i+j-k i+jk 显然+k为二元运算，称为Nk上模k的加法运算。容易 判断, +k满足交换律、结合律。
7.2 代数结构及其性质
上述代数运算的表示方法称为解析公式法, 也就是用函数来表示运算。此外, 对于有限集合 上的二元运算还可以使用运算表。
例如设N3={0, 1, 2}, 则N3上的模3加法+3可 以使用运算表来表示, 如下表所示。
例7.2 设R为实数集合, R-{0}是全体非零实数 集合, 定义法则*: 对任意a, b∈R, a*b=a-b, -为一般的减法运算。在R-{0}上按照*法则运算 得到的结果可能等于0, 而0R-{0}, 也就是说, 法则*在R上是封闭的, 而在R-{0}上不满足封闭 性。简单地说, 法则*在集合R上是代数运算, 但相对于R-{0}却不是代数运算。
7.2 代数结构及其性质
定义7.4 设V=<S; *1,*2,…,*n >, S′S, 如 果运算*1,*2,…,*n在S′上封闭，则称<S′; *1,*2,…,*n>为V的子代数结构，简称为V的子代 数(Subalgebra)。
根据上述子代数的定义，代数结构V上运 算满足的性质，其子代数结构也满足。
(2)设Mn(R)是全体n×n实矩阵的集合, 考虑Mn(R) 中普通的矩阵乘法*, 则对于任意两个n×n实 矩阵A、B, 根据矩阵乘法法则可得到Mn(R)中 惟一的一个n×n实矩阵C作为A乘B的结果。我 们记C=A*B。
7.2 代数结构及其性质
上述示例中, 虽然是对不同集合给 出的不同运算, 但它们都具有这样一个 共同的特点：它们都是某个给定的集合 S(S分别为上述二例中的P(A)和Mn(R))中 的任意一个或一对有序取出的元素, 根 据这个法则可在S中找到惟一的一个元素 与之对应。由此, 我们可以抽象出在一 个集合上的二元代数运算的概念。
7.2 代数结构及其性质
例7.3 设*是定义在集合A上的一个n元运算, S1和S2是在A上运算*下封闭的A的子集, 则 S1∩S2在*下也是封闭的。
证明 对任一组元素a1, a2, …, an∈S1∩S2, 因为a1, a2, …, an∈S1, 且S1在运算*下是 封闭的, 所以, *(a1, a2, …, an)∈S1, 又 因为a1, a2, …, an∈S2, 且S2在运算*下也是 封闭的, 所以有*(a1, a2, …, an)∈S2, 由 此得知*(a1, a2, …, an)∈S1∩S2。即： S1∩S2在*下也是封闭的。
7.2 代数结构及其性质
例7.6 设S为一非空集合, *为S上满足结 合律、交换律的二元运算, 那么<S; *>为 代数结构, 称为抽象代数结构, 即为一类 具体代数结构的抽象, 例如<N; +>, <Z; *>, <P(A); ∪>等都是<S; *>的具体例子。 其中，N,Z分别为自然数集合、整数集合， +，*为一般加与乘运算。
根据上述定义, 一个代数结构需满足如下 两个条件： (1)有一个非空集合A, 称为载体; (2)一些定义在载体A上的运算。
若S为有限集，则该称代数结构为有限代数 结构。
7.2 代数结构及其性质
例7.5 前面例7.1到7.3的例子分别列举 了如下代数结构：<P(A);∪, ∩>, < Mn(R); *>, <A; f>, <I; f>, <I; +, ~>, <{0, 1}; , , , >, < Nk; +k>。这些代数结构均是具体代数结构。 集合论与数理逻辑可以抽象为两种代数, 即集合代数：<P(A);∪, ∩, >, 与逻辑 代数：<{0, 1}; , , >。
第7章 抽象代数
本章内容提要：
重点：
1. 抽象代数概述
代数结构的判定与构造
代数结构关系：同态、同构
2. 代数结构及其性质 特殊关系：同余关系
3. 同态与同构 4. 同余与商代数
难点： 同余关系
7.1 抽象代数概述
抽象代数的创始人是两位英年早逝的青 年数学家，阿贝尔与伽罗瓦。阿贝尔, 是挪威 青年数学家, 乡村牧师之子, 幼年丧父, 家贫。 多独创性成果, 但大都未受重视, 贫病而逝。 去逝后3天, 柏林大学寄来教授聘书, 让后人 叹息！后人曾评价说：“他工作不是为自己， 而是为他热爱的科学”。2001，在阿贝尔诞生 200周年之际，挪威王国政府宣布，设立面向 国际的“阿贝尔数bra
本部分所要探讨的数学结 构是由集合上定义若干运 算而组成的系统——称为 代数系统(代数结构)。
抽象代数
主要内容
✓ 第7章 ✓ 第8章 ✓ 第9章
抽象代数 群 布尔代数
第7章 抽象代数
相对古典代数而言, 抽象代数也称为近世代 数(Modern Algebra), 由于其研究对象是由对象 集合及运算组成的数学结构，即代数结构, 因此, 抽象代数也被称为代数结构或代数系统。
Niels Abel
A statue of Abel in Oslo
7.1 抽象代数概述
伽罗瓦, 是法国青年数学家, 其父亲是自由主义 思想家, 母亲亦受了良好教育, 中学时就对数学产生 强烈兴趣, 他两次投考巴黎综合技术学院而未被录取， 后进入巴黎高师学习, 提出“群”的概念。但其论文 未被数学家柯西、泊松等接受。跟大多数数学家不问 政治不同，伽罗瓦是一个非常激进的革命者，后因政 治原因入狱。最后与人决斗受伤而去逝。在其决斗前 几天, 写下了其主要研究成果, 直到40年后, 其成果 才被世人所接受。后有著名数学家评价说：“伽罗瓦 的去逝使数学的发展推迟了几十年”。从伽罗瓦的工 作以后，代数学结束了解方程的历史，进入研究新的 数学对象——群、环、域的抽象代数的发展阶段。
抽象代数对计算机科学的发展有着重大的理 论和实践意义, 如在程序理论、语义学、数据结 构和编码理论, 以及逻辑电路设计的研究, 此外， 抽象代数还被广泛用于物理学、生物学以及社会 科学中。本章将探讨代数结构的数学描述以及一 般代数结构的基本性质。后续两章将深入讨论群、 布尔代数等典型的代数结构及其应用。
类似于初等代数以及集合论、数理逻辑中 讨论的运算之性质，对于二元运算ο以及*：
若对于任意a, b∈A有：aοb=bοa, 则称 ο在A上是可交换的(或称ο满足交换律)。
若对于任意a∈A有：aοa=a, 则称ο在A 上是满足幂等律的。
若对于任意a, b, c∈A有：当aοb=aοc 时，有b=c, 则称ο在A上是可左可消去的(或称 ο满足左消去律)，若ο在A上是满足左可消去 律与右可消去律，则称ο在A上是可消去的(或 称ο满足消去律)。
Evariste Galois
A drawing done in 1848 from memory by Evariste's brother. This is taken from a French stamp
7.2 代数结构及其性质
7.2.1 代数运算
例7.1
(1)设A是一个非空集合, P(A)是A的幂集, 则集 合的交、并在P(A)上运算的结果均在P(A)中。
例7.4 (1)设A=｛1, 2, …, m｝, m是一个正整数。A2 到A的映射定义为： f：(i, j)→max｛i, j｝, (i, j)∈A2
则f是A上的一个二元运算, 显然, f满足交换 律、结合律。 (2) 设I为全体整数集合, n是正整数, 规定In 到I的映射为f：(a1, a2, …, an)→a1, 对于任 意(a1, a2, …, an)∈In, 则f是一个n元运算。 其中f(a1, a2, …, an)=a1。
例7.7 设N为自然数集合，Ο为非负奇数集，E 为非负偶数集，则对于代数结构<N; +>（+为一 般加法运算），<E; +>为其子代数，但<Ο; +> 不是其子代数，因为后者+在Ο上不满足封闭性。
7.2 代数结构及其性质
练习4 设V=<I;+,·>，其中I表示整数集， +和分别表示通常数的加法和乘法运算。 对下面I的每个子集，确定它是否能构成 V的子代数？为什么？ （1）H1={2n+1|nI} （2）H2={-1,0,1} （3）H3={2n|nI}
7.2 代数结构及其性质
于是, 进一步可令an=a*a*…*a,an读作a的 n次幂。可以通过如下递归定义得到： (1) a1=a; (2) an+1=an*a。
利用数学归纳法,不难证明下列公式: (1) am*an=am+n; (2) (am)n=amn。 其中，m，n∈I+。
7.2 代数结构及其性质
7.2 代数结构及其性质
练习2 A={x｜x=2n，n∈N}，问<A，>运算是 否封闭，<A，+>，<A，/>呢？ 解 2r，2s∈A，2r 2s=2r+s∈A（r+s∈N）
∴<A， >运算封闭 2，4∈A，2+4A，∴<A，+>运算不封闭 2，4∈A，2/4A， ∴<A，/>运算不封闭
7.2 代数结构及其性质
7.2 代数结构及其性质
(3) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元代数运算, 但减法与除法不是N上的二元运算, 因为每两个自然数相 减或相除可能得到的不是自然数。
(4) 设I为全体整数集合, 考虑Ⅰ上的求相反数运算“~” 和普通加法运算“+”, 则对于Ⅰ中任意的数a有~(a)=-a, ~(-a)=a, 对于Ⅰ中任意两个数c, d, 根据整数加法运算 法则, 可得到Ⅰ中唯一的一个整数e作为c加d的结果, 我 们记为e=c+d。显然, “+”是I上的二元运算, 且满足交 换律、结合律, “~”是I上的一元运算。
