(完整版)小学奥数 第七讲 合理分组

一年级奥数：合理分组中的学问、间隔中的学问、排队的学问教案教学设计（人教版一年级上册）合理分组中的学问（一）教学内容：书P66-67页内容教学目标：1、培养学生仔细观察的习惯，能够找出题目的规律。

2、学会选择从所给的数比较多的那条线出发，能够正确计算。

教学重点：学会选择从所给的数比较多的那条线出发。

教学难点：学会选择从所给的数比较多的那条线出发。

教具方法：讲授法、讨论法教学过程：一、出示例题师：你想从哪条线出发？为什么？生1：从3和4那条线出发，因为这条线知道两个数。

生2：从2和4那条线出发，因为这条线知道两个数。

生3：从没有数的那条线出发，可以随便填。

师：我们要从所给的数比较多的那条线出发，可以从3和4那条线出发，也可以从2和4那条线出发。

学生进行计算并汇报。

生：根据下面一条线，可以求出左下角圆里的数是10-2-4=4；根据右面的线，可以求出上面圆里的数是10-4-3=3；剩下的一条线就是10-4-3=3.总结：要使某条线、某行、某列上的数相加等于几，我们往往要根据几个数的和与线、行、列上所给的数比较多的算出剩下的数，在进行解答；有时我们还要根据几个数的和先进行适当的分组练习1、自主检测第1题。

在下图的圆圈里添上适当的数，使每条线上的3个数相加的和都等于16。

问：选择哪一条线出发，为什么？你是怎样计算的？学生说算法。

2、自主检测第2题。

把2，3，4，5，6，7六个数填在下面的圆圈里，使每条线上三个数的和是10.问：怎样给这几个数分组？用什么方法？指导学生用首尾相连的方法给数进行分组。

同一组的数填在同一条线上。

3、完成单元练习6、7题4、总结：这节课学了什么内容？用什么方法？合理分组中的学问（二）教学内容：书P68-69页内容教学目标：1、正确判断题中各数的特点，能进行合理分组，再进行解答。

2、利用加、减法之间的联系进行合理分组。

教学重点：让学生根据几个连续数的特点，用大配小的方法进行合理分组教学难点：会利用加、减法的联系，先转换再分组。

小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。

选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。

台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。

由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。

观众的情绪也影响着两位分数统计者。

只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。

等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。

小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。

于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。

你可以试一试。

”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。

第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题、把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之与n=ｎ１+n2+…＋nｍ(n1≥n2≥…≥nm≥1)的一种表示法,叫做n的一种分拆、对被加项及项数ｍ加以一些限制条件,就得到某种特别类型的分拆、早在中世纪,就有关于特别的整数分拆问题的研究。

１742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于６的偶数都能够写成两个奇质数的与”,这就是著名的哥德巴赫猜想,中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果、下面我们通过一些例题,简单介绍有关整数分拆的基本知识、一、整数分拆中的计数问题例1有多少种方法能够把6表示为若干个自然数之与？解:依照分拆的项数分别讨论如下:①把６分拆成一个自然数之与只有1种方式;②把6分拆成两个自然数之与有3种方式6=５+1=4＋2=3＋３;③把6分拆成3个自然数之与有3种方式6=4+1＋1=３+2＋1=2+2＋2;④把6分拆成4个自然数之与有2种方式６=3＋1+１+１=2＋2+1+1;⑤把6分拆成5个自然数之与只有1种方式6=２+1＋1＋１+１;⑥把６分拆成６个自然数之与只有1种方式6＝1+１+１＋1＋1＋1、因此,把6分拆成若干个自然数之与共有１+3+3＋２＋１+1＝11种不同的方法。

说明:本例是不加限制条件的分拆,称为无限制分拆,它是一类重要的分拆、例２有多少种方法能够把1994表示为两个自然数之与?解法1:采纳有限穷举法并考虑到加法交换律:１994＝1９９3+1＝１+1993=1992+２＝2＋1９9２=998＋９９６＝９96+998=9９７+997因此,一共有997种方法能够把1９94写成两个自然数之与。

解法2:构造加法算式:因此,只须考虑从上式右边的1993个加号“＋”中每次确定一个,并把其前、后的1分别相加,就能够得到一种分拆方法;再考虑到加法交换律,因此共有997种不同的分拆方式。

说明:应用本例的解法,能够得到一般性结论:把自然数n≥2表示为两个自然数之与,一共有k种不同的方式,其中例3有多少种方法能够把100表示为(有顺序的)3个自然数之与?(例如,把3+５+92与5+３＋92看作为１０0的不同的表示法)分析本题仍可运用例1的解法2中的处理方法、解:构造加法算式因此,考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个,并把它们所隔开的前、中、后三段的１分别相加,就能够得到一种分拆方法、因此,把100表示为3个自然数之与有种不同的方式。

☆☆ 就是指题求出具体每个数量的大小量即可职工各有几人?男职工480人女职工分析：试着补全下面这个线段图，男职工画成一段的话，女职工应该画成几段呢?例题1按照题目条件中所给的数量关系画出其他量的长度，再设法通过条件求出一段所代表的数 目条件中给出的是数量之间的和、差或者倍数的大小，通过和 倍其中某几个条件来先来看一下和倍问题，和倍问题就是条件中给出了和的关系和倍数关系的问题纺织厂有职工480人，其中女职工人数是男职工人数的 3倍，请问：男、女 在解决和差倍问题时，线段图法是最常用的方法，一般选取较少的数量画成一段，再 本讲中，我们将学习一类新的应用题一一和差倍问题•所谓“和差倍问题 第七讲和倍与和差例题1中一个量是另一个量的整倍数，这类问题比较容易解决.当一个量不是另一个量整倍数，而是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以先把“多”的去掉，或把“少”的补上，把问题变成整倍数来解决.例题2交通协管员一个月一共开出78张罚单.这些罚单有两种：一种是违章停车，一种则是闯红灯.违章停车的罚单比较多，比闯红灯罚单数量的4倍还多3张.违章停车的罚单共有几张？分析：哪种罚单的数量较少？应该把哪种罚单的数量画成一段呢？卡莉娅和小山羊一共有92颗糖，卡莉娅的糖果数量比小山羊的3倍多4颗，请匕习/ 问：卡莉娅有多少颗糖？例题3果园中梨树和苹果树共有67棵，梨树比苹果树的2倍少2棵，苹果树有多少棵？分析：如果再多2棵梨树的话，总共有多少棵树？梨树是苹果树的多少倍？厂/\ 文具店里有圆珠笔和钢笔共76支，圆珠笔比钢笔的3倍少4支，圆珠笔有多少I练习3＞支？我们解决了和倍问题后，如果只知道“和”与“差”呢？这就是接下来要解决的问题和差问题. 例题42倍，请问：男、女生各有多小咼和墨莫一共有40兀，其中小咼比墨莫少14兀，那么墨莫有多少兀？分析：把小高的钱数画成一段，不难画出如下图所示的线段图，如何求出“1”段代表的钱数呢？☆140元墨莫小 总 和差公式2 2y例题5问原来阿呆和阿瓜各有多少根?例题6课堂内外时，就可以套用这个公式进行计算阿呆和阿瓜共有56根玉米.如果阿呆给阿瓜5根，则阿呆比阿瓜少2根.请 少名专家？分析：两组的人数和是多少？差是多少?练习这就是求解和差问题的公式.以后遇到“和差问题 较大的数和差较小的数 和差小高妈妈比爸爸小2岁，他俩的年龄加起来正好是 70岁，那么妈妈多少岁呢?结 分析：题目条件中有“倍”的关系，能不能找到“和”的条件呢?所以从第一组调了 20人到第二组，即使这样第一组仍比第二组多 5名.原来第一组有多登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家 125名.原来第一组人太多1 ”14兀月球是地球最亲密的邻居•多少个夜晚，当人类仰望夜空时，银色的月亮总是让无数人浮想联翩. 关于月亮的神话和传说也多不胜数. 在20世纪，人类终于登上了月球，揭开了月球神秘的面纱.50年代末，苏联和美国的太空站愈演愈烈•苏联发射卫星，建立太空空间站，取得了一系列巨大成就•美国不甘落后，也在1961年5月25日向全世界宣布实施宏伟的载人登月计划. 1969年7月21日，“阿波罗” 11号宇宙飞船的登月舱载着两名宇航员降落到了月球上，11时56分，阿姆斯特朗打开登月舱舱门，走出去，小心翼翼地把梯子放到月面（在地球上未曾模拟过此动作），他带着电视摄像机慢慢走下梯子，踏上了人们为之梦想了数千年的月球，这时他激动地说：对我来讲这是一小步，而对于全人类而言这又是何等巨大的飞跃！”19分钟后，奥尔德林也走出登月舱.两名宇航员很快在月球上学会了地球人不习惯的移动方法：跳跃.他俩时而用单脚蹦，时而又用双脚跳，有些像袋鼠.此外，两人还在月球上放置了一块金属纪念牌，上面镶刻着：“1969年7月•这是地球人在月球首次着陆的地方.我们代表全人类平安地到达这里”“阿波罗11号”登月后，又有五艘飞船相继成功登月. “阿波罗”工程是当代规模最大、耗资最多的科技项目之一•后来又将该计划中取得的技术进步成果向民用转移，带动了整个科技的发展与工业繁荣，其二次开发应用的效益，远远超过阿波罗”计划本身所带来的直接经济与社会效益•总之，载人登月对人类社会发展具有重要推动作用.此后，各国也纷纷宣布登月计划•随着航天实力逐渐增强，中国的登月计划也顺势推出，一共分三步进行：第一步，发射太空实验室和寻找贵重元素的月球轨道飞行器；第二步，实现太空机器人登月；第三步，载人登月•北京时间2007年10月24日18时05分左右，嫦娥一号月球探测卫星成功发射，运行良好，标志着我们国家的首次月球探测工程圆满成功.2雨？3 4 5莉娅有几块糖(7^体育室里篮球和足球共 46个，并且篮球比足球多 6个，请问：足球有多少个?公园里有松树和柏树共 98棵，其中松树比柏树的 3倍少2棵，柏树有多少棵? 包子铺里有肉包子和菜包子共 90个，其中肉包子数量是菜包子的 2倍，肉包子有几个?某市去年一年365天内不下雨的天数比下雨的天数的 3倍多5天，那么去年一年中该市有几天下小高、墨莫和卡莉娅共有 40块糖，小高的糖是卡莉娅的 2倍，墨莫的糖和卡莉娅一样多，请问卡第七讲和倍与和差1. 例题1答案：男职工120人；女职工360人详解：通过倍数关系画出线段图，男职工为“T份，女职工为“ 3 ”份•总人数是480人表示2.3.4.5.6.7.8. 的是“ 4”份，那么“1”份为480人或480 120 360 人.例题2答案：63张详解：通过倍数关系画出线段图，份多3张.总罚单78张表示的是单相应减少3张变成75张，那么违章的罚单有4 15 3 63张或例题3答案：23棵详解：通过倍数关系画出线段图,例题4答案：27元详解：小高有40 14 1 1例题5详解：24根简答：阿呆和阿瓜共56根玉米,根玉米，阿瓜有56 2 1 1120人，即男职工有120人，女职工有120 3设闯红灯的时间为“ 1 ”份,“ 4+1 ”份多3张，“ 1 ”份为78 378 15 63 张.“1”份为67 213兀，则墨莫有13给完后，阿呆比阿瓜少为求“360接下来画违章罚单的数量为1 ”份，把多的这3张去掉,15张，即闯红灯的罚单有23棵，苹果树有23棵.14 27 元.2根，可求出阿呆有56 2 129根玉米.这是阿呆给阿瓜5根后，他们各自的数量.原来阿呆应有27 5 32根，阿瓜应有29例题6详解：85名简答：调完以后，第一组比第二组多5名,(125 5) 2 65 名，第二组有(125 5)练习1答案：女生有500人；男生有1000人简答：通过倍数关系画出线段图，那么生有500 2 1000 人或1500 500练习2答案：70颗简答：通过倍数关系画出线段图，那么22 3 4 70 颗或92 22 70 颗.练习3答案：56支5 24 根.a4总罚15张,1 27那么此时两组的人数和不变还是125名.此时第一组有2 60名.那么原来第一组有65 20 85名.“ T 份为1500 1 2 500人，即女生有500人，男1000人.“ T份为92 4 1 3 22颗糖，卡莉娅的糖果有9.*5610 11肉包子12 1325棵14 (46 15 10块(7^简答：妈妈的岁数比爸爸小，通过看图知妈妈的岁数为6个篮球后，篮球和足球一样多，所以足球有 4份多5天•那么1”份每份(98 2) 4 1”份，松树为3份少2棵，总共为4份少2棵 6) 2 20 个作业5答案：10块简答：通过倍数关系画出线段图， 那么“ 1 ”份为76 4作业4答案：20个 简答：减去多的1 3 20支，圆珠笔有20 370 21 134 岁支或76 20 56支练习4答案：34岁1 ”份，则不下雨天数比 3份多5天，总共为 90天，所以下雨90天.作业1 答案：60个简答：以菜包子为“ T 份，则肉包子为2份，共3份，对应90个•所以每份30个 2份为60个. 作业2答案：90天简答：设下雨天数为 为(3655) 4作业3 答案：25棵 简答：设柏树为简答：设卡莉娅为“ 1 ”份，小高也是“ 1”份，墨莫是2份，“ 1 ”份为402 1 1。

小学数学学习中的分组讨论方法在小学数学学习中，分组讨论是一种常用的教学方法，通过让学生自主分组并进行讨论，可以促进学生的思维发展和问题解决能力的提高。

下面将介绍分组讨论方法的实施步骤以及对学生学习的积极影响。

首先，分组讨论的实施步骤如下：1. 阐明讨论目标：教师在引导学生步入讨论之前，应该明确讨论的目标和任务。

这样能够使学生在讨论中有针对性地提出问题和寻找答案。

2. 自主分组：学生可以按照自己的兴趣、专长或是教师指定的方式进行分组，每个小组应该包括3至5名学生。

分组时要注意学生之间的友好相处以及分组的多样性。

3. 讨论问题：教师提出一个或多个问题供学生在小组内进行讨论。

问题可以是一个需要求解的数学问题，也可以是一个需要分析和解释的数学现象。

4. 讨论过程：学生在小组内以轮流发言的方式进行讨论，各自陈述自己的观点和想法，并互相交流。

教师可以适时地给予指导和引导，确保讨论的质量。

5. 总结和分享：每个小组在讨论结束后，可以选择一名代表向全班展示他们的讨论结果和思考过程。

这样可以促进不同小组之间的交流和学习经验的分享。

其次，分组讨论方法对学生学习的积极影响如下：1. 提高学生的思维能力：通过参与讨论，学生需要运用自己的逻辑思维和推理能力，分析问题，找到解决问题的方法。

这样能够培养学生的批判性思维和创新思维。

2. 增强学生的表达能力：在小组讨论中，学生需要清晰地陈述自己的观点和想法，同时要倾听其他人的观点，进行适当的回应和反驳。

这样能够提高学生的口头表达能力和交流能力。

3. 加强学生的合作精神：在小组讨论中，学生需要相互合作、协调和共同解决问题。

通过与他人合作，学生可以学会互相支持和尊重，培养团队合作精神。

4. 激发学生的学习兴趣：通过小组讨论，学生可以主动参与到学习过程中，分享和借鉴其他同学的观点和思考方式。

这样能够激发学生的学习兴趣，提高学习积极性。

总结起来，小学数学学习中的分组讨论方法是一种有效的教学手段。

第七讲盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．可以得出盈亏问题的基本关系式：(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.注意1.条件转换 2.关系互换板块一、直接计算型盈亏问题【例1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两次搬砖，每人相差541-=（块）．第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：729÷=（人）．共+=（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员919有砖：49743⨯+=（块）．【巩固】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？【巩固】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？【巩固】有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？【例2】猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多只．【详解】当大猴分5个，小猴分3个时，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．也就是说在大猴分5个，小猴分3个后，每只大猴都拿出1个，分给每只小猴1个后，还剩下201010-=个，所以大猴比小猴多10只．【巩固】幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？【巩固】王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？【巩固】工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？【例3】某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间?住宿生几人?【解析】由已知条件每间5人少14个床位每间7人多4个床位比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住(75)2-=人，一共要多出(144)18+=个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数．解：(414)(75)=9+÷-(间)⨯-=(人)⨯+=(人)，或79459591459【巩固】学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？【巩固】智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？【巩固】秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？板块二、条件关系转换型盈亏问题【例4】猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？【解析】猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是÷=（只），猫妈妈有810888⨯+=（条）鱼．-=（条），由盈亏问题公式得，有小猫：81811101【巩固】一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？【巩固】实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？【例5】幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。

本次课是一次趣味数学活动课，在教学内容的设计上，我们主要以综合应用为主，通过故事和动手操作培养学生数学学习的兴趣.让学生在活动中动手能力，表达能力，思维分析能力均得到发展.1、教学点为各位老师准备了本节课的挂图.小猫要回家了，但必须踩着单数的石头前进，它该选择哪个出发点开始呢？请你走一走看.从1到50，分别有多少个单数，多少个双数？小朋友们！美妙的数学花园乐趣无穷，在那里应用我们所学的数学知识一定能找到很多的快乐！你愿意跟我一起去挑战吗？现在就让我们乘着数学天使的翅膀，一起向趣味数学乐园出发吧！大家跟我出发吧！愿小朋友们玩得开心！快乐故事一：农民过河【教学思路】首先带兔子过河，然后农民回来；再带狗过河，把兔子带回来；第三步带青菜过河，农民回来；最后，再带兔子过河.快乐故事二：执着的小蜗牛一只小蜗牛不小心掉进了一口枯井里，他趴在井底哭了起来.一只青蛙爬过来安慰他说：“小蜗牛，别哭了，哭也没用！这井有10米深，你是爬不出去的.我在这里生活了很多年，慢慢地就习惯了.”小蜗牛想：井外的世界多好啊！我可不能像青蛙那样生活在又黑又冷的井底！于是，小蜗牛顺着井壁往上爬，到了半夜，终于爬了5米.小蜗牛特别高兴，他想：照这样的速度，明天傍晚我就能爬出去了.想着想着，他不知不觉睡着了.早上，小蜗牛惊奇地发现：怎么离井底又近了，原来小蜗牛睡着以后从井壁上滑下了3米.小蜗牛鼓足勇气，继续往上爬.到了傍晚又往上爬了5米，可晚上又滑下了3米.经过不懈努力，小蜗牛终于爬出了井口.青蛙看见蜗牛爬出了井外，在井底不停地叹气说：“我怎么就爬不出去啊？”小蜗牛答道：“只要坚持到底，就一定会成功的.”小朋友，看完这个故事，你能算出小蜗牛爬到井外需要几天时间吗？【教学思路】小蜗牛白天爬上了5米，晚上又掉下了3米，那实际上每天只能爬上去2米，爬前6米小蜗牛用了3天，还剩4米，因此第4天就可以爬出去了.列式：5-3=2（米）；2×3+4=10（米）；3+1=4（天）答：小蜗牛需要4天就可以爬出井外.快乐故事三：客人走了【教学思路】第三次的时候剩下的3人都走了，说明第二次走之后还剩下3人；第二次走了剩下的一半，那么第二次没走之前应该是3+3=6（人），再来看第一次，第一次走了所有客人的一半，那么第一次没走之前就应该是6+6=12（人）.快乐故事四：鹦鹉搬家【教学思路】第一个笼子里有两只鹦鹉飞到了第二个笼子，最后还有5只，这说明第一个笼子原来有5+2=7只.而第二个笼子里有3只是第一个笼子飞来的，又有1只飞到了第三个笼子，这样还剩5只，这说明这5只里面还有2只是第一个笼子飞来的，第二个笼子原来有5-2=3只.第三个笼子里有1只是第二个笼子飞来的，现在有了5只，说明原来只有5-1=4（只）快乐故事五：聪明的阿凡提有一天小熊请好朋友们来家做客，来了不少客人.它见还有几个客人没到，便自言自语地说：“怎么该来的还没来呢?” 在场的客人一听，心都凉了，心想：“这么说，我们是不该来的啦!”于是，有一半客人走了.小熊一看客人走了，着急地说：“嗨!不该走的倒走了!”在场的客人听后，心想：“噢，这么说，我们是该走的了!”于是，在场的客人又走了一半. 小熊一看，急得一拍大腿说：“我说的不是他们!”最后剩下的三人一听，心想：“那是说我们喽!”于是，三人也一起走了. 请小朋友算一算，一开始来了多少个客人?贝贝家养了好几只鹦鹉，分装在三个鸟笼里.一天，贝贝看到：第一个笼子里有3只鹦鹉飞到第二个笼子里，第二个笼子里又有1只鹦鹉飞到第三个笼子里，这样三个鸟笼里就都各有5只鹦鹉了.那么，原来三个鸟笼里各有几只鹦鹉呢?阿凡提和巴依老爷是邻居.阿凡提家有6只羊，巴依家有12只羊.一天，巴依把自己家的羊卖了6只，又偷来阿凡提家的6只羊，和自家剩下的6只羊混在一起，关在自家羊圈里，每边关3只(如图).但聪明的阿凡提把羊重新排了一下，牵回了被巴依偷的6只羊，而且每边仍是3只.你知道阿凡提是怎样排的羊吗?【教学思路】首先老师要引导学生读故事，然后画出如左下图的简易图，开始的时候是12只羊，每边3只，中间是房子所以不放.阿凡提把自己家的6只羊都牵走了，这样就只剩下6只羊来重新排列，而且还必须每边3只.具体排法如右下图：小动物比体重.2只猴与1只熊一样重.5只熊与2只长颈鹿一样重?算一算，一只长颈鹿和几只猴一样重?【教学思路】2只猴和1只熊一样重，那么10只猴和5只熊一样重.我们又知道5只熊与2只长颈鹿一样重，所以10只猴和2只长颈鹿一样重.最后我们可以推理出结果，5只猴和1只长颈鹿一样重.下面的图形是由7个小正方体搭起来的，仔细观察一下，共有几层，每层各是哪几个正方体？【教学思路】这道题主要是考察学生的空间想象能力.观察的时候应该从最底层开始，让学生想象整个图形搭的过程，从下往上塔，谁搭在谁的上面.这样学生就明确了图形共4层，第一层是正方体6和1，第二层是正方体0和3，第三层是正方体4和5，第四层是正方体2.把0～4这五个数字填入五个圆圈内，使围住“小学生好”的四个三角形上的数字之和分别等于被围字的笔划数.【教学思路】先要让学生明确每个三角形中三个数字加起来的和应该是多少，那就要先数出“小”“学”“生”“好”这四个字的笔划，分别是3划，8划，5划，6划.再根据这些得数填数.拓展与提高——从前，有一个商人特别精明.有一次，他在马市上用10两银子买了一匹马，一转手以20两银子的价钱卖了出去；然后，他再用30两把它买进来，最后以40两的价钱卖出.在这次马的交易中，他赚了多少钱？【教学思路】第一次这匹马买进10两银子，卖出20两银子，赚了10两银子，第二次这匹马买进30两银子，卖出40两银子，又赚了10两银子.因此在这次马的交易中，他赚了20两银子.附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）快乐故事六：猜帽子一天，幼儿园老师带领三个小朋友做游戏.老师拿来4顶帽子：3顶红的，1顶花的.她让三个人先闭上眼睛，给他们各戴上一顶，然后让他们睁开眼睛，每个人都不准摘下自己的帽子.然后对他们说：“能最先说出自己戴的帽子是红的还是花的的孩子是最聪明的.”前两个小朋友都没有反应，很茫然.第三个小朋友抢着说：“我的帽子是红色的.”那么，他是凭什么猜出来的呢?【教学思路】第三个小朋友看前两个小朋友都戴的是红帽子，他想:花帽子只有一顶，如果我戴的是花帽子，那么他们马上就会知道自己戴的是红帽子，可是他们半天未猜出，显然我头上戴的帽子是红色.下图的盘中8个格子里共放了28个玻璃小球，每边是9个，现在拿走8个玻璃球，要使每边仍然是9个球，应该如何放?(画图表示出来.)【教学思路】要使拿走8个球以后，每条边上还是9个球，我们要先考虑拿走的8个.我们可以在每个方框里都拿一个，那么就拿走了8个.拿走以后每条边上球的个数就是1个，4个，1个，共6个.要使每条边上是9个，就应该把4个圆放在四个公共角上，这样反过来每条边上的圆就变成了4个，1个，4个计算刚好是9个，如图：1.一只蜗牛从一口井里往上爬，这口井有10米深.每日白天蜗牛向上爬3米，而每日夜间又滑下2米.请问蜗牛需要爬多少天才能爬出来?【答案】蜗牛需要8天才能爬出井.到了第8天，蜗牛爬到10米高，因为已爬出井，所以不会再掉下去了.2. 下面的图画是用数字组成的，看谁找得又准又快．这只小白兔是由数字这张头像里的数字有( )组成的． ( )【答案】小白兔是由（0，1，2，3，4，5，6，6，7，8，）组成的.这张头像里的数字有（1，2，3，4，5，6，7，8，9）.3.把下图分割成4块形状大小相同的图形，使每个图形中都含有一只小猴，你能做到吗?【答案】4.鸭妈妈带着10只小鸭在小河里游泳，一会儿，4只小鸭上了岸；过了一会儿，又来了2只小鸭子.这时，河里还剩下多少只鸭子?【答案】这道题的问题是河里还有多少只鸭子，那么就包括鸭妈妈.列式：10+1-4+2=9（只），现在河里还剩下9只鸭子.5. 下面有9个圆，以这些圆里的数字为顶点，请你用线连一连，看看可以组成几个正方形？正方形顶点上4个数的和为24的是哪个正方形？【答案】连接图上的9个数字组成的图形共有6个正方形，其中④⑤⑦⑧这个正方形4个数的和是24.天天练勇夺小冠军16颗象棋子放在八个方格里，每边有象棋子5颗.如果只有12颗棋子，每边象棋子还是5颗，你会放吗?【答案】“二”和“两”本来是一家人.在数学的大家庭里，它们表示同一个数值，“二人”和“两人”表示的人数是相同的.可是，这些天来，他们争着要做事情.例如，应该“二”干的事情，“两”也要去干；应该“两”干的事情，“二”也要去干.这样，就闹出了许多笑话.比如，“亮亮做了十两道题，对了十道，得了第两名.中的“两”，本来应该让“二”去，“两”却偏要争着干，结果谁也搞不清什么意思.又比如，“小华和小明二个人，买了二本书和二支笔.中的“二”，原来应该让“两”去的，“二"却挤上来了，听起来多别扭.为了这些问题，兄弟俩决定，请数学法官老K帮忙.听了他俩的话，法官老K说：“关于你们的分工，虽然没有明确的法规，但长期以来的习惯是：(1)在表示第几时，一般用‘二’不用‘两’.不能把‘第二名’说成‘第两名’.(2)在表示几个时，一般用‘两’不用‘二’.不要把‘两个人’说成‘二个人’.(3)在读数时，一般用‘二’不用‘两’.不能把‘十二’读成‘十两’”.经法官老K这么一讲，“二”和“两”明白了许多道理，弟兄俩又高高兴兴地回到了数学大院.想一想：你能举几个用“二”的例子，再举几个用“两”的例子吗?。

第七讲位值原理在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，而每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定的．比如一个数由1、2、3三个数字组成，我们并不能确定这个数是多少，因为1、2、3能组成很多数，例如213、321、123、……．但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123．从这个例子可以看出，一个数的大小由数位和数位上的数字共同决定，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：个位上的数字代表几个1；十位上的数字代表几个10；百位上的数字代表几个100；……那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123110021031=⨯+⨯+⨯，这个结论被称为位值原理．有的时候，为了分析问题方便，我们并不将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，如2345623100045106=⨯+⨯+，我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1．一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数．练习1．一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -通常我们在利用位置原理的过程中，要利用字母来表示数，所以同学们一定要熟练和掌握这种表示方法，并能利用位值原理将字母表示的数展开．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1231个100 2个10 3个1例题2．在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这个两位数．a b．接下来分析：我们可以将两位数设为ab，如果a、b中间加一个0，这个数就变成了0我们就可以将新三位数和原两位数用位值原理展开，然后解方程求出两位数．练习2在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数．例题3．一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7．试求两个数的差．分析：设原来的三位数是abc，个位百位调换位置后，得到的新的三位数就是cba．这两个数的差有什么样的性质？练习3．把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原来数大792，那么原来的三位数最大可以是多少？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在一些位数较多的位值原理问题中，如果将每一个数位都拆开，再进行分析，往往会出现太多的字母，让人觉得无从下手．这个时候我们就要将多位数中的一部分作为一个整体来考虑，这样就能避免不必要的计算，从而更轻松地解决问题．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题4．若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式学习好勤动脑勤动脑学习好⨯=⨯58中，“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？分析：如果本题我们逐位展开，那么题目会变得十分复杂．但注意到题目中的两个六位数都是由“学习好”和“勤动脑”两部分构成，我们可以将这两部分作为展开的最小单位，那这两个六位数该展开成怎样的算式呢？练习4．若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式用微信交作业交作业用微信⨯=⨯25中，“用微信交作业”所表示的六位数最小是多少？例题5．在等式“=⨯÷祝福母亲节母亲节祝福五月”中，相同的汉字代表相同的数字，不同汉字表示不同数字，其中“五”代表“5”，“月”代表“8”，那么“祝福母亲节”所代表的五位数是多少？分析：在本题中，我们应该把什么作为展开的最小单位呢？例题6．在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的9倍，那么这样的三位数最小是多少？最大是多少？分析：假设原来的三位数是abc，在百位和十位之间加入一个数字d，得到的四位数就是adbc．那我们该如何进行展开才能简化计算呢？神奇的杠杆上图是一杆秤，平时如果陪家长买过菜的同学应该见到过，秤杆的一边是一个秤砣，另一边是要称重的物体，仅仅凭借移动秤砣在撑杆上的位置，就可以与很多重量不同的物品保持平衡，从而根据秤杆上的刻度来确定物品的重量．这也与位值原理有类似的地方，秤砣放在不同的位置，可以与不同的重量保持平衡．而欲使杠杆保持平衡，只要满足一个简单的比例式就可以了： 支点与秤砣距离物品重量支点与物品距离秤砣重量． 所以，阿基米德曾经说过：“给我一个支点，我可以撬起地球！”这句话不仅是激励我们奋进的格言，更是有科学根据的．作业1. （1）851___100___10___1=⨯+⨯+⨯；（2）55984___1000___10___1=⨯+⨯+⨯；（3）___100___10___1nba =⨯+⨯+⨯；（4）352___10000___100___1=⨯+⨯+⨯下除． 作业2. 在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得到的三位数是原数的7倍，这个两位数是多少？作业3. 将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数．它比原来的两位数小54，那么原来的两位数最小是多少？作业4. 将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数．它与原来的两位数的和是187，那么原来的两位数是多少？作业5. 在等式“6⨯=雪含思青山映青山映雪含思”中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字．那么，“青山映雪含思”这个六位数等于多少？第七讲 位值原理例题1. 答案：54 简答：设这个两位数为ab ，根据题意得()106a b a b +=+，化简得45a b =，由于a 、b 都是0~9之间的数字且a 不能为0，所以只有a =5、b =4．例题2. 答案：45 简答：由题意，09a b ab =⨯，即：()100109a b a b +=+⨯，化简得：45b a =．由于a 是1至9中的某个数字，b 是0至9中的某个数字，那么只能是4a =，5b =．因此原来的两位数就是45．例题3. 答案：297 简答：()()100101001099abc cba a b c c b a a c -=++-++=-，所以差为99的倍数，并且差的个位是7，所以两数差为：297．例题4. 答案：410256简答：整体考虑，设学习好为x ，勤动脑为y ．则有()()1000510008x y y x +⨯=+⨯，4992x =7995y ．约39得128x =205y ，因为6个数字不能重复，经检验只有410256和615384两个符合要求．而问题求的是最少，不要被阴到哦！例题5. 答案：24390简答：设祝福为a ，.母亲节.为b ，则有：85ab ba ⨯=⨯，即：800085005a b b a +=+，化简得：654a b =，并且a ，b 中没有重复数字，尝试得知：五位数是24390．例题6. 答案：125，675简答：根据分析，设bc 为x ，由位值原理得：()10001009100a d x a x ++=⨯+，化简得：()252a d x ⨯+=．其中x 有25、50、75三种情况．当25x =时，2a d +=，那么当1a =时，三位数最小，为125；当2a =时，三位数最大，为225． 当50x =时，4a d +=，那么当1a =时，三位数最小，为150；当4a =时，三位数最大，为450． 当75x =时，6a d +=，那么当1a =时，三位数最小，为175；当6a =时，三位数最大，为675． 综上所述，可知所有这样的三位数中，最小的是125，最大的是675．练习1. 答案：21，42，63，84 简答：设这个两位数为ab ，根据题意得()107a b a b +=+，化简得2a b =，由于a 、b 都是0~9之间的数字且a 不能为0，所以这个两位数可能是21、42、63或84．练习2. 答案：18 简答：由题意，06a b ab =⨯，即：()100106a b a b +=+⨯，化简得：8b a =．由于a 是1至9中的某个数字，b 是0至9中的某个数字，那么只能是1a =，8b =．因此原来的两位数就是18．练习3. 答案：199简答：设原来的三位数为abc ，根据题意有792cba abc -=，化简后得到()99792c a -=，8c a -=．那么a 和c 只能分别是1和9，b 的取值是任意的．那么原来的三位数最大就是199．练习4. 答案：476190简答：设“用微信”为x ，“交作业”为y ，根据题意有2000250005x y y x +=+，化简后得95238x y =．考虑到x 和y 都是三位数，且没有重复数字，可求出x 最小是476，y 最小是190．作业1. 答案：（1）8、5、1；（2）55、98、4；（3）n 、b 、a ；（4）3、下5、除2简答：略．作业2. 答案：15 简答：70ab a b ⨯=，利用位值原理展开解方程即可．作业3. 答案：71 简答：54ab ba -=，化简后有6a b -=，最小是71．作业4.答案：89或98．简答：187ab ba +=，化简后有17a b +=，只能是89． 作业5. 答案：857142 简答：600061000⨯+⨯=⨯+雪含思青山映青山映雪含思，化简后有857142⨯=⨯雪含思青山映，那么有142=雪含思，=857青山映．。

第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+…＋nm（n1≥n2≥…≥nm≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.一、整数分拆中的计数问题例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；②把6分拆成两个自然数之和有3种方式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个自然数之和有2种方式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.例2有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=998＋996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中例3有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）分析本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法.因此，把100表示为3个自然数之和有种不同的方式.说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥3表示为（有顺序科奥林匹克数学竞赛第10题）.例4用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？分析用1分、2分和5分硬币凑成一元钱与用2分和5分硬币凑成不超过一元钱的凑法数是一样的.于是，本题转化为：“有2分硬币50个，5分硬币20个，凑成不超过一元钱的不同凑法有多少种？解：按5分硬币的个数分21类计数；假若5分硬币有20个，显然只有一种凑法；假若5分硬币有19个，则2分硬币的币值不超过100-5×19=5（分），于是2分硬币可取0个、1个、或 2个，即有3种不同的凑法；假若5分硬币有18个，则2分硬币的币值不超过100-5×18=10（分），于是2分硬币可取0个、1个、2个、3个、4个、或5个，即有6种不同的凑法；…如此继续下去，可以得到不同的凑法共有：1+3+6+8+11＋13+16+18+21+…+48+51=5×（1+3+6+8）+4×（10+20＋30+40）+51=90＋400＋51=541（种）.说明：本例实际上是求三元一次不定方程x+2y+5z=100的非负整数解的组数.上述例2、例3、例4都是有限制条件的特殊的整数分拆问题.二、整数分拆中的最值问题在国内外的数学竞赛试题中经常出现与整数分拆有关的最大值或最小值的问题.例5试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大.解：由例2可知，把14分拆成两个自然数之和，共有7种不同的方式.对每一种分拆计算相应的乘积：14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49.因此，当把14分拆为两个7之和的时候，乘积（7×7=49）最大.说明：本例可以推广为一般性结论：“把自然数n≥2分拆为两个自然数a与b（a≥b）之和，使其积a×b取最大值的条件是a=b或a-b=1（a＞b）”.事实上，假设a-b=1＋m（其中m是一个自然数），显然n=a＋b=（a-1）+（b＋1），而有（a-1）×（b＋1）＝a×b＋a-b-1＝a×b ＋m＞a×b.换句话说，假设n=a+b且a-b＞1，那么乘积a×b不是最大的.这样，例6试把14分拆为3个自然数之和，使它们的乘积最大.分析由例5的说明可知，假设n＝a+b＋c（a≥b≥c）且a-c＞1时，乘积a×b×c不是最大的.换句话说，若n=a+b＋c（a≥b≥c），当a、b、c中的任意两数相等或差为1时，乘积a×b×c取最大值.解：因为14=3×4＋2，由分析可知：当a=b=5且c=4时，乘积a×b ×c=5×5×4＝100为最大值.说明：本题可以推广为一般结论：把自然数n≥3分拆为3个自然数a、下面我们再研究一个难度更大的拆数问题.问题：给定一个自然数N，把它拆成若干个自然数的和，使它们的积最大.这个问题与前面研究的两个拆数问题的不同点是：问题中没有规定把N拆成几个自然数的和.这也正是这题的难点，使分拆的种类要增加许多.我们仍旧走实验-观察-归纳结论这条路.先选择较小的自然数5开始实验.并把数据列表以便比较.实验表1：结果：5拆成2＋3时，其积6最大.你注意到了吗？我们的实验结果是按把5拆分数的个数多少，由多到少的次序进行的.再注意，当被拆数n＞3时（这里n=5），为了使拆分数的乘积最大，拆分数中不能有1.因为当n＞3，n=1+（n-1）=2+（n-2），且2×（n-2）＞1×（n-1）.结果：7拆分成2＋2+3时.其积12最大.注意，分拆数中有4时，总可把4再分拆成2与2之和而不改变分拆的乘积.实验结果4：8拆分成2＋3+3时，其积最大.实验结果5：9拆分成3+3+3时，其积最大.实验结果6：10拆分成3+3+2＋2时，其积最大.观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由2与3组成，其形式有三种：①自然数=（若干个3的和）；②自然数=（若干个3的和）+2；③自然数=（若干个3的和）+2＋2.因此，我们得到结论：把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大.（因为2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆数中2的个数不能多于2个.）例分别拆分1993、1994、2019三个数，使分拆后的积最大.解：∵1993=664×3＋1.∵1994=664×3＋2∴1994分拆成（664个3的和）＋2时，其积最大.∵2019=667×3∴2019分拆成（667个3的和）时，其积最大.我们以上采用的“实验-观察-归纳总结”方法，在数学上叫做不完全归纳法.我国著名数学家华罗庚讲过：难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前怎么去找出公式.不完全归纳法正是人们寻找公式的重要方法之一.但是这种方法得出的结论有时会不正确，所以所得结论还需要严格证明.这一步工作要等到学习了中学的课程才能进行.习题七1.两个十位数1111111111和9999999999的乘积中有几个数字是奇数？2.计算：3.计算：9999×2222+3333×3334.4.在周长为18，边长为整数的长方形中，面积最大的长方形的长和宽各是多少？5.用6米长的篱笆材料在围墙角修建如下图所示的鸡圈.问鸡圈的长与宽分别是多少时，鸡圈的面积最大？6.把17、18两个自然数拆成若干个自然数的和，并分别求这些分拆的自然数的乘积的最大值.。

小学二年级下册数学奥数知识点讲解第7课《数字游戏问题1》试题附答案第七讲数字游戏问题（一）数字游戏问题是数学游戏中的一类.它要求从数字以汲数字间的运算中发现规律.然后技照这个规律去填数或填写运算符号.解决这一类问题的关槌是寻找规律、发现规律.一、找规祥填与数列里面的数例1在口中填入适当的数.1928374□例2在口中填入适当的数.1514121198□□例3在（）里填数.20224610（）二、找规律填写表格中的数例4在空格中填入合适的数.ESS回回例5在空掐中填入合格的数.8I9i；I25例6在空格中填入合适的数.找规律填写图形中的裁三.例7在空白处填入合适的数.答案笫七讲数字游戏问题（一）数字游戏问题是数学游戏中的一类.它要求从数字以及数字间的运算中发现规律，然后按照这个规律去填数或填写运算符号.解决这一类问题的关键是寻找规律、发现规律.一.找规律填写数列里面的数例1在口中填入适当的数.1922374□分析题中共有8个数，前7个已经知道.最后一个需要填写.R个数中1+9=10,2+8=10,3+7=10,所以最后两个数是4+口=10.这样，口里应璋6.解：1928374例2在口中填入适当的数.1514121198□□分析题中的数是技照从大到小的规律排列的.每两个数为一组，每两组之间又去掉了一个相邻的数；15、14、珞12、11、1U.9、8、又6、5.所以口中应顺次填写6、一这道题也可以这样分析：15-1=14,14-2=12,12-1=11,11-2=9,9-1=8, 8-2=6,6-1=5.解.1514121198同同例3在()里填数.20224610()分析观察发现2+0=2,0+2=2,2+2=4,2+4二6,4+6二10.即前两个数相加的和是后面的我｝f样最后一个数应是6+10二16.()里函真16.解：20224610(16)二、找规律填写表格中的教例4在空格中填入合适的数.因回回回回分析表格中的数分上下两排，每一排的数各有自己的规律.上排的数+2+3_+七再从冬开始依次加2,加3,加冬得到：4一"'L~3°这样最后一个数应是13+5=1&下排的数是从5开始依次加4,加6,加密导十4+6 +8到：5^^9*~'15~'236这样下排最后一个数应是23+10=33.解，例5在空格中填入合格的数.分析数字分成三组，前二组中的三个数字的和是20 : 7+12+1二20, 8+9+3=20,所以第三组中应是口+2+5=20,空格中的数是13.解；例6在空格中填入合适的数.813182412分析1九个数分成三组，第一组中有§+18=2X13,即第一个数与第三个数 的和是中间那个数的二倍，同样第三组中16+30=2x 23.所以中间一组2 x □ =12+24, 口中应填 18.分析2将这九个数横的作一排，第一批中有8+4=12, 12+4二16.即后面的数 比前面的数土4.鬲三排申有18+6二24, 24+6=30,后面的数比前面的数大6.由着 第二排应是13+5=18, 18+5=23,所以空格中应填1A解，13 18121824162330图表中的填数一般来说，既要注意横排，也要注意竖排.大部分问题是横竖结合寻找规律.三.找规律填写图形中的教例7在空白处填入合适的数.265分析每个图中都有三个圈，每个圈中填有数字.这三个数字之间有某种关系.分析第一个图发916-5=1,1X2=2,分析第二个图同样有7-4=3,3X2=6,所以第三个图应该是8・3二5,5X2=10.第三个图中空白处应填10.83从以上几种填数游戏中，我们发现填数的过程就是找规律的过程.在我规律中一是要注意数字排列的顺序，看清它们所在的位置.二是把已经知道的数字进行简单变形，如相加，相减，乘2,乘3,除2等.三是发现规律之后技这个规律进行运算求出所需要的结果.习题七找规律填数：1.1>2,3, 3.2,194S5,6,6,5,□.2.4,6,L0,16,26,42,□.3.4,6,10,16,24,34,□.6.△回/\0/\I~I ®O©©©©7.,Q0O Q®000®®8.9.二年级奥数下册：第七讲数字游戏问题（一）习题解答习题七解答1.解：.每三个数一组，前后两组数是时称排列的.2.解：国.从弟3个数开始，后面的数是它前面两个数的和.4+6=10,6+10=16,10+16=26,16+26=42,・'.26+42=68.3.解：国.从第2个数开始，后面的数是它前面的数依次加2,4,6,2, 10,12得到的，即4+2二66+4-1010+6=16,16+8-24,24+1CU34.•.34+12=46.4.解：国叵］,每一竖排中的三个数按上、下、中的顺序依次排列，所以第3列中最下面一个数是&第4列中间的数为10•5.解；14.每个图中，圈左边的数减去圈右边的数再加上圈上边的数得到圈里的数.6.解：回.把横线下面图中的两个数相加减去三角形中的数就得到正方形里的数.7.解：在上排圆中，从第2个数开始是把它前面的数依次加上2,3,4,5得到.在下排圆中，从笫2个数开始是依次把它前面的数依次加上4,6,8,10得到.©应8.解：16.从右上方开始，顺时针方向旋转，依次加上1,2,3,4,5得到后面南数.9.解：21.从左上方开始.逆时针方间旋转，依次加上1,3,5,7,9得到后 面的数.。

师：火车长不长？生：长。

师：很长的吧。

它过桥的时候仅仅走的是一个桥长吗？不是，那是什么呀！是车的长度加上桥的长度对吧？这就是我们今天要讲的内容——火车过桥。

【板书课题：火车过桥问题】二、探索发现授课（40分钟）（一）例题一：（13分钟）已知武汉长江大桥全长1670米，一列火车以每秒30米的速度行驶，火车的车身长400米，火车从上桥到离桥共需要多少秒？师：武汉长江大桥，大家知道吗？生：知道。

师：有去玩过吗？它的旁边就是黄鹤楼。

生：有（没有）。

师：老师比较幸运，我很小的时候就在武汉长江大桥上散步过。

确实很长，桥的下面就是轨道，所以经常能够听到火车过桥的声音。

我们来看看这辆火车的速度是多少？生：每秒30米的速度行驶。

师：长江大桥的长度是多长呢？生：1670米。

师：是的。

那现在这辆长400米的火车要从这里经过，我们能算出火车从上桥到离桥共需要多少时间？实质上这是一个行程问题，我们要求时间，必须要知道什么？生：路程和速度。

师：速度题目中已经说了，是每秒30米的速度。

那么路程呢？是桥的长度吗？生：不是的，通过我们刚才的实验，我们知道火车通过大桥所行驶的路程不仅与大桥的长度有关，还与火车车身的长度有关。

师：说的太棒了！其实这里的路程从图中，可以看得一目了然。

就是桥长加上火车长。

对吗？生：对。

师：那路程是多少？谁来分享一下。

生：1670+400=2070（米）。

师：路程和速度已经知道，时间就能迎刃而解了。

好，时间是多少？生：2070÷30=69（秒）。

师：火车过桥问题，最关键地是要弄清楚走的路程到底是多少？路程弄清楚了，后面的问题都不是问题，是吗？生：是的。

板书：（1670+400）÷30=69（秒）队，相邻两排前后各相距0.5米，队伍每分钟走65米。

现在要过一座876.5米的立交桥，从排头两人上桥到排尾两人离开桥，共需多少分钟？分析：我们可以把行进的队伍看作是火车，所以首先要求出队伍的长度。

第七讲追及问题开篇漫画：（都是旧版课本中的人物）早晨，卡莉娅出门去上学，与小山羊打招呼再见•过了一会，小山羊突然发现卡莉娅把红领巾落家里了，连忙飞出去去追，最后终于在学校门口追上了卡莉娅•上一讲我们学习了基本行程问题中的相遇问题，这一讲我们来学习行程中的另一类重要问题一一追及问题•基本追及问题是指两个人在同一直线上同向而行的行程问题，主要分为两种情况：一种是后面的人速度快，经过一段时间追上了另一个人；还有一种是前面的人速度快，两人的距离越来越远.相遇问题考虑的是“路程和”与“速度和”，而追及问题中两人是同向而行，因此我们考虑的是两人的“路程差”以及“速度差” •仿照行程问题基本公式，我们同样可以得到追及问题的三个基本公式：路程差速度差追及时间追及时间路程差速度差I速度差路程差追及时间IA、B两地相距260米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，同向而行（甲是往B方向出发的）.已知甲每秒钟走5米，乙每秒钟走3米，那么甲出发多长时间后可以追上乙？「分析」从出发到追上，甲一共比乙多走了多远？甲每分钟比乙多走多远呢？练习1京、津两地相距120千米，客车和货车分别从北京和天津同时出发，同向而行，客车在前，货车在后.已知客车每小时行100千米，货车每小时行120千米•那么出发后多长时间货车追上客车？墨莫步行上学，每分钟行75米.墨莫离家12分钟后，爸爸发现他忘了带文具盒，马上骑自行车去追，每分钟行375米.求爸爸追上墨莫所需要的时间.「分析」画出线段图，注意两人不是同时出发的哦！试着找找两人相同时间内的路程差吧！练习2龟、兔赛跑，龟比兔先出发100分钟，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330 米.请问兔出发后多久追上乌龟？画线段图是解决行程问题的基本方法，通过画图，比较不同对象在相同时间内的路程关系，挖掘出解题的突破口.一辆公共汽车和一辆小轿车从相距100千米的两地同时出发，同向而行，公共汽车在前，每小时行40千米；小轿车在后，每小时行60千米.那么：(1)经过2小时后两车相距多少千米？(2)出发几个小时后小轿车会领先公共汽车100千米？「分析」画出线段图，试着找找相同时间内两辆车的路程差吧！阿呆和阿瓜沿着同一条路线上学，阿呆每秒钟跑3米，阿瓜每秒钟跑7米•现在阿瓜落后阿呆50米，那么再过多长时间阿瓜会领先阿呆50米？一辆公共汽车早上6点从A城出发，以每小时40千米的速度向B城驶去.3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A城出发到B 城.当小轿车到达B城后，公共汽车离B城还有160千米.问：小轿车什么时刻到达B城？「分析」两辆车不同时出发，可是不能直接用公式计算时间的.还是画出线段图，寻找相同时间内的路程差进行分析计算吧！练习4高速路上自西向东分布着A、B、C、D四个加油站，其中A、B之间的距离是20千米，C、D之间的距离是40千米.上午6:00快、慢两车分别从A、B两地出发向东前进，快车的速度是每小时80千米，慢车的速度是每小时60千米•当快车到达D 加油站的时候，慢车正好到达C.那么快车从A到达D 一共开了几个小时？甲、乙两车同时从东、西两地出发，相向而行.甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，两车在距离中点9千米处相遇，求东、西两地间的距离.「分析」两车相遇，两地距离是两车的路程和，我们容易算出两车速度和，但是不知道两车的相遇时间，你能通过“在距离中点9千米处相遇”这个条件算出相遇时间吗？大家试着画出线段图进行分析.例题6萱萱一家开车去外地旅游，预计每小时行驶45千米.实际上，由于高速公路堵车，汽车每小时只行驶30千米，因此比预计时间晚到了2小时.请问：萱萱一家在路上实际花了几个小时？「分析」实际行驶的速度比预计的慢，那么在预计时间内，还差多远到达目的地呢？你能算出预计行驶的时间吗？画出线段图试试寻找两次相同时间内的路程差进行分析吧！阿基里斯追不上龟?阿基里斯是荷马史诗中最善跑的英雄，芝诺是一名古希腊哲学家.芝诺认为，如果阿基里斯在乌龟后100米追乌龟，阿基里斯永远追不上乌龟. 他的论证简要说来是这样的，阿基里斯要追上乌龟，首先必须到达乌龟原来的起跑点•可他跑到乌龟的起跑点需要一定时间，因而当他跑到乌龟的起跑点时，乌龟已经前进了一段路了，于是他又必须花一定的时间赶到乌龟的新的所在的点•而当他赶到乌龟新的所在的点时，乌龟又已经前进了一段路了.因而如此下去，阿基里斯永远也追不上乌龟.聪明的小朋友你同意芝诺的看法吗？1. 甲、乙两镇相距100千米.上午7点，一辆汽车和一辆马车分别从甲、乙两镇同时出发，同向而行，马车在前，汽车在后.汽车的速度是每小时行50千米，马车的速度是每小时行30千米.那么经过多长时间，汽车会追上马车？2. 甲、乙两车分别从相距600千米的A、B两地同时出发，同向而行.乙车在前，甲车在后. 20小时后甲车追上了乙.已知乙车每小时行50千米，那么甲车每小时行多少千米？3. 甲从A出发，每分钟走50米，甲出发30分钟后，乙也从A出发，去追甲，乙每分钟走80米.那么乙出发多长时间后追上了甲？4. 甲、乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发，同向而行.乙车在前，甲车在后.已知甲车每小时行60千米，乙车每小时行30千米.那么出发多长时间后，甲车会领先乙车300千米？5. 甲、乙两车分别从东、西两地同时出发相向而行.已知甲车较快，每小时行45千米，乙车每小时行37千米.那么出发后经过多长时间，两车会在距离东、西两地中点12千米处相遇?详解：公车提前岀发3小时，速度是40千米/小时，所以公车行驶的路程是40 3 120千米，小轿车和公车在相同时间内所行驶的路程差是 120 160 280千米（即图中实线部分的路程差）•两 车的速度差是75 40 35千米/小时，所以追及时间是280 35 8小时，即小轿车行驶了 8小时， 小轿车是9点岀发，所以9 817点到达B 城.5. 例题5答案：198千米详解：甲行驶的路程比一半的路程多 9千米，乙行驶的路程比一半的路程少 9千米，所以甲、 乙行驶的路程差是18千米，速度差是36 306千米/小时，所以追及时间是18 6 3小时，这 也是两车的相遇时间，速度和是36 30 66千米，所以3小时行驶的路程和是66 3 198 千米,第七讲追及问题1. 例题1 答案：130秒.详解：从出发到追上，甲、乙的路程差是 A 、B 两地的全程即260米，速度差是5 3 2米/秒,所以追及时间是 260 2130秒.2. 例题2 答案：3分钟详解：墨莫先出发了 12分钟，速度是75米/分，所以墨莫行驶的路程是 75 12 900米•所以爸 爸从出发到追上墨莫，两人的路程差就是 900米，速度差是375 75 300米/分，追及时间是900 3003 分钟.3. 例题3答案：60千米；10小时详解：（1 ）两车的速度差是 60 40 20千米/小时，2小时内两车的路程差是 20 2 40千米,此时小轿车还没有追上公车，两车相距 100 4060千米；（2）小轿车领先公车100千米，两车的路程差是100 100 200千米， 两车的速度差是6040 20千米/小时，追及时间是200 20 10 小时.4.例题4 答案：17点A 公车40千米/小时轿车75千米/小时即东、西两地间的距离是 198千米.度差为80 60 20千米/时，所以时间为60 20 3小时.6. 例题6 答案：6小时详解：萱萱预计和实际的路程差即实际2小时所行驶的路程，实际的速度是 30千米/小时，所以路程差是30 2 60千米.预计和实际的速度差是 45 30 15千米/小时，所以追及时间是 60 15 4小时•所以萱萱一家在路上实际花了4 2 6小时.豕 预计45千米/小时实际30千米/小时7. 练习1 答案：6小时详解：从出发到追上，甲、乙的路程差是京、津两地的距离即120千米，速度差是120 100 20 千米/小时，所以追及时间是120 20 6小时.8. 练习2 答案：10分钟详解：乌龟先出发了 100分钟，速度是30米/分，所以乌龟爬行的路程是 30 100 3000米.所 以兔子从出发到追上乌龟，路程差就是 3000米，速度差是330 30 300米/分，追及时间是3000 300 10 分钟.9. 练习3 答案：25秒简答：阿瓜从落后阿呆 50米到领先50米，两人的路程差是 50 50 100米，两人的速度差是 7 34米/秒，追及时间是100 425秒.10. 练习4西乙30千米/小时9千米u 中点 -------------------------- 东甲 36千米/小时外地2小时答案：3小时简答：两车同时岀发，当快车到达D、慢车到达C时，两车的路程差即20 40 60千米，而速11. 作业1 答案：5 小时简答：两车的路程差是100千米，速度差是50 30 20千米/小时，追及时间是100 20 5 小时.12. 作业2 答案：80 千米简答：甲从相距乙车600 千米到最后追上，用了20 小时，那么甲每小时追上乙600 20 30千米，乙每小时走50 千米，那么甲每小时会走50 30 80 千米.13. 作业3 答案：50 分钟简答：甲早出发30 分钟，当乙出发时，甲已经走了30 50 1500 米.乙每分钟走80 米，乙每分钟追上甲80 50 30 米，那么经过1500 30 50 分钟，乙会追上甲.14. 作业4 答案：20 小时简答：甲车从落后乙车300 千米到领先乙车300 千米，两车的路程差是600 千米.速度差是60 30 30 千米/小时，追及时间是600 30 20小时.15. 作业5 答案：3 小时简答：两车路程差为12 2 24千米，速度差为45 37 8 千米/小时，时间为24 8 3小时，即两车相遇的时间是 3 小时.。

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⨯．因此，组合数12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．知识要点教学目标7-5-4.组合之插板法插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．【例 1】 将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有 种不同的放法。