图形折叠问题的探究

中考数学中的折叠问题探究中考数学中，经常通过折叠操作类问题考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，题目灵活多变，趣味性强，更为引导学生在数学学习与生活相联系中激发兴趣，体会数学学习的快乐。

几何图形的折叠问题，实质上是轴对称问题。

解答这类问题的关键是根据轴对称的性质，找准折叠前后的两个全等图形。

确定其中对应角相等、对应线段相等。

折痕平分线段、平分角等条件。

下面分几个类型来探索这类问题的解答思路。

一、折叠求角度类此类问题往往利用折叠中的对应角相等，再通过邻补角、平行线性质等得到各角度的数量关系。

此类问题通常难度较低。

例1.将五边形abcde纸片按如图1的方式折叠，折痕为af，点e，d分别落在e′，d′。

已知∠afc=76°，则∠cfd′等于（）a.31°b.28°c.24°d.22°分析：根据题意，由邻补角的关系求得∠afd=∠afd′=180°-76°=104°，则∠cfd′=104°-76°=28°，故选b。

例2.如图2，把一个长方形纸片沿ef折叠后，点d、c分别落在d′、c′的位置，若∠efb=65°，则∠aed′等于（）a.50°b.55°c.60°d.65°二、折叠求线段类此类问题多通过折叠中的全等图形，确定对应线段的等量关系，再运用勾股定理或相似比寻求线段间数量关系，构建方程，从而求解。

方程建模思想的应用是解决此类问题的主要思路。

三、折叠求坐标类此类题目中勾股定理与三角函数的综合运用较多。

求坐标一般要通过求线段长来解决。

但有些题目中适当运用三角函数比运用相似图形解答会更便捷。

四、折叠求面积类此类问题的解答一般要借助线段长的求解，但问题的关键是确定所求图形的形状，再求面积；若图形是非规则图形，则要通过其他规则图形的面积关系转化求解。

初中几何折叠问题的三种解法初中几何折叠问题的三种解法初中几何是数学中的一个重要分支，而折叠问题则是初中几何中常见的一种问题。

在这里，我们将介绍三种不同的方法来解决初中几何折叠问题。

方法一：手工模拟法手工模拟法是一种简单直观的方法。

它通过将纸张折叠成所需形状来解决问题。

步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。

2. 将纸张按照比例剪成相应大小。

3. 按照题目要求，将纸张进行折叠，直到得到所需形状。

4. 计算所需参数并得出答案。

优点：手工模拟法操作简单易懂，适合初学者使用。

同时也能够帮助学生更好地理解折叠问题的本质。

缺点：手工模拟法需要较长时间完成，并且需要精确测量和折叠。

同时也容易出现误差和偏差。

方法二：平面几何法平面几何法是一种基于平面几何知识来解决问题的方法。

它通过利用图形相似性和对称性来计算所需参数。

步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。

2. 根据平面几何知识，计算所需参数，如角度、长度等。

3. 得出答案。

优点：平面几何法具有计算速度快、精度高等特点。

同时也能够帮助学生更好地理解平面几何知识的应用。

缺点：平面几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对图形相似性和对称性有深入理解。

同时也容易出现计算错误和漏算情况。

方法三：三维几何法三维几何法是一种基于立体几何知识来解决问题的方法。

它通过利用立体图形的投影和相似性来计算所需参数。

步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。

2. 利用三维几何知识，将立体图形投影到二维平面上，并计算所需参数，如角度、长度等。

3. 得出答案。

优点：三维几何法具有计算速度快、精度高等特点。

同时也能够帮助学生更好地理解立体几何知识的应用。

缺点：三维几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对立体图形的投影和相似性有深入理解。

同时也容易出现计算错误和漏算情况。

结论：初中几何折叠问题可以通过多种方法来解决，其中手工模拟法、平面几何法和三维几何法是常见的三种方法。

浅谈初中数学中的折叠问题王华榆林实验中学陕西榆林719000在初中数学中，折叠问题将图形的变换与学生的实际操作能力紧密联系起来。

在折叠过程中，通过观察图形中的变与不变，灵活应用平面图形的基本性质及定理解决问题。

在变化过程中使学生初步体会了数学的动态美，同时提高了学生的观察能力、空间想象能力及动手能力。

归纳起来，折叠问题有如下几类题型：一、折叠问题中涉及的探索规律问题。

例：（如图1）将一张长方形纸对折可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续对折六次能得到几条折痕，n次有几条折痕？图1分析：在这个折叠问题中对折方式不变，变化的是随着对折次数的增加折痕有规律的增加，情况如下表所以对折6次能得到63条折痕，对折n次可得到( 2n-1 )条折痕。

二、折叠中发现图形的基本性质。

1、（如图2）等腰三角形△ABC中,AB=BC,折叠使AB与AC重合,折痕为AD。

则折痕AD集“三线合一”于一身，即：底边BC上的中线、高线和顶角∠BAC的平分线。

（图2）2、（如图3）正方形ABCD经过两次沿对角线折叠，可确定正方形的中心，同时将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

D C（图3）3、（如图4）圆形纸片通过两次对折，可确定圆形纸片的圆心，折痕就是圆的直径。

DC B（图4）三.利用图形全等的性质解决折叠问题.例1、（如图5）三角形纸片△ABC中，∠A=65o , ∠B=75o，把纸片的一角折叠, 使点C落在△ABC内, 若∠C′DB=20o ,求∠C′EA的度数？BA E C（图5）分析：由三角形内角和为180o ，∠A+∠B+∠C=180o∠C=180o -（∠A+∠B）=40o因为折叠前后△C′ED≌△C ED，所以∠C′=40o由四边形AEDB内角和得：∠A+∠B+∠C′EA+∠C′ED+∠C′DE+∠C′DB=360o得：∠C′EA=60o例2. 一张长方形的纸片按（如图6）方式折叠，EM，FM为折痕，折痕后的点C落在M B′或M B′的延长线上，那么∠EMF的度数是多少？B M C（图6）分析：∠EMF=∠EM B′+∠FMC′因为在折叠过程中△EBM≌△E B′M ，四边形CDFM与C′D′FM全等。

折叠问题探究教案.docx折叠问题探究教学任务分析教学目标知识技能1初步掌握折叠问题的本质和解决问题的方法。

2通过例题的学习，使学生感知动手操作是解决数学问题的一种方法。

3能使用轴对称，全等三角形，矩形，方程解决综合问题。

数学思考1经历做数学（实践），思考，再合情推理的数学知识形成过程。

2通过例题的学习，将转化，方程，分类讨论，由特殊到一般的思想渗透到几何的求解过程中。

3渗透从轴对称变换的角度思考折叠问题。

解决问题通过对折叠问题的探究，形成解决折叠问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践水平与创新精神。

情感态度价值观建立一些活动（折纸）与几何世界的多种联系，激发学习几何的兴趣。

通过改变已知条件结果不变；变化折叠方式方法不受，培养学生勇于探索与合作交流的意识。

重点折叠运动变化中存有的等量关系的发现和如何利用折叠中的不变量解决具体问题。

难点1解决折叠问题方法的归纳。

2综合使用轴对称、矩形、方程解决折叠问题。

教学方式讲授启发；探究合作式教学手段多媒体教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1创设情景引入课题通过简单的折纸引入课题，激发学生学习兴趣。

活动2通过对三角形纸片的折叠猜想定理的证明，探究折叠的应用通过活动培养学生善于动手，善于观察的数学品质，从变换的角度理解折叠，直观感知折叠的应用。

活动3探究不同图形折叠的本质特征探究折叠后产生的新图形的形状，通过对题中的已知条件作了相对应发散，总结解决折叠问题的基本方法，并为活动4做铺垫。

活动4探究解决不同形式的矩形折叠问题的共同方法在活动3的基础上，以矩形折叠为例，探究不同情况下矩形折叠问题中线段的计算方法。

对于同一线段长度的求解，通过/、同方法的比较，启发学生选择最优方案解决问题。

活动5思考题将折叠问题放在平面直角坐标系里，培养学生综合使用知识的水平。

活动6评价和反思小结和布置课后作业教学过程设计问题与情境师生行为设计意图由学生实际操作，得出答案。

正方形折叠问题解题技巧正方形折叠问题是一类经典的几何问题，其解题技巧可以帮助我们更好地理解几何知识，提高数学思维能力。

本文将从以下几个方面展开讨论：问题描述、基本原理、常见方法和注意事项。

一、问题描述正方形折叠问题是指将一个正方形沿着对角线折叠成一个三角形，然后再将三角形沿着某个边缘折叠成一个新的三角形，如此重复进行下去，直到无法继续折叠为止。

这个过程中形成的图形称为“折纸图”。

二、基本原理在正方形折叠问题中，有两个基本原理需要掌握：1. 对称性原理：在每次折叠时，要保持图形的对称性不变。

例如，在将正方形沿着对角线折叠成三角形时，要使得三角形两侧的长度相等。

2. 重合性原理：在每次折叠时，要使得图形上的某些点或线段与之前已经出现过的点或线段重合。

例如，在将三角形沿着某条边缘折叠成新的三角形时，要使得边缘上的某些点与之前已经出现过的点重合。

三、常见方法在解决正方形折叠问题时，有几种常见的方法：1. 坐标法：将正方形的四个顶点分别标记为坐标系中的点，然后根据对称性和重合性原理进行计算。

这种方法需要较强的计算能力和空间想象能力。

2. 图形法：将正方形折叠成三角形后，用图形上的线段或角度来描述折叠过程。

这种方法需要较强的几何直觉和图像处理能力。

3. 递归法：将正方形折叠成三角形后，不断重复进行相同的折叠操作，直到无法继续为止。

这种方法需要较强的逻辑思维能力和耐心。

四、注意事项在解决正方形折叠问题时，需要注意以下几点：1. 确定基本原理：在进行每次折叠时，一定要遵循对称性和重合性原理，否则可能会得到错误的结果。

2. 注意单位：在使用坐标法时，要注意单位的选择。

如果单位不统一，则可能导致计算错误。

3. 注意精度：在使用图形法或递归法时，要注意精度问题。

如果精度不够，则可能导致结果偏差较大。

4. 多角形折叠问题：除了正方形折叠问题外，还有其他多边形的折叠问题，其解题方法类似，但需要根据实际情况进行调整。

五、结语正方形折叠问题是一类经典的几何问题，其解题技巧可以帮助我们更好地理解几何知识，提高数学思维能力。

折叠问题的解题方法折叠问题是一种常见的数学问题，通常涉及到将一个二维图形折叠成一个三维形状。

解决这类问题需要一定的空间想象力和几何知识。

解决折叠问题的基本步骤如下：1. 理解问题：首先，你需要理解问题的具体要求，明确你要折叠的对象是什么，以及折叠的方式。

2. 分析图形：仔细观察你要折叠的二维图形，找出它的对称轴、对称中心、角度和边的长度等关键信息。

3. 预测结果：根据二维图形的信息，尝试预测折叠后的三维形状会是什么样。

这需要你具备一定的空间想象力。

4. 建立数学模型：如果预测结果涉及到具体的数值，你可能需要建立一个数学模型来描述这个过程。

这可能涉及到几何、代数等知识。

5. 求解问题：根据建立的数学模型，求解出问题的答案。

这可能涉及到计算、推理等步骤。

6. 验证答案：最后，你需要验证你的答案是否正确。

这可以通过重新检查你的计算过程或与标准答案进行对比来完成。

下面是一个具体的例子：题目：一个正方形的纸片，对折两次后展开，得到的图形是( )。

A.三角形B.菱形C.矩形D.平行四边形解题步骤：1. 理解问题：我们需要确定对折两次后展开得到的图形是什么。

2. 分析图形：正方形有四条等长的边和四个直角。

对折一次后，我们会得到一个矩形；再对折一次，我们会得到一个更小的矩形。

3. 预测结果：当纸片展开时，折痕会形成一条线，将纸片分成两个相同的部分。

因此，展开后的图形会有四条相等的边和四个直角。

4. 建立数学模型：由于对折两次后展开的图形有四条相等的边和四个直角，它是一个菱形。

5. 求解问题：答案是 B.菱形。

6. 验证答案：我们可以再次检查我们的推理过程，确保答案正确。

三年级折叠问题巧妙解题技巧
在三年级数学中，折叠问题是一个常见的题型。

这类问题通常涉及到图形折叠后的形状和大小变化。

为了更好地解决这类问题，我们需要掌握一些解题技巧。

解题技巧：
1. 理解折叠原理：折叠图形时，相对的两边会重合，而相对的两角会重合。

因此，在折叠前后的图形中，线段长度和角度大小是不变的。

2. 画图分析：通过画图可以帮助我们更好地理解题目的要求和图形的变化。

在画图时，要特别注意折叠后的图形与原图的关系，以及线段和角度的变化。

3. 利用已知条件：题目中通常会给出一些已知条件，如线段的长度、角度的大小等。

这些条件可以帮助我们确定折叠后的图形形状和大小。

4. 逻辑推理：在解决折叠问题时，逻辑推理是非常重要的。

我们需要根据已知条件和图形变化规律，逐步推导出未知的答案。

5. 反复练习：通过反复练习，我们可以加深对折叠问题的理解，提高解题速度和准确性。

示例题目：
1. 把一张长方形纸对折，每份是它的(1/2)，这张纸被折成多少份？
答案：2份
2. 把一张正方形纸对折两次，每份是它的多少？
答案：(1/4)
通过掌握这些解题技巧，我们可以更好地解决三年级数学中的折叠问题。

七年级下册数学折叠问题七年级下册数学折叠问题一、问题描述在许多数学教材中，有一种经典问题，被称为折叠问题。

正是通过这个问题，我们可以更深刻地认识盘古开天辟地所存在的数学逻辑和美学意义。

现在我们介绍七年级下册数学折叠问题。

二、问题求解首先，我们需要从一个长方形纸片中，剪出一个正方形。

然后，我们把长方形对折，将一条边与另一条边平行，并把两个角对齐。

接着，我们把纸片展开成一张长方形，再折成一个正方形。

最后，我们可以欣赏到一个美丽的完整图形，这个图形刚好是我们在前面剪下的那个正方形。

三、进一步探究这个问题看起来无聊而琐碎，但是，它引出了一个深刻的数学原理，即：等角定理。

我们在进行折叠操作时，实际上是在改变长方形内角的角度，从而使得边界在不同的位置相遇。

如果将这个长方形对折了一次，就相当于将其中一个内角旋转了180度，而且这个角度保存不变。

因此，无论我们如何对折纸片，都不会改变纸片的形状和大小，只会改变它的位置和朝向。

这个问题还揭示了一些有趣的数学性质。

例如，我们可以证明，无论我们从一个长方形纸片中剪下多大的正方形，最终都能通过折叠成一个新的完整图形。

这个结论对于我们理解数学的整体性非常重要，尤其是在计算几何和复杂图形识别中，也有着广泛的应用。

四、数学美学折叠问题还体现了一种数学美学的思维方式，即从简单的问题出发，然后探究它背后的数学原理。

这种思维方式和传统的数学教学方式不同，传统的数学教学常常是先讲授理论，再解决具体问题。

但是，从折叠问题这个例子来看，我们可以把具体的问题作为引子，然后再从中发掘出一些通用的数学原理和思维方式。

五、总结在这个文章中，我们介绍了七年级下册数学折叠问题，并探讨了它背后的数学原理和应用。

这个问题看起来非常简单，但是它通过一种独特的思维方式，揭示了一些深刻的数学原理和美学意义。

因此，我们应该从这个问题中受到启发，学会从简单问题中发掘出深刻的数学思维。