离散型随机变量分布列习题课(2)知人者智，自知者明。
《老子》长郡中学 史李东玉壶存冰心,朱笔写师魂。
——冰心《冰心》 ◆教学目标：1. 初步学会用离散型随机变量描述实际问题中随机事件；2. 通过实例体会二项分布和超几何分布模型的应用；3. 学会用离散型随机变量的均值与方差的含义及其计算公式解决实际问题. 教学重点：以不同的实际问题为导向，体会离散型随机变量的均值与方差在解决实际问题中的作用.教学难点：对引入随机变量目的的认识，不同分布在实际问题中的应用. 教学过程: (一)复习回顾1．离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． (2)若离散型随机变量X 可能取的不同值为12n x x x ，，,X 取每一个值(1,2,3,,)=i x i n 的概率(=)(1,2,3,,)==i i P X x p i n ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个围内各个值的概率之和．2．总结散型随机变量分布列的一般步骤:(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义; (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率; (3)按照规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证.3.三种特殊的分布: (1)两点分布如果随机变量X 的分布列为其中01p <<，1q p =-则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布． (2)几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n ，其中恰有X 件次品，则恰有k 件次品概率： 012k n k M N MnNC C P X k k m C --⋅==（）=，，，，，， (k ＝0,,2，…，m)，其中n N M N ≤≤，，mmin{M ，n}，则称分布列为超几何分布列． (3)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则1012k k n kn P X k C p p k n -=-=（）=（），，，，，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X B n p （，），并称p 为成功概率．4．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列. (1)均值称1122i i n n EX x p x p x p x p =+++++（）为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称21ni i i D X x EX p ==-∑（）（）为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E X （）为随机变量X 的标准差． (3)两点分布与二项分布的均值、方差①若X 服从两点分布，则1E X p D X p p ==-（），（）（）.② 若X B n p （，），则1E X n p D X n p p ==-（），（）（）．（二）典型例题剖析例1同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时就说实验成功，则在2次实验中成功次数的均值是_____解：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上的概率为213124-（）=，且324XB （，），所以33242E X ⨯==（）. 例2 A B ，两组各有7位病人，他们服用某种药物后康复时间（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13，14，15，16 组：12，13，15，16，17，14，假设所有病人康复的时间互相独立，从 A B ，两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙. （1）求甲的康复时间不少于14天的概率；（2）求如果25a =，求甲的康复时间比乙康复时间长的概率；（3）当a 为何值时，A B ，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）解:（1）由题意知,事件“甲的康复事间不少于14天”等价于“甲是 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是56756737P A A A P A P A P A =+=（）（）+（）（） . （2）解：设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，由题意知，41516171526272736676P C P A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B =()()414110101049P A B P A P B ==⋅=()()().（3）11a =或18a =. 例3 据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席.其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产处理器.为了解国产品牌处理器打开文件的速度,某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试,结果如下:(数值越小,速度越快,单位是MIPS)(1)从品牌A 的12次测试结果中随机抽取一次,求测试结果小于7的概率; (2)从12次测试结果中随机抽取三次,记X 为品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数,求X 的分布列和数学期望.解:（1）在品牌A 的12次测试结果中, 测试结果小于7的测试有7次，设测试结果小于7为事件A ，则 712PA =（） . （2）在12次测试结果中,品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果有6次， 随机变量X 所有可能取值为0,1,2,3.30663121011C C P X C ⋅==（）=，21663129122C C P X C ⋅==（）=，12663129222C C P X C ⋅==（）=，03663121311C C P X C ⋅==（）=，199130123112222112E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（）.例4 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气重度污染的概率； （2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）.解:（1）思路1：第一问求此人到达当日空气重度污染的概率. 像我们前面讲的那样，我们首先要明确概率类型，样本空间“某人随机选择3月1日至13日中的某一天到达该市，当日空气质量指数”包含的基本事件为86，25，57，143，220，160，40，217，160，121，158，86，79，共有13个，此人哪一日到空气质量指数达都是等可能的，很显然这符合古典概型的特点（古典概型的特点是试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，每个基本事件出现的可能性相等），明确好概率类型以后，我们就容易就求解了.设事件A “此人到达当日空气重度污染”，它包含的基本事件为220，217,有2个（这个从我们画的两条直线上一下子就可以看出来），所求概率为=213()P A . 思路2：通过阅读题目我们可以发现，因为此人在某一日到达该城市与他在其他日到达该城市不可能同时发生，所以它们是互斥事件.设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”（1,2,3,13i =，），由于此人哪一天到达该市都是等可能的，所以他于3月i 日到达该市的概率为()113i P A =，它们是互斥事件，即()ij A i j A =∅≠，设事件B “此人到达当日空气重度污染”，因为第5日和第8日数据均高于200，故我们可以用互斥事件的概率加法公式解决. 由=58B A A ,所以，==+=()()()()+=5858112131313P B P A A P A P A . （2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望. 我们要明确随机变量X 的取值，明确样本空间. 根据题意我们把数据从折线图中提取出来形成数组（86，25），（25，57），（57，143），（143，220），（220，160），（160，40），（40，217），（217，160），（160，121），（121，158），（158，86），（86，79），（79，37），这里一共有13个，其中两天都为优良的有4个，1天为优良的有4个，剩下的5个为两天都不是优良的. 由分析可知，此人停留两天，故X 的可能取值为0,1,2，=0X 表示此人停留两天空气质量都不是优良，在13个基本事件中有5个，故由古典概型概率计算公式得==5013()P X ， =1X 表示此人停留两天空气质量有1天是优良，在13个基本事件中有4个，故由古典概型概率计算公式得==4113()P X ，=2X 表示此人停留两天空气质量都是优良，在13个基本事件中有4个，故由古典概型概率计算公式得==4213()P X ， 所以X 的分布列为所以X 的期望5441201213131313EX =⨯+⨯+⨯=.（3）从方差的计算公式()()()22212313x x x x x x ⎡⎤-+-+-⎢⎥⎣⎦可以看出，方差的大小和数据与平均数的距离密切相关，某组数据的极差越大，两端数据在平均数两边就越分散，其方差就有可能比较大. 通过读图发现，从3月5日开始的三个数据分别为220，160，40，它们的极差为180，是整组连续三个数据中极差最大的，通过估算可知其方差也是最大的. 所以从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 我们要提示的是读图一定要仔细，如果不仔细就会错误的认为从3月6日开始的三个数据方差最大，这三个数据分别是160，40，217，这里有两个数字跟3月5日起的数字重复，相差的数字是220，217，很显然这两个数字比较起来220更大，所以从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.反思总结：通过本题的研究，我们进一步明确了概率统计问题的处理方法，当我们识图读表获取数据后，一定要明确所求概率类型，正确运用公式计算概率，进而写好分布列，计算期望和方差，最后利用期望和方差做出决策. （三）课堂小结1.本节课你学到了什么？2.你是如何获得这些知识的？3.通过本节课的学习，谈谈你的体会. （四）作业高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展. 据统计，在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次. 为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表（单位：人次）：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X. 以频率作为概率，求X的分布列和数学期望.（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由.解题思路：这是一道统计图表题目，而且离我们的现实生活很近. 我们首先要阅读获取相关数据，在读题的过程中依据问题我们可以将表格数据重新整理加工.如下：（1）第一问所求的是“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”的概率.思路1：所求不是青年人，那么即为老年人和中年人，通过表格数据我们可以看出，出行人为老年人的有19人，中年人有39人，加在一起共有58人. 通过分析我们发现，这又是一个古典概型问题，基本事件总数为100， 设事件M “在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”, 事件M 包含的事件总数为58，5829()10050==P M . 还有其他的解法吗？ 思路2：所求事件在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人，那么即为老年人和中年人，它们彼此是互斥的，设事件A “在样本中任取1个，这个出行人恰好是老年人”，()P A =19100，事件B “在样本中任取1个，这个出行人是中年人”，()P B =39100，由于,A B 这两个事件是互斥事件，所以我们还可以用互斥事件概率加法公式解决本题，设事件M “在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”,19395829()()()()10010010050==+=+==P M P A B P A P B思路3：所求的出行人不是青年人，而本题出行人只有老年人、中年人、青年人三种情况，“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”与“在样本中任取1个，这个出行人恰好是青年人”构成了事件的全体，它们彼此之间又是对立事件，所以“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”的概率我们可以用1减去这个人是青年人的概率解决，即，4229()1()1-10050=-==P M P M . 当题目中出现“至少”、“至多”之类的词语时，我们也可以考虑看看是否用对立事件概率计算公式得出.反思总结：这一小问和例3的第一问异曲同工，都是在考察我们古典概型、互斥事件的概率计算，只不过放在了不同的问题背景下，所求事件发生的概率往往可以通过枚举或是简单计算得出.（2）由于老年人、中年人、青年人乘坐高铁出行的人数分别为15，32，28，他们之和为75，作为基本事件总数，由于老年人出行的人次数为15，这样计算可得老年人出行的频率为151755=，这个数字是样本空间中老年人乘坐高铁的频率.由题意X 的所有可能取值为0，1，2. 因为“在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中随机选取2人次 ”，这相当于两次独立重复试验，每次抽取到老年人的概率都是15，故随机变量X 服从二项分布，00221116(0)C ()(1)5525P X ==⨯-=，12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=，2202111(2)C ()(1)5525P X ==⨯⨯-=. 所以随机变量X 的分布列为：16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. （3）思路1：可以从满意率的角度来分析问题如下：由表可知乘坐高铁的满意率为++=++1220205215322875，乘坐飞机的满意率为++==++12141247142575，因为>52127575， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市.思路2：可以从满意度的均值来分析问题如下：我们再次分析表格数据， 乘坐高铁满意的（10分）人有12+20+20=52人，一般的（5分）有2+6+4=12人，不满意的（0分）有1+6+4=11人，乘坐飞机满意的人（10分）有1+2+1=4人，一般的（5分）有3+2+9=14人，不满意的有（0分）0+3+4=7人，所以乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++，因为11622155> ，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市.1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。
