数学分析ch14-1第一类曲线积分与第一类曲面积分

曲线积分和曲面积分论文引言曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，具有广泛的应用领域。

本论文旨在介绍曲线积分和曲面积分的概念和计算方法，并讨论在实际应用中的一些应用情况。

曲线积分在微积分中，曲线积分用于计算沿一条曲线的函数的积分。

曲线积分有两种类型：第一类是沿曲线的弧长对函数进行积分，称为第一类曲线积分，第二类是对曲线上的函数在曲线元素上积分，称为第二类曲线积分。

第一类曲线积分第一类曲线积分表示为：$$ \\int_C f(x, y) ds $$其中，f(f,f)是曲线上的函数，ff表示沿曲线元素的弧长。

计算第一类曲线积分的方法通常包括参数化曲线和坐标变换两种。

例如，计算函数f(f,f)=f2+f2在曲线 $C: x = \\cos(t), y = \\sin(t), 0 \\leq t \\leq 2\\pi$ 上的第一类曲线积分。

首先，通过参数化得到曲线的弧长元素：$$ ds = \\sqrt{\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^2 +\\left(\\frac{dy}{dt}\\right)^2} dt $$代入曲线方程得到：$$ ds = \\sqrt{\\left(-\\sin(t)\\right)^2 +\\left(\\cos(t)\\right)^2} dt = dt $$然后，将函数和弧长元素代入积分得到：$$ \\int_C f(x, y) ds = \\int_0^{2\\pi} (1) dt = 2\\pi $$第二类曲线积分第二类曲线积分表示为：$$ \\int_C \\mathbf{F} \\cdot d\\mathbf{r} $$其中，$\\mathbf{F}$ 是曲线上的向量函数，$d\\mathbf{r}$ 表示曲线元素。

计算第二类曲线积分的方法通常包括参数化曲线和曲线方程两种。

例如，计算向量函数 $\\mathbf{F}(x, y) = (x, y)$ 沿曲线 $C: x = \\cos(t), y = \\sin(t), 0 \\leq t \\leq 2\\pi$ 的第二类曲线积分。

第八章 曲线积分和曲面积分我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们计算曲线积分或曲面积分。

由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此我们要分别研究两种不同类型的积分。

§1 第一型曲线积分与曲面积分１． 第一型曲线积分我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体L ，L 上每点有线密度，现在我们要求它的质量。

我们对此问题作如下限制，设L 是空间的可求长曲线，端点为A 和B ，密度函数(,,)f x y z 在L 上定义。

为了求质量，象定积分一样，我们对L 作一分割，01,,,,(,1,2,,,)n j A A A A B A j n L ===L L 在上，这样我们就将L 分成n 小段，设每段的长度为j s V 。

在每段弧长上任取一点ξηςｊｊｊ（，，），作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V以此作为L 质量的近似值。

最后我们令1max{}0j j ns λ≤≤=→V ，即可得到L 质量的精确值M ，即,01lim (,)nj j j j j M f s λξης→==∑V由此我们可得到以下定义 定义设L 是空间可求长曲线，(,,)f x y z 在L 上连续，L 的两个端点为A,B ，依次用分点01,,,n A A A A B ==L 将L 分成n 小段。

每小段弧及弧长均记为j s V ，在j s V 上任取一点(,,)j j j j P ξης=，作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V如果当1max{}0j j ns λ≤≤=→V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于L 的分法及j P 的选取，则称这一极限值为(,,)f x y z 。

在L 上的第一型曲线积分，记作(,,)Lf x y z ds ∫。

第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。

曲线积分与曲面积分的概念与计算在数学中，曲线积分和曲面积分是两个重要的概念，用于描述曲线和曲面上的各种物理量的计算。

本文将详细介绍这两个概念的定义以及计算方法。

1. 曲线积分的概念与计算曲线积分用于计算曲线上的矢量场或标量场沿曲线的积分值，常用于求解沿路径的功、电磁感应等问题。

曲线积分可以分为第一类和第二类，下面将分别介绍。

1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分可以用于计算矢量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C F·ds其中，C表示曲线，F表示矢量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度，F·ds表示矢量场F与ds的点积。

要计算第一类曲线积分，首先需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。

然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。

1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算标量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C f ds其中，C表示曲线，f表示标量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度。

要计算第二类曲线积分，同样需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。

然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。

2. 曲面积分的概念与计算曲面积分用于计算曲面上的矢量场或标量场通过曲面的通量或质量的计算。

曲面积分同样可以分为第一类和第二类，下面将一一介绍。

2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算矢量场通过曲面的通量，其计算公式如下：∬S F·dS其中，S表示曲面，F表示矢量场，dS表示曲面S上的一小块面积，F·dS表示矢量场F与dS的点积。

要计算第一类曲面积分，首先需要确定曲面S的参数方程，并对其进行参数化。

然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。

2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分用于计算标量场通过曲面的质量，其计算公式如下：∬S f dS其中，S表示曲面，f表示标量场，dS表示曲面S上的一小块面积。

第一节 第一类曲面积分内容要点一、 第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ∆上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积),,2,1(),,(n i S f i i i i Λ=∆⋅ζηξ并作和,),,(1∑=∆⋅ni i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为∑⎰⎰=→∑∆=ni i i i i S f dS z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ (4.2) 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法.),(),(1)],(,,[),,(22⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3)例题选讲例1 计算曲面积分,⎰⎰∑zdS其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部. 解 ∑的方程为.222y x a z --=∑在xOy 面上的投影区域:xy D {}.),(2222h a y x y x -≤+又,122222yx a a z z y x --=++利用极坐标故有⎰⎰⎰⎰-=∑xyD r a adxdy z dS 22 220202222r a rdr d ar a ardrd ha D xy-=-=⎰⎰⎰⎰-θθπ22022)(212h a r a In a -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=π.2haaIn π=例2（E01）计算,)(⎰⎰∑++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的部分.解 积分曲面∑-=,5:y z 其投影域},25),({22≤+=y x y x D xy,2)1(011222dxdy dxdy dxdy z z dS y x =-++=++=故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-++=++∑xyxy D D dxdy x dxdy y y x dS z y x )5(2)5(2)(.2125)cos 5(2520πθθπ=+=⎰⎰rdr r d例3（E02）计算,⎰⎰∑xyzdS 其中∑是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围四面体的整个边界曲面.解 如图(见系统演示)，.2341xyzdS xyzdS ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑注意到在321,,∑∑∑上，被积函数,0),,(==xyz z y x f 故上式右端前三项积分等于零. 在4∑上，,1y x z --=所以,3)1()1(112222=-+-+=++y x z z从而⎰⎰⎰⎰∑∑=4xyzdS xyzdS ⎰⎰--=xyD dxdy y x xy ,)1(3其中xy D 是4∑在xOy 面上的投影区域.=⎰⎰∑xyzdS ⎰⎰---=xdy y x y xdx 1010)1(3dx y y x x x-⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10103232)1(3dx x x ⎰-⋅=1036)1(3.1203)33(634312=-+-=⎰dx x x x x 例4计算,dS xyz ⎰⎰∑其中∑为抛物面).10(22≤≤+=z y x z解 根据抛物面22y x z +=对称性,及函数||xyz 关于yOz xOz 、坐标面对称,有dxdy y x y x xy xyzdS dS xyz xy D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+++=∑=∑2222)2()2(1)(441⎰⎰⎰⎰+=+⋅=20125122220412sin 241sin cos 4ππdr r r tdt rdr r rt t r dt.420151254141512-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰du u u例5 计算,⎰⎰∑xdS 其中∑是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间立体的表面.解 ，＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑+∑∑321∑∑12，在xOy 面上得投影域.1:22≤+y x D xy于是⎰⎰⎰⎰∑==1,0xyD xdxdy xdS ⎰⎰⎰⎰∑=+=2,011xyD dxdy xxdS将)1:,(313223∑∑∑-±=x y 投影到zOx 面上，得投影域.10,11:+≤≤≤≤-x y x D xydxdz y y xxdS xdS xdS zxD z x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=∑+∑=∑221232313,12112211222π=-=-+=⎰⎰⎰⎰+-x D dz x xdxdz x x x xz所以 .00ππ=++=∑⎰⎰xdS例6（E03）计算 ,)(222⎰⎰∑++dS z y x ∑为内接于球面2222a z y x =++的八面体a z y x =++||||||表面.解 被积函数222),,(z y x z y x f ++=关于三个坐标面和原点均对称.积分曲面∑也具有对称性,故原积分⎰⎰⎰⎰∑∑=1,8其中),0,,(:1>=++∑z y x a z y x 1∑在xOy 面上的投影为,0:a x D xy ≤≤,0x a y -≤≤而,y x a z --=所以.3122dxdy dxdy z z dS y x =++=dS z y xdS z y x⎰⎰⎰⎰∑∑++=++1)(8)(222222dxdy y x a y x xy D 3])([8222⎰⎰--++=dy y x a y x dxxa a⎰⎰---++=022203])([8.324a =例7（E04）求球面2222a z y x =++含在圆柱体ax y x =+22内部的那部分面积.解 由对称性知，所求曲面面积A 是第一卦限上面积1A 的4倍.1A 的投影区域),0,(:22≥≤+y x ax y x D xy曲面方程,222y x a z --=故,122222yx a a z z y x --=++所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--=++=20cos 022222224414πθθa D D yxra rdr d a yx a adxdy dxdy z z A xyxy.42)1(sin 422202a a d a-=-=⎰πθθπ例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km).解 取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面∑是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分. ∑的方程为,222y x R z --=它在xOy 面上的投影区域.sin :2222αR y x D xy ≤+于是通讯卫星的覆盖面积为).cos 1(22απ-=R A将h R R +=αcos 代入上式得 .21222h R h R h R R R A +⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为%.5.4242≈RAπ 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔32π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面. 课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dS z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算⎰⎰∑+dS y x )(22, 其中∑为锥面)(3222y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分..3. 求半径为a 的球的表面积.第二节 第二类曲面积分二、第二类曲面积分的概念与性质定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(z y x 处的单位法向量,cos cos cos k j i n ρρρργβα++= 又设k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρϖ),,(),,(),,(),,(++=其中函数R Q P ,,在∑上有界, 则函数γβαcos cos cos R Q P n v ++=⋅ϖϖ则∑上的第一类曲面积分⎰⎰∑⋅dS n v ϖϖ.)cos cos cos (⎰⎰∑++=dS R Q P γβα (5.5)称为函数),,(z y x A ϖ在有向曲面∑上的第二类曲面积分.三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面∑：),(y x z z =，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为xy D , 则.⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(. (5.9)上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定. 例题选讲第二类曲面积分的计算法例1 (E01) 计算曲面积分,222⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 其中∑是长方体}0,0,0|),,{(c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω的整个表面的外侧.解 如图(见系统演示), 把有向曲面∑分成六部分.除43,∑∑外，其余四片曲面在yOz 面上的投影值为零,因此⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=34222dydz x dydz x dydz x .0222bc a dydz dydz a yzyzD D ⎰⎰⎰⎰=-=类似地可得,22ac b dzdx y ⎰⎰∑=.22ab c dxdy z =⎰⎰∑于是所求曲面积分为.)(abc c b a ++例2 (E02) 计算,⎰⎰∑xyzdxdy 其中∑是球面1222=++z y x 外侧在0,0≥≥y x 的部分.解 把∑分成1∑和2∑两部分,1:2211y x z --=∑,1:2222y x z ---=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdydxdy y x xy dxdy y x xy xyxyD D )1(12222------=⎰⎰⎰⎰dxdy y x xyxyD ⎰⎰--=2212利用极坐标.1521sin 222=-=⎰⎰θθrdrd r r xyD 例3 (E03) 计算,)(2⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z 其中∑是旋转抛物面2/)(22y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间的部分的下侧.解 .cos cos )(dS cos )()(222dxdy x z x z dydz x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=+=+γαα 在曲面∑上，有.11cos cos x xz x -=-=-=γα ⎰⎰⎰⎰∑--+=-+∑dxdy z x x z zdxdy dydz x z ]))([()(22 dxdy y x x x y x xy D ⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)(21)()(412222.821cos )(212020222222πθθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰⎰rdr r r d dxdy y x x xy D课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dxdy z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算曲面积分,⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑为平面,0=x ,0=y 1=++z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.第三节 高斯公式 通量与散度内容要点 一、高斯公式定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P (6.1)这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为.)cos cos cos (⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P γβα 二、通量与散度一般地，设有向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρρ),,(),,(),,(),,(++=,其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，ορn 是曲面∑的单位法向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=⋅=⋅=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d n A S d A ρρρρρο称为向量场A ρ通过曲面∑流向指定侧的通量. 而zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂ 称为向量场A ρ的散度，记为A div ϖ，即zR y Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂=ϖ. (6.5)例题选讲利用高斯公式计算例1（E01）计算曲面积分,)()(⎰⎰∑-+-xdydz z y dxdy y x 其中∑为柱面122=+y x 及平面3,0==z z 所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧（图10-6-2）.解 ,)(x z y P -=,0=Q ,y x R -=,z y x P -=∂∂,0=∂∂y Q ,0=∂∂zR利用高斯公式，得原式=⎰⎰⎰Ω-dxdydz z y )(（利用柱面坐标）⎰⎰⎰Ω-=dz rdrd z r θθ)sin (rdz z r dr d ⎰⎰⎰-=10320)sin (θθπ.29π-= 例2（E02）计算 ,)()(22⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z 其中∑为旋转抛物面221y x z --=在10≤≤z 部分的外侧.解 作辅助平面∑=1,0:z 则平面∑1与曲面∑围成空间有界闭区域,Ω 由高斯公式得⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z )()(22 ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-+---+-=11)()()()(2222dxdy z x dzdx y z dxdy z x dzdx y z⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω---=1)()2(2dxdy z x dv⎰⎰⎰⎰⎰--=-xyD r d x rdz dr d σθπ22011022.434cos 0)1(42012212πππθθππ-=+-=⋅--=⎰⎰⎰rdr r d dr r r 例3（E03）计算,)cos cos cos (222⎰⎰∑++dS z y x γβα 其中∑为锥面222z y x =+)0(h z ≤≤, γβαcos ,cos ,cos 为此曲面外法线向量的方向余弦.解 补充平面),(:2221h y x h z ≤+=∑取1∑的上侧，则1∑+∑构成封闭曲面， 设其所围成空间区域为.Ω 于是⎰⎰∑+∑++1)cos cos cos (222dS z y x γβα ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x )(2⎰⎰⎰+++=h y x D dz z y x dxdy xy22)(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=--==+ππθ200422222.21)()(222h D D h yx h rdr r h d dxdy y x h zdz dxdy xyxy而 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑===++11,)cos cos cos (422222xyD h dxdy h dxdy z dS z y x πγβα故 .2121)cos cos cos (444222h h h dS z y x πππγβα-=-=++⎰⎰∑例4（E04）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∆dV z v z u y v y u x v x u dS n uvudV v 其中nu ∂∂为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u ,v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导数，符号222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.证 因为=∂∂n u γβαcos cos cos z u y u xu∂∂+∂∂+∂∂n u ρ⋅∇=，其中}cos ,cos ,{cos γβα=n ρ是∑在点),,(z y x 处 的外法线的方向余弦，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑⋅∇=⋅∇=∂∂dS n u v dS n u v dS nuv)[()(ρρdS z u v y u v x u v ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=γβαcos cos cos dv z u v z y u v y x u v x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=.dv z v z u y v y u x v x u udv v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎝⎛⎪⎭⎫∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∆=将上式右端移至左端即得所要证明的等式. 通量与散度例5（E05）求向量场k z j y ix r ρρρρ++=的流量(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.解 设21,S S 及S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量Q ⎰⎰+⋅=S S d r ρρ⎰⎰⎰=Vdv r div ρ⎰⎰⎰=Vdv 3.3h π=(1) 穿过底面向上的流量1Q ⎰⎰+⋅=S S d r ρρ⎰⎰=≤+=hz z y x zdxdy 222⎰⎰≤+=222z y x hdxdy .3h π=(2) 穿过侧表面向外的流量2Q 1Q Q -=.0= 课堂练习1.利用高斯公式计算,)()()(222⎰⎰+-+-+-S dxdy xy z dzdx xz y dydz yz x其中+S 为球2222)()()(R c z b y a x =-+-+-面的外侧.第四节 斯托克斯公式 环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系. 分布图示★ 斯托克斯公式★ 例1★ 例2★ 例3★ 空间曲线积分与路径无关的条件 ★ 三元函数的全微分求积 ★ 环流量与旋度★ 例4★ 例5★ 例6★ 斯托克斯公式的向量形式★ 向量微分算子 ★ 内容小结 ★课堂练习 ★ 习题11-7★返回内容要点一、斯托克斯公式定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑.⎰++=LRdz Qdy Pdx (7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx RQ P zy x dxdydzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成.cos cos cos ⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx dS RQPzy x γβα二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度 设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρρ++=则沿场A ρ中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分⎰++=ΓCRdz Qdy Pdx称为向量场A ρ沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,, 称为向量场A ρ的旋度，记为A rot ρ，即.k y P x Q j x R z P i z Q y R A rot ρρρρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=旋度也可以写成如下便于记忆的形式：RQ Pz y x k j i A rot ∂∂∂∂∂∂=ρρρρ.四、向量微分算子：,k zj y i x ρρρ∂∂+∂∂+∂∂=∇例题选讲利用斯托克斯公式计算例1（E01）计算曲线积分,⎰Γ++ydz xdy zdx 其中Γ是平面1=++z y x 被三坐标面所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解 按斯托克斯公式，有,⎰⎰⎰∑++=++Γdxdy dzdx dydz ydz xdy zdx由于∑的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知:,3⎰⎰⎰⎰=∑++xyD d dxdy dzdx dydz σ所以 .23=++⎰Γydz xdy zdx例2 计算曲线积分,)()()(222222dz y x dy x z dx z y -+-+-⎰Γ其中Γ是平面2/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向看法，取逆时针方向.解 取∑为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,3}3,1,1{=n ρ即,31cos cos cos ===λβα原式dS yx x y z y z y x z⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222313131⎰⎰∑++-=dS z y x )(34.293322334-=-=∑⋅-=⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dS 例3（E02）计算,)()()(222222⎰Γ+++++dz y x dy z x dx z y 式中Γ是).0,0(2,222222><<=+=++z R r rx y x Rx z y x此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方. 解 由斯托克斯公式，有原式⎰⎰∑-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2γβαdS R z y x R y x z R x z y ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=)()(1)( ⎰⎰∑-=dS y z )(2(利用对称性)⎰⎰⎰⎰∑=∑=dS R zdS γcos ..2222R r d R Rdxdy rx y x πσ==∑=⎰⎰⎰⎰≤+例4 求矢量场k z j xy i x A ρϖϖϖ222+-=在点()2,1,10M 处的散度及旋度.解 A div ρzA y A x A zy x ∂∂+∂∂+∂∂=z x x 2)2(2+-+=.2z =故0M A div ρ.4=A rot ρk y A x A j xA z A i z A y A x y zx x z ρρρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=k y j i ρρρ)02()00()00(--+-+-=.2k y ρ-= 故0M A rot ρ.2k ρ-= 例5（E03）设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ； div(grad u )；rot(grad u ). 解 gradu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -=div(gradu)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂-∂+∂∂+∂∂=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).(4y x -=rot(gradu).,,222222⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂=x y u y x u z x u x z u y z u z y u 因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故rot(gradu).0=注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A ϖ=grad u 为势量场或保守场，而u 称为场A ϖ的势函数.例6（E04）设一刚体以等角速度k j i z y x ϖϖϖϖωωωω++=绕定轴L 旋转，求刚体内任意一点M 的线速度v ϖ的旋度.解 取定轴l 为z 轴，点M 的内径r ρOM =,k z j y i x ρρρ++=则点M 的线速度v ρr ρρ⨯=ωzy x kjiz y x ωωωρρρ=,)()()(k x y j z x i y z y x x z z y ρρρωωωωωω-+-+-=于是v ρrot xy z x y z z y x kj i y x x z z y ωωωωωω---∂∂∂∂∂∂=ρρρ)(2k j i z y x ρρρωωω++=.2ωρ=即速度场v ρ的旋等于角速度ωρ的 2 倍. 课堂练习1. 计算,)()()(222⎰-+-+-AmB dz xy z dy xz y dx yz x 其中AmB 是螺线πϕϕϕ2,sin ,cos h z a y a x ===从)0,0,(a A 到),0,(h a B 的一段曲线.2. 物体以一定的角速度ω依逆时针方向绕Oz 轴旋转, 求速度v ρ和加速度w ρ在空间点),,(z y x M 和已知时刻t 的散度和旋度.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条： 1、宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子。

曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是微积分中的重要概念，它们在物理、工程等领域中有着广泛的应用。

本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的定义、计算方法以及应用。

一、曲线积分曲线积分是沿曲线上的各点对一个矢量场进行积分的操作。

它可以帮助我们计算曲线周围矢量场的某种性质，如流量、环量等。

曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分又称为曲线上的标量场积分，它的计算只涉及到被积函数。

设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。

对于曲线上每一点P(x,y,z)，记r(t)=x i + y j + z k为P的位置矢量，则第一类曲线积分的定义为：∫[f(x,y,z)]•ds=∫[f(x(t),y(t),z(t))•r'(t)]dt其中[f(x,y,z)]为被积函数，ds为曲线C上各点的弧长元素，r'(t)为曲线C在P点处的切向量。

2. 第二类曲线积分第二类曲线积分又称为曲线上的矢量场积分，计算是将矢量场与切向量进行点积。

设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。

对于曲线上每一点P(x,y,z)，记r(t)=x i + y j + z k为P的位置矢量，则第二类曲线积分的定义为：∫[F(x,y,z)]•dr=∫[F(x(t),y(t),z(t))•r'(t)]dt其中[F(x,y,z)]为矢量场，dr为曲线C上各点的位置矢量元素，即dr=r'(t)dt。

二、曲面积分曲面积分是在曲面上对一个矢量场或标量场进行积分的操作。

它可以帮助我们计算曲面上矢量场的通量、曲面的面积等。

曲面积分同样可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分又称为曲面上的标量场积分，它的计算只涉及到被积函数。

设曲面S的参数方程为x=g(u,v)，y=h(u,v)，z=k(u,v)，其中D 为曲面S在(u,v)平面上的投影区域。

第一类曲线曲面积分是数学中的一个重要概念，它涉及到对曲线或曲面上的函数进行积分。

在解决实际问题中，第一类曲线曲面积分被广泛应用于物理、工程、经济等领域。

首先，让我们来了解一下第一类曲线积分的概念。

第一类曲线积分是针对平面上曲线上的函数进行积分的一种方法。

它的定义是，给定一条参数曲线 t \in [a, b]，如果有一个实值函数 f(t)，我们想要求出该函数在曲线上的积分。

具体来说，第一类曲线积分的计算公式为：∫f(t)dt，其中符号∫表示积分，f(t)表示函数，t表示参数。

第一类曲线积分在实际问题中有很多应用。

例如，在物理学中，第一类曲线积分可以用来计算电荷在电线上的分布情况；在工程学中，第一类曲线积分可以用来计算物体在运动过程中的能量变化情况；在经济领域，第一类曲线积分可以用来分析股票价格的波动情况。

接下来，让我们来了解一下第一类曲面积分的概念。

第一类曲面积分是针对空间中曲面上的函数进行积分的一种方法。

它的定义是，给定一个三维空间中的曲面Σ，如果有一个实值函数 f(x,y,z)，我们想要求出该函数在曲面上的积分。

具体来说，第一类曲面积分的计算公式为：∫f(x,y,z)dS，其中符号∫表示积分，f(x,y,z)表示函数，S表示曲面的面积。

第一类曲面积分在实际问题中也有很多应用。

例如，在物理学中，第一类曲面积分可以用来计算磁场在导体表面上的分布情况；在工程学中，第一类曲面积分可以用来计算热量的传导情况；在经济领域，第一类曲面积分可以用来分析市场价格的波动情况。

总之，第一类曲线曲面积分是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们解决很多实际问题。

通过深入了解第一类曲线曲面积分的概念和方法，我们可以更好地理解和解决各种问题。

第一类曲面积分定义
曲面积分是一种用于描述曲面上某个物理量的数学工具。

它广泛应用于数学、物理学、工程学等领域中，特别是在描述电磁场、流体力学和曲面上的散度等方面起着重要作用。

曲面积分可以理解为将曲面分割成无数小区域，并在每个小区域上对要研究的物理量进行积分。

这样的计算过程可以通过数学公式进行精确描述。

曲面积分的定义可以分为两类：第一类曲面积分和第二类曲面积分。

在这篇文章中，我们主要讨论第一类曲面积分的定义。

第一类曲面积分也被称为曲面上的标量场的积分。

它描述了曲面上某个标量函数的分布情况。

具体而言，对于给定的曲面S和函数f(x, y, z)，第一类曲面积分可以表示为：
∬_S f(x, y, z) dS
其中，dS表示曲面上的面积元素，它可以看作是一个无限小的面积。

整个曲面积分是对曲面上所有面积元素的累积求和。

在实际计算中，可以使用参数化曲面的方法，将曲面上的积分转化为某个参数域上的二重积分来计算。

第一类曲面积分可以用来计算曲面上的质量、电荷、温度等物理量的总量。

它在电磁场学中的应用尤为广泛，可以用来计算电流通过闭合曲面的总电荷量。

总之，第一类曲面积分是描述曲面上标量场分布的数学工具，具有广泛的应用领域。

通过对曲面上无数小面积元素的求和，可以得到曲面上某个物理量的总量。

这种积分计算可以通过参数化曲面和二重积分的方法进行。

曲线与曲面积分计算曲线积分与曲面积分的基本技巧曲线与曲面积分：计算曲线积分与曲面积分的基本技巧曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，应用广泛。

在本文中，我们将探讨曲线积分和曲面积分的基本技巧和计算方法。

在开始之前，我们先对曲线积分和曲面积分进行简要介绍。

1. 曲线积分曲线积分是对曲线上的某个向量场的积分，其计算方法有两种：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

第一类曲线积分是对标量函数的积分，而第二类曲线积分是对向量函数的积分。

1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分也称为沿曲线的线积分，其计算公式为：∫f(x, y, z) • dr = ∫f(x(t), y(t), z(t)) • r'(t) dt，其中f(x, y, z)为曲线上的函数，r(t)为曲线上的向量函数，r'(t)为r(t)的导数。

1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分也称为曲线上的向量场的线积分，其计算公式为：∫F • dr = ∫F(x(t), y(t), z(t)) • r'(t) dt，其中F为曲线上的向量函数，r(t)为曲线上的向量函数，r'(t)为r(t)的导数。

2. 曲面积分曲面积分是对曲面上的某个标量函数或向量函数的积分，其计算方法也有两种：第一类曲面积分和第二类曲面积分。

第一类曲面积分是对标量函数的积分，而第二类曲面积分是对向量函数的积分。

2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分也称为曲面上的标量场的曲面积分，其计算公式为：∬f(x, y, z) dS，其中f(x, y, z)为曲面上的函数，dS为曲面元素面积。

2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分也称为曲面上的向量场的曲面积分，其计算公式为：∬F • dS = ∬F(x, y, z) • n dS，其中F为曲面上的向量函数，dS为曲面元素面积，n为曲面上某一点的法向量。

3. 计算曲线积分的基本技巧在计算曲线积分时，我们需要掌握以下基本技巧：3.1 参数化对于曲线上的向量函数，我们需要找到一个参数来表示该曲线，通常使用参数t来表示曲线上的点。

曲线积分曲面积分公式总结曲线积分是在曲线上计算函数的积分，通常用来计算沿曲线的弧长、质量、电流等物理量。

曲线积分的公式为：1.第一类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，函数为f(x, y, z)，则第一类曲线积分的公式为：∫[C] f(x, y, z) ds = ∫[a,b] f(r(t)) ||r'(t)|| dt其中，ds表示弧长元素，||r'(t)||表示曲线的切向量的模。

2.第二类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲线积分的公式为：∫[C] F(x, y, z) · dr = ∫[a,b] F(r(t)) · r'(t) dt其中，·表示向量的点乘，dr表示位移向量，r'(t)表示曲线的切向量。

曲面积分是在曲面上计算函数的积分，通常用来计算流量、电通量等物理量。

曲面积分的公式为：1.第一类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，函数为f(x, y, z)，则第一类曲面积分的公式为：∬[S] f(x, y, z) dS = ∬[D] f(r(u, v)) ||ru × rv|| du dv其中，dS表示面积元素，||ru × rv||表示曲面的法向量的模。

2.第二类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲面积分的公式为：∬[S] F(x, y, z) · dS = ∬[D] F(r(u, v)) · (ru × rv)du dv其中，·表示向量的点乘，dS表示面积元素，ru和rv分别表示曲面参数u和v方向的偏导数。

第一型曲线积分与曲面积分的一些问题第1型曲线积分与曲面积分的1些问题摘要本文归纳研究了第1型曲线积分与曲面积分的物理背景，定义，性质及计算方法，并在此基础上给出了它们在特殊坐标变换下的计算公式及证明。

并且利用这个公式，推导出了当第1型曲线积分或曲面积分的被积函数为奇函数或偶函数，积分曲线或曲面是对称的时的几个重要的推论及证明。

关键字：第1型曲线积分与曲面积分；坐标变换；奇偶性；对称性。

Some questions about curve integral and surface integral of the firstkind A bstract In this article we induce and study the physical background ,definition, quality ,and calculating method of the curve and surface integral of the first kind ,and at the base of these , calculate formula and providence was proposed in the special coordinate transformation. Using this formula ,we get several important inference and prove that when the curve and surface integral of the first kin d’s integrand is odd function or even function and the integral curve or surface is symmetry.Key word: Curve integral and surface integral of the first kind; coordinate transformation; odevity; symmetry。

曲线、曲面积分一、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （一）第一类曲线积分的性质 ①⎰⎰⎰±=±LLLds y x g k ds y x f k ds y x g k y x f k),(),()],(),([2121；②21,),(),(),(21L L L ds y x f ds y x f ds y x f L L L+=+=⎰⎰⎰设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x L ),(),(:，则⎰⎰'+'=βαψϕψϕdt t t t t f ds y x f L)()()](),([),(22其中)(),(t t ψϕ在],[βα上有一阶连续导数且0)()(22≠'+'t t ψϕ注 1：若曲线L 由方程b x a x y ≤≤=),(ϕ确定，则⎰⎰'+=baLdx x x x f ds y x f )(1))(,(),(2ϕϕ注 2：若曲线L 由极坐标方程βθαθ≤≤=),(r r 表示，则θθθθθβαd r r r r f ds y x f L⎰⎰'+=)()()sin ,cos (),(22【例】计算⎰+Lds y x 22，其中L 为曲线y y x 222-=+【详解】曲线L 可参数化：⎩⎨⎧+-==,sin 1,cos :θθy x L 此时θ的变化范围为：,20πθ≤≤θθθθd d ds =+=22cos sin ，故⎰⎰⎰-=-+=+Ld d ds y x ππθθθθθ20202222sin 12)1(sin cos⎰-=πθθθ202cos 2sin2d ⎰⎰=-+-=πππθθθθθθ2228])2cos 2(sin )2sin 2(cos [2d d （三）计算第一类曲线积分的步骤1、根据积分曲线与被积函数的特征，将积分曲线参数化（有时题目可能会直接给你一个参数方程）2、利用公式dt t z t y t x ds)()()(222'+'+'=求出弧长微分ds 的值3、将参数方程和ds 的值代入积分，进行计算 二、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （一）第二类曲线积分的性质 ①⎰⎰⎰+=+LLLdy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(②⎰⎰⎰+++=+21),(),(),(),(),(),(L LL dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ，其中21L L L +=注：第二类曲线积分与曲线的方向有关，若L -表示L 的反方向，则⎰⎰-+-=+LLdy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(（二）第二类曲线积分的计算设),(),,(y x Q y x P 在有向曲线弧L 上有定义且连续。