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双曲线的定义及标准方程(PPT)4-3

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双曲线及其标准方程ppt课件

双曲线及其标准方程ppt课件


x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2

结论：已知F1，F2分别是双曲线C：

双曲线参数方程课件

双曲线参数方程课件


双曲线的两个分支通过渐近线相连， 程的应用场景
在物理学中，双曲线参数方程可 以用于描述物体的运动轨迹，例
如行星的运动轨迹。
在工程学中，双曲线参数方程可 以用于设计各种机械零件和结构，
例如弹簧、拱桥等。
在数学教育中，双曲线参数方程 是平面解析几何的重要内容之一，
实例三：双曲线参数方程的实际应用
总结词
介绍双曲线参数方程在现实生活中的 应用。
详细描述
列举一些双曲线参数方程在科学、工 程、技术等领域的应用案例，如卫星 轨道、光学仪器设计等，说明双曲线 参数方程的实际价值。
01
双曲线参数方程的 扩展与展望
双曲线参数方程的变种
椭圆参数方程
椭圆参数方程是双曲线参数方程的一种变种，它描述了椭圆上的 点与原点的距离和角度关系。
证明结果
证明了双曲线的参数方程 可以表示双曲线的位置和 大小。
参数方程与普通方程的转换
转换方法
通过消去参数θ，将参数方程转换 为普通方程。
转换过程
利用三角函数的加法定理和减法定 理，消去参数θ，得到双曲线的普 通方程。
转换结果
证明了双曲线的参数方程和普通方 程是等价的，可以相互转换。
01
双曲线参数方程的 实例分析
实例一：特定双曲线的参数方程
总结词
通过具体双曲线的参数方程，展 示双曲线的几何特性。
详细描述
选取一个具体的双曲线，如x^2 y^2 = 1，通过参数方程的形式， 展示双曲线的标准方程、焦点位 置、离心率等几何特性。
实例二：参数变化对双曲线形状的影响
总结词
分析参数变化对双曲线形状的影响。
详细描述
通过改变双曲线参数方程中的参数，观察双曲线形状的变化，如焦点距离、开 口大小等，从而理解参数在双曲线形状中的作用。
双曲线的定义及标准方程-课件

双曲线的定义及标准方程-课件


②经过点P(－3，2√7)和Q(－6√2，－7)，焦点在y轴上的双 曲线的标准方程是 y2/25－x2/75=1 .
三、课堂小结
定义 图象
||MF1|—|MF2||=2a (︱F1F2︱＞2a )
y
y
F2
F·1 o
F·2 x
x
F1
方程
x2 a2
-
y2 b2
=
1
y2 a2
- x2 = 1 b2
焦 点 F（±c，0）
几点说明：
通常|F1F2|记为2c； 正常数记为2a. (1) 定义中为什么要这个常数2a是正数呢？
∵若常数2a=| | MF1|－|MF2| |=0， 则| MF1|=|MF2|，此时点的轨迹 是线段F1F2的垂直平分线.(如图) ∴2a>0，即 a>0 .
M
·
F1
F1 O M
M· ·
F2
F2
(2)定义中为什么要正常数2a<|F1F2|呢？
a2
y2 b2
1 (a>0，b>0)
∵ 2c=10， 2a=6 ，
∴轨迹方程为
∴c=5，a=3，由c2=a2+b2 ，得b=4，
x2 y2 1
9
16
例2：求与双曲线x2/4－y2/2=1有相同焦点且过点P(2，1)的 双曲线方程。
解：设所求的双曲线方程为 x 2
a2
y2 b2
1 (a>0，b>0)
a2 6 a2
34－58a2+216=0，a2=4，b2=2.
∴双曲线方程为 x 2 y 2 1
4
2
4、课堂练习：
⒈ 一元选择题：
双曲线及其标准方程课件

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由已知2sinC＝sinA＋2sinB，
∴sinC－sinB＝12sinA， 由正弦定理， 得|AB|－|AC|＝12|BC|＝2. ∴由双曲线的定义知，动点A的轨迹是以B，C为焦点的 双曲线右半支(除去与x轴的交点)， ∴2c＝4,2a＝2. ∴c＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝3. ∴动点A的轨迹方程为x2－y32＝1(x＞0，y≠0)．
双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义． 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数 ( 小 于 |F1F2|) 的 点 的 轨 迹 叫 做 __________ ， 这 两 个 定 点 叫 做 __________，两焦点间的距离叫做__________．
2．双曲线的标准方程． 焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为_____________． 焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为_____________． 以上两个标准方程中a，b，c满足关系______________
题型四 焦点三角形问题
例4 设P为双曲线x2－1y22 ＝1上的一点，F1，F2是该双曲
线的两个焦点，若|PF1|:|PF2|＝3:2，则△PF1F2的面积为
()
A．6 3
B．12
C．12 3
D．24
分析 利用双曲线的定义和三角形的有关知识求解．
解 由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得， |PF1|－|PF2|＝2， 又|PF1|:|PF2|＝3:2， ∴|PF1|＝6，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2c＝2 13.
由余弦定理得cos∠F1PF2＝622＋×462×－452＝0. ∴三角形为直角三角形． ∴S△PF1F2＝12×6×4＝12.
答案 B
规律技巧 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题.例 如，本例中的求三角形的面积时，一定要注意定义和三角形 的有关内容的结合，还可以利用余弦定理，同时要注意整体 思想的应用.
双曲线及其标准方程ppt课件

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所以 2 mm 1 0 ，解得 m 2 或 m 1， 即实数 m 的取值范围是,2 1, .
总结一下
1.双曲线的定义 2.双曲线的标准方程
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谢谢观看
2.焦点在y轴上的双曲线的标准方程
如图，双曲线的焦距为 2c，焦点分别是
F1(0, c) ， F2 (0,c) ，a，b 的意义同上，这时
双曲线的方程是
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
，这个
方程也是双曲线的标准方程.
y
M
F2
x O
F1
双曲线标准方程
图形
y M x
F1 O F2
y M F2
3.2.1 双曲线及其标准方程
人教A版（2019）选择性必修一
学习目标
01 经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程 02 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程
03 通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想
学习重点
双曲线的定义、标准方程
学习难点
双曲线标准方程的推导
新课导入
我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P {M || MF1 | | MF2 || 2a ， 0 2a | F1F2 |} .
因为 | MF1 | (x c)2 y2 ，| MF2 | (x c)2 y2 ， 所以 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a .①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) ，
x2 b2
1a
双曲线及其标准方程课件

双曲线及其标准方程课件


音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。
双曲线及其标准方程-数学选修

双曲线及其标准方程-数学选修

双曲线及其标准方程-数学选修
contents
目录
• 双曲线的定义与性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的图像与性质 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
01 双曲线的定义与性质
双曲线的定义
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线。双曲面是一种三维几何体，它有两个对 称的曲面，称为双曲抛物面。
在平面直角坐标系中，双曲线通常表示为两个分支的曲线，这两个分支在两个不同 的象限内。
双曲线反射镜常用于反射望远镜的主 反射镜，能够将光线反射并聚焦在副 镜上，再通过目镜观察。
物理中的应用
波动理论
在物理中，双曲线常被用于描述 波动现象，如声波、电磁波等。 通过双曲线方程可以描述波的传 播规律和性质。
运动轨迹
在某些物理问题中，双曲线可以 用来描述物体的运动轨迹，例如 行星绕太阳的椭圆轨道可以用双 曲线的一段来表示。
02 双曲线的标准方程
焦点在x轴上的双曲线标准方程
方程形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$
焦点位置
$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$
参数含义
$a$为半主轴长，$b$为半副轴长，$c=sqrt{a^2+b^2}$为焦 距。
焦点在y轴上的双曲线标准方程
方程形式
01
$frac{y^2}{b^2} - frac{x^2}{a^2} = 1$
焦点位置
02
$F_1(0,c)$，$F_2(0,-c)$
参数含义

03
与焦点在x轴上的双曲线相同。
双曲线标准方程的推导
基于平面几何的性质
推导过程
通过平面几何中点与点的距离公式， 推导出双曲线的标准方程。
双曲线及其标准方程ppt课件

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C.(0,-5),(0,5)
D.(0,- 7),(0, 7)
双曲线的定义
2
1.设 F1,F2 分别是双曲线 x2-24=1 的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( )
A.4 2
B.8 3
C.24
D.48
2.已知动点 P(x,y)满足 ( + 2)2 + 2- ( -2)2 + 2=2,则动点 P 的轨迹是 ( )
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
利用定义求轨迹方程
P P127 习题3.2 第5题
如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O外一定点,P是圆上任
意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当
O
点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A Q
P115 习题3.1 第6题 如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O内一定点,P是圆上 任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点 Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A.椭圆 C.双曲线的左支
B.双曲线 D.双曲线的右支
双曲线的定义
22
【变式练习】
已知
P
是双曲线
双曲线及其标准方程ppt课件

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拉动拉链（M），思考拉链头（M）运动的轨迹是什么图形？
双曲线的定义
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）上面 两条
曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支.
双曲线的定义
（2）定义
北师大版选择性必修一
2.2.1 双曲线的标准方程
复习
复习 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点
的集合（或轨迹）叫做椭圆.
问题1 如果平面内到两个定点F1,F2的距离之差也是一个常数，这
样的点的轨迹是什么图形呢？
双曲线的定义
模型试验：取一条拉链，如图，把它固定在板上的F1、F2两点，

tan
2
中2可以直接使用此公式求双曲线焦点三角形的面积．
双曲线的焦点三角形
例3
2
F1，F2是双曲线
4
−
2
9
= 1的两个焦点，点P在双曲线右支
上，∠F1PF2＝90°.求△F1PF2的面积．
双曲线的轨迹方程
例4 在△ABC中,已知||＝4 2,且三个内角A,B,C满足2sin A＋
sin C＝2sin B．建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
点的轨迹是什么？
2、若常数2a=0,轨迹是什么?
双曲线的定义
3、若常数2a=|F1F2|轨迹是什么？
4、若常数2a＞|F1F2|轨迹是什么？
双曲线的标准方程
双曲线标准方程的推导
(1)建立直角坐标系.
y
(2)设点的坐标
M
(3)根据定义推导出双曲线的标准方程
双曲线及其标准方程 课件(人教版)

双曲线及其标准方程 课件(人教版)


()D.45
解析：(1)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2| ＝2a＝2 2，
所以|PF1|＝2|PF2|＝4 2， |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2
则 cos ∠F1PF2＝ 2|PF1|·|PF2| ＝
（4 22）×24＋（2×2 22）2 2－42＝34. 答案：C
解：(1)法一：由题意知双曲线的两焦点为 F1(0，－
3)，F2(0，3)． 设双曲线方程为ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)， 将点 A(4，－5)代入双曲线方程得2a52－1b62＝1. 又 a2＋b2＝9，解得 a2＝5，b2＝4. 所以双曲线的标准方程为y52－x42＝1.
法二：||AF1|－|AF2||＝| 20－ 80|＝2 5＝2a，
[迁移探究 2] (变换条件)上例中将条件“|PF1|＝ 2|PF2|”改为“P→F1·P→F2＝0”，则△F1PF2 的面积是 ________．
解：不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|
＝2a＝2 2， 由于P→F1·P→F2＝0，所以P→F1⊥P→F2.
所以在△F1PF2 中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4， 所以 S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝2. 答案：2
双曲线及其标准方程
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等 于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
温馨提示 把定常数记为 2a，当 2a＜|F1F2|时，其轨迹是双曲线； 当 2a＝|F1F2|时，其轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包 括端点)；当 2a＞|F1F2|时，其轨迹不存在．
双曲线及其标准方程ppt课件

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F1 O F2
3.限式 |MF1| - |MF2|=±2a
4.代换 即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
5.化简
6
代数式化简得：
y
M (c2 a2) x2 a2 y2 a2 (c2 a2)
F1 O F2
可令：c2-a2=b2
x
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
不存在
(4)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 的绝对值为0,则M点的轨迹是什么?
线段AB的垂5直平分线
（三）合作探究，构建方程
双曲线标准方程推导
1.建系
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 y 点为原点建立直角坐标系
M
2.设点
x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F. 2(c,0)
15
16
2
（二）注重细节，理解概念
双曲线定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对 值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹
叫做双曲线.
M
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
F1 o F2
3
（二）注重细节，理解概念
思考：为什么要求 0<2a<2c? 演示
当2a=2c时，动点的轨迹是什么? 以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外侧的两条射 线． 当2a>2c时，动点的轨迹是什么? 不存在 当2a=0时，动点的轨迹是什么? 线段F1F2的垂直平分线
x2 b2
（1 a
0, b
0)
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上呢？
(二次项系数为正,焦点在相应的轴8上)

双曲线其标准方程

任意一点P在双曲线上，其到两焦点的距离之差为常数， 即|PF₁ - PF₂| = 2a。
焦点与顶点关系
双曲线的焦点到顶点的距离等于c，其中a为横轴长度，b 为纵轴长度，c² = a² + b²。
双曲线的切线性质
切线斜率
对于双曲线上的任意一点P，其切线的斜率k满足k = -e²/((1+e²)(1-e²))。其中e为离心率。
双曲线及其标准方程
• 双曲线的定义 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
目录
01
双曲线的定义
平面上的双曲线
平面上的双曲线由两条开口不 相同的抛物线组成，它们关于x 轴或y轴对称。
双曲线的两个顶点位于x轴或y 轴上，顶点之间的距离称为焦 距。
双曲线的实轴和虚轴分别与x轴 和y轴重合。
双曲线的渐近线
• 渐近线：双曲线有两条渐近线，它们是直线，与 双曲线无限接近但不相交。渐近线的斜率等于离 心率。
双曲线的对称性
• 对称性：双曲线具有对称性，它关于原点对称，也关于两 个渐近线对称。
03
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
当双曲线的焦点位于x 轴上时，其标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$， 其中$a$和$b$是常数， 分别表示双曲线的实半 轴和虚半轴的长度。
空间中的双曲面
空间中的双曲面是一种三维几何 图形，由两个开口的旋转抛物面 组成，它们关于x轴、y轴或z轴
对称。
双曲面的两个顶点位于x轴、y轴 或z轴上，顶点之间的距离称为
焦距。
双曲面的实轴和虚轴分别与x轴、 y轴或z轴重合。
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锑晶体 蒸馏锑晶体 物态 固态 密度 （接近室温） . 7g·cm 熔点时液体密度 . g·cm 熔点 .7K，.°C，7.°F 沸点 K，7°C， °F 熔化热 .7 kJ·mol 汽化
热 .4 kJ·mol 比热容 . J·mol·K 蒸汽压
压/Pa k k k 温/K 7 7 4 化学性质 锑是氮族元素（族），电负性为.。根据元素周期律，它的电负性比锡和铋大，比
的氯化剂、香料的浸出剂、纤维的脱脂剂等 安全性描述 密封干燥保存 危险性描述 锑（易制爆） 化学品类别 金属单质 化合物价态 常见有+、+ 地壳丰度 百
万分之.至. 族 氮族(VA族) 周 期 ；巴陵时尚网 https:/// 巴陵时尚网 ；第五周期 原子序数 相对原子质量 . 外围电子排布 sp 元素符号 Sb
如果在研钵中用研杵将它磨碎，就会发生剧烈的爆炸。黑锑是由金属锑的蒸汽急剧冷却形成的，它的晶体结构与红磷和黑砷相同，在氧气中易被氧化甚至自
燃。当温度降到℃时，它逐渐转变成稳定的晶型。黄锑是最不稳定的一种，只能由锑化氢在- ℃下氧化而得。在这种温度和环境光线的作用下，亚稳态的同素
异形体会转化成更稳定的黑锑。 [] 金属锑的结构为层状结构（空间群：Rm No. ），而每层都包含相连的褶皱六元环结构。最近的和次近的锑原子形成变形
碲和砷小。锑在室温下的空气中是稳定的，但加热时能与氧气反应生成三氧化二锑。 [] 锑在一般条件下不与酸反应。 已知锑有四种同素异形体——一种稳定
的金属锑和三种亚稳态锑（爆炸性锑、黑锑、黄锑）。金属锑是一种易碎的银白色有光泽的金属。把熔融的锑缓慢冷却，金属锑就会结成三方晶系的晶体，
其与砷的灰色同素异形体异质同晶。罕见的爆炸形状的锑可由电解三氯化锑制得，用尖锐的器具刮擦它就会发生放热的化学反应，放出白烟并生成金属锑。
目录 理化性质 ? 物理性质 ? 化学性质 化合物 化学循环 4 生产 历史 应用 ? 阻燃剂 ? 合金 ? 其他应用 7 安全 理化性质编辑 物理性质 锑是一种带有银色光泽
的灰色金属，其莫氏硬度为。因此，纯锑不能用于制造硬的物件：中国的贵州省曾在 年发行锑制的硬币，但因为锑很容易磨损，在流通过程损失严重。 蒸馏
八面体，在相同双层中的三个锑原子比其他三个相距略近一些。
双曲线的标准方程
x2 a2

y2 b2
1（a>0，b>0)表示焦点在x轴上的双曲线
标准方程，其中F1(-C,0) F2(C,0)
y2 a2

x2 b2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
（a>0，b>0)表示焦点在y轴上的双曲线
标准方程，其中F1(0 , -C) F2(0 , C)
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
AMD显卡制造。 化学百科-brh 中文名 锑 英文名 antimony 分子量 .7 熔 点 ℃ 沸 点 ℃ 密 度 . 7g/cm 外 观 带有银色光泽的灰色金属 应 用 灭火剂、有机物