圆的公式与定理

初中圆的所有公式定理圆是初中数学中非常重要的一个概念，它是由平面上所有到定点距离相等的点组成的图形。

在初中数学中，我们学习了许多关于圆的公式和定理，下面就让我们来一一了解。

一、圆的基本概念圆是由平面上所有到定点距离相等的点组成的图形。

其中，定点叫做圆心，到圆心距离相等的点叫做圆上的点，距离叫做半径。

二、圆的周长和面积公式1. 周长公式：C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π≈3.14。

2. 面积公式：S=πr²，其中S表示圆的面积，r表示圆的半径，π≈3.14。

三、圆的弧长和扇形面积公式1. 弧长公式：L=α/360°×2πr，其中L表示圆的弧长，α表示圆心角的度数，r表示圆的半径，π≈3.14。

2. 扇形面积公式：S=α/360°×πr²，其中S表示扇形的面积，α表示圆心角的度数，r表示圆的半径，π≈3.14。

四、圆的切线和切点定理1. 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线垂直。

2. 切点定理：如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直。

五、圆的切线长度定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直，且切线长度等于圆心到直线的距离。

六、圆的切线角定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线夹角等于圆心角的一半。

七、圆的切线定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直。

八、圆的切线长度定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直，且切线长度等于圆心到直线的距离。

九、圆的切线角定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线夹角等于圆心角的一半。

十、圆的切线定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直。

以上就是初中圆的所有公式定理，它们是我们学习圆的基础，掌握好这些公式和定理，对于我们后续的学习和应用都有很大的帮助。

圆的公式定理
圆是一个平面上的几何图形，它是由所有到圆心距离相等的点组成的。

圆的公式和定理是研究圆的重要内容，下面将介绍一些常见的圆的公式和定理。

1. 圆的周长公式：圆的周长是指圆形边界的长度，它等于圆的直径乘以π（圆周率）。

即：C=πd，其中C为圆的周长，d为圆的直径。

2. 圆的面积公式：圆的面积是指圆形内部的面积，它等于圆的半径的平方乘以π。

即：S=πr²，其中S为圆的面积，r为圆的半径。

3. 弧长公式：弧是圆周上的一段弯曲部分，弧长是指弧的长度。

弧长公式是指计算弧长的公式，它等于圆的半径乘以圆心角的弧度数。

即：L=rθ，其中L为弧长，r为圆的半径，θ为圆心角的弧度数。

4. 圆心角公式：圆心角是指圆心所在的角，它的顶点在圆周上。

圆心角公式是指计算圆心角的公式，它等于弧长除以圆的半径。

即：θ=L/r，其中θ为圆心角的弧度数，L为弧长，r为圆的半径。

5. 正弦定理：正弦定理是指在一个圆周上，任意两条弦所对应的两个圆心角的正弦值相等。

即：a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c为弦的长度，A、B、C为对应的圆心角的度数。

6. 余弦定理：余弦定理是指在一个圆周上，任意两条弦所对应的两个圆心角的余弦值相等。

即：a²=b²+c²-2bc*cosA，其中a为弦的长度，b、c为另外两条弦的长度，A为对应的圆心角的度数。

这些公式和定理是研究圆的基础，它们在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

圆幂定理定义圆幂=PO^2-R^2（该结论为欧拉公式）所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。

统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。

相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）相交弦说明几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的例中项几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）切割线定理定义从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

是圆幂定理的一种。

几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT^2=PB·PA割线定理定义从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。

在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。

一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。

圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。

半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。

2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。

直径的长度等于半径的两倍。

3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。

圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。

4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。

直径是最长的弦。

5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。

角度是以度为单位的度量，用符号°表示。

二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。

2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。

3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。

4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。

5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。

6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。

三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。

2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。

3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。

4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。

总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。

通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。

希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。

与圆有关的20个定理圆是几何学中非常重要的一个图形，其形状和性质在数学和实际生活中有广泛的应用。

以下是与圆有关的20个定理的集合，包括圆的基本性质、圆与其他几何图形的关系和圆上的特殊点和线。

1. 定理1：周长公式圆的周长公式是C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π是一个常数，大约为3.14。

这个公式可以使用圆的直径d而不是半径r来表达：C = πd。

2. 定理2：面积公式圆的面积公式是A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。

与周长公式一样，也可以使用圆的直径来表达圆的面积：A = (π/4)d²。

3. 定理3：圆周的弧度弧度是一种测量角度的单位，它是定义为一个圆弧所对应的圆心角的度数除以360度的比例。

例如，如果一个圆弧所对应的圆心角是90度，则该圆弧的弧度是1/4。

4. 定理4：内切圆内切圆是一个圆，恰好与给定的多边形的内部相切，且每个边都是它的切线。

内切圆的半径称为内切圆半径，且由公式r = A/P得出，其中A是多边形的面积，P是多边形的周长。

5. 定理5：外接圆外接圆是一个圆，它恰好与给定的多边形的每个顶点相切。

外接圆的半径称为外接圆半径且可以由a²+b²=c²公式或者P=2πr公式来计算。

6. 定理6：圆柱体的侧面积一个圆柱体的侧面积是由公式A=2πrh得出的，其中r是圆柱体的半径，h是圆柱体的高。

7. 定理7：球的表面积球的表面积是由公式A=4πr²得出的，其中r是球的半径。

8. 定理8：圆锥的侧面积一个圆锥的侧面积是由公式A=πrl得出的，其中r是圆锥的底面半径，l是圆锥的斜线长度。

9. 定理9：勾股定理勾股定理是一个直角三角形的定理，它表明a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。

10. 定理10：圆的切线对于给定的一个圆，一个切线是从圆外的一点切到圆上的一点。

圆的所有定理公式大全圆是几何学中一个重要的基本图形，它具有许多特殊的性质和定理。

在这篇文章中，我们将介绍一些圆的定理和公式，帮助读者更好地理解圆的性质和应用。

1. 圆的基本性质：- 圆是一个平面上所有到圆心距离相等的点的集合。

- 圆心到圆上任意一点的距离称为半径（r）。

- 圆的直径（d）是通过圆心的一条线段，它等于半径的两倍。

2. 圆的周长和面积：- 圆的周长（C）等于圆的直径（d）乘以π（圆周率）。

C = πd 或C = 2πr- 圆的面积（A）等于半径（r）的平方乘以π（圆周率）。

A = πr²3. 弧长和扇形面积：- 弧长（L）是圆的一部分的弧长。

它等于弧度（θ）乘以半径（r）。

L = θr （其中θ 的单位为弧度）- 扇形面积（A）等于角度（θ）比上360度再乘以圆的面积。

A = (θ/360)πr² （其中θ 的单位为角度）4. 圆的相交性质：- 弦：圆上连接两个点的线段称为弦。

如果一个弦通过圆心，它称为直径。

- 弦切角：如果两个弦的端点相连成一个角，则这个角叫做弦切角。

- 切线：与圆相切且与半径垂直的线段称为切线。

切线与半径的交点称为切点。

- 切线切割定理：一个切点与切点外的任意一点相连，此线段与切线的交点与切点相连的线段平方等于此直线与切线相交的两条弦构成的弧的两个弧度之积。

5. 圆的角度定理：- 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角。

圆心角的度数等于所对弧所对应的圆周角度数。

- 直径角：直径所对的角称为直径角，它的度数为 180 度。

- 弧角定理：圆上的两条弦所对的圆心角等于它们所对弧所对应的圆周角的一半。

6. 圆的判定定理：- 定理 1：如果一个点到圆心的距离等于圆的半径，那么这个点在圆上。

- 定理 2：如果一个点在圆上，那么它到圆心的距离等于圆的半径。

7. 圆的位置关系：- 外切圆：与一个三角形的三边都相切的圆，叫做该三角形的外切圆。

- 内切圆：与一个三角形的三条边都相切于一个点的圆，叫做该三角形的内切圆。

关于初中数学圆方面的计算公式1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr²3.扇形弧长l=nπr/1804.扇形面积S=nπr²/360=rl/25.圆锥侧面积S=πrl6.圆锥的表面积S=πrl+πr²〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。

集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

〖圆的相关量〗1、圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820 9749445923078164062862089986280348253421170679...，通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。

2、圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

3、圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

4、内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。

和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

5、扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

圆锥侧面展开图是一个扇形。

这个扇形的半径成为圆锥的母线。

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7同圆或等圆的半径相等8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12 ①直线L和⊙O相交 d＜r②直线L和⊙O相切 d=r③直线L和⊙O相离 d＞r13切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18圆的外切四边形的两组对边的和相等19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角20推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等31推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上35 ①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37 定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆39 正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n40定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形41正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长42正三角形面积√3a／4 a表示边长43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=444弧长计算公式：L=n兀R／18045扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／246内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等49推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

解析几何圆的公式圆的解析几何方程如下圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F>0)。

其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

该圆圆心坐标为(-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D^2+E^2-4F。

圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数)圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0*x+b0*y=r^2 扩展资料：直线与圆的位置关系平面内直线与圆的位置关系有三种：（1）相离：无交点；（2）相切：仅有一个交点；（3）相交：有两个交点。

直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离d与半径r的关系：（1）d>r：直线与圆相离；（2）d=r：直线与圆相切；（3）d<r：直线与圆相交。

初中数学圆的知识点总结1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

圆的方程及性质圆是几何学中的基本图形之一，它具有独特的性质和方程。

本文将详细介绍圆的方程及相关性质，帮助读者更好地理解和运用圆的知识。

一、圆的定义及性质圆是平面上所有与一定点（圆心）的距离相等的点的集合。

圆心到圆上任意一点的距离称为半径，用字母 r 表示。

以圆心为中心、半径为r 的圆的方程可以用以下形式表示：（x-a）² + (y-b)² = r²其中 (a，b) 表示圆心的坐标。

这个方程被称为圆的标准方程，它描述了圆的几何特征。

根据该方程，我们可以得出以下圆的性质：1. 圆的半径相等：根据圆的定义，圆上任意两点到圆心的距离是相等的，因此圆的半径是相等的。

2. 圆的直径：圆上通过圆心的线段称为圆的直径，直径的长度是半径长度的两倍。

3. 圆的周长：圆的周长是圆上一周的长度，可以用公式C = 2πr 计算，其中π 是一个常数，约等于 3.14。

4. 圆的面积：圆的面积是圆内部所有点的集合，可以用公式A = πr² 计算。

5. 圆的切线：过圆上一点的直线且与圆相切称为圆的切线，切线与半径的夹角为直角。

6. 圆的弧长：圆弧是圆上两点之间的弧，圆弧的长度也是圆的一部分。

二、圆的方程的推导圆的方程可以通过距离公式的推导得到。

设圆心坐标为 (a，b) ，圆上任意一点的坐标为 (x，y) ，根据距离公式可得：√[(x-a)² + (y-b)²] = r两边平方可以得到圆的标准方程：(x-a)² + (y-b)² = r²这个方程描述了平面上到圆心距离为半径的所有点的集合，即圆。

三、圆的相关性质除了上述提到的圆的性质外，下面还介绍一些与圆相关的重要概念和性质。

1. 弦：圆上连接两点的线段称为弦。

直径是半径的两倍，因此它是圆的最长弦。

2. 弧：圆上两点之间的一段曲线称为弧。

弧可以通过圆心角来确定，圆心角的度数等于其对应的弧所夹的角的度数。

圆的面积与周长公式
1、圆面积公式是一种定理定律，用字母可以表示为：S=πr²或S=π*(d/2)²。

(π表示圆周率(3.1415926……)，r表示半径，d表示直径)。

2、推导过程：把圆平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形。

长方形的宽就等于圆的半径(r)，长方形的长就是圆周长(C)的一半。

长方形的面积是ab，那圆的面积就是：圆的半径(r)乘以二分之一周长C，S=r*C/2=r*πr。

3、圆的周长公式：圆的周长＝2×半径×圆周率＝直径×圆周率 (圆的周长＝2πr)
圆的定义：
在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆（circle）。

这个定点叫做圆的圆心。

圆形一周的长度，就是圆的周长。

能够重合的两个圆叫等圆。

圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但永远无法等于0。

初中数学圆的公式
圆是数学中的一个基本几何图形，在初中数学中会学习关于圆的公式和性质。

下面我将详细介绍初中数学中与圆相关的公式。

1.弧长公式：
在圆上，如果知道了圆的半径和圆心角的大小（以弧度为单位），就可以计算弧长。

弧长=半径某圆心角（弧度）
2.弧度和角度换算公式：
常用的角度单位是度，而在数学中，弧度也是一个常用的角度单位，它是用弧长等于半径的圆心角度数定义的。

弧度=角度某π/180
角度=弧度某180/π
3.圆的面积公式：
圆的面积公式可以通过计算扇形面积和割线形成的梯形面积而得出。

圆的面积=π某半径²
4.扇形面积公式：
在圆上，如果知道了圆心角的大小（以弧度为单位）和圆的半径，就可以计算扇形的面积。

扇形面积=半径²某圆心角（弧度）/2
5.圆上的弦长公式：
在圆上，如果知道了弦的长度和圆心角的大小（以弧度为单位），就
可以计算弦对应的圆心角的正弦值。

正弦值=弦长/（2某半径）
6.切线与半径的关系公式：
在圆上，如果知道了切线与圆心的连线和半径的夹角大小，就可以计
算切线的长度。

切线长=半径某正切值
7.切线与半径的定理：
在圆上，切线和半径的连线垂直。

这意味着切线与连线所夹的角是直角。

8.相交弦定理：
在圆内，如果两条弦相交，则两条弦之间的乘积等于圆半径与交点到
两条弦的距离的乘积之和。

相交弦的乘积=圆半径某交点到两条弦的距离的乘积之和
这些是在初中数学中学习到的一些与圆相关的公式。

掌握了这些公式，我们就能更好地理解圆的性质和计算圆相关的问题。

4圆是定点的距离等于定长的点的集合5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7同圆或等圆的半径相等8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12 ①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r13切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18圆的外切四边形的两组对边的和相等19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角20推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等31推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上35 ①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37 定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆39 正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n40定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形41正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长42正三角形面积√3a／4 a表示边长43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=444弧长计算公式：L=n兀R／18045扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／246内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等49推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径50正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径51余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角52圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标53圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>054弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r。

圆的标准方程公式(x-h)^2+(y-k)^2=r^2其中，(h,k)是圆心的坐标，r是圆的半径。

这个方程可以通过几何关系来推导得到。

设圆心为O，在平面直角坐标系中，设点P(x,y)是圆上的一点。

根据定理，点P到圆心O的距离等于半径r，所以有：OP=r根据坐标点的定义，我们可以计算出点P的坐标与圆心O坐标之间的关系：OP=√[(x-h)^2+(y-k)^2]将这个等式代入OP=r的表达式中，我们就得到了圆的标准方程。

在应用圆的标准方程时，我们可以通过观察圆的特征来确定方程中的参数。

具体来说，我们可以根据下列几种情况，确定标准方程的各个参数：1.已知圆心和半径：如果已知圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，则标准方程就是：(x-h)^2+(y-k)^2=r^22.已知圆心和一点：如果已知圆的圆心坐标为(h,k)，并且通过圆上的一点P(x,y)，则可以利用定理求解圆的半径。

然后根据圆的标准方程，我们可以得到一个方程：(x-h)^2+(y-k)^2=r^23.已知圆的直径上两点：如果已知圆的直径上有两个点，(x1,y1)和(x2,y2)，我们可以根据这两点的坐标求出圆心的坐标，然后根据圆的标准方程求得半径r。

最后，我们可以得到一个方程：(x-h)^2+(y-k)^2=r^2利用圆的标准方程，我们可以进行各种应用，比如计算圆与直线的交点、圆与另一个圆的交点、圆的周长和面积等等。

除了标准方程，还有其他形式的圆的方程，比如一般方程和参数方程。

这些方程可以根据具体的问题和需求来选择使用。

但是，标准方程是最常用的一种，它可以用来描述圆的基本特征，如圆心、半径和形状。

因此，在解决与圆有关的数学问题时，标准方程是非常有用的工具。

总结来说，圆的标准方程是描述圆位置、半径和形状的一个方程，它是通过几何关系推导得到的。

可以根据已知的圆心和半径、圆心和一点、直径上两点等情况，确定标准方程中的参数。

标准方程在解决与圆有关的数学问题时非常有用，可以帮助我们计算圆与其他几何图形的交点、周长和面积等。

圆知识点总结公式圆的性质及公式1. 圆的周长C= 2πr，其中r是半径。

2. 圆的面积A= πr^2。

3. 圆的直径d= 2r。

4. 圆心角的弧度表示= 圆心角度数* π / 180。

5. 圆心角的弧长L = 圆心角度数* π / 180 * r。

6. 切线长度t = √(rs)，其中s是切线和切点的距离。

7. 弧长L= θ/360 * 2πr，其中θ 是圆心角的度数。

8. 圆的扇形的面积= θ/360 * πr^2，其中θ 是圆心角的度数。

9. 圆环的面积A= π(R^2-r^2)，其中R是外圆半径，r是内圆半径。

10. 圆锥的表面积S= πr(r+√(r^2+h^2))，其中r是底圆的半径，h是斜高。

11. 圆锥的体积V= 1/3* πr^2h，其中r是底圆的半径，h是高。

圆的相关定理1. 直径定理：在同一个圆内，如果两条弦之一经过圆心，则这条弦的长度等于另一条弦和直径的长度之和。

2. 弧长定理：圆心角的弧长等于半径与这个圆心角所对应的圆周的比例关系。

3. 切线定理：切线和半径的关系，切线的平方等于切点到圆心的距离和直径的乘积。

4. 同切圆定理：同一直线上的两个同切圆的半径的平方之于面积的比例也是相同的。

5. 切割角定理：圆周上的两个弧所对应的圆心角之和等于180°。

6. 弧角公式：圆的周长等于2πr，圆心角是360°时所对应的弧长也是2πr。

圆的应用：1. 圆形结构设计：在建筑、机械工程、制造业和其他领域，圆形结构的设计和制造应用广泛。

2. 圆形运动：在物理学中，圆形运动和转动是非常重要的研究领域，例如，行星围绕太阳的运转。

3. 圆形信号：在电子、通信、数学、物理等领域，圆形波形和信号的应用非常广泛。

4. 圆形统计：在统计学和概率论中，圆形统计和随机过程在分析数据和预测趋势方面非常重要。

总的来说，圆是几何学中的基本图形之一，圆的性质及公式、相关定理和应用非常广泛。

对圆的深入理解和应用可以帮助我们更好地理解和处理与圆有关的问题和情况。

径的圆9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10推论在同圆或等圆中，若是两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等11定理圆的内接四边形的对角互补，而且任何一个外角都等于它的内对角12 ①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r13切线的判定定理：通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14切线的性质定理圆的切线垂直于通过切点的半径15推论1 通过圆心且垂直于切线的直线必通过切点16推论2 通过切点且垂直于切线的直线必通过圆心17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18圆的外切四边形的两组对边的和相等19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角20推论若是两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等31推论若是弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34若是两个圆相切，那么切点必然在连心线上35 ①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37 定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是那个圆的内接正n边形⑵通过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为极点的多边形是那个圆的外切正n 边形38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆39 正n边形的每一个内角都等于（n-2）×180°／n40定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形41正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长42正三角形面积√3a／4 a表示边长43若是在一个极点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=444弧长计算公式：L=n兀R／18045扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／246内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等49推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理和与圆有关的比例线段1.切线长概念切线长是在通过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特点，而“切线”是一条直线，它不能够气宇长度。

适用标准初中圆的定理和公式汇总1不在同向来线上的三点确立一个圆。

①圆：由定点到定长点的会合叫做圆。

符号⊙0A B② 弦：连结圆上随意两点的线段叫做弦。

弦：⌒经过圆心的弦叫直径③半径不一样，圆心同样的两个圆叫做齐心圆同圆、等圆或半径同样的叫做等圆两个完整重合的弧叫等弧④ 经过平面上一点可画无数个圆；经平面上二点可画无数个圆；⑤ 在三角形外画一个圆的圆心叫做此三角形的外心，此圆为三角形的外接圆。

⑥ 外心：三角形三条中垂线的交点。

⑦ 三角形三个极点在圆上，这个三角形叫圆的内接三角形。

2 垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦而且均分弦所对的两条弧推论 1 ①均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧② 弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧③ 均分弦所对的一条弧的直径，垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条弧推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形4圆是定点的距离等于定长的点的会合5圆的内部能够看作是圆心的距离小于半径的点的会合6圆的外面能够看作是圆心的距离大于半径的点的会合7同圆或等圆的半径相等8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10推论在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其他各组量都相等11定理圆的内接四边形的对角互补，而且任何一个外角都等于它的内对角12①直线 L 和⊙ O 订交 d＜r②直线 L 和⊙ O 相切 d=r③直线 L 和⊙ O 相离 d＞r13 切线的判断定理：经过半径的外端而且垂直于这条半径的直线是圆的切线14 切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线均分两条切线的夹角18 圆的外切四边形的两组对边的和相等19 弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角20 推论假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30 订交弦定理圆内的两条订交弦，被交点分红的两条线段长的积相等31 推论假如弦与直径垂直订交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比率中项32 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比率中项33 推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34假如两个圆相切，那么切点必定在连心线上35 ①两圆外离d＞R+r②两圆外切 d=R+r③ 两圆订交R-r＜d＜R+r(R ＞r)④ 两圆内切d=R-r(R ＞r)⑤两圆内含 d＜R-r(R ＞r)36 定理订交两圆的连心线垂直均分两圆的公共弦37定理把圆分红 n(n ≥3):⑴挨次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形⑵ 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为极点的多边形是这个圆的外切正 n 边形38 定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆39正 n 边形的每个内角都等于（ n-2）×180°／n40定理正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分红 2n 个全等的直角三角形41正 n 边形的面积 Sn=pnrn ／2 p 表示正 n 边形的周长42正三角形面积√3a／4 a 表示边长43假如在一个极点四周有 k 个正 n 边形的角，因为这些角的和应为360°，所以 k×(n-2)180 ／°n=360°化为（ n-2 ）(k-2)=444 弧长计算公式： L=n 兀 R／18045扇形面积公式： S 扇形 =n 兀 R^2／ 360=LR ／246内公切线长 = d-(R-r) 外公切线长 = d-(R+r)47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半48推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等49推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径切线长定理、弦切角定理、切割线定理、订交弦定理以及与圆相关的比率线段1.切线长观点切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，拥有数目的特点，而“切线”是一条直线，它不能够胸怀长度。