2020-2021学年江苏省南京一中、金陵中学、海安中学高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知复数z满足(2+i)z=1−2i，其中i为虚数单位，则z=()A. 1B. −1C. iD. −i2.已知全集U=R，集合M={x|x2−x>0}，则∁U M=()A. {x|0<x<1}B. {x|0≤x≤1}C. {x|x<0或x>1}D. {x|x≤0或x≥1}3.在1，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列{a n}，则a50=()A. 289B. 295C. 301D. 3074.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是()A. 35B. 40C. 50D. 705.函数y=2x的图象大致为()x2+x−2A. B.C. D.6.某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛.高三(1)班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，两项比赛都没参加的有19人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是()A. 15B. 17C. 21D. 267.克罗狄斯托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.根据以上材料，完成下题：如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA =2，B 为半圆上一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，则当线段OC 的长取最大值时，∠AOC =( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1、F 2，其渐近线上横坐标为12的点P 满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则a =( )A. 14B. 12C. 2D. 4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列四个函数中，以π为周期，且在区间(π2,3π4)上单调递减的是( )A. y =|sinx|B. y =cos2xC. y =−tanxD. y =sin|2x|10. 若(2x √x )n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的可能值为( )A. 9B. 10C. 11D. 1211. 已知a >0，b >0，且a 2+b 2=1，则( )A. a +b ≤√2B. 12<2a−b <2 C. log 2√a +log 2√b ≥−12D. a 2−b 2>−112. 我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成N =a ×10n (1≤a <10,n ∈Z).定义：W(N)={N 的整数部分的位数,n ≥0,N 的非有效数字0的个数,n <0,如W(1.2×102)=3，W(1.23×10)=2，W(3×10−2)=2，W(3.001×10−1)=1，则下列说法正确的是( )A. 当n >0，M >1，N >1时，W(M ⋅N)=W(M)+W(N)B. 当n <0时，W(M)=−nC. 若N =2100，lg2≈0.301，则W(N)=31D. 当k ∈N ∗时，W(2k )=W(2−k )三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上横坐标为1的点到焦点的距离为52，则p = ． 14. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限x(年)与维护费用y(千元)之间有如表数据：x 与y 之间具有线性相关关系，且y 关于x 的线性回归方程为y ̂=1.05x +a(a 为常数)．据此估计，使用年限为7年时，维护费用约为 千元． (参考公式：线性回归方程y ^=b ^x +a ^中的系数b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −)15. 如图，水平广场上有一盏路灯挂在10m 长的电线杆上，记电线杆的底部为点A ，把路灯看作一个点光源，身高1.5m 的女孩站在离点A 5m 的点B 处.若女孩向点A 前行4m 到达点D ，然后从点D 出发，沿着以BD 为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶(视为一点)的影子所围成封闭图形的面积为 m 2．16. 已知三棱锥P −ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA =PB =PC =1，以P 为球心，√22为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知公比q 大于1的等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2=4．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =______，求数列{b n }的前n 项和S n ．请在①n ⋅a n ；②|2log 2a n −9|；③a n(2n +1)(2n−1+1)这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．18. 在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且(c −b)sinC =(a −b)(sinA +sinB)． (1)求A ；(2)若b=2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积S的取值范围．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//CD，AD⊥CD，AB=AD=1，CD=2，PD⊥平面ABCD．(1)求证：BC⊥平面PBD；(2)已知PD=2，点E为棱PB的中点，求直线AE与平面DCE所成角的正弦值．20.根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效．(1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布及数学期望；(2)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性．(参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件)21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率√22，且经过点A(1,√22)．(1)求椭圆C的方程；(2)设F为椭圆C的右焦点，直线l与椭圆C相切于点P(点P在第一象限)，过原点O作直线l的平行线与直线PF相交于点Q，问：线段PQ的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．22.已知函数f(x)=ae x+1，g(x)=ln xa−1，其中a>0．(1)若a=1，在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点O分别作函数y=f(x)与y=g(x)的图象的切线l1，l2.求l1，l2的斜率之积；(2)若f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)上恒成立，求a的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的四则运算，是基础题．根据复数代数形式的运算法则，计算即可．【解答】解：复数z满足(2+i)z=1−2i，所以z=1−2i2+i =(1−2i)(2−i)22−i2=−5i5=−i．故选：D．2.【答案】B【解析】【分析】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．求出M中不等式的解集确定出M，根据全集U=R求出M的补集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：x(x−1)>0，解得：x<0或x>1，即M={x|x<0或x>1}，∵全集U=R，∴∁U M={x|0≤x≤1}，故选：B．3.【答案】B【解析】解：在1，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被2除余1的数为2n−1，被3除余1的数为3n−2，∴在1，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被2除余1，且被3除余1的数为：a n=6n−5，∴a50=6×50−5=295．在1，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被2除余1的数为2n−1，被3除余1的数为3n−2，由此得到在1，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被2除余1，且被3除余1的数为a n=6n−5，由此能求出结果．本题考查等差数列的第50项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了排列组合，简单计数原理，分组分配，属于基础题．六位学生分配到两个敬老院，每所敬老院至少两人，则对六名学生进行分组分配即可．【解答】解：六名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组两人另一组4人，或每组3人，所以不同的分配方案为：C62A22+C63=50，故选：C．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题．先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．【解答】，其定义域为{x|x≠0}，解：设y=f(x)=2xx2+x−2∴f(−x)=−2x=−f(x)，x−2+x2∴函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除BD，当x→+∞时，f(x)→0，故排除C，故选：A．【解析】解：设两项比赛都参加的人数为a，只参加投篮比赛的人数为b，则只参加定点射门比赛的人数为20−b，则由题意得：a+b+20−b+19=45，解得a=6，0≤b≤20．当b=9时，参加投篮人数为15，参加定点射门人数为17，当20−b=9时，参加投篮人数为17，参加定点射门人数为15，∴两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是15，有可能是17；当b=5时，加投篮人数为11，参加定点射门人数为21，两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数可能是21；当b=0时，加投篮人数为6，参加定点射门人数为26，两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数可能是26．故选：A．设两项比赛都参加的人数为a，只参加投篮比赛的人数为b，则只参加定点射门比赛的人数为20−b，作出韦恩图求出a=6，0≤b≤20.由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了四边形中的新定义，余弦定理，属于中档题利用制作弦表原理，OC ⋅AB ≤OA ⋅BC +OB ⋅AC ，可得到OC 的最大值，进而确定∠AOB 的大小，确定三角形ABC 的边长，在三角形AOC 中解出∠AOC ． 【解答】解：由制作弦表原理，OC ⋅AB ≤OA ⋅BC +OB ⋅AC ， 可知，OC ⋅AB ≤2AB +AB =3AB ，∴OC ≤3，当且仅当四边形OACB 的对角互补时取等号， ∴当线段OC 的长取最大值3时，∠ACB 与∠AOB 互补， ∵∠ACB =60°， ∴∠AOB =120°，在三角形AOB 中，AB 2=22+12−2×2×1×cos120°=7， 在三角形AOC 中，OC =3，AC =√7，OA =2， cos∠AOC =22+32−72×2×3=12，∴∠AOC =60°， 故选：C ．8.【答案】B【解析】 【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积与向量的垂直关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．根据题意求出P 的坐标，利用已知条件列出方程，化简求解a 即可． 【解答】 解：双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，渐近线上横坐标为12的点P ， 不妨取P 在第一象限， 可得P(12,b2a )因为点P 满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以PF 1⊥PF 2， 所以(12+c)2+(b2a )2+(12−c)2+(b2a )2=4c 2，①c2=a2+b2，②解①得1+b2a2=4c2，将②代入可得：1+c2−a2a2=4c2，解得a=12．故选：B．9.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．由题意利用三角函数的周期性和单调性，即可得出结论．【解答】解：∵y=|sinx|的最小正周期为2π2=π，且在区间(π2,3π4)上单调递减，故A满足条件;∵y=cos2x的最小正周期为2π2=π，且在区间(π2,3π4)上单调递增，故B不满足条件;∵y=−tanx的最小正周期为π，且在区间(π2,3π4)上单调递减，故C满足条件;∵y=sin|2x|没有周期性，故D不满足条件．故选：AC．10.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了二项式展开式的二项式系数的最值问题，属于中档题．根据选项分别令n=9，10，11，12，验证是否符合题意，进而可以求解．【解答】解：当n为偶数时，若n=10时，第6项的二项式系数最大，B正确，若n=12时，第7项的二项式系数最大，D错误，当n为奇数时，若n=9时，第5项或第6项的二项式系数最大，满足题意，A正确，若n=11时，第6项或第7项的二项式系数最大，满足题意，C正确，故选：ABC．11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，对数的运算，二倍角公式和三角函数的图象与性质，考查了转化思想，属于中档题．根据条件可知0<a<1，0<b<1，然后设a=sinα，b=cosα，其中α∈(0,π2)，将各选项中的式子转化后，利用三角函数的图象与性质，得到各式的范围，再判断即可．【解答】解：根据a>0，b>0，且a2+b2=1，可知0<a<1，0<b<1，设a=sinα，b=cosα，其中α∈(0,π2)．A.a+b=sinα+cosα=√2sin(α+π4)，∵α∈(0,π2)，∴α+π4∈(π4,3π4)，∴当α+π4=π2时，√2sin(α+π4)的最大值为√2，∴a+b≤√2，故A正确；B.a−b=sinα−cosα=√2sin(α−π4)，∵α∈(0,π2)，∴α−π4∈(−π4,π4)，∴√2sin(α−π4)∈(−1,1)，∴a−b∈(−1,1)，∴12<2a−b<2，故B正确；C.log2√a+log2√b=log2√ab=log2√sinαcosα=log2√12sin2α，∵α∈(0,π2)，∴2α∈(0,π)，∴√12sin2α∈(0,√12],∴log2√12sin2α≤−12，即log2√a+log2√b≤−12，故C错误；D.a2−b2=sin2α−cos2α=−cos2α，∵α∈(0,π2)，∴2α∈(0,π)，∴−cos2α∈(−1,1)，∴a2−b2>−1，故D正确．故选：ABD．12.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查新定义问题，涉及指数与指数幂的运算，对数与对数运算，属于拔高题．先要通过列举，理解W(N)的意义，N∈[10n,10n+1)，(n∈N)时，N的整数部分的位数为n+1，当N∈[10n,10n+1)，(n=−1,−2,−3,…)，N的非有效数字0的个数为−n，然后通过举例可以否定A，通过一般性论证判定B，借助对数指数运算和不等式的性质判断CD．【解答】解：当N∈[10,100)时，N的整数部分位数为2，当N∈[100,1000)，N的整数部分位数为3，一般地N∈[10n,10n+1)，(n∈N)时，N的整数部分的位数为n+1，当N∈[0.1,1)时，N的非有效数字0的个数为1，当N∈[0.01,0.1)时，N的非有效数字0的个数为2，一般地，当N∈[10n,10n+1)，(n=−1,−2,−3,…)，N的非有效数字0的个数为−n．取M=102，N=10，则W(M)=3，W(N)=2，W(M⋅N)=W(103)=4，而W(M)+W(N)=5，∴W(M⋅N)≠W(M)+W(N)，所以选项A错误，当n<0时，∵1≤a<10，∴M=a×10n∈[10n,10n+1)，W(M)=W(a×10n)=−n，所以选项B正确，∵N=2100，lg2≈0.301，∴lg2100=100lg2≈30.1，1030≤N<1031，∴W(N)=31，所以选项C正确，当k∈N∗时，根据定义，由于2k为正整数，且不可能是10的倍数，∴存在m∈N，使得10m<2k<10m+1，此时W(2k)=m+1，而10−(m+1)<2−k<10−m，W(2−k)=m+1，故D正确．故选：BCD．13.【答案】3【解析】【分析】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．由抛物线方程求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义列式求得p值．【解答】解：抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2，由题意结合抛物线的定义可得，1+p2=52，即p=3．故答案为：3．14.【答案】8.2【解析】 【分析】本题考查线性回归方程的求法，是基础的计算题．由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得a ，在线性回归方程中，取x =7求得y ^的值得答案． 【解答】 解：x −=2+4+5+6+85=5，y −=3+4.5+6.5+7.5+95=6.1，则样本点的中心的坐标为(5,6.1)，代入y ̂=1.05x +a ， 得a =6.1−1.05×5=0.85， 则y ̂=1.05x +0.85．取x =7，可得y ̂=1.05×7+0.85=8.2． ∴使用年限为7年时，维护费用约为8.2千元． 故答案为：8.2．15.【答案】3200289【解析】 【分析】本题考查函数模型的选择及应用，考查运算求解能力，是中档题．根据题意可知，女孩头顶影子的轨迹所围成的图形是一个对角线长为8017的正方形，则答案可求． 【解答】解：如图，设女孩在点B、D两处头顶E、F的影子分别为M、N，则EF=BD=4，BE=DF=1.5，AD=1，由三角形相似，对应边成比例可得：AN−1AN =1.510，得AN=108.5，AM−5 AM =1.510，得AM=508.5，得MN=AM−AN=508.5−108.5=408.5=8017，∵女孩在运动过程中的比例关系不变，∴女孩走一圈时头顶的影子所围成封闭图形是对角线长为8017的正方形，∴女孩走一圈时头顶的影子所围成封闭图形的面积为12×8017×8017=3200289m2．故答案为：3200289．16.【答案】(9√2+4√6)π12【解析】【分析】本题考查了几何体的结构特征与计算问题，也考查了运算求解能力和空间想象能力，是难题．根据题意判断球面与三棱锥表面的交线，是各侧面内以P为圆心，以√22为半径3个四分之一圆弧和底面正三角形ABC内切圆，由此求出交线的长度之和即可．【解答】解：如图所示，设BC 、CA 、AB 的中点分别为D 、E 、F ， P 在平面ABC 内的射影为O 1，因为三棱锥P −ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA =PB =PC =1， 所以AB =BC =CA =√2，所以O 1是正三角形ABC 的中心， PD =PE =PF =√22， O 1D =O 1E =O 1F =13×√32×√2=√66； 以P 为球心，√22为半径的球面与该三棱锥表面的交线，是各侧面内以P 为圆心，以√22为半径3个四分之一圆弧和底面正三角形ABC 内切圆； 所以交线的长度之和为3×π2×√22+2π×√66=(9√2+4√6)π12．故答案为：(9√2+4√6)π12．17.【答案】解：(1)由题设可得：{a 1(1+q 2)=10a 1q =4，解得：{a 1=2q =2或{a 1=8q =12(舍)， ∴a n =2n ； (2)当选条件①时： 由(1)可得：b n =n ⋅2n ，则S n =1×21+2×22+⋯+n ⋅2n ， 又2S n =1×22+⋯+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1， 两式相减得：−S n =2+22+⋯+2n−n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1，整理得：S n =(n −1)⋅2n+1+2． 当选条件②时：由(1)可得：b n =|2log 2a n −9|=|2n −9|， 当n ≤4时，S n =7+5+⋯+9−2n =n(7+9−2n)2=n(8−n)；当n≥5时，S n=7+5+3+1+1+3+⋯+2n−9=16+(n−4)(1+2n−9)2=n2−8n+ 32，∴S n={8n−n 2,n≤4n2−8n+32,n≥5．当选条件③时：由(1)可得：b n=a n(2n+1)(2n−1+1)=2n(2n+1)(2n−1+1)=2(12n−1+1−12n+1)，∴S n=2(120+1−121+1+121+1−122+1+⋯+12n−1+1−12n+1)=2(12−12n+1)=1−22n+1．【解析】本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法与裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．(1)由题设求得等比数列{a n}的公比q与首项a1，即可求得其通项公式；(2)当选条件①时：先由(1)求得b n，再利用错位相减法求得其前n项和即可．当选条件②时：先由(1)求得b n，再对n分n≤4与n≥5两种情况分别求得其前n项和即可．当选条件③时：先由(1)求得b n，再利用裂项相消法求得其前n项和即可．18.【答案】解：(1)△ABC中，(c−b)sinC=(a−b)(sinA+sinB)，由正弦定理得(c−b)c=(a−b)(a+b)，整理得c2+b2−a2=bc，所以cosA=c2+b2−a22bc =bc2bc=12；又A∈(0,π)，所以A=π3；(2)由△ABC为锐角三角形，且A=π3，所以{0<C<π20<2π3−C<π2，解得π6<C<π2，因为b=2，由正弦定理得asinπ3=2sin(2π3−C)=csinC，所以c=2sinCsin(2π3−C)，所以△ABC 的面积为 S =12bcsinA =12×2×2sinCsin(2π3−C)×√32=√3sinC √32cosC+12sinC=√3√32tanC +12，由tanC >tan π6=√33，所以1tanC ∈(0,√3)， 所以√32tanC +12∈(12,2)，所以√3√32tanC +12∈(√32,2√3)； 即△ABC 面积S 的取值范围是(√32,2√3).【解析】本题考查了解三角形的应用问题，解题时应注意有关定理的转化作用和逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是中档题．(1)由正弦定理把角化为边，利用余弦定理求出cos A 和A 的值；(2)由题意求出角C 的取值范围，利用正弦定理求得c ，再计算△ABC 的面积，求出面积S 的取值范围．19.【答案】(1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面PBD ，∴PD ⊥BC ，由AD ⊥CD ，AB//CD ，得AB ⊥AD ， 又AB =AD =1，∴BD =√2，∠ADB =45°， ∠BDC =45°，又CD =2，BD =√2， ∴BC =√4+2−2×2×√2×cos45°=√2， ∴BD 2+BC 2=CD 2，∴BC ⊥BD ，又PD ∩BD =D ，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ， ∴BC ⊥平面PBD ．(2)解：以D 为原点，以DA ，DC ，DP 为坐标轴建立空间直角坐标系D −xyz ，如图所示，则A(1,0，0)，C(0,2，0)，B(1,1，0)，P(0,0，2)， ∵E 是PB 的中点，∴E(12,12,1)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,1)， 设平面CDE 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y =012x +12y +z =0，令z =1可得n⃗ =(−2,0，1)， ∴cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√62×√5=2√3015，所以直线AE 与平面DCE 所成角的正弦值为2√3015．【解析】本题考查了线面垂直的判定，考查空间向量与线面角的计算，属于中档题． (1)利用勾股定理的逆定理证明BC ⊥BD ，根据PD ⊥平面ABCD 得出PD ⊥BC ，于是BC ⊥平面PBD ；(2)建立空间直角坐标系，求出平面CDE 的法向量n ⃗ ，运用向量法得出直线AE 与平面DCE 所成角的正弦值．20.【答案】解：(1)X 的取值为0，1，2，则P(X =0)=C 52C 50C 102=29，P(X =1)=C 51C 51C 102=59， P(X =2)=C 50C 52C 102=29，则分布列为：X 0 1 2 P 29 59 29则数学期望为E(X)=0×29+1×59+2×29=1，(2)通过实验却认定新药无效的概率为p ，则p =C 100(12)10+C 101(12)1(12)9=111024<0.05， 故可认为新药无效是小概率事件，从而认为新药有效， 故实验合理．【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．(1)随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，根据计数原理和概率乘法公式求解即可； (2)根据概率公式计算即可得到p <0.05，故说明实验合理．21.【答案】解：(1)由题意可得{ ca =√22a 2=b 2+c 21a 2+12b 2=1，解得a 2=2，b 2=1，c 2=1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(2)设P(x 0,y 0)，直线l 的方程为x 0x +2y 0y =2， 过原点O 且与直线l 平行的直线方程x 0x +2y 0y =0，则直线PF 的方程为y−y 00−y 0=x−x1−x 0，即y 0x −(x 0−1)y −y 0=0，联立{y 0x −(x 0−1)y −y 0=0x 0x +2y 0y =0，且x 02+2y 02=2，解得x =2y 022−x 0，y =−x 0y2−x 0，∴Q 坐标为(2y 022−x,−x 0y02−x)， ∴|PQ|=√(x 0−2y 022−x 0)2+(y 0+x 0y 02−x 0)2=√(2x 0−22−x 0)2+(2y 02−x 0)2=√4(x 0−1)2+4(1−x 022)(2−x 0)2=√2(x 0−2)2(2−x0)2=√2为定值．【解析】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．(1)由题意可得{ c a =√22a 2=b 2+c 21a 2+12b 2=1，解得即可， (2)设P(x 0,y 0)，可得直线l 的方程为x 0x +2y 0y =2，过原点O 且与直线l 平行的直线方程x 0x +2y 0y =0，直线PF 的方程为y 0x −(x 0−1)y −y 0=0，联立方程组，求出点Q 的坐标，利用两点之间的距离公式即可求出．22.【答案】解：(1)a =1时，f(x)=e x+1，g(x)=lnx −1，设过坐标原点的直线分别切f(x)，g(x)于点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，f′(x)=e x+1，g′(x)=1x ，∴k l 1=e x 1+1，k l 2=1x 2， 且{e x 1+1x 1=e x 1+1lnx 2−1x 2=1x 2，解得：{x 1=1x 2=e 2， ∴k l 1⋅k l 2=e 2⋅1e 2=1；(2)由ae x+1≥ln x a −1在(0,+∞)上恒成立，得a >0时，e x+1≥1a ln x a −1a ，xe x+1≥x a (ln x a −1)=(ln x a −1)⋅e ln x a (∗)， 令F(x)=xe x+1，∴F(x)≥F(ln x a −1)，①当ln x a −1≤0时，(∗)左边>0，右边≤0，显然成立，②当ln x a −1>0，注意到F′(x)=(x +1)e x+1>0，∴F(x)在(0,+∞)递增，∴x ≥ln x a −1⇒a ≥(x e x+1)max ，令φ(x)=x e x+1，φ′(x)=1−x e x+1，令φ′(x)=0，得：0<x <1时，φ′(x)>0，φ(x)递增， 当x >1时，φ′(x)<0，φ(x)递减，故φ(x)max =φ(1)=1e 2，∴a ≥1e 2．【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．(1)代入a 的值，求出函数的导数，求出切线的斜率，作积即可；(2)问题转化为xe x+1≥xa (ln xa−1)=(ln xa−1)⋅e ln x a(∗)恒成立，令F(x)=xe x+1，得到F(x)≥F(ln xa−1)，结合函数的单调性求出a的范围即可．。
