ,AC 交BF 于点P .(1)求证:CD 是⊙O 的切线;(2)求证:AC •PC =BC 2;(3)已知BC 2=3FP •DC ,求AF AB的值.【分析】(1)连接OC ,由等腰三角形的性质得∠OAC =∠OCA ,再证∠DAC =∠OCA ,则DA ∥OC ,然后证OC ⊥CD ,即可得出结论;(2)由圆周角定理得∠ACB =90°,∠DAC =∠PBC ,再证∠BAC =∠PBC ,然后证△ACB ∽△BCP ,得AC BC =BC PC,即可得出结论;(3)过P 作PE ⊥AB 于点E ,证AC •PC =3FP •DC ,再证△ACD ∽△BPC ,得AC •PC =BP •DC ,则BP •DC =3FP •DC ,进而得BP =3FP ,然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论.【解答】(1)证明:如图1,连接OC ,∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA ,∵AC 平分∠DAB ,∴∠DAC =∠OAC ,∴∠DAC =∠OCA ,∴DA ∥OC ,∵CD ⊥DA ,∴OC ⊥CD ,∴CD 是⊙O 的切线;(2)证明:∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∵AC 平分∠DAB ,∴∠DAC =∠BAC ,∵∠DAC =∠PBC ,∴∠BAC =∠PBC ,又∵∠ACB =∠BCP ,∴△ACB ∽△BCP ,∴AC BC =BC PC,∴AC •PC =BC 2;(3)解:如图2,过P 作PE ⊥AB 于点E ,由(2)可知,AC •PC =BC 2,∵BC 2=3FP •DC ,∴AC •PC =3FP •DC ,∵CD ⊥DA ,∴∠ADC =90°,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠BCP =90°,∴∠ADC =∠BCP ,∵∠DAC =∠CBP ,∴△ACD ∽△BPC ,∴AC BP =DC PC,∴AC •PC =BP •DC ,∴BP •DC =3FP •DC ,∴BP =3FP ,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠AFB =90°,∴PF ⊥AD ,∵AC 平分∠DAB ,PE ⊥AB ,∴PF =PE ,∵==,∴===.7如图,在⊙O 中,直径AB 垂直弦CD 于点E ,连接AC ,AD ,BC ,作CF ⊥AD 于点F ,交线段OB 于点G (不与点O ,B 重合),连接OF .(1)若BE=1,求GE的长.(2)求证:BC2=BG•BO.(3)若FO=FG,猜想∠CAD的度数,并证明你的结论.【分析】(1)由垂径定理可得∠AED=90°,结合CF⊥AD可得∠DAE=∠FCD,根据圆周角定理可得∠DAE=∠BCD,进而可得∠BCD=∠FCD,通过证明△BCE≌△GCE,可得GE=BE=1;(2)证明△ACB∽△CEB,根据对应边成比例可得BC2=BA•BE,再根据AB=2BO,BE=12BG,可证BC2=BG•BO;(3)方法一:设∠DAE=∠CAE=α,∠FOG=∠FGO=β,可证a=90°-β,∠OCF=90-3α,通过SAS 证明△COF≌△AOF,进而可得∠OCF=∠OAF,即90°-3a=a,则∠CAD=2a=45°.方法二:延长FO交AC于点H,连接OC,证明△AFC是等腰直角三角形,即可解决问题.【解答】(1)解:直径AB垂直弦CD,∴∠AED=90°,∴∠DAE+∠D=90°,∵CF⊥AD,∴∠FCD+∠D=90°,∴∠DAE=∠FCD,由圆周角定理得∠DAE=∠BCD,∴∠BCD=∠FCD,在△BCE和△GCE中,,∴△BCE≌△GCE(ASA),∴GE=BE=1;(2)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠CEB=90°,∵∠ABC=∠CBE,∴△ACB∽△CEB,∴BC BE =BA BC,∴BC2=BA•BE,由(1)知GE=BE,∴BE=12BG,∴BC2=BA•BE=2BO•1BG=BG•BO;2(3)解:∠CAD=45°,证明如下:解法一:如图,连接OC,∵FO=FG,∴∠FOG=∠FGO,∵直径AB垂直弦CD,∴CE=DE,∠AED=∠AEC=90°,∵AE=AE,∴△ACE≌△ADE(SAS),∴∠DAE=∠CAE,设∠DAE=∠CAE=α,∠FOG=∠FGO=β,则∠FCD=∠BCD=∠DAE=α,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=α,∵∠ACB=90°,∴∠OCF=∠ACB-∠OCA-∠FCD-∠BCD=90°-3α,∵∠CGE=∠OGF=β,∠GCE=α,∠CGE+∠GCE=90°,∴β+α=90°,∴α=90°-β,∵∠COG=∠OAC+∠OCA=α+α=2α,∴∠COF=∠COG+∠GOF=2α+β=2(90°-β)+β=180°-β,∴∠COF=∠AOF,在△COF和△AOF中,,∴△COF≌△AOF(SAS),∴∠OCF=∠OAF,即90°-3α=α,∴α=22.5°,∴∠CAD=2a=45°.解法二:如图,延长FO交AC于点H,连接OC,∵FO=FG,∴∠FOG=∠FGO,∴∠FOG=∠FGO=∠CGB=∠B,∴BC∥FH,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AHO=90°,∵OA=OC,∴AF =CF ,∵CF ⊥AD ,∴△AFC 是等腰直角三角形,∴∠CAD =45°.8(2023•永州)如图,以AB 为直径的⊙O 是△ABC 的外接圆,延长BC 到点D .使得∠BAC =∠BDA ,点E 在DA 的延长线上,点M 在线段AC 上,CE 交BM 于N ,CE 交AB 于G .(1)求证:ED 是⊙O 的切线;(2)若AC =6,BD =5,AC >CD ,求BC 的长;(3)若DE •AM =AC •AD ,求证:BM ⊥CE .【分析】(1)由AB 是⊙O 的直径得∠ACB =90°,故∠BAC +∠ABC =90°,由∠BAC =∠BDA 得∠BDA +∠ABC =90°,有∠BAD =90°,即可得证;(2)证明△ACB ∽△DCA ,则BC AC =AC DC =AC BD -BC ,可得BC 6=65-BC ,解得BC =2或BC =3,由AC >CD 即可得到BC 的长;(3)先证明△ABC ∽△DAC ,则AC DC =AB AD ,得到AC •AD =CD •AB ,由DE •AM =AC •AD 得到DE •AM =CD •AB ,故AM DC=AB DE ,由同角的余角相等得∠BAM =∠CDE ,有△AMBB ∽△DCE ,得∠E =∠ABM ,进一步得到∠EGA +∠E =∠ABM +∠BGN =90°,则∠BNG =90°,即可得到结论.【解答】(1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∴∠BAC +∠ABC =90°,∵∠BAC =∠BDA ,∴∠BDA +∠ABC =90°,∴∠BAD =90°,∴ED 是⊙O 的切线;(2)解:∵∠BAC =∠BDA ,∠ACB =∠DCA =90°,∴△ACB ∽△DCA ,∴BC AC=AC DC =AC BD -BC ,∴BC 6=65-BC ,解得BC =2或BC =3,当BC =2时,CD =BD -BC =3,当BC =3时,CD =BD -BC =2,∵AC >CD ,即6>CD ,∴BC =3;(3)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =∠DCA =90°,∵∠BAC =∠BDA ,∴△ABC ∽△DAC ,∴AC DC =AB AD,∴AC •AD =CD •AB ,∵DE •AM =AC •AD ,∴DE .AM =CD •AB ,∴AM DC=AB DE ,∵∠BAM +∠CAD =∠CDE +∠CAD =90°,∴∠BAM =∠CDE ,∴△AMB ∽△DCE ,∴∠E =∠ABM ,∵∠EGA =∠BGN ,∴∠EGA +∠E =∠ABM +∠BGN =90°,∴∠BNG =90°,∴BM ⊥CE .9(2023•广东)综合探究如图1,在矩形ABCD 中(AB >AD ),对角线AC ,BD 相交于点O ,点A 关于BD 的对称点为A ′.连接AA ′交BD 于点E ,连接CA ′.(1)求证:AA '⊥CA ';(2)以点O 为圆心,OE 为半径作圆.①如图2,⊙O 与CD 相切,求证:AA =3CA ;②如图3,⊙O 与CA ′相切,AD =1,求⊙O 的面积.【分析】(1)根据轴对称的性质可得AE =A ′E ,AA ′⊥BD ,根据四边形ABCD 是矩形,得出OA =OC ,从而OE ∥A ′C ,从而得出AA ′⊥CA ′;(2)①设CD ⊙O 与CD 切于点F ,连接OF ,并延长交AB 于点G ,可证得OG =OF =OE ,从而得出∠EAO =∠GAO =∠GBO ,进而得出∠EAO =30°,从而AA =3CA ;②设⊙O 切CA ′于点H ,连接OH ,可推出AA ′=2OH ,CA ′=2OE ,从而AA ′=CA ′,进而得出∠A ′AC =∠A ′CA =45°,∠AOE =∠ACA ′=45°,从而得出AE =OE ,OD =OA =2AE ,设OA =OE =x ,则OD =OA =2x ,在Rt △ADE 中,由勾股定理得出x 2+2-1 x 2=1,从而求得x 2=2+24,进而得出⊙O的面积.【解答】(1)证明:∵点A关于BD的对称点为A′,∴AE=A′E,AA′⊥BD,∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,∴OE∥A′C,∴AA′⊥CA′;(2)①证明:如图2,设CD⊙O与CD切于点F,连接OF,并延长交AB于点G,∴OF⊥CD,OF=OE,∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OD=12BD,AB∥CD,AC=BD,OA=12AC,∴OG⊥AB,∠FDO=∠GBO,OA=OB,∴∠GAO=∠GBO,∵∠DOF=∠BOG,∴△DOF≌△BOG(ASA),∴OG=OF,∴OG=OE,由(1)知:AA′⊥BD,∴∠EAO=∠GAO,∵∠EAB+∠GBO=90°,∴∠EAO+∠GAO+∠GBO=90°,∴3∠EAO=90°,∴∠EAO=30°,由(1)知:AA′⊥CA′,∴tan∠EAO=CAAA,∴tan30°=CAAA,∴AA =3CA ;②解:如图3,设⊙O切CA′于点H,连接OH,∴OH⊥CA′,由(1)知:AA′⊥CA′,AA′⊥BD,OA=OC,∴OH∥AA′,OE∥CA′,∴△COH∽△CAA′,△AOE∽△ACA′,∴OH AA =OCAC=12,OECA=OAAC=12,∴AA′=2OH,CA′=2OE,∴AA′=CA′,∴∠A′AC=∠A′CA=45°,∴∠AOE=∠ACA′=45°,∴AE=OE,OD=OA=2AE,设AE=OE=x,则OD=OA=2x,∴DE=OD-OE=(2-1)x,在Rt△ADE中,由勾股定理得,x2+2-1x2=1,∴x2=2+24,⋅π.∴S⊙O=π•OE2=2+24考向四:圆与等腰三角形的综合10(2023•宁波)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,E为AB边上一点,以AE为直径的半圆O与BC 相切于点D,连结AD,BE=3,BD=35.P是AB边上的动点,当△ADP为等腰三角形时,AP的长为 6或230 .【分析】连接OD,DE,根据切线的性质和勾股定理求出OD=6,然后分三种情况讨论:①当AP=PD时,此时P与O重合,②如图2,当AP′=AD时,③如图3,当DP′′=AD时,分别进行求解即可.【解答】解:如图1,连接OD,DE,∵半圆O与BC相切于点D,∴OD⊥BC,在Rt△OBD中,OB=OE+BE=OD+3,BD=35.∴OB2=BD2+OD2,∴(OD+3)2=(35)2+OD2,解得OD=6,∴AO=EO=OD=6,①当AP=PD时,此时P与O重合,∴AP=AO=6;②如图2,当AP′=AD时,在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴AC⊥BC,∴OD∥AC,∴△BOD∽△BAC,∴==,∴==,∴AC=10,CD=25,∴AD===230,∴AP′=AD=230;③如图3,当DP′′=AD时,∵AD=230,∴DP′′=AD=230,∵OD=OA,∴∠ODA=∠BAD,∴OD∥AC,∴∠ODA=∠CAD,∴∠BAD=∠CAD,∴AD平分∠BAC,过点D作DH⊥AE于点H,∴AH=P″H,DH=DC=25,∵AD=AD,∴Rt△ADH≌Rt△ADC(HL),∴AH=AC=10,∴AH=AC=P″H=10,∴AP″=2AH=20(P为AB边上一点,不符合题意,舍去),综上所述:当△ADP为等腰三角形时,AP的长为6或230.故答案为:6或230.11(2023•上海)如图(1)所示,已知在△ABC中,AB=AC,O在边AB上,点F是边OB中点,以O 为圆心,BO为半径的圆分别交CB,AC于点D,E,连接EF交OD于点G.(1)如果OG=DG,求证:四边形CEGD为平行四边形;(2)如图(2)所示,连接OE,如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4,求边OB的长;(3)连接BG,如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形,且AO=OF,求的值.【分析】(1)由∠ABC=∠C,∠ODB=∠ABC,即得∠C=∠ODB,OD∥AC,根据F是OB的中点,OG =DG,知FG是△OBD的中位线,故FG∥BC,即可得证;(2)设∠OFE=∠DOE=α,OF=FB=a,有OE=OB=2a,由(1)可得OD∥AC,故∠AEO=∠DOE =α,得出∠OFE=∠AEO=α,进而证明△AEO∽△AFE,AE2=AO-AF,由AE2=EO2-AO2,有EO2 -AO2=AO×AF,解方程即可答案;(3)△OBG是以OB为腰的等腰三角形,①当OG=OB时,②当BG=OB时,证明△BGO∽△BPA,得出,设OG=2k,AP=3k,根据OG∥AE,得出△FOG∽△FAE,即得AE=2OG=4k,PE=AE-AP=k,连接OE交PG于点Q,证明△QPE∽△QGO,在△PQE与△BQO中,,,得出==,可得△PQE∽△OQB,根据相似三角形的性质得出a=2k,进而即可求得答案.【解答】(1)证明:如图:∵AC=AB,∴∠ABC=∠C,∵OD=OB,∴∠ODB=∠ABC,∴∠C=∠ODB,∴OD∥AC,∵F是OB的中点,OG=DG,∴FG是△OBD的中位线,∴FG∥BC,即GE∥CD,∴四边形CEGD是平行四边形;(2)解:如图:由∠OFE=∠DOE,AO=4,点F边OB中点,设∠OFE=∠DOE=α,OF=FB=a,则OE=OB=2a,由(1)可得OD∥AC,∴∠AEO=∠DOE=α,∴∠OFE=∠AEO=α,∵∠A=∠A,∴△AEO∽△AFE,∴,即AE2=AO•AF,在Rt△AEO中,AE2=EO2-AO2,∴EO2-AO2=AO×AF,∴(2a)2-42=4×(4+a),解得:或(舍去),∴OB=2a=1+33;(3)解:①当OG=OB时,点G与点D重合,不符合题意,舍去;②当BG=OB时,延长BG交AC于点P,如图所示,∵点F是OB的中点,AO=OF,∴AO=OF=FB,设AO=OF=FB=a,∵OG∥AC,∴△BGO∽△BPA,∴,设OG=2k,AP=3k,∵OG∥AE,∴△FOG∽△FAE,∴,∴AE=2OG=4k,∴PE=AE-AP=k,设OE交PG于点Q,∵OG∥PE,∴△QPE∽△QGO,∴,∴PQ=a,QG=a,,在△PQE与△BQO中,,,∴,又∠PQE=∠BQO,∴△PQE∽△OQB,∴,∴,∴a=2k,∵OD=OB=2a,OG=2k,∴,∴的值为12.12(2023•泰州)已知:A、B为圆上两定点,点C在该圆上,∠C为所对的圆周角.知识回顾(1)如图①,⊙O中,B、C位于直线AO异侧,∠AOB+∠C=135°.①求∠C的度数;②若⊙O的半径为5,AC=8,求BC的长;逆向思考(2)如图②,若P为圆内一点,且∠APB<120°,PA=PB,∠APB=2∠C.求证:P为该圆的圆心;拓展应用(3)如图③,在(2)的条件下,若∠APB=90°,点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动.点D在⊙P上,满足CD=2CB-CA的所有点D中,必有一个点的位置始终不变.请证明.【分析】(1)①根据∠AOB+∠C=135°,结合圆周角定理求∠C的度数;②构造直角三角形;(2)只要说明点P到圆上A、B和另一点的距离相等即可;(3)根据CD=2CB-CA,构造一条线段等于2CB-CA,利用三角形全等来说明此线段和CD相等.【解答】(1)解:①∵∠AOB+∠C=135°,∠AOB=2∠C,∴3∠C=135°,∴∠C=45°.②连接AB,过A作AD⊥BC,垂足为M,∵∠C=45°,AC=8,∴△ACM是等腰直角三角形,且AM=CM=42,∵∠AOB=2∠C=90°,OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形,∴AB=2OA=52,在直角三角形ABM中,BM==32,∴BC=CM+BM=42+32=72.(2)延长AP交圆于点N,则∠C=∠N,∵∠APB=2∠C,∴∠APB=2∠N,∵∠APB=∠N+∠PBN,∴∠N=∠PBN,∴PN=PB,∵PA=PB,∴PA=PB=PN,∴P为该圆的圆心.(3)过B作BC的垂线交CA的延长线于点E,连接AB,延长AP交圆于点F,连接CF,FB,∵∠APB=90°,∴∠C=45°,∴△BCE是等腰直角三角形,∴BE=BC,∵BP⊥AF,PA=PF,∴BA=BF,∵AF是直径,∴∠ABF=90°,∴∠EBC=∠ABF=90°,∴∠EBA=∠CBF,∴△EBA≌△CBF(SAS),∴AE=CF,∵CD=2CB-CA=CE-CA=AE,∴CD=CF,∴必有一个点D的位置始终不变,点F即为所求.考向五:圆的阅读理解与新定义问题13(2023•青海)综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆,车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢?这里面有什么数学道理吗?带着这样的疑问,小青做了如下的探究活动:将车轮设计成不同的正多边形,在水平地面上模拟行驶.(1)探究一:将车轮设计成等边三角形,转动过程如图1,设其中心到顶点的距离是2,以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例,中心的轨迹是,BA=CA=DA=2,圆心角∠BAD=120°.此时中心轨迹最高点是C(即的中点),转动一次前后中心的连线是BD(水平线),请在图2中计算C到BD的距离d1.(2)探究二:将车轮设计成正方形,转动过程如图3,设其中心到顶点的距离是2,以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例,中心的轨迹是,BA=CA=DA=2,圆心角∠BAD=90°.此时中心轨迹最高点是C(即的中点),转动一次前后中心的连线是BD(水平线),请在图4中计算C到BD的距离d2(结果保留根号).(3)探究三:将车轮设计成正六边形,转动过程如图5,设其中心到顶点的距离是2,以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例,中心的轨迹是,圆心角∠BAD=60°.此时中心轨迹最高点是C(即的中点),转动一次前后中心的连线是BD(水平线),在图6中计算C 到BD的距离d3= 2-3 (结果保留根号).(4)归纳推理:比较d1,d2,d3大小:d1>d2>d3 ,按此规律推理,车轮设计成的正多边形边数越多,其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线(水平线)的距离越小(填“越大”或“越小”).(5)得出结论:将车轮设计成圆形,转动过程如图7,其中心(即圆心)的轨迹与水平地面平行,此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线(水平线)的距离d=0.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以,将车轮设计成圆形.【分析】(1)△ABC是等边三角形,进而求得AE,进一步得出结果;(2)△ABE是等腰直角三角形,进而求得AE,进一步得出结果;(3)△ABD是等边三角形,进而求得AE,进一步得出结果;(4)比较大小得出结果;(5)圆的半径相等,从而得出结果.解:(1)图1,【解答】Array 3∵AB=AD=2,AC⊥BD,∴∠BAC=∠CAD=1∠BAD=60°,2∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=2,∴d1=CE=1AC=1;2(2)如图2,∴∠ABD=∠ADB=45°,=2,∴AE=AB•sin∠ABD=2×22∴d2=CE=AC-AE=2-2;(3)如图3,∴AB=BD,∠ABD=60°,∴△ABD是等边三角形,∴∠BAD =60°,在Rt △ABE 中,AE =AB •sin ∠ABD =2•sin 60°=3,∴d 3=AC -AE =2-3,故答案为:60°,2-3;(4)∵1>2-2>2-3,∴d 1>d 2>d 3,越小;故答案为:d 1>d 2>d ,越小;(5)∵圆的半径相等,∴d =0,故答案为:0.14(2023•陕西)(1)如图①,∠AOB =120°,点P 在∠AOB 的平分线上,OP =4.点E ,F 分别在边OA ,OB 上,且∠EPF =60°,连接EF .求线段EF 的最小值;(2)如图②,是一个圆弧型拱桥的截面示意图.点P 是拱桥AB的中点,桥下水面的宽度AB =24m ,点P 到水面AB 的距离PH =8m .点P 1,P 2均在AB上,PP 1=PP 2,且P 1P 2=10m ,在点P 1,P 2处各装有一个照明灯,图中△P 1CD 和△P 2EF 分别是这两个灯的光照范围.两灯可以分别绕点P 1,P 2左右转动,且光束始终照在水面AB 上.即∠CP 1D ,∠EP 2F 可分别绕点P 1,P 2按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计),线段CD ,EF 在AB 上,此时,线段ED 是这两灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度.已知∠CP 1D =∠EP 2F =90°,在这两个灯的照射下,当整个水面AB 都被灯光照到时,求这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度.(可利用备用图解答)【分析】(1)过P 作PC ⊥OB 于C ,作PD ⊥OA 于D ,证明△PCF ≌△PDE (AAS ),可得CF =DE ,即可得OE +OF =(OD -DE )+(OC +CF )=OD +OC ,而∠POD =∠POC =60°,知OD =OC =12OP =2,故OE +OF =4,设OF =x ,则OE =4-x ,过F 作FG ⊥AO 于G ,有OG =12x ,GF =32x ,由勾股定理得EF ====,即知线段EF 的最小值是23;(2)当整个水面AB 都被灯光照到时,①C 与A 重合,F 与B 重合,设PH 交P 1P 2于K ,圆心为O ,连接HO ,AO ,P 1O ,过P 1作P 1T ⊥AB 于T ,由点P 是拱桥AB的中点,PH ⊥AB ,设⊙O 半径为r m ,则OH =OP -PH =(r -8)m ,可得122+(r -8)2=r 2,r =13,求出P 1K =P 2K =5m ,OK ===12(m ),PK =OP -OK =13-12=1(m ),KH =PH -PK =8-1=7(m ),可得P 1T =KH =7m ,故AT =P 1T ,∠P 1AT =45°,可得△AP 1D 是等腰直角三角形,即得AD =2AT =14(m ),即CD =14m ,同理可得BE =14m ,即FE =14m ,故DE =EF -DB =14-10=4(m ),这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为4m ;②当E 与A 重合,D 与B 重合时,可得AP 2==(m ),而cos ∠P 2AM ==,可得AF =,同理BC =,故CF =AF +BC -AB =(m ).【解答】解:(1)过P 作PC ⊥OB 于C ,作PD ⊥OA 于D ,如图:∵∠AOB =120°,∠EPF =60°,∴∠OEP +∠OFP =180°,∵∠OEP +∠PED =180°,∴∠OFP =∠PED ,即∠PFC =∠PED ,∵OP 平分∠AOB ,PC ⊥OB ,PD ⊥OA ,∴PC =PD ,∵∠PCF =∠PDE =90°,∴△PCF ≌△PDE (AAS ),∴CF =DE ,∴OE +OF =(OD -DE )+(OC +CF )=OD +OC ,∵∠POD =∠POC =60°,∴∠OPD =∠OPC =30°,∴OD =OC =12OP =2,∴OE +OF =4,设OF =x ,则OE =4-x ,过F 作FG ⊥AO 于G ,如图:∵∠OFG =∠AOB -∠G =120°-90°=30°,∴OG =12x ,GF =32x ,∴EG =OE +OG =4-12x ,∴EF ====,∴当x =2时,EF 取最小值12=23,∴线段EF 的最小值是23;(2)当整个水面AB 都被灯光照到时,①C 与A 重合,F 与B 重合,设PH 交P 1P 2于K ,圆心为O ,连接HO ,AO ,P 1O ,过P 1作P 1T ⊥AB 于T ,如图:∵点P 是拱桥AB的中点,PH ⊥AB ,∴O ,P ,H 共线,AH =BH =12AB =12m ,设⊙O 半径为r m ,则OH =OP -PH =(r -8)m ,在Rt △AHO 中,AH 2+OH 2=OA 2,∴122+(r -8)2=r 2,解得r =13,∴OP 1=13m ,∵PP 1=PP 2,且P 1P 2=10m ,∴P 1K =P 2K =5m ,∴OK ===12(m ),∴PK =OP -OK =13-12=1(m ),∴KH =PH -PK =8-1=7(m ),∴P 1T =KH =7m ,∵AT =AH -TH =12-5=7(m ),∴AT =P 1T ,∴∠P 1AT =45°,∵∠CP 1D =90°,即∠AP 1D =90°,∴△AP 1D 是等腰直角三角形,∴AD =2AT =14(m ),即CD =14m ,∴DB =AB -AD =24-14=10(m ),同理可得BE =14m ,即FE =14m ,∴DE =EF -DB =14-10=4(m ),∴这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为4m ;②当E 与A 重合,D 与B 重合时,如图:∵AT =P 1T =7m =P 2M ,P 1P 2=10m ,∴AM =AT +TF =17m ,∴AP 2===(m ),∵cos ∠P 2AM ==,∴=,∴AF =,同理BC =,∴CF =AF +BC -AB =+-24=(m );∴这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为m ;综上所述,这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为4m 或m .15(2023•北京)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1.对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义:若直线CA ,CB 中一条经过点O ,另一条是⊙O 的切线,则称点C 是弦AB 的“关联点”.(1)如图,点A (-1,0),B 1(-22,22),B 2(22,-22).①在点C 1(-1,1),C 2(-2,0),C 3(0,2)中,弦AB 1的“关联点”是C 1,C 2 ;②若点C 是弦AB 2的“关联点”,直接写出OC 的长;(2)已知点M (0,3),N (655,0),对于线段MN 上一点S ,存在⊙O 的弦PQ ,使得点S 是弦PQ 的“关联点”.记PQ 的长为t ,当点S 在线段MN 上运动时,直接写出t 的取值范围.【分析】(1)根据题目中关联点的定义分情况讨论即可;(2)根据M (0,3),N (655,0)两点来求最值情况,共有两种情况,分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【解答】解:(1)①由关联定义可知,若直线CA 、CB 中一条经过点O ,另一条是⊙O 的切线,则称点C 是弦AB 的“关联点”,∵点A (-1,0),B 1(-22,22),点C 1(-1,1),C 2(-2,0),C 3(0,2),∴直线AC 2经过点O ,且B 1C 2与⊙O 相切,∴C 2是弦AB 1的“关联点”,∵C 1(-1,1),A (-1,0)的横坐标相同,与B 1(-22,22)在直线y =-x 上,∴AC 1与⊙O 相切,B 1C 1经过点O ,∴C 1是弦AB 1的“关联点”;故答案为:C 1,C 2;②∵A (-1,0),B 2(22,-22),设C (a ,b ),如图所示,共有两种情况,a、若C1B2与⊙O相切,AC经过点O,则C1B2,AC1所在直线为,解得,∴C1(2,0),∴OC1=2,b、若AC2与⊙O相切,C2B2经过点O,则直线C2B2,AC2所在直线为,解得,∴C2(-1,1),∴OC2=2,综上所述,OC=2;(2)∵线段MN上一点S,存在⊙O的弦PQ,使得点S是弦PQ的“关联点”,∵弦PQ随着S的变动在一定范围内变动,且M(0,3),N(655,0),OM>ON,∴S共有2种情况,分别位于点M和经过点O的MN的垂线上,如图所示,①当S位于点M(0,3)时,MP为⊙O的切线,作PJ⊥OM,∵M(0,3),⊙O的半径为1,且MP是⊙O的切线,∴OP⊥MP,∵PJ⊥OM,∴△MPO∽△POJ,∴,即,解得OJ=,∴PJ==,Q1J=,∴PQ1==233,同理PQ2==26 3,∴当S位于M(0,3)时,PQ1的临界值为233和26 3;②当S位于经过点O的MN的垂线上的点K时,,∵M(0,3),N(655,0),∴MN=,∴=2,∵⊙O的半径为1,∴∠OKZ=30°,∴△OPQ为等边三角形,∴PQ=1或3,∴当S位于经过点O且垂直于MN的直线上即点K时,PQ1的临界点为1和3,∴在两种情况下,PQ的最小值在1≤t≤233内,最大值在263≤t≤3,综上所述,t的取值范围为1≤t≤233,263≤t≤3.16在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上,小霞小组通过探究得出:在平面内,一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论,解决以下问题:如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(60°<α<180°).点D是BC边上的一动点(点D不与B,C重合),将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE,连接BE.(1)求证:A,E,B,D四点共圆;(2)如图2,当AD=CD时,⊙O是四边形AEBD的外接圆,求证:AC是⊙O的切线;(3)已知α=120°,BC=6,点M是边BC的中点,此时⊙P是四边形AEBD的外接圆,直接写出圆心P与点M距离的最小值.【分析】(1)根据旋转的性质得到AE =AD ,∠DAE =α,证明∠BAE =∠CAD ,进而证明△ABE ≌△ACD ,可以得到∠AEB =∠ADC ,由∠ADC +∠ADB =180°,可得∠AEB +∠ADB =180°,即可证明A 、B 、D 、E 四点共圆;(2)连接OA ,OD ,根据等边对等角得到∠ABC =∠ACB =∠DAC ,由圆周角定理得到∠AOD =2∠ABC =2∠DAC ,再由OA =OD ,得到∠OAD =∠ODA ,利用三角形内角和定理证明∠DAC +∠OAD =90°,即∠OAC =90°,可证明AC 是⊙O 的切线;(3)作线段AB 的垂直平分线,分别交AB 、BC 于G 、F ,连接AM ,先求出∠B =∠C =30°,再由三线合一定理得到BM =CM =12BC =3,AM ⊥BC ,解直角三角形求出AB =23,则BG =12AB =3,再解Rt △BGF 得到BF =2,则FM =1;由⊙P 是四边形AEBD 的外接圆,可得点P 一定在AB 的垂直平分线上,故当MP ⊥GF 时,PM 有最小值,据此求解即可.【解答】(1)证明:由旋转的性质可得AE =AD ,∠DAE =α,∴∠BAC =∠DAE ,∴∠BAC -∠BAD =∠DAE -∠BAD ,即∠BAE =∠CAD ,又∵AB =AC ,∴△ABE ≌△ACD (SAS ),∴∠AEB =∠ADC ,∵∠ADC +∠ADB =180°,∴∠AEB +∠ADB =180°,∴A 、B 、D 、E 四点共圆;(2)证明:如图所示,连接OA ,OD ,∵AB =AC ,AD =CD ,∴∠ABC =∠ACB =∠DAC ,∵⊙O 是四边形AEBD 的外接圆,∴∠AOD =2∠ABC ,∴∠AOD =2∠ABC =2∠DAC ,∵OA =OD ,∴∠OAD =∠ODA ,∵∠OAD +∠ODA +∠AOD =180°,∴2∠DAC +2∠OAD =180°,∴∠DAC +∠OAD =90°,即∠OAC =90°,∴OA ⊥AC ,又∵OA 是⊙O 的半径,∴AC 是⊙O 的切线;(3)解:如图所示,作线段AB 的垂直平分线,分别交AB 、BC 于G 、F ,连接AM ,PM ,如图:∵AB =AC ,∠BAC =120°,。
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,在平面直角坐标系xoy中,E(8,0),F(0 , 6).(1)当G(4,8)时,则∠FGE= °(2)在图中的网格区域内找一点P,使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后,可以拼成一个正方形.要求:写出点P点坐标,画出过P点的分割线并指出分割线(不必说明理由,不写画法).【答案】(1)90;(2)作图见解析,P(7,7),PH是分割线.【解析】试题分析:(1)根据勾股定理求出△FEG的三边长,根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形,且∠FGE="90" °.(2)一方面,由于∠FPE=90°,从而根据直径所对圆周角直角的性质,点P在以EF为直径的圆上;另一方面,由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后,可以拼成一个正方形,从而OP是正方形的对角线,即点P在∠FOE的角平分线上,因此可得P(7,7),PH是分割线.试题解析:(1)连接FE,∵E(8,0),F(0 , 6),G(4,8),∴根据勾股定理,得FG=,EG=,FE=10.∵,即.∴△FEG是直角三角形,且∠FGE=90 °.(2)作图如下:P(7,7),PH是分割线.考点:1.网格问题;2.勾股定理和逆定理;3.作图(设计);4.圆周角定理.2.如图,AB是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,点C在⊙O上,CB∥PO.(1)判断PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=6,CB=4,求PC的长.【答案】(1)PC是⊙O的切线,理由见解析;(235 2【解析】试题分析:(1)要证PC是⊙O的切线,只要连接OC,再证∠PCO=90°即可.(2)可以连接AC,根据已知先证明△ACB∽△PCO,再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长.试题解析:(1)结论:PC是⊙O的切线.证明:连接OC∵CB∥PO∴∠POA=∠B,∠POC=∠OCB∵OC=OB∴∠OCB=∠B∴∠POA=∠POC又∵OA=OC,OP=OP∴△APO≌△CPO∴∠OAP=∠OCP∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OCP=90°∴PC是⊙O的切线.(2)连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°(6分)由(1)知∠PCO=90°,∠B=∠OCB=∠POC∵∠ACB=∠PCO∴△ACB∽△PCO∴∴.点睛:本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.同时考查了勾股定理和相似三角形的性质.3.如图,AB是圆O的直径,射线AM⊥AB,点D在AM上,连接OD交圆O于点E,过点D作DC=DA交圆O于点C(A、C不重合),连接O C、BC、CE.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若圆O的直径等于2,填空:①当AD=时,四边形OADC是正方形;②当AD=时,四边形OECB是菱形.【答案】(1)见解析;(2)①1;②3.【解析】试题分析:(1)依据SSS证明△OAD≌△OCD,从而得到∠OCD=∠OAD=90°;(2)①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA;②依据菱形的性质得到OE=CE,则△EOC为等边三角形,则∠CEO=60°,依据平行线的性质可知∠DOA=60°,利用特殊锐角三角函数可求得AD的长.试题解析:解:∵AM⊥AB,∴∠OAD=90°.∵OA=OC,OD=OD,AD=DC,∴△OAD≌△OCD,∴∠OCD=∠OAD=90°.∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线.(2)①∵当四边形OADC是正方形,∴AO=AD=1.故答案为:1.②∵四边形OECB是菱形,∴OE=CE.又∵OC=OE,∴OC=OE=CE.∴∠CEO=60°.∵CE∥AB,∴∠AOD=60°.在Rt△OAD中,∠AOD=60°,AO=1,∴AD=.故答案为:.点睛:本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定,特殊锐角三角函数值的应用,熟练掌握相关知识是解题的关键.4.如图,在直角坐标系中,⊙M经过原点O(0,0),点A(6,0)与点B(0,-2),点D 在劣弧OA上,连结BD交x轴于点C,且∠COD=∠CBO.(1)求⊙M的半径;(2)求证:BD平分∠ABO;(3)在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰为⊙M的切线,求此时点E的坐标.【答案】(1)M的半径r2;(2)证明见解析;(3)点E的坐标为(2632).【解析】试题分析:根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度,根据Rt△AOB的勾股定理得出AB的长度,然后得出半径;根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD,然后结合已知条件得出角平分线;根据角平分线得出△ABE≌△HBE,从而得出2,从而求出OH 的长度,即点E的纵坐标,根据Rt△AOB的三角函数得出∠ABO的度数,从而得出∠CBO 的度数,然后根据Rt△HBE得出HE的长度,即点E的横坐标.试题解析:(1)∵点A6,0),点B为(02)∴62∴根据Rt△AOB的勾股定理可得:2∴M的半径r=122.(2)根据同弧所对的圆周角相等可得:∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO(3)如图,由(2)中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22-2=2在Rt △AOB 中,3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中,HE=263=∴点E 的坐标为(26,2)考点:勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.5.如图,已知AB 是⊙O 的直径,P 是BA 延长线上一点,PC 切⊙O 于点C ,CD ⊥AB ,垂足为D .(1)求证:∠PCA =∠ABC ;(2)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ,交CD 于点F ,交BC 于点M ,若∠CAB =2∠B ,CF 3【答案】(1)详见解析;(2633π-. 【解析】【分析】(1)如图,连接OC ,利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ,利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.(2)先求出△OCA 是等边三角形,在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值,分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值,利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形,然后通过计算即可解答.【详解】解:(1)证明:连接OC,如图,∵PC切⊙O于点C,∴OC⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC;(2)连接OE,如图,∵△ACB中,∠ACB=90º,∠CAB=2∠B,∴∠B=30º,∠CAB=60º,∴△OCA是等边三角形,∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD=∠CAD+∠ABC=90º,∴∠ACD=∠B=30º,∵PC∥AE,∴∠PCA=∠CAE=30º,∴FC=FA,同理,CF=FM,∴AM=2CF=23,Rt△ACM中,易得AC=23×3=3=OC,∵∠B=∠CAE=30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG⊥AB交AB于G点,如图所示,∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO=3∵△CDO≌△EDO(AAS),∴332∴1332ABM S AB MO ∆=⨯=, 同样,易求934AOE S ∆=, 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形=93363333424ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力,综合性较强,有一定难度,熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.6.如图,在Rt △ABC 中,点O 在斜边AB 上,以O 为圆心,OB 为半径作圆,分别与BC ,AB 相交于点D ,E ,连接AD .已知∠CAD =∠B .(1)求证:AD 是⊙O 的切线;(2)若CD =2,AC =4,BD =6,求⊙O 的半径.【答案】(1)详见解析;(2)35. 【解析】【分析】 (1)解答时先根据角的大小关系得到∠1=∠3,根据直角三角形中角的大小关系得出OD ⊥AD ,从而证明AD 为圆O 的切线;(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】(1)证明:连接OD ,∵OB =OD ,∴∠3=∠B ,∵∠B =∠1,∴∠1=∠3,在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,∴∠4=180°﹣(∠2+∠3)=90°,∴OD⊥AD,则AD为圆O的切线;(2)过点O作OF⊥BC,垂足为F,∵OF⊥BD∴DF=BF=12BD=3∵AC=4,CD=2,∠ACD=90°∴AD=22AC CD=25∵∠CAD=∠B,∠OFB=∠ACD=90°∴△BFO∽△ACD∴BFAC = OB AD即34=25∴OB=352∴⊙O的半径为352.【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系,圆的半径的求解,掌握勾股定理,两三角形相似的判定条件是解题的关键7.(问题情境)如图1,点E是平行四边形ABCD的边AD上一点,连接BE、CE.求证:BCE 1S2=S平行四边形ABCD.(说明:S表示面积)请以“问题情境”为基础,继续下面的探究(探究应用1)如图2,以平行四边形ABCD的边AD为直径作⊙O,⊙O与BC边相切于点H,与BD相交于点M.若AD=6,BD=y,AM=x,试求y与x之间的函数关系式.(探究应用2)如图3,在图1的基础上,点F在CD上,连接AF、BF,AF与CE相交于点G,若AF=CE,求证:BG平分∠AGC.(迁移拓展)如图4,平行四边形ABCD中,AB:BC=4:3,∠ABC=120°,E是AB的中点,F在BC上,且BF:FC=2:1,过D分别作DG⊥AF于G,DH⊥CE于H,请直接写出DG:DH的值.【答案】【问题情境】见解析;【探究应用1】18yx=;【探究应用2】见解析;【迁移【解析】【分析】(1)作EF⊥BC于F,则S△BCE=12BC×EF,S平行四边形ABCD=BC×EF,即可得出结论;(2)连接OH,由切线的性质得出OH⊥BC,OH=12AD=3,求出平行四边形ABCD的面积=AD×OH=18,由圆周角定理得出AM⊥BD,得出△ABD的面积=12BD×AM=12平行四边形的面积=9,即可得出结果;(3)作BM⊥AF于M,BN⊥CE于N,同图1得:△ABF的面积=△BCE的面积=12平行四边形ABCD的面积,得出12AF×BM=12CE×BN,证出BM=BN,即可得出BG平分∠AGC.(4)作AP⊥BC于P,EQ⊥BC于Q,由平行四边形的性质得出∠ABP=60°,得出∠BAP=30°,设AB=4x,则BC=3x,由直角三角形的性质得出BP=12AB=2x,BQ=12BE,AP=BP=,由已知得出BE=2x,BF=2x,得出BQ=x,EQ x,PF=4x,QF=3x,QC=4x,由勾股定理求出AF=x,CE,连接DF、DE,由三角形的面积关系得出AF×DG=CE×DH,即可得出结果.【详解】(1)证明:作EF⊥BC于F,如图1所示:则S△BCE=12BC×EF,S平行四边形ABCD=BC×EF,∴12BCE ABCD S S =.(2)解:连接OH ,如图2所示:∵⊙O 与BC 边相切于点H , ∴OH ⊥BC ,OH =12AD =3, ∴平行四边形ABCD 的面积=AD×OH =6×3=18,∵AD 是⊙O 的直径,∴∠AMD =90°,∴AM ⊥BD ,∴△ABD 的面积=12BD×AM =12平行四边形的面积=9, 即12xy =9, ∴y 与x 之间的函数关系式y =18x ; (3)证明:作BM ⊥AF 于M ,BN ⊥CE 于N ,如图3所示:同图1得:△ABF 的面积=△BCE 的面积=12平行四边形ABCD 的面积, ∴12AF×BM =12CE×BN , ∵AF =CE ,∴BM =BN ,∴BG 平分∠AGC . (4)解:作AP ⊥BC 于P ,EQ ⊥BC 于Q ,如图4所示:∵平行四边形ABCD 中,AB :BC =4:3,∠ABC =120°,∴∠ABP =60°,∴∠BAP =30°,设AB =4x ,则BC =3x ,∴BP =12AB =2x ,BQ =12BE ,AP BP =, ∵E 是AB 的中点,F 在BC 上,且BF :FC =2:1,∴BE =2x ,BF =2x ,∴BQ =x , ∴EQ,PF =4x ,QF =3x ,QC =4x ,由勾股定理得:AF =x ,CE , 连接DF 、DE ,则△CDE 的面积=△ADF 的面积=12平行四边形ABCD 的面积,∴AF×DG =CE×DH ,∴DG :DH =CE :AF =19x :27x 19:27=.【点睛】本题是圆的综合题目,考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识;本题综合性强,需要添加辅助线,熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键.8.对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ,Q ,给出如下定义:M 为图形P 上任意一点,N 为图形Q 上任意一点,如果M ,N 两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形P ,Q 间的“非常距离”,记作d (P ,Q ).已知点A (4,0),B (0,4),连接AB .(1)d (点O ,AB )= ;(2)⊙O 半径为r ,若d (⊙O ,AB )=0,求r 的取值范围;(3)点C (-3,-2),连接AC ,BC ,⊙T 的圆心为T (t ,0),半径为2,d (⊙T ,△ABC ),且0<d <2,求t 的取值范围.【答案】(1)222)224r ≤≤;(3)25252t -<<-或6<r <8.【解析】【分析】(1)如下图所示,由题意得:过点O 作AB 的垂线,则垂线段即为所求;(2)如下图所示,当d (⊙O ,AB )=0时,过点O 作OE ⊥AB ,交AB 于点E ,则:OB=2, OE=22,即可求解; (3)分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况,求解即可.【详解】(1)过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ,根据“非常距离”的定义可知,d (点O ,AB )=OD=2AB =22442+=22; (2)如图,当d (⊙O ,AB )=0时,过点O 作OE ⊥AB,则OE=22,OB=OA=4,∵⊙O 与线段AB 的“非常距离”为0,∴224r ≤≤;(3)当⊙T 在△ABC 左侧时,如图,当⊙T 与BC 相切时,d=0,BC=2236+=35,过点C 作CE ⊥y 轴,过点T 作TF ⊥BC,则△TFH ∽△BEC,∴TF TH BE BC=, 即2=635TH , ∴TH=5,∵HO ∥CE,∴△BHO ∽△BEC,∴HO=2,此时T(-5-2,0);当d=2时,如图,同理可得,此时T (252--);∵0<d <2,∴25252t --<<--;当⊙T 在△ABC 右侧时,如图,当p=0时,t=6,当p=2时,t=8.∵0<d <2,∴6<r <8; 综上,25252t --<<--或6<r <8.【点睛】本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用.9.如图,AB 是半圆⊙O 的直径,点C 是半圆⊙O 上的点,连接AC ,BC ,点E 是AC 的中点,点F 是射线OE 上一点.(1)如图1,连接FA ,FC ,若∠AFC =2∠BAC ,求证:FA ⊥AB ;(2)如图2,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,点G 是线段CD 上一点(不与点C 重合),连接FA ,FG ,FG 与AC 相交于点P ,且AF =FG .①试猜想∠AFG 和∠B 的数量关系,并证明;②连接OG ,若OE =BD ,∠GOE =90°,⊙O 的半径为2,求EP 的长.【答案】(1)见解析;(2)①结论:∠GFA =2∠ABC .理由见解析;②PE 3. 【解析】【分析】 (1)证明∠OFA =∠BAC ,由∠EAO +∠EOA =90°,推出∠OFA +∠AOE =90°,推出∠FAO =90°即可解决问题.(2)①结论:∠GFA =2∠ABC .连接FC .由FC =FG =FA ,以F 为圆心FC 为半径作⊙F .因为AG AG =,推出∠GFA =2∠ACG ,再证明∠ACG =∠ABC .②图2﹣1中,连接AG ,作FH ⊥AG 于H .想办法证明∠GFA =120°,求出EF ,OF ,OG 即可解决问题.【详解】(1)证明:连接OC .∵OA=OC,EC=EA,∴OF⊥AC,∴FC=FA,∴∠OFA=∠OFC,∵∠CFA=2∠BAC,∴∠OFA=∠BAC,∵∠OEA=90°,∴∠EAO+∠EOA=90°,∴∠OFA+∠AOE=90°,∴∠FAO=90°,∴AF⊥AB.(2)①解:结论:∠GFA=2∠ABC.理由:连接FC.∵OF垂直平分线段AC,∴FG=FA,∵FG=FA,∴FC=FG=FA,以F为圆心FC为半径作⊙F.∵AG AG,∴∠GFA=2∠ACG,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵CD⊥AB,∴∠ABC+∠BCA=90°,∵∠BCD+∠ACD=90°,∴∠ABC=∠ACG,∴∠GFA=2∠ABC.②如图2﹣1中,连接AG,作FH⊥AG于H.∵BD =OE ,∠CDB =∠AEO =90°,∠B =∠AOE ,∴△CDB ≌△AEO (AAS ),∴CD =AE ,∵EC =EA ,∴AC =2CD .∴∠BAC =30°,∠ABC =60°,∴∠GFA =120°,∵OA =OB =2,∴OE =1,AE =,BA =4,BD =OD =1, ∵∠GOE =∠AEO =90°,∴OG ∥AC , 323DG OG ∴==, 222213AG DG AD ∴=+=, ∵FG =FA ,FH ⊥AG ,∴AH =HG 21∠AFH =60°, ∴AF =27sin 603AH ︒=, 在Rt △AEF 中,EF 2213AF AE -=, ∴OF =OE +EF =43 , ∵PE ∥OG , ∴PE EF OG 0F=, ∴134233=, ∴PE 3. 【点睛】圆综合题,考查了垂径定理,勾股定理,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.10.如图,已知在△ABC中,AB=15,AC=20,tanA=12,点P在AB边上,⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时,⊙P恰好与AC边相切;当点P与点B不重合时,⊙P与AC边相交于点M和点N.(1)求⊙P的半径;(2)当AP=65时,试探究△APM与△PCN是否相似,并说明理由.【答案】(1)半径为35;(2)相似,理由见解析.【解析】【分析】(1)如图,作BD⊥AC,垂足为点D,⊙P与边AC相切,则BD就是⊙P的半径,利用解直角三角形得出BD与AD的关系,再利用勾股定理可求得BD的长;(2)如图,过点P作PH⊥AC于点H,作BD⊥AC,垂足为点D,根据垂径定理得出MN=2MH,PM=PN,再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长,从而求出AM、NC的长,然后求出AMMP、PNNC的值,得出AMMP=PNNC,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】(1)如图,作BD⊥AC,垂足为点D,∵⊙P与边AC相切,∴BD就是⊙P的半径,在Rt△ABD中,tanA= 1BD2AD ,设BD=x,则AD=2x,∴x2+(2x)2=152,解得:5∴半径为35; (2)相似,理由见解析, 如图,过点P 作PH ⊥AC 于点H ,作BD ⊥AC ,垂足为点D ,∴PH 垂直平分MN ,∴PM=PN ,在Rt △AHP 中,tanA=12PH AH =, 设PH=y ,AH=2y ,y 2+(2y )2=(65)2解得:y=6(取正数),∴PH=6,AH=12,在Rt △MPH 中,MH=()22356-=3,∴MN=2MH=6,∴AM=AH-MH=12-3=9,NC=AC-MN-AM=20-6-9=5,∴3535AM MP ==,35PN NC =, ∴AM MP =PN NC, 又∵PM=PN ,∴∠PMN=∠PNM ,∴∠AMP=∠PNC ,∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.。
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,AB 为O 的直径,弦//CD AB ,E 是AB 延长线上一点,CDB ADE ∠=∠. ()1DE 是O 的切线吗?请说明理由;()2求证:2AC CD BE =⋅.【答案】(1)结论:DE 是O 的切线,理由见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】 (1)连接OD ,只要证明OD DE ⊥即可;(2)只要证明:AC BD =,CDB DBE ∽即可解决问题.【详解】()1解:结论:DE 是O 的切线.理由:连接OD .CDB ADE ∠=∠,ADC EDB ∴∠=∠,//CD AB ,CDA DAB ∴∠=∠,OA OD =,OAD ODA ∴∠=∠,ADO EDB ∴∠=∠, AB 是直径,90ADB ∴∠=,90ADB ODE ∴∠=∠=,DE OD ∴⊥,DE ∴是O 的切线.()2//CD AB,ADC DAB∴∠=∠,CDB DBE∠=∠,AC BD∴=,AC BD∴=,DCB DAB∠=∠,EDB DAB∠=∠,EDB DCB∴∠=∠,CDB∴∽DBE,CD DBBD BE∴=,2BD CD BE∴=⋅,2AC CD BE∴=⋅.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,准确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.2.如图,已知AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,点D在OC的延长线上,连接DA,交BC的延长线于点E,使得∠DAC=∠B.(1)求证:DA是⊙O切线;(2)求证:△CED∽△ACD;(3)若OA=1,sinD=13,求AE的长.【答案】(1)证明见解析;(22【解析】分析:(1)由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线;(2)由∠DAC=∠DCE,∠D=∠D可知△DEC∽△DCA;(3)由题意可知AO=1,OD=3,DC=2,由勾股定理可知AD=2,故此可得到DC2=DE•AD,故此可求得DE的长,于是可求得AE的长.详解:(1)∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠B=90°.∵∠DAC=∠B,∴∠CAB+∠DAC=90°,∴AD⊥AB.∵OA是⊙O半径,∴DA为⊙O的切线;(2)∵OB=OC,∴∠OCB=∠B.∵∠DCE=∠OCB,∴∠DCE=∠B.∵∠DAC=∠B,∴∠DAC=∠DCE.∵∠D=∠D,∴△CED∽△ACD;(3)在Rt△AOD中,OA=1,sin D=13,∴OD=OAsinD=3,∴CD=OD﹣OC=2.∵AD=22OD OA-=22.又∵△CED∽△ACD,∴AD CDCD DE=,∴DE=2CDAD=2,∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2.点睛:本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定,证得△DEC∽△DCA是解题的关键.3.在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,以MN为边构造菱形,若该菱形的两条对角线分别平行于x轴,y轴,则称该菱形为边的“坐标菱形”.(1)已知点A(2,0),B(0,23),则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为;(2)若点C(1,2),点D在直线y=5上,以CD为边的“坐标菱形”为正方形,求直线CD 表达式;(3)⊙O的半径为2,点P的坐标为(3,m).若在⊙O上存在一点Q,使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形,求m的取值范围.【答案】(1)60°;(2)y=x+1或y=﹣x+3;(3)1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析:(1)根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”,由勾股定理求边长AB=4,可得30度角,从而得最小内角为60°;(2)先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°,得D(4,5)或(﹣2,5),易得直线CD的表达式为:y=x+1或y=﹣x+3;(3)分两种情况:①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3,根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1,PB=5,写出对应P的坐标;②先作直线y=﹣x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=﹣x,如图4,同理可得结论.详解:(1)∵点A(2,0),B(0,∴OA=2,OB.在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB,∴∠ABO=30°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABC=2∠ABO=60°.∵AB∥CD,∴∠DCB=180°﹣60°=120°,∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°.故答案为:60°;(2)如图2.∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形,∴直线CD与直线y=5的夹角是45°.过点C作CE⊥DE于E,∴D(4,5)或(﹣2,5),∴直线CD的表达式为:y=x+1或y=﹣x+3;(3)分两种情况:①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3.∵⊙O,且△OQ'D是等腰直角三角形,∴OD OQ'=2,∴P'D=3﹣2=1.∵△P'DB是等腰直角三角形,∴P'B=BD=1,∴P'(0,1),同理可得:OA=2,∴AB=3+2=5.∵△ABP是等腰直角三角形,∴PB=5,∴P(0,5),∴当1≤m≤5时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;②先作直线y=﹣x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=﹣x,如图4.∵⊙O,且△OQ'D是等腰直角三角形,∴OD'=2,∴BD=3﹣2=1.∵△P'DB是等腰直角三角形,∴P'B=BD=1,∴P'(0,﹣1),同理可得:OA=2,∴AB=3+2=5.∵△ABP是等腰直角三角形,∴PB=5,∴P(0,﹣5),∴当﹣5≤m≤﹣1时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;综上所述:m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1.点睛:本题是一次函数和圆的综合题,考查了菱形的性质、正方形的性质、点P,Q的“坐标菱形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会利用图象解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,注意一题多解,属于中考创新题目.4.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需要确定管道圆形截面的半径.如图,若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.【答案】10cm【解析】分析:先过圆心O作半径CO⊥AB,交AB于点D设半径为r,得出AD、OD的长,在Rt△AOD中,根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.详解:解:过点O作OC⊥AB于D,交⊙O于C,连接OB,∵OC⊥AB∴BD=12AB=12×16=8cm由题意可知,CD=4cm∴设半径为xcm,则OD=(x﹣4)cm在Rt△BOD中,由勾股定理得:OD2+BD2=OB2(x﹣4)2+82=x2解得:x=10.答:这个圆形截面的半径为10cm.点睛:此题考查了垂经定理和勾股定理,关键是根据题意画出图形,再根据勾股定理进行求解.5.如图,A是以BC为直径的⊙O上一点,AD⊥BC于点D,过点B作⊙O的切线,与CA 的延长线相交于点E,G是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.(1)求证:BF=EF:(2)求证:PA是⊙O的切线;(3)若FG=BF,且⊙O的半径长为32,求BD的长度.【答案】(1)证明见解析;(2) 证明见解析;(3)2【解析】分析:(1)利用平行线截三角形得相似三角形,得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC,得到对应线段成比例,再结合已知条件可得BF=EF;(2)利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角,得到∠FAO=∠EBO,结合BE是圆的切线,得到PA⊥OA,从而得到PA是圆O的切线;(3)点F作FH⊥AD于点H,根据前两问的结论,利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度.详解:证明:(1)∵BC是圆O的直径,BE是圆O的切线,∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC,∴AD∥BE.∴△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC,∴BFDG=CFCG,EFAG=CFCG,∴BFDG=EFAG,∵G是AD的中点,∴DG=AG,∴BF=EF;(2)连接AO,AB.∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90°,由(1)得:在Rt△BAE中,F是斜边BE的中点,∴AF=FB=EF,可得∠FBA=∠FAB,又∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO,∵BE是圆O的切线,∴∠EBO=90°,∴∠FBA+∠ABO=90°,∴∠FAB+∠BAO=90°,即∠FAO=90°,∴PA⊥OA,∴PA是圆O的切线;(3)过点F作FH⊥AD于点H,∵BD⊥AD,FH⊥AD,∴FH∥BC,由(2),知∠FBA =∠BAF ,∴BF =AF .∵BF =FG ,∴AF =FG ,∴△AFG 是等腰三角形.∵FH ⊥AD ,∴AH =GH ,∵DG =AG ,∴DG =2HG . 即12HG DG =, ∵FH ∥BD ,BF ∥AD ,∠FBD =90°,∴四边形BDHF 是矩形,∴BD =FH ,∵FH ∥BC∴△HFG ∽△DCG , ∴12FH HG CD DG ==, 即12BD CD =,∴ 2.15≈, ∵O 的半径长为,∴BC,∴BD =13BC =. 点睛:本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.6.如图1,延长⊙O 的直径AB 至点C ,使得BC=12AB ,点P 是⊙O 上半部分的一个动点(点P 不与A 、B 重合),连结OP ,CP .(1)∠C 的最大度数为 ;(2)当⊙O 的半径为3时,△OPC 的面积有没有最大值?若有,说明原因并求出最大值;若没有,请说明理由;(3)如图2,延长PO 交⊙O 于点D ,连结DB ,当CP=DB 时,求证:CP 是⊙O 的切线.【答案】(1)30°;(2)有最大值为9,理由见解析;(3)证明见解析.【解析】试题分析:(1)当PC与⊙O相切时,∠OCP的度数最大,根据切线的性质即可求得;(2)由△OPC的边OC是定值,得到当OC边上的高为最大值时,△OPC的面积最大,当PO⊥OC时,取得最大值,即此时OC边上的高最大,于是得到结论;(3)根据全等三角形的性质得到AP=DB,根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C,得到CO=OB+OB=AB,推出△APB≌△CPO,根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB,根据圆周角定理得到∠APB=90°,即可得到结论.试题解析:(1)当PC与⊙O相切时,∠OCP最大.如图1,所示:∵sin∠OCP=OPOC =24=12,∴∠OCP=30°∴∠OCP的最大度数为30°,故答案为:30°;(2)有最大值,理由:∵△OPC的边OC是定值,∴当OC边上的高为最大值时,△OPC的面积最大,而点P在⊙O上半圆上运动,当PO⊥OC时,取得最大值,即此时OC边上的高最大,也就是高为半径长,∴最大值S△OPC=12OC•OP=12×6×3=9;(3)连结AP,BP,如图2,在△OAP与△OBD中,OA ODAOP BODOP OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△OAP≌△OBD,∴AP=DB,∵PC=DB,∴AP=PC,∵PA=PC,∴∠A=∠C,∵BC=12AB=OB,∴CO=OB+OB=AB,在△APB和△CPO中,AP CPA CAB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△APB≌△CPO,∴∠CPO=∠APB,∵AB为直径,∴∠APB=90°,∴∠CPO=90°,∴PC切⊙O于点P,即CP是⊙O的切线.7.已知P 是O 的直径BA 延长线上的一个动点,∠P 的另一边交O 于点C 、D ,两点位于AB 的上方,AB =6,OP=m ,1sin 3P =,如图所示.另一个半径为6的1O 经过点C 、D ,圆心距1OO n =.(1)当m=6时,求线段CD 的长;(2)设圆心O 1在直线AB 上方,试用n 的代数式表示m ;(3)△POO 1在点P 的运动过程中,是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形,如果能,试求出此时n 的值;如果不能,请说明理由.【答案】(1)CD=2523812n n;(3) n 9559155 【解析】分析:(1)过点O 作OH ⊥CD ,垂足为点H ,连接OC .解Rt △POH ,得到OH 的长.由勾股定理得CH 的长,再由垂径定理即可得到结论;(2)解Rt △POH ,得到Rt 3m OH OCH =.在和Rt △1O CH 中,由勾股定理即可得到结论;(3)△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论:① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时,分1OP OO =和11O P OO =.②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时,同理可得结论. 详解:(1)过点O 作OH ⊥CD ,垂足为点H ,连接OC .在Rt △1sin 63POH P PO =中,=,,∴2OH =.∵AB =6,∴3OC =.由勾股定理得: 5CH =∵OH ⊥DC ,∴225CD CH ==.(2)在Rt △1sin 3POH P PO m 中,=,=,∴3m OH =. 在Rt △OCH 中,2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭=. 在Rt △1O CH 中,22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=. 可得: 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=,解得23812n m n -:=. (3)△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况:① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时i )1OP OO =,即m n =,由23812n n n -=,解得9n :=. 即圆心距等于O 、1O 的半径的和,就有O 、1O 外切不合题意舍去.ii )11O P OO =22233m m n m -+-()() n =, 解得:23m n =,即23n 23812n n -=,解得9155n := ②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时,同理可得: 28132n m n-=. ∵1POO ∠是钝角,∴只能是m n =,即28132n n n -=,解得955n := 综上所述:n 9559155点睛:本题是圆的综合题.考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形.解答(3)的关键是要分类讨论.8.如图,在Rt △ABC 中,90C ∠=︒,AD 平分∠BAC ,交BC 于点D ,点O 在AB 上,⊙O 经过A 、D 两点,交AC 于点E ,交AB 于点F .(1)求证:BC 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径是2cm ,E 是弧AD 的中点,求阴影部分的面积(结果保留π和根号)【答案】(1)证明见解析 (2)233π- 【解析】【分析】 (1)连接OD ,只要证明OD ∥AC 即可解决问题;(2)连接OE ,OE 交AD 于K .只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题.【详解】(1)连接OD .∵OA =OD ,∴∠OAD =∠ODA .∵∠OAD =∠DAC ,∴∠ODA =∠DAC ,∴OD ∥AC ,∴∠ODB =∠C =90°,∴OD ⊥BC ,∴BC 是⊙O 的切线.(2)连接OE ,OE 交AD 于K .∵AE DE =,∴OE ⊥AD .∵∠OAK =∠EAK ,AK =AK ,∠AKO =∠AKE =90°,∴△AKO ≌△AKE ,∴AO =AE =OE ,∴△AOE是等边三角形,∴∠AOE =60°,∴S 阴=S 扇形OAE ﹣S △AOE 26023360π⋅⋅=-⨯22233π=-. 【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.9.如图,四边形为菱形,且,以为直径作,与交于点.请仅用无刻度的直尺按下列要求画图.(保留作图痕迹)(1)在如图中,过点作边上的高.(2)在如图中,过点作的切线,与交于点.【答案】(1)如图1所示.(答案不唯一),见解析;(2)如图2所示.(答案不唯一),见解析.【解析】【分析】(1)连接AC交圆于一点F,连接PF交AB于点E,连接CE即为所求.(2)连接OF交BC于Q,连接PQ即为所求.【详解】(1)如图1所示.(答案不唯一)(2)如图2所示.(答案不唯一)【点睛】本题考查作图-复杂作图,菱形和圆的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.10.如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠D=60°且AB=6,过O点作OE⊥AC,垂足为E.(1)求OE的长;(2)若OE的延长线交⊙O于点F,求弦AF、AC和弧CF围成的图形(阴影部分)的面积.(结果保留 )【答案】(1)OE的长为32;(2)阴影部分的面积为3 2π【解析】(1)OE=32(2)S=32π。
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,CD 为⊙O 的直径,点B 在⊙O 上,连接BC 、BD ,过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ,AEO C =∠∠,OE 交BC 于点F . (1)求证:OE ∥BD ;(2)当⊙O 的半径为5,2sin 5DBA ∠=时,求EF 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)EF 的长为212【解析】试题分析:(1)连接OB ,利用已知条件和切线的性质证明; (2)根据锐角三角函数和相似三角形的性质,直接求解即可.试题解析:(1)连接OB , ∵CD 为⊙O 的直径 , ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线,∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径,∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠. ∵E C ∠=∠,∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD . (2)由(1)可得sin ∠C = ∠DBA=25,在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5, 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠,∴△CBD ∽△EBO . ∴BD CDBO EO= ∴252EO =.∵OE ∥BD ,CO =OD , ∴CF =FB . ∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=2.已知:如图,在矩形ABCD 中,点O 在对角线BD 上,以OD 的长为半径的⊙O 与AD ,BD 分别交于点E 、点F ,且∠ABE=∠DBC .(1)判断直线BE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (2)若sin ∠ABE=33,CD=2,求⊙O 的半径.【答案】(1)直线BE 与⊙O 相切,证明见解析;(2)⊙O 的半径为32. 【解析】分析:(1)连接OE ,根据矩形的性质,可证∠BEO =90°,即可得出直线BE 与⊙O 相切; (2)连接EF ,先根据已知条件得出BD 的值,再在△BEO 中,利用勾股定理推知BE 的长,设出⊙O 的半径为r ,利用切线的性质,用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值. 详解:(1)直线BE 与⊙O 相切.理由如下:连接OE ,在矩形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠ADB =∠DBC . ∵OD =OE ,∴∠OED =∠ODE . 又∵∠ABE =∠DBC ,∴∠ABE =∠OED , ∵矩形ABDC ,∠A =90°,∴∠ABE +∠AEB =90°,∴∠OED +∠AEB =90°,∴∠BEO =90°,∴直线BE 与⊙O 相切;(2)连接EF ,方法1:∵四边形ABCD 是矩形,CD =2,∴∠A =∠C =90°,AB =CD =2. ∵∠ABE =∠DBC ,∴sin ∠CBD =33sin ABE ∠= ∴23DCBD sin CBD∠==在Rt △AEB 中,∵CD =2,∴22BC =. ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ,∴2222DC AE AEAE BC AB ,,==∴=, 由勾股定理求得6BE =在Rt △BEO 中,∠BEO =90°,EO 2+EB 2=OB 2.设⊙O 的半径为r ,则222623r r +=-()(),∴r =32, 方法2:∵DF 是⊙O 的直径,∴∠DEF =90°. ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =∠C =90°,AB =CD =2. ∵∠ABE =∠DBC ,∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠=. 设3DC x BD x ==,,则2BC x =.∵CD =2,∴22BC =. ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ,∴2222DC AE AEAE BC AB ,,=∴=∴=, ∴E 为AD 中点.∵DF 为直径,∠FED =90°,∴EF ∥AB ,∴132DF BD ==,∴⊙O 的半径为32.点睛:本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点,具有较强的综合性,有一定的难度.3.如图,O 是△ABC 的内心,BO 的延长线和△ABC 的外接圆相交于D ,连结DC 、DA 、OA 、OC ,四边形OADC 为平行四边形. (1)求证:△BOC ≌△CDA . (2)若AB =2,求阴影部分的面积.【答案】(1)证明见解析;(2433π-. 【解析】分析: (1)根据内心性质得∠1=∠2,∠3=∠4,则AD=CD ,于是可判断四边形OADC 为菱形,则BD 垂直平分AC ,∠4=∠5=∠6,易得OA=OC ,∠2=∠3,所以OB=OC ,可判断点O 为△ABC 的外心,则可判断△ABC 为等边三角形,所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°,BC=AC ,再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°,AD=OC ,CD=OA=OB ,则根据“SAS”证明△BOC ≌△CDA ;(2)作OH ⊥AB 于H ,如图,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°,根据垂径定理得到BH=AH=12AB=1,再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=33BH=33,OB=2OH=233,然后根据三角形面积公式和扇形面积公式,利用S 阴影部分=S 扇形AOB-S △AOB 进行计算即可. 详解:(1)证明:∵O 是△ABC 的内心,∴∠2=∠3,∠5=∠6, ∵∠1=∠2,∴∠1=∠3, 由AD ∥CO ,AD =CO ,∴∠4=∠6, ∴△BOC ≌△CDA (AAS )(2)由(1)得,BC =AC ,∠3=∠4=∠6, ∴∠ABC =∠ACB ∴AB =AC∴△ABC 是等边三角形 ∴O 是△ABC 的内心也是外心 ∴OA =OB =OC设E 为BD 与AC 的交点,BE 垂直平分AC . 在Rt △OCE 中,CE=12AC=12AB=1,∠OCE=30°, ∴23∵∠AOC=120°, ∴=AOBAOB S S S -阴影扇=2120231323602π-⨯ =433π- 点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.4.如图,已知AB为⊙O直径,D是BC的中点,DE⊥AC交AC的延长线于E,⊙O的切线交AD的延长线于F.(1)求证:直线DE与⊙O相切;(2)已知DG⊥AB且DE=4,⊙O的半径为5,求tan∠F的值.【答案】(1)证明见解析;(2)2.【解析】试题分析:(1)连接BC、OD,由D是弧BC的中点,可知:OD⊥BC;由OB为⊙O的直径,可得:BC⊥AC,根据DE⊥AC,可证OD⊥DE,从而可证DE是⊙O的切线;(2)直接利用勾股定理得出GO的长,再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值.试题解析:解:(1)证明:连接OD,BC,∵D是弧BC的中点,∴OD垂直平分BC,∵AB 为⊙O的直径,∴AC⊥BC,∴OD∥AE.∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∵OD为⊙O的半径,∴DE 是⊙O的切线;(2)解:∵D是弧BC的中点,∴DC DB,∴∠EAD=∠BAD,∵DE⊥AC,DG⊥AB且DE=4,∴DE=DG=4,∵DO=5,∴GO=3,∴AG=8,∴tan∠ADG=84=2,∵BF是⊙O的切线,∴∠ABF=90°,∴DG∥BF,∴tan∠F=tan∠ADG=2.点睛:此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识,正确得出AG,DG的长是解题关键.5.如图.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=30cm,点P在AB上,AP=10cm,点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动,同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动,点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动,在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧,设点E、F运动的时间为t (s)(0<t<20).(1)当点H落在AC边上时,求t的值;(2)设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S.①试求S关于t的函数表达式;②以点C为圆心,12t为半径作⊙C,当⊙C与GH所在的直线相切时,求此时S的值.【答案】(1)t=2s或10s;(2)①S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩;②100cm2.【解析】试题分析:(1)如图1中,当0<t≤5时,由题意AE=EH=EF,即10﹣2t=3t,t=2;如图2中,当5<t<20时,AE=HE,2t﹣10=10﹣(2t﹣10)+t,t=10;(2)分四种切线讨论a、如图3中,当0<t≤2时,重叠部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9t2.b、如图4中,当2<t≤5时,重叠部分是五边形EFGMN.c、如图5中,当5<t<10时,重叠部分是五边形EFGMN.d、如图6中,当10<t<20时,重叠部分是正方形EFGH.分别计算即可;②分两种情形分别列出方程即可解决问题.试题解析:解:(1)如图1中,当0<t≤5时,由题意得:AE=EH=EF,即10﹣2t=3t,t=2如图2中,当5<t<20时,AE=HE,2t﹣10=10﹣(2t﹣10)+t,t=10.综上所述:t=2s或10s时,点H落在AC边上.(2)①如图3中,当0<t≤2时,重叠部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9t2如图4中,当2<t≤5时,重叠部分是五边形EFGMN,S=(3t)2﹣12(5t﹣10)2=﹣72t2+50t﹣50.如图5中,当5<t<10时,重叠部分是五边形EFGMN,S=(20﹣t)2﹣12(30﹣3t)2=﹣72t2+50t﹣50.如图6中,当10<t<20时,重叠部分是正方形EFGH,S=(20﹣t)2=t2﹣40t+400.综上所述:S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩.②如图7中,当0<t≤5时,12t+3t=15,解得:t=307,此时S=100cm2,当5<t<20时,12t+20﹣t=15,解得:t=10,此时S=100.综上所述:当⊙C与GH所在的直线相切时,求此时S的值为100cm2点睛:本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,注意不能漏解,属于中考压轴题.6.阅读:圆是最完美的图形,它具有一些特殊的性质:同弧或等弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”,再利用圆的性质将问题进行转化,往往能化隐为显、化难为易。
中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习附详细答案一、圆的综合1.如图,A、B两点的坐标分别为(0,6),(0,3),点P为x轴正半轴上一动点,过点A作AP的垂线,过点B作BP的垂线,两垂线交于点Q,连接PQ,M为线段PQ的中点.(1)求证:A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上;(2)当⊙M与x轴相切时,求点Q的坐标;(3)当点P从点(2,0)运动到点(3,0)时,请直接写出线段QM扫过图形的面积.【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为(32,9);(3)63 8.【解析】(1)解:连接AM、BM,∵AQ⊥AP,BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形,M是斜边PQ的中点∴AM=BM=PM=QM= 12 PQ,∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
(2)解:作MG⊥y轴于G,MC⊥x轴于C,∵AM=BM∴G是AB的中点,由A(0,6),B(0,3)可得MC=OG=4.5∴在点P运动的过程中,点M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为9,即点Q的纵坐标始终为9,当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴,作QH⊥y轴于H,HB=9-3=6,设OP=HQ=x由△BOP∽△QHB,得x2=3×6=8,x=2∴点Q的坐标为(2,9)(3)解:由相似可得:当点P在P1(2,0)时,Q1(4,9)则M1(3,4.5)当点P在P2(3,0)时,Q2(6,9),则M2(4.5,4.5)∴M1M2=92-3=32, Q1Q2=6-4=2线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1其面积为:12×(32+2)×4.5=638.【解析】【分析】根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形,再根据这个条件结合题意直接解答此题.【详解】(1)解:连接AM、BM,∵AQ⊥AP,BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形,M是斜边PQ的中点∴AM=BM=PM=QM= PQ,∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,⊙M交x轴于B、C两点,交y轴于A,点M的纵坐标为2.B(﹣33,O),C(3,O).(1)求⊙M的半径;(2)若CE⊥AB于H,交y轴于F,求证:EH=FH.(3)在(2)的条件下求AF的长.【答案】(1)4;(2)见解析;(3)4.【解析】【分析】(1)过M作MT⊥BC于T连BM,由垂径定理可求出BT的长,再由勾股定理即可求出BM的长;(2)连接AE,由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC,再由AAS定理得出△AEH≌△AFH,进而可得出结论;(3)先由(1)中△BMT的边长确定出∠BMT的度数,再由直角三角形的性质可求出CG 的长,由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形,进而可求出答案.【详解】(1)如图(一),过M作MT⊥BC于T连BM,∵BC是⊙O的一条弦,MT是垂直于BC的直径,∴BT=TC=123∴124;(2)如图(二),连接AE,则∠AEC=∠ABC,∵CE⊥AB,∴∠HBC+∠BCH=90°在△COF中,∵∠OFC+∠OCF=90°,∴∠HBC=∠OFC=∠AFH,在△AEH和△AFH中,∵AFH AEHAHF AHE AH AH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEH≌△AFH(AAS),∴EH=FH;(3)由(1)易知,∠BMT=∠BAC=60°,作直径BG,连CG,则∠BGC=∠BAC=60°,∵⊙O的半径为4,∴CG=4,连AG,∵∠BCG=90°,∴CG⊥x轴,∴CG∥AF,∵∠BAG=90°,∴AG⊥AB,∵CE⊥AB,∴AG∥CE,∴四边形AFCG为平行四边形,∴AF=CG=4.【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.2.如图所示,以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点D,E为BC边上的中点,连接DE.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)连接OE,AE,当∠CAB为何值时,四边形AOED是平行四边形?并在此条件下求sin∠CAE的值.【答案】(1)见解析;(2)1010. 【解析】 分析:(1)要证DE 是⊙O 的切线,必须证ED ⊥OD ,即∠EDB+∠ODB=90°(2)要证AOED 是平行四边形,则DE ∥AB ,D 为AC 中点,又BD ⊥AC ,所以△ABC 为等腰直角三角形,所以∠CAB=45°,再由正弦的概念求解即可.详解:(1)证明:连接O 、D 与B 、D 两点,∵△BDC 是Rt △,且E 为BC 中点,∴∠EDB=∠EBD .(2分)又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°,∴∠EDB+∠ODB=90°.∴DE 是⊙O 的切线.(2)解:∵∠EDO=∠B=90°,若要四边形AOED 是平行四边形,则DE ∥AB ,D 为AC 中点,又∵BD ⊥AC ,∴△ABC 为等腰直角三角形.∴∠C AB=45°.过E 作EH ⊥AC 于H ,设BC=2k ,则EH=22k ,AE=5k , ∴sin ∠CAE=1010EH AE .点睛:本题考查的是切线的判定,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.3.函数是描述客观世界运动变化的重要模型,理解函数的本质是重要的任务。
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C ,D 在⊙O 上,BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°.点E 在⊙O 外,做直线AE ,且∠EAC=∠D .(1)求证:直线AE 是⊙O 的切线.(2)求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析;(2)25-504π. 【解析】 分析:(1)根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°,即可得到AE 是⊙O 的切线; (2)连接OD ,用扇形ODA 的面积减去△AOD 的面积即可.详解:证明:(1) ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,即∠BAC+∠ABC=90°,∵∠EAC=∠ADC ,∠ADC=∠ABC ,∴∠EAC=∠ABC∴∠BAC+∠EAC =90°,即∠BAE= 90°∴直线AE 是⊙O 的切线;(2)连接OD∵ BC=6 AC=8∴ 226810AB =+=∴ OA = 5又∵ OD = OA∴∠ADO =∠BAD = 45°∴∠AOD = 90°∴AOD ODA S S S ∆-阴影扇形= =90155553602π⨯⨯-⨯⨯ 25504π-= (2cm )点睛:此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质,关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质,结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解,注意数形结合思想的应用.2.已知,如图:O1为x轴上一点,以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点,交y轴于M、N两点,∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E,AB是弦,且AB∥CD,直线DM的解析式为y=3x+3.(1)如图1,求⊙O1半径及点E的坐标.(2)如图2,过E作EF⊥BC于F,若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD,试问:BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系?请写出你的结论,并证明.(3)在(2)的条件下,EF交⊙O1于点G,问弦BG的长度是否变化?若不变直接写出BG 的长(不写过程),若变化自画图说明理由.【答案】(1)r=5 E(4,5)(2)BF+CF=AC (3)弦BG的长度不变,等于2【解析】分析:(1)连接ED、EC、EO1、MO1,如图1,可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC,从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°.由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1,OM=3.设⊙O1的半径为r.在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题.(2)过点O1作O1P⊥EG于P,过点O1作O1Q⊥BC于Q,连接EO1、DB,如图2.由AB∥DC可证到BD=AC,易证四边形O1PFQ是矩形,从而有O1P=FQ,∠PO1Q=90°,进而有∠EO1P=∠CO1Q,从而可以证到△EPO1≌△CQO1,则有PO1=QO1.根据三角形中位线定理可得FQ=12BD.从而可以得到BF+CF=2FQ=AC.(3)连接EO1,ED,EB,BG,如图3.易证EF∥BD,则有∠GEB=∠EBD,从而有BG=ED,也就有BG=DE.在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED,就可解决问题.详解:(1)连接ED、EC、EO1、MO1,如图1.∵ME平分∠SMC,∴∠SME=∠EMC.∵∠SME=∠ECD,∠EMC=∠EDC,∴∠ECD=∠EDC,∴∠EO1D=∠EO1C.∵∠EO1D+∠EO1C=180°,∴∠EO1D=∠EO1C=90°.∵直线DM的解析式为y=3x+3,∴点M的坐标为(0,3),点D的坐标为(﹣1,0),∴OD=1,OM=3.设⊙O1的半径为r,则MO1=DO1=r.在Rt△MOO1中,(r﹣1)2+32=r2.解得:r=5,∴OO1=4,EO1=5,∴⊙O1半径为5,点E的坐标为(4,5).(2)BF+CF=AC.理由如下:过点O1作O1P⊥EG于P,过点O1作O1Q⊥BC于Q,连接EO1、DB,如图2.∵AB∥DC,∴∠DCA=∠BAC,∴AD=BC BD∴,=AC,∴BD=AC.∵O1P⊥EG,O1Q⊥BC,EF⊥BF,∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°,∴四边形O1PFQ是矩形,∴O1P=FQ,∠PO1Q=90°,∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q.在△EPO1和△CQO1中,111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EPO1≌△CQO1,∴PO1=QO1,∴FQ=QO1.∵QO1⊥BC,∴BQ=CQ.∵CO1=DO1,∴O1Q=12 BD,∴FQ=12BD.∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ,∴BF+CF=BD=AC.(3)连接EO1,ED,EB,BG,如图3.∵DC是⊙O1的直径,∴∠DBC=90°,∴∠DBC+∠EFB=180°,∴EF∥BD,∴∠GEB=∠EBD,∴BG=ED,∴BG=DE.∵DO1=EO1=5,EO1⊥DO1,∴DE=52,∴BG=52,∴弦BG的长度不变,等于52.点睛:本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识,综合性比较强,有一定的难度.而由AB∥DC证到AC=BD是解决第(2)小题的关键,由EG ∥DB 证到BG =DE 是解决第(3)小题的关键.3.如图,⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中,点M 的坐标为(3,﹣1),点A 的坐标为(﹣2,3),点B 的坐标为(﹣3,0),点C 在x 轴上,且点D 在点A 的左侧. (1)求菱形ABCD 的周长;(2)若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移,同时菱形ABCD 沿x 轴向右以每秒3个单位长度的速度平移,设菱形移动的时间为t (秒),当⊙M 与BC 相切,且切点为BC 的中点时,连接BD ,求:①t 的值;②∠MBD 的度数;(3)在(2)的条件下,当点M 与BD 所在的直线的距离为1时,求t 的值.【答案】(1)8;(2)①7;②105°;(3)t=633 【解析】 分析:(1)根据勾股定理求菱形的边长为2,所以可得周长为8;(2)①如图2,先根据坐标求EF 的长,由EE '﹣FE '=EF =7,列式得:3t ﹣2t =7,可得t 的值;②先求∠EBA =60°,则∠FBA =120°,再得∠MBF =45°,相加可得:∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°;(3)分两种情况讨论:作出距离MN 和ME ,第一种情况:如图5由距离为1可知:BD 为⊙M 的切线,由BC 是⊙M 的切线,得∠MBE =30°,列式为3t 3=2t +6,解出即可; 第二种情况:如图6,同理可得t 的值.详解:(1)如图1,过A 作AE ⊥BC 于E .∵点A 的坐标为(﹣23),点B 的坐标为(﹣3,0),∴AE 3,BE =3﹣2=1,∴AB 22AE BE +2231+()=2. ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =BC =CD =AD =2,∴菱形ABCD 的周长=2×4=8;(2)①如图2,⊙M 与x 轴的切点为F ,BC 的中点为E .∵M (3,﹣1),∴F (3,0).∵BC =2,且E 为BC 的中点,∴E (﹣4,0),∴EF =7,即EE '﹣FE '=EF ,∴3t ﹣2t =7,t =7;②由(1)可知:BE =1,AE 3∴tan∠EBA=AEBE =31=3,∴∠EBA=60°,如图4,∴∠FBA=120°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠FBD=12∠FBA=11202⨯︒=60°.∵BC是⊙M的切线,∴MF⊥BC.∵F是BC的中点,∴BF=MF=1,∴△BFM是等腰直角三角形,∴∠MBF=45°,∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°;(3)连接BM,过M作MN⊥BD,垂足为N,作ME⊥BC于E,分两种情况:第一种情况:如图5.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴∠CBD=60°,∴∠NBE=60°.∵点M与BD所在的直线的距离为1,∴MN=1,∴BD为⊙M的切线.∵BC是⊙M的切线,∴∠MBE=30°.∵ME=1,∴EB=3,∴3t+3=2t+6,t=6﹣3;第二种情况:如图6.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴∠DBC=60°,∴∠NBE=120°.∵点M与BD所在的直线的距离为1,∴MN=1,∴BD为⊙M的切线.∵BC是⊙M的切线,∴∠MBE=60°.∵ME=MN=1,∴Rt△BEM中,tan60°=MEBE,EB=160tan︒=3,∴3t=2t+6+3,t=6+3;综上所述:当点M与BD所在的直线的距离为1时,t=6﹣3或6+33.点睛:本题是四边形和圆的综合题,考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题,此类问题比较复杂,弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系,并与方程相结合,找等量关系,求出时间t的值.4.在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,以MN为边构造菱形,若该菱形的两条对角线分别平行于x轴,y轴,则称该菱形为边的“坐标菱形”.(1)已知点A(2,0),B(0,23),则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为;(2)若点C(1,2),点D在直线y=5上,以CD为边的“坐标菱形”为正方形,求直线CD 表达式;(3)⊙O的半径为2,点P的坐标为(3,m).若在⊙O上存在一点Q,使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形,求m的取值范围.【答案】(1)60°;(2)y=x+1或y=﹣x+3;(3)1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析:(1)根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”,由勾股定理求边长AB=4,可得30度角,从而得最小内角为60°;(2)先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°,得D(4,5)或(﹣2,5),易得直线CD的表达式为:y=x+1或y=﹣x+3;(3)分两种情况:①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3,根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1,PB=5,写出对应P的坐标;②先作直线y=﹣x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=﹣x,如图4,同理可得结论.详解:(1)∵点A(2,0),B(0,23),∴OA=2,OB=23.在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB=22()=4,∴∠ABO=30°.223∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABC=2∠ABO=60°.∵AB∥CD,∴∠DCB=180°﹣60°=120°,∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°.故答案为:60°;(2)如图2.∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形,∴直线CD与直线y=5的夹角是45°.过点C作CE⊥DE于E,∴D(4,5)或(﹣2,5),∴直线CD的表达式为:y=x+1或y=﹣x+3;(3)分两种情况:①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3.∵⊙O的半径为2,且△OQ'D是等腰直角三角形,∴OD=2OQ'=2,∴P'D=3﹣2=1.∵△P'DB是等腰直角三角形,∴P'B=BD=1,∴P'(0,1),同理可得:OA=2,∴AB=3+2=5.∵△ABP是等腰直角三角形,∴PB=5,∴P(0,5),∴当1≤m≤5时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;②先作直线y=﹣x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=﹣x,如图4.∵⊙O的半径为2,且△OQ'D是等腰直角三角形,∴OD=2OQ'=2,∴BD=3﹣2=1.∵△P'DB是等腰直角三角形,∴P'B=BD=1,∴P'(0,﹣1),同理可得:OA=2,∴AB=3+2=5.∵△ABP是等腰直角三角形,∴PB=5,∴P(0,﹣5),∴当﹣5≤m≤﹣1时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;综上所述:m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1.点睛:本题是一次函数和圆的综合题,考查了菱形的性质、正方形的性质、点P,Q的“坐标菱形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会利用图象解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,注意一题多解,属于中考创新题目.5.如图,AB是⊙O的直径,D、D为⊙O上两点,CF⊥AB于点F,CE⊥AD交AD的延长线于点E,且CE=CF.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)连接CD、CB,若AD=CD=a,求四边形ABCD面积.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】【分析】(1)连接OC,AC,可先证明AC平分∠BAE,结合圆的性质可证明OC∥AE,可得∠OCB=90°,可证得结论;(2)可先证得四边形AOCD为平行四边形,再证明△OCB为等边三角形,可求得CF、AB,利用梯形的面积公式可求得答案.【详解】(1)证明:连接OC,AC.∵CF⊥AB,CE⊥AD,且CE=CF.∴∠CAE=∠CAB.∵OC=OA,∴∠CAB=∠OCA.∴∠CAE=∠OCA.∴OC∥AE.∴∠OCE+∠AEC=180°,∵∠AEC=90°,∴∠OCE=90°即OC⊥CE,∵OC是⊙O的半径,点C为半径外端,∴CE是⊙O的切线.(2)解:∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA=∠CAB,∴DC∥AB,∵∠CAE=∠OCA,∴OC∥AD,∴四边形AOCD是平行四边形,∴OC=AD=a,AB=2a,∵∠CAE=∠CAB,∴CD=CB=a,∴CB=OC=OB,∴△OCB是等边三角形,在Rt△CFB中,CF=,∴S四边形ABCD=(DC+AB)•CF=【点睛】本题主要考查切线的判定,掌握切线的两种判定方法是解题的关键,即有切点时连接圆心和切点,然后证明垂直,没有切点时,过圆心作垂直,证明圆心到直线的距离等于半径.6.如图,在直角坐标系中,⊙M经过原点O(0,0),点A(6,0)与点B(0,-2),点D 在劣弧OA上,连结BD交x轴于点C,且∠COD=∠CBO.(1)求⊙M的半径;(2)求证:BD平分∠ABO;(3)在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰为⊙M的切线,求此时点E的坐标.【答案】(1)M的半径r2;(2)证明见解析;(3)点E的坐标为262).【解析】试题分析:根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度,根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度,然后得出半径;根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ,然后结合已知条件得出角平分线;根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ,从而得出BH=BA=22,从而求出OH 的长度,即点E 的纵坐标,根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数,从而得出∠CBO 的度数,然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度,即点E 的横坐标.试题解析:(1)∵点A 为(6,0),点B 为(0,-2) ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得:AB=22∴M 的半径r=12AB=2. (2)根据同弧所对的圆周角相等可得:∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO(3)如图,由(2)中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22-2=2在Rt △AOB 中,3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中,HE=2633BH =∴点E 的坐标为(263,2)考点:勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.7.如图, Rt △ABC 中,∠B=90°,它的内切圆分别与边BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F , (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r =12(a+b-c). (2) 若AD 交圆于P , PC 交圆于H, FH//BC, 求∠CPD; (3)若r=310, PD =18, PC=272. 求△ABC 各边长.【答案】(1)证明见解析(2)45°(3)1010,1510,12【解析】【分析】(1)根据切线长定理,有AE=AF,BD=BF,CD=CE.易证四边形BDOF为正方形,BD=BF=r,用r表示AF、AE、CD、CE,利用AE+CE=AC为等量关系列式.(2)∠CPD为弧DH所对的圆周角,连接OD,易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°,所以∠CPD=45°.(3)由PD=18和r=310,联想到垂径定理基本图形,故过圆心O作PD的垂线OM,求得弦心距OM=3,进而得到∠MOD的正切值.延长DO得直径DG,易证PG∥OM,得到同位角∠G=∠MOD.又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G,即得到∠ADB的正切值,进而求得AB.再设CE=CD=x,用x表示BC、AC,利用勾股定理列方程即求出x.【详解】解:(1)证明:设圆心为O,连接OD、OE、OF,∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,AE=AF,BD=BF,CD=CE∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°∴四边形BDOF是矩形∵OD=OF=r∴矩形BDOF是正方形∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r,CE=CD=BC-BD=a-r∵AE+CE=AC∴c-r+a-r=b整理得:r=12(a+b-c)(2)取FH中点O,连接OD ∵FH∥BC∴∠AFH=∠B=90°∵AB与圆相切于点F,∴FH为圆的直径,即O为圆心∵FH∥BC∴∠DOH=∠ODB=90°∴∠CPD=12∠DOH=45°(3)设圆心为O ,连接DO 并延长交⊙O 于点G ,连接PG ,过O 作OM ⊥PD 于M ∴∠OMD=90°∵PD=18∴DM=12PD=9 ∵10∴22OD DM -22(310)9-9081-3∴tan ∠MOD=DM OM =3 ∵DG 为直径∴∠DPG=90°∴OM ∥PG ,∠G+∠ODM=90°∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan ∠ADB=AB BD=tan ∠MOD=3 ∴10∴10−10=10设CE=CD=x ,则10+x ,10+x∵AB 2+BC 2=AC 2∴10)2.10+x)2=10+x)2解得:10∴10,10∴△ABC 各边长10,10,10【点睛】本题考查切线的性质,切线长定理,正方形的判定,圆周角定理,垂径定理,勾股定理.切线长定理的运用是解决本题的关键,而在不能直接求得线段长的情况下,利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法.8.已知:如图,四边形ABCD为菱形,△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D,交AC于点E.(1)判断⊙O与BC的位置关系,并说明理由;(2)若CE=2,求⊙O的半径r.【答案】(1)相切,理由见解析;(2)2.【解析】试题分析:(1)根据切线的性质,可得∠ODC的度数,根据菱形的性质,可得CD与BC 的关系,根据SSS,可得三角形全等,根据全等三角形的性质,可得∠OBC的度数,根据切线的判定,可得答案;(2)根据等腰三角形的性质,可得∠ACD=∠CAD,根据三角形外角的性质,∠COD=∠OAD+∠AOD,根据直角三角形的性质,可得OC与OD的关系,根据等量代换,可得答案.(1)⊙O与BC相切,理由如下连接OD、OB,如图所示:∵⊙O与CD相切于点D,∴OD⊥CD,∠ODC=90°.∵四边形ABCD为菱形,∴AC垂直平分BD,AD=CD=CB.∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上,∵OD=OB,OC=OC,CB=CD,∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC=∠ODC=90°,又∵OB为半径,∴⊙O与BC相切;(2)∵AD=CD,∴∠ACD=∠CAD.∵AO=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵∠COD=∠OAD+∠AOD,∠COD=2∠CAD.∴∠COD=2∠ACD又∵∠COD+∠ACD=90°,∴∠ACD=30°.∴OD=12OC,即r=12(r+2).∴r=2.【点睛】运用了切线的判定与性质,利用了切线的判定与性质,菱形的性质,直角三角形的性质.9.如图,AB是⊙O的直径,∠ACB的平分线交AB于点D,交⊙O于点E,过点C作⊙O 的切线CP交BA的延长线于点P,连接AE.(1)求证:PC=PD;(2)若AC=5cm,BC=12cm,求线段AE,CE的长.【答案】(1)见解析172132【解析】试题分析:(1)如图1中,连接OC 、OE .利用等角的余角相等,证明∠PCD =∠PDC 即可;(2)如图2中.作EH ⊥BC 于H ,EF ⊥CA 于F .首先证明Rt △AEF ≌Rt △BEH ,推出AF =BH ,设AF =BH =x ,再证明四边形CFEH 是正方形,推出CF =CH ,可得5+x =12﹣x ,推出x =72,延长即可解决问题; 试题解析:(1)证明:如图1中,连接OC 、OE .∵AB 直径,∴∠ACB =90°,∴CE 平分∠ACB ,∴∠ECA =∠ECB =45°,∴AE =BE ,∴OE ⊥AB ,∴∠DOE =90°.∵PC 是切线,∴OC ⊥PC ,∴∠PCO =90°.∵OC =OE ,∴∠OCE =∠OEC .∵∠PCD +∠OCE =90°,∠ODE +∠OEC =90°,∠PDC =∠ODE ,∴∠PCD =∠PDC ,∴PC =PD .(2)如图2中.作EH ⊥BC 于H ,EF ⊥CA 于F .∵CE 平分∠ACB ,EH ⊥BC 于H ,EF ⊥CA 于F ,∴EH =EF ,∠EFA =∠EHB =90°.∵AE =BE ,∴AE =BE ,∴Rt △AEF ≌Rt △BEH ,∴AF =BH ,设AF =BH =x .∵∠F =∠FCH =∠CHE =90°,∴四边形CFEH 是矩形.∵EH =EF ,∴四边形CFEH 是正方形,∴CF =CH ,∴5+x =12﹣x ,∴x =72,∴CF =FE =172,∴EC 2CF 172,AE 22EF AF +2217722()()+132 点睛:本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.10.如图,AB 为⊙O 的直径,DA 、DC 分别切⊙O 于点A ,C ,且AB =AD .(1)求tan ∠AOD 的值.(2)AC,OD交于点E,连结BE.①求∠AEB的度数;②连结BD交⊙O于点H,若BC=1,求CH的长.【答案】(1)2;(2)①∠AEB=135°;②2 CH=【解析】【分析】(1)根据切线的性质可得∠BAD=90°,由题意可得AD=2AO,即可求tan∠AOD的值;(2)①根据切线长定理可得AD=CD,OD平分∠ADC,根据等腰三角形的性质可得DO⊥AC,AE=CE,根据圆周角定理可求∠ACB=90°,即可证∠ABC=∠CAD,根据“AAS”可证△ABC≌△DAE,可得AE=BC=EC,可求∠BEC=45°,即可求∠AEB的度数;②由BC=1,可求AE=EC=1,BE2=,根据等腰直角三角形的性质可求∠ABE=∠HBC,可证△ABE∽△HBC,可求CH的长.【详解】(1)∵DA是⊙O切线,∴∠BAD=90°.∵AB=AD,AB=2AO,∴AD=2AO,∴tan∠AODADAO==2;(2)①∵DA、DC分别切⊙O于点A,C,∴AD=CD,OD平分∠ADC,∴DO⊥AC,AE=CE.∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,且∠BAC+∠CAD=90°,∴∠ABC=∠CAD,且AB=AD,∠ACB=∠AED=90°,∴△ABC≌△DAE(AAS),∴CB=AE,∴CE=CB,且∠ACB=90°,∴∠BEC=45°=∠EBC,∴∠AEB=135°.②如图,∵BC=1,且BC=AE=CE,∴AE=EC=BC=1,∴BE2=.∵AD=AB,∠BAD=90°,∴∠ABD=45°,且∠EBC=45°,∴∠ABE=∠HBC,且∠BAC=∠CHB,∴△ABE∽△HBC,∴BC CHEB AE=,即12CH=,∴CH22=.【点睛】本题考查了切线的性质,圆周角定理,锐角三角函数,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质等知识,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.。
中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习含详细答案一、圆的综合1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E.(1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC;(2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,»»BF FA=,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG;(3)在(2)的条件下,如图3,若AE=23DG,PO=5,求EF的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32.【解析】【分析】(1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可;(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案;(3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出EH∥DG,求出OM=12AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=23DG,DG=3a,求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO=12MOBM=,tanP=12COPO=,设OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】(1)证明:连接OC,∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC,∵AD⊥PC,∴OC∥AD,∴∠OCA=∠DAC,∵OC=OA,∴∠PAC=∠OCA,∴∠DAC=∠PAC;(2)证明:连接BE交GF于H,连接OH,∵FG∥AD,∴∠FGD+∠D=180°,∵∠D=90°,∴∠FGD=90°,∵AB为⊙O的直径,∴∠BEA=90°,∴∠BED=90°,∴∠D=∠HGD=∠BED=90°,∴四边形HGDE是矩形,∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°,∵»»BF AF=,∴∠HEF=∠FEA=12∠BEA=1902o⨯=45°,∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°,∴∠HEF=∠HFE,∴FH=EH,∴FG=FH+GH=DE+DG;(3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF,∵EH=HF,OE=OF,HO=HO,∴△FHO≌△EHO,∴∠FHO=∠EHO=45°,∵四边形GHED是矩形,∴EH∥DG,∴∠OMH=∠OCP=90°,∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°,∴∠HOM=∠OHM,∴HM=MO,∵OM⊥BE,∴BM=ME,∴OM=12 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=23DG,DG=3a,∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°,∴四边形GHMC是矩形,∴GC=HM=a,DC=DG﹣GC=2a,∵DG=HE,GC=HM,∴ME=CD=2a,BM=2a,在Rt△BOM中,tan∠MBO=122 MO aBM a==,∵EH∥DP,∴∠P=∠MBO,tanP=12 COPO=,设OC=k,则PC=2k,在Rt△POC中,,解得:在Rt△OME中,OM2+ME2=OE2,5a2=5,a=1,∴HE=3a=3,在Rt△HFE中,∠HEF=45°,∴.【点睛】考查了切线的性质,矩形的性质和判定,解直角三角形,勾股定理等知识点,能综合运用性质进行推理是解此题的关键.2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,点E为△ABC内切圆的圆心,连接AE的延长线交BC于点F,交⊙O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.(1)求证:直线DM是⊙O的切线;(2)若DF=2,且AF=4,求BD和DE的长.【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】【分析】(1)根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC,再根据∠BDM=∠DBC,即可判定BC∥DM,进而得到OD⊥DM,据此可得直线DM是⊙O的切线;(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理,得到∠BED=∠EBD,即可得出DB=DE,再判定△DBF∽△DAB,即可得到DB2=DF•DA,据此解答即可.【详解】(1)如图所示,连接OD.∵点E是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∴¶¶BD CD=,∴OD⊥BC.又∵∠BDM=∠DAC,∠DAC=∠DBC,∴∠BDM=∠DBC,∴BC∥DM,∴OD⊥DM.又∵OD为⊙O半径,∴直线DM是⊙O的切线.(2)连接BE.∵E为内心,∴∠ABE=∠CBE.∵∠BAD=∠CAD,∠DBC=∠CAD,∴∠BAD=∠DBC,∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC,即∠BED=∠DBE,∴BD=DE.又∵∠BDF=∠ADB(公共角),∴△DBF∽△DAB,∴DF DBDB DA=,即DB2=DF•DA.∵DF=2,AF=4,∴DA=DF+AF=6,∴DB2=DF•DA=12,∴DB=DE=23.【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心,圆周角定理以及垂径定理的综合应用,解题时注意:平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧;三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.3.如图,⊙O的半径为6cm,经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B,作∠ACO的平分线交⊙O于点D,交OA于点F,延长DA交BC于点E.(1)求证:AC∥OD;(2)如果DE⊥BC,求»AC的长度.【答案】(1)证明见解析;(2)2π.【解析】试题分析:(1)由OC=OD,CD平分∠ACO,易证得∠ACD=∠ODC,即可证得AC∥OD;(2)BC切⊙O于点C,DE⊥BC,易证得平行四边形ADOC是菱形,继而可证得△AOC是等边三角形,则可得:∠AOC=60°,继而求得弧AC的长度.试题解析:(1)证明:∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.∵CD平分∠ACO,∴∠OCD=∠ACD,∴∠ACD=∠ODC,∴AC∥OD;(2)∵BC切⊙O于点C,∴BC⊥OC.∵DE⊥BC,∴OC∥DE.∵AC∥OD,∴四边形ADOC 是平行四边形.∵OC=OD,∴平行四边形ADOC是菱形,∴OC=AC=OA,∴△AOC是等边三角形,∴∠AOC=60°,∴弧AC的长度=606180π⨯=2π.点睛:本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.4.如图1,以边长为4的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O,交对角线AC于点E.(1)图1中,线段AE=;(2)如图2,在图1的基础上,以点A为端点作∠DAM=30°,交CD于点M,沿AM将四边形ABCM剪掉,使Rt△ADM绕点A逆时针旋转(如图3),设旋转角为α(0°<α<150°),在旋转过程中AD与⊙O交于点F.①当α=30°时,请求出线段AF的长;②当α=60°时,求出线段AF的长;判断此时DM与⊙O的位置关系,并说明理由;③当α=°时,DM与⊙O相切.【答案】(1)2(2)①2②2,相离③当α=90°时,DM与⊙O相切【解析】(1)连接BE,∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠BAC=45°,∴△AEB是等腰直角三角形,又∵AB=8,∴AE=4;(2)①连接OA、OF,由题意得,∠NAD=30°,∠DAM=30°,故可得∠OAM=30°,∠DAM=30°,则∠OAF=60°,又∵OA=OF,∴△OAF是等边三角形,∵OA=4,∴AF=OA=4;②连接B'F,此时∠NAD=60°,∵AB'=8,∠DAM=30°,∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4;此时DM与⊙O的位置关系是相离;③∵AD=8,直径的长度相等,∴当DM与⊙O相切时,点D在⊙O上,故此时可得α=∠NAD=90°.点睛:此题属于圆的综合题,主要是仔细观察每一次旋转后的图形,根据含30°角的直角三角形进行计算,另外在解答最后一问时,关键是判断出点D 的位置,有一定难度.5.如图,CD 为⊙O 的直径,点B 在⊙O 上,连接BC 、BD ,过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ,AEO C =∠∠,OE 交BC 于点F .(1)求证:OE ∥BD ;(2)当⊙O 的半径为5,2sin 5DBA ∠=时,求EF 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)EF 的长为212【解析】 试题分析:(1)连接OB ,利用已知条件和切线的性质证明;(2)根据锐角三角函数和相似三角形的性质,直接求解即可.试题解析:(1)连接OB , ∵CD 为⊙O 的直径 , ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线,∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径,∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠.∵E C ∠=∠,∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .(2)由(1)可得sin ∠C = ∠DBA= 25,在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5, 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠,∴△CBD ∽△EBO . ∴BD CD BO EO= ∴252EO =.∵OE ∥BD ,CO =OD ,∴CF =FB . ∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=6.如图,AB 是⊙O 的直径,点C ,D 是半圆O 的三等分点,过点C 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ,过点D 作DF ⊥AB 于点F ,交⊙O 于点H ,连接DC ,AC .(1)求证:∠AEC=90°;(2)试判断以点A ,O ,C ,D 为顶点的四边形的形状,并说明理由;(3)若DC=2,求DH 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)四边形AOCD 为菱形;(3)DH=2. 【解析】试题分析:(1)连接OC ,根据EC 与⊙O 切点C ,则∠OCE=90°,由题意得,∠DAC=∠CAB ,即可证明AE ∥OC ,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出∠AEC=90°;(2)四边形AOCD 为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB 可证明四边形AOCD 是平行四边形,再由OA=OC ,即可证明平行四边形AOCD 是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);(3)连接OD .根据四边形AOCD 为菱形,得△OAD 是等边三角形,则∠AOD=60°,再由DH ⊥AB 于点F ,AB 为直径,在Rt △OFD 中,根据sin ∠AOD=,求得DH 的长. 试题解析:(1)连接OC ,∵EC与⊙O切点C,∴OC⊥EC,∴∠OCE=90°,∵点CD是半圆O的三等分点,∴,∴∠DAC=∠CAB,∵OA=OC,∴∠CAB=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AE∥OC(内错角相等,两直线平行)∴∠AEC+∠OCE=180°,∴∠AEC=90°;(2)四边形AOCD为菱形.理由是:∵,∴∠DCA=∠CAB,∴CD∥OA,又∵AE∥OC,∴四边形AOCD是平行四边形,∵OA=OC,∴平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);(3)连接OD.∵四边形AOCD为菱形,∴OA=AD=DC=2,∵OA=OD,∴OA=OD=AD=2,∴△OAD 是等边三角形,∴∠AOD=60°,∵DH ⊥AB 于点F ,AB 为直径,∴DH=2DF ,在Rt △OFD 中,sin ∠AOD=, ∴DF=ODsin ∠AOD=2sin60°=,∴DH=2DF=2. 考点:1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形.7.如图,在ABC ∆中,90,BAC ∠=︒ 2,AB AC ==AD BC ⊥,垂足为D ,过,A D 的⊙O 分别与,AB AC 交于点,E F ,连接,,EF DE DF .(1)求证:ADE ∆≌CDF ∆;(2)当BC 与⊙O 相切时,求⊙O 的面积.【答案】(1)见解析;(2)24π.【解析】 分析:(1)由等腰直角三角形的性质知AD =CD 、∠1=∠C =45°,由∠EAF =90°知EF 是⊙O 的直径,据此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°,得∠2=∠3,利用“ASA”证明即可得; (2)当BC 与⊙O 相切时,AD 是直径,根据∠C =45°、AC 2可得AD =1,利用圆的面积公式可得答案.详解:(1)如图,∵AB =AC ,∠BAC =90°,∴∠C =45°.又∵AD ⊥BC ,AB =AC ,∴∠1=12∠BAC =45°,BD =CD ,∠ADC =90°. 又∵∠BAC =90°,BD =CD ,∴AD =CD . 又∵∠EAF =90°,∴EF 是⊙O 的直径,∴∠EDF =90°,∴∠2+∠4=90°.又∵∠3+∠4=90°,∴∠2=∠3.在△ADE 和△CDF 中.∵123C AD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ADE ≌△CDF (ASA ).(2)当BC与⊙O相切时,AD是直径.在Rt△ADC中,∠C=45°,AC=2,∴sin∠C=ADAC ,∴AD=AC sin∠C=1,∴⊙O的半径为12,∴⊙O的面积为24π.点睛:本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点.8.等腰Rt△ABC和⊙O如图放置,已知AB=BC=1,∠ABC=90°,⊙O的半径为1,圆心O 与直线AB的距离为5.(1)若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动,⊙O不动,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?(2)若两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,⊙O的速度为每秒1个单位,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?(3)若两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,⊙O的速度为每秒1个单位,同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.△ABC的边与圆第一次相切时,点B运动了多少距离?【答案】(152-;(2)52;(32042-【解析】分析:(1)分析易得,第一次相切时,与斜边相切,假设此时,△ABC移至△A′B′C′处,A′C′与⊙O切于点E,连OE并延长,交B′C′于F.由切线长定理易得CC′的长,进而由三角形运动的速度可得答案;(2)设运动的时间为t秒,根据题意得:CC′=2t,DD′=t,则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t,由第(1)的结论列式得出结果;(3)求出相切的时间,进而得出B点移动的距离.详解:(1)假设第一次相切时,△ABC移至△A′B′C′处,如图1,A′C′与⊙O切于点E,连接OE并延长,交B′C′于F,设⊙O 与直线l 切于点D ,连接OD ,则OE ⊥A′C′,OD ⊥直线l , 由切线长定理可知C′E=C′D , 设C′D=x ,则C′E=x , ∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴∠A=∠ACB=45°, ∴∠A′C′B′=∠ACB=45°, ∴△EFC′是等腰直角三角形, ∴C′F=2x ,∠OFD=45°, ∴△OFD 也是等腰直角三角形, ∴OD=DF , ∴2x+x=1,则x=2-1,∴CC′=BD -BC-C′D=5-1-(2-1)=5-2, ∴点C 运动的时间为52-; 则经过52-秒,△ABC 的边与圆第一次相切; (2)如图2,设经过t 秒△ABC 的边与圆第一次相切,△ABC 移至△A′B′C′处,⊙O 与BC 所在直线的切点D 移至D′处,A′C′与⊙O 切于点E ,连OE 并延长,交B′C′于F , ∵CC′=2t ,DD′=t ,∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t , 由切线长定理得C′E=C′D′=4-t , 由(1)得:2-1, 解得:2,答:经过2秒△ABC 的边与圆第一次相切;(3)由(2)得CC′=(2+0.5)t=2.5t ,DD′=t , 则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2.5t=4-1.5t , 由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t , 由(1)得:4-1.5t=2-1, 解得:t=10223-, ∴点B 运动的距离为2×10223-=20423-.点睛:本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系,并结合动点问题进行综合分析,比较复杂,难度较大,考查了学生数形结合的分析能力.9.如图1,延长⊙O 的直径AB 至点C ,使得BC=12AB ,点P 是⊙O 上半部分的一个动点(点P 不与A 、B 重合),连结OP ,CP . (1)∠C 的最大度数为 ;(2)当⊙O 的半径为3时,△OPC 的面积有没有最大值?若有,说明原因并求出最大值;若没有,请说明理由;(3)如图2,延长PO 交⊙O 于点D ,连结DB ,当CP=DB 时,求证:CP 是⊙O 的切线.【答案】(1)30°;(2)有最大值为9,理由见解析;(3)证明见解析. 【解析】试题分析:(1)当PC 与⊙O 相切时,∠OCP 的度数最大,根据切线的性质即可求得; (2)由△OPC 的边OC 是定值,得到当OC 边上的高为最大值时,△OPC 的面积最大,当PO ⊥OC 时,取得最大值,即此时OC 边上的高最大,于是得到结论;(3)根据全等三角形的性质得到AP=DB ,根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C ,得到CO=OB+OB=AB ,推出△APB ≌△CPO ,根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB ,根据圆周角定理得到∠APB=90°,即可得到结论.试题解析:(1)当PC与⊙O相切时,∠OCP最大.如图1,所示:∵sin∠OCP=OPOC = 24=12,∴∠OCP=30°∴∠OCP的最大度数为30°,故答案为:30°;(2)有最大值,理由:∵△OPC的边OC是定值,∴当OC边上的高为最大值时,△OPC的面积最大,而点P在⊙O上半圆上运动,当PO⊥OC时,取得最大值,即此时OC边上的高最大,也就是高为半径长,∴最大值S△OPC=12OC•OP=12×6×3=9;(3)连结AP,BP,如图2,在△OAP与△OBD中,OA ODAOP BODOP OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△OAP≌△OBD,∴AP=DB,∵PC=DB,∴AP=PC,∵PA=PC,∴∠A=∠C,∵BC=12AB=OB,∴CO=OB+OB=AB,在△APB和△CPO中,AP CPA CAB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△APB≌△CPO,∴∠CPO=∠APB,∵AB为直径,∴∠APB=90°,∴∠CPO=90°,∴PC切⊙O于点P,即CP是⊙O的切线.10.在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),点B(0,),点O(0,0).△AOB 绕着O顺时针旋转,得△A'OB',点A、B旋转后的对应点为A',B',记旋转角为α.(Ⅰ)如图1,A'B'恰好经过点A时,求此时旋转角α的度数,并求出点B'的坐标;(Ⅱ)如图2,若0°<α<90°,设直线AA'和直线BB'交于点P,求证:AA'⊥BB';(Ⅲ)若0°<α<360°,求(Ⅱ)中的点P纵坐标的最小值(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)α=60°,B'(3,);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)点P纵坐标的最小值为﹣2.【解析】【分析】(Ⅰ)作辅助线,先根据点A(2,0),点B(0,),确定∠ABO=30°,证明△AOA'是等边三角形,得旋转角α=60°,证明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐标;(Ⅱ)依据旋转的性质可得∠BOB'=∠AOA'=α,OB=OB',OA=OA',即可得出∠OBB'=∠OA'A =(180°﹣α),再根据∠BOA'=90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到∠BPA'=90°,即AA'⊥BB';(Ⅲ)作AB的中点M(1,),连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP=AB=2为半径的圆,即可得到当PM∥y轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.【详解】解:(Ⅰ)如图1,过B'作B'C⊥x轴于C,∵OA=2,OB=2,∠AOB=90°,∴∠ABO=30°,∠BAO=60°,由旋转得:OA=OA',∠A'=∠BAO=60°,∴△OAA'是等边三角形,∴α=∠AOA'=60°,∵OB=OB'=2,∠COB'=90°﹣60°=30°,∴B'C =OB’=,∴OC=3,∴B'(3,),(Ⅱ)证明:如图2,∵∠BOB'=∠AOA'=α,OB=OB',OA=OA',∴∠OBB'=∠OA'A=(180°﹣α),∵∠BOA'=90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,∴∠BPA'=360°﹣(180°﹣α)﹣(90°+α)=90°,即AA'⊥BB';(Ⅲ)点P纵坐标的最小值为-2.理由是:如图,作AB的中点M(1,),连接MP,∵∠APB=90°,∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP=AB=2为半径的圆,除去点(2,2),∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P 的轨迹为以点M 为圆心,以MP 为半径的圆.11.如图所示,AB 是半圆O 的直径,AC 是弦,点P 沿BA 方向,从点B 运动到点A ,速度为1cm/s ,若10AB cm ,点O 到AC 的距离为4cm .(1)求弦AC 的长;(2)问经过多长时间后,△APC 是等腰三角形. 【答案】(1)AC=6;(2)t=4或5或145s 时,△APC 是等腰三角形; 【解析】 【分析】(1)过O 作OD ⊥AC 于D ,根据勾股定理求得AD 的长,再利用垂径定理即可求得AC 的长;(2)分AC=PC 、AP=AC 、AP=CP 三种情况求t 值即可. 【详解】(1)如图1,过O 作OD ⊥AC 于D ,易知AO=5,OD=4, 从而AD==3,∴AC=2AD=6;(2)设经过t 秒△APC 是等腰三角形,则AP=10﹣t ①如图2,若AC=PC ,过点C 作CH ⊥AB 于H ,∵∠A=∠A ,∠AHC=∠ODA=90°, ∴△AHC ∽△ADO , ∴AC :AH=OA :AD ,即AC :=5:3,解得t=s,∴经过s后△APC是等腰三角形;②如图3,若AP=AC,由PB=x,AB=10,得到AP=10﹣x,又∵AC=6,则10﹣t=6,解得t=4s,∴经过4s后△APC是等腰三角形;③如图4,若AP=CP,P与O重合,则AP=BP=5,∴经过5s后△APC是等腰三角形.综上可知当t=4或5或s时,△APC是等腰三角形.【点睛】本题是圆的综合题,解决问题利用了垂径定理,勾股定理等知识点,解题时要注意当△BPC是等腰三角形时,点P的位置有三种情况.12.如图①,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣2,0)、B(4,0)、C(0,3)三点.(1)试求抛物线的解析式;(2)点P是y轴上的一个动点,连接PA,试求5PA+4PC的最小值;(3)如图②,若直线l经过点T(﹣4,0),Q为直线l上的动点,当以A、B、Q为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时,试求直线l 的解析式. 【答案】(1)233384y x x =-++;(2)5PA+4PC 的最小值为18;(3)直线l 的解析式为334y x =+或334y x =--.【解析】 【分析】(1)设出交点式,代入C 点计算即可 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点P 作PD ⊥BC 于点D ,易证△CDP ∽△COB ,得到比例式PC PD BC OB =,得到PD=45PC ,所以5PA+4PC =5(PA+45PC )=5(PA+PD ),当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5(PA+PD )=5AE 最小,利用等面积法求出AE=185,即最小值为18 (3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90°,即∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q ,∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个;此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ,利用cos ∠QFT 求出QG ,分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时,分别代入直接l 得到解析式即可 【详解】解:(1)∵抛物线与x 轴交点为A (﹣2,0)、B (4,0) ∴y =a (x+2)(x ﹣4) 把点C (0,3)代入得:﹣8a =3 ∴a =﹣38∴抛物线解析式为y =﹣38(x+2)(x ﹣4)=﹣38x 2+34x+3 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点P 作PD ⊥BC 于点D ∴∠CDP =∠COB =90° ∵∠DCP =∠OCB ∴△CDP ∽△COB ∴PC PDBC OB= ∵B (4,0),C (0,3)∴OB =4,OC =3,BC ∴PD =45PC ∴5PA+4PC =5(PA+45PC )=5(PA+PD )∴当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5(PA+PD )=5AE 最小 ∵A (﹣2,0),OC ⊥AB ,AE ⊥BC ∴S △ABC =12AB•OC =12BC•AE ∴AE =631855AB OC BC ⨯==n ∴5AE =18∴5PA+4PC 的最小值为18.(3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90° ∴∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q∵当Q 在⊙F 上运动时(不与A 、B 重合),∠AQB =90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个 此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ∴∠FQT =90°∵F 为A (﹣2,0)、B (4,0)的中点 ∴F (1,0),FQ =FA =3 ∵T (﹣4,0) ∴TF =5,cos ∠QFT =35FQ TF = ∵Rt △FGQ 中,cos ∠QFT =35FG FQ = ∴FG =35FQ =95∴x Q =1﹣9455=-,QG125== ①若点Q 在x 轴上方,则Q (41255-,) 设直线l 解析式为:y =kx+b∴4041255k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得:343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线l :334y x =+ ②若点Q 在x 轴下方,则Q (41255--,) ∴直线l :334y x =--综上所述,直线l的解析式为334y x=+或334y x=--【点睛】本题是二次函数与圆的综合题,同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点,综合度比较高,需要很强的综合能力,第三问能够找到满足条件的Q点是关键,同时不要忘记需要分情况讨论13.如图,⊙O的直径AB=8,C为圆周上一点,AC=4,过点C作⊙O的切线l,过点B 作l的垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点E.(1)求∠AEC的度数;(2)求证:四边形OBEC是菱形.【答案】(1)30°;(2)详见解析.【解析】【分析】(1)易得△AOC是等边三角形,则∠AOC=60°,根据圆周角定理得到∠AEC=30°;(2)根据切线的性质得到OC⊥l,则有OC∥BD,再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°,则∠EAB=30°,可证得AB∥CE,得到四边形OBE C为平行四边形,再由OB=OC,即可判断四边形OBEC是菱形.【详解】(1)解:在△AOC中,AC=4,∵AO=OC=4,∴△AOC是等边三角形,∴∠AOC=60°,∴∠AEC=30°;(2)证明:∵OC⊥l,BD⊥l.∴OC∥BD.∴∠ABD=∠AOC=60°.∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∴△AEB为直角三角形,∠EAB=30°.∴∠EAB=∠AEC.∴CE∥OB,又∵CO∥EB∴四边形OBEC为平行四边形.又∵OB=OC=4.∴四边形OBEC是菱形.【点睛】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法.14.如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE.(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=2,BC=2,求⊙O的半径.6【答案】(1)直线CE与⊙O相切,理由见解析;(2)⊙O【解析】【分析】(1)首先连接OE,由OE=OA与四边形ABCD是矩形,易求得∠DEC+∠OEA=90°,即OE⊥EC,即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切;(2)首先易证得△CDE∽△CBA,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得DE的长,又由勾股定理即可求得AC 的长,然后设OA 为x ,即可得方程222(3)(6)x x -=-,解此方程即可求得⊙O 的半径.【详解】解:(1)直线CE 与⊙O 相切.…理由:连接OE ,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B =∠D =∠BAD =90°,BC ∥AD ,CD =AB ,∴∠DCE +∠DEC =90°,∠ACB =∠DAC ,又∠DCE =∠ACB ,∴∠DEC +∠DAC =90°,∵OE =OA ,∴∠OEA =∠DAC ,∴∠DEC +∠OEA =90°,∴∠OEC =90°,∴OE ⊥EC ,∵OE 为圆O 半径,∴直线CE 与⊙O 相切;…(2)∵∠B =∠D ,∠DCE =∠ACB ,∴△CDE ∽△CBA ,∴ BC AB DC DE=, 又CD =AB =2,BC =2,∴DE =1根据勾股定理得EC =3,又226AC AB BC =+=,…设OA 为x ,则222(3)(6)x x +=-,解得6x =, ∴⊙O 的半径为6.【点睛】此题考查了切线的判定与性质,矩形的性质,相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用,注意辅助线的作法.15.如图①,已知Rt ABC ∆中,90ACB ∠=o ,8AC =,10AB =,点D 是AC 边上一点(不与C 重合),以AD 为直径作O e ,过C 作CE 切O e 于E ,交AB 于F .(1)若O e 的半径为2,求线段CE 的长;(2)若AF BF =,求O e 的半径;(3)如图②,若CE CB =,点B 关于AC 的对称点为点G ,试求G 、E 两点之间的距离.【答案】(1)42CE =(2)O e 的半径为3;(3)G 、E 两点之间的距离为9.6.【解析】【分析】(1)根据切线的性质得出∠OEC=90°,然后根据勾股定理即可求得;(2)由勾股定理求得BC ,然后通过证得△OEC ∽△BCA ,得到OE BC =OC BA ,即r 8-r =610,解得即可;(3)证得D 和M 重合,E 和F 重合后,通过证得△GBE ∽△ABC ,GB GE AB AC=,即12108GE =,解得即可. 【详解】(1)如图,连结OE .∵CE 切O e 于E ,∴90OEC ∠=︒.∵8AC =,O e 半径为2,∴6OC =,2OE =. ∴2242CE OC OE =-=;(2)设O e 半径为r .在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,10AB =,8AC =,∴226BC AB AC =-=. ∵AF BF =, ∴AF CF BF ==. ∴ACF CAF ∠=∠. ∵CE 切O e 于E ,∴90OEC ∠=︒.∴OEC ACB ∠=∠,∴OEC BCA ∆~∆.∴OE OC BC BA =, ∴8610r r -=, 解得3r =.∴O e 的半径为3;(3)连结EG 、OE ,设EG 交AC 于点M ,由对称性可知,CB CG =.又CE CB =,∴CE CG =.∴EGC GEC ∠=∠.∵CE 切O e 于E ,∴90GEC OEG ∠+∠=︒.又90EGC GMC ∠+∠=︒,∴OEG GMC ∠=∠.又GMC OME ∠=∠,∴OEG OME ∠=∠.∴OE OM =.∴点M 与点D 重合.∴G 、D 、E 三点在同一条直线上.连结AE 、BE ,∵AD 是直径,∴90AED ∠=︒,即90AEG ∠=︒.又CE CB CG ==,∴90BEG ∠=︒.∴180AEB AEG BEG ∠=∠+∠=︒,∴A 、E 、B 三点在同一条直线上.∴E 、F 两点重合.∵90GEB ACB ∠=∠=︒,B B ∠=∠,∴GBE ABC ∆~∆. ∴GB GE AB AC =,即12108GE =. ∴9.6GE =.故G 、E 两点之间的距离为9.6.【点睛】本题考查了切线的判定,轴的性质,勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质,证得G 、D 、E 三点共线以及A 、E 、B 三点在同一条直线上是解题的关键.。
2022-2023学年人教版中考数学复习《圆综合压轴题》解答题专题突破训练(附答案)1.如图,AB是⊙O的直径,且AB=10,弦CD⊥AB于点E,G是弧AC上一点,连接AD,AG,GD,BC.(1)若G是弧AC上任意一动点,请找出图中和∠G相等的角(不在原图中添加线段或字母),并说明理由.(2)当点C是弧BG的中点时,①若∠G=60°,求弦DG的长,②连接BG,交CD于点F,若BE=2,求线段CF的长.2.如图,等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC,连结OC,过点B作AC的垂线,交⊙O于点D,交OC于点M,交AC于点E,连结AD.(1)若∠D=α,请用含α的代数式表示∠OCA;(2)求证:CE2=EM•EB;(3)连接CD,若BM=4,DM=3,求tan∠BAC的值及四边形ABCD的面积与△BMC 面积的比值.3.已知:AB为⊙O的直径,=,D为弦AC上一动点(不与A、C重合).(1)如图1,若BD平分∠CBA,连接OC交BD于点E.①求证:CE=CD;②若OE=2,求AD的长.(2)如图2,若BD绕点D顺时针旋转90°得DF,连接AF.求证:AF为⊙O的切线.4.如图,点D是以AB为直径的⊙O上一点,过点B作⊙O的切线,交AD的延长线于点C,E是BC的中点,连接DE并延长与AB的延长线交于点F.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若OB=BF,EF=4.求⊙O的半径;(3)在(2)条件下,求BE、DE、弧围成的阴影部分的面积.5.如图1,⊙O的弦BC=6,A为BC所对优弧上一动点且sin∠BAC=,△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P,直线AP与直线BC交于点E.(1)求证:点P为的中点;(2)如图2,求⊙O的半径和PC的长;(3)若△ABC不是锐角三角形,求P A•AE的最大值.6.如图,点P在y轴的正半轴上,⊙P交x轴于B、C两点,以AC为直角边作等腰Rt△ACD,BD分别交y轴和⊙P于E、F两点,连接AC、FC,AC与BD相交于点G.(1)求证:∠ACF=∠ADB;(2)求证:CF=DF;(3)∠DBC=°;(4)若OB=3,OA=6,则△GDC的面积为.7.如图,⊙O是直角三角形ABC的外接圆,直径AC=4,过C点作⊙O的切线,与AB延长线交于点D,M为CD的中点,连接BM,OM,且BC与OM相交于点N.(1)求证:BM与⊙O相切;(2)当∠BAC=60°时,求弦AB和弧AB所夹图形的面积;(3)在(2)的条件下,在弧AB上取一点F,使∠ABF=15°,连接OF交弦AB于点H,求FH的长度是多少?8.如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,P为AB延长线上一点,∠BCP=∠BAC.∠ACB的平分线交⊙O于点D,交AB于点E,(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)求证:△PEC是等腰三角形;(3)若AC+BC=2时,求CD的长.9.圆内接四边形ABCD,AB为⊙O的直径.(1)如图1,若D为弧AB中点,AB=4.①求∠DCB的度数;②求四边形ABCD面积的最大值.(2)如图2,对角线AC,BD交于点E,连结OE并延长交CD于点F,若OE=3EF=3,求AB的长.10.已知:∠MBN=90°,点A在射线BM上,点C在射线BN上,D在线段BA上,⊙O 是△ACD的外接圆;(1)若⊙O与BN的另一个交点为E,如图1,当,BD=1,AD=2时,求CE的长;(2)如图2,当∠BCA=∠BDC时,判断BN与⊙O的位置关系,并说明理由;(3)如图3,在BN上作出C点,使得∠ACD最大,并求当AD=2,时,⊙O 的半径.11.如图1,C、D为半圆O上的两点,且点D是弧BC的中点.连结AC并延长,与BD 的延长线相交于点E.(1)求证:CD=ED;(2)连结AD与OC、BC分别交于点F、H.①若CF=CH,如图2,求证:CH=CE;②若圆的半径为2,BD=1,如图3,求AC的值.12.如图,线段AB=6,以AB为直径作⊙O,C为⊙O上一点,过点B作⊙O的切线交AC 的延长线于点D,连接BC.(1)求证:△BCD∽△ABD;(2)若∠D=50°,求的长.(3)点P在线段AC上运动,直接写出△PBD的外心运动的路径长.13.如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,3),点B在x轴正半轴上,且∠ABO=30°,C为线段OB上一点,作射线AC交△AOB的外接圆于点D,连接OD,∠COD=∠OAD.(1)求∠BAD的度数;(2)在射线AD上是否存在点P,使得直线BP与△AOB的外接圆相切?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.14.如图,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,直径AE交BC于点H,点D 在弧AC上,过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F,延长BC交AF于点G.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若BC=2,AH=CG=3,求EF的长;(3)在(2)的条件下,直接写出CD的长.15.如图,AB是⊙O的直径,P A是⊙O的切线,连接OP交⊙O于点E,点C在⊙O上,四边形OBCE为菱形,连接PC.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)连接BP交⊙O于点F,交CE于点G.①连接OG,求证:OG⊥CG;②若OB=3,求BF的长.16.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线m:y=x+与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P在直线m上,以点O为圆心,OP为半径的⊙O交x轴于点C、D(点C 在点D的左侧),与y轴负半轴交于点E,连接PE,交x轴于点F,且AF=AP.(1)判断直线m与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)求∠PEB的度数;(3)若点Q是直线m上位于第一象限内的一个动点,连接EQ交x轴于点G,交⊙O于点H,判断EG•EH是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.17.如图,线段AB是⊙O的直径,过点B作一条射线BC与AB垂直,点P是射线BC上的一个动点,连接PO交⊙O于点F,连接AF并延长交线段BP于点E,设⊙O的半径为r,PB的长为t(t>0).(1)当r=3时,①若∠F AO=∠EPF,求的长,②若t=4,求PE的长;(2)设PE=n2t,其中n为常数,且0<n<1,若t﹣r为定值,求n的值及∠EAB的度数.18.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边上的一点,以AD为直径作⊙O,⊙O 与BC相切于点E,连结AE,过点C作CG⊥AB于点G,交AE于点F,过点E作EP⊥AB于点P.(1)求证:∠BED=∠EAD;(2)求证:CE=EP;(3)连接PF,若CG=8,PG=6,求四边形CFPE的面积.19.如图,以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线交AC于点E,AB=AC.(1)求证:DE⊥AC;(2)延长CA交⊙O于点F,点G在上,.①连接BG,求证:AF=BG;②经过BG的中点M和点D的直线交CF于点N,连接DF交AB于点H,若AH:BH=3:8,AN=7,试求出DE的长.20.如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AD⊥BC,垂足为D,直径AE平分∠BAD,交BC 于点F,连结BE.(1)求证:∠AEB=∠AFD.(2)若AB=10,BF=5,求AD的长.(3)若点G为AB中点,连结DG,若点O在DG上,求BF:FC的值.参考答案1.解:(1)∠AGD=∠B,理由如下:连接AC,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∵CD⊥AB,∴∠CEB=90°,∴∠BCD+∠B=90°,∴∠ACD=∠B,∵∠AGD=∠ACD,∴∠AGD=∠B;(2)连接OC,OG,OD,OC交CD于M,∵∠AGD=∠B=60°,OB=OC,∴△BOC是等边三角形,∴∠BOC=60°,∵点C是的中点,∴∠COG=∠COB=∠BOD=60°,∴CD是⊙O的直径,∴CD=AB=10;(3)连接BG,交CD于F,连接AC,∵==,∴∠BCD=∠GBC,∴CF=BF,∵∠ACD=∠ABC,∠AEC=∠BEC,∴△ACE∽△CBE,∴CE2=AE×BE=8×2=16,∵CE>0,∴CE=4,设BF=CF=x,则EF=4﹣x,∴(4﹣x)2+22=x2,解得x=,∴CF=.2.(1)解:如图,连接OA,OB,在△AOB与△AOC中,,∴△AOB≌△AOC(SSS),∴∠OAB=∠OAC=,∵,∴∠ACB=∠D=α,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=α,∴∠BAC=180°﹣2α,∴∠OAC=90°﹣α,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=90°﹣α;(2)证明:∵BD⊥AC,∴∠BEC=90°,∴∠CBE=90°﹣∠ACB=90°﹣α,∴∠OCA=∠CBE,∵∠CEM=∠CEB,∴△CEM∽△BEC,∴,∴CE2=EM•EB;(3)解:如图,连接AO并延长交BD于点N,连接CN,CD,∵AB=AC,∠OAB=∠OAC,∴AO垂直平分BC,∴BN=CN,∵∠OCA=∠DAC,∴OC∥AD,∴∠DMC=∠ABD=∠ACB,∵,∴∠BAC=∠CDM,∴∠DCM=∠ABC,∴∠DCM=∠DMC,∴CD=DM=3,∵AC⊥BD,∴∠AED=∠AEN,∵∠OAC=∠DAC,AE=AE,∴△AEN≌△AED(ASA),∴EN=ED,∴AC垂直平分DN,∴CN=CD=3,∴BN=CN=3,∴MN=BM﹣BN=4﹣3=1,由EN=DE得:MN+EM=DM﹣EM,∴1+EM=3﹣EM,∴EM=1,∴EB=BM+EM=4+1=5,DE=DM﹣EM=3﹣1=2,由(2)知,CE2=EM•EB=1×5=5,∴CE=(负值已舍),∵∠BAC=∠BDC,∠DEC=∠AEB,∴△DEC∽△AEB,∴,∴AE=,在Rt△ABE中,tan∠BAC=,由(2)知,∠OCA=∠CBE=∠CAD,∴AD∥OC,∴=,∴CE=,∴S四边形ABCD=AC×BD==,S△BMC===2,∴四边形ABCD的面积与△BMC面积的比值为.3.(1)①证明:∵AB为⊙O的直径,∴∠BCA=90°,∵=,∴∠CBA=∠BAC=45°,∠BOC=90°,∴∠BCO=45°,∵BD平分∠CBA,∴∠CBD=∠DBA=22.5°,∵∠CED=∠CBD+∠BCE=67.5°,∠CDE=∠ABD+∠BAC=67.5°,∴∠CED=∠CDE,∴CE=CD;②解:如图1,取BD中点G,连接OG,∵O为AB的中点,∴OG∥AD,AD=2OG,∴∠OGE=∠CDE,∵∠OEG=∠CED,∠CED=∠CDE,∴∠OGE=∠OEG,∴OG=OE=2,∴AD=2OG=4;(2)证明:如图2,在BC上截取BP=AD,连接DP,∵=,∴BC=AC,∴CP=CD,∵∠ACB=90°∴∠CPD=45°,∴∠BPD=135°,由旋转性质得,∠BDF=90°,BD=FD,∴∠BDC+∠FDA=90°,∵∠BDC+∠CBD=90°,∴∠CBD=∠ADF,∴△DF A≌△BDP(SAS),∴∠F AD=∠BPD=135°,∴∠F AB=∠F AD﹣∠BAC=135°﹣45°=90°,∴OA⊥AF,又∵OA为半径,∴AF为⊙O的切线.4.解:(1)连接OD,BD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=∠BDC=90°,在Rt△BCD中,BE=EC,∴DE=EC=BE,∴∠EBD=∠EDB,∵BC是⊙O的切线,∴AB⊥BC,∴∠EBD+∠DBO=90°,∴∠EDB+∠DBO=90°,∵OD=OB,∴∠DBO=∠BDO,∴∠EDB+∠BDO=90°,即∠ODF=90°,∴DF⊥OD,∵OD为⊙O的半径,∴DF为⊙O的切线;(2)∵OB=BF,∴OF=2OB=2OD,∴sin F==,∴∠F=30°,∴OB=BF=EF•cos F=4×cos30°=2,即⊙O的半径为2;(3)由(2)知,OD=2,∠BOD=90°﹣∠F=60°,∴DF=OD•tan∠BOD=2×=6,∵EF=4,∠F=30°,∴BE=EF•sin30°=2,∵阴影部分的面积=三角形ODF的面积﹣三角形FEB的面积﹣扇形BOD的面积,∴S阴=S△ODF﹣S△FEB﹣S扇形BOD=OD•DF﹣BF•BE﹣π•OD2==4﹣2π,∴阴影部分的面积为4﹣2π.5.(1)证明:①如图1,连接OC,AB,∵AP平分∠BAF,∴∠BAP=∠P AF,∵∠P AF+∠P AC=180°,∠P AC+∠PBC=180°,∴∠P AF=∠PBC,又∠BAP=∠PCB,∴∠PBC=∠PCB,∴PB=PC,∴=,∴点P为的中点;(2)解:连接OB,OC,过O作OM⊥BC于M,∴OM垂直平分BC,∴BM=CM=BC=3,∠BOM=∠BOC=∠BAC,∵sin∠BAC=,∴sin∠BOM==,∴OB=5,∴⊙O的半径是5,在Rt△OMC中,OM==4,在Rt△PMC中,PM=OM+OP=9,∴PC==3;(3)∵∠ACE+∠BCA=∠BPE+∠BCA=180°,∴∠ACE=∠BPE,同理,∠CAE=∠PBC=∠P AB,∴△ACE∽△APB,∴=,∴P A•AE=AC•AB,如图4,过C作CQ⊥AB于Q,∵sin∠BAC=,∴CQ=AC•sin∠BAC,∴S△ABC=AB•CQ=AB•AC,∴P A•AE=S△ABC,∵△ABC非锐角三角形,且BC=6,∴当A运动到使∠ACB=90°时,△ABC面积最大,在Rt△ABC中,BC=6,AB=10,∴AC==8,∴S△ABC=BC•AC=24,∴此时,P A•AE=80,即P A•AE的最大值为80.6.(1)证明:连接AB,∵OP⊥BC,∴BO=CO,∴AB=AC,又∵AC=AD,∴AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,又∵∠ABD=∠ACF,∴∠ACF=∠ADB;(2)证明:∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC,∵∠ACF=∠ADF,∵∠ACD﹣∠ACF=∠ADC﹣∠ADF,即∠FCD=∠FDC,∴CF=DF;(3)解:连接AF,由(2)知CF=DF,则点F在CD的垂直平分线上,∵AC=AD,∴点A在CD的垂直平分线上,∴AF是CD的垂直平分线,∴AF平分∠CAD,∴∠CAF=45°,∴∠CBD=45°,故答案为:45;(4)解:作CH⊥BD于H,∵OB=OC=3,∠DBC=45°,∴CH=BH=3,∵OA=6,OC=3,∴AC=3,∴CD=AC=3,∴DH=,∴DB=BH+DH=9,∵∠ACD=∠DBC,∠CDG=∠BDC,∴△DCG∽△DBC,∴DC2=DG•DB,∴(3)2=DG•9,∴DG=5,∴△GDC的面积为=15,故答案为:15.7.(1)证明:如图,连接OB,∵⊙O是直角三角形ABC的外接圆,∴∠ABC=∠DBC=90°.在Rt△DBC中,M为CD的中点,∴BM=MC,∴∠MBC=∠MCB.又∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC.∵CD为⊙O的切线,∴∠ACD=90°.∴∠MCB+∠OCB=∠MBC+∠OBC=90°,即OB⊥BM.又∵OB为⊙O的半径,∴BM与⊙O相切;(2)解:∵∠BAC=60°,OA=OB,∴△ABO为等边三角形,∴∠AOB=60°.∵AC=4,∴OA=2,∴弦AB和弧AB所夹图形的面积=S扇形AOB﹣S△AOB=.(3)解:连接OB,∠ABF=15°时,∠AOF=30°,∴等边△ABO中,OF平分∠AOB,∴OF⊥AB.在Rt△AOH中,AO=2,∠AOH=30°,∴AH=1,∴OH=,∴FH=.8.(1)证明:连接OC,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠OCB=90°,∵OA=OC,∴∠BAC=∠ACO,∠BCP=∠BAC,∴∠BCP=∠ACO,∴∠BCP+∠OCB=90°,∴OC⊥PC,∵OC为半径,∴PC是⊙O的切线;(2)证明:∵∠ACB的平分线交⊙O于点D,∴∠ACD=∠BCD,∵∠PCE=∠PCB+∠BCD,∠PEC=∠BAC+∠ACD,∴∠PEC=∠PCE,∴△PEC是等腰三角形;(3)解:作DM⊥AC于M,DN⊥CB交CB的延长线于N,∵CD平分∠ACB,DM⊥∠AC,DN⊥CB,∴DM=DN,,∵∠AMD=∠BND=90°,∴Rt△AMD≌Rt△BND(HL),∴AM=BN,∵∠DMC=∠MCN=∠CND=90°,∴四边形CMDN为矩形,∵DM=DN,∴矩形CMDN为正方形,∴CN=,∵AC+BC=CM+AB+CB=2CN,∴AC+BC=CD,∵AC+BC=2,∴CD=.9.解:(1)①∵AB为直径,D为的中点,∴∠DCB=180°﹣∠A=180°﹣45°=135°,②连接BD,AC交于点E,当四边形ABCD面积最大时,即△BCD面积最大,当OC⊥BD时,CE最大,∵AB=4,∴BD=AD=2,∴OE=,∴S,∴S四边形ABCD的最大值为:S;(2)直线OF交⊙O于点M,N,过F作PQ∥AB交直线BD,AC于点P,Q,∵∠Q=∠A=∠CDE,∴△PFD∽△CFQ,∴PF•FQ=FD•FC,∵∠N=∠MDF,∠MFD=∠CFN,∴△MFD∽△CFN,∴MF•FN=FD•FC,∴PF•FQ=MF•FN,∴,∴FP=FQ=,设半径为r,∴(r﹣4)(r+4)=,∵r>0,∴r=3,∴AB=6.10.解:(1)连接AE,∵∠AEC+∠ADC=180°,∠BDC+∠ADC=180°,∴∠BDC=∠AEC,∵∠CBD=∠ABE,∴△ABE∽△CBD,∴,∵BC=,AD=2,BD=1,∴AB=AD+BD=2+1=3,∴,∴BE=2,∴CE=BE﹣BC=;(2)BN是⊙O的切线,理由如下:连接CO并延长交⊙O于点F,连接DF,则∠CDF=90°,∴∠CFD+∠FCD=90°,∵∠BCA=∠BDC,∠B=∠B,∴∠BAC=∠BCD,∵∠CAD=∠CFD,∴∠CFD=∠BCD,∴∠FCB=∠FCD+∠BCD=∠FCD+∠CFD=90°,∴BC⊥OC,∵OC是半径,∴BC是⊙O的切线,即BN是⊙O的切线;(3)过点A,C,D三点作⊙O,当BC是⊙O的切线时,∠ACD最大,连接CO并延长交⊙O于点G,连接AG,DG,则∠CDG=90°,∠CAG=90°,∴∠CGD+∠DCG=90°,∵BC是⊙O的切线,∴BC⊥OC,∴∠BCO=90°,∴∠BCD+∠DCG=90°,∴∠BCD=∠CGD,∵∠CGD=∠CAD,∴∠BCD=∠BAC,∵∠B=∠B,∴△BCD∽△BAC,∴,∴BC2=BD•BA,∵AD=2,∴BA=BD+AD=BD+2,∴BC2=BD(BD+2)=BD2+2BD,∵BC2+BA2=AC2,AC=2BD,∴BC2=AC2﹣BA2=(2BD)2﹣(BD+2)2=11BD2﹣4BD﹣4,∴11BD2﹣4BD﹣4=BD2+2BD,∴5BD2﹣3BD﹣2=0,∴BD=﹣(舍去)或BD=1,∴BD=1,∴BA=BD+AD=1+2=3,AC=2BD=2,∵∠B=90°,∴AB⊥BC,∵CG⊥BC,∴CG∥AB,∴∠BAC=∠ACG,∵∠B=∠CAG=90°,∴△BAC∽△ACG,∴,∴,∴CG=4,∴OC=2,即⊙O的半径为2.11.(1)证明:如图1中,连接BC.∵点D是弧BC的中点.∴=,∴∠DCB=∠DBC,∵AB是直径,∴∠ACB=∠BCE=90°,∴∠E+∠DBC=90°,∠ECD+∠DCB=90°,∴∠E=∠DCE,∴CD=ED;(2)①证明:如图2中,∵CF=CH,∴∠CFH=∠CHF,∵∠CFH=∠CAF+∠ACF,∠CHA=∠BAH+∠ABH,∵∠CAD=∠BAH,∴∠ACO=∠OBC,∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=45°,∴∠CAB=∠ABC=45°,∴AC=BC,∵∠ACH=∠BCE=90°,∠CAH=∠CBE,∴△ACH≌△BCE(ASA),∴CH=CE;②解:如图3中,连接OD交BC于G.设OG=x,则DG=2﹣x.∵=,∴∠COD=∠BOD,∵OC=OB,∴OD⊥BC,CG=BG,在Rt△OCG和Rt△BGD中,则有22﹣x2=12﹣(2﹣x)2,∴x=,即OG=,∵OA=OB,∴OG是△ABC的中位线,∴OG=AC,∴AC=.12.(1)证明:∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠DCB=90°,∵BD切⊙O于点B,∴∠ABD=90°,∴∠DCB=∠ABD,∵∠D=∠D,∴△BCD∽△ABD;(2)解:连接OC,∵∠D=50°,∠ABD=90°,∴∠A=40°,∴∠COB=2∠A=80°,∵直径AB=6,∴半径r=3,∴的长为=;(3)解:取BD的中点E,AD的中点F,连接EF,当点P在点C处时,△PBD为直角三角形,E为△PBD的外心,当点P在点A处时,△ABD为直角三角形,F为△PBD的外心,∵AB=6,EF为△ABD的中位线,∴EF=AB=3,∴△PBD的外心运动的路径长为3.13.解:(1)∵∠AOB=90°,∠ABO=30°,∴∠OAB=90°﹣∠ABO=60°,∵=,∴∠COD=∠BAD,∵∠COD=∠OAD,∴∠BAD=∠OAD=,即∠BAD的度数为30°;(2)如图,存在点P,使得直线BP与△AOB的外接圆相切,∵∠AOB=90°,∴AB是△AOB外接圆的直径,∴AB⊥PB,∴∠ABP=90°,∴∠PBC=90°﹣∠ABO=90°﹣30°=60°,由(1)得,∠OAC=30°,∴∠ACO=90°﹣∠OAC=60°,∴∠PCB=∠ACO=60°,∴△PBC是等边三角形,∵A(0,3),∴OA=3,∴OC=OA•tan∠OAC=3×=,在Rt△AOB中,OA=3,∠OAB=60°,∴OB=OA•tan60°=3,∴BC=OB﹣OC=3﹣=2,作PQ⊥BC于Q,∴PQ=CQ•tan∠PCB=×=3,∴OQ=OC+CQ=2,∴P(3,﹣2).即:存在点P,使得直线BP与△AOB的外接圆相切,此时点P(3,﹣2).14.(1)证明:∵AB=AC,∴,∵AE是直径,∴,∴∠BAE=∠CAE,又∵AB=AC,∴AE⊥BC,又∵EF∥BC,∴EF⊥AE,∵OE是半径,∴EF是⊙O的切线;(2)解:连接OC,设⊙O的半径为r,∵AE⊥BC,∴HG=HC+CG=4,∴AG===5,在Rt△OHC中,OH2+CH2=OC2,∴(3﹣r)2+1=r2,解得:r=,∴AE=,∵EF∥BC,∴△AEF∽△AHG,∴,∴,∴EF=;(3)解:∵AH=3,BH=1,∴AB===,∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠B+∠ADC=180°,∵∠ADC+∠CDG=180°,∴∠B=∠CDG,又∵∠DGC=∠AGB,∴△DCG∽△BAG,∴,∴,∴CD=.15.(1)证明:连接OC,∵四边形OBCE为菱形,∴OB=BC,OB∥CE,∴OB=OC=BC,∴△OBC是等边三角形,∴∠BOC=∠COE=60°,∴∠AOP=∠COP=60°,∵OA=OC,OP=OP,∴△APO≌△CPO(SAS),∴∠PCO=∠BAP,∵AB是⊙O的直径,P A是⊙O的切线,∴∠P AO=90°,∴∠PCO=90°,∵OC是⊙O的半径,∴PC是⊙O的切线;(2)①证明:由(1)知,∠AOP=60°,∠P AO=90°,∴∠APO=30°,∵OA=OP,∴OE=PE,∴PE=BC,∵PO∥BC,∴∠PEG=∠BCG,∠EPG=∠CBG,∴△PEG≌△BCG(ASA),∴EG=CG,∴OG⊥CG;②解:∵OB=3,∴OA=OB=3,∴OP=2OA=6,∴AP==3,∴PB===3,连接AF,∵AB是⊙O的直径,∴AF⊥PB,∵S△APB=AP•AB=PB•AF,∴AF===,∴BF===.16.解:(1)直线m与⊙O相切,理由:连接PO,∵AP=AF,∴∠APF=∠AFP,∵∠AFP=∠EFO,∴∠APF=∠EFO,∵OP=OE,∴∠OPF=∠OEF,∵∠FOE=90°,∴∠OFE+∠OEF=∠OPF+∠APF=90°,∴∠APO=90°,∴PO⊥直线AB,∵OP是⊙O的半径,∴直线m与⊙O相切;(2)∵y=x+与x轴交于点A,与y轴交于点B,∴令y=0,得x=﹣2,令x=0,得y=,∴A(﹣2,0),B(0,),∴OA=2,OB=,∴tan∠BAO==,∴∠BAO=30°,∴∠AOP=60°,∵∠AOB=90°,∴∠BOP=30°,∵OP=OE,∴∠OPE=∠EOP,∵∠BOP=∠OPE+∠OEP=2∠PEB=30°,∴;(3)连接CE、CH,∵CD⊥BE,∴∠COE=∠DOE=90°,∴∠CHE=∠ECG=90°=45°,∵∠CEG=∠HEC,∴△CEG∽△HEC,∴.∴EG•EG=CE•EC=2.17.解:(1)①∵OA=OF,∴∠OAF=∠OF A,∴∠POB=∠OAF+∠OF A=2∠OAF,∴∠POB=2∠EPF,∵BC⊥AB,∴∠OBP=90°,∴∠POB+∠EPF=90°,∴2∠EPF+∠EPF=90°,∴∠EPF=30°,∴∠POB=60°,∴n=60,∵r=OB=3,∴的长为;②延长FO交⊙O于点G,连接BF,BG,∵FG是⊙O的直径,∴∠FBG=90°,∵AB是⊙O的直径,∴∠AFB=90°,∴∠AFB+∠GBF=180°,∴AF∥BG,∴,∵OP==5,∴PF=OP﹣OF=2,∵PB=4,∴,∴PE=1;(2)∵t﹣r的值为定值,∴t﹣r=0,∴t=r,∴OB=BP,∴∠POB==45°,∵OA=OF,∴∠OAF=∠OF A,∴∠POB=∠OAF+∠OF A=2∠OAF,∴∠EAB=∠OAF==22.5°,由②同理得AF∥BG,∴,∵OP===r,∴PF=OP﹣OF=(﹣1)r,PG=OP+OG=(+1)r,∴,∴n,∵0<n<1,∴n=﹣1,∴∠EAB=22.5°.18.(1)证明:连结OE,∵BC与⊙O相切于点E,∴OE⊥BC,∴∠BED+∠OED=90°,∵AD是直径,∴∠AED=90°,∴∠EAD+∠ADE=90°,∵OE=OD,∴∠OED=∠ADE,∴∠BED=∠EAD;(2)证明:∵AC⊥BC,OE⊥BC,∴AC∥OE,∴∠CAE=∠AEO,∵OA=OE,∴∠EAO=∠AEO,∴∠CAE=∠EAO,又∵EP⊥AB,EC⊥AC,∴CE=EP;(3)解:连结PF,∵∠ACB=90°,CG⊥AB,∴∠CAE+∠AEC=∠AFG+∠EAP=90°,∵∠CAE=∠EAP,∴∠AEC=∠AFG=∠CFE,∴CF=CE,∵CE=EP,∴CF=PE,∵CG⊥AB,EP⊥AB,∴CF∥EP,∴四边形CFPE是平行四边形,又∵CE=EP,∴平行四边形CFPE是菱形,∴CF=PF,设CF=x,则PF=x,FG=8﹣x,在Rt△PFG中,由勾股定理可得:x2=(8﹣x)2+62,解得:x=,∴四边形CFPE的面积=CF•PG=.19.(1)证明:如图1,连接OD,∵DE为⊙O的切线,∴∠ODE=90°,∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,∴∠C=∠ODB,∴OD∥AC,∴∠DEC=∠ODE=90°,∴DE⊥AC;(2)①证明:如图2,连接BF,AG,∵AB为⊙O的直径,∴∠AFB=∠BGA=90°,∵.∴∠ABD=∠DBG,∵∠ABC=∠C,∴∠C=∠DBG,∴CF∥BG,∴∠FNG+∠BF A=180°,∴∠FBG=90°,∵∠FBG=∠AFB=∠BGA=90°,∴四边形AFBG为矩形,∴AF=BG;②解:如图3,连接AD,∵AB为⊙O的直径,∴∠BDA=90°,∵AB=AC,∴BD=DC,∵CF∥BG,∴∠NCD=∠MBD,在△BDM和△CDN中,,∴△BDM≌△CDN(ASA),∴BM=CN,过点C作CP∥DH交BA的延长线于点P,∴=,∴BH=HP,∵AH:BH=3:8,∴AH:AP=3:5,∵FH∥CP,∴==,∵AB=AC,∴=,设AB=5k,则AC=5k,F A=BG=3k,连接FB,∵∠BF A=90°,∴BF==4k,∵M为BG中点,∴BM=BG=k,∴CN=k,∴AN=AC﹣CN=5k﹣k=k=7,则k=2,∵∠DEC=∠BFC=90°,∴DE∥BF,∴=,∴EF=EC,∴DE=BF=2k,∴DE=4.20.(1)证明:∵AE为⊙O的直径,∴∠ABE=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,∵AD⊥BC,∴∠ADF=90°,∴∠AFD+∠F AD=90°,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠AFD,∴∠AEB=∠AFD;(2)解:如图1,过点B作BM⊥AE于点M.∵∠AFD=∠BFE,∠AFD=∠AEB,∴∠BFE=∠AEB,∴BF=BE=5,∵AB=10,∠ABE=90°,∴AE===5,∵,∴BM==2,∴EM=FM===,∴AF=AE﹣EF=5﹣2=3,∵∠BMF=∠ADF=90°,∠AFD=∠BFM,∴△BFM∽△AFD,∴,∴,∴AD=6;(3)解:∵∠ADB=90°,G为AB的中点,∴AG=DG=BG,∵O为AE的中点,G为AB的中点,∴OG∥BE,∵∠ABE=90°,∴∠AGD=90°,∴△ADG为等腰直角三角形,∴∠GAD=45°,∴∠ABD=45°,过点F作FH⊥AB于点H,如图2,∵AF平分∠BAD,∴FD=FH,∵∠ABD=45°,∴BF=FH=FD,∵∠AFD=∠AEB,∠AEB=∠C,∴∠AFD=∠C,∴AF=AC,又∵AD⊥BC,∴FD=DC,设FD=DC=x,则BF=x,∴.。
中考数学—圆的综合的综合压轴题专题复习及答案一、圆的综合1.如图,⊙A过▱OBCD的三顶点O、D、C,边OB与⊙A相切于点O,边BC与⊙O相交于点H,射线OA交边CD于点E,交⊙A于点F,点P在射线OA上,且∠PCD=2∠DOF,以O为原点,OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,点B的坐标为(0,﹣2).(1)若∠BOH=30°,求点H的坐标;(2)求证:直线PC是⊙A的切线;(3)若OD=10,求⊙A的半径.【答案】(1)(132)详见解析;(3)5 3 .【解析】【分析】(1)先判断出OH=OB=2,利用三角函数求出MH,OM,即可得出结论;(2)先判断出∠PCD=∠DAE,进而判断出∠PCD=∠CAE,即可得出结论;(3)先求出OE═3,进而用勾股定理建立方程,r2-(3-r)2=1,即可得出结论.【详解】(1)解:如图,过点H作HM⊥y轴,垂足为M.∵四边形OBCD是平行四边形,∴∠B=∠ODC∵四边形OHCD是圆内接四边形∴∠OHB=∠ODC∴∠OHB=∠B∴OH=OB=2∴在Rt△OMH中,∵∠BOH=30°,∴MH=12OH=1,33∴点H的坐标为(13(2)连接AC.∵OA=AD,∴∠DOF=∠ADO∴∠DAE=2∠DOF∵∠PCD=2∠DOF ,∴∠PCD=∠DAE∵OB 与⊙O 相切于点A∴OB ⊥OF∵OB ∥CD∴CD ⊥AF∴∠DAE=∠CAE∴∠PCD=∠CAE∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°∴直线PC 是⊙A 的切线;(3)解:⊙O 的半径为r .在Rt △OED 中,DE=12CD=12OB=1,OD=10 , ∴OE ═3∵OA=AD=r ,AE=3﹣r .在Rt △DEA 中,根据勾股定理得,r 2﹣(3﹣r )2=1解得r=53.【点睛】此题是圆的综合题,主要考查了平行四边形的性质,圆内接四边形的性质,勾股定理,切线的性质和判定,构造直角三角形是解本题的关键.2.已知O e 的半径为5,弦AB 的长度为m ,点C 是弦AB 所对优弧上的一动点. ()1如图①,若m 5=,则C ∠的度数为______o ;()2如图②,若m 6=.①求C ∠的正切值;②若ABC V 为等腰三角形,求ABC V 面积.【答案】()130;()2C ∠①的正切值为34;ABC S 27=V ②或43225. 【解析】【分析】 ()1连接OA ,OB ,判断出AOB V 是等边三角形,即可得出结论;()2①先求出10AD =,再用勾股定理求出8BD =,进而求出tan ADB ∠,即可得出结论;②分三种情况,利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论.【详解】()1如图1,连接OB ,OA ,OB OC 5∴==,AB m 5==Q ,OB OC AB ∴==,AOB ∴V 是等边三角形,AOB 60∠∴=o ,1ACB AOB 302∠∠∴==o , 故答案为30;()2①如图2,连接AO 并延长交O e 于D ,连接BD ,AD Q 为O e 的直径,AD 10∴=,ABD 90∠=o ,在Rt ABD V 中,AB m 6==,根据勾股定理得,BD 8=, AB 3tan ADB BD 4∠∴==, C ADB ∠∠=Q ,C ∠∴的正切值为34; ②Ⅰ、当AC BC =时,如图3,连接CO 并延长交AB 于E ,AC BC =Q ,AO BO =,CE ∴为AB 的垂直平分线,AE BE 3∴==,在Rt AEO V 中,OA 5=,根据勾股定理得,OE 4=,CE OE OC 9∴=+=,ABC 11S AB CE 692722∴=⨯=⨯⨯=V ; Ⅱ、当AC AB 6==时,如图4,连接OA 交BC 于F ,AC AB =Q ,OC OB =,AO ∴是BC 的垂直平分线,过点O 作OG AB ⊥于G , 1AOG AOB 2∠∠∴=,1AG AB 32==, AOB 2ACB ∠∠=Q ,ACF AOG ∠∠∴=,在Rt AOG V 中,AG 3sin AOG AC 5∠==, 3sin ACF 5∠∴=, 在Rt ACF V 中,3sin ACF 5∠=, 318AF AC 55∴==, 24CF 5∴=, ABC 111824432S AF BC 225525∴=⨯=⨯⨯=V ; Ⅲ、当BA BC 6==时,如图5,由对称性知,ABC 432S 25=V .【点睛】圆的综合题,主要圆的性质,圆周角定理,垂径定理,等腰三角形的性质,三角形的面积公式,用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.3.如图,在ABC V 中,90ACB ∠=o ,BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ,过点D 作DE AD ⊥交AB 于点E ,以AE 为直径作O e .()1求证:BC 是O e 的切线;()2若3AC =,4BC =,求tan EDB ∠的值.【答案】(1)见解析;(2)1tan 2EDB ∠=. 【解析】【分析】 ()1连接OD ,如图,先证明OD//AC ,再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥,然后根据切线的判定定理得到结论;()2先利用勾股定理计算出AB 5=,设O e 的半径为r ,则OA OD r ==,OB 5r =-,再证明BDO V ∽BCA V ,利用相似比得到r :()35r =-:5,解得15r 8=,接着利用勾股定理计算5BD 2=,则3CD 2=,利用正切定理得1tan 12∠=,然后证明1EDB ∠∠=,从而得到tan EDB ∠的值.【详解】()1证明:连接OD ,如图,AD Q 平分BAC ∠,12∴∠=∠,OA OD =Q ,23∴∠=∠,13∴∠=∠,//OD AC ∴,AC BC ⊥Q ,OD BC ∴⊥,BC ∴是O e 的切线;()2解:在Rt ACB V 中,22345AB =+=,设O e 的半径为r ,则OA OD r ==,5OB r =-,//OD AC Q ,BDO V ∴∽BCA V ,OD ∴:AC BO =:BA ,即r :()35r =-:5,解得158r =, 158OD ∴=,258OB =, 在Rt ODB V 中,2252BD OB OD =-=, 32CD BC BD ∴=-=, 在Rt ACD V 中,312tan 132CD AC ∠===, AE Q 为直径,90ADE ∴∠=o ,90EDB ADC ∴∠+∠=o ,190ADC ∠+∠=o Q ,1EDB ∴∠=∠,1tan 2EDB ∴∠=. 【点睛】本题考查了切线的判定与性质:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;也考查了圆周角定理和解直角三角形.4.如图,AB 是半圆O 的直径,C 是的中点,D 是的中点,AC 与BD 相交于点E .(1)求证:BD 平分∠ABC ;(2)求证:BE =2AD ;(3)求DE BE的值. 【答案】(1)答案见解析(2)BE=AF=2AD (3)212 【解析】试题分析:(1)根据中点弧的性质,可得弦AD=CD,然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可;(2)延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD;(3)连接OD,交AC于H.简要思路如下:设OH为1,则BC为2,OB=OD=2,DH=21-, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析:(1)∵D是的中点∴AD=DC∴∠CBD=∠ABD∴BD平分∠ABC(2)提示:延长BC与AD相交于点F,证明△BCE≌△ACF,BE=AF=2AD(3)连接OD,交AC于H.简要思路如下:设OH为1,则BC为2,OB=OD=2,DH=21-, DEBE=DHBCDE BE =21-5.如图,已知在△ABC中,AB=15,AC=20,tanA=12,点P在AB边上,⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时,⊙P恰好与AC边相切;当点P与点B不重合时,⊙P与AC边相交于点M和点N.(1)求⊙P的半径;(2)当AP=5△APM与△PCN是否相似,并说明理由.【答案】(1)半径为52)相似,理由见解析.【解析】【分析】(1)如图,作BD⊥AC,垂足为点D,⊙P与边AC相切,则BD就是⊙P的半径,利用解直角三角形得出BD与AD的关系,再利用勾股定理可求得BD的长;(2)如图,过点P作PH⊥AC于点H,作BD⊥AC,垂足为点D,根据垂径定理得出MN=2MH,PM=PN,再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长,从而求出AM、NC的长,然后求出AMMP、PNNC的值,得出AMMP=PNNC,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】(1)如图,作BD⊥AC,垂足为点D,∵⊙P与边AC相切,∴BD就是⊙P的半径,在Rt△ABD中,tanA= 1BD2AD =,设BD=x,则AD=2x,∴x2+(2x)2=152,解得:5∴半径为5(2)相似,理由见解析,如图,过点P作PH⊥AC于点H,作BD⊥AC,垂足为点D,∴PH垂直平分MN,∴PM=PN,在Rt△AHP中,tanA=12PHAH =,设PH=y,AH=2y,y2+(2y)2=(52解得:y=6(取正数),∴PH=6,AH=12,在Rt△MPH中,()22356-,∴MN=2MH=6,∴AM=AH-MH=12-3=9,NC=AC-MN-AM=20-6-9=5,∴935535AM MP ==,355PN NC =, ∴AM MP =PN NC, 又∵PM=PN ,∴∠PMN=∠PNM ,∴∠AMP=∠PNC ,∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.6.如图1,以边长为4的正方形纸片ABCD 的边AB 为直径作⊙O ,交对角线AC 于点E . (1)图1中,线段AE= ;(2)如图2,在图1的基础上,以点A 为端点作∠DAM=30°,交CD 于点M ,沿AM 将四边形ABCM 剪掉,使Rt △ADM 绕点A 逆时针旋转(如图3),设旋转角为α(0°<α<150°),在旋转过程中AD 与⊙O 交于点F .①当α=30°时,请求出线段AF 的长;②当α=60°时,求出线段AF 的长;判断此时DM 与⊙O 的位置关系,并说明理由; ③当α= °时,DM 与⊙O 相切.【答案】(1)2(2)①2②2,相离③当α=90°时,DM 与⊙O 相切【解析】(1)连接BE ,∵AC 是正方形ABCD 的对角线,∴∠BAC =45°,∴△AEB 是等腰直角三角形,又∵AB =8,∴AE =4;(2)①连接OA、OF,由题意得,∠NAD=30°,∠DAM=30°,故可得∠OAM=30°,∠DAM=30°,则∠OAF=60°,又∵OA=OF,∴△OAF是等边三角形,∵OA=4,∴AF=OA=4;②连接B'F,此时∠NAD=60°,∵AB'=8,∠DAM=30°,∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4;此时DM与⊙O的位置关系是相离;③∵AD=8,直径的长度相等,∴当DM与⊙O相切时,点D在⊙O上,故此时可得α=∠NAD=90°.点睛:此题属于圆的综合题,主要是仔细观察每一次旋转后的图形,根据含30°角的直角三角形进行计算,另外在解答最后一问时,关键是判断出点D的位置,有一定难度.7.如图,已知四边形ABCD是矩形,点P在BC边的延长线上,且PD=BC,⊙A经过点B,与AD边交于点E,连接CE .(1)求证:直线PD是⊙A的切线;(2)若PC=25,sin∠P=23,求图中阴影部份的面积(结果保留无理数).【答案】(1)见解析;(2)20-4π.【解析】分析:(1)过点A作AH⊥PD,垂足为H,只要证明AH为半径即可.(2)分别算出Rt△CED的面积,扇形ABE的面积,矩形ABCD的面积即可.详解:(1)证明:如图,过A作AH⊥PD,垂足为H,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,∠PCD=∠BCD=90°,∴∠ADH=∠P,∠AHD=∠PCD=90°,又PD=BC,∴AD=PD,∴△ADH≌△DPC,∴AH=CD,∵CD=AB,且AB是⊙A的半径,∴AH=AB,即AH是⊙A的半径,∴PD是⊙A的切线.(2)如图,在Rt△PDC中,∵sin∠P=23CDPD,PC=25,令CD=2x,PD=3x,由由勾股定理得:(3x)2-(2x)2=(25)2,解得:x=2,∴CD=4,PD=6,∴AB=AE=CD=4,AD=BC=PD=6,DE=2,∵矩形ABCD的面积为6×4=24,Rt△CED的面积为12×4×2=4,扇形ABE的面积为12π×42=4π,∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛:本题考查了全等三角形的判定,圆的切线证明,三角形的面积,扇形的面积,矩形的面积.8.如图,已知AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,点D在OC的延长线上,连接DA,交BC的延长线于点E,使得∠DAC=∠B.(1)求证:DA是⊙O切线;(2)求证:△CED∽△ACD;(3)若OA=1,sinD=13,求AE的长.【答案】(1)证明见解析;(22【解析】分析:(1)由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线;(2)由∠DAC=∠DCE,∠D=∠D可知△DEC∽△DCA;(3)由题意可知AO=1,OD=3,DC=2,由勾股定理可知AD=2,故此可得到DC2=DE•AD,故此可求得DE的长,于是可求得AE的长.详解:(1)∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠B=90°.∵∠DAC=∠B,∴∠CAB+∠DAC=90°,∴AD⊥AB.∵OA是⊙O半径,∴DA为⊙O的切线;(2)∵OB=OC,∴∠OCB=∠B.∵∠DCE=∠OCB,∴∠DCE=∠B.∵∠DAC=∠B,∴∠DAC=∠DCE.∵∠D =∠D ,∴△CED ∽△ACD ;(3)在Rt △AOD 中,OA =1,sin D =13,∴OD =OA sinD =3,∴CD =OD ﹣OC =2. ∵AD =22OD OA -=22. 又∵△CED ∽△ACD ,∴AD CD CD DE =,∴DE =2CD AD=2, ∴AE =AD ﹣DE =22﹣2=2.点睛:本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定,证得△DEC ∽△DCA 是解题的关键.9.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧»().AB ()1用直尺和圆规作出»AB 所在圆的圆心O ;(要求保留作图痕迹,不写作法)()2若»AB 的中点C 到弦AB 的距离为2080m AB m =,,求»AB 所在圆的半径.【答案】(1)见解析;(2)50m【解析】分析:()1连结AC 、BC ,分别作AC 和BC 的垂直平分线,两垂直平分线的交点为点O ,如图1;()2连接OA OC OC ,,交AB 于D ,如图2,根据垂径定理的推论,由C 为»AB的中点得到1OC AB AD BD AB 402⊥===,,则CD 20=,设O e 的半径为r ,在Rt OAD V 中利用勾股定理得到222r (r 20)40=-+,然后解方程即可.详解:()1如图1,点O 为所求;()2连接OA OC OC ,,交AB 于D ,如图2,C Q 为»AB 的中点,OC AB ∴⊥, 1402AD BD AB ∴===, 设O e 的半径为r ,则20OA r OD OD CD r ==-=-,,在Rt OAD V 中,222OA OD AD =+Q ,222(20)40r r ∴=-+,解得50r =,即»AB 所在圆的半径是50m .点睛:本题考查了垂径定理及勾股定理的应用,在利用数学知识解决实际问题时,要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来,能将生活中的问题抽象为数学问题.10.已知⊙O 中,弦AB=AC ,点P 是∠BAC 所对弧上一动点,连接PA ,PB .(1)如图①,把△ABP 绕点A 逆时针旋转到△ACQ ,连接PC ,求证:∠ACP+∠ACQ=180°;(2)如图②,若∠BAC=60°,试探究PA 、PB 、PC 之间的关系.(3)若∠BAC=120°时,(2)中的结论是否成立?若是,请证明;若不是,请直接写出它们之间的数量关系,不需证明.【答案】(1)证明见解析;(2)PA=PB+PC .理由见解析;(3)若∠BAC=120°时,(2)3 PA=PB+PC .【解析】试题分析:(1)如图①,连接PC .根据“内接四边形的对角互补的性质”即可证得结论; (2)如图②,通过作辅助线BC 、PE 、CE (连接BC ,延长BP 至E ,使PE=PC ,连接CE )构建等边△PCE 和全等三角形△BEC ≌△APC ;然后利用全等三角形的对应边相等和线段间的和差关系可以求得PA=PB+PC ;(3)如图③,在线段PC 上截取PQ ,使PQ=PB ,过点A 作AG ⊥PC 于点G .利用全等三角形△ABP ≌△AQP (SAS )的对应边相等推知AB=AQ ,PB=PG ,将PA 、PB 、PC 的数量关系转化到△APC 中来求即可.试题解析:(1)如图①,连接PC .∵△ACQ 是由△ABP 绕点A 逆时针旋转得到的,∴∠ABP=∠ACQ .由图①知,点A 、B 、P 、C 四点共圆,∴∠ACP+∠ABP=180°(圆内接四边形的对角互补),∴∠ACP+∠ACQ=180°(等量代换);(2)PA=PB+PC .理由如下:如图②,连接BC ,延长BP 至E ,使PE=PC ,连接CE .∵弦AB=弦AC ,∠BAC=60°,∴△ABC 是等边三角形(有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形).∵A 、B 、P 、C 四点共圆,∴∠BAC+∠BPC=180°(圆内接四边形的对角互补),∵∠BPC+∠EPC=180°,∴∠BAC=∠CPE=60°,∵PE=PC ,∴△PCE 是等边三角形,∴CE=PC ,∠E=∠ECP=∠EPC=60°;又∵∠BCE=60°+∠BCP ,∠ACP=60°+∠BCP ,∴∠BCE=∠ACP (等量代换),在△BEC 和△APC 中,CE PC BCE ACP AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BEC ≌△APC (SAS ),∴BE=PA , ∴PA=BE=PB+PC ;(3)若∠BAC=120°时,(2.理由如下:如图③,在线段PC 上截取PQ ,使PQ=PB ,过点A 作AG ⊥PC 于点G .∵∠BAC=120°,∠BAC+∠BPC=180°,∴∠BPC=60°.∵弦AB=弦AC ,∴∠APB=∠APQ=30°.在△ABP 和△AQP 中,PB PQ APB APQ AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABP ≌△AQP (SAS ), ∴AB=AQ ,PB=PQ (全等三角形的对应边相等),∴AQ=AC (等量代换).在等腰△AQC 中,QG=CG .在Rt △APG 中,∠APG=30°,则AP=2AG ,AG,∴PB+PC=PG ﹣QG+PG+CG=PG ﹣,∴PA=PB+PC .【点睛】本题考查了圆的综合题,解题的关键要能掌握和灵活运用圆心角、弧、弦间的关系,全等三角形的判定与性质,圆内接四边形的性质等.11.如图1,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,BA=BC ,直线MN 是过点A 的直线CD ⊥MN 于点D ,连接BD .(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题:线段DC ,AD ,BD 之间有什么数量关系.经过观察思考,小明出一种思路:如图1,过点B 作BE ⊥BD ,交MN 于点E ,进而得出:DC+AD= BD .(2)探究证明将直线MN 绕点A 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC ,AD ,BD 之间的数量关系,并证明(3)拓展延伸在直线MN 绕点A 旋转的过程中,当△ABD 面积取得最大值时,若CD 长为1,请直接写BD 的长.【答案】(12;(2)AD ﹣2BD ;(3)2+1.【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质求出DC ,AD ,BD 之间的数量关系(2)过点B 作BE ⊥BD ,交MN 于点E .AD 交BC 于O ,证明CDB AEB ∆∆≌,得到CD AE =,EB BD =,根据BED ∆为等腰直角三角形,得到2DE BD =,再根据DE AD AE AD CD =-=-,即可解出答案.(3)根据A 、B 、C 、D 四点共圆,得到当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时,△ABD 的面积最大.在DA 上截取一点H ,使得CD=DH=1,则易证2CH AH ==,由BD AD =即可得出答案.【详解】解:(1)如图1中,由题意:BAE BCD ∆∆≌,∴AE=CD ,BE=BD ,∴CD+AD=AD+AE=DE ,∵BDE ∆是等腰直角三角形,∴DE=2BD ,∴DC+AD=2BD ,故答案为2.(2)2AD DC BD -=.证明:如图,过点B 作BE ⊥BD ,交MN 于点E .AD 交BC 于O .∵90ABC DBE ∠=∠=︒,∴ABE EBC CBD EBC ∠+∠=∠+∠,∴ABE CBD ∠=∠.∵90BAE AOB ∠+∠=︒,90BCD COD ∠+∠=︒,AOB COD ∠=∠,∴BAE BCD ∠=∠,∴ABE DBC ∠=∠.又∵AB CB =,∴CDB AEB ∆∆≌,∴CD AE =,EB BD =,∴BD ∆为等腰直角三角形,2DE BD =. ∵DE AD AE AD CD =-=-,∴2AD DC BD -=.(3)如图3中,易知A 、B 、C 、D 四点共圆,当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时,△ABD 的面积最大.此时DG ⊥AB ,DB=DA ,在DA 上截取一点H ,使得CD=DH=1,则易证2CH AH ==, ∴21BD AD ==+.【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质,等腰直角三角形的性质以及图形的应用,正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.12.如图,AB 是圆O 的直径,O 为圆心,AD 、BD 是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD .延长PD 交圆的切线BE 于点E(1)判断直线PD 是否为⊙O 的切线,并说明理由;(2)如果∠BED=60°,PD=3,求PA 的长;(3)将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ,点F 正好在圆O 上,如图2,求证:四边形DFBE 为菱形.【答案】(1)证明见解析;(2)1;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接OD ,由AB 是圆O 的直径可得∠ADB=90°,进而求得∠ADO+∠PDA=90°,即可得出直线PD 为⊙O 的切线;(2)根据BE 是⊙O 的切线,则∠EBA=90°,即可求得∠P=30°,再由PD 为⊙O 的切线,得∠PDO=90°,根据三角函数的定义求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,由AB是圆O的直径,得∠ADB=90°,设∠PBD=x°,则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,由圆内接四边形的性质得出x 的值,可得出△BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.【详解】(1)直线PD为⊙O的切线,理由如下:如图1,连接OD,∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO+∠BDO=90°,又∵DO=BO,∴∠BDO=∠PBD,∵∠PDA=∠PBD,∴∠BDO=∠PDA,∴∠ADO+∠PDA=90°,即PD⊥OD,∵点D在⊙O上,∴直线PD为⊙O的切线;(2)∵BE是⊙O的切线,∴∠EBA=90°,∵∠BED=60°,∴∠P=30°,∵PD为⊙O的切线,∴∠PDO=90°,在Rt△PDO中,∠P=30°,3∴0 tan30ODPD=,解得OD=1,∴22PO PD OD+,∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1;(3)如图2,依题意得:∠ADF=∠PDA,∠PAD=∠DAF,∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF,∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°,设∠PBD=x°,则∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,∵四边形AFBD内接于⊙O,∴∠DAF+∠DBF=180°,即90°+x+2x=180°,解得x=30°,∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°,∵BE、ED是⊙O的切线,∴DE=BE,∠EBA=90°,∴∠DBE=60°,∴△BDE是等边三角形,∴BD=DE=BE,又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°,∴△BDF是等边三角形,∴BD=DF=BF,∴DE=BE=DF=BF,∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目,考查了切线的判定和性质,圆周角定理和菱形的性质,是中档题,难度较大.13.如图1,等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点A,C的圆交AB于点D,交BC 于点E,连结DE(1)若AD=7,BD=1,分别求DE,CE的长(2)如图2,连结CD,若CE=3,△ACD的面积为10,求tan∠BCD(3)如图3,在圆上取点P使得∠PCD=∠BCD(点P与点E不重合),连结PD,且点D 是△CPF的内心①请你画出△CPF,说明画图过程并求∠CDF的度数②设PC=a,PF=b,PD=c,若(2)(2c)=8,求△CPF的内切圆半径长.【答案】(1)DE=1,CE=32;(2)tan ∠BCD=14;(3)①135°;②2. 【解析】【分析】 (1)由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解;(2)找∠BDF 与∠ODA 为对顶角,在⊙O 中,∠COD=2∠CAD ,证明△OCD 为等腰直角三角形,从而得到∠EDC+∠ODA=45°,即可证明∠CDF=135°;(3)过点D 做DH CB ⊥于点H ,以D 为圆心,DH 为半径画圆,过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F ,结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°,再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点,得出∠CPF=90°,然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒,最后再根据三角形内角和定理即可求解;证明∠DCF+∠CFD=45°,从而证明∠CPF 是直角,再求证四边形PKDN 是正方形,最后以△PCF 面积不变性建立等量关系,结合已知(a-2c )(b-2c )=8,消去字母a ,b 求出c 值,即求出△CPF 的内切圆半径长为22c . 【详解】(1)由图可知:设BC=x .在Rt △ABC 中,AC=BC .由勾股定理得:AC 2+BC 2=AB 2,∵AB=AD+BD ,AD=7,BD=1,∴x 2+x 2=82,解得:x=2.∵⊙O 内接四边形,∠ACD=90°,∴∠ADE=90°,∴∠EDB=90°,∵∠B=45°,∴△BDE 是等腰直角三形.∴DE=DB ,又∵DB=1,∴DE=1,又∵CE=BC-BE ,∴CE=42232-=.(2)如图所示:在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ,设BE=y ,则DM=12y , 又∵CE=3,∴BC=3+y ,∵S △ACB =S ACD +S DCB , ∴()1114242103y y 222⨯=+⨯+⨯, 解得:y=2或y=-11(舍去).∴EM=1,CM=CE+ME=1+3=4,又∵∠BCD=∠MCD ,∴tan ∠BCD=tan ∠MCD , 在Rt △DCM 中,tan ∠MCD=DM CM =14, ∴tan ∠BCD=14. (3)①如下图所示:过点D 做DH CB ⊥于点H ,以D 为圆心,DH 为半径画圆,过点P 做D e 切线PF 交CB 的延长线于点F .∵∠CAD=45°,∴∠CPD=∠CAD=45°,又∵点D 是CPF ∆的内心,∴PD 、CD 、DF 都是角平分线,∴∠FPD=∠CPD =45°,∠PCD=∠DCF ,∠PFD=∠CFD∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90° ∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°,即∠CDF 的度数为135°.②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ,DM ⊥CF ,DN ⊥PF 于直线PC ,CF 和PF 于点K ,M ,N 三点, 设△PCF 内切圆的半径为m ,则DN=m ,∵点D 是△PCF 的内心,∴DM=DN=DK ,又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°,∠FDC=45°,∴∠DCF+∠CFD=45°,又∵DC ,DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线,∴∠PCF=2∠DCF ,∠PFC=2∠DFC ,∴∠PCF+∠PFC=90°,∴∠CPF=90°.在四边形PKDN 中,∠PND=∠NPK=∠PKD=90°,∴四边形PKDN 是矩形,又∵KD=ND ,∴四边形PKDN 是正方形.又∵∠MBD=∠BDM=45°,∠BDM=∠KDP ,∴∠KDP=45°.∵PC=a ,PF=b ,PD=c ,∴PN=PK=2C 2, ∴NF=2b c 2-,CK=2a c 2-, 又∵CK=CM ,FM=FN ,CF=CM+FM , ∴CF=a b 2c +-,又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ,∴112121ab a c b c (a b 2222222=⨯+⨯++-c )×2c 2, 化简得:ab=()22a b c c +-------(Ⅰ),又∵若(a-2c )(b-2c )=8化简得:()2ab 2c a b 2c 8-++=------(Ⅱ), 将(Ⅰ)代入(Ⅱ)得:c 2=8,解得:c 22=,或c 22=-(舍去),∴m=22c 222=⨯=, 即△CPF 的内切圆半径长为2.【点睛】本题考查圆的内接四边形性质,圆的内心,圆心角、圆周角,同弧(或等弧)之间的相互关系,同时也考查直角三角形,勾股定理,同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式,正方形,对顶角和整式的运算等知识点;难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长.14.如图,在中,,以为直径作,交边于点,交边于点,过点作的切线,交的延长线于点,交于点.(1)求证:;(2)若,,求的半径.【答案】(1)证明见解析;(2)4.【解析】试题分析:(1)连接AD,根据等腰三角形三线合一即可证明.(2)设⊙O的半径为R,则FO=4+R,FA=4+2R,OD=R,连接OD,由△FOD∽△FAE,得列出方程即可解决问题.试题解析:(1)连接AD,∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC.(2)设⊙O的半径为R,则FO=4+R,FA=4+2R,OD=R,连接OD、∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∴△FOD∽△FAE,∴,∴,整理得R2﹣R﹣12=0,∴R=4或(﹣3舍弃).∴⊙O的半径为4.考点:切线的性质、等腰三角形的性质等知识.15.如图1,D是⊙O的直径BC上的一点,过D作DE⊥BC交⊙O于E、N,F是⊙O上的一点,过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P,连结CF交PD于M,∠C=12∠P.(1)求证:PA是⊙O的切线;(2)若∠A=30°,⊙O的半径为4,DM=1,求PM的长;(3)如图2,在(2)的条件下,连结BF、BM;在线段DN上有一点H,并且以H、D、C 为顶点的三角形与△BFM相似,求DH的长度.【答案】(1)证明见解析;(2)PM=32;(3)满足条件的DH 63-或1223+【解析】【分析】(1)如图1中,作PH⊥FM于H.想办法证明∠PFH=∠PMH,∠C=∠OFC,再根据等角的余角相等即可解决问题;(2)解直角三角形求出AD,PD即可解决问题;(3)分两种情形①当△CDH∽△BFM时,DH CD FM BF=.②当△CDH∽△MFB时,DH CDFB MF=,分别构建方程即可解决问题;【详解】(1)证明:如图1中,作PH⊥FM于H.∵PD⊥AC,∴∠PHM=∠CDM=90°,∵∠PMH=∠DMC,∴∠C=∠MPH,∵∠C=12∠FPM,∴∠HPF=∠HPM,∵∠HFP+∠HPF=90°,∠HMP+∠HPM=90°,∴∠PFH=∠PMH,∵OF=OC,∴∠C=∠OFC,∵∠C+∠CMD=∠C+∠PMF=∠C+∠PFH=90°,∴∠OFC+∠PFC=90°,∴∠OFP=90°,∴直线PA是⊙O的切线.(2)解:如图1中,∵∠A=30°,∠AFO=90°,∴∠AOF=60°,∵∠AOF=∠OFC+∠OCF,∠OFC=∠OCF,∴∠C=30°,∵⊙O的半径为4,DM=1,∴OA=2OF=8,CD33,∴OD=OC﹣CD=43,∴AD=OA+OD=8+43=123,在Rt△ADP中,DP=AD•tan30°=(123)×33=3﹣1,∴PM=PD﹣DM=3﹣2.(3)如图2中,由(2)可知:BF =12BC =4,FM 3BF =3,CM =2DM =2,CD 3 , ∴FM =FC ﹣CM =3﹣2,①当△CDH ∽△BFM 时,DH CD FM BF = , ∴34432=- ,∴DH =632 ②当△CDH ∽△MFB 时,DH CD FB MF =, ∴34432DH =-,∴DH 1223+ , ∵DN ()22443833--=-,∴DH <DN ,符合题意,综上所述,满足条件的DH 63-1223+. 【点睛】本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会用分类讨论的思想思考问题.。
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图1,已知扇形MON 的半径为2,∠MON=90°,点B 在弧MN 上移动,联结BM ,作OD ⊥BM ,垂足为点D ,C 为线段OD 上一点,且OC=BM ,联结BC 并延长交半径OM 于点A ,设OA=x ,∠COM 的正切值为y.(1)如图2,当AB ⊥OM 时,求证:AM=AC ;(2)求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(3)当△OAC 为等腰三角形时,求x 的值.【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 1422=x . 【解析】 分析:(1)先判断出∠ABM =∠DOM ,进而判断出△OAC ≌△BAM ,即可得出结论; (2)先判断出BD =DM ,进而得出DM ME BD AE =,进而得出AE =122x (),再判断出2OA OC DM OE OD OD==,即可得出结论; (3)分三种情况利用勾股定理或判断出不存在,即可得出结论.详解:(1)∵OD ⊥BM ,AB ⊥OM ,∴∠ODM =∠BAM =90°.∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ,∴∠ABM =∠DOM .∵∠OAC =∠BAM ,OC =BM ,∴△OAC ≌△BAM ,∴AC =AM .(2)如图2,过点D 作DE ∥AB ,交OM 于点E .∵OB =OM ,OD ⊥BM ,∴BD =DM .∵DE ∥AB ,∴DM ME BD AE =,∴AE =EM .∵OM 2,∴AE =122x (). ∵DE ∥AB ,∴2OA OC DM OE OD OD==, ∴22DM OA y OD OE x =∴=+,02x ≤<(3)(i)当OA=OC时.∵111222DM BM OC x===.在Rt△ODM中,222124OD OM DM x=-=-.∵2121224xDMyOD xx=∴=+-,.解得1422x-=,或1422x--=(舍).(ii)当AO=AC时,则∠AOC=∠ACO.∵∠ACO>∠COB,∠COB=∠AOC,∴∠ACO>∠AOC,∴此种情况不存在.(ⅲ)当CO=CA时,则∠COA=∠CAO=α.∵∠CAO>∠M,∠M=90°﹣α,∴α>90°﹣α,∴α>45°,∴∠BOA=2α>90°.∵∠BOA≤90°,∴此种情况不存在.即:当△OAC为等腰三角形时,x的值为1422-.点睛:本题是圆的综合题,主要考查了相似三角形的判定和性质,圆的有关性质,勾股定理,等腰三角形的性质,建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键.2.已知,如图:O1为x轴上一点,以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点,交y轴于M、N两点,∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E,AB是弦,且AB∥CD,直线DM的解析式为y=3x+3.(1)如图1,求⊙O1半径及点E的坐标.(2)如图2,过E作EF⊥BC于F,若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD,试问:BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系?请写出你的结论,并证明.(3)在(2)的条件下,EF交⊙O1于点G,问弦BG的长度是否变化?若不变直接写出BG 的长(不写过程),若变化自画图说明理由.【答案】(1)r=5 E(4,5)(2)BF+CF=AC (3)弦BG的长度不变,等于【解析】分析:(1)连接ED、EC、EO1、MO1,如图1,可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC,从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°.由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1,OM=3.设⊙O1的半径为r.在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题.(2)过点O1作O1P⊥EG于P,过点O1作O1Q⊥BC于Q,连接EO1、DB,如图2.由AB∥DC可证到BD=AC,易证四边形O1PFQ是矩形,从而有O1P=FQ,∠PO1Q=90°,进而有∠EO1P=∠CO1Q,从而可以证到△EPO1≌△CQO1,则有PO1=QO1.根据三角形中位线定理可得FQ=12BD.从而可以得到BF+CF=2FQ=AC.(3)连接EO1,ED,EB,BG,如图3.易证EF∥BD,则有∠GEB=∠EBD,从而有BG=ED,也就有BG=DE.在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED,就可解决问题.详解:(1)连接ED、EC、EO1、MO1,如图1.∵ME平分∠SMC,∴∠SME=∠EMC.∵∠SME=∠ECD,∠EMC=∠EDC,∴∠ECD=∠EDC,∴∠EO1D=∠EO1C.∵∠EO1D+∠EO1C=180°,∴∠EO1D=∠EO1C=90°.∵直线DM的解析式为y=3x+3,∴点M的坐标为(0,3),点D的坐标为(﹣1,0),∴OD=1,OM=3.设⊙O1的半径为r,则MO1=DO1=r.在Rt△MOO1中,(r﹣1)2+32=r2.解得:r=5,∴OO1=4,EO1=5,∴⊙O1半径为5,点E的坐标为(4,5).(2)BF+CF=AC.理由如下:过点O1作O1P⊥EG于P,过点O1作O1Q⊥BC于Q,连接EO1、DB,如图2.∵AB∥DC,∴∠DCA=∠BAC,∴AD=BC BD∴,=AC,∴BD=AC.∵O1P⊥EG,O1Q⊥BC,EF⊥BF,∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°,∴四边形O1PFQ是矩形,∴O1P=FQ,∠PO1Q=90°,∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q.在△EPO1和△CQO1中,111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△EPO1≌△CQO1,∴PO1=QO1,∴FQ=QO1.∵QO1⊥BC,∴BQ=CQ.∵CO1=DO1,∴O1Q=12BD,∴FQ=12BD.∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ,∴BF+CF=BD=AC.(3)连接EO1,ED,EB,BG,如图3.∵DC是⊙O1的直径,∴∠DBC=90°,∴∠DBC+∠EFB=180°,∴EF∥BD,∴∠GEB=∠EBD,∴BG=ED,∴BG=DE.∵DO1=EO1=5,EO1⊥DO1,∴DE∴BG∴弦BG的长度不变,等于52.点睛:本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识,综合性比较强,有一定的难度.而由AB∥DC证到AC=BD是解决第(2)小题的关键,由EG∥DB证到BG=DE是解决第(3)小题的关键.3.如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,小圆直径AE的延长线与大圆交于点B,点D 在大圆上,BD与小圆相切于点F,AF的延长线与大圆相交于点C,且CE⊥BD.找出图中相等的线段并证明.【答案】见解析【解析】试题分析:由AE是小⊙O的直径,可得OA=OE,连接OF,根据切线的性质,可得OF⊥BD,然后由垂径定理,可证得DF=BF,易证得OF∥CE,根据平行线分线段成比例定理,可证得AF=CF,继而可得四边形ABCD是平行四边形,则可得AD=BC,AB=CD.然后连接OD、OC,可证得△AOD≌△EOC,则可得BC=AD=CE=AE.试题解析:图中相等的线段有:OA=OE,DF=BF,AF=CF,AB=CD,BC=AD=CE=AE.证明如下:∵AE是小⊙O的直径,∴OA=OE.连接OF,∵BD与小⊙O相切于点F,∴OF⊥BD.∵BD是大圆O的弦,∴DF=BF.∵CE⊥BD,∴CE∥OF,∴AF=CF.∴四边形ABCD是平行四边形.∴AD=BC,AB=CD.∵CE:AE=OF:AO,OF=AO,∴AE=EC.连接OD、OC,∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.∵∠AOD=∠ODC,∠EOC=∠OEC,∴∠AOC=∠EOC,∴△AOD≌△EOC,∴AD=CE.∴BC=AD=CE=AE.【点睛】考查了切线的性质,垂径定理,平行线分线段成比例定理,平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识.此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法,小心不要漏解.4.已知:如图1,∠ACG=90°,AC=2,点B为CG边上的一个动点,连接AB,将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB,过点D作DF⊥CG于点F.(1)当23时,判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系,并加以证明;(2)如图2,点B在CG上向点C运动,直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点,连接AH,当∠CAB=∠BAD=∠DAH时,求BC的长.【答案】(1)直线FD与以AB为直径的⊙O相切,理由见解析;(2)222.【解析】试题分析:(1)根据已知及切线的判定证明得,直线FD与以AB为直径的⊙O相切;(2)根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析,从而求得BC的长.试题解析:(1)判断:直线FD与以AB为直径的⊙O相切.证明:如图,作以AB为直径的⊙O;∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的,∴△ADB≌△ACB,∴∠ADB=∠ACB=90°.∵O为AB的中点,连接DO,∴OD=OB=AB,∴点D在⊙O上.在Rt△ACB中,BC=,AC=2;∴tan∠CAB==,∴∠CAB=∠BAD=30°,∴∠ABC=∠ABD=60°,∴△BOD是等边三角形.∴∠BOD=60°.∴∠ABC=∠BOD,∴FC∥DO.∵DF⊥CG,∴∠ODF=∠BFD=90°,∴OD⊥FD,∴FD为⊙O的切线.(2)延长AD交CG于点E,同(1)中的方法,可证点C在⊙O上;∴四边形ADBC是圆内接四边形.∴∠FBD=∠1+∠2.同理∠FDB=∠2+∠3.∵∠1=∠2=∠3,∴∠FBD=∠FDB,又∠DFB=90°.∴EC=AC=2.设BC=x,则BD=BC=x,∵∠EDB=90°,∴EB=x .∵EB+BC=EC,∴x+x=2,解得x=2﹣2,∴BC=2﹣2.5.解决问题:()1如图①,半径为4的O外有一点P,且7PO=,点A在O上,则PA的最大值和最小值分别是______和______.()2如图②,扇形AOB的半径为4,45∠=,P为弧AB上一点,分别在OA边找AOB点E,在OB边上找一点F,使得PEF周长的最小,请在图②中确定点E、F的位置并直接写出PEF周长的最小值;拓展应用()3如图③,正方形ABCD 的边长为42;E 是CD 上一点(不与D 、C 重合),CF BE ⊥于F ,P 在BE 上,且PF CF =,M 、N 分别是AB 、AC 上动点,求PMN 周长的最小值.【答案】(1)11,3;(2)图见解析,PEF 周长最小值为423)41042.【解析】【分析】()1根据圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中,最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点,容易求出最大值与最小值分别为11和3;()2作点P 关于直线OA 的对称点1P ,作点P 关于直线OB 的对称点2P ,连接1P 、2P ,与OA 、OB 分别交于点E 、F ,点E 、F 即为所求,此时PEF 周长最小,然后根据等腰直角三角形求解即可;()3类似()2题作对称点,PMN 周长最小12PP =,然后由三角形相似和勾股定理求解. 【详解】解:()1如图①,圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中,最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP 上,此直线与圆有两个交点,圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离. PA ∴的最大值227411PA PO OA ==+=+=,PA 的最小值11743PA PO OA ==-=-=,故答案为11和3;()2如图②,以O 为圆心,OA 为半径,画弧AB 和弧BD ,作点P 关于直线OA 的对称点1P ,作点P 关于直线OB 的对称点2P ,连接1P 、2P ,与OA 、OB 分别交于点E 、F ,点E 、F 即为所求.连接1OP 、2OP 、OP 、PE 、PF ,由对称知识可知,1AOP AOP ∠∠=,2BOP BOP ∠∠=,1PE PE =,2PF P F = ∴1245AOP BOP AOP BOP AOB ∠∠∠∠∠+=+==,12454590POP ∠=+=,12POP ∴为等腰直角三角形,121PP ∴==PEF 周长1212PE PF EF PE P F EF PP =++=++=,此时PEF 周长最小.故答案为;()3作点P 关于直线AB 的对称1P ,连接1AP 、1BP ,作点P 关于直线AC 的对称2P , 连接1P 、2P ,与AB 、AC 分别交于点M 、N .如图③由对称知识可知,1PM PM =,2PN P N =,PMN 周长1212PM PN MN PM P N MN PP =++=++=,此时,PMN 周长最小12PP =.由对称性可知,1BAP BAP ∠∠=,2EAP EAP ∠∠=,12APAP AP ==, ∴1245BAP EAP BAP EAP BAC ∠∠∠∠∠+=+==12454590P AP ∠=+=,12P AP ∴为等腰直角三角形,PMN ∴周长最小值12PP =,当AP 最短时,周长最小. 连接DF .CF BE ⊥,且PF CF =,45PCF ∠∴=,PC CF=45ACD ∠=,PCF ACD ∠∠∴=,PCA FCD ∠∠=,又AC CD=, ∴在APC 与DFC 中,AC PC CD CF=,PCA FCD ∠∠= C AP ∴∽DFC ,AP AC DF CD∴== ∴AP =90BFC ∠=,取AB 中点O .∴点F 在以BC 为直径的圆上运动,当D 、F 、O 三点在同一直线上时,DF 最短.DF DO FO OC =-===AP ∴最小值为AP =∴此时,PMN 周长最小值12PP ====.【点睛】本题考查圆以及正方形的性质,运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键.6.如图,AB是⊙O的直径,D、D为⊙O上两点,CF⊥AB于点F,CE⊥AD交AD的延长线于点E,且CE=CF.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)连接CD、CB,若AD=CD=a,求四边形ABCD面积.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】【分析】(1)连接OC,AC,可先证明AC平分∠BAE,结合圆的性质可证明OC∥AE,可得∠OCB=90°,可证得结论;(2)可先证得四边形AOCD为平行四边形,再证明△OCB为等边三角形,可求得CF、AB,利用梯形的面积公式可求得答案.【详解】(1)证明:连接OC,AC.∵CF⊥AB,CE⊥AD,且CE=CF.∴∠CAE=∠CAB.∵OC=OA,∴∠CAB=∠OCA.∴∠CAE=∠OCA.∴OC∥AE.∴∠OCE+∠AEC=180°,∵∠AEC=90°,∴∠OCE=90°即OC⊥CE,∵OC是⊙O的半径,点C为半径外端,∴CE是⊙O的切线.(2)解:∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA=∠CAB,∴DC∥AB,∵∠CAE=∠OCA,∴OC∥AD,∴四边形AOCD是平行四边形,∴OC=AD=a,AB=2a,∵∠CAE=∠CAB,∴CD=CB=a,∴CB=OC=OB,∴△OCB是等边三角形,在Rt△CFB中,CF=,∴S四边形ABCD=(DC+AB)•CF=【点睛】本题主要考查切线的判定,掌握切线的两种判定方法是解题的关键,即有切点时连接圆心和切点,然后证明垂直,没有切点时,过圆心作垂直,证明圆心到直线的距离等于半径.7.在平面直角坐标系XOY中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,若P、Q为某等边三角形的两个顶点,且有一边与x轴平行(含重合),则称P、Q 互为“向善点”.如图1为点P、Q互为“向善点”的示意图.已知点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(m,0)(1)在点M(﹣1,0)、S(2,0)、T(3,3A点互为“向善点”的是_____;(2)若A、B互为“向善点”,求直线AB的解析式;(3)⊙B3⊙B上有三个点与点A互为“向善点”,请直接写出m的取值范围.【答案】(1)S ,T .(2)直线AB 的解析式为y =3x 或y =﹣3x +23;(3)当﹣2<m <0或2<m <4时,⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”. 【解析】 【分析】(1)根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义,可得出点S ,T 与A 点互为“向善点”; (2)根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义,可得出关于m 的分式方程,解之经检验后可得出点B 的坐标,根据点A ,B 的坐标,利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式;(3)分⊙B 与直线y=3x 相切及⊙B 与直线y=-3x+23相切两种情况求出m 的值,再利用数形结合即可得出结论. 【详解】 (1)∵30330,3tan 60︒--===,3333tan 60︒-==,∴点S ,T 与A 点互为“向善点”. 故答案为S ,T . (2)根据题意得:303-=, 解得:m 1=0,m 2=2,经检验,m 1=0,m 2=2均为所列分式方程的解,且符合题意, ∴点B 的坐标为(0,0)或(2,0). 设直线AB 的解析式为y =kx +b (k ≠0), 将A (1,),B (0,0)或(2,0)代入y =kx +b ,得:30k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩320k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得:30k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩323k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴直线AB 的解析式为y 3或y 33.(3)当⊙B 与直线y 3相切时,过点B 作BE ⊥直线y 3于点E ,如图2所示.∵∠BOE =60°, ∴sin60°=3BE OB, ∴OB =2, ∴m =﹣2或m =2;当⊙B 与直线y =﹣3x +23相切时,过点B 作BF ⊥直线y =﹣3x +23于点F ,如图3所示.同理,可求出m =0或m =4.综上所述:当﹣2<m <0或2<m <4时,⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形,解题的关键是:(1)根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义,确定给定的点是否与A 点互为“向善点”;(2)根据点的坐标,利用待定系数法求出一次函数解析式;(3)分⊙B 与直线3相切及⊙B 与直线33相切两种情况考虑.8.对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ,Q ,给出如下定义:M 为图形P 上任意一点,N 为图形Q 上任意一点,如果M ,N 两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形P ,Q 间的“非常距离”,记作d (P ,Q ).已知点A (4,0),B (0,4),连接AB . (1)d (点O ,AB )= ;(2)⊙O 半径为r ,若d (⊙O ,AB )=0,求r 的取值范围;(3)点C (-3,-2),连接AC ,BC ,⊙T 的圆心为T (t ,0),半径为2,d (⊙T ,△ABC ),且0<d <2,求t 的取值范围.【答案】(1)22;(2)224r ≤≤;(3)25252t --<<--或6<r <8. 【解析】 【分析】(1)如下图所示,由题意得:过点O 作AB 的垂线,则垂线段即为所求; (2)如下图所示,当d (⊙O ,AB )=0时,过点O 作OE ⊥AB ,交AB 于点E ,则:OB=2, OE=22,即可求解;(3)分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况,求解即可. 【详解】(1)过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ,根据“非常距离”的定义可知,d (点O ,AB )=OD=2AB =22442+=22; (2)如图,当d (⊙O ,AB )=0时,过点O 作OE ⊥AB,则OE=22,OB=OA=4, ∵⊙O 与线段AB 的“非常距离”为0, ∴224r ≤≤;(3)当⊙T 在△ABC 左侧时, 如图,当⊙T 与BC 相切时,d=0, BC=2236+=35,过点C 作CE ⊥y 轴,过点T 作TF ⊥BC,则△TFH ∽△BEC,∴TF THBE BC =, 即2=635, ∴TH=5, ∵HO ∥CE, ∴△BHO ∽△BEC, ∴HO=2, 此时T(-5-2,0); 当d=2时,如图,同理可得,此时T (252-); ∵0<d <2,∴25252t -<<-; 当⊙T 在△ABC 右侧时,如图,当p=0时,t=6,当p=2时,t=8. ∵0<d <2, ∴6<r <8;综上,25252t --<<--或6<r <8. 【点睛】本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用.9.如图,在中,,以为直径作,交边于点,交边于点,过点作的切线,交的延长线于点,交于点.(1)求证:; (2)若,,求的半径.【答案】(1)证明见解析;(2)4. 【解析】试题分析:(1)连接AD ,根据等腰三角形三线合一即可证明.(2)设⊙O 的半径为R ,则FO=4+R ,FA=4+2R ,OD=R ,连接OD ,由△FOD ∽△FAE ,得列出方程即可解决问题.试题解析:(1)连接AD ,∵AB 是直径,∴∠ADB=90°, ∵AB=AC ,AD ⊥BC ,∴BD=DC .(2)设⊙O 的半径为R ,则FO=4+R ,FA=4+2R ,OD=R ,连接OD 、 ∵AB=AC , ∴∠ABC=∠C , ∵OB=OD , ∴∠ABC=∠ODB , ∴∠ODB=∠C , ∴OD ∥AC , ∴△FOD ∽△FAE , ∴, ∴,整理得R 2﹣R ﹣12=0, ∴R=4或(﹣3舍弃). ∴⊙O 的半径为4.考点:切线的性质、等腰三角形的性质等知识.10.如图,在ABC △中,10AC BC ==,3cos 5C =,点P 是BC 边上一动点(不与点,A C 重合),以PA 长为半径的P 与边AB 的另一个交点为D ,过点D 作DE CB ⊥于点E .()1当P 与边BC 相切时,求P 的半径;()2联结BP 交DE 于点F ,设AP 的长为x ,PF 的长为y ,求y 关于x 的函数解析式,并直接写出x的取值范围;()3在()2的条件下,当以PE长为直径的Q与P相交于AC边上的点G时,求相交所得的公共弦的长.【答案】(1)409;(2)()25880010x x xy x-+=<<;(3)1025-【解析】【分析】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=45,sinC=HPCP=R10R-=45,即可求解;(2)PD∥BE,则EBPD=BFPF,即:2248805x x x yx--+-=,即可求解;(3)证明四边形PDBE为平行四边形,则AG=GP=BD,即:AB=DB+AD=AG+AD=45,即可求解.【详解】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=35,sinC=HPCP=R10R-=45,解得:R=409;(2)在△ABC中,AC=BC=10,cosC=35,设AP=PD=x,∠A=∠ABC=β,过点B作BH⊥AC,则BH=ACsinC=8, 同理可得:CH=6,HA=4,AB=45,则:tan ∠CAB=2BP=()2284x +-=2880x x -+, DA=25x ,则BD=45-25x ,如下图所示,PA=PD ,∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β, tanβ=2,则55 EB=BDcosβ=(525)525x ,∴PD ∥BE ,∴EB PD =BFPF,即:2248805x x x y xy--+=,整理得:y=)2x 8x 800x 103x 20-+<<+;(3)以EP 为直径作圆Q 如下图所示,两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等,则两圆另外一个交点为D,GD为相交所得的公共弦,∵点Q时弧GD的中点,∴DG⊥EP,∵AG是圆P的直径,∴∠GDA=90°,∴EP∥BD,由(2)知,PD∥BC,∴四边形PDBE为平行四边形,∴AG=EP=BD,∴5设圆的半径为r,在△ADG中,55AG=2r,5551,则:55相交所得的公共弦的长为5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用,涉及到解直角三角形、勾股定理等知识,其中(3),要关键是根据题意正确画图,此题用大量的解直角三角形的内容,综合难度很大.。