二次函数与一元二次方程(2)(教学设计说明)

22.2 二次函数与一元二次方程教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.2 二次函数与一元二次方程，内容包括：二次函数与一元二次方程的联系．2.内容解析解一元二次方程ax2+bx+c=0可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的值为0，求自变量的值．从图象上看，如果二次函数的图象与x轴有公共点，当自变量取公共点的横坐标时，函数的值为0.由此可求出相应的一元二次方程的根.当二次函数的图象与x轴有两个公共点时，相应的一元二次方程有两个不等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个公共点时，相应的一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与x 轴没有公共点时，相应的一元二次方程没有实数根．通过探究二次函数与一元二次方程的联系，进而掌握利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的方法。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次函数与一元二次方程的联系．二、目标和目标解析1.目标1) 理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

2）通过图象理解二次函数与一元二次方程联系的过程中，体会综合运用函数解析式和函数图象的数形结合思想。

2.目标解析达成目标1）的标志是：学生能够利用二次函数的图象，通过观察与x轴交点的横坐标，确定一元二次方程的近似解．达成目标2）的标志是：在探索二次函数与一元二次方程联系的过程中，理解二次函数与x轴的公共点个数与对应的一元二次方程的实数根的数量关系．三、教学问题诊断分析探究二次函数与一元二次方程的联系的过程与函数和一元一次方程的探究过程一致，但二次函数与x 轴公共点的个数共有三种情况.需学生理解当二次函数图象与x轴有公共点时，公共点的横坐标就是相应的一元二次方程的根.基于以上分析，本节课的教学难点是：用数形结合的思想探究二次函数与一元二次方程的联系．四、教学过程设计（一）探究新知以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .[问题一]球的飞行高度能否达到15 m? 若能，需要多少时间？[问题二]球的飞行高度能否达到20 m? 若能，需要多少时间？[问题三]结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？[问题四]球的飞行高度能否达到20.5 m? 若能，需要多少时间？[问题五]球从飞出到落地要用多少时间？[问题六]结合此问题，你发现二次函数与一元二次方程的联系.师生活动：教师提出问题，学生积极回答问题。

222二次函数与一元二次方程教学设计2 222二次函数与一元二次方程教学设计2教学设计：222二次函数与一元二次方程一、教学目标：1.了解二次函数和一元二次方程的定义和基本性质。

2.掌握二次函数的图像和基本形态。

3.掌握一元二次方程的解的求法。

4.能够应用二次函数和一元二次方程解决实际问题。

二、教学内容与流程：1.二次函数的定义和基本性质（20分钟）-带入一些具体的数值，让学生观察二次函数的图像特点。

- 引导学生总结二次函数的形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

2.二次函数的图像和基本形态（30分钟）-讲解二次函数图像的平移、翻转和缩放。

-通过绘制不同参数下的二次函数图像，让学生理解二次函数图像的变化规律。

-提出问题，如：当a>0时，二次函数图像开口向上，那么当a<0时，二次函数图像开口向下，为什么？3.一元二次方程的定义和解法（30分钟）- 介绍一元二次方程的定义和基本形式，即：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

-讲解一元二次方程的解的求法：配方法、公式法和因式分解法。

-通过例题演示一元二次方程的解的求法。

4.应用二次函数和一元二次方程解决实际问题（40分钟）-通过实例，讲解如何通过建立二次函数或一元二次方程来解决实际问题，如：抛物线的最大值、最小值问题等。

-引导学生实际应用所学的知识，解决一些实际问题。

5.小结与课堂练习（20分钟）-对本节课所学的知识点进行小结，并梳理重点。

-布置相应的课堂练习作业，巩固所学内容。

三、教学方法与手段：1.综合运用讲授、演示和探究等教学方法，注重学生的参与和思考。

通过一些具体的数值和图像，让学生观察和总结二次函数的基本形态和性质，培养学生的观察能力和数学思维能力。

2.利用多媒体教学手段，利用计算机软件或投影仪展示相关二次函数和一元二次方程的图像，使学生能够直观地理解和掌握知识点。

22.2 二次函数与一元二次方程【知识与技能】理解二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握二次函数图象与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式实行判别，理解用图象法确定一元二次方程的近似解的方法.【过程与方法】通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系，体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法.【情感态度】进一步增强学生的数形结合思想方法，增强学生的综合解题水平.【教学重点】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【教学难点】一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系.一、情境导入，初步理解问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.假设不考虑空气阻力，球的飞行高度h（m）与飞行时间t（s）之间具相关系：h=20t-5t2.考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要飞行多长时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要飞行多长时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？【教学说明】教师可通过教材的引例，引用其递进式的问题链，让学生在相互交流过程中，自不过然地感受到引用方程思想来解决函数问题的思想方法.教师巡视，即时释疑解惑，并尽量予以肯定和鼓励，激发学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知通过对上述问题的思考，能够看出二次函数与一元二次方程之间存有着密切联系.例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，能够看作解一元二次方程-x2+4x=3;反过来，解方程x2-4x+3=0又能够看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.问题1画出函数y=x2-4x+3的图象，根据图象回答以下问题：（1）图象与x轴交点的坐标是什么？（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x2-4x+3=0有什么关系？（3）你能从中得到什么启示？问题2以下函数的图象与x轴有公共点吗？假设有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相对应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-x+1.问题3一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？【教学说明】让学生在合作交流过程中完成问题1，2，并对问题3形成一个初步理解，达到从感性理解到理性思考的飞跃，从而理解新知.教师应巡视，对学生的交流成果给予积极评价，最后教师应在黑板上实行归纳总结.【归纳结论】一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：（1）假设抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0.那么当x=x0时，函数的值为0，所以x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.所以可通过方程的根的判别式Δ＜0，Δ=0和Δ＞0来判别抛物线与x轴的交点的个数（Δ=b2-4ac，其中a、b、c为抛物线表达式中二次项系数，一次项系数和常数项）.【试一试】1.若抛物线y=x2-mx+1与x轴没有公共点，则m的取值范围是.2.求证：抛物线y=x2+ax+a-2与x轴总有两个交点.【教学说明】让学生分组完成两个小题，使他们能体验成功的喜悦，对尚有困难的学生，应给予指导.三、使用新知，深化理解1.画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答：（1）方程x2-2x-3=0的解是什么？（2）x取什么值时，函数值大于0？（3）x取什么值时，函数值小于0？2.利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数解.【教学说明】题1可让学生自主完成，教师予以巡视，并作指导；题2的处理建议师生共同完成，这里涉及到逼近求值思想，应作为指导.评讲此题的目的是让学生能进一步体验函数与方程的密切联系，但不要求学生掌握，只要理解即可.【答案】1.图象如下列图：(1)当x1=3,x2=-1.(2)当x<-1或x>3时函数值大于0.（3）当-1<x<3时，函数值小于0.2.解：作y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7.我们还能够通过持续缩小根所在的范围估计一元二次方程的根：观察函数y=x2-2x-2的图象能够发现，当自变量为2时的函数值小于0（点（2，-2）在x轴的下方），当自变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴的上方），因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续持续的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在2＜x＜3这个段经过x轴，也就是说当自变量取2，3之间的某个值时，函数的值为0，即方程x2-2x-2=0在2，3之间有根.我们可通过取平均数的方法持续缩小根所在的范围.例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间.重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间……能够看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而能够作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，因为｜2.6875-2.75｜=0.0625＜0.1，我们能够将2.6875作为根的近似值.四、师生互动，课堂小结1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有何关联？你能不画出抛物线y=ax2+bx+c而理解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？2.你能利用抛物线来确定相对应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？1.布置作业：教材习题22.2第1、2、3、4、6题.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学首先通过具体情况让学生感受用方程思想方法来解决函数问题的思路，然后通过图象来探究一元二次方程的根和二次函数与x轴交点之间的关联.这样整个教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数间的关系来类比引导挖掘、探索二次函数与一元二次方程的关系.此外，通过观察图象直观理解、解答练习以及实际观察分析都是必经的途径与方法，重在让学生自主体会.。

二次函数与一元二次方程--教学设计教学设计主题：二次函数与一元二次方程教学目标：1.理解二次函数的定义和性质；2.掌握一元二次方程的求解方法；3.能够将实际问题转化为二次函数或一元二次方程进行求解。

教学重点：1.二次函数的定义和性质；2.一元二次方程的求解。

教学难点：1.实际问题的建模；2.一元二次方程的求解。

教学准备：1.教师准备：教师课件、教学演示；2.学生准备：学生课本、笔记本。

教学过程：一、导入（5分钟）1.教师通过课件展示一张图，引导学生思考二次函数的图像特点；2.教师提问：你们在高中学过哪些与二次函数相关的知识？请举例说明。

二、概念讲解（20分钟）1.教师通过课件讲解二次函数的定义，并给出例题让学生进行分析和讨论；2.教师引导学生总结二次函数的性质，并进行讨论交流。

三、习题练习（15分钟）1.教师布置若干练习题，要求学生互相讨论解题方法和结果。

练习题可以涉及二次函数的图像、顶点坐标、对称轴等内容。

四、实际问题建模（15分钟）1.教师通过课件呈现一些实际问题，并提问学生如何将这些问题转化为二次函数或一元二次方程；2.学生进行小组讨论，寻找问题的解决方法和步骤。

五、一元二次方程的求解（20分钟）1.教师通过课件讲解一元二次方程的定义、一般形式和求解方法，引导学生理解方程解的含义；2.教师给出一些例题，引导学生进行求解过程，并解释每个步骤的含义和思路。

六、总结归纳（10分钟）1.教师带领学生总结二次函数与一元二次方程的相关知识点和求解方法；2.学生进行讨论和补充。

七、拓展与应用（15分钟）1.教师设计一些拓展题目，要求学生运用所学知识解决实际问题；2.学生进行小组讨论和解答，教师给予指导和点评。

八、课堂总结（5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并提醒学生复习和预习下节课的内容。

教学反思：通过本节课的教学，学生可以对二次函数与一元二次方程的定义、性质和求解方法有更深入的理解。

通过实际问题的建模和解答，学生可以将所学知识应用到实际生活中，提高问题解决能力。

探究新知问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。

如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系。

考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地需要多少时间？归纳：从上面的问题可以看出，二次函数与一元二次方程有如下关系第（1）问师生共同分析，先用代数的方法解答，然后引导学生用图象法对此问进行解释和分析.第（2）问由学生分析并展示过程，同时让学生用图象演示为什只有一个时间小球的飞行高度达到20m？接着老师引导学生从二次函数的性质（即二次函数的最大值）来说明为什么只有一个时间？剩下的学生独立完成，学生代表分析并展示过程.根据刚才例题的讲解，类比一次函数与一元一次方程的联系，现在以小组为单位对二次函数与一元二次方程的关系进行讨论，并请代表展示结果.利用快传采集学生结果采用笔记通过探究问题体现数学来源于生活，其次也以解决实际问题的形式为后续体验一元二次方程与二次函数的联系作铺垫.让学生用数与形这两种不同的方法解决实际问题.培养学生自主思考的习惯，增强学生的归纳概括能力和表达能力，并激发好奇心和求知欲．探究新知问题：观察下图抛物线与x轴的交点情况，回答下列问题.（1）二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有个交点，分别为则一元二次方程方程的解为，根的判别式Δ0。

（2）二次函数y=x2−6x+9的图像与x轴有个交点，分别为则一元二次方程方程的解为，根的判别式Δ0。

（3）二次函数y=x2−x+1的图象与x轴公共点，则一元二次方程方程，根的判别式Δ0。

第（1）问师生共同分析，先引导学生观察图象对此问进行解释和分析.再用代数的方法解答验证。

剩下的学生独立完成，学生代表分析并展示过程.利用快传采集学生结果通过学生讨论、观察，得出判别式和二次函数与x轴交点个数的情况的关系.并让学生掌握特殊到一般的学习方法.归纳：二次函数的图象与x轴交点横坐标与一元二次方程根的关系：.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴交点的情况一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b24ac的情况有两个相等的实数根分别为：x1=x2=x0Δ=b2 – 4ac < 0通过以上环节的探究，教师指导学生思考归纳，并展示结果。

2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第二章)一、教学目标1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．二、教学重难点1.理解二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的联系2.会运用二次不等式模型求解范围及最值等问题及化归思想的呈现三、教学方法“问题链”教学法；“以学生为中心的课堂展开”四、教学过程1.复习引入有两个相等的实数根2.变式探究（1）一元二次不等式的本质问题1：现在，让我们回到问题的本质上去，为什么一元二次不等式的解是这个是形式？如果是一元高次不等式呢，我们又将如何解决？【活动预设】引导学生回归问题本质，运用乘法的性质来重新认识一元二次不等式，让理解力强的同学能举一反三解决三次不等式.【设计意图】从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识一元二次不等式的本质，加深外延的理解,为后续高次不等式的学习作铺垫.1．不等式0)1(12722>+++-x x x x ）（的解集为 ( ) A ．），（），（∞+--∞-34 B ．），（），（∞+∞-43 C ．），（34-- D ．），（43 【预设的答案】B问题2：若上述不等式改为三次不等式如：0)1(1272>++-x x x ）（：，那么我们有什么办法求解呢？问题的本质是怎么样的呢？【预设的答案】⎩⎨⎧>+->+0127012x x x 或⎩⎨⎧<+-<+0127012x x x当我们将）（1272+-x x 因式看作一个整体时，上述问题就归化为一元二次不等式的解题本质上去了，其本质是两同号因式相乘结果为正，两异号因式相乘结果为负。

（2）分式不等式问题3：在明确了问题的本质后，如果两个因式相乘与相除有什么不同呢，在具体的求解中我们又要注意些什么？【活动预设】引导学生回归问题本质，既然乘法与除法在结果上有相似性，那么对一元二次不等式问题进行迁移就可以解决分式不等式【设计意图】从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识分式不等式的本质，并理解乘法与除法的区别在于：分母不能为零2.解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 【预设的答案】解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52. (2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. 反思感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 【预设的答案】 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12， ∴－3<x <－12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.（3）不等式恒成立问题问题4：在理解二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的联系后，能否提炼出一元二次不等式恒成立问题的解题核心？【活动预设】引导学生回归一元二次函数图象来解决恒成立问题. 【设计意图】从感知个例到分析通例，遵循从特殊到一般的思路，在具体实践的基础上进行理性分析，认识恒成立问题，渗透数形结合这一思想，加深对一元二次不等式，一元二次方程，二次函数三者的联系的理解,为后续函数的学习作铺垫. 3.(1)若对∀x ∈R 不等式x 2＋mx >4x ＋m －4恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若x 2>4x ＋m －4在R 上恒成立，求m 的取值范围．【预设的答案】解 (1)原不等式可化为x 2＋(m －4)x ＋4－m >0，∴Δ＝(m －4)2－4(4－m )＝m 2－4m <0， ∴0<m <4，∴m 的取值范围为{m |0<m <4}．(2)原不等式可化为x 2－4x ＋4＝(x －2)2>m 恒成立， ∴m <0，∴m 的取值范围为{m |m <0}．[素养提升] 一元二次不等式恒成立的情况： ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0.1．知识清单：(1)简单的分式不等式的解法(2)利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：①选取合适的字母表示题目中的未知数；②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；③求解所列出的不等式(组)；④结合题目的实际意义确定答案．2．方法归纳：转化、恒等变形．3．常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．。

《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）》教学设计◆教学目标1．通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，体会一元二次不等式的现实意义，提升数学建模的核心素养．2．能利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：实际问题中的一元二次不等式解法．教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出一元二次不等式．◆课前准备PPT课件◆教学过程一、知识回顾★资源名称：【知识点解析】一元二次不等式的解法★使用说明：本资源为一元二次不等式的解法讲解视频，通过具体例子，引导学生理解并归纳出一元二次不等式求解的一般步骤．注：此图片为微课截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式解集的对应关系是怎样的？请你完成下面的表格。

师生活动：学生默写，完成之后教师展示，学生互相检查纠错．预设的答案：Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅（1）函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集即二次函数图象在x 轴上方部分的自变量的取值范围．（2）方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．设计意图：复习旧知识，并通过默写的形式让师生都了解是否掌握了，为本节课的学习扫清知识障碍。

问题2：求解一元二次不等式的步骤是怎样的？师生活动：学生写出步骤，教师用如下的程序框图呈现．预设的答案：设计意图：本节课重点依然是一元二次不等式的解法，学生需要借助三个“二次”的联系，获得一元二次不等式的一般性解法，从整体上把握所学内容，让学生明确不等式解法，有助于学生良好认知结构的建立和完善，并为后面知识的学习提供帮助．二、新知探究 利用一元二次不等式解决实际问题例1 一家车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系：x x y 2200202+-=．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？问题3：这个实际问题中蕴含的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？对于实际问题还需要注意什么？师生活动：学生分析题目，得出一元二次不等式，并求解。

二次函数与一元二次方程教案设计
教学目标
（一）教学知识点
1、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

2、进一步发展估算能力。

（二）能力训练要求
1、经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。

2、利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想。

（三）情感与价值观要求
通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。

教学重点
1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。

2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

教学难点
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

教学方法
学生合作交流学习法。

教具准备
投影片三张
第一张：（记作2。

8。

2a）
第二张：（记作2。

8。

2b）
第三张：（记作2。

8。

2c）
教学过程
Ⅰ、创设问题情境，引入新课
[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可。

但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算。

本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根。

二次函数与一元二次方程教学设计留格初中黄美娜一、教材分析1、教材所处的地位和作用：《二次函数与一元二次方程》是初中数学（山东教育出版社）九年级上册《二次函数》的一节内容。

本节内容体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数图象与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力;通过这节的学习，学生将掌握二次函数与一元二次方程的关系，本节是初中阶段所学的有关函数知识的重要内容之一。

2.教学目标知识与技能目标：理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．过程与方法目标：体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；情感态度与价值观：培养学生热爱数学、主动探究的能力教学重点：把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．教学难点：应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．二、教学策略：1、教学手段：启发式讲解互动式讨论研究式探索本节课以学生的自主探索为主，老师主要通过演示引导启发学生得出结论，这样有利于学生提高学习兴趣，获得成就感。

在教学中可以放手让学生自己去画图象，讨论研究出函数与一元二次方程的关系，以提问的形式与学生互动，通过练习加深学生对函数性质的理解和应用。

2、教学方法及学法：自主探索观察发现合作交流对比归纳三、学情分析：学生的知识技能基础：学生在上学期已经学习过一元二次方程的知识，之前学习了二次函数的图象和代数表达式的三种表示方法，其中主要对一般式和顶点式做了大量的训练，因而从“数”的方面对二次函数有了比较全面的认识，但对交点式仍然停留在感性认识层面，特别是对于从数形结合的这一数学思想来认识二次函数，他们对整章各节知识的关系还没有真正完整的形成，通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始，学生将会对二次函数的“数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。

二次函数与一元二次方程的关系一、教学内容：二次函数与一元二次方程的关系二、教学目标：知识与技能1．理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；2．利用二次函数y=ax2+bx+c的图形，观察对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况。

情感态度与价值观1．通过经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2. 通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性。

三、教学重点、难点：教学重点：1．体会方程与函数之间的联系。

2．能够利用二次函数的图象观察一元二次方程根的情况。

教学难点：1．探索方程与函数之间关系的过程。

2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

四、教学方法：先学后教，合作探究。

五：教具、学具：课件六、教学过程：（一）回顾旧知1.如何用一次函数图象解相应的一元一次方程。

例如用y=2x-1的图象解方程2x-1=0，2x-1=32、不解方程如何判断一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况？（二）出示学习目标和自学指导❖学习目标：❖ 1.理解二次函数与一元二次方程根的关系；并能利用图像法求一元二次方程的解.❖ 2.利用二次函数y=ax2+bx+c的图象观察对应一元二次方程❖ax2+bx+c=0的根的情况.❖自学指导：认真阅读课本内容思考1.“问题”里两个云图的问题体会二次函数与一元二次方程的关系；2.看完“思考”想想如何由一元二次方程的根情况确定相应二次函数的图像与x轴的位置关系。

（三）自学检测1.观察下列图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.2.根据一元二次方程x2-4=0 的根的情况，判断二次函数y=x2-4 图象与x轴交点坐标是什么？3.归纳总结4.课堂练习1 、抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（）A 两个交点B 一个交点C 没有交点D 画出图象后才能说明2.抛物线y=x2-4x+4与X轴有个交点，坐标是3、不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点是____________与y轴交点坐标是_________。

二次函数与一元二次方程【教学目标】1．知识与技能：理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化。

2．过程与方法：逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与x轴的交点情况。

由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。

3．情感态度：培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。

【教学重点】探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。

【教学难点】函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。

【教学过程】一、问题导入。

如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。

如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系。

考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地需要多少时间？2205h t t=-二、探索新知。

1．从上面的问题可以看出，二次函数与一元二次方程有如下关系：函数，当函数值y为某一确定值m时，对应自变量x的值就是方程的根。

特别是y=0时，对应的自变量x的值就是方程的根。

以上关系，反过来也成立。

利用以上关系，可以解决两个方面问题。

其一，当y为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量x值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根。

2．二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系。

观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？方程的根是，。

方程的根是。

方程无实数根。

3．归纳总结。

一般地，从二次函数的图象可得如下结论：如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是方程的一个根。

二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。

【新教材】2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计（人教A版）三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。

课程目标1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。

数学学科素养1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3.数学运算：解一元二次不等式；4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。

重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集; 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本50-52页，思考并完成以下问题1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.2.解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c (a>0)的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x 1,x 2 (x 1<x 2)有两相等实根 x 1=x 2没有实数根ax 2+bx+c>0 (a>0)的解集{x|x >x 2或x <x 1}{x|x ≠−2b a} Rax 2+bx+c<0 (a>0)的解集{x|x 1<x <x 2}∅∅ab 2-=2.一元二次不等式ax 2+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.四、典例分析、举一反三题型一解不等式例1求下列不等式的解集（1）x2−5x+6>0（2）9x2−6x+1>0（3）−x2+2x−3>0【答案】（1）{x|x<2,或x>3}（2）{x|x≠13}（3）∅解题方法（解不等式）(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果；跟踪训练一1、求下列不等式的解集（1）(x+2)(x−3)>0；（2）3x2−7x≤10；（3）−x2+4x−4<0（4）x2−x+14≤0【答案】（1）{x|x<−2,或x>3}（2）{x|x≤−3,或x≥103}（3） {x|x ≠2} （4） {x|x =12}题型二 一元二次不等式恒成立问题例2 (1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．01k ≤≤ B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >【答案】（1）{}|23x x -<< （2）A【解析】（1）由韦达定理得231236bac a⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，6b a c a =-⎧∴⎨=-⎩，代入不等式20ax bx c ++>，得260ax ax a -->，0a <，消去a 得260x x --<，解该不等式得23x -<<，因此，不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23x x -<<， 故答案为：{}|23x x -<<.（2）当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意；当0k >时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立， 则2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当k 0<时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立。

二次函数与一元二次方程教学设计方案教学目标：1. 理解二次函数的定义和性质；2. 掌握一元二次方程的求解方法；3. 能够应用二次函数和一元二次方程解决实际问题。

教学内容：1. 二次函数的定义和性质；2. 一元二次方程的基本形式和解的判别式；3. 使用二次函数和一元二次方程解决实际问题。

教学步骤：步骤一：导入新知识通过展示一张二次函数的图像，引发学生对二次函数的认识和兴趣，让学生观察并总结二次函数的特点。

步骤二：讲解二次函数的定义和性质1. 提供二次函数的定义：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

2. 讲解二次函数的图像特点：开口方向、顶点坐标、对称轴和单调性等。

步骤三：通过例题巩固二次函数的理解提供一些简单的例题让学生在教师的引导下计算二次函数的相关信息，并画出其图像。

步骤四：讲解一元二次方程的基本形式和解的判别式1. 提供一元二次方程的基本形式：ax^2 + bx + c = 0。

2. 讲解一元二次方程解的判别式：b^2 - 4ac，讨论不同判别式对应的解的情况。

步骤五：通过例题巩固一元二次方程的求解方法提供一些简单的一元二次方程，引导学生通过配方、因式分解或求解判别式来求解方程。

步骤六：应用二次函数和一元二次方程解决实际问题提供一些实际问题，引导学生将问题转化为二次函数或一元二次方程，然后利用所学知识解决问题。

步骤七：总结与小结请学生总结二次函数和一元二次方程的定义、性质和求解方法，检查学生对教学内容的掌握情况。

教学方法：1. 归纳法：通过展示二次函数的图像，引导学生观察总结二次函数的特点；2. 讲解法：通过对二次函数和一元二次方程的定义和性质进行讲解，帮助学生建立基本概念和解题方法；3. 实例演练法：通过例题引导学生练习计算和解题。

教具准备：1. 教师准备二次函数的图像和实际问题的例题；2. 学生准备纸笔，用于计算和画图。

评价方式：1. 学生课堂表现评价：包括学生对二次函数和一元二次方程的理解、计算和解题的准确性；2. 学生实践能力评价：通过实际问题的解答来评价学生的应用能力。